3.1. Integrales impropias de primera y segunda especie

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(1)

Integrales impropias.

Se debe a Cauchy la primera extensi´on de la integral para funciones definidas en un intervalo no acotado y para funciones no acotadas en los extremos del intervalo, es lo que conocemos en la actualidad como valor principal de Cauchy. La definici´on de integral impropia se debe a Riemann.

3.1.

Integrales impropias de primera y segunda especie

Definici´on 3.1.1. Sea f : [a, +∞) → R con f ∈ R[a, b] para todo b > a. Se llama integral impropia de primera especie de f en [a, +∞) al l´ımite l´ım

b→+∞

Z b

a

f (x) dx. Si existe el l´ımite y es finito, se dice que la integral impropia es convergente; en caso contrario se dice que la integral impropia es divergente. Si es convergente se escribe:

Z +∞ a f (x) dx = l´ım b→+∞ Z b a f (x)dx. Notas 3.1.2.

1) Si f tiene primitiva F en [a, +∞), entonces Z +∞ a f (x) dx = l´ım b→+∞[F (b) − F (a)] =  l´ım b→+∞F (b)  − F (a).

(2)

2) Si f : (−∞, b] → R con f ∈ R[a, b] para todo a < b, se define an´alogamente: Z b −∞ f (x) dx = l´ım a→−∞ Z b a f (x)dx.

Definici´on 3.1.3. Sea f : [a, b) → R con f ∈ R[a, c] para todo c ∈ (a, b). Se llama integral impropia de segunda especie de f en [a, b) al l´ımite l´ım

c→b−

Z c

a

f (x) dx. Si existe el l´ımite y es finito, se dice que la integral impropia es convergente, y su valor se denota por

Z b

a

f (x) dx. En caso contrario se dice que la integral impropia diverge. An´alogamente se procede si f est´a definida en (a, b].

No se exige en esta definici´on que f sea acotada. De ser as´ı, asign´andole a f un valor en b, comprobar´ıamos que es integrable en [a, b], que existe la integral impropia y que tienen el mismo valor.

Teorema 3.1.4. Sea I alg´un intervalo de la forma [a, +∞), (−∞, b], [a, b), (a, b] y f, g : I → R tales que Z I f (x) dx, Z I

g(x) dx convergen, entonces tambi´en convergen Z I (f (x) + g(x)) dx, Z I αg(x) dx, ∀α ∈ R y se verifica: Z I (f (x) + g(x)) dx = Z I f (x) dx + Z I g(x) dx, Z I αg(x) dx = α Z I g(x) dx.

Definici´on 3.1.5. Sea f : R → R con f ∈ R[a, b], ∀a, b ∈ R, (a < b). Decimos que Z +∞

−∞

f (x) dx converge si existe un a ∈ R tal que Z a −∞ f (x) dx e Z +∞ a f (x) dx convergen; en ese caso, Z +∞ −∞ f (x) dx = Z a −∞ f (x) dx + Z +∞ a f (x) dx.

Puede probarse que en la definici´on anterior el valor de a es irrelevante.

Definici´on 3.1.6. Sea f : R → R con f ∈ R[−a, a], ∀a ∈ R. Se llama valor principal de Cauchy de Z +∞ −∞ f (x) dx al l´ımite l´ım a→+∞ Z a −a f (x) dx.

Nota 3.1.7. Evidentemente no coinciden en general el valor principal de Cauchy con la integral impropia en todo R (tomar por ejemplo f (x) = x), pero si

Z +∞

−∞

f (x) dx converge, entonces existe el valor principal de Cauchy y ambos coinciden.

(3)

Definici´on 3.1.8. Sea f : (a, +∞) → R con l´ım

x→a+f (x) = ∞ y f ∈ R[b, c] ∀[b, c] ⊂

(a, +∞). Se dice que Z +∞

a

f (x) dx es convergente si existe un c > a tal que Z c

a

f (x) dx e Z +∞

c

f (x) dx convergen, en cuyo caso, Z +∞ a f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z +∞ c f (x) dx

A estas integrales se les llama integrales mixtas de primera y de segunda especie.

Es claro que pueden darse definiciones an´alogas para otros tipos de intervalos.

3.2.

Criterios de convergencia

Los resultados que vamos a exponer son v´alidos tanto para integrales impropias de primera especie como de segunda especie, por lo que los enunciaremos s´olo para las de primera especie.

Teorema 3.2.1. Sea la funci´on f : [a, +∞) → R con f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, +∞) y f ∈ R[a, b], ∀b ∈ R, (b > a). Entonces

Z +∞

a

f (x) dx converge si y s´olo si existe M > 0 tal que

Z b

a

f (x)dx ≤ M, ∀b ≥ a.

Teorema 3.2.2 (Criterio de comparaci´on). Sean las funciones f, g : [a, +∞) → R, tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, +∞) con f, g ∈ R[a, b], ∀b > a. Se verifica:

Si Z +∞ a g(x) dx converge, entonces Z +∞ a f (x) dx converge y es Z +∞ a f (x) dx ≤ Z +∞ a g(x) dx. Si Z +∞ a f (x) dx diverge, entonces Z +∞ a g(x) dx diverge.

Teorema 3.2.3 (Criterio de comparaci´on por paso al l´ımite). Sean las funciones f, g : [a, +∞) → R, tales que f (x) ≥ 0, g(x) > 0 ∀x ∈ [a, +∞) con f, g ∈ R[a, b], ∀b > a y

l´ım

x→+∞

f (x)

(4)

Si 0 < λ < +∞, las integrales Z +∞ a f (x) dx e Z +∞ a g(x) dx tienen el mismo car´acter. Si λ = 0, la convergencia Z +∞ a g(x) dx implica la convergencia de Z +∞ a f (x) dx. Si λ = +∞, la convergencia Z +∞ a f (x) dx implica la convergencia de Z +∞ a g(x) dx.

Estos criterios de comparaci´on necesitan del conocimiento del car´acter de alguna inte-gral impropia que sirva de test. Habitualmente utilizaremos las inteinte-grales:

Z +∞ a 1 xαdx (a > 0) que converge si α > 1. Z a 0 1 xαdx (a > 0) que converge si α < 1. Teorema 3.2.4.

1) Sea f : [a, +∞) → R integrable Riemann en [a, b], ∀b ≥ a. Se verifica: • Si existe p > 1 tal que l´ım

x→+∞x pf (x) = λ con 0 ≤ λ < +∞, entonces Z +∞ a f (x) dx converge.

• Si existe p ≤ 1 tal que l´ım

x→+∞x pf (x) = λ con 0 < λ ≤ +∞, entonces Z +∞ a f (x) dx diverge.

2) Sea f : (0, b] → R integrable Riemann en [a, b], ∀a ∈ (0, b). Se verifica: • Si existe p < 1 tal que l´ım

x→0+x pf (x) = λ con 0 ≤ λ < +∞, entonces Z b 0 f (x) dx converge.

• Si existe p ≥ 1 tal que l´ım

x→0+x pf (x) = λ con 0 < λ ≤ +∞, entonces Z b 0 f (x) dx diverge.

3.3.

Convergencia absoluta.

Cuando el signo del integrando no es constante, es m´as complicado estudiar la conver-gencia de la integral impropia. Por analog´ıa con series num´ericas, estudiamos la conver-gencia absoluta y condicional de estas integrales.

(5)

Definici´on 3.3.1. Sea f : [a, +∞) → R. Se dice que la integral Z +∞ a f (x)dx es absolu-tamente convergente si Z +∞ a |f (x)|dx es convergente. Definici´on 3.3.2. Si Z +∞ a f (x)dx es convergente pero Z +∞ a |f (x)|dx es divergente, se dice que la integral impropia es condicionalmente convergente.

An´alogamente se definen los conceptos anteriores para las integrales impropias de se-gunda especie.

Teorema 3.3.3. Si Z +∞

a

f (x)dx converge absolutamente, entonces Z +∞

a

f (x)dx es con-vergente.

Nota 3.3.4. El rec´ıproco del teorema anterior no es cierto, pues se puede probar que Z +∞

1

x−psen x dx converge si p > 0. Pero es absolutamente convergente si p > 1 y la con-vergencia es condicional para 0 < p ≤ 1, ya que en este caso, la integral

Z +∞

1

x−p| sen x| dx diverge.

3.4.

Las funciones Gamma y Beta.

Definici´on 3.4.1. Se llama funci´on gamma de Euler a la funci´on Γ : (0, +∞) → R dada por

Γ(x) = Z +∞

0

e−ttx−1dt.

Nota 3.4.2. Esta definici´on tiene sentido, pues si consideramos la integral impropia Z +∞ 0 e−xxp−1dx = Z 1 0 e−xxp−1dx + Z +∞ 1 e−xxp−1dx tenemos que, aplicando los criterios de convergencia anteriores,

Z +∞

1

(6)

y Z 1 0 e−xxp−1dt converge ∀p > 0. Por tanto, Z +∞ 0 e−xxp−1dx converge ∀p > 0. Proposici´on 3.4.3. 1) Γ(1) = 1. 2) ∀x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x). 3) ∀n ∈ N, Γ(n) = (n − 1)!.

Definici´on 3.4.4. Se llama funci´on beta de Euler a la aplicaci´on B : (0, +∞) × (0, +∞) → R dada por

B(x, y) = Z 1

0

tx−1(1 − t)y−1dt. Vemos que esta definici´on tiene sentido probando el siguiente:

Teorema 3.4.5. Si x, y > 0, la integral impropia Z 1 0 tx−1(1 − t)y−1dt es convergente. Proposici´on 3.4.6. Se verifica: B(x, y) = B(y, x). B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y).

Como aplicaci´on directa de esta ´ultima igualdad, y teniendo presente que Z +∞ 0 e−x2dx = 1 2Γ  1 2 

, podemos deducir el valor de la integral de Gauss Z +∞

−∞

e−x2dx =√π, tan im-portante, entre otras cosas, para el C´alculo de Probabilidades.

(7)

3.5.

Ejercicios propuestos

1.- Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias, y calcular el valor de las convergentes: Z +∞ 0 e−xdx. (a) Z +∞ 1 1 xαdx. (b) Z 1 0 1 xαdx. (c) Z 1 0 x2log xdx. (d) Z 1 0 dx x√1 − x2. (e) Z 1 0 x (1 − x2)2dx (f) Z 1 0 x (1 − x2)1/2 dx (g) Z +∞ 0 e−xsen xdx. (h) Z +∞ 1 dx √ xdx (i) Z +∞ −∞ dx ex+ e−x (j) Z 2 −2 dx √ 4 − x2 (k) Z 6 −∞ dx (4 − x)2dx (l) Z 1 0 log xdx. (m) Z +∞ −∞ xe−x2dx. (n) Z 1 0 x log xdx. (˜n) Z +∞ −∞ dx 1 + 4x2. (o) Z 0 −∞ xexdx. (p) Z +∞ 0 x3exdx. (q)

2.- Para cada n ∈ N calcula, si es posible, In=

Z +∞

0

xne−xdx. 3.- Encuentra los valores de a, b ∈ R para los que

Z +∞ 1  2x2+ bx + a x(2x + a) − 1  dx = 1

4.- Hallar el ´area entre la curva y2= x

2

1 − x2 y sus as´ıntotas.

5.- Hallar el ´area de la regi´on de plano limitada por la curva yx = 1 , y las rectas x = 1 e y = 0

(a)

Calcular el volumen engendrado por la regi´on anterior al girar alrededor del eje de abscisas.

(b)

6.- Halla el ´area de la regi´on del plano limitada por la curva y = a

3

x2+ a2 y su as´ıntota.

7.- Calcula el ´area encerrada por la curva y = arctan x, el eje OY y sus as´ıntotas hori-zontales.

(8)

8.- Halla el ´area comprendida entre la curva y2(a + x) = x2(a − x) (a > 0) y su as´ıntota.

9.- Sea R la regi´on del plano limitada por la curva x2y2+ x2− y2= 0 y sus as´ıntotaa. Se

pide:

(a) ´Area de R.

(b) Volumen del s´olido generado al girar R alrededor del eje OX. (c) Volumen del s´olido generado al girar R alrededor del eje OY . 10.- Consideremos la curva de Agnesi y = a

3

x2+ a2 (a > 0). Se pide:

(a) ´Area comprendida entre la curva y el eje de abscisas.

(b) Volumen engendrado por la regi´on anterior al girar alrededor del eje OX. 11.- Calcula los siguientes l´ımites, justificando, si es necesario, el uso de la Regla de

L’Hˆopital: l´ım x→∞ 1 √ 1 + x2 Z x 0 (arctan x)2dx (a) l´ım x→∞ Z x 0 et2dt 2 Z x 0 e2t2dt (b)

12.- Estudia la convergencia de las siguientes integrales impropias: (p ∈ R) Z +∞ 1 log x x2 dx (a) Z +∞ 0 arctan x xp(1 + x2)dx (b) Z 1 0 log x (1 − x)pdx (c) Z +∞ 0 xp (1 + p2)xdx (d) Z π/2 0 1 − cos x xp dx (e) Z 1 0 √ 1 − x xpln x dx (f)

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