Y APROBADAPOREL SIGUIENTE COMITE
Dr.Joa buin Alvarez Gallegos
Director del Comité
=
Ch
Dr. Enrique Gémez Treviiio
Miembro del Comité
mm,K
Medes
: at a
—-Dr. Francisco Javier IMendieta Jiménez Miembro del Comité
qi “7
XG. Z LCE AN CZz eX,
Dr.José Luis Medina Monroy
Jefe delDepartamento de ElectrénicayTelecomunicaciones
(Dra. Ma. Luisa Argote Espinoza
Director de Estudios de Posgrado
DIVISION FISICA APLICADA
DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES.
SINCRONIZACION EN SISTEMAS CON DINAMICA CAOTICA.
TESIS
que como requisito parcial para obtener el grado de MAESTROEN CIENCIASpresenta:
LUIS ENRIQUE CASTANEDAAVILA.
1996.
SINCRONIZACION EN SISTEMAS CON DINAMICA
CAOTICA
Resumen aprobadopor:
Dr. Joaquin Alvarez Gallegos
Director de tesis
En el presente trabajo se trata el problemade sincronizaciénensistemas con dindmica cadtica a través de dos configuraciones, la sincronizacién por acoplamiento y la sin-cronizacién empleando un observador. Para esto se define la dindmica del error, que equivale a la diferencia entre los estados de los dos sistemas que se pretendesincronizar. Una vez hecho esto, el problema de la sincronizacién es tratado como un problema de
estabilidad del origen en el espacio deerror.
Se consideran tanto el caso ideal como el no ideal. En el primero los pardmetros del sistema manipulador y del sistema manipulado son idénticos. Porel contrario, en el caso no ideal existen diferencias en los pardmetros de dichos sistemas y en este
caso se trata de analizar la robustez de la sincronizacién ante la variacidn paramétrica.
El andlisis hecho se basa fundamentalmente en la teorfa de Lyapunov para sistemas
perturbados.SYNCHRONIZATION IN SYSTEMS WHIT CHAOTIC
DYNAMICS
Abstract approved by:
Dr. Joaquin Alvarez Gallegos
Thesis advisor
In this document we study the synchronization problem in chaotic systems, using two techniques the synchronization in two coupled systems and the synchronization using an observer. In order to search our goal, we define a dynamic equation system
that describes the error between the states of the systems to be synchronized. Then the
synchronization problem is treated as the stability problem of the origin in the error coordinates.We study the ideal case and the non ideal case. In thefirst one the parameters of the master system and those of the slave system are identical. On the other hand, we have that in the non ideal case there are differences in the parameter values of the two systems, and in this case weare interesting in the synchronization robustness against parametric uncertainty. We have used the Lyapunov theory for perturbed systems extensively in our analysis.
A mis padres
Marta del Refugio y a José Salvador,
quienes me han dado una formacion,
un gran apoyo incondicional
y lo mas importante... la vida.
A mis hermanas:
Romelia y Alma Rosa, quienes han influido
A mipadre, José Salvador,por su esfuerzo realizado para darnos una formacién a todos y cada unode sushijos.
A mi madre, Marfa del Refugio,porel afecto y
apoyo incondicional que siempre me ha brindado.
A mis doce hermanos, en especial a Graciela por habermeprestado la mdquina en la cual fue escrito este documento. Asf mismole agradezco a Salvador el haberme
apoyado en los momentos en que més lo necesité.
A todos mis compaiieros del DEyT quienes de diversas maneras me impulsaron para dar un paso mas en mivida.
En especial a Ricardo Alvarez y a Nieves Sierra.
A todas aquellas personas que han creido en mi y que de maneraincondicional me han ayudado
en los momentos masdificiles.
Al Dr. Joaquin Alvarez, por la orientacién que me brindé en el transcurso de la tesis y por su ejemplo al mostrarme
que el orden mas que un habito es una necesidad.
A los miembros de mi comité de tesis Dr. Fco. Javier Mendieta, Dr. Enrique Gomez y Dr. Joaquin Alvarez, por
los consejos y sugerencias que me proporcionaron.
A todos los trabajadores del CICESE incluyendo
el personal técnico, administrativo, intendente y académico. En especial
al Dr. Enrique Mitraniy al Ing. René Torres.
A todos los mexicanos,
quienes con su esfuerzo diario, hicieron posible que CONACyT mediera el soporte econémico
II
Pagina
INTRODUCCION
1
I Aarbemetentes. cass waa ood 8 Mai CRN FORE WWle } HOT WHI HIG O HEE G HOW H Hee Hale Har Wem 1
12 Objetivos:. isa cos a waa pase 9 ses Hee eos HUY es He eee Ores a BHA EE ecw HME HK « 9 13 Estructura del documento 6... ccc cccceesens cece neee nes eeeeeeeeeneeneeeoens 9
CONCEPTOS BASICOS DE SISTEMAS DINAMICOS 12
Il Introduccion: « «vei siie ¢ BSS ¥ Sills He TORR BOOS BOS THTG HES Tw Ore 6 WET HS EES Brae 12
IL.2 Sishemséd GinAiiGn a. «ves oven ware gan weve wine ecw were waece Kew w Ko eo mee EoR 12
IL3 Sistemas auténomoscontinuos en el tiempo ... cece eee ee eee ee eee eeees 12 I.4 Sistemas no auténomos continuos en el tiempO .... 6... cece cece eee eens 13 IL5 Sistemas GiISGKStGS: gan % gee & He var vers Hagen Hi & seo % scOIE LEO ei wee » dine wieReDe © esEM 14 IL6 EBpaGio dé GatadGs oie cscs sconce cases ecere oases eiece 6 esac e ties ease quests cece 8 fie Race 8 eels 15
IL.7 Conjpanbos) Hite... 6 coe cna « ecem ecm cis n nine meow a ead § OE FMTRG ROWE BAD | WA A HWS ¥ BO 16
IL7.1 Puntos de equilibrio ¢ ag ca5 ¢ avg eae oes 5 tes Hea DERG Bem ¥ con HawG s oan 17
11.7.2 Soliicionés peri6dicds oie cies cis cece cain 6 ce cai eel Cede ee ene eee 17
IL10: ‘Método:directo: de Lyapunov vais s sas aioe wicie & yes woes weed Bem & Hae | Hae Hae Heres o 25
1110.1 Funcionés dé Lyapunov a seis cess as & cee case 105 + ees 0 vote crews were 26 IL.10.2 Teoremas para puntos de equilibrio... 1... cece eet aee 26 I1.10.3 Existencia de las funciones de Lyapunov ...0. ee eesenee eee eens 28 T11. ‘Sistemas:pertiirbados isc ¢ ive ves a gos s vile Ham & wes | Ewa 6 Hes WETS HOTT BEM v Howe & OO 29 TL.11.1 Anélisis con perturbaciones desvanecientes ... 0. cece eee eens 30 T1.11.2 Pertubaciones no desvanecientes 1.6.1... .c cece ee ee eee en eee een eens OL
11.12 “Disefio con. observadores's & sas (eau news ven news ae ¥ Gay 7 maw 6 ero eco wn © mes © ener 8 33
EL OSCILADOR DE CHUA 36
TIL1 TRtPOCGEGION 5 ears suis cone anes 8 e:0e renee come © nine anes a cin a mune # one 4 euid weld GOR KRW 36
TIL Aribeoeddertiety waco coer cco ene e ree conn ene a wee 8a) o EON OOS 7 EE § ROW HOSS Bos OS 36
T1038 ‘Heuaciones:del OG .. 65 sss sais 9 awa seiow wan @ as o6e & Hwy ¥ HGS ¥ Gem FRI aPeW Has 6 sm 37
IIl.4 Modelo Midtemathen sc eaves sae & wrens ecacare wee 6 wvise wise wines 6 Were mone 6 wise woes Mine '® EoD 8 38 TIL5 Modelo experimental... .. 0... cece eect eect e tne e eee ee ene eee enna 40 T1.5.1 Escalamiento‘en tiempos sas ojos 00% ose 5 vies die & ows F Kai & cid HEE HOw 42 TII.5.2 Escalamiento en amplitud... aus eee MRO HAND Ne We nae & eH eAKOE s8lOINE 43 T1L.6 Conjuntos limite, bifurcaciones y rutas al Ca0S... cc cece eee eee e eee eeeee 45
16.1 BiRiiCaciones on & iain was x oo% Kose Kes a ees VEwE HOwS BOSS HER B RWS Hawa Howe 45
TII.6.2 BiUbas a) CAGE: ss as cas & eae b4g9 oa 4 ee Bee Kanes REE HER 8 GON Hace won 48
IV SINCRONIZACION POR ACOPLAMIENTO: ESTABILIDAD Y
ROBUSTEZ 61
Iv.1 THtroduteion: ysis sees cas a xng says © yea wees wire 6 em © ows Hua Hater 8 Be SOOKE ODED NRE 61
IV.2 Sincronizacién en sistemas con dindmica cadtica mediante el acoplamiento de
Iv.4
IV.5
sistema esclavo Con SisteMA AMO... . se eee eee eect e eee e eee eens 62
IV.2.1 Sistema afin con respectO @W vescece cece cece een nee ee eee eeneeees 64
Sincronizacién por acoplamiento en el OC (caso ideal). ... 00. cece c eee eee 65 IV.3.1 Caso ideal 1 (U =a). eee c cece eee eect e cence ete e ene e tenes 66
IV.3.2
Caso ideal 2 (UY) .ecccceceeeee eee eneee eats eee ee eee eneesennens 67
1V.3.3 Caso ideal 3 (U = 2) )o% owe ness eau § wen ¥ ps tiem + oer vows wet cores wen oe 68 1V.3.4 Caso ideal 4 (uv = [a y]7) ... cece cece cence eee etn enn een ee 69
V.3.5 Casosideal 5 (v = [2iz]”00 eee nee esis a soe 0% 6 ONG FES Esinie Seles wR E 70 1V.3.6 Caso tdéal 6 (@ = [95.2]7Jos cara wais a ror soy cts ¢ ean x eee eee ews Has ae 70
Sincronizacionen el oscilador de Chua (caso no ideal) ... 00. cece eee ee eee 71 IvV.4.1 Caso no ideal 1 (U= 2)... c ec ccc cee cet e cence eee ete n ene ee 72 IV.4.2 Caso no ideal 4 (v= [zy]7) 0.0... cece cece seen eee cece ee ennnennees 75
Validacién numérica de la estabilidad y robustez de la sincronizaci6én ... 77
1V.5.2.2
Caso no ideal 4 (u = [2,y]7) 6... ee eee cece eee 85
IV.6 Validacién experimental de la robustez en la sincronfa para el caso no ideal 1... 87IvVas GOTEIUSIONES so esse com « wince oven o ecaee nrein sien © sone 8 egese some a ena § TRG | SHE LOWS Cee a 87
SINCRONIZACION EMPLEANDO UN OBSERVADOR: ESTABILIDAD
Y ROBUSTEZ 91
Vi TREFOAUGSIOR 5 crore savin ssa x one secs 4 seen were eine mance esgen matiin ® eiece © nieace, eanse » iden HGTES E 91
V.2 Estabilidad y robustez de la sincronizacién empleando observador...065 91
V.2.1 Caso ideal (andlisis de estabilidad) ... 0.0. cece eee e cence eee e aes 92
V2.2 Caso noideal (andlisis de la robustez ante variaciones paramétricas) ... 94
V3 SincronizacioOn en el OC wc ccc ccc sec eee none nne rene ene nese enone entenennenes 96
V8.1 Gasoideal 1 (@ 1)... cos. ba.8 ia9.a HOR § aia Ba a Laws Seige Be; tows ¥ uA 97
V.3.2 Caso ideal 2 (0 Sa) ies ae. & sin naws wees» way ane ¥ Gos ersvere wens sims x sue s 99
V.3.3 Caso ideal 3 (U = 23)... esc c cece cece eee n een entre een eee en ene 99 VA Sincronizacién en el OC (caso no ideal), 66... cece cece e eee eee eee e nee 100 VAL Case totideal 1. (= 36)) as «eos vows wees wes ¢ wwe 6 aes one's wees wees owe 100
V.4.2 Caso no ideal 2 (UV = 2) vice c eee e teen teen eee e eee e nen e ne 102
V4.3 Caso no ideal 3 (U= 23) oc i cece cect eee eee ene n eee e enn e eens 103
V5 WalidactOnmamGrhea, « cncns were nen eee mins buh baled HON § DONE ROD Weld KOR HOwH Hod 103
V.5.1 T2880 10GB) sas goes vas eae's Hes 8 eas See Kes § OE BES oem eee eee HEN 104
VibL1 Cage ideal sis sis tones ene acne mace 6 wer & pone 6 are tone Bonce 104
V.5.2.1 Caan fo ideal 1. os soa9 waa a wer hae cess cmon 104 & ren 6 HG 108 V.5.2.2 CaO HOUdESL 2 as ners wos 4 cms ouw se Ha 4s OWE eo; ose + Om 110 V.5,2.3 CARO NOTICE F wis vis cams cae sees ese a cman wae ewe ox 112
V6 Validacién experimental ... 6.6 cece eee eee eee etree teen ene e et eeen nnn 113
V.7 Conclusiones «cee cose wre s eee ode: NTH J POW HOSE KGS 2 SOR EOOa Hehe HESS oes ee 5 oes 116
VI CONCLUSIONES 122
VIL THEPOGUCEIGH «ise esse cians & seats eereve ork © wets weiete ACerS w eseUn RNR ROR ENSOL eneie Renee Ota 122
VI.2 Actividades y aportaciones realizadas ... cc cece cece rene eee n eens 122
VI3 Comparacién entre la sincronizacién por acoplamiento y la sincronizacién
Emipleando ObSELVAEOE vias i vieis cceew sae 6 sins were soars yeaa One atom D miocee ome A actin A Hee 124
VI4 Recomendaciones y problemas abiertos ...6. 00 cece cece eee cent eee e tenes 126
VIA41 Reduccién de la conservatividad «1.6.26... cece eee cere eens 126
VI14.2 Sincronizacién empleando una ley de control ...6. cece e eee ene 128
V14.3 Sincronizacién cuandoexiste influencia de ruido ...0.0008 129
VII APENDICES
130
A. Desvanecimiento del error en la sincronizacién por acoplamiento para el caso
SOCAL 1. a5 uaa & deg 2cas cows Ben # ey ews 5 HN Wow EES 8 Oa8 8 ea Has PEER Ha OO8 «ase 130
B. Funciones de Lyapunov empleadas en la sincronizacién por acoplamiento ... 131
GC, Acotamiento de f(a!) — fNE (©) voce cece eee nce n ene n ene n ener eens 137
D. Dhistados'dé sitiilaciones ay was s cau ous 5 wes § eae nM & oH ¢ HO HOR Wee ME~S aOR 4 HwR 140
DA.
D5.
D6.
D.7.
D8.
Ubicacién de polos del observador(Ay,2,3) .. +s 0 sees cence cece eens 144
Ubicacién de polos del observador (A1,2, Ag)... sees cece eee ee eens 146
Célculo del vector de ganancia Do... ccc cece eee ence eee ees 147
Sincronizacién empleando observadorcaso ideal 1 ... 0. cece eee 148
Tabla Pagina
Figura Pagina
1 Sensibilidad a las condicionesiniciales. ... 00sec cece eect eee e eee ene e es 4
2 Asincronia de dos osciladores de Chua aislados debida a
pequefias variaciones en las condicionesiniciales... 6... cece eee ee eee eee 5
3 Esquemageneral para la sincronizacién de sistemas dindmicos, ... 6
4 Proceso de sincronizaci6n en sistemas Ca6ticOS...6. 6.6 ccc eee cece e eee eens 7
5 Ejemplo de un esquema queutiliza la sincronizacién en sistemas
cadticos para establecer una comunicaci6n privada. ...c cece nets 8
6 Trayectoria en el plano de fase. ... 0... ccc c cence nee eden een eee e nee e anes 15
7 Interpretacién grafica de la estabilidad en el sentido de Lyapunov... 23
8 Diagrama de bloques de un observadorlineal para un sistema sin entradas....34
9
Cirenito der Chua(GG)s wos s siaw e sess eves + sais susie ones nace eta wesw natin Wns ww Aon 37
10 Caracteristica de la resistencia no lineal Ryz del CC. ... 0... cece cee eee 38
11
Oscilador de Chua (OC). 00... .cc cece cece eee e eee eee e nate nnee tenet ee ene ee 39
12. Circuito andlogo al oscilador de Chua. 0.0... cece cece ccc eee eee n ene ee tnn eee Al
13. Implementaciénfisica del diodo de Chua. 1.0... 6... cece c eee c cee n een e neces 42
14
Bifurcacién nodo-silla. a) Retrato de fase para a < 0, b) retrato
de fase para a > 0 y c) diagrama de bifurcaciOn. ... 0.000 cece eee e eee e ees A7
15
Bifurcacidn tridente. a) Retrato de fase para a < 0, b) retrato
de fase para a > 0 y c) diagrama de bifurcaciOn. ... 00.0 cce ee eeeeeeeees 48
16 Diagrama de una bifurcacién tipo Hopf... ccc cece cee ee eee e cece ee enes 49
17 Fragmento del diagrama de bifurcacién para el OC con a como
pardmetro de bifurcaciOn. 1.1... 6c. c cece cece neces eeeeeeaeeeeeaueeeunesuanees 51
18 Espacios entre tres valores de bifurcacién consecutivos en el
Figura Pagina
19
20
21
22
23,
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Solucién estable (punto de equilibrio P,) con a = 9. a)
Evolucién de las trayectorias en el espacio de fase y b) evoluciénGel estado: wi s cess. sive suw-4 saw vs wns x von ecoown Kanne h wonae # em ennai monon a HRS EEG DPRY ELBE HR 55 Oscilacién perfodo 1 con a = 9.372525. a) Trayectoria en el
espacio de fase, b) comportamiento del estado @... 0.06.6. cece cece ee eee eee 56
Oscilacién perfodo 2 con a = 9.861205. a) Evolucién de la
trayectoria en el espacio de fase, b) evolucién del estado @. ... 600. e eee 57 Oscilacién perfodo 4 con a = 9.97597. a) Trayectoria en el
espacio de fase, b) comportamiento del estado ©...06.. ccc cece eects 58
Solucién caética (atractor espiral de Chua) con a = 10.01. a)
Trayectoria descrita, b) comportamiento del estado @. 0.0.0... cece cece cece es 58
Ventana de perfodo 3 con a = 10.065. a) Trayectoria, b)
comportamiento del estado ©. oi... cece ccc e ect e teen ete e ene enn ene nes 59
Solucién cadtica (atractor ” Double Scroll”) con a = 10.497111.
a) Trayectoria , b) comportamiento del estado @...0 cee eee e eect eee ees 59
Diagramade bifurcacién del OC con a como pardmetro de bifurcacién... 60 Diagrama que demuestra la divisién del sistema, los estados desincronfa(v), y los estados sincronizados (Wy W')...ccce cece ence ene ene 64
Sincronizacion caso ideal 1. a) Evolucién de y y de y’, b) y vs y'
después de un transitorio, c)Evolucién de z y z! y d) z vs 2’
después de un transitOrio. ... ce ccc cece teen eet n ete e anette ened 78
Erroresen el caso ideal 1. a) Evolucién de€,, b) evoluciénde €,
YC) PlanG dePAser€y Gyo sever some a once sees nod # AWS FRR EEGY ei A oes FOO MR Ba eRe Fe 79
Sincronizacién en el caso ideal 1. a) Desvanecimiento del error
estimadoy real, b) desvanecimiento del error real. ...00 00sec e cess ener ees 80
Evolucién delos errores en el caso ideal 4. a) Error €,, b) error
estimadoy error real y c) error estimado vs error real. ...00000e0eeeeeees 81
Evolucién delos errores en el caso ideal 5. a) Error €,, b) error
Figura Pagina
33
Error en la sincronizacion parael caso no ideal 1. a) Cota final
del error y b) desvanecimiento real y estimado. 1.0... 0.66 c cece eects 84
34
Errores en el caso noideal 4. a) Evolucién del error, b) cota
final y c) desvanecimiento estimadoy real. ... 00sec eee e eee eee e eens 86 35 Implementaciénfisica del acoplamiento entre el sistema amo y
esclavo para el caso no ideal 1... keene teen eee e ene e bene eee 89 36 Cotafinal del error en el caso no ideal 1 en la sincronizacién por
acoplamiento (resultado experimental)...00. 0c ccce cece eee eens ee eee ees 90 37 Sincronizacién empleando observador. ... 6... cece cence eee eee teen nee e nee 92
38
Evolucidn de los errores en el caso ideal 1. a) €, = z— 2’, b)
Coy, 8G se 5 conse ssccran eonan sanseon risaain nace 4 SBR BE 7 RG & AGE TSW BNWT HER ¥ BAD 5 Ew HosSINE ¥ Hee a 106
39
Errores enla sincronizacién en el caso ideal 1. a) Trayectoria
del érror, b) tiorma del errOr. io: oss cas 6 co vies oie sae wees eee wee ore eee wenn 107
40
Errores en la sincronizacién parael caso ideal 2. a) Evolucién
de €, b) evolucién de €y. ...ccceeeee enn e eect ee eet e teens enteeennnnnnes 108
41
Error enla sincronizacién para el caso ideal 2. a) Norma del
error, b) trayectoria del error en el plano €g 2.0.2... 0000 ce eee eee ee eee ees 109 42 Errores enla sincronizacién parael caso ideal 3. a) Evolucién
de €y, b) evoluci6n de Eg. cic cces cece sess cut eeec cee sees canes eae ceeu eee nees sens 110
43 Error en elcaso ideal 3. a) Trayectoria en el plano éz €,, b)
MOKMA del Errors 5 + yey yeaa eee ogni vives wee ¥ sss wom yen 6 wcwiy » Oona we nlnce wei Rime Y ocmN & ese 110
44
Error en lasincronizacién para el caso no ideal 1. a) Evolucién
de €,, b) evolucion de €y. 00... cic ce cere eee eee e tent ee te eens ene ees 112
45
Sincronizacién en el caso no ideal 1. a) Cota final del error, b)
Figura
Pagina
48
Erroresen la sincronizacién parael caso noideal 3. a) Evolucién
de €y, b) evoluciOn de €g. 6.6... eee c eee e ene eet e een nnn n nnn teens 116
49
Errores en la sincronizacién para el caso no ideal 3. a) Norma
del error, b) cota final del error. ... 0.0 c cece cece eee eee ene eens 117
50
Sistema cadtico a observar (circuito andlogo al OC con x como
sefial de salida). 0.0.6... cece cece eee een eee n nnn n ene eee teen teen eee 119
51 Observador para el OC considerando a x comola senal de salida... 120
52
Cota final del error al usar un observador en el caso no ideal 1
I
INTRODUCCION
L1
Antecedentes
ticas y los ingredientes del caos.
En anos pasados los ingenieros habfan evitado el régimen cadtico en el diseno de sus sistemas porque este estado era considerado no confiable e incontrolable, por lo tanto indeseable. Recientemente se ha demostrado [Ditto y Pecora, 1993] que el caos es manejable, explotable y por consiguiente invaluable. El caos ha sido empleado para incrementar la potencia de ldseres, sincronizar circuitos electrénicos, controlar oscila-ciones en reacoscila-ciones quimicas, estabilizar el ritmo cardiaco en animales, y para seguri-dad en las comunicaciones mediante la codificacién de informacién. Las aplicaciones del caos tienen su base en dos aspectos que son el control de caos y la sincronizacién
en sistemas cadticos.
El control de caos se basa enlo siguiente: debido a que el comportamiento cadtico de un sistema es una coleccién de muchos comportamientososcilatorios, ninguno deellos dominantes, se tiene que mediante una pequefia perturbacidén en la forma adecuada se puede lograr que el sistema siga alguno de sus muchos comportamientososcilatorios. Por este motivo, los sistemas cadticos son muyflexibles. Contrariamente, los sistemas con una oscilacién natural se oponen a los cambios en su comportamiento, por lo que en general se requiere de mayoresfuerzo para lograr que el sistema tenga una conducta
deseada.
El comportamiento cadtico es deterministico. Esto significa que conociendolas condi-cionesiniciales del sistema y la relacién causa-efecto, podemos conocer el valor de los estados en tiempos futuros. Sin embargo, el comportamiento cadtico presenta sensibi-lidad a las condiciones iniciales. Esto significa que errores pequenos en las condiciones iniciales crecerdn répidamente. Por lo tanto, para tiempos futuros nuestra estimacién
en el valor de los estados (que no consideré errores de medicién ni de cdlculo) seré muy
distinta a lo obtenido en el sistema real. Esto trae como consecuencia que dos sistemas cadticos aislados no puedan sincronizarse, atin cuando sean idénticos.Como ejemplo consideraremos el oscilador de Chua (OC), que es un sistema que exhibe caos. Consideremos dos OCs idénticos, con los pardmetros ajustados para que los sistemas exhiban comportamiento cadtico. Supongamos quelos estadosiniciales de los dos sistemas son ligeramente distintos. Bajo este escenario, los estados de ambos sistemas divergirdn al paso del tiempo( ver figura 1 ) hasta que la correlacién entre los estados de ambossistemas se vuelva nula. En la figura 2 se muestra una grdafica del
estado z de unodelossistemas contra el estado correspondiente ( z’ ) del otro sistema.
Observemos que no existe ningtin alineamiento, porlo tanto tales sistemas no estén en sincronfa.
> 4 19
0 2 3 5 6 e
thempo
Figura 1. Sensibilidad a las condiciones iniciales.
inicial x'(0) y x(0), la diferencia (2' — x) entre los estados correspondientesa
cadasis-tema tiende a cero conformeel tiempo tiende a infinito. Obviamente para el caso de sistemas autoexcitados (como lo son los sistemas cadticos) la entrada u puede no in-cluirse. Cabe mencionar quela senal de sincronia requiere incluirsesi se desea establecer la sincronizacién en sistemas cadticos.En el problemadesincronizacién en sistemas cadticos se tiene un sistema cadtico (al que llamaremos amo, manipulador, o transmisor) con un vector de estado x compuesto por n elementos. Se requiere crear un segundo sistema (al cual le llamaremosesclavo, manipulado, o receptor) que sea capaz de reproducir el vector de estados completo (o
los estados complementarios a los estados de sincron{a) con el minimo de informacién.
Enla figura 4 observamos un diagrama de bloques que muestra el proceso de sincronfa. El ingrediente fundamental para poder llevar a cabo la sincronizacién en los dos sis-temas es queel sistema esclavo responda a la senal de sincronfa de forma tal que la origen del error sea un punto de equilibrio estable!. El error del cual hacemos menciénFigura 2. Asincronfa de dos osciladores de Chua aislados debida a pequeiias diferencias en las condiciones
iniciales.
correspondea la diferencia entre los estados del sistema amoy los correspondientes del sistema esclavo. Por lo tanto, no hay una estructura especifica para el sistema esclavo ya que éste puede ser un sistema que presente o no compensacién. Un modelo para
el sistema esclavo fue tratado en [Pecora y Caroll, 1990] ; en este modeloel sistema
esclavo es una copia de un subsistemaestable del sistema amo. A partir de este mod-elo han surgido nuevas propuestas; en algunas deellas se usan sistemas compensados como en [Schweizer et. al, 1995], en donde se emplea una especie de observador y en [Kapitaniak et al., 1994] , mostrandose experimentalmentela sincronizacién mediante una ley de control. Recientemente se ha propuesto también el empleo de observadores completos 0 reducidos para lograrla sincronizacién [Nijmeijer y Mareels, 1996] .
La aplicacién principal de la sincronizacién en sistemas cadticos se encuentra en el
encriptamiento de informacién en sistemas de comunicacién. Una técnica de
sub-del sistema amo I
- E
| Sefial de Sincronia je
t f error
fs.
Vector de estados del sistema esclavo |__| Sistema 2.(cadtico)
del sistema amo
sefial(es) de sincronia
Zt —s 2
Sistema esclavo ——
, Vector de estados
del sistema esclavo
Figura 4. Proceso de sincronizacién en sistemas cadticos.
sistema de entradas y salidas cadticas. La salida se mezcla con la sefal de informacién y el sistema transmite la senal mezclada y una senal cadtica de entrada. En el recep-tor la senal cadtica de entrada excita un sistema idéntico al subsistema del transmisor teniendose, después de un transitorio, la sefial cadtica empleada en la codificacién. Esta senal es usada para decodificar el mensaje mediante un proceso de mezclado in-verso al empleado en el transmisor. Otras técnicas de encriptamiento son dadas en
[Ogorzalek, 1993] .
Enel problemade sincronizacién? se pueden contemplartres situaciones que son: (1)
sincronizacién enel caso ideal, (2) sincronizacién en el caso noideal y (3) sincronizacién
con influencia de ruido.
Enel caso ideal los parémetros del sistema esclavo son iguales a los correspondientes del sistema amo; es decir, no existe variacién entre los pardmetros correspondientes.
Sistema
¢ esclavo
Sefiales y) ) }
caéticasN Sefiales casticas
_- sincronizadas Sefial Sh
|
constatarnin Mensaje Subsistema [~~*
gation) “Ss| : encriptado /— Sefialcaética
moduladora “Pe : J <¢]/ demoduladora
¥
+ ')) } Oe
Sefial ~ Recuperacin
portadora del mensaje
Figura 5. Ejemplo de un esquema que utiliza la sincronizacién en sistemas caéticos para establecer una comunicacién privada.
Cuandoesto sucede la dindmica del error se ve muchas veces simplificada’.
El caso no ideal considera que existe una diferencia en los valores de los pardmetros de los sistemas a sincronizar. Para esta situacién debemos deanalizar la robustez de la sincronizacién frente a incertidumbres paramétricas. Esto es, dada una variacién paramétrica debemos de predecir la cota final del error. O bien, dada una cota final requerida debemoscalcular la variacién paramétrica maxima permitida. Para abordar este problema se puede emplear la teorfa de Lyapunov para sistemas perturbados*.
Enel tercer caso la situacién se complica, ya que se debe considerar la influencia del ruido.
Hasta el dia de hoy muchos articulos que hablan sobre sincronizacién en sistemas cadticos, no han abordado el problema de robustez, y mucho menosel andlisis de
Este es el caso més estudiado, teniéndose diferentes esquemasde sincronizacién que garantizan la convergencia del error
a cero,
1.2
Objetivos
El objetivo general de este trabajo es ofrecer un tratamiento analitico al proble-made sincronizacién en sistemas ca6ticos, asi como la aplicacién numérica y experimental de los resultados obtenidos. En este documento no se aborda el problema de sincronizacién bajo la influencia de ruido; sin embargo se estudian la estabilidad y robustez ante variaciones paramétricas tratando hasta lo posible de emplear herramientas analfticas para resolver nuestro problema.
Se analizan dos configuraciones para la sincronizacién, denotadas como sincroni-zacién por acoplamiento y sincronisincroni-zacién empleando un observador. En la primera configuracién se retoma la estructura para el sistema esclavo propuesta en [Pecora y
Caroll, 1990], en la cual el sistema esclavo consiste de una copia de un subsistema
estable del sistema amo con entradas y salidas cadticas. En la segunda configuracién retomamosla idea propuesta en (Schweizer, et al., 1995], y empleamos un observador lineal en el sistema esclavo.
1.3
Estructura del documento
de estabilidad en el sentido de Lyapunov, dando algunas herramientas para el andlisis de ésta. Se presenta la teorfa de Lyapunov para sistemas perturbados y se mencionael lema 2, que es una herramienta que usamos ampliamente en el capitulo IV. Finalmente se presenta informacién relacionada con los observadores lineales para sistemas sin entradas de excitacidn, lo cual es de utilidad en el capitulo V.
Enel capitulo IIT se presenta el oscilador de Chua (OC) que es el modelo que se emplea
parailustrar los resultados. Ademds se muestra la implementaciénfisica de un sistema andlogo al OC conformado por amplificadores operacionales. Asf mismo se establecenlos pardmetros de los modelos experimental y matematico.
En la primera parte del capitulo IV se presenta la teorfa requerida para el andlisis de la sincronizacién por acoplamiento y posteriomente se analizan los casos ideal y no ideal para las distintas configuraciones del sistema esclavo. Seguidamente se ilustran numéricamente los resultados analfticos. A continuacién se ilustran experimentalmente los resultados para el caso no ideal 1 (en el quela sefial de sincronfa es el estado x del sistema amo) y finalmente se concluye comparandolos resultados obtenidos.
El capitulo V comienza con un andlisis general para la sincronizacién con observador para los casos ideal y no ideal. Posteriormente se analizan las diferentes configura-ciones del observador para ambos casos. Seguidamente se presentan algunos resultados numéricos; para continuar con la presentacién de resultados experimentales para el caso no ideal 1. Finalmente se concluye sobre los resultados.
acoplamiento con los obtenidos al emplear observador. Finalmente se presentan los problemas abiertos y algunas sugerencias.
MAS DINAMICOS
IL.1
Introduccién
Eneste capitulo se definen algunos conceptos basicos y se discuten herramientas para el andlisis de sistemas dindmicos. La teorfa presentada es fundamental para comprender los métodos y procedimientos seguidos en el resto del documento.
IL.2
Sistemas dinamicos
Unsistema es una combinacién de componentes que acttian conjuntamente y cumplen determinado objetivo. La caracterizacién de los componentes se realiza mediante pardmetros, las variables mediante sefales y las relaciones causa-efecto mediante un
modelo. Las sefiales involucradas pueden ser independientes (entradas), o
dependien-tes (estados y salidas) [Rodriguez, 1994] .
Unsistema dindmico es aquél enel cual las senales y/o los pardmetros presentan cam-bios a través del tiempo. Un sistema dindmico determintstico es aquél cuyo estado, para cualquier tiempo, puede ser completamente determinado conociendo el modelo el es-tado inicial. En lo que resta del documento haremosreferencia a sistemas dindmicos deterministicos cada que se hable de sistemas.
IL3
Sistemas auténomos continuos en el tiempo
la ecuacién de estado
&=f(z), 2(to) =%,
(1)
donde % = da/dt, x(t) € ¥” es el estado en el tiempo t, y f : R” > R" es llamado
campo vectorial. Como el campo vectorial no depende del tiempo, el tiempo inicial
puede ser considerado como to = 0.
La solucién de 1 se representa por ¢ (t,x); donde el argumento muestra de manera explicita que la solucién dependedela condiciéninicial. La familia de correspondencias
{d,: KR" > R"|t E K, d(x) = H(t, x)} es llamada flujo.
El sistema 1 es lineal auténomosi el campo vectorial f es lineal.
IL4
Sistemas no autédnomos continuos en el
tiempo
Unsistema no aut6nomo continuo en el tiempoes definidoporla ecuacién de estado
b=f(a,t), «(to) =x.
(2)
A diferencia del caso auténomo,el campo vectorial depende del tiempo. Por lo tanto,
el tiempoinicial en general no puede ser considerado cero. La solucién de 2 es denotada por ¢¢ (to, to) 6 $(t, to, Zo).
El sistema 2 es lineal no auténomosi el campovectorial f (x,t) es lineal con respecto
IL5
Sistemas discretos
Unsistema discreto puede ser representado porla ecuacién de estado
Tn41 = M(zx),
k =0,1,2...
(3)
donde x, € RK" es el estado y M : RR” — ” es una correspondencia entre el estado
pre-sente x, y el siguiente 7;,4;. Observe que en un sistemadiscreto la variable temporal
es discreta y por tanto, el sistema se expresa con ecuaciones de diferencias. Partiendo
de una condici6ninicial % y aplicando repetidamente la correspondencia M se genera
una secuencia de puntos llamada érbita. Conviene usar el término érbita (y no
trayec-toria) para hacerreferencia las soluciones de sistemas discretos.
El estudio de sistemas discretos es importante por dos principales razones. Primero,
porque el mapeo de Poincaré es una herramienta muy poderosa para el estudio
desis-temas continuos, permitiendo que un sistema continuo de dimensién N, sea convertido
en un sistema discreto de dimensién N — 1. La segunda razén, es que las ecuaciones de
diferencias puedenser resueltas facilmente mediante iteraciones y su solucién numérica
no consumetanto tiempo comoel que seinvierte al resolver las ecuaciones diferenciales
[Parker y Chua, 1989] .
Existe una analogia entre los sistemas continuos y discretos, cada solucién de un
sistema continuo tiene su equivalente en el mundo discreto aunque las terminologias
son ligeramente distintas. Esa misma equivalencia se tiene en las técnicas para el
11.6
Espacio de estado
Existe una herramienta grdfica muy util en el andlisis de sistemas dindmicos, llamada espacio de estado. Este esta formado por coordenadas ortogonales y cadavariable del vector de estado estdé asociada a una deellas. La solucién de unsistema dindmico en un tiempo especffico equivale a un punto en el espacio de estado. Si el sistema se deja evolucionar en el tiempo podemosver que la solucién de éste traza un camino en el espacio llamado trayectoria. El sentido de la trayectoria es especificado por una o varias flechas. Para el caso de sistemas auténomos de segundo orden se requieren dos coordenadas y el espacio de estado recibe el nombre de plano de fase. En la figura 6 se muestra el comportamiento de una trayectoria en el plano de fase. Los ejes 21 y 2
representan las variables de estado «1(t) y #2(t). El punto de inicio dela trayectoria ao
equivale a las condiciones iniciales del sistema aw= ( 21(0), 72(0)).
z 2
\
EN
trayectoria
11.7
Conjuntos limite
Una trayectoria de un sistema dindmico que parte de un estado inicial 29 llega,
posiblemente después de un tiempo de transicién, a un conjunto de puntos llamado
conjunto limite. El conjunto limite corresponde al comportamiento asintdtico del
sis-tema conforme t — oo y es llamadola respuesta en estado estacionario. A continuacién
se establecen definiciones més formales extraidas de [Parker y Chua, 1989] .
Un punto w (x) € #” es un punto limite w de x € KR" si por cada vecindad U dew (2),
¢ (x) repetidamente entra a U, conforme t > oo.
El conjunto L (x) de todoslos puntos ltmite-w de x es llamado conjunto limite-w. Un
conjunto limite L es atractivo si existe una vecindad abierta U de L tal que L(x) = L
para toda x € U.
La cuenca de atraccién By de un conjunto atractivo L es definida por la unién de
todas esas vecindades U. Br, es el conjunto de todas las condicionesiniciales que tienden
hacia LZ conforme t — oo.
Las definiciones anteriores® son aplicables a sistemas auténomos.
En los sistemas no lineales pueden coexistir diferentes conjuntos limite, cada uno
con su propia cuenca de atraccién. A continuaciédn se muestran los cuatro tipos de
comportamiento en estado estacionario que pueden tener lugar en un sistemanolineal.
11.7.1
Puntos de equilibrio
Un punto de equilibrio z* de un sistema auténomo es una solucién constante de 1, es decir x* = ¢,(a”*) para todo t. En un punto de equilibrio el campo vectorial se
desvanece; es decir, f(x*) = 0.
El conjunto limite correspondiente a un punto de equilibrio es el propio equilibrio.
11.7.2
Soluciones periddicas
La solucién ¢ (a*) de un sistema auténomoes periddica si para todot,
pt (a*) = Our (2*) ,
para algtin perfodo mfnimo T > 0. La restriccién T’ > 0 es necesaria para evitar la clasificacién de un punto de equilibrio comosolucién periddica. Observe que x* no es una solucién tinica, ya que cualquier punto que coincida con la solucién periddica lo sera. En el caso auténomo, una solucién periddica aislada es llamada ciclo limite. El conjunto limite para este tipo de solucién es una curva cerrada en el espacio de estado.
11.7.3
Soluciones cuasiperiddicas
Unasolucién es cuasiperiddica si puede ser escrita como la suma contable de un
ntimero de funciones periddicasa(t) = > h(t),
frecuencias deben ser generadas por un conjunto finito de frecuencias base {fi, ree, fo} el cual es linealmente independiente e inconmesurable. Esto significa que la razén entre cualquier par de frecuencias del conjunto fi/fis es irracional. Una solucidén
cuasiperid-dica con p frecuencias base es llamada p-peridcuasiperid-dica.
La forma del conjunto limite para una solucién p-periddica es una superficie similar a la de un toroide y la trayectoria del estado no es cerrada.
II.7.4
Caos
El caos es una solucién acotada, oscilatoria e irregular que se presenta en muchos sistemasnolineales. La caracteristica principal de este tipo de solucién es que el
com-portamiento en un tiempo dado nose repite en tiempos futuros. El comcom-portamiento irregular de los estados de un sistema cadtico pareciera reflejar que éstos son generados mediante un proceso estocdstico, o bien que son generados por un proceso determinis-tico sometido a la influencia de perturbaciones de origen estocdsdeterminis-tico. Sin embargo,la irregularidad es parte intrinseca de una dindmica totalmente deterministica.
Los sistemas cadticos son caracterizados por su sensibidad a las condiciones iniciales,
lugar en sistemas no cadticos (por ejemplo sistemas inestables). Sin embargo, el caos
se presenta cuandolos errores pequenos crecen de tal forma que la magnitud de éstos, es comparable con la magnitud de la senal en cuestidn. Observe que se ha empleado
el término errores pequenos. Esto implica que errores grandes no crecen en forma
exponencial, lo cual es légico ya que, como se mencioné anteriormente, el caos es una solucién acotada; es decir, los estados son acotados, y como consecuencia también los errores lo son.
Para que un sistema auténomo pueda presentar caos se requiere que el orden N de éste, sea mayor o igual a 3. Por otra parte, como un sistema no auténomode orden N puedeser convertido a un sistema auténomo de orden N + 1, se deduce que para que un sistema no aténomopresente caos se requiere que el orden de éste sea N > 2. Los
sistemas discretos pueden ser representados por la ecuaci6n %n41 = M(a,) donde M
establece la correspondencia entre %n41 Y Zn. Si la correspondencia M esinvertible’, no puedeexistir caos al menos que N > 2. Si la correpondencia es no invertible, el caos puede darse atin en sistemas discretos de dimensién 1.
El atractor de un sistema cadtico no es un objeto de geometrfa sencilla comolos vistos
anteriormente. Este tipo de objeto es llamado atractor extrano, es de una geometria complicada, y posee dimensién noentera.
Enla tabla I se muestran algunos ejemplos de los diferentes conjuntos limite que pueden presentar los sistemas nolineales.
Para los sistemas discretos se dice que la correspondencia M es invertible si es posible escribir la solucién del sistema
Tabla I. Ejemplos de soluciones en estado estacionario,
Caso Equilibrio Sol, periddica
Sistema
Bapeulgoon
ricciénvan der Pol
: b= E=y
Eouaciones y= —ey - sin(z) g=(1-2?)y-2
Pardmetros e=04
Gondiciones z=-5,y=4 © = 1.22311, y = 0.98037
iniciales 6 3 S : ie ot xe oo yo
0 @ a
a
8 3 :
6 4 4 8 2 4 3.2 a #0 i 2 38
£
Plano defase °
4 g 3 2 1 0 Zo 2 at -4 2 6 3
Respuesta 0 to #0 f0 50 0 10 20
ay Ea —oatay
Ecuaciones y=(1—2)y—2 y= pu-y- az +A cos(2nt/T>) z= -be+ ay Pardmetros H=0.5, Ty = 2n/tt p=o=10, P= 8/3
Condicitnes ix OB, Hien! O18 Pa S8, yk, a a Od
iniciales 4 ‘ y 0 2 a Espacio de catndo: 8 20 2 10 i Zo LO Z “10 2 8 -20
oepusste: 0 50 100 150 0 i0 20 90 40
en tiempo .
tiempo tiempo
ons
11.8
Conceptos de Estabilidad
Cuandose habla de estabilidad se hace referencia a la conducta atractora o repulsora
de un conjunto limite para con las trayectorias que inician dentro de la cuenca de
atraccién del mismo. De manera general se dice que un conjunto lfmite es estable si
una trayectoria en el espacio de estado cuya condiciéninicial se encuentra relativamente
cerca de] mismo permanece cerca de dicho conjunto al paso del tiempo. En este trabajo
La nocién de estabilidad presentada en el paérrafo anterior no es suficiente para describir
el comportamiento de un conjunto lfmite de un sistema no lineal. Por lo tanto, a
continuacién se presentan una serie de conceptos requeridos, tales como estabilidad
asintética, exponencial y asintdtica global. Para las definiciones se considera que Br
es una regiénesférica (o bola) definida por ||«|| < .R. La mismainterpretacidn se sigue
para B, y, sin pérdida de generalidad, se supone que el origen x = 0 es un punto de
equilibrio.
11.8.1
Estabilidad en el sentido de Lyapunov
Definicion 1 El punto de equilibrio x = 0 del sistema & = f(x) se dice que es estable
si, para cualquier R > 0, existe un r > 0, tal que si ||x(0)|| <r, entonces||x(t)|| < R
para todo t > 0. De otra manera, el punto de equilibrio es inestable.
Esto quiere decir que un punto de equilibrio es estable si, para toda regién Br, existe
una esfera (0 bola) B, de radio r(R) de tal manera que cualquier trayectoria que inicia
dentro de esta tiltima permanece, para tiempos futuros, en la regién Br.
Por el contrario, un punto de equilibrio es inestable si para algin R > 0 y cualquier
r > 0, por mds pequeno que éste sea, siempre hay un estado inicial en B, tal que su
trayectoria abandona Br.
11.8.2
Estabilidad asintética y exponencial
Definicion 2. El punto de equilibrio x = 0 del sistema & = f(x) es asintéticamente
estable si éste es estable y ademas existe algtin r > 0 tal que ||x(0)|| < r implica que
a(t) > 0 conforme t > oo.
y si las trayectorias que comienzan cerca del mismo convergen al punto de equilibrio
conforme t — oo. Sin embargo, hay que hacer notar que la convergencia, por si misma,
no implica estabilidad [Slotine y Weiping, 1991] .
Definicion 3 El punto de equilibrio x = 0 del sistema & = f(x) es exponencialmente
estable si existen dos nuimeros estrictamente positivos a y » tales queVt> 0, ||u(t)|] < @|[x(0)|| ~~
en alguna bola B, alrededor del origen.
Lo anterior implica que, para las trayectorias que comienzan en la cuenca de atraccién
del equilibrio exponencialmente estable, el estado converge hacia el origen con una
rapidez mayora cierta funcidn exponencial.
La figura 7 ilustra de manera grafica los conceptos de estabilidad en el sentido de
Lyapunov.
Ce,
“ We
Inestabilidad Estabilidad Estabilidad Asintética
Figura 7. Interpretacién grdfica de la estabilidad en el sentido de Lyapunov.
11.8.3
Estabilidad local y global
las trayectorias que inician en una regién cercana al mismo. Porello se hace
referen-cia a esos tipos de estabilidad comoestabilidad local. Para observar la conducta de un
punto de equilibrio con trayectorias cuyas condicionesiniciales estén muyretiradas de
éste, se establece la siguiente definicién.
Definicion 4 Si la estabilidad asintética (o exponencial), se mantiene para cualquier estado inicial, se dice que el punto de equilibrio es asintéticamente (o exponencialmente) estable en forma global.
11.9
Método delinealizaci6n de Lyapunov
Este métodoanaliza la estabilidadlocal de los sistemas no lineales. Ademés justifica
el uso de técnicas de control lineal en sistemas no lineales.
Sea el sistema auténomo nolineal
& = f(a),
(4)
donde f(x) es continua y diferenciable. Si hacemos la expansién de Taylor de f(x)
alrededor del equilibrio 7 = 0, el sistema puede ser escrito como
&= Ax + frot(2),
siendo A = (Of/0z),-9 ¥ fn.o.t(x) los términos de orden mayor. El sistema
t= Az,
(5)
es llamado linealizacién o aproximacién lineal del sistema no lineal en el punto de
A continuacién se establece una relacién de estabilidad entre el sistema no lineal 4
y el sistemalinealizado 5.
Teoremal 1. Si el sistema linealizado es estrictamente estable (todos los valores
pro-pios de A tienen parte real estrictamente negativa), entonces el punto de equilibrio es
asintoticamente estable para el sistema no lineal.
2. Si el sistema linealizado es inestable (si al menos uno de los valores propios de A tiene parte real positiva), entonces el punto de equilibrio es inestable para el sistema no lineal.
3. Si el sistema linealizado es marginalmente estable (los valores propios de A se en-cuentran en la parte izquierda del semiplano complejo y al menos uno sobre el eje imaginario), entonces no se puede concluir sobre la estabilidad del equilibrio para el sistema no lineal.
Una interrogante muy importante en este andlisis es saber hasta qué puntoel sistema
puede considerarselineal.
11.10
Métododirecto de Lyapunov
Este método es una herramienta muy poderosaen el andlisis de estabilidad mediante
el cual se puedeinferir la estabilidad de trayectorias del sistema. Es util, por ejemplo,
para analizar puntos de equilibrio no hiperbélicos’.
La teorfa de Lyapunov se basa en el hecho de quesi la energia total de un sistema
es continuamente disipada, entonces existiré un tiempo en el cual las trayectorias del
sistema llegardn al origen y permanecerdén allf. Lo que se hace en este tratamiento
es buscar una funcidn escalar V(x,t) similar a la energia del sistema, y medianteel
andlisis de esta funciédn se puede determinar la estabilidad del punto de equilibrio,
que sin perder generalidad se considera comoel origen «* = 0. La funcién V(z,t)
es conocida como funcién de Lyapunov. Existen métodos para la biisqueda de ésta
[Slotine y Weiping, 1991] ; sin embargo, en muchas ocasionesel hallazgo de ella depende
de la experiencia e ingenio del investigador.
1.10.1
Funciones de Lyapunov
Con la finalidad de explicar los criterios de estabilidad por el método directo de
Lyapunov, a continuacién se definen ciertos tipos de funciones relacionadas con éste.
Unafuncién continua W : Br, > 4 que satisface, W(0) = 0 y W(x) > 0 para a £0,
se dice que es localmente definida positiva. Si ésta satisface la condicién W(a) > 0 para
x #0, se dice que es semidefinida positiva. Una funcién W(x) se dice que es definida
negativa y semidefinida negativa si —W(a) es definida positiva y semidefinida positiva
respectivamente.
Definicion 5 Si una funciénV : RX Br, — Ry que es definida positiva tiene derivadas parciales continuas con respecto at y x, y ademds su derivada temporala lo largo de
cualquier trayectoria del sistema 1 es semidefinida negativa, es decir,
V(t) <0 Vt>0 Vre Br,
entonces se dice que V(x) es una function de Lyapunov para el sistema 1.
11.10.2
Teoremas para puntos de equilibrio
A continuacién se establecen algunos teoremas que relacionan las funciones de Lya-punovconla estabilidad de los puntos de equilibrio.
Teorema 2 (Estabilidad local) Sea el sistema
E=f(x), cen"
8
x* es estable en formalocal. Si ademas
V(x) <0 en Br, —{2*} y V(0)=0,
entonces x* es asintéticamente estable en formalocal.
Teorema 3 (Estabilidad global) Suponga que existe un funcidn escalar V(x), con deri-vadas de primer orden continuas tales que
1. V(x) es definida positiva;
2. V(a) es definida negativa;
3. V(a) — co conforme|||] > 00;
entonces el equilibrio x* = 0 es asintdtica y globalmente _estable.
La condicién de desacotamiento radial de V asegura que las curvas de contorno
V(a) = V, sean curvas cerradas. Este hecho asegura la convergencia de las trayectorias
hacia el origen.
Los teoremas anteriores presentan condicionessuficientes. En el caso en que exista
una funcién V(x) definida positiva y con derivadas parciales continuas® que no cumpla
con las condiciones en V(x), no podemosestablecer conclusiones sobrela estabilidad
del sistema. En estos casos no queda més que tratar de encontrar otra funciédn que
satisfaga las condiciones impuestas.
El siguiente teorema es una version simplificada del denominado teorema de LaSalle,
el cual no requiere que V(z) sea definida negativa [Kelly Martinez, 1994] .
Teorema 4 Considere la ecuacién diferencial auténoma
cuyo origen z=0 es un punto de equilibrio. Suponga que existe una funcién V(zx)
definida positiva, con primeras derivadas parciales continuas, tal que
Vie) <0 VaeRr
Definase el conjunto Q como
o= {vex : V(x) =0}.
Si z(0)=0es la tinica condicién inicial en Q para la cual x(t) € OX parat > 0, entonces
el origen x =0 € KR” es un equilibrio asintética y globalmente _estable.
11.10.3
Existencia de las funciones de Lyapunov
Cabe mencionar que existe un grupo detres teoremas [Slotine y Weiping, 1991] que
fijan condiciones para la existencia de una funcién de Lyapunov con base en la
es-tabilidad del origen; éstos son referidos como teoremas conversos, A continuacién se
presentardé unodeellos el cual establece la existencia de una funcién de Lyapunov que
cumple con tres desigualdades a las que lamaremos desigualdades de los teoremas
con-versos.
Teorema 5 Si x = 0 es un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema
2, entonces [Khalil,1996] esiste una funcién de Lyapunov V(t,x) que satisface las
siguientes desigualdades:
allel? < V(t,2) <elal?,
;
_ ov. wv
,
6)
vee) = M4 Mi¢e,0) < es fal’,
(n
OV
Se] < ale.
()
IL11
Sistemas perturbados
Un punto muy importante en el andlisis de estabilidad es la robustez de la misma
en un sistema bajo incertidumbres en el modelo. Una forma de abordar este problema
es emplear la teorfa de estabilidad de Lyapunov para sistemas perturbados,la cual se
basa en lo siguiente [Khalil,1996].
Sea el sistema
&= f(t,z) +9(t,2),
(9)
donde f : [0,00) x Bro > #" yg: (0,00) x Br, > R” son seccionalmente continuas a
tramosen t y localmente Lipschitz en x. Podemos tratar este sistema como una versién
perturbadadel sistema nominal
r= fx),
(10)
dondeel término de perturbacién g(t, 7) puede resultar de variaciones en pardmetros,
incertidumbres, o algtin otro tipo de perturbaciones presentes en el sistema.
Bajo este escenario se pueden formular algunas conclusiones acerca del sistema
per-turbado. El tratamiento que llevaremos a cabo dependerdé del comportamiento que
tenga el término de perturbacidn en el origen del sistema. Si la perturbacién g(t, x),
se vuelve cero en el origen, entonces se dice que es una perturbacién desvaneciente y,
en consecuencia, el sistema perturbado 9 tendré un punto de equilibrio en el origen.
contrario g(t,0) # 0, entonces g(t,x) es una perturbacion no desvaneciente. Para este
caso, el origen no serd un punto de equilibrio del sistema perturbado,lo cual nos impide
estudiar el problema como una cuestidn de estabilidad de un equilibrio.
1111.1
Andlisis con perturbaciones desvanecientes
Comenzaremosporanalizarel caso en el cual g(t,0) = 0. Suponga que x = 0 es un
punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema nominal 10. Entonces segtin
el teorema 5 existe una funcién de Lyapunov V(a,t) que satisface las desigualdades de
los teoremas conversos 6-8.
Ahora, suponga que el término de perturbacién g(t, x) satisface la cota
llg(t, x)|| < y(2) ||al| Vt>0, ee W,
(11)
donde ¥(t) : # + R es no negativa y continua para todo t > 0.
Para investigar la estabilidad del origen como punto de equilibrio del sistema
per-turbado 9, utilizaremos la funcién de Lyapunov. Deesta forma se tiene que la derivada
de V esta dada por
:
OV.
OV
OV
Los primeros dos términos de la expresién de la derecha correspondena la derivada
de V(t, x) a lo largo de las trayectorias del sistema nominal 10. El tercer término es
el efecto de la perturbacién. Debido a que sdlo se tiene informacién de la magnitud
que podemos hacer es analizar el peor de los casos para establecer una condicién de
acotamiento sobre g(t, x), con lo cual se asegura que V(t, x) < 0 para todo t < 0. De
esta forma,
V(t, a)
IA~¢s lla)? +
Fetote
~¢s lla? + cxy(t) |larl|?.
IA
Si y(t) es lo suficientemente pequeiio para satisfacer la cota
ut) <7=2, Vt>0,
(12)
4
entonces
Vit, x) < —(cs— Fea) ||x\|?,
(cs — Fea) > 0.
Asi, la condicién 12 asegura la estabilidad asintética del origen y por lo tanto la
convergencia de x hacia éste.
Lema1 Si para el sistema nominal 10 existe una funcién de Lyapunov V(t, x) que
satisface 6-8 en (0,00) X Bro, y si el término de perturbacidéng(t, x) satisface 11 y 12,
entonces el origen es un punto de equilibrio exponencialmente estable para el sistema perturbado 9, Atin mas, si todas las suposiciones se mantienen en forma global, entonces el origen es exponencialmente estable en forma global.Nota1 Es importante que la evolucién de la perturbacién pueda ser acotada por la
recta ¥||x||, tal y como se especifica en 11; de lo contrario, este método no es capaz de
concluir sobre la estabilidad atin y cuando la perturbacién sea desvaneciente.1111.2
Pertubaciones no desvanecientes
A continuacién se analiza el caso mas general en el cual no sabemossi g(t,0) = 0.
lo que nos impide estudiar la estabilidad del origen como punto de equilibrio. Sin
embargo, nuestro objetivo consiste en lograr que el sistema perturbado se aproxime
al origen cuando t > oo. En estas circunstancias lo mejor que podemos esperar es
que el término de perturbacién sea lo mds pequeiio posible, de tal forma que x(t) esté
finalmente acotada.
Para abordar el problema se espera que la perturbaciédn no desvaneciente pueda ser
acotadaporla siguiente relacidén:
Ig(t, «)|] < & |x|] + 6.
Cuandoel origen del sistema nominal es exponencialmente estable, podemosanalizar
la cota final de x(t) y su desvanecimiento medianteel siguiente lema [Khalil,1996] .
Lema 2 Seax =0 un punto de equilibrio exponencialmente estable del sistema nominal
10. Sea V(t,x) una funcién de Lyapunov del sistema nominal que satisface 6-8 en
(0,00) x D, donde D = {x € R"| |u|] <r}. Suponga que el término de perturbacién
g(t, %) satisface
C1
C.
llg(t,2)|| <8 < ore
(13)
para todat > 0, toda x € D, y una constante positiva 0 < 1. Entonces, para toda
||x(to)|| < rs/e1/c2, la solucién del sistema perturbado satisface
l|x(t)|| < kexp[-7(t — to)] ||2(to)|], V tot <ty
In(t)| <b, Vt>t
para algin tiempo finito t1, donde
k= ,/%, y- GM 55% [e,
Cy 2c 6c3 cy \
Observe que la cota final b es proporcional a la perturbacién 6. De este modo,
para los sistemas perturbados cuyo sistema nominal tiene al origen como equilibrio
exponencialmente estable, se puede asegurar que una perturbacidn con magnitud
su-ficientemente pequefia no produce alejamiento del origen cuando elsistema llega al
estado estacionario.
Existen otros criterios para analizar la cota maxima de x(t) [Khalil,1996] . Sin
embargo, como veremos mas adelante, todos los casos que se nos presentan pueden
resolverse con la informacidén previa.
11.12
Diseno con observadores
El problemade sincronizacién en sistemas cadticos puede plantearse dela siguiente
manera. Se tiene un sistema cadtico (llamado amo, transmisor, o manipulador) de
orden n, y se desea construir un sistema (llamado esclavo, receptor, o manipulado)
cuya dindmica reproduzca los n elementos del vector de estados del sistema amo. Fl
sistema esclavo no tiene una estructura especifica, pero debe ser tal que la dindmica del
error entre los estados de ambos sistemas sea estable. El problema de sincronizacién
resulta masinteresante si se logran reconstruir todos los estados del sistema amo con
continuacién se proporciona informacién acerca de este dispositivo. Cuando se desea
conocer los estados de un sistema algunos de éstos son medidos con sensoresy el resto
tienen que ser estimados por otro dispositivo llamado observador. En la figura 8 se
muestra el diagrama de bloques de un observadorlineal para una planta sin entradas.
Notese que éste genera el vector x’, el cual es la estimacién del vector de estados x del
sistema observado.
Planta Observador
z x y a!
bis ery
.
«| - iL zs
z Vector de estados de la planta t' Vector de estados reconstruido
Figura 8. Diagrama de bloques de un observadorlineal para un sistema sin entradas.
El disefio con observadores!” se basa en lo siguiente [Stefani et al., 1994] . Considere
el sistema % = f(x) a observar. Si es lineal puede representarse como
zt = Ax 2x(0)=2,
y = Ca.
(14)
10 Al hablar de observador haremos referencia a un observador completo el cual reconstruye el vector de estados en su totalidad y exige que el sistema amo sea observable. Esta observacién es conveniente ya que existen los llamados
observadores reducidos [Nijmeijer y Mareels, 1996] mismos que reconstruyen unaparte del vector de estado
Considere también que la dindmica del observador esté dada por
a = Ar'+L(y—Ca')
a'(0) = 2%.
Asf, el error entre los estados estimados y los reales sera
e=a2—2'.
Luego
é = ¢—4 = Ar — Ax! — L(y-Cr'),
é = (A-LOC)e.
De este modo, si es posible escoger una matriz L tal que (A — LC) es Hurwitz,
entoncesel error e converge a cero. Sin embargo, la existencia de L se asegura si y sdlo
si el par (A, C) es observable.
Se dice queel sistema lineal 14 es observable si conociendola salida y en [to, ts), asf
comola entrada u en ese intervalo (en este caso u = 0), es posible calcular el estado
inicial Xp.
La condicién para queel par (A, C’) sea observable es que la matriz de observabilidad
O tenga rango completo; es decir
IIl.1
Introduccién
En este capitulo se presenta el oscilador de Chua (OC), que es el sistema que se
empleara para analizar la sincronizacién. Se dan las ecuacionesfisicas y adimensionales;
ademas se muestran los modelos experimentales empleadosen este trabajo. Finalmente
se muestran los conjuntos limite y el doblamiento de periodo como una de las rutas
hacia el caos en el OC.
IIL.2
Antecedentes
Durante una visita a Japén en 1983, y después de muchos intentos en vano para
producir caos en un equivalente eléctrico a las ecuaciones de Lorenz, Leon O. Chua
estaba a punto de desarrollar un circuito electrénico cadtico. Chua se did cuenta de
que el caos podfa ser producido en un circuito seccionalmentelineal si éste posefa al
menos dos puntos de equilibrio inestables, uno para proporcionar expansién delas
trayectorias y otro para proporcionar doblamiento [Kennedy 1, 1993] . Utilizando esa
idea, inventé el circuito que se muestra en la figura 9. La caracterfstica dela resistencia
no lineal Ryz, también llamada diodo de Chua, se muestra en la figura 10.
Para que pueda existir caos en un circuito auténomoconstruido con resistores,
in-ductores y condensadores, éste debe contener (1) al menos un elemento nolineal, (2)
ener-11
Figura 9, Circuito de Chua (CC),
gia. El circuito de Chua (CC) es un circuito electrénico muy simple que satisface este
criterio [Kennedy 1, 1993] . Ademdas, el CC presenta una variedad de bifurcaciones y
diferentes conjuntos limite. El CC es el circuito mds simple en el que se ha demostrado,
de manera rigurosa, la existencia de caos. Agregando unaresistencia lineal en serie
con el inductor, el circuito es conocido con el nombre de oscilador (candnico) de Chua
(OC), el cual se muestra en la figura 11. En ésta, ro representa la resistencia interna
del inductor. El andlisis presentado en este documento se aplica al OC, debido a que
en general cualquier inductor presenta una resistencia interna, por lo que el CC no es
realizable fisicamente.
11.3
Ecuaciones del OC
Las variables de interés para el OC son los voltajes en los capacitores v1, v2, y la
corriente en el inductor iz (véase la figura 11). Empleando andlisis de redes se deducen
las ecuaciones parael oscilador de Chua!?.
Gb
Uv NR
Gb
Figura 10. Caracteristica de la resistencia no lineal Ryz del CC.
De esta manera, las ecuaciones para el OC son:
dv,
di
dv»dé
diz
di.
donde,
f(vi) =
G v
Fs, a5 — fC y)
cap; capi
1. G
13. —(v _ 4); capo cape
whLy"{0s
Gyu4 = (Ga = G,)E Vv Uu< —E,
Gar Vv Jus < E,
Gov + (Go _ G,)E Vv W> E,
(15)
siendo v; es el voltaje en el capacitor 1, v2 el voltaje en el capacitor 2 e #3 la corriente
através del inductor.
TIT.4
Modelo matematico
Es deseable trabajar con un modelo matematico que tenga menor nimero de
== cap ,
== cap
s+
vn
LL |/\ bu
Figura 11. Oscilador de Chua (OC).
este circuito a la forma adimensional (modelo matematico) se hace el siguiente cambio
de variables.
y=atk t= i
(16)
donde =, y, y z son las variables de estado, t es el tiempo en el sistema adimensional y
t el tiempo enelcircuito fisico.
Ast las ecuaciones adimensionales del oscilador de Chua son:
dx
= = aly — x — fx («)],
dy
“u-7? yt,
(17)
dz
qe TY Be
donde
ba-—a+bVa<-l,
12
es decir
1
fivr(x) = br + 5(a— b){]e + 1| — |x — 1}
(18)
¥
cape Caps Tocap2 Go Gs
-—*
cap?
6=Tar b=
=——ae t= ay
a= b=—.a
(19)
ifComose puedever, el valor de EF establece el escalamiento en amplitud’’.
TIL.5
Modelo experimental
Para validarlos resultados se requiere construir un par de sistemas; uno manipulador
llamado amo y el otro manipulado que es llamado esclavo. La sincronizacién presenta
mayor interés cuando el sistema amo se encuentra en regimen cadético. La estructura
del sistema esclavo, por su parte, no es espectfica y varfa dependiendo del tratamiento
que se realice para lograr la sincronizacién. La técnica empleada en el capitulo IV
re-quiere que el sistema esclavo sea un subsistema estable del sistema amo. Porotra parte,
para el tratamiento mostrado en el capitulo V, el sistema esclavo esta constituido por
una copia del sistema amo mds una etapa de compensacién. Sin embargo,conla
fi-nalidad de establecer cierta uniformidaden el disefio, el circuito esclavo fue construido
como unacopia del circuito amo, y algunas conexiones fueron hechas con puentes
per-mitiendo analizar la sincronia en cada caso.
Los valores de los parémetros elegidos son similares a los del modelo propuesto por
Observese que si el voltaje de doblamiento E es 1Volt, la transformacién del sistema fisico a su forma adimensional (y
13
M. Kennedy en [Kennedy 1, 1993] y [Kennedy 2, 1993] . Sin embargo,el circuito se
construy6 partiendo de las ecuaciones adimensionales y usando amplificadores
opera-cionales. El modelo experimental se muestra enla figura 12. A este circuito le
llamare-mos circuito andlogo al oscilador de Chua™ para distinguirlo del modelo llamare-mostrado en
la figura 11. En en el circuito andlogo al OC,la resistencia Rz; controla el pardmetro a,
el cual al ser modificado puede producir cambios en la solucién del sistema ajustandoel
estado estacionario desde un punto de equilibrio, diferentes soluciones periddicas, hasta
llegar al estado cadtico.
Figura 12. Circuito andlogo al oscilador de Chua.
La resistencia no lineal mostrada en la figura 12 fue construida con un par de
ficadores operacionalesen la forma descrita en [Kennedy 2, 1993] . El circuito
corres-pondiente al diodo de Chua(oresistencia no lineal) se muestra en la figura 13.
Figura 13. Implementacién fisica del diodo de Chua
La implementaciénde un modelo matematico empleando amplificadores operacionales
requiere muchas veces de un escalamiento en tiempo y/o amplitud. El escalamiento
en amplitud se realiza principalmente para evitar la saturacién en los amplificadores
operacionales, mientras que el escalamiento en tiempo permite que la dindmica del
sis-tema evolucione mds rapida o lentamente. Una explicacién detallada con relacién a los
escalamientosse discute en [Ogata, 1990] .
TI.5.1
Escalamiento en tiempo
Para hacer el escalamiento en tiempo conviene fijar los pardmetros del OC en el
régimen periodo 1, conel fin de simplificar el tratamiento. La relacién entre el periodo
deseado Ties y el obtenido al simular el modelo matematico Tym, establece el factor