CENTRO EDUCATIVO VILLA FLOR Primer guía de Matemática II semestre

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CENTRO EDUCATIVO VILLA FLOR Primer guía de Matemática II semestre

Disciplina: Matemática Nivel/grado: Décimo A

Nombre del profesor responsable de disciplina: Flor de María Salgado García Datos de contacto: salgadogarciaflordemaria@gmail.com / 86527172 (claro)

Estimados padres, madres de familia, estudiantes; la presente guía N° 1 de matemática del II semestre, tiene como propósito afianzar conocimientos que se han venido adquiriendo en este proceso; espero que al contestar las mismas puedas tomar de apoyo todas las fuentes necesarias, incluyendo atenciones y videos enviados, ya que lo hacemos con el propósito de mantener la calidad educativa. En la misma se presentan explicaciones de los ejercicios y se le adjuntará un video para cada tema.

Evaluación: El alumno deberá resolver en hoja aparte todos los ejercicios donde sale RESUELVA. Referencias: Videos enviados a los grupos de whassap e internet.

Unidad V: Sistema de ecuaciones lineales de tres variables. Tema: Determinantes de orden tres: método de Sarrus y de menores

Indicador de logro: Calcula determinantes de orden tres mediante el método de sarrus y de menores.

Conceptualización:

La regla de Sarrus nos sirve para resolver de manera muy sencilla el determinante de una matriz de 3 × 3. 𝐴 = (

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33

) El determinante de la matriz A seria:

|𝐴| = 𝑎11𝑎22𝑎33+ 𝑎12𝑎23𝑎31+ 𝑎21𝑎32𝑎13− 𝑎13𝑎22𝑎31− 𝑎12𝑎21𝑎33− 𝑎23𝑎32𝑎11

En el método de menores debemos escoger una fila o una columna, preferiblemente la que tenga mayor cantidad de ceros. Sea 𝐴 = ( 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ) entonces: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |𝐴| = 𝑎11| 𝑎22 𝑎23 𝑎32 𝑎33| − 𝑎12| 𝑎21 𝑎23 𝑎31 𝑎33| + 𝑎13| 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32| = 𝑎11[(𝑎22)(𝑎33) − (𝑎32)(𝑎23)] + 𝑎12[(𝑎21)(𝑎33) − (𝑎31)(𝑎23)] − 𝑎13[(𝑎21)(𝑎32) − (𝑎31)(𝑎22)]

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Ejemplo:

1. Encuentre el determinante de la siguiente matriz por el método de Sarrus.

𝐴 = ( 1 4 −1 −1 3 2 2 2 0 ) 𝑎11= 1 𝑎12= 4 𝑎13= −1 𝑎21= −1 𝑎22 = 3 𝑎23= 2 𝑎31= 2 𝑎32= 2 𝑎33= 0 |𝐴| = (1)(3)(0) + (4)(2)(2) + (−1)(2)(−1) − (−1)(3)(2) − (4)(−1)(0) − (2)(2)(1) |𝐴| = (0) + (16) + (2) − (−6) − (0) − (4) |𝐴| = 0 + 16 + 2 + 6 − 0 − 4 |𝐴| = 20

2. Encuentre el determinante de la matriz por el método de menores. 𝐴 = ( 1 2 −1 3 0 1 4 2 1 ) 𝑎11= 1 𝑎12= 2 𝑎13= −1 𝑎21= 3 𝑎22= 0 𝑎23 = 1 𝑎31= 4 𝑎32 = 2 𝑎33= 1 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |𝐴| = (1) |0 1 2 1| − (2) | 3 1 4 1| + (−1) | 3 0 3 2| = (1)[(0)(2) − (2)(1)] − (2)[(3)(1) − (4)(1)] + (−1)[(3)(2) − (3)(0)] = (1)[0 − 2] − (2)[3 − 4] + (−1)[6 − 0] = 1[−2] − 2[−1] − 1[6] = −2 + 2 − 6 = −6 RESUELVA

1. Encuentre el determinante de las siguientes matrices por el método de sarrus: 𝐵 = ( 3 −2 5 4 −3 1 −4 2 6 ) 𝐴 = ( 2 6 −2 4 0 4 −1 2 3 )

2. Encuentre el determinante de las siguientes matrices por el método de menores: 𝐴 = ( −1 0 6 2 5 4 3 2 3 ) 𝐵 = ( 1 0 3 4 −1 2 0 −2 1 )

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Tema: Regla o método de Cramer:

Indicador de logro: Resuelve problemas de la vida cotidiana aplicando sistema de ecuaciones de tres variables con la regla de Cramer.

Contextualización:

La regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes.

{ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑗 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓𝑧 = 𝑘 𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 = 𝑙 det 𝐷 = | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 | det 𝑋 = | 𝑗 𝑏 𝑐 𝑘 𝑒 𝑓 𝑙 ℎ 𝑖 | det 𝑌 = | 𝑎 𝑗 𝑐 𝑑 𝑘 𝑓 𝑔 𝑙 𝑖 | det 𝑍 = | 𝑎 𝑏 𝑗 𝑑 𝑒 𝑘 𝑔 ℎ 𝑙 | 𝑥 =det 𝑋 det 𝐷= | 𝑗 𝑏 𝑐 𝑘 𝑒 𝑓 𝑙 ℎ 𝑖 | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 | 𝑦 =det 𝑌 det 𝐷= | 𝑎 𝑗 𝑐 𝑑 𝑘 𝑓 𝑔 𝑙 𝑖 | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 | 𝑧 =det 𝑍 det 𝐷= | 𝑎 𝑏 𝑗 𝑑 𝑒 𝑘 𝑔 ℎ 𝑙 | | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 |

Ejemplo: Encuentre las soluciones del siguiente sistema por el método de Cramer. { 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 3 2𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 5 4𝑥 + 9𝑦 − 4𝑧 = 4 det 𝐷 = | 2 3 4 2 6 8 4 9 −4 | = (2)(6)(−4) + (2)(9)(4) + (4)(3)(8) − (4)(6)(4) − (8)(9)(2) − (−4)(3)(2) = (−48) + (72) + (96) − (96) − (196) − (−24) = −48 + 72 + 96 − 96 − 196 + 24 = −96 det 𝑋 = | 3 3 4 5 6 8 4 9 −4 | = −48 det 𝑌 = | 2 3 4 2 5 8 4 4 −4 | = −32 det 𝑍 = | 2 3 3 2 6 5 4 9 4 | = −24 𝑥 =det 𝑋 det 𝐷= −48 −96= 1 2 𝑦 = det 𝑌 det 𝐷= −32 −96= 1 3 𝑧 = det 𝑍 det 𝐷= −24 −96= 1 4 Por tanto la solución del sistema es:

𝑥 =1 2 𝑦 = 1 3 𝑧 = 1 4

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RESUELVA

Encuentre las soluciones del siguiente sistema por el método de Cramer {

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 −2𝑥 + 𝑦 − 7𝑧 = 0

3𝑥 − 𝑦 + 8𝑧 = 2

Unidad VI: Grafiquemos funciones.

Tema: Funciones: Función raíz cuadrada y función valor absoluto.

Indicador de logro: Grafica las funciones racional y raíz cuadrada determinando sus propiedades. Contextualización:

Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por 𝑓(𝑥) = √𝑥. Su representación gráfica es:

x 0 1 2 3 𝒇(𝒙) 0 1 1.4 1.7 Para x=0 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓(0) = √0 𝑓(0) = 0 Para x=1 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓(1) = √1 𝑓(1) = 1 Para x=2 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓(2) = √2 𝑓(2) = 1.41 Para x=3 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓(3) = √3 𝑓(3) = 1.75

La función es creciente y es considerada como un modelo de crecimiento lento.

De manera general el valor absoluto de una función 𝑓(𝑥), o función en valor absoluto, se define según: 𝑦 = |𝑓(𝑥)| = { 𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) ≥ 0

−𝑓(𝑥) 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) < 0 Ejemplo:

1. Graficar la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|

Paso 1: Igualamos a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 𝑥 − 3 = 0

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 0} 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ / 𝑦 ≥ 0}

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𝑥 = 3

Paso 2: Se forman intervalos con la raíz y se evalúa el signo de cada intervalo.

Paso 3: Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo dela función

𝑓(𝑥) = {−(𝑥 − 3) 𝑠𝑖 𝑥 < 3 𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 Ahora representemos la función gráficamente.

2. Graficar la función 𝑓(𝑥) = −|𝑥 + 2| 𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −2 X -2 -1 0 1 Y 0 -1 -2 -3

𝑓(−2) = −|−2 + 2| = 0

𝑓(−1) = −|−1 + 2| = −|1| = −1

𝑓(0) = −|0 + 2| = −|2| = −2

𝑓(1) = −|1 + 2| = −|3| = −3

RESUELVA

Grafique la función raíz cuadrada 𝑓(𝑥) = √2𝑥

Grafique las funciones valores absolutos: 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2|, 𝑓(𝑥) = −|𝑥 + 3| y 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {−∞, +∞}

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ / 𝑦 ≥ 0}

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {−∞, +∞} 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = {𝑦 / 𝑦 ≤ 0}

Figure

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