Congruencia de triángulos

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Congruencia de triángulos

Muy importante:

Al finalizar la sección 1-2 asegúrate que hayas adquirido las siguientes competencias o conocimientos:  Saber los criterios de congruencia para triángulos.

 Saber demostrar la congruencia de dos triángulos.  Saber aspectos angulares de los triángulos.

 Saber demostrar la congruencia de dos cuadriláteros  Saber reconocer y utilizar propiedades de los cuadriláteros

Cada vez que estés seguro de que manejas alguna sección, márcala con una palomita para que tú mismo lleves el control de tu avance.

Ingeniería y construcción Los puentes son estructuras diseñadas para soportar enormes cantidades de peso, a la vez, deben tener la suficiente resistencia para enfrentar los embates del viento y otros fenómenos como los temblores y la dilatación térmica.

¿Cómo le hacen los arquitectos e

ingenieros para dotar a tales estructuras

de tan singulares características? Sin duda, el conocimiento de las propiedades de las figuras geométricas tiene mucho que ver en esto.

ACTIVIDAD 1.2.1 Estudiando la rigidez de los polígonos.

Fecha: ____________

MATERIALES (POR EQUIPO): 30 tiras de papel cascarón de 2 x 15 cm, 2 tiras de papel cascarón de 2 x 40 cm, tachuelas pequeñas.

Reúne los materiales, sigue las instrucciones y contesta las preguntas.

PROCEDIMIENTO:

1. Utilizar las tachuelas para unir los extremos de las tiras de 2 x 15cm y construir los siguientes polígonos:

a) un triángulo con tres tiras. b) un cuadrilátero con cuatro tiras. c) un pentágono.

d) un hexágono.

¿Cuál de todas las figuras resultó resistente a la deformación? __________________________ Qué vas a aprender:

 Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de las propiedades de los cuadriláteros Por qué es importante:  El conocimiento sobre las propiedades de las figuras tiene muchas aplicaciones en la industria de la construcción y el diseño

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¿Qué harías con los demás polígonos para dotarlos de resistencia a la deformación? Hazlo con los polígonos que construiste con tu equipo._______________________________________ _______________________________________________________________________________

Redacta un texto que argumente si existe o no otro polígono indeformable que no sea el triángulo. ______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Considera los diseños de polígonos indeformables de otros equipos. En el caso de buscar ahorrar material (tiras de papel cascarón), ¿cuáles son los diseños óptimos?. Incluye dibujos.

Observa la fotografía del puente de la página anterior. Busca cómo se aplicó en la estructura la rigidez del triángulo en todas las secciones del puente y describe en las siguientes líneas lo que encuentres. _________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Piensa en cinco aplicaciones que darías a la rigidez del triángulo, dibújalas o describe detalladamente.

ACTIVIDAD 1.2.2 Estudiando la congruencia de los triángulos. Fecha: ____________

Congruencia de La producción de automóviles en serie triángulos comenzó en 1913 cuando Henry Ford, en los Estados Unidos de Norteamérica, montó una línea de ensamblaje para tal fin. Al producir en grandes cantidades se requiere que cada pieza sea intercambiable, haciéndose posible así tanto el montaje original como las reparaciones posteriores; entonces, las piezas deben tener la misma forma y el mismo tamaño. Cada pieza es una copia exacta de la otra.

Recuerda que cuando dos o más figuras tienen la misma forma y el mismo tamaño se dice que son congruentes.

Como el triángulo es de todos los polígonos la figura más simple, es inteligente comenzar el estudio de la congruencia de los polígonos comprendiendo la congruencia de los triángulos.

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Considera que el ABC es congruente al PQR ( ABC PQR), esto nos lleva a las siguientes conclusiones:

Dos triángulos son congruentes sí y solo si tienen todas sus partes correspondientes congruentes.

Según el curso de matemáticas anterior, dos o más triángulos son congruentes si cumplen con algunas características que denominamos “criterios de congruencia de triángulos”. Los criterios encontrados fueron los siguientes:

 Criterio “lll”. Dos o más triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

 Criterio “lal”. Dos o más triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes.

 Criterio “ala”. Dos o más triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado comprendido entre ellos respectivamente congruentes.

Estos criterios ofrecen mucha ventaja al momento de dibujar o considerar dos triángulos congruentes, pues nos muestran que no es necesario copiar todos los lados y los ángulos para el “clon” de un triángulo. Observa que bajo el criterio “lll” con copiar los tres lados del triángulo es suficiente, para “lal“ con reproducir dos lados y el ángulo que está entre ellos es suficiente. Finalmente, con “ala“, al copiar dos ángulos y el lado ubicado entre ellos se logra la congruencia.

Tomando en cuenta los criterios de congruencia de triángulos, usa compás y regla para reproducir el triángulo ABC. (Uno por cada criterio)

ACTIVIDAD 1.2.3 Estudiando cómo hacer demostraciones geométricas. Fecha: ____________

Una demostración geométrica consiste en combinar argumentos de manera lógica y ordenada, basados en propiedades geométricas y de la matemática en general, con el fin de validar o rechazar propuestas o cuestiones geométricas. Una demostración satisface rigurosamente cualquier cuestionamiento relacionado y no deja lugar para dudar del resultado.

AB PQ BC QR AC PR A P B Q C R      

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Los elementos necesarios para realizar una demostración geométrica son:

1. Los datos. Estos son indispensables para la comprensión de un problema. En algunos estudios los datos aparecen con el nombre de “hipótesis” y se da por hecho que son elementos válidos y utilizables en la demostración.

2. El problema. También llamado “tesis”, es el enunciado que contiene lo que se va a demostrar y se entiende que al final, la demostración confirma o invalida este enunciado.

3. La figura. Es un esbozo o representación inexacta de la situación. Se realiza para orientar el pensamiento y organizar las ideas, en ningún caso se realizan mediciones sobre ella ya que en las demostraciones se descarta el uso de instrumentos de medición y del “porque así se ve”.

4. Razonamiento. El razonamiento incluye los argumentos utilizados para validar o rechazar el problema. Esta sección se divide en dos categorías paralelas: a) afirmaciones y b) razones. Afirmar algo requiere a la vez del por qué de tal afirmación, es aquí donde con lógica e inteligencia se recurre a la argumentación de las propiedades geométricas de las figuras y de los “axiomas” reconocidos como verdades indiscutibles.

5. La conclusión. Es la validación o la negación de la “tesis” y es la última parte de la demostración.

Proceder con lógica en una demostración es una tarea que requiere tomar las debidas precauciones, incluso, ante lo que parece lógico.

Analiza algunos casos que no necesariamente son demostraciones geométricas, pero que requieren cierto razonamiento para llegar a una conclusión correcta. (Responde donde sea necesario).

Dato 1: Las aves poseen alas.

Dato 2: El águila es un ave.

Conclusión: Por lo tanto el águila tiene alas.

Dato 1: Las aves poseen alas.

Dato 2: La abeja posee alas.

Conclusión: Entonces la abeja es ave

Esta conclusión es incorrecta porque una abeja puede poseer alas sin tener que ser ave.

Dato 1: A es igual a B

Dato 2: B es igual a C

Conclusión: Entonces A es igual a C (Propiedad transitiva)

Dato 1: Cuando llueve se inundan las calles de la ciudad.

Dato 2: Las calles de la ciudad hoy están inundadas.

Conclusión errónea: ____________________

Hay varias razones por las que se pueden inundar las calles.

Dato 1: Los cuadriláteros tienen cuatro lados

Dato 2: Los trapecios tienen cuatro lados.

Conclusión correcta: _______________

___________________________

Dato 1: Todo rectángulo es cuadrilátero.

Dato 2: El trapezoide es cuadrilátero.

Conclusión errónea: ____________________

El trapezoide no cumple con todas las características de un rectángulo.

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Ejemplos de demostraciones geométricas:

Ejemplo 1. Demostrar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 1800_.

Datos: , ,

A B C son ángulos interiores del triángulo ABC.

CM es paralelo a AB CNes prolongación de AC Tesis: 0 180 A B C   RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES

1. AMCN 1. Son ángulos correspondientes 2. BBCM 2. Son ángulos alternos internos

3. 0

180

MCNBCM C 3. Forman un ángulo llano (ángulos colineales)

4.  0

180

A B C   4. Por sustitución de las afirmaciones 1 y 2 en 3

En esta demostración se recurrió a ordenar las afirmaciones razonadas para utilizar la pauta provista por la propiedad de sustitución. Esta propiedad argumenta que toda cantidad en una expresión o igualdad, puede ser sustituida por su equivalente sin alterar el valor de la expresión. Puede notarse que se dispone de una ventaja singular al utilizar axiomas cuya propuesta es indiscutible.

Al efectuar una demostración, necesitarás primero seleccionar la funcionalidad de algún determinado axioma o propiedad. A continuación, el trabajo consistirá en la ordenación de elementos que estén entremezclados con el problema y los datos, para satisfacer los requerimientos del axioma.

Ejemplo 2. Demostrar que un ángulo exterior de cualquier triángulo equivale a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

Datos:

TSU es ángulo exterior del triángulo RST. , ,

R S T son ángulos interiores del triángulo RST SUes prolongación de RS Tesis: TSU  R T RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 0 180

R S T   1. Teorema de la suma de ángulos interiores de cualquier triángulo

2. 0

180

S TSU  2. Por formar un ángulo llano

3. R   S T S TSU 3. Por propiedad transitiva entre las afirmaciones 1 y 2 4. R T TSU 4. Por propiedad cancelativa en la afirmación 3

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Ejemplo 3. Demostrar que ABO DCO

DATOS: TESIS:

Círculo con centro en O ABO DCO ABCD

RAZONAMIENTO

AFIRMACIONES RAZONES

1. AOCO 1.Son radios en un mismo círculo 2. ABCD 2. Es un dato

3. BODO 3. Son radios en un mismo círculo

4.  ABO DCO 4. Criterio lllde congruencia de triángulos

Ejemplo 4. Demostrar que ABC DCB DATOS: BCO es isósceles ACBD TESIS: ABC DCB RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES

1. ACBD 1. Es dato del problema

2. ACBDBC 2. Propiedad del triángulo isósceles

3. BCes lado común 3. Por construcción

4.  ABC DCB 4. Criterio lalde congruencia de triángulos

Ejemplo 5. Demostrar que BAD DCB

DATOS: AB CD y AD BC TESIS: BAD DCB RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES

1. ADBCBD 1. Son ángulos alternos internos 2. BDes lado común 2. Por construcción

3. ABDCDB 3. Son ángulos alternos internos

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ACTIVIDAD 1.2.4 Trabajando con demostraciones.

Fecha: ____________

Procede conforme a la instrucción.

1. Paco juega a las adivinanzas con Jorge. Paco le dice a Jorge que ha dibujado un cuadrilátero, ¿con esta información puede estar seguro Jorge que se trata de un cuadrado? ______. Justifica tu repuesta a través de dibujo y un texto.

DIBUJO TEXTO

2. Explica si la figura de la derecha muestra en orden los elementos para reconocer el criterio lal

3. Existen tres criterios aceptados comúnmente para saber si dos triángulos son congruentes (

lll,lal,ala). Describe lo que significarían los casos expuestos en la tabla y explica si serían funcionales para poder determinar si dos triángulos son congruentes.

aaa lla all laa aal

4. Demostrar que ABC DEC

DATOS: ACCD y BCCE TESIS: ABC DEC RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.

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5. Demostrar que ACD BCD

DATOS:

ABC es isósceles y CDes bisectriz del C TESIS: ACD BCD RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.

6. Demostrar que MNO PQO

DATOS: MNMP, PQMP y M0PO TESIS: MNO PQO RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.

7. Demostrar que ABC CDE

8. ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo ACE y el área

del hexágono regular ABCDEF? _____________. Explica tu respuesta. DATOS:

ABCDEF es un hexágono regular

TESIS: ABC CDE RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.

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9. Demostrar que dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes sus catetos.

10. Toma en cuenta las siguientes definiciones.

a) paralelogramo: cuadrilátero con dos pares de lados opuestos paralelos. b) trapecio: cuadrilátero con un solo par de lados opuestos paralelos. c) trapezoide: cuadrilátero con ningún par de lados opuestos paralelos.

Dibuja en los casilleros respectivos los diferentes tipos de cuadriláteros que se ajusten a cada definición. Incluye el nombre de cada cuadrilátero.

PARALELOGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDE

11. Demuestra que los ángulos opuestos dentro de un paralelogramo son congruentes.

DATOS: ABCD es un paralelogramo TESIS: AC RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. DATOS: 0 90 C , 0 90 F , ACDF y BCEF TESIS: ______________________ RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4.

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12. Demostrar que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes respectivamente.

DATOS: ABCD es un paralelogramo TESIS: AB______ y AD______ RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.

13. Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan a la mitad (se bisecan mutuamente).

DATOS: ABCD es un paralelogramo TESIS: AO______ y BO______ RAZONAMIENTO AFIRMACIONES RAZONES 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.

14. Dibuja y nombra el cuadrilátero que cumple con las siguientes condiciones: “sus diagonales son perpendiculares y congruentes y se bisecan mutuamente”.

15. Con base en la información que ofrece la siguiente figura calcula las medidas que se piden.



BCD =______



DAB=______



ABC = ______



CDA = _______



CBD = ______



DBA = _______

Las medidas de AC y BD suman 60 cm. Si AM mide 3/10 de dicha suma , calcula:

AM = ___________ DM=___________ CM=___________ BM=____________ AC=____________ BD=___________ A B C D M 57o 6

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o

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Si CD mide el triple de AD, y el perímetro de ABCD es de 80 cm, calcula la longitud de los 4 lados del paralelogramo.

AB = ____________ CD = ____________ AD = ____________ BC = ____________

16. Encuentra el valor de los ángulos internos del paralelogramo. Incluye procedimiento.

______

M  _, N ______ _, P______ _, Q______

17. ABC es un triángulo, encuentra el valor de cada ángulo requerido. Incluye procedimiento.

______ B _, C_______, BCD______ CORRIGIÓ: _____________________ CALIFICACIÓN=# 10 _____ 17 aciertos  