Matematica Basica Nuevo

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Texto completo

(1)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

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UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Prefacio

Prefacio

El presente texto desarrolla el curso de matemática básica, teniendo en cuenta los El presente texto desarrolla el curso de matemática básica, teniendo en cuenta los requerimientos temáticos que deben ser de conocimiento por los

requerimientos temáticos que deben ser de conocimiento por los alumnos de

alumnos de las diferentes especialidades.las diferentes especialidades.

Comprende temas en sus aspectos teórico y práctico, para lo cual Comprende temas en sus aspectos teórico y práctico, para lo cual se han desarrollado los contenidos con sus respectivos se han desarrollado los contenidos con sus respectivos ejemplos de reforzamiento. Los alumnos al desarrollar ejemplos de reforzamiento. Los alumnos al desarrollar este curso estarán aplicando su razonamiento lógico este curso estarán aplicando su razonamiento lógico en el momento de solucionar problemas y realizar la en el momento de solucionar problemas y realizar la comunicación matemática necesaria.

comunicación matemática necesaria.

Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje: Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje:

Unidad I:

Unidad I: RaRazones y Proporczones y Proporcionesiones Unidad II:

Unidad II: Números RealesNúmeros Reales

Unidad

Unidad IIIIII:: LógicLógica y Ma y Matricesatrices Unidad

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La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es: La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es:

“Identificar conjuntos y los elementos que loIdentificar conjuntos y los elementos que lo

componen, realizar operaciones con números

componen, realizar operaciones con números

rea

reales expresando resultados les expresando resultados a través de intervalos,a través de intervalos,

expresar el conjunto solución de ecuaciones e

expresar el conjunto solución de ecuaciones e

inecuaciones, demostrando en todo momento

inecuaciones, demostrando en todo momento

seguridad en

seguridad en sus procedimisus procedimientosentos”.”.

Razones y Razones y Proporciones

Proporciones NúmerosNúmerosRealesReales Lógica yLógica yMatricesMatrices Ecuaciones EEcuaciones EInecuacionesInecuaciones

Raz Razones ones yy proporciones proporciones Regla de tres Regla de tres Ta

Tanto por nto por cientociento

Interés Interés Ecuaciones de Ecuaciones de primer grado primer grado Ecuaciones de Ecuaciones de segundo grado segundo grado Intervalos, Intervalos, inecuaciones inecuaciones lineales y de lineales y de segundo segundo grado grado De

Definiciófinició n n clásica.clásica. Enunciado y Enunciado y proposi

proposi ción. Claseción. Clasess de proposiciones. de proposiciones. Jerarquía de los Jerarquía de los conectivos lógicos. conectivos lógicos. Proposiciones Proposiciones tautológicas, tautológicas, contradictori contradictori as yas y contin

contin gencias. Tablagencias. Tablass de verdad de verdad

Puntos en el Puntos en el plano

plano cartesiano.cartesiano. Distancia entre Distancia entre dos puntos. dos puntos. Punto medio. Punto medio. Ecuación de la Ecuación de la Recta. Gráficos Recta. Gráficos Paralelismo y Paralelismo y perpendicularidad perpendicularidad de rectas. de rectas. Matriz: Definición y Matriz: Definición y clases, opera

clases, operaciones conciones con matrices, propiedades. matrices, propiedades.

Estructura

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Índice del Contenido

I. PREFACIO 02

II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 03 – 117

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: RAZONES Y PROPORCIONES 05-38 1. Introducción

a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro)

c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas

a. Tema 01: Razones y pr opor ciones b. Tema 02: Regla d e tres

c. Tema 03: Tanto por ciento d. Tema 04: Interés

3. Lecturas recomendadas 4.  Act ividades

5.  Aut oeval uación 6. Resumen 06 06 06 06 06 06 07-38 08 19 27 34 38 38 38 38

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: N MEROS REALES 40-59

1. Introducción

a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro)

c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas

a. Tema 01: Ecuaciones de prim er grado. b. Tema 02: Ecuaciones de segundo grado. c. Tema 03: Operaciones con intervalos. 3. Lecturas recomendadas

4.  Act ividades 5.  Aut oeval uación 6. Resumen 40 40 40 40 40 40 42-58 42 45 51 59 59 59 59 59

UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: L GICA Y MATRICES 61-94

1. Introducción

a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro)

c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas

a. Tema 01: Proposiciones y conectivos lógicos.

b. Tema 02: Jerarquía de los conectivos l ógicos . Proposicion es. Tabla de la verdad. c. Tema 03: Matriz.

d. Tema 04: Casos Practicos 3. Lecturas recomendadas 4.  Act ividades

5.  Aut oeval uación 6. Resumen 61 61 61 61 61 61 63-83 63 68 74 85 86 87 89 94 UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: T PICOS DE GEOMETRIA ANAL TICA 96-114 1. Introducción

a. Presentación y contextualización b. Competencia

c. Capacidades d. Actitudes

e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrol lo de los temas

a. Tema 01: Puntos en el p lano cartesiano. b. Tema 02: Ecuación de la recta.

c. Tema 03: Paralelismo y perpendicul aridad de rectas. 3. Lecturas recomendadas

4.  Act ividades 5.  Aut oeval uación 6. Resumen 96 96 96 96 96 96 98-109 98 103 107 110 110 110 110 114 III. GLOSARIO 115

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Introducción

a) Presentación y contextualización

La matemática como lenguaje se puede estructurar a partir de la Teoría de Conjuntos. Los símbolos primitivos para armar expresiones matemáticas y consecuentemente una red matemática, son los del modelo o Teoría de Conjuntos cuyos entes, conectivos y puntuación se pueden presentar como elementos y conjuntos. Por ello, aquí el alumno refuerza sus nociones básicas sobre agrupación y operaciones entre conjuntos así como sus apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia

Identifi ca y determina conjuntos reconociendo sus elementos, así mismo realiza operaciones para resolver situaciones problemáticas y representa resultados en diagramas.

c) Capacidades

1. Identifica claramente la idea o noción de conjunto y determina conjuntos por comprensión y extensión.

2.

Realiza operaciones con conjuntos expresando resultados según sean los casos de unión, intersección, diferencia o complemento

3. Identifica los elementos que componen un Producto Cartesiano y expresa gráficamente sus resultados.

4.

Expresa relaciones entre conjuntos siguiendo la regla de correspondencia que se le da además de identificar el dominio y rango de las relaciones

d) Actitudes

Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje.

Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas.

Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 01: Razones y prop orciones , comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Razones y Prop orciones TEMA 02: Regla de tres

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TEMA 1

Identifica claramente los conceptos de Razones

y Proporciones, sus clases y sus tipos, y con ellas

realiza operaciones.

ompetencia

Proporciones

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Desarrollo de los Temas 

Tanto la razón como la proporción son dos conceptos matemáticos sumamente útiles en la vida cotidiana de cualquier individuo. El primer estudio formal fue

introducido en la obra de Euclides:”Los Elementos, la Teoría de las Proporciones” donde sus libros V y VI tratan

de la proporcionalidad y semejanza.

1) Conceptos:

Cantidad: Es el resultado de la medición del estado de una magnitud escalar. Se llama magnitudes escalares a aquello que pueden ser medidos o contados como por ejemplo: las edades, los volúmenes y el dinero, etc. Observación: Hay magnitudes no medibles como la alegría, la memoria; por lo tanto no pueden expresarse numéricamente, por ello no las consideraremos en este texto.

Ejemplo:

La altura del edificio Trilce de la av. Arequipa es 24 metros. Magnitud: Longitud

Cantidad: 24 metros

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Razón: Es la comparación que existe entre dos cantidades de una magnitud, mediante las operaciones de sustracción y división.

Clases de Razón: a) Razón Aritmética

Es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Sean las cantidades a y b, su razón aritmética será:

donde:

a : antececedente b : consecuente

r : valor de la razón aritmética

1) La edad de José es 42 años y la edad de María es 14 años, hallemos la razón aritmética de sus edades.

Solución: 42 – 14 = 28

Interpretación:

 La edad de José excede a la edad de María en 28 años.

 La edad de María es excedida por la edad de José en 28 años.  La edad de José es mayor en 28 años a la edad de María.

2) Los ciclistas A y B se desplazan con velocidades de 16 m/s y 12 m/s, respectivamente. Hallemos la razón aritmética de dichas velocidades.

Solución:

16 m/s – 12 m/s = 4 m/s

Interpretación:

 La velocidad del ciclista A excede en 4 m/s a la velocidad del ciclista B, es

decir, en un segundo A recorre 4 m más que B.

Ejemplos:

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b) Razón Geométrica

Es la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene a cierta unidad de referencia. Sean las cantidades a y b, su razón geométrica será:

donde:

a : antececedente b : consecuente

k : valor de la razón geométrica

4) Hallemos la razón geométrica con respecto de las velocidades de los ciclistas A y B del ejemplo 2.

Solución:

velocidad del ciclista A

velocidad del ciclista B =

12 m/s =

16 /

4

3

Interpretación:

 Las velocidades de los ciclistas A y B están en la relación de 4 a 3,

Ejemplos:

3) Hallemos la razón geométrica con respecto de las edades de José y María del ejemplo 1.

Solución:

edad de José

edad de María =

42

14 =

3

1

Interpretación:

 La razón geométrica de las edades de José y María es 3.  Las edades de José y María están en la relación de 3 a 1.  La edad de José es tres veces la edad de María.

 Las edades de José y María son proporcionales a 3 y 1.  La edad de José es dos veces más que la edad de María.

 = k

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Proporción: Es la igualdad de dos razones de una misma especie o clase (aritmética o geométrica) que tenga el mismo valor de la razón.

Clases de Propor ción: c) Proporción Aritmética

Es la igualdad entre dos razones aritméticas. Ejemplo:

Si 35 excede a 23 tanto como 30 excede a 18, se puede escribir como:

donde: 35 y 30 : antececedentes 23 y 18 : consecuentes 35 y 18 : términos extremos 23 y 30 : términos medios

Propiedad:

Como: 35 – 23 = 30 – 18 Entonces: 35 + 18 = 30 + 23 Por lo tanto:

Suma de

términos

extremos

=

Suma de

términos

medios

términos extremos términos medios

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Tipos de Proporción Aritmética:

Discreta

Es cuando los términos medios son diferentes. Se expresa como:

donde:

d : es la cuarta diferencial de a, b y c. Ejemplo:

1) Halle la cuarta diferencial de 5; 11 y 13. Solución:

Sea x la cuarta diferencial. 5 – 11 = 13 – x

x = 19

Continua

Es cuando los términos medios son iguales. Se expresa como:

donde:

c : es la tercera diferencial de a y b.

b : es la media diferencial o media aritmética de a y c. Ejemplo:

2) Halle la media diferencial de 60 y 24. Sea x la media diferencial.

Solución: 60 – x = x – 24

x =

+

x = 42

3) Halle la tercera diferencial de 20 y 15. Sea y la tercera diferencial.

Solución:

a – b = c – d

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d) Proporción Geométrica

Es la igualdad de dos razones geométricas. Ejemplo:

Si un hombre gana S/.35 por semana, ¿Cuánto tiempo tendrá que trabajar para ganar S/.385?

Solución:



 =



x = 11 semanas

Esto se puede leer como:

donde: 1 y 11 : antececedentes 35 y 385 : consecuentes 1 y 385 : términos extremos 35 y 11 : términos medios

Propiedad:

Como:



 =





Entonces: 1 * 385 = 35 * 11 Por lo tanto:

Producto

de términos

extremos

=

Producto

de términos

medios

términos extremos términos medios

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Tipos de Proporción Geométrica:

Discreta

Es cuando los términos medios son diferentes. Se expresa como:

donde:

d : es la cuarta proporcional de a, b y c. Ejemplo:

4) Halle la cuarta proporcional de 4; 8 y 6. Solución:

Sea x la cuarta proporcional.

 =

x = 12

Continua

Es cuando los términos medios son iguales. Se expresa como:

donde:

c : es la tercera proporcional de a y b.

b : es la media proporcional o media geométrica de a y c. Ejemplo:

5) Halle la media proporcional de 9 y 25. Sea x la media proporcional.

Solución:

 =



x = 15

6) Halle la tercera proporcional de 4 y 12. Sea y la tercera proporcional.

Solución:



 =

 =

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Propiedades de propor ciones geométricas:

Serie de razones geométricas equivalentes :

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Ingresa al Lin k: “Razones y Proporciones”  lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios y envíalo por el mismo m edio.

1. Encuentre la media diferencial (aritmética) y media proporcional (geométrica), respectivamente entre los números dados:

a.

12 y 3

b.

24 y 6

c.

9 y 25

d.

1.6 y 4.9

2. Encuentre la tercera diferencial y tercera proporcional, respectivamente entre los números dados:

a.

18 y 6

b.

32 y 8

c.

3 y 9

d.

9 y 1.5

3. Encuentre la cuarta diferencial y cuarta proporcional, respectivamente entre los números dados:

a.

2, 5 y 15

b.

4, 3 y 32

c.

3, 6 y 8

d.

1.25, 3.5 y 0.25

4. Dos números están en la relación de 2 a 5, si se añade 175 a uno y 115 al otro se hacen iguales. ¿Cuál es la diferencia entre estos números?

a.

24

b.

18

c.

30

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5. Si: a  b c1120 y

=

=



.Hallar: a + b + c

a.

28

b.

32

c.

38

d.

19

e.

26

6. En una reunión, hay hombres y mujeres, siendo el número de mujeres al total de personas como 7 es a 11 y la diferencia entre mujeres y hombres es 21. ¿Cuál es la razón de mujeres a hombres si se retiran 14 mujeres?

a.

5/3

b.

5/4

c.

7/3

d.

4/3

e.

3/2 7. Si:

=

=

=



Además: nq – mp = 306 Entonces: p + q – m – n Es igual a:

a.

11

b.

22

c.

33

d.

44

e.

55

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TEMA 2

Identifica claramente los conceptos de la

Regla de tres, sus clases y sus tipos,

respectivamente; y realiza operaciones con

ellas.

ompetencia

Tres

Regla

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Clases de Regla de Tres : a) Regla de Tres Simple

Es cuando se comparan dos magnitudes proporcionales. Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una proporción. A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que contiene el dato desconocido se le llama pregunta. Pueden ser directas o inversas.

1) Conceptos:

Una de las aplicaciones de proporcionalidad más antigua es la Regla de Tres que resulta al comparar dos o más magnitudes. Cuando cuatro cantidades forman una proporción y una de ellas es desconocida, la operación que tiene por objeto determinar ésta incógnita en función de las cantidades conocidas lleva el nombre de Regla de Tres Simple.

Tipos de Regla de Tres Simpl e:

Directa

Cuando las magnitudes comparadas o cantidades son directamente proporcionales.

Esquema:

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1) Un grifo arroja en 12 minutos 640 litros de agua. ¿Cuántos litros arrojará en 75 minutos?

Solución:

2) Si 12 discos compactos cuestan $600, ¿Cuántos costarán 18 discos? Solución:

Inversa

Cuando las magnitudes comparadas o cantidades son inversamente proporcionales Esquema:

Ejemplos:

# discos recio 18 600 18(600) x = $900

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3) 24 sastres pueden hacer un trabajo en 30 días, ¿Cuántos sastres habrá que aumentar para hacer dicho trabajo en 20 días?

Solución:

4) Se ha planeado que un edificio sea construido por 24 hombres en 18 días; sin embargo, solo se logró contratar a 12 hombres, ¿En cuántos días lo construirán?

Solución:

Por tanto, 12 hombres construyen el edificio en 36 días.

b) Regla de Tres Compuesta

Es cuando se comparan más de dos magnitudes es decir al menos 3 magnitudes (6 valores correspondientes).

Método de las proporciones:

I. Trasladar la información a la hoja de cálculo.

II. Se ubica la magnitud de la incógnita, la cual se compara con c/u de las otras magnitudes (deberá considerar que las otras magnitudes que no intervienen permanecen constantes).

III. En caso que la comparación determine que las magnitudes son DP, cambie la posición de los valores, escribiéndolos como una fracción.

Ejemplos:

(23)

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IV. En caso que la comparación determine que las magnitudes son IP, mantenga la posición original de los valores (en fracción).

V. La incógnita se determina del siguiente modo:

5) 50 peones siembran un terreno de 500

 de superficie en 6 días de 6h/d;

entonces, el número de días que necesitan 20 peones doblemente rápidos para sembrar un terreno de 800

 de superficie trabajando 4h/d es:

Solución:

Luego,

(24)

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1) 5 hornos consumen 30 toneladas de carbón en 20 días; 3 hornos más consumirán en 25 días una cantidad de carbón igual a :

Solución:

(25)

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“Regla de 3”  lee atentamente las indi caciones, desarrolla los ejercici os y envíalo

por el mismo m edio.

8. El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿Cuántas latas se podrán comprar con $1240?

9. Si 15 obreros hacen una obra de construcción en 60 días, ¿Cuánto tiempo emplearán 20 obreros para realizar la misma obra?

10. Se sabe que "h" hombres tienen víveres para "d" días. Si estos víveres deben alcanzar para "4d" días. ¿Cuántos hombres deben retirarse?

a. h/3 b. h/4 c. 2h/5 d. 3h/5 e. 3h/4

11. Ángel es el doble de rápido que Benito y la tercera parte que Carlos. Si Ángel hace una obra en 45 días, ¿En cuántos días harán la obra los 3 juntos?

a.

10

b.

12

c.

15

d.

20

e.

25

Actividades y Ejercicios

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12. Para cosechar un campo cuadrado de 18m. de lado se necesitan 12 días. ¿Cuántos días se necesitan para cosechar otro campo cuadrado de 27m? de lado?

a.

18

b.

20

c.

22

d.

27

e.

30

13. Si 10 obreros pueden hacer un trabajo en 24 días, ¿Cuántos obreros, que tengan un rendimiento igual a la mitad, se necesitarán para hacer un trabajo 7 veces mayor en un tiempo 1/6 del anterior?

a. 640 b. 500 c. 900 d. 840 e. 960

14. Un reservorio cilíndrico de 8m. de radio y 12m. de altura, abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál deberá ser el radio del recipiente de 6m? de altura que abastecería a 50 personas durante 2 meses?

a. 8 b. 24 c. 16 d. 18 e. 11

(27)

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TEMA 3

Nos permiten tener resultados de los

porcentajes de cada valor

ompetencia

Ciento

anto por

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1) Conceptos

Es un procedimiento que permite determinar que tanto representa una cantidad con respecto de un todo llamado cuánto.

Ejemplo:

El 5 por 8 de 120

Si a 120 lo dividimos en 8 partes iguales, tomando 5 de ellas o sea:

5(120

8 ) =

5

8  120 = 75

Es decir, el A por B de N es:

 

 .

Tanto por Ciento

% = 1

100

Ejemplo 1:

40 %

40 % = 40

100 =

2

5

Ejemplo 2:

El 20 % de 80

20 % 80 = 20

100  80 = 16

Observación:

100 %  = 100

100   = 

Tema 03:

(29)

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 Apli caciones Comerciales:

1) Cuando el precio de venta está por encima del precio de costo

esto significa que estamos ganando

>→=

2) Cuando el precio de venta está por debajo del precio de costo

esto signi fica que estamos perdiendo

<→=

3) Cuando el precio de venta está igual al precio de costo esto

significa que no se gana ni pierde

=

Porcentaje

Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una determinada cantidad.

Ejemplo:

30 % 40 = 30

100  40 = 12

Tanto por ciento

Porcentaje

¿Qué tanto por ciento?

En general, si queremos saber qué tanto por ciento (x%) de N es b:

 % =   100%

Ejemplo:

¿Qué tanto por ciento de 120 es 180?

 % = 180

120  100%

 % = 32  100%

(30)

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1) a % N + b % N = (a + b) % N Ejemplo: 15%(60) + 25%(60) = 40%(60)

40

100

 x 60

= 24

Observación: N + a % N = (100 + a) % N Ejemplo: 80 + 20%(80) = 120%(80)

120

100

 x 80

= 96

2) a % N - b % N = (a - b) % N Ejemplo: 40%(50) - 20%(50) = 20%(50)

20

100

 x 50

= 10

Observación: N - a % N = (100 - a) % N Ejemplo: 90 - 30%(90) = 70%(90)

70

100

 x 90

= 63

3) a x (b % N) = (a x b) % N Ejemplo: 5 x (20%60) = (5 x 20) % 60 = 100%60

100

100

 x 60

= 60

4) El a% del b% del c% de N = a % b % c % N Ejemplo: El 20% del 50% del 40% de 80 20 % 50 % 40 % 200

20

100 

100 

50

100  200 = 8

40

:

Operaciones frecuentes:

(31)

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 Aumentos Sucesivos

Podríamos deducir que si fueran aumentos sucesivos el aumento único sería:

100%100%….100x%100%

Ejemplo:

Dos aumentos sucesivos del 30% y 40%. ¿A qué aumento único equivalen?

10030%10040%100%

130%140%100%

130

100140%100%

182%100%

82%

Descuentos Sucesivos

Podríamos deducir que si fueran descuentos sucesivos el descuento único sería:

100% 100%100%….100x%

Ejemplo:

Dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. ¿A qué descuento único equivalen?

100% 10020%10010%

100%80%90%

100% 80

10090%

100%72%

(32)

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“ Tanto por cuanto”  lee atentamente las indic aciones, desarroll a los ejercicios y

envíalo por el mismo medio.

1.

A es el 25% de C y B es el 40% de C, ¿Qué parte de B es A?

a. 5/8

b. 8/3

c. 8/5

d. 1/2

2. El 30% de qué número es el 30% del 10% de 800.

a. 0.8

b. 800

c. 0.08

d. 80

3.

¿Cuál es el



% de los

 de



 de 91?

a. 1

b. 0.1

c. 0.01

d. 0.001

4.

¿Qué porcentaje de la venta se ha ganado cuando se vende en $120.000

lo que ha costado $96.000?

a. 24%

b. 22%

c. 25%

d. 20%

(33)

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5.

El precio de un artículo sufre 2 aumentos sucesivos de 20% y luego 30%

¿Qué aumento único resulta?

a. 40%

b. 36%

c. 56%

d. 50%

6.

Una bolsa contiene bolas rojas, negras y blancas. El 20% son rojas, el 35% son negras y hay 36 bolas blancas. El número de bolas que contiene la bolsa es:

a. 70

b. 75

c. 80

d. 90

7.

Si gastara el 30% del dinero que tengo, y ganara el 28% de lo que me

queda, perdería S/. 156. ¿Cuánto tengo?

a. 2000

b. 1500

c. 2500

d. 3000

8.

Hacer tres descuentos sucesivos del 25%, 40% y 20% equivale a hacer

uno de:

a. 60%

b. 36%

c. 64%

d. 85%

(34)

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TEMA 4

Expresa la ganancia o perdida del dinero

invertido durante un cierto tiempo y con un

porcentaje dado.

ompetencia

egla de

Interés

(35)

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Introducción:

En los bancos, el interés del capital se suma al depósito cada cierto tiempo. Si

la adición se hace con más frecuencia, el capital crece más deprisa, por lo que

el interés es cada vez mayor.

CONCEPTOS ELEMENTALES

CAPITAL (C)

Designa un conjunto de bienes o una cantidad de dinero de los que se puede

obtener ingresos en el futuro.

INTERÉS (I)

Es la ganancia que produce el capital durante un cierto tiempo con la condición

de que cien unidades de dinero produzcan una cierta cantidad anual.

TASA DE INTERÉS (r%)

Expresa el tanto por ciento del capital que se paga por la utilización de éste

durante un tiempo.

TIEMPO (t)

Intervalo durante el cual se presta o utiliza el capital.

MONTO (M)

Es la suma del capital y el interés generado.

Observación:

Cuando no se especifique cada cuanto tiempo

se aplica la tasa se deberá considerar tasa

anual.

(36)

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a) Conjunto Solución b) Dominio

c) Rango

d) Diagrama de Venn Euler e) Diagrama de Coordenadas.

INTERÉS SIMPLE

En este caso, el capital es constante durante todo el tiempo, el interés es proporcional al tiempo y a la tasa.

 =  . % . 

100

I = Interés C = Capital r = tasa t = tiempo

Observación:

La Tasa anual:

Quincenal: 15 días

se multiplica por 24

Mensual: 1 mes

se multiplica por 12

Bimestral: 2 meses

se multiplica por 6

Trimestral: 3 meses

se multiplica por 4

Semestral: 6 meses

se multiplica por 2

Formulas respecto al tiempo

En años :

 =

 . % . 



En meses:

 =

 . % . 



En días:

 =

 . % . 



El Monto

 =   

=1%

CLASES DE INTERÉS

(37)
(38)

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INTERÉS COMPUESTO

En este caso el interés generado pasa a formar parte del capital cada cierto

tiempo denominado periodo de capitalización, o sea que el capital aumenta

cada cierto tiempo.

Ejemplo:

César prestó 40000 soles a Fiorella durante 4 años con una tasa de 20%

anual capitalizable anualmente. Calcule el interés generado.

Resolución:

Como la tasa es 20% anual, por cada año que pasa se gana el 20% del

capital acumulado al comenzar el año.

1er. año: 120% de S/. 40000 = S/. 48000

2do. año: 120% de S/. 48000 = S/. 57600

3er. año: 120% de S/. 57600 = S/. 69120

4to. año: 120% de S/. 69120 = S/. 82944

Al finalizar el 4to. año, el monto es de S/. 82944.

Entonces el interés en los 4 años es: S/. 82944

 S/. 40000 = S/. 42944

INTERÉS CONTINUO

El interés continuo se obtiene cuando la capitalización es en cada instante,

es decir, fraccionando la tasa y el tiempo en un número de partes

infinitamente grande.

El monto que se obtiene con un capital C, durante un tiempo t a una tasa r%

(r% y t en las mismas unidades de tiempo, o sea, si r% es anual, t en años,

etc.)

=.

%

(39)

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“Regla de Interés”  lee atentamente las indicaciones, desarrolla los ejercicios

y envíalo por el mismo m edio:

1)

El interés de un capital impuesto al 2% bimestral es el 72% de

dicho capital. Hallar el tiempo

.

a)

2 años

b)

3 años

c)

4 años

d)

6 años

2)

Determinar el interés generado al depositar S/. 3600 al 5%

trimestral durante 7 meses.

a)

360

b)

520

c)

420

d)

400

3)

Calcular el valor de una inversión de S/. 1000 compuesta

continuamente a una tasa de interés del 8% anual, después

de 10 años

a)

2200

b)

2210

c)

2230

d)

2220

4)

Cuando un capital se presta durante 4 años el monto que se

obtendría sería S/. 12000, pero si se prestara por 5 años

sería S/. 13500. Hallar el valor de la tasa de interés.

a)

15%

b)

20%

c)

25%

d

30%

(40)

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5)

Los 2/7 de un capital se impone al 20% y el resto al 40%.

Luego de 9 meses el monto es S/7040. ¿Cuál fue el capital?

a)

5500

b)

5600

c)

5400

d)

5700

6)

Un capital de S/. 1000 se deposita al 10% durante 3 años.

¿Cuál es la diferencia de montos al usar interés simple y

compuesto con capitalización anual?

a)

28

b)

29

c)

30

d)

31

7)

Se impone $ 4800 al 9% durante año y medio. ¿Qué capital

sería necesario aumentar para qué en un año y 8 meses, al

6% el interés se duplique?

a)

$ 7150

b)

$ 8100

c)

$ 8160

d)

$ 8150

8)

¿Cuánto dejo de ganar si coloco un capital de S/. 20000 al

3% mensual durante 1 año 3 meses, en vez de colocarlo al

3% mensual durante el mismo tiempo; pero capitalizable en

forma continua? (Considere



=1,5683

)

a)

$ 7150

b)

$ 8100

c)

$ 8160

d)

$ 8150

(41)
(42)

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Introducción

a) Presentación y Contextualización

El conjunto de los Números Reales comprende a los Números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales; por ello, se toma como un conjunto infinito y sus operaciones los realiza mediante intervalos; así mismo éste conjunto le sirve para hallar soluciones de sistemas de ecuaciones con dos variables mediante diferentes métodos. Los contenidos de ésta unidad lleva a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos dados y los refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia

Reconoce el conjunto de los Números Reales(R) identificándolo como un conjunto infinito; realiza operaciones expresando sus resultados mediante intervalos, así mismo resuelve mediante métodos adecuados sistema de ecuaciones con dos variables.

c) Capacidades

1. Identifica claramente los elementos del conjunto de los números reales y los axiomas que tiene como apoyo para la realización de operaciones.

2. Reconoce los diferentes intervalos de números reales y su escritura de acuerdo a como se presentan los números que lo componen.

3. Realiza operaciones de unión, intersección y diferencia con Intervalos de números reales, expresando resultados correctos.

4. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos variables aplicando diferentes métodos para llegar al conjunto solución

d) Actitudes

Muestra perseverancia para el logro de su aprendizaje.

Valora los conocimientos que adquiere como parte de su formación profesional y que además son de utilidad para resolver situaciones cotidianas.

Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de las tareas asignadas en el desarrollo de los temas.

e)Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 02: Los Números Reales , comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01 : Ecuaciones de prim er grado o lineales

TEMA 02 : Ecuaciones de segundo grado o c uadráticas TEMA 03 : Intervalos, Inecuaciones lineales y cuadráticas

(43)

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Desarrollo de los Temas 

TEMA 1

Reconoce

y

resuelve

ecuaciones

lineales

empleando el despeje de la variable incógnita

hacia uno de los miembros de la ecuación,

concluyendo con la solución de la misma.

ompetencia

Grado

de Pri er

(44)

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DEFINICIÓN

Para resolver ecuaciones de primer grado con un incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso, como veremos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el -3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo.

2x – 3 + 3 = 53 + 3

2x = 53 + 3 2x = 56

X=



x = 28

Tema 01: Ecuaciones de Primer Grado o

Lineales

Una ecuación de primer grado , ecuación lineal o simple es una Ecuación donde el mayor exponente es igual a uno. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

  = 0 ; ,

∈ ℝ

Donde:

a es el coeficiente lineal o de primer grado. b es el término independiente.

(45)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la

ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que l a igualdad es cierta. En el ejemplo podemos probar con valores:

x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,

x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:

Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..

número.. Así:

3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5. Efectivamente: 3(1,5) + 1 = 1,5 2 ; 4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.

(46)

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TEMA 2

Reconoce y resuelve ecuaciones cuadráticas empleando

factorización para los casos particulares y ejecuta fórmula

general para cualquier caso, concluyendo con el conjunto

solución.

ompetencia

Cuadráticas

Segundo Grado

(47)

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1) Completando el binomio cuadrado perfecto:

Esta forma de solución sólo nos ayudará en algunos casos. Para completar el binomio cuadrado perfecto se suman, en ambos miembros de la igualdad, el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal de la ecuación

.

Ejemplo:  x2 + 4x + 3 = 0 x2 + 4x = -3 se suma

= 4 en ambos miembros x2 + 4x + 4 = -3 + 4

2

 = 1 x + 2 =

±√1

x = -2

±

 1

DEFINICIÓN

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Existen tres métodos para resolver una ecuación de segundo grado:

                                  solución diferentes raices S  C   x  x 2 2 2 1 213;  211 . . 3; 1

Una ecuación de segundo grado , ecuación cuadrática o resolvente es una Ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

;

, ⋀  ∈ ℝ/ ≠ 0

Donde:

a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado. b el coeficiente lineal o de primer grado.

c es el término independiente.

Tema 02:

Ecuaciones de Segundo Grado O

Cuadráticas

(48)

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3) Por Fórmula:

La fórmula general siempre solucionará cualquier caso de ecuación cuadrática. Esta forma es el caso general del primer método completando el binomio cuadrado perfecto. a ac b b  x  2 4 2    

Ejemplo 1:

Resolver:

Solución:

a = 1 ; b = -5 ; c = 6

En la fórm ula general se t iene:

C.S. = {2 ; 3}

2) Por Factorización:

Esta forma de solución sólo nos ayudará en algunos casos. Otra forma de resolver una ecuación de segundo grado es factorizando la expresión e igualando a cero cada factor, para posteriormente despejar a la incógnita.

Ejemplo:  x2 – 4x – 12 = 0 x  -6 x +2 (x – 6) (x + 2) = 0 X – 6 = 0 ; x + 2 = 0 X = 6 x = -2

(49)

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I. ANÁLISIS DE SUS RAÍCES

Sea: ax2+ bx + c + =0 ; a  0 Se define el discriminante ( ; a , b

 c

∈ ℝ

Ejemplo 2:

Resolver: x2 + x + 1 = 0

Solución:

                             conjugadas complejas raices i  x i  x  x 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 4 1 1            

PROPIEDADES

CASO ) ( 2 0 única Solución  MULTIPLE   RAIZ  o iguales e reales raíces    Ejemplo:  = (-4)2 – 4(4) (1) = 0

2 1 . S . C 0 1 x 4 2 x 4

1

CASO diferentes y reales raíces 2 0    ):

(50)

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II) OPERACIONES BÁSICAS CON LAS RAÍCES

Sea: ax2+ bx + c = 0 ; a  0 (sus raíces son x1 y x2)

Ejemplo 1: 

Ejemplo:

x2 + x + 1 = 0 C.S. =           i 2 3 2 1 ; i 2 3 2 1  = 12 – 4(1) (1) = -3 < 0 CASO conjugadas  y s imaginaria complejas raíces 2 0    Si x1 = 2i  x2 = -2i

 3

1

SUMA DE RAÍCES: a  b x x 2 1    PRODUCTO DE RAÍCES: a c x . . x1 2

 3

DIFERENCIA DE RAÍCES: 2 1 2 2 1 2 2 1 x ) (x x ) 4x x x (     RECONSTRUCCION DE LA ECUACIÓN: x2 (x1x2)xx1x2  0

(51)

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Ejercicios:

1)

Resolver:

Solución con Fórmula General:

2)

Resolver:

Solución:

 Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

-x

2

+ 7x - 10 = 0

(-1) . (-x

2

+ 7x - 10) = (-1) . 0

x

2

- 7x + 10 = 0

Los factorizamos por el método de Aspa Simple y obtenemos: X2 –   7 x + 1 0 = ( x –   5 ) ( x –   2 ) = 0 X – 5 = 0 ; x – 2 = 0 X = 5 x = 2 Rpta: C.S. = {2; 5}

3)

Resolver:

Solución:

Factorizamos el factor común: X2  –  5x = 0

X ( x – 5) = 0  x = 0 ; x - 5 = 0

X = 0 Rpta: C.S. = {0 ; 5}

4)

Resolver e indicar las raíces y el conjun to solución: x2 + (7 − x)2 = 25

(52)

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Reconoce los diferentes intervalos de números

reales y resuelve Inecuaciones lineales y

cuadráticas

empleando sus respectivos

métodos para encontrar el conjunto solución.

TEMA 3

ompetencia

o de

Inecuaciones uadráticas

Segundo Grado

o de

Pri er Grado

Inecuac ones l neale

lilinealeses

(53)

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Desarrollo de los Temas 

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS

Intervalo

Abierto

Intervalo

Cerrado

Intervalo abierto, <a, b>, es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

<,>= Є/<<

<a ; b>

Intervalo

semi Abierto

por la

izquierda

Intervalo

semi

Abierto

por la

Intervalo cerrado,[a,b] es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[ , ] = Є/≤≤

Intervalo semi abierto por la izquierda, <a, b], es

el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b

< , ] = Є/<≤

Intervalo semi abierto por la derecha, [a, b>, es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b

[

,>=

{

Є/≤<

}

Tema 03: Intervalos Inecuaciones lineales y

cuadráticas

(54)

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Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el símbolo U (unión) entre ellos

En todos los casos, los números a y b se llaman extremo inferior  y extremo superior  del intervalo respectivamente.

UTILIDAD DE LOS INTERVALOS:

Frecuentemente trabajamos con subconjuntos de números reales, expresados de acuerdo con alguna relación de orden.

Así, por ejemplo, hablaremos de En símbolo

 Є /  <  < 

Números Mayores que 2 reales y menores que 5

“Los números reales mayores que 2 y menores que 5”

o de En símbolo

 Є /  <

Números Menores o reales iguales a 3/2

“Los números reales menores o iguales que

Otras veces debemos simbolizar expresiones tales como:

En símbolos,

<<

La cantidad x de ballenas que puede contabilizarse entreOctubre y Noviembre se halla entre 350 y 400

(55)

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 Atención

Los símbolos

∞  ∞

  devén ser considerados con especial cuidado, recomendado que se usan solamente por conveniencia de notación y nunca como números reales.

Estas definiciones se pueden generalizar, considerando a la recta y la semirrecta como intervalos, con introducir los símbolos

∞   ∞

 .

Ejemplos:

1)

Escribe como intervalo los conju ntos de números reales:

a)

 x  R/1 5

Solución:

Є/1≤≤5

Su representación como intervalo será:

[1 ; 5 ] Intervalo cerrado.

b)

 x R/2  x  3

Solución:

Є/2<≤3

Su representación como intervalo será:

<-2 ; 3

] Intervalo semi abierto

c)

 x R/ x  4

Solución:

Є/ <4

“x” es mayor o igual que 1

“x” menor o igual que 5

1 y 5 pertenecen al intervalo

“x” es mayor que-2 “x” menor o igual que 3

-2 no pertenece al intervalo y 3 sí pertenece al intervalo.

“x” es menor que 4

(56)

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d)

  x  R/ x 3

Solución:

Є/ ≥3

Su representación como intervalo será:

[3 ;

+∞

 >

Intervalo infinito

Los extremos inf initos siempre serán abiertos.

Si: 2x + 3  <-∞; -4] U [4; +∞> ¿A qué intervalo pertenece x?

Solución:

2x + 3  <-∞;-4] U [4; +∞> significa que: 2x + 3  <-∞;-4]2x + 3 [4; +∞> 2 x + 3 ≤ -4 2 x + 3 ≥ 4 2x ≤ -7 2 x ≥ 1 x ≤ - 7/2 x ≥ ½ Rpta: x <-∞; -7/2] U [1/2; +∞>

Representa en la recta real los siguientes i ntervalos (cada uno en una r ecta distinta):

a)

1;3

b)

 2;

c)

;2]

d)

1;1

Solución:

a)

1;3

b)

2;

c)

 ;2]

“x” es mayor o igual que 3

3 sí pertenece al conjunto.

-1 3

-2 + ∞

-∞ -2

(57)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.

INTERSECCIÓN (

):

Sean y conjuntos. Se define la intersección de y y se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen a y también a .

Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo 1:

Si:

y . Determine

Solución

Geométricamente podemos representar los conjuntos y de la manera siguiente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en y también en son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:

(58)

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Ejemplo 2:

Si y . Determine

Solución

Como podemos observar y no tienen elementos comunes por lo que:

UNIÓN (

):

Sean y y conjuntos. Se define la unión de y , se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos y Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo 1:

Si A=[-3,4] y B=[-1,7].Determine

Solución

Representaremos a y a geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en o en , son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:

(59)

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Ejemplo 2:

Si y . Determine

Solución:

Representaremos a y a geométricamente:

De aquí observamos que:

Geométricamente podemos representar así:

DIFERENCIA ( - ):

Sean y conjuntos. Se define la diferencia de y y se denota, al conjunto cuyos elementos pertenecen a y no a .

Ejemplo

(60)

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Solución

Representemos a y a geométricamente.

De aquí podemos observar que:

i.

(61)

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(62)
(63)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Introducción

a) Presentación y contextualización:

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Los contenidos de esta unidad llevan a que el alumno reflexione sobre los diversos conceptos dados y los refuerza mediante aplicaciones prácticas.

b) Competencia:

 Analiza y utiliza las leyes del algebra proposicional en la solución de problemas relacionados con la especialidad. Reconoce, utiliza, aplica y resuelve operaciones con matrices.

c) Capacidades

1. Reconoce y diferencia entre enunciado y proposición. Formula proposiciones simples y compuestas. Identifica y diferencia conectivos lógicos.

2. Diferencia jerárquicamente los conectivos lógicos. Reconoce que proposiciones representan una tautología, contradicción o contingencia haciendo uso de las tablas de verdad.

3. Realiza operaciones con matrices, propiedades.

4. Utiliza y aplica las leyes del algebra proposicional en la solución de problemas.

d) Actitudes:

Desarrolla una actitud emprendedora mediante la toma de iniciativas, promoción de actividades y toma de decisiones en relación a la actividad asignada.

Cumple con la presentación de los trabajos encomendados de manera individual y en equipo, respetando la iniciativa y aportes de los integrantes.

Actúa con responsabilidad personal, al cumplir con los horarios establecidos y el respeto a las normas de convivencia.

e) Presentación de ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

La Unidad de Aprendizaje 03: Lógica y Matrices comprende el desarrollo de los siguientes temas:

TEMA 01: Proposiciones y conectivos lógicos

TEMA 02: Jerarquías de conectivos lógicos, proposiciones sadasdsd tautológi cas y tablad de la verdad

(64)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

TEMA 1

Formula, reconoce y diferencia entre enunciado y

proposición. Formula proposiciones simples y

compuestas. Identifica y diferencia conectivos

lógicos.

ompetencia

Matrices

Lógica

(65)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Desarrollo

PROPOSICIONES Y ENUNCIADOS:

Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. El enunciado es una entidad pragmática mínima sujeta a factores  contextuales.

Puesto que un mismo acto de habla puede enunciarse o realizarse mediante oraciones ligeramente diferentes, no existe una conexión necesaria entre un enunciado y una oración que sirva para realizar dicho enunciado.

Ejemplos:

Dolly fue la primera oveja clonada

El átomo es una molécula

Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son

proposiciones: Las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones.

Toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda oración aseverativa es una proposición.

V

F

 de los Temas 

Tema 01: Clases de proposiciones y

conectivos lógicos

(66)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

NOTACIÓN

Las proposiciones se representan simbólicamente por letras minúsculas: p, q, r, s.

El valor de verdad de las proposiciones se denota con V (proposición)= V ó F. Ejemplos:

(67)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

CLASES DE PROPOSICIONES:

Proposiciones Simples o atómicas:

Carecen de conectivos (y, o,

si…entonces, si y solo sí) o del adverbio de negación.

Ejemplos:

Las proposiciones simples pueden clasificarse en predicativas y relacionales.

Las proposiciones simples predicativas contienen sujeto y predicado. Ejemplos:

Las proposiciones simples relacionales constan de dos o más sujetos vinculados entre sí. Ejemplos:

Proposiciones compuestas:

Las proposiciones compuestas o moleculares tienen

(68)

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones simples dadas, produciendo así otras llamadas proposiciones compuestas. Los conectivos lógicos más usados son:

CONECTIVOS LOGICOS:

Así como en álgebra las variables que representan cantidades pueden formar

expresiones más complejas mediante el uso de las operaciones básicas de aritmética y algunas funciones, en lógica podemos relacionar proposiciones mediante

(69)

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TEMA 2

Diferencia jerárquicamente los conectivos lógicos.

Reconoce que proposiciones representan una

tautología,

contradicción

o

contingencia

haciendo uso de las tablas de verdad.

ompetencia

ablas de verdad

Proposiciones

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JERARQUÍA DE CONECTORES:

La jerarquía de los conectores lógicos es el orden en el que se resolverá una expresión compuesta. Los paréntesis, ( ), son signos de puntuación que, se emplean para estructurar proposiciones compuestas complejas. Sin embargo, puede emplearse la siguiente convención, si se desea evitar el uso de

paréntesis en una proposición lógica compuesta:

Supondremos que, si una proposición lógica compuesta carece de paréntesis se, tomará en cuenta al modificador ¬ en primera prioridad, al conectivo

 en segunda prioridad, al conectivo

en tercera prioridad y finalmente a los conectivos → y ↔.

.

Combinando los operadores lógicos podemos formar nuevas expresiones. En términos formales la negación de p, deberá ser (¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p

q), etc. Con el uso de paréntesis evitamos la ambigüedad, por ejemplo ¬ p

 q podría significar dos cosas distintas. Por un lado podría significar: ((¬ p)

q) o también: (¬ (p

q)). En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquía sobre

,

, →, ↔. Así ¬ p

q significa ((¬p)

q). En algunos casos se considera

,

tienen mayor jerarquía que

↔ por lo que, p ↔ q

r sería (p ↔ (q

r)) y también que

tiene prioridad sobre

,

por lo que p

q

r, sería (p

 q)

 r.

p q r s (r^s) ¬q (r^s)^p (r^s) ^ p → ¬ q

V V V V V F V F

V V V F F F F V

Tema 02: Jerarquías de conectores

lógicos proposiciones tautológicas

tablas de verdad.

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PROPOSICIONES TAUTOLÓGICAS:

Son textos que provienen de un vocablo griego y que hace referencia a la repetición de un mismo pensamiento a través de distintas expresiones. Ejemplo:

“Voy a subir arriba a buscar un libro y vuelvo” o “Tengo que salir afuera"

Por lo tanto dichas aclaraciones carecen de sentido y resultan innecesarias para la comprensión.

entonces decimos que una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes.

Es cuando tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

Ejemplo: ~p v p

PROPOSICIONES CONTRADICTORIAS:

Se entiende por proposición contradictoria, a aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F, no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman.

Ejemplo: ~q ^ q

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CONTINGENCIAS:

Se entiende por verdad contingente o verdad de hecho, aquella proposición puede ser verdadera o falsa según las proposiciones que la integren (es una combinación entre tautología y contradicción). Es cuando se obtienen algunas proposiciones verdaderas y unas falsas para los valores de verdad de las variables proporcionales.

Ejemplo: p →q

TABLAS DE VERDAD:

Definimos una tabla de verdad como un arreglo que nos permite tener los posibles valores de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples.

Las tablas de verdad para los conectivos lógicos listados arriba son las siguientes:

Negación:

La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original. Es decir, si el valor de verdad de una proposición p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso.

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Disyunción:

La disyunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones,

p y q, mediante el conectivo V. Esta proposición compuesta se denota por p V q y se

lee p o q.

La tabla de verdad para el conectivo V está dada por:

Se puede ver que para que una proposición compuesta p V qtenga valor de verdad

verdadero, basta con una de las proposiciones simples tenga valor de verdad verdadero.

Conjunción

La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo

. Esta proposición compuesta se denota por p ∧ q y se lee p

y q.

La tabla de verdad para el conectivo

 está dada por:

Se puede ver que para que una proposición compuesta p

 q tenga valor de verdad verdadero, ambas proposiciones simples deben tener valor de verdad verdadero.

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Condicionante

La condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo →

.

Esta proposición compuesta de denota por p→ q  y se leep implica q.

En esta proposición compuesta, la proposición simple p se llama antecedente, mientras que la proposición simple q se llama consecuente.

La tabla de verdad para el conectivo → está dada por:

Bicondicionante

La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos

proposiciones, p y q, mediante el conectivo ↔ . Esta proposición compuesta se denota

porp ↔ q y se lee p si y solo si q.

La tabla de verdad para el conectivo p↔ q está dada por:

Se puede ver que la proposición compuesta p ↔ q tiene valor de verdad verdadero

siempre que las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición compuesta tiene valor de verdad falso.

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TEMA 3

Resuelve

operaciones

con

matrices,

propiedades.

ompetencia

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Definición:

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza, aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden “m x n” a

un conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m filas y en n  columnas. El

orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n  números

naturales.

Ejemplo

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Para denotar matrices, utilizaremos letras mayúsculas evitando la I y la O.

Tema 03: Tema 03: Matriz: Definición y clases

Operaciones con Matrices y

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CLASES:

Cuadradas:

Mismos números de filas que de columnas, al número de estas se le denomina orden. Ejemplo: orden 3.

Rectangulares:

Numero de filas y columnas diferentes, su dimensión es numero de filas x numero de columnas. Ejemplo: dim (C): 3x4

Matriz Fila:

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Matriz Columna:

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz Nula:

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz Triangular inferior:

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

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En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal:

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar:

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad:

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

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Matriz opuesta:

La opuesta de una matriz se obtiene cambiando los signos.

Matriz transpuesta:

La transpuesta de otra matriz se obtiene cambiando las filas por columnas.

Operaciones con matrices:

Suma de matrices

Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es

otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de los mat rices sumandos. Ejemplo:

Resta de matrices

Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la resta es

otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como la resta de los elementos colocados en el mismo lugar de los matrices sum andos. Ejemplo:

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Multiplicación por un número

Para multiplicar una matriz cualquiera por un número real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número.

Ejemplo:

Producto de matrices

El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa el lugar Cij se obtiene sumando los productos

parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna “j” de la segunda

matriz. Es decir, multiplicamos la primera fila por los elementos de la primera columna y el resultado será nuestro nuevo elemento. Para ello, el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el de filas de la segunda. Si no fuese así no podríamos realizar la operación.

Ejemplo:

Observamos como la matriz resultante tiene el número de filas de la primera y el de columnas de la segunda.

Debemos recordar, que las matrices no tienen la propiedad conmutativa.

En el caso de que se pudiera operar A.B y B.A el resultado por lo general puede ser diferente.

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