Fuentes de incertidumbre en anemometría sónica

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS. FUENTES DE INCERTIDUMBRE EN ANEMOMETRÍA SÓNICA Tesis Doctoral. Sebastián N. Franchini Ingeniero Aeronáutico. Madrid, Enero de 2006.

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(3) UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS. FUENTES DE INCERTIDUMBRE EN ANEMOMETRÍA SÓNICA Tesis Doctoral. Sebastián N. Franchini Ingeniero Aeronáutico. Dirigida por Ángel Sanz Andrés Doctor Ingeniero Aeronáutico. Álvaro Cuerva Tejero Doctor Ingeniero Aeronáutico. Madrid, Enero de 2006.

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(5) Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr Rector de la Universidad Politécnica de Madrid, el día ........ de ....................................de 2001.. Presidente D. ............................................................................................................ Vocal D. .................................................................................................................... Vocal D. .................................................................................................................... Vocal D. .................................................................................................................... Secretario D. ............................................................................................................. Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día ....... de ......................... de 2005, en ..................................................................................................................... Calificación.............................................................................................................. EL PRESIDENTE. LOS VOCALES. EL SECRETARIO.

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(7) A mi viejo, no hay un solo día que no te recuerde; a Hilda, mi madre, por su infinita dedicación y a Cecilia mi compañera, mi amor..

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(9) INDICE. AGRADECIMIETOS .....................................................................................................................v LISTA DE SIMBOLOS ............................................................................................................... vii RESUMEN .................................................................................................................................. xvii ABSTRACT ..................................................................................................................................xix. 1. INTRODUCCIÓN. ...................................................................................................1 1.1. Aplicaciones de la anemometría sónica. .....................................................................2. 1.2. Principio de operación. La senda de medida...............................................................3. 1.3. El anemómetro sónico.................................................................................................7. 1.4. Evolución y estado del arte .......................................................................................10. 1.4.1 1.5 2. Limitaciones y problemática .................................................................................... 10 Objetivos y desarrollo de la tesis ..............................................................................11 MODELO TEÓRICO DE UNA SENDA DE MEDIDA ......................................15. 2.1 2.1.1 2.2. Principios de acústica................................................................................................16 Acústica geométrica................................................................................................. 17 Trayectoria de la señal de acústica en un medio que se mueve.................................19. 2.2.1. Ecuaciones diferenciales de la trayectoria del pulso de ultrasonido ........................ 23. 2.2.2. Trayectoria de la señal que va de P2 a P1 ................................................................ 27. 2.2.3. Observaciones y análisis .......................................................................................... 28. 2.3. Tiempo de viaje y velocidad medida.........................................................................29. 2.4. Medida de flujos elementales....................................................................................34. 2.4.1. Flujo unidimensional con cortadura vertical ............................................................ 34. 2.4.2. Flujo unidimensional con cortadura horizontal........................................................ 38. 2.5. Trayectoria parabólica de tiempo mínimo ................................................................42. 2.5.1. Análisis de flujos sencillos....................................................................................... 46. 2.5.2. Trayectoria parabólica. Sentido 2-1 ......................................................................... 49. 2.5.3. Velocidad medida por la senda ................................................................................ 50. i.

(10) 3. MEDIDA DE LA VELOCIDAD EN FLUJOS ROTACIONALES ................... 53 3.1. Flujo en conductos de sección circular..................................................................... 56. 3.1.1. Medida de la velocidad en régimen laminar (Flujo de Hagen-Poiseuille)................ 57. 3.1.2. Medida de la velocidad en régimen turbulento......................................................... 64. 4. EFECTO DE LA ESTELA PRODUCIDA POR LOS SOPORTES SOBRE LA MEDIDA DE LA VELOCIDAD ........................................................................... 73 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.3. Flujo alrededor de cilindros y modelos de estela...................................................... 74 Modelo matemático de la calle de torbellinos de Von Karman................................ 78 Efecto de un torbellino sobre la medida ................................................................... 80 Torbellino móvil....................................................................................................... 86 Efectos de una estela sobre la medida ...................................................................... 91. 4.3.1. Estela fija.................................................................................................................. 91. 4.3.2. Estela móvil.............................................................................................................. 98. 4.3.3. Desviación estándar del bloque de medidas ........................................................... 104. 4.4 5. Criterio para el diseño óptimo de sendas de medida............................................... 105 ENSAYOS EN TÚNEL AERODINÁMICO ...................................................... 107. 5.1. El anemómetro sónico ............................................................................................ 107. 5.2. Equipo e instrumentación ....................................................................................... 109. 5.3. Metodología de ensayo........................................................................................... 113. 5.4. Resultados .............................................................................................................. 117. 5.5. Análisis de los resultados ....................................................................................... 123. 5.5.1. Primer serie de ensayos .......................................................................................... 123. 5.5.2. Análisis armónico de los resultados ....................................................................... 128. 5.5.3. Segunda serie de ensayos ....................................................................................... 130. 5.5.4. Repetitividad de la instalación................................................................................ 131. 5.6. Aproximación por coeficientes de Fourier ............................................................. 132. 6. CONCLUSIONES ................................................................................................ 135. 7. REFERENCIAS ................................................................................................... 141. ANEXO I.. DEMOSTRACIÓN DE LA SIMETRÍA ENTRE LAS TRAYECTORIAS DIRECTA E INVERSA ....................................................................................... 149. ANEXO II. TRAYECTORIA DEL RAYO A TRAVÉS DE UN FLUJO TURBULENTO EN UN CONDUCTO E INTEGRALES DE CÁLCULO DE LOS TIEMPOS DE VUELO Y LA VELOCIDAD MEDIDA ...................................................... 151. ii.

(11) ANEXO III. MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ENTRE EL SISTEMA DE REFERENCIA DEL TÚNEL AERODINAMICO Y EL DEL ANEMÓMETRO SÓNICO..................................................................................155 ANEXO IV. APROXIMACIÓN DE FUNCIONES POR SERIES DE FOURIER TRUNCADAS .......................................................................................................157. iii.

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(13) AGRADECIMIETOS. Quisiera expresar mi agradecimiento al Dr. Ángel Sanz y al Dr. Álvaro Cuerva, los directores de esta tesis, por la dedicación, la paciencia y el apoyo que me han brindado. Mi eterno agradecimiento al Dr. José Meseguer por la confianza que ha depositado en mí y la oportunidad que me ha dado al permitirme se parte del Instituto "Ignacio Da Riva". Gracias a todo el personal del Instituto por su apoyo y colaboración, en especial a Javier, Enrique y Alejandro que sin su ayuda los ensayos no habrían sido posibles. A Manolo, por los dibujos. A Cuca, Santiago y Donato por el ánimo y el apoyo. A mi familia española: Marian, Fernando, Bella, Maricarmen y Ángel que gracias a ellos el desarraigo no fue tal. A mi madre por soportar la distancia y a Ceci por estar siempre cerca.. Madrid, 30 de Enero de 2006. v.

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(15) LISTA DE SIMBOLOS. a. Separación entre dos torbellinos consecutivos de una misma hilera de la calle de torbellinos de Von Karman [m].. A. Separación adimensional entre dos torbellinos consecutivos de una misma hilera de la calle de torbellinos de Von Karman.. b. Separación entre las dos hileras de torbellinos de la calle de torbellinos de Von Karman [m].. B. Separación adimensional entre las dos hileras de torbellinos de la calle de torbellinos de Von Karman.. c. Velocidad del sonido [m.s–1].. cD. Coeficiente de resistencia.. cV. Consigna de velocidad de los motores del túnel aerodinámico [%].. C. Sistema de referencia del conducto (={O, ξ, ζ}.).. C2. Coeficiente del término de corrección de orden M2 de la velocidad medida por la senda acústica, UM.. j C 2. Parte de C2 cuyo origen es haber considerado la desviación de la trayectoria de la señal de ultrasonido.. C2. Parte de C2 cuyo origen es el desarrollo en series de las funciones F±.. CC S. Matriz de transformación de coordenadas entre el sistema S y el sistema C.. CSC. Matriz de transformación de coordenadas entre el sistema C y el sistema S.. CTA. Matriz de transformación de coordenadas entre el sistema eT y el sistema eA.. d. Diámetro del cilindro [m].. dc. Diámetro del conducto [m].. DFT. Abreviatura de “Transformada Discreta de Fourier”. vii.

(16) eA. Sistema de referencia del anemómetro sónico (= {O, xA, yA, zA}).. eT. Sistema de referencia del túnela aerodinámico (= {O, xT, yT, zT}).. euz. Integral de UZ0 a lo largo de la senda acústica.. ew. Integral de W0 a lo largo de la senda acústica.. eδV. Error cuadrático medio de la aproximación de δV.. f. u P−1 [s.m–1].. f0. Frecuencia de Nyquist [Hz].. fC. Frecuencia de las vibraciones provocadas por un cilindro expuesto a una corriente de aire [Hz].. fU. Frecuencia de la señal de ultrasonido [Hz].. fS. Frecuencia de muestreo [Hz].. F±. Integrando de la expresión del tiempo de viaje adimensional, T±.. g. Función genérica.. gl. Aproximación por series de Fourier de la función g.. Gk. Coeficientes de “Transformada Discreta de Fourier” de g.. G±2, G2. Coeficiente del término de orden M2 de la expresión de F±.. G±3, G3. Coeficiente del término de orden M3 de la expresión de F±.. H. Desviación en una medida de la velocidad con respecto a la velocidad de referencia.. HB. Promedio de las desviaciones de la velocidad con respecto a la velocidad de referencia.. i. Índice del sumatorio.. i. Unidad imaginaria ( = −1 ).. iT. Ángulo de inclinación del anemómetro en el túnel aerodinámico [º].. IG2. Integral de G2 a lo largo de la senda acústica.. viii.

(17) IG2. Integral de G3 a lo largo de la senda acústica.. k. Número de onda.. K. Relación Γ/(2π l u∞).. Kc. Factor de emplazamiento del túnel aerodinámico.. Kh. Factor de corrección hidráulico.. KhL. Factor de corrección hidráulico para el caso de flujo laminar.. Kˆ hL. Factor de corrección hidráulico de referencia para el caso de flujo laminar.. KhT. Factor de corrección hidráulico para el caso de flujo turbulento.. Kˆ hT. Factor de corrección hidráulico de referencia para el caso de flujo turbulento.. KX. Pendiente de la expresión adimensional del flujo unidimensional con cortadura horizontal.. KZ. Pendiente de la expresión adimensional del flujo unidimensional con cortadura vertical.. KΓ. Velocidad de generación de la vorticidad en cada lado del obstáculo [m2.s2].. l. Longitud de la senda [m].. LS. Período de muestreo adimensional (= u∞/(fS l)).. M. Número de Mach.. M1, M2 Posicionadores angulares. n. Exponente de la ley potencial de velocidades de Nikuradse.. n. Vector unitario normal al frente de onda.. N. Cantidad de datos de velocidad de un ensayo del anemómetro sónico en túnel aerodinámico.. Na. Cantidad de términos de la serie de Fourier tomados para aproximar gl .. ix.

(18) NB. Cantidad de muestras tomadas para calcular el promedio de un bloque de medidas.. NC. Cantidad de ciclos de la velocidad U0 comprendidos entre los extremos de la senda acústica.. NR. Función del exponente n.. p. Perturbación de origen acústico de la presión atmosférica de equilibrio [Pa].. pc. Presión en el conducto [Pa].. p0. Presión atmosférica de equilibrio [Pa].. p̂. Presión atmosférica [Pa].. P0. Posición del torbellino.. P1, P2. Extremos de la senda acústica de medida.. QV. Potencial complejo de velocidades de un torbellino aislado [m2.s–1].. QUV. Potencial complejo de velocidades de una corriente uniforme de más un torbellino aislado [m2.s–1].. QUVS. Potencial complejo de velocidades de una corriente uniforme de más la calle de torbellinos de Von Karman [m2.s–1].. QVS. Potencial complejo de velocidades de la calle de torbellinos de Von Karman [m2.s–1].. Q. Caudal volumétrico promedio de un fluido que circula por un conducto de sección circular [m3.s–1].. rc. Radio del conducto [m].. R. Función del ángulo φ.. Re. Número de Reynolds.. ReCR. Número de Reynolds crítico. RU. Déficit en la velocidad medida por la senda acústica.. s. Longitud de camino recorrido por el frente onda [m].. sc. Área de la sección transversal del conducto [m3].. x.

(19) S. Número de Strouhal.. S. Sistema de referencia de la senda (={O, x, z}).. t. Variable temporal [s].. t±. Tiempo requerido por el frente del pulso de ultrasonidos para desplazarse del extremo P1 al P2 (caso +) y del P2 al P1 (caso –) [s].. Tk. Período de la función δV = f(θT) [º].. T±. Tiempo adimensional requerido por el frente del pulso de ultrasonidos para desplazarse del extremo P1 al P2 (caso +) y del P2 al P1 (caso –).. u. Componente de velocidad del fluido sobre el eje x [m.s–1].. u0. Componente de velocidad del fluido sobre el eje x evaluada en z = 0 [m.s–1].. uA. Componente de velocidad del viento sobre el eje xA del sistema de referencia eA [m.s–1].. uB. Promedio del bloque de NB muestras de la velocidad medida [m.s–1].. uM. Velocidad medida por la senda acústica [m.s–1].. uM±. Velocidad medida por la senda acústica en el sentido P1 al P2 (caso +) y en el sentido P2 al P1 (caso –) [m.s–1].. uP. Componente según x de la velocidad absoluta del pulso [m.s–1].. uS. Velocidad de desplazamiento de la calle de torbellinos [m.s–1].. uVS. u∞ – uS [m.s–1].. u∞. Velocidad del viento sin perturbar [m.s–1].. U. Componente campo de velocidad adimensional sobre el eje x.. U0. Componente campo de velocidad adimensional sobre el eje x evaluada en Z = 0.. UB. Promedio adimensional de un conjunto de NB medidas de la velocidad.. UM. Velocidad medida por la senda acústica.. UX. Derivada parcial de U con respecto a X.. xi.

(20) UX0. Derivada parcial de U con respecto a X evaluada en Z = 0.. UZ. Derivada parcial de U con respecto a Z.. UZ0. Derivada parcial de U con respecto a Z evaluada en Z = 0.. U0. Promedio de U0 a lo largo de la senda.. U 02. Momento de segundo orden de U0 a lo largo de la senda.. U 03. Momento de tercer orden de U0 a lo largo de la senda.. v. Componente de velocidad del fluido sobre el eje y [m.s–1].. vA. Componente de velocidad del viento sobre el eje yA del sistema de referencia eA [m.s–1].. vR. Velocidad de referencia [m.s–1].. v. Vector velocidad [m.s–1].. vP. Vector velocidad de un punto sobre el frente de onda [m.s–1].. vW. Vector velocidad del viento [m.s–1].. V0. Relación w0/u0.. VA. Módulo de la velocidad del viento medida por el anemómetro sónico [m.s–1].. VT. Módulo de la velocidad del viento medida por los instrumentos del túnel aerodinámico [m.s–1].. w. Componente de velocidad del fluido sobre el eje z [m.s–1].. w0. Componente de velocidad del fluido sobre el eje z evaluada en x = 0 [m.s–1].. wA. Componente de velocidad del viento sobre el eje zA del sistema de referencia eA [m.s–1].. wP. Componente según z de la velocidad absoluta del pulso [m.s–1].. W. Componente campo de velocidad adimensional sobre el eje x.. xii.

(21) W. Componente campo de velocidad adimensional sobre el eje x evaluada en Z = 0.. WX. Derivada parcial de W con respecto a X.. WX0. Derivada parcial de W con respecto a X evaluada en Z = 0.. WZ. Derivada parcial de W con respecto a Z.. W Z0. Derivada parcial de W con respecto a Z evaluada en Z = 0.. W02. Momento de segundo orden de W0 a lo largo de la senda.. x. Coordenada espacial horizontal [m].. x1 , x2. Coordenadas sobre el eje x de los extremos de la senda acústica [m].. x. Vector posición [m].. xP. Vector posición de un punto sobre el frente de onda [m].. X. Coordenada espacial horizontal adimensional (con respecto a la longitud de la senda, l).. X0. Coordenada adimensional del torbellino sobre el eje horizontal.. X1, X2. Coordenadas adimensionales sobre el eje x de los extremos de la senda acústica (con respecto a la longitud de la senda, l).. Xt0. Posición de referencia del torbellino o la calle de torbellinos en el instante t = 0.. z. Coordenada espacial vertical [m].. z±. Trayectoria de un punto del frente de onda entre P1 al P2 (caso +) y entre P2 al P1 (caso –) [m].. zF±. Trayectoria de un punto del frente de onda relativa al fluido entre P1 al P2 (caso +) y entre P2 al P1 (caso –) [m].. Z. Coordenada espacial vertical adimensional (con respecto a la longitud de la senda, l).. Z0. Coordenada adimensional del torbellino sobre el eje vertical.. Z±. Trayectoria adimensional de un punto del frente de onda entre P1 al P2 (caso +) y entre P2 al P1 (caso –).. xiii.

(22) Z±1, Z1. Coeficiente del término de orden M de la expresión de Z±.. Z±2, Z2. Coeficiente del término de orden M2 de la expresión de Z±.. ZF±. Trayectoria adimensional de un punto del frente de onda relativa al fluido entre P1 al P2 (caso +) y entre P2 al P1 (caso –).. α. Ángulo entre el vector n y el eje x [rad].. βX. tan–1 KX [rad].. βZ. tan–1 KZ [rad].. δ. Fluctuación de la velocidad del flujo a lo largo de la senda.. δKh. Desviación entre el factor hidráulico de referencia y el calculado.. δT+. Diferencia entre el tiempo de vuelo adimensional de la trayectoria curva y el tiempo de vuelo adimensional de la trayectoria rectilínea.. δV. Desviación en la determinación de la velocidad.. δγ. Desviación en la determinación del ángulo de incidencia.. δθ. Desviación en la determinación del ángulo de orientación.. δˆV. Aproximación por series de Fourier de δV.. ∆. Período de muestro mínimo necesario para captar la información hasta un determinado armónico de la función δV = f(θT) [º].. ∆t. t––t+. Diferencia entre los de tiempos de viaje de la señal de ultrasonidos en ambos sentidos [s].. ∆V. Coeficientes complejos de la Transformada Discreta de Fourier de la función δV = f(θT).. ∆φ. Diferencia de fase entre las señales que viajan en sentidos opuestos entre P1 y P2 [rad].. ε. Relación uS/u∞.. ε±. Desviación máxima con respecto a la senda acústica de la trayectoria parabólica. Entre P1 al P2 (caso +) y entre P2 al P1 (caso –).. xiv.

(23) εU. Factor de escala de la componente adimensional de fluctuación de la velocidad del flujo a lo largo de la senda.. φ. Ángulo de inclinación de la senda con respecto al eje longitudinal del conducto [rad].. φT. Ángulo de corrimiento de fase entre θT y λT [º].. γA. Ángulo de incidencia de la velocidad del viento medida por el anemómetro sónico [º].. γT. Ángulo de incidencia de la velocidad del viento medida por los instrumentos del túnel aerodinámico [º].. Γ. Intensidad de un torbellino aislado [m2.s].. λ. Relación K Γ u∞2 .. λT. Ángulo de orientación del anemómetro en el túnel aerodinámico [º].. λU. Longitud de onda de la señal de ultrasonido [m].. Λ. Relación geométrica de interferencia aerodinámica de la senda (= l/d).. ν. Viscosidad dinámica del fluido [m2.s–1]. θ. Variable auxiliar [rad].. θA. Ángulo de dirección de la velocidad del viento medida por el anemómetro sónico [º].. θT. Ángulo de dirección de la velocidad del viento medida por los instrumentos del túnel aerodinámico [º].. ρ. Perturbación de origen acústico de la densidad atmosférica de equilibrio [kg.m–3].. ρ0. Densidad atmosférica de equilibrio [kg.m–3].. ρ̂. Densidad atmosférica [kg.m–3].. σ. Variable independiente en el plano complejo.. σB. Desviación estándar del conjunto de NB medida de la velocidad.. xv.

(24) υ. Velocidad media en la sección transversal del conducto por el que circula un fluido [m.s–1].. υ0. Velocidad máxima del perfil de velocidades del fluido que circula por un conducto [m.s–1].. ωA. Relación 2π/A.. ψT. Ángulo acimutal del anemómetro respecto al túnel aerodinámico [º].. xvi.

(25) RESUMEN. El objetivo principal de esta tesis es analizar algunas de las principales causas que inducen incertidumbres sobre la medición de la velocidad del viento con anemómetros sónicos. Para ello se han tomado dos caminos complementarios: un estudio teórico del proceso de medida de una senda sónica (formulado mediante un modelo matemático) y un análisis de los resultados experimentales de calibración de un anemómetro sónico. El modelo matemático desarrollado describe el proceso físico que tiene lugar cuando uno de los transductores emite una señal de ultrasonido desde un extremo de la senda de medida. El modelo tiene en cuenta la desviación respecto a la línea recta de la trayectoria de la señal de ultrasonido producida por el campo de velocidades, en contraste a la hipótesis empleada hasta la fecha que considera la propagación rectilínea del sonido entre los transductores. Se demuestra que la medida de la velocidad, además de ser función de la velocidad promedio a lo largo de la senda, también depende de la componente de velocidad perpendicular a la senda, el gradiente transversal en la componente longitudinal, la curvatura de la trayectoria y la desviación estándar del campo de velocidades sobre la senda. Se utiliza el modelo desarrollado para estudiar como afectan a la medida de la velocidad dos flujos con diferentes características: 1) el perfil de velocidades existente en un conducto (flujo rotacional) y 2) el campo de velocidades inducido por la estela provocada por un cilindro cercano a la senda de medida (flujo irrotacional). Por otro se ha realizado un estudio detallado en túnel aerodinámico de un anemómetro sónico con el objetivo de caracterizar de forma precisa las desviaciones en la medida de la velocidad y a detectar su origen. El análisis de los datos ha permitido obtener un criterio de decisión para determinar la cantidad mínima de medidas experimentales necesarias para caracterizar la respuesta de un anemómetro. Además se propone y analiza un procedimiento para condensar la cantidad de datos obtenidos de un ensayo de calibración. xvii.

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(27) ABSTRACT. The main goal of this thesis is to analyze the main causes that generate uncertainty on the measures of wind velocity with sonic anemometers. Two complementary methods had been considered: a theoretical study of the measuring process of a sonic path (developed with a mathematical model) and an analysis of the experimental results of a sonic anemometer calibration. The mathematical model developed describes the physical process that takes place when one of the transducers sends an ultrasonic signal from one side of the acoustic path. The model considers the deviation from the straight line of the ultrasonic signal path caused by the velocities field, which is opposite to the hypothesis used until now that considers the straight propagation of the sound between transducers. It shows that the measure of the velocity, apart from being a function of the average velocity along the path, also depends on the perpendicular velocity component of the path, the crossed gradient in the length component, the path bend and the standard deviation of the velocities field on the path. The developed model is used to study how the velocity measure is affected by two different flows: 1) the velocity profile present in a pipe (rotational flow) and 2) the velocities field caused by the trail of a cylinder located next to the acoustic path (non-rotational flow). On the other hand, a detailed study in a wind tunnel of a sonic anemometer had been done in order to identify accurately the deviations in the velocity measure and to detect its origin. The analysis of the data helped obtain a decision criterion to establish the minimum amount of measures needed to characterize an anemometer response. Besides, a procedure to reduce the amount of data obtained from a calibration essay is proposed and analyzed.. xix.

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(29) 1 INTRODUCCIÓN.. Robert Graves [1] refiere un antiguo mito griego según el cual el dios Zeus, padre de todos los dioses, había confinado los vientos en la isla de Lípara. Temía que si no se los controlaba, un día podían arrasar la tierra y el mar. Zeus encargó los vientos a Éolo, rey de Lípara; su tarea consistía en dejarlos salir, uno por uno, a su propia discreción o atendiendo la petición de algún dios Olímpico. El historiador griego Diodoro explica este mito en un relato que cuenta que Éolo sólo enseñaba a los isleños el uso de las velas en la navegación y predecía los vientos que soplarían observando señales que veía en el fuego. En una época tan reciente como los siglos XVI y XVII las brujas de Inglaterra, Escocia y Bretaña pretendían controlar los vientos y venderlo a los marineros. Ambas historias sugieren que, tanto en una época como en la otra, el interés del hombre por predecir y controlar el viento estaba vinculado a la navegación; una actividad de suma importancia económica y militar. En la actualidad son muchas más las actividades del hombre relacionadas con el comportamiento de los vientos, por lo que la aspiración de poder predecir su comportamiento es mayor aún que la que tenían los antiguos griegos. Sin embargo, y gracias al conocimiento que se tiene de la naturaleza, hoy se sabe que lamentablemente no es posible controlar los vientos, pero es posible explicar su origen y predecir, con limitaciones, su comportamiento mediante consideraciones menos místicas y más racionales que las utilizadas por los antiguos griegos y no tan antiguas brujas. Por otro lado, es bien sabido que desde que la ciencia, tal como se la concibe hoy en día, empieza a tomar forma en el Renacimiento, los métodos experimentales son una herramienta fundamental para comprender el comportamiento de la naturaleza y un instrumento ineludible para verificar la validez de cualquier teoría planteada. Estos métodos se basan en la medición objetiva de una o varias magnitudes físicas controlando, si es posible, las variables que intervienen en la definición de lo que interesa medir. Los instrumentos de medición empleados. 1.

(30) deben ser capaces de determinar la magnitud con la exactitud, resolución y repetitividad que requiera la investigación. Las motivaciones que inspiran el desarrollo de esta tesis surgen de la conjunción de las dos ideas anteriores, es decir, la creciente necesidad de entender el comportamiento de los vientos atmosféricos para así poder pronosticarlos, y la utilización de métodos experimentales para alcanzar este propósito. Dentro de este contexto, se ha definido el objeto general de esta tesis en el estudio en la anemométrica ultrasónica, una técnica de medición del vector velocidad del viento. Los anemómetros sónicos presentan muchas ventajas sobre otros tipos de anemómetros, que se detallarán a lo largo de este capítulo; es por ello que su utilización es cada vez mayor en distintas disciplinas que de un modo u otro están afectadas por los vientos atmosféricos (entornos aeroportuarios, explotación de la energía eólica, aerodinámica civil, entre otras). Cabe aclarar que, si bien la denominación más precisa de estos aparatos es anemómetro ultrasónico en referencia a la frecuencia de las señales que se utilizan. para realizar la medición, es muy habitual que se los denomine anemómetros sónicos como una simplificación del nombre correcto. A lo largo de esta tesis se. utilizaran ambas denominaciones indistintamente.. 1.1. Aplicaciones de la anemometría sónica.. En la industria de la Energía Eólica existe una necesidad imperiosa de predecir la curva de potencia de aerogeneradores instalados en parques eólicos, conociendo la incertidumbre de las predicciones realizadas, con el objeto de comprobar la viabilidad económica del parque. Puesto que las prestaciones de los aerogeneradores dependen fuertemente de la intensidad, dirección y características turbulentas del viento incidente [2-5], acotar la incertidumbre en la medición de las características del viento es acotar las incertidumbres en la predicción de la producción de energía.. 2.

(31) La aerodinámica civil es otra disciplina que requiere el conocimiento de las características del viento con gran precisión y resolución temporal. Esto se debe a que la respuesta de las estructuras civiles (grandes torres, tejados, puentes, etc.) frente a las cargas de origen aerodinámico depende, no sólo de la intensidad y dirección del viento, sino también de sus características turbulentas [6-8]. El conocimiento del viento en entornos aeroportuarios y la meteorología son otros ejemplos en los cuales es importante entender con detalle el comportamiento del viento. Los anemómetros sónicos, desde su aparición a mediados de la década de los 40 [9, 10], han demostrado ser una herramienta poderosa que satisface en gran medida los requisitos mencionados. Carecen de partes móviles y requieren muy poco mantenimiento. Además poseen un umbral de medida muy bajo y permiten velocidades de muestreo de hasta 100 Hz. Todas estas características hacen que estos aparatos sean instrumentos muy adecuados para su utilización en las disciplinas arriba mencionadas y presenten muchas ventajas sobre otro tipo de sistemas como los anemómetros de cazoletas, hélice o hilo caliente [11]. Sin embargo, y a pesar que su funcionalidad ha sido ampliamente demostrada, su respuesta no está completamente caracterizada y los requisitos de exactitud y precisión exigen un esfuerzo constante en profundizar el conocimiento de esta técnica de medida y, por tanto, una revisión y evolución de los modelos que la describen.. 1.2. Principio de operación. La senda de medida. Tal como ya se ha definido, la anemometría sónica es una técnica de medición del vector velocidad del viento que se basa en la medición de la influencia del campo de velocidades del fluido sobre la transmisión de señales de ultrasonido entre un transmisor y un receptor. Un par de transductores enfrentados forman una senda de medida que es capaz de determinar el módulo y el sentido de la velocidad del fluido en la dirección que forman los extremos de la senda. La mayoría de los. 3.

(32) equipos actuales utilizan transductores que alternan su función entre emisor y receptor de la señal de ultrasonido. En la Fig. 1.1 se presenta la configuración más sencilla posible de una senda de medida inmersa en un fluido que se mueve con una velocidad uniforme u∞. Ambos transductores están enfrentados y separado una distancia l.. uh P1. uh+c. uh-c. P2. l. Fig. 1.1. Configuración básica de una senda de medida inmersa en un fluido que se mueve con una velocidad uniforme u∞.. El proceso de medida consiste en que cada transductor emite una señal de ultrasonido que viaja hacia el transductor opuesto. La velocidad de propagación de ambas señales es la suma vectorial de la velocidad del sonido en el fluido, c, y de la velocidad del fluido en el entorno de la senda. Por lo tanto, la velocidad del fluido tiene un efecto diferente sobre la transmisión de ambas señales modificando los tiempos de viaje con respecto a la situación en que el fluido está en reposo. A partir de la medición de las diferencias en los tiempos de propagación es posible determinar la componente del vector velocidad a lo largo de la dirección de la senda. Las señales que emiten los transductores pueden ser de dos tipos: pulsos [12-14] o señales continuas [9, 15-18]. Además existen diversos métodos para la determinación de los tiempos de viaje de ambas señales y según el que se utilice se aplica un algoritmo diferente para el cálculo de la velocidad. A continuación se describen brevemente estos algoritmos y los tipos de señal que pueden utilizarse con cada uno de ellos.. 4.

(33) Una simple observación del esquema de la Fig. 1.1 permite obtener una expresión de los tiempos de viaje en ambos sentidos: t+ =. l ; c + u∞. t− =. l ; c − u∞. (1.1). donde c es las velocidad del sonido en el medio, u∞ es la componente paralela la senda y l la longitud de la senda. El primer algoritmo se obtiene planteando la diferencia de los tiempos de viaje: ∆t = t − − t + =. 2 l u∞ . c 2 − u∞2. (1.2). Considerando que el número de Mach, M = u∞/c, es M << 1 y operando se llega a:. (. u∞ ≡ uM = c 2 − u∞2. ). ∆t ∆t c 2 ∆t = c2 1 − M 2 ≅ . 2l 2l 2l. (. ). (1.3). donde uM es la velocidad determinada por la senda calculada a partir de la diferencia de los tiempos de viaje medidos. Estos pueden obtenerse utilizando tanto señales pulsadas como señales transmitidas de modo continuo. Este algoritmo presenta dependencia directa de la velocidad del sonido, c, lo cual implica a su vez una dependencia de ciertos parámetros termodinámicos del fluido (temperatura, coeficiente adiabático, constante del gas, etc.). En el caso de que las señales sean continuas, sinusoidales y de frecuencia, fU, constante es posible detectar la variación de fase de la señal utilizando un circuito comparador de fases. La equivalencia entre la diferencia de fases, ∆φ, y la diferencia de tiempos es [19]: ∆φ = 2πfU ∆t .. (1.4). Reemplazando esta expresión en la (1.3) se obtiene:. 5.

(34) (. uM = c 2 1 − M 2. ) 4π∆φf. U. l. ≅. c 2 ∆φ 4π fU l. (1.5). La ecuación (1.4) muestra que la diferencia de fases puede hacerse tan grande como se desee aumentando la frecuencia de la señal. Esto podría considerarse una ventaja de este algoritmo. Sin embargo, para altas frecuencias la medición de fase se torna difícil, por lo que esta ventaja no siempre es posible de aprovechar. Si se plantean las velocidades determinadas en cada dirección obtenidas a partir de los tiempos de viaje medidos,. uM + =. l − c; t+. uM − = −. l +c; t−. (1.6). y se promedian, se obtiene la expresión de la velocidad medida por la senda, uM, a partir de la diferencia de la inversa de los tiempos: uM =. u∞+ + u∞− l ⎛ 1 1 ⎞ = ⎜ − ⎟; 2 2 ⎝ t+ t− ⎠. (1.7). Aunque para utilizar este algoritmo el equipo electrónico es un poco más complejo (para poder invertir el valor de los tiempos medidos), tiene la ventaja de que es independiente de la velocidad del sonido. La medición de los tiempos de viaje puede hacerse a partir de pulsos o señales continuas. Actualmente la mayoría de los dispositivos que se comercializan utilizan este algoritmo y es el que se considerará a lo largo de toda la tesis. Todos los algoritmos explicados determinan el valor de una sola medida de la velocidad; sin embargo la mayoría de los anemómetros sónicos comerciales tiene la posibilidad de entregar como dato de salida el promedio de un conjunto de NB medidas muestreadas a una frecuencia fS [20, 21]. El promedio del bloque de NB medidas puede expresarse como:. 6.

(35) 1 uB = NB. NB. ∑u. M. (n) .. (1.8). n =1. En general estos dos parámetros (NB y fS) pueden ser ajustados por el usuario dentro de ciertos límites. Hasta aquí se ha descrito el principio de operación de una senda de medida, que es la unidad fundamental de los instrumentos que miden la velocidad a partir de las perturbaciones que provoca el movimiento de un fluido sobre la propagación de ondas sonoras. A continuación se presentan las características de los anemómetros sónicos, que son dispositivos que aplican esta técnica. 1.3. El anemómetro sónico. Con una configuración de tres o más sendas convenientemente orientadas, es posible formar un anemómetro con capacidad para determinar el vector velocidad en el espacio. En la Fig. 1.2 se presenta como ejemplo el modelo de anemómetro sónico USA-1 de METEK GmbH.. a. b. c. Fig. 1.2. a) Anemómetro sónico de tres sendas modelo USA-1 de METEK GmbH. b) detalle de una senda. c) detalle de un transductor.. Este instrumento está equipado con tres sendas (Fig. 1.2.a); cada una de ellas está configurada por un par de transductores (Fig. 1.2.b); que actúan alternativamente. 7.

(36) como emisor y receptor de las señales de ultrasonidos que viajan de uno a otro sucesivamente. La Fig. 1.2.c muestra un detalle de uno de los transductores de este anemómetro. Se puede establecer una clasificación de los diferentes tipos de anemómetros según sus características principales. En la Tabla 1.1 se presenta una clasificación propuesta por Cuerva [22]. La primera característica se refiere a la capacidad de los transductores de intercambiar las funciones de transmisor y receptor. Los primeros sistemas eran biestáticos, es decir que cada senda está formada por dos emisores y dos receptores (ver Fig. 1.3), debido a que la electrónica no permitía alternar las funciones de un mismo transductor con suficiente rapidez. La ventaja de estos equipos es que la transmisión de señales en sentidos opuestos se puede realizar simultáneamente, sin embargo producen una interferencia aerodinámica mayor que los monoestáticos. Tabla 1.1.Clasificación de los anemómetros sónicos según sus características generales.. Característica. Tipos. Monoestático. Tipo de transductores. Biestático. Número de sendas. 1,2,3 o más Pulsos. Tipo de señal. Señal continua Diferencia de tiempos. Algoritmo de cálculo de velocidad Diferencia de inversos de tiempos Diferencia de fases. La cantidad de sendas que posea un anemómetro está relacionada con su capacidad de determinar las componentes de la velocidad según direcciones específicas. En flujos que se puedan considerar unidimensionales, con una sola senda alcanza para medir el módulo y el sentido de la velocidad. Equipos de este. 8.

(37) tipo son los que se utilizan para medir el flujo en conductos (transporte de líquidos o gases, ventilación y aire acondicionado, túneles de viento, flujo de aire en túneles ferroviarios o carreteras tuneladas, etc). Los modelos de dos sendas no alineadas permiten determinar el vector velocidad en el plano que forman. Este tipo de anemómetro es útil en aquellos procesos atmosféricos donde se sabe a priori que el flujo es horizontal. Los equipos con al menos tres sendas no coplanares tienen la capacidad de determinar el vector velocidad completo en flujos tridimensionales.. Fig. 1.3. Anemómetro biestático desarrollado por Kaimal, J.C. en 1978 [12].. En algunas aplicaciones se utilizan 4 o más sendas con el propósito de compensar los errores en la medida que induce la interferencia aerodinámica. Existen modelos de caudalímetros sónicos que poseen múltiples sendas con el objeto de compensar, mediante un promedio ponderado sobre varias sendas, la incertidumbre que genera el desconocimiento del perfil de velocidades en el conducto [23, 24].. 9.

(38) 1.4. Evolución y estado del arte. En los primeros años de desarrollo se investigaron diferentes tecnologías, acentuando la aplicación de aquellas basadas en la transmisión de pulsos de ultrasonido [25, 26]. Sin embargo, problemas con la detección del frente de onda condujeron al uso de sistemas basados en señales continuas [9, 15-18]. Paralelamente se realizaron avances en la teoría de medida en anemometría sónica, siendo el modelo de Promedio a lo Largo de la Senda el que quedó establecido [27-29]. Durante la década del 70 el progreso de la electrónica permitió desarrollar nuevos sistemas basados en la transmisión de pulsos [12-14], aunque se continuó utilizando los sistemas de señales continuas [30, 31]. Durante los años ochenta se desarrollaron anemómetros cuyas sendas están compuestas por un solo par de transductores que funcionan alternativamente como transmisor y receptor. Como ya se ha mencionado, a este tipo de anemómetros se los denominó monoestáticos. Simultáneamente se introdujo el algoritmo de medida basado en la inversa de los tiempos de transmisión de pulsos, que se impuso sobre aquellos basados en la diferencia directa de los tiempos y la detección de fase [32, 33]. También en los 80' aparecen los primeros trabajos sobre la influencia de la distorsión aerodinámica provocada por la propia estructura del anemómetro, tanto en la medida de velocidades medias [34] como de parámetros turbulentos [35, 36]. En los últimos quince años el desarrollo de la anemometría sónica recibe un impulso muy fuerte debido al crecimiento en el aprovechamiento de la energía eólica; promoviendo numerosos estudios sobre la aplicabilidad de esta técnica en este campo [37-41]. 1.4.1 Limitaciones y problemática La anemometría sónica posee ciertas limitaciones que deben ser estudiadas con detenimiento con el objeto de conocer y acotar la incertidumbre que provocan sobre la medición del vector velocidad del viento. En primer lugar los 10.

(39) anemómetros sonidos no miden la velocidad en un punto específico, sino la variación del tiempo de viaje de la onda de un extremo a otro de la senda, debida a todo el campo de velocidad a través del cual viaja el pulso. Este proceso esta descrito por el modelo de Promedio Instantáneo a lo Largo de la Senda de Medida [28]. La estructura del anemómetro induce dos tipos de perturbaciones sobre la senda de medida; una es el efecto de la estela, aguas abajo, y otra el efecto de bloqueo, aguas arriba, provocadas por las estructuras soporte y las cabezas de los transductores [42]. Las vibraciones de la estructura del sensor debidas a las cargas del viento y su elasticidad también inducen errores en la medida. Otra fuente de incertidumbre es la relacionada con la tolerancia constructiva del anemómetro y las variaciones con respecto al diseño original; es decir, la sensibilidad de la medida a diferencias en la longitud de la senda. La influencia de todos estos factores sobre el estudio de la medida depende de cada modelo de anemómetro y requieren una caracterización particular. Los aspectos de esta caracterización relacionados con la interferencia aerodinámica se llevan a cabo en túneles aerodinámicos. Sin embargo los resultados son muy sensibles a la forma de ejecución de los ensayos y actualmente no existe un estándar para realizarlos.. 1.5. Objetivos y desarrollo de la tesis. El objetivo principal de esta tesis es analizar algunas de las diversas causas que inducen incertidumbres sobre la medición de la velocidad del viento con anemómetros sónicos. Para ello se han tomado dos caminos, por un lado se ha desarrollado un modelo matemático que describe el proceso físico que tiene lugar cuando uno de los transductores emite una señal de ultrasonido desde un extremo de la senda de medida. El modelo tiene en cuenta la desviación de la trayectoria de la señal de ultrasonido producida por el campo de velocidades, siendo la hipótesis empleada hasta la fecha la de la propagación rectilínea entre los. 11.

(40) transductores. Por otro se ha realizado un detallado estudio en túnel aerodinámico de un anemómetro sónico que ayuda a caracterizar de forma precisa las desviaciones en la medida de la velocidad y a detectar su origen. Mediante el modelo matemático propuesto se obtienen las expresiones de los tiempos de viaje de las señales entre el emisor y el receptor en ambas direcciones, en función del campo de velocidades en el espacio adyacente a la senda de medida. Estos datos se utilizan para calcular la velocidad que mide el anemómetro aplicando el algoritmo de la inversa de tiempos. El modelo permite obtener la velocidad que determina una senda de medida inmersa en un campo de velocidades conocido; velocidad que queda expresada en función de los parámetros que definen el campo. El resultado se compara con la componente de la velocidad que se pretende medir y así se estiman las desviaciones que provoca el proceso de medida. Por su interés práctico se ha aplicado el modelo propuesto a dos campos de velocidades: el flujo a través de conductos de sección circular y el modelo de estela de Von Karman. El primero de ellos tiene una aplicación industrial muy importante que es la medición del caudal en conductos de transporte de fluidos. El segundo, está relacionado con las estelas que provocan los cilindros que forma la estructura soporte de los anemómetros sónicos. Como se ha comentado antes, el estudio experimental se ha centrado en la obtención de una gran cantidad de datos mediante la realización de una cantidad significativa de ensayos en túnel aerodinámico de calibración de anemómetros con el objeto de caracterizar las desviaciones de la velocidad, en particular determinar cómo afectan las interferencias aerodinámicas debidas a la estructura del propio anemómetro a las medidas del vector velocidad. Este trabajo está estructurado en seis capítulos que se resumen a continuación. El Capítulo 1 procura brindar una idea general de las motivaciones de esta tesis, así como también introducir al lector en la técnica de la anemometría sónica, incluyendo su evolución, estado del arte, perspectiva, limitaciones y problemas.. 12.

(41) En el Capítulo 2 se presenta el modelo teórico desarrollado. Previamente se incluye una breve reseña de los fundamentos de la acústica, donde se repasan los conceptos físicos y matemáticos y se enuncian las hipótesis que se utilizan en el desarrollo del modelo matemático del proceso de medida. Se aplica el modelo desarrollado a varios campos de velocidad elementales con el objeto de ilustrar la forma en que el flujo afecta a la medida de la velocidad. Por último, para clarificar los resultados obtenidos y facilitar la interpretación física, se considera el caso simplificado de que la trayectoria que describe el pulso de ultrasonido sea una parábola. En el Capítulo 3 se aplica el modelo teórico desarrollado en el Capítulo 2 a un fluido que circula por un conducto de sección circular. Se ha seleccionado este caso por tratarse de un flujo rotacional y porque posee numerosas aplicaciones científicas e industriales. El Capítulo 4 estudia como afecta a la medida de la velocidad una estela de torbellinos. Se presenta un breve resumen de las características del flujo alrededor de cilindros incluyendo el modelo de estela de Von Karman y se resuelven dos casos de interferencia aerodinámica: un torbellino aislado y una estela. El Capítulo 5 está dedicado a la caracterización experimental del comportamiento de un anemómetro sónico mediante ensayos en túnel aerodinámico. Los objetivos son: determinar las interferencias aerodinámicas debidas a la estructura del propio anemómetro en la medición del vector velocidad y obtener criterios que permitan diseñar un método de calibración para este tipo de anemómetros. Se describe el anemómetro ensayado, el equipo utilizado (incluyendo el túnel y los instrumentos de medición) y el procedimiento aplicado. A continuación se presentan los resultados obtenidos de todos los ensayos realizados y se realiza un análisis de estos, centrando la atención en las causas que originan las desviaciones de la medida del anemómetro con respecto a los valores de referencia del túnel aerodinámico. Finalmente, con el objetivo de obtener criterios para diseñar un método de calibración para este tipo de anemómetros, se realiza un análisis. 13.

(42) armónico de las curvas de variación de las desviaciones medidas en función del ángulo de orientación del anemómetro. El Capítulo 6 contiene las conclusiones finales de este trabajo y se destacan las contribuciones originales. Además se proponen las posibles vías de investigación futura según la opinión del autor. En el Capítulo 7 se encuentran las referencias bibliografías consultadas.. 14.

(43) 2 MODELO TEÓRICO DE UNA SENDA DE MEDIDA. A continuación se presenta el modelo matemático propuesto para describir el proceso físico que tiene lugar cuando uno de los transductores emite una señal de ultrasonido desde un extremo de la senda de medida. Se pretende obtener una expresión del tiempo de viaje de la señal entre el emisor y el receptor, en función del campo de velocidades en el espacio adyacente a la senda de medida. Conocido este dato es posible aplicar el algoritmo de la inversa de tiempos (ver apartado 1.2) para determinar la medida de la velocidad del viento que proporciona el anemómetro sónico, que quedará expresada en función de las variables geométricas y del campo de velocidades a lo largo de la senda. Comparando el resultado con la magnitud de interés (la velocidad de la corriente uniforme, la velocidad madia en la senda, etc), que se precisa para cada caso de estudio, se obtiene una expresión del error cometido y una estimación de la incertidumbre asociada al proceso de medida. El capítulo se inicia con una breve reseña de los fundamentos de la acústica, donde se repasan los conceptos físicos y matemáticos y se enuncian las hipótesis que se utilizan en el desarrollo del modelo matemático del proceso de medida. El modelo propuesto tiene en cuenta la desviación con respecto a la trayectoria rectilínea que produce el campo de velocidades existente a lo largo del recorrido que describe la parte de la señal de ultrasonido que llega al receptor. Se analiza el efecto de la desviación en el tiempo de vuelo y por ende en la velocidad medida por la senda. Con el objeto de aclarar e ilustrar la forma en que el flujo afecta a la medida de la velocidad, se aplica el modelo desarrollado a tres campos de velocidad elementales. Por último se considera el caso de que la trayectoria que describe el pulso de ultrasonido sea una parábola. Esta hipótesis simplificadora permite distinguir más claramente el efecto de la desviación de la trayectoria en los tiempos de vuelo y en la medida de la velocidad. 15.

(44) 2.1. Principios de acústica. A lo largo de este capítulo y los siguientes se utilizan diferentes conceptos e hipótesis que, aunque el tratamiento de éstos no es el objetivo de este trabajo, se considera conveniente incluir una breve reseña sobre ellos. Puesto que el principio de funcionamiento de los anemómetros sónicos está basado en la medición de la influencia del campo de velocidad del fluido sobre la transmisión de señales de ultrasonido, se exponen los conceptos físicos, las hipótesis y las herramientas matemáticas sobre las que se basa la teoría de las ondas acústicas. Según Pierce [43] la acústica es la ciencia del sonido, incluida su producción, transmisión y efectos. Se denominan ondas acústicas o sonoras a los movimientos oscilatorios de pequeña amplitud de las partículas de los fluidos compresibles [44]. Las fuerzas restauradoras responsables de la propagación de estas ondas son los cambios en la presión que ocurren cuando el fluido se comprime y expande en forma alternativa. Como las oscilaciones son pequeñas los cambios relativos de la presión y la densidad pueden escribirse como: pˆ = p0 + p,. ρˆ = ρ0 + ρ ,. (2.1). donde p0 y ρ0 son la presión y densidad de equilibrio, mientras que p y ρ son las perturbaciones de origen acústico (p << p0 y ρ << ρ0). Las observaciones experimentales permiten afirmar que en la propagación de ondas acústicas no hay flujo de calor (o es despreciable), lo que implica que no intervienen fuerzas disipativas como la viscosidad del fluido. Por lo tanto, se considera que la transmisión de ondas acústicas es un proceso isentrópico. Sin entrar en detalles, se puede demostrar que bajo esta hipótesis se comprueba que pˆ = pˆ ( ρˆ ) [44]. Si en esta expresión se reemplazan las (2.1), se desarrolla en serie de Taylor alrededor de las condiciones de equilibrio y se desprecian los términos de O(ρ)2 y menores se obtiene: p = c2 ρ ,. ⎛ ∂pˆ ⎞ c2 = ⎜ ⎟ , ⎝ ∂ρˆ ⎠0 16. (2.2).

(45) donde c es la velocidad del sonido y en el caso más general es c = c(x, t). Reemplazando las expresiones (2.1) en las ecuaciones de continuidad y de Euler se obtiene: ∂ρ + ρ 0∇ ⋅ v = 0 , ∂t. (2.3). ∂v 1 + ∇p = 0 , ∂t ρ0. (2.4). donde v es la velocidad. En la ecuación de Euler se ha despreciado el término (v⋅∇) v porque, como se ha dicho, las oscilaciones son pequeñas y por lo tanto la velocidad también lo es. Al conjunto de ecuaciones (2.2), (2.3) y (2.4) se las denomina ecuaciones lineales de la acústica y operando con ellas es posible obtener la ecuación de ondas en función de una sola de las tres variables (p, ρ o. v): ∇2 p −. 1 ∂p = 0. c 2 ∂t. (2.5). Esta es la ecuación de propagación de las ondas que aparece en muchas ramas de la Física como en la teoría del electromagnetismo, las vibraciones mecánicas en sólidos y las ondas gravitatorias entre otras. Según el área de estudio, cambia la variable dependiente del campo (que en este caso es p = p(x, t)) y la velocidad de propagación de las ondas (en este caso c). La solución general de esta ecuación evidencia el carácter ondulatorio del sonido. En las referencias [43-45] se encuentran soluciones para diferentes condiciones de contorno relacionadas con problemas de acústica. 2.1.1 Acústica geométrica. En una onda acústica de frecuencia constante o monocromática (como la que utilizan los anemómetros ultrasónicos), se denomina frente de onda a una. 17.

(46) superficie imaginaria móvil, formada por la unión de todos los puntos del espacio donde la variable (p o ρ) tienen la misma fase. Si una onda acústica monocromática se propaga de forma que su amplitud y dirección de propagación varían muy poco a lo largo de distancias del orden de la longitud de onda, λU, es posible ignorar la naturaleza ondulatoria del sonido y considerar que su transmisión es a lo largo de líneas, llamados rayos, cuyas tangentes en cada punto tienen la misma dirección que la de propagación y son perpendiculares al frente de onda. Esto es equivalente a analizar el sonido en el limite de λU → 0 [44]. El estudio de las leyes que gobiernan la propagación del sonido bajo estas condiciones se denomina acústica geométrica.. Trayectoria del rayo vP vW cn P. Frente de onda. Fig. 2.1. Propagación de un frente de onda en un medio que se mueve. Concepto de trayectoria del rayo.. Ahora, si la onda se propaga en un medio que se mueve con una velocidad, vW, la velocidad de propagación de la onda expresada en un sistema de referencia fijo es:. vP = vW + c n ,. (2.6). donde n es el vector unitario normal al frente de onda y que coincide con la dirección de propagación observada desde un sistema de referencia que se mueve con una velocidad vW [43] (ver Fig. 2.1).. 18.

(47) Sea xP(t), el vector posición de un punto de un frente de onda cualquiera, su velocidad puede expresarse como [43]: dx P = v W (xP , t ) + c ( xP , t ) n ( xP , t ) . dt. (2.7). La expresión anterior considera el caso más general, donde la velocidad del medio, vW y la velocidad del sonido, c, varían tanto en el espacio como en el tiempo. La función xP(t) es la trayectoria del rayo y la expresión (2.7) su velocidad. Si se considera que la velocidad del sonido es constante y que v W << c , Landau y Liptschiz [44] demuestran que:. (∇ × vW ) , dn = −n × ds c. (2.8). donde s es la longitud de camino recorrido y dn/ds representa la curvatura local del rayo. Como puede observarse, la trayectoria presenta una cierta curvatura, sí y sólo si, el campo de velocidades es rotacional y, en ese caso, es del orden del número de Mach, M = |vW|/c. Hasta aquí se han expuesto brevemente los conceptos de acústica que se utilizan en el desarrollo del modelo propuesto. En las referencias [43-45] estos temas se desarrollan con mayor profundidad.. 2.2. Trayectoria de la señal de acústica en un medio que se mueve. La frecuencia de la señal emitida por los transductores que forman una senda de medida suele ser, como mínimo, de 4×104 Hz [46, 47]. Luego, es posible considerar sin mucho error que λU → 0 y, a pesar de que el sonido es una onda y se propaga en todas las direcciones, aplicar los conceptos de la acústica geométrica.. 19.

(48) Cuando uno de los transductores emite una señal de ultrasonido una parte de ella viaja hacia el otro extremo de la senda describiendo una cierta trayectoria que dependerá del campo de velocidades del viento que incide en la vecindad de la senda. En la Fig. 2.2 se representa una trayectoria genérica del pulso que viaja entre los extremos de la senda (puntos P1, emisor y P2, receptor) en un sistema de referencia inercial. El plano x-z queda definido por dos vectores: la dirección de la senda de medida y la velocidad media del fluido durante la medida. Se supone que la velocidad está contenida siempre en el plano x-z o, al menos, que las velocidades transversales son despreciables.. z P2. vP cn a vW. w. u P1. x. Fig. 2.2. Esquema del viaje de un pulso de ultrasonido entre el punto 1 y el 2. Diagrama de velocidades.. El transductor situado en P2 detecta el primer frente de onda que llegue a él, o sea, el que recorre la senda en el menor intervalo de tiempo posible. Por lo tanto el problema consiste en encontrar la ecuación de la trayectoria que minimice el tiempo de vuelo del pulso; es decir, que haga que el valor de la siguiente integral sea mínimo:. 20.

(49) x2. t+ =. ∫ u ( x, z , t ) , x1. dx. (2.9). P. donde t+ es el tiempo que requiere el frente de onda en atravesar la senda en su viaje desde P1 a P2 y uP(x, z, t) la componente según x de la velocidad absoluta del pulso. Se puede realizar un razonamiento análogo para el pulso que se emite desde P2 y viaja hacia P1 para obtener la trayectoria inversa y el tiempo de vuelo t–. A continuación se desarrolla el análisis para encontrar la expresión de la trayectoria en el caso en que el pulso es emitido por el transductor P1 y viaja hacia P2. En todo este desarrollo se considera que no cambian las propiedades del fluido y por lo tanto la velocidad del sonido, c, es constante. Luego, la velocidad absoluta de un punto del frente de onda que se genera en el transductor situado en P1, dada por la ecuación (2.6), puede escribirse como: dx P = v W (xP , t ) + c n ( x P , t ) , dt. (2.10). donde n(xP, t) = n = cosα i + sinα j es el vector unitario en la dirección de la trayectoria del sonido relativa al fluido (Fig. 2.2) y vW puede expresarse como: v W = u ( x , z , t ) i + w ( x, z , t ) j ,. (2.11). donde u(x, z, t) y w(x, z, t) son las componentes del campo de velocidades del fluido en x y z respectivamente. La función f = uP(x, z, t)-1 que minimiza la integral (2.9) es aquella que es solución de la Ecuación Diferencial de Euler [48, 49], d ∂f ∂f − = 0, dx ∂z ′ ∂z. (2.12). junto con sus condiciones de contorno z(x1) = z1 y z(x2) = z2. Para encontrar la solución de este problema es preciso expresar uP(x, z, t) en función de la. 21.

(50) trayectoria, sus derivadas y del campo de velocidades del viento. Con ese fin se plantean las componentes de la velocidad del pulso en el sistema de referencia mostrado en la Fig. 2.2: uP =. dx = u ( x, z , t ) + c cos α , dt. (2.13). wP =. dz = w( x, z , t ) + c sin α . dt. (2.14). Por otro lado, el ángulo α puede expresarse como:. α = arctan z ′F + ,. (2.15). donde z'F+ es la orientación relativa al fluido del frente de onda que se mueve desde el punto 1 hacia el punto 2 a velocidad c. Con esta relación se pueden formular las componentes de la velocidad del pulso como: uP =. dx c , = u ( x, z + , t ) + dt 1 + z ′F2+. (2.16). dz + z ′F2+ = w( x, z+ , t ) + c wP = . dt 1 + z ′F2+. (2.17). Reemplazando (2.16) en la integral (2.9) se obtiene: x2. t+ =. ∫ u+ x1. 1 c 1 + z F′2+. l dx = c. X2. ∫ u+. X1. c. 1 1. dX ,. (2.18). 1 + Z F′2+. donde u = u(x, z+, t), x = l X, z = l Z y l es la longitud de la senda. Se definen las componentes adimensionales de la velocidad del fluido como: U=. u , vR. W=. w . vR. (2.19). 22.

(51) donde vR es una cierta velocidad de referencia que se define en cada caso particular por conveniencia. Sin perder generalidad se puede considerar que ambos extremos de la senda están sobre el eje X y el origen de coordenadas en la mitad de su longitud, es decir P1 = (–½, 0) y P2 = (½, 0), como se muestra en la Fig. 2.3.. Z. -½. ½. X. Fig. 2.3. Senda de medida en el sistema de referencia X–Z.. Entonces el tiempo de vuelo adimensional se define como: 1. 1. 2 c 2 dX = ∫ F+ dX , T+ = t+ = ∫ 1 l −1 U M + − 12 2 2 1 + Z F′ +. (2.20). donde M = vR / c es el número de Mach característico del campo de velocidades incidente y F+ = F+(X, Z, t) es la función que debe reemplazarse en la (2.12) para obtener la ecuación diferencial que proporciona la solución del problema. La última integral incluye la influencia del campo de velocidades del viento sobre el tiempo de viaje del pulso de ultrasonido. 2.2.1 Ecuaciones diferenciales de la trayectoria del pulso de ultrasonido Para encontrar una solución al problema (2.12) se emplea el método de pequeñas perturbaciones basado en la hipótesis de que la velocidad del viento incidente es mucho más pequeña que la velocidad del sonido, entonces se cumple que M << 1. 23.

(52) y por lo tanto los desplazamientos laterales Z+(X) y sus derivadas también son pequeños. Además se considera que durante todo el intervalo que dura una medida completa (viaje de la señal de P1 a P2 más el viaje de P2 a P1) el campo de velocidad no varía. Bajo estas dos hipótesis la función F+ puede desarrollarse en serie de potencias alrededor de M = 0 y Z'F+ = 0: F+ =. =. 1 UM+. 1 1 + Z F′2+. 1. =. 1. UM+ 1+. =. Z F′2+ 4 + O ( Z F′ + ) 2. 1 Z F′2+ 4 U M +1− + O ( Z F′ + ) 2. (2.21) 2. ⎛ Z ′2 Z ′2 4⎞ ⎛ 4⎞ 1 − ⎜ U M − F + + O ( Z F′ + ) ⎟ + ⎜ U M − F + + O ( Z F′ + ) ⎟ − 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3. ⎛ Z ′2 4⎞ − ⎜ U M − F + + O ( Z F′ + ) ⎟ . 2 ⎝ ⎠ Si además se considera que Z'F+ tiene como mucho el mismo orden de magnitud que M y se desprecian los términos menores que O(M)4, la función F+ queda: Z F′2+ 4 + M 2U 2 − M 3U 3 − M U Z F′2+ + O ( M ) . F+ 1 − M U + 2. (2.22). Puesto que lo que se busca es la expresión de la trayectoria del pulso que minimice la integral (2.9) es necesario encontrar una relación entre Z'+ y Z'F+. Para ello se divide la expresión (2.17) por la (2.16) y se reemplazan las velocidades adimensionales:. 24.

(53) Z +′ =. 2 dZ + Z F′ + + M W 1 + Z F′ + = . dX 1 + M U 1 + Z F′2+. (2.23). Si se consideran las hipótesis planteadas en párrafos anteriores, es decir, que el número de Mach es mucho menor que 1, que los desplazamientos laterales y sus derivadas son pequeños y que Z'F+ tiene el mismo orden de magnitud que M, la expresión anterior puede linealizarse desarrollándola en serie de potencias alrededor de M = 0 y Z'F+ = 0: ⎛ Z F′2+ ⎞ ′ + O( M )4 ⎟ Z F + + M W ⎜1 + 3 2 ⎝ ⎠ Z F′ + + M W + O( M ) Z +′ ⎛ Z F′2+ 1 + M U + O ( M )3 4⎞ + O( M ) ⎟ 1 + M U ⎜1 + 2 ⎝ ⎠. (. ). ( Z F′ + + M W ) 1 − M U + M 2U 2 + O( M )3 . (2.24). Z F′ + (1 − M U ) + M W − M 2W U + O( M )3 .. La última ecuación se resuelve para Z'F+ y se llega a: Z F′ + . Z +′ − M W + M 2U W Z +′ (1 + MU ) − M W + O( M )3 . 1− M U. (2.25). Obsérvese que no aparecen términos de orden M2. Como Z'F+ aparece al cuadrado dentro de la expresión de F+ (2.22) no se han tomado términos más pequeños. Reemplazando (2.25) en (2.22) se obtiene: 2 Z +′2 2⎛ 2 W ⎞ ′ − M W Z+ + M ⎜U + F+ = 1 − M U + ⎟+ 2 2 ⎠ ⎝. (. (2.26). ). + M 2U W Z +′ − M 3U U 2 + W 2 , donde se han despreciado los términos de orden M4 y menores. Para escribir la ecuación diferencial (2.12) hay que calcular las siguientes derivadas a partir de la. 25.

(54) expresión (2.26), recordando que tanto U(X, Z) como W(X, Z) están evaluadas en. Z = Z+: ∂F+ = − M (U Z + WZ Z +′ ) + M 2 ( 2U U Z + W WZ ) + O( M )3 , ∂Z + ∂F+ = Z +′ − M W + M 2 W U , ∂Z +′ d ∂F+ = Z +′′ − M (WX + WZ Z +′ ) + M 2 (U (WX + WZ Z +′ ) + W (U X + WZ Z +′ ) ) dx ∂Z +′ = Z +′′ − M (WX + WZ Z +′ ) + M 2 (U WX + W U X ) + O( M )3 ,. donde:. UX =. ∂U , ∂X. UZ =. ∂U , ∂Z +. WX =. ∂W ∂X. y. WZ =. ∂W . ∂Z +. (2.27). Despreciando los términos de orden M3 la ecuación diferencial queda:. Z +′′ + M (U Z − WX ) + M 2 (UWX + WU X − 2UU Z − WWZ ) = 0 .. (2.28). O bien, utilizando la ecuación de continuidad para flujo incompresible ( U X = −WZ ), se obtiene:. Z +′′ + M (U Z − WX ) + M 2 ⎡⎣UWX − 2 (UU Z + WWZ ) ⎤⎦ = 0 .. (2.29). Como las velocidades U(X, Z) y W(X, Z) y sus derivadas están evaluadas en. Z = Z+ la solución de esta ecuación puede ser muy complicada. Ahora bien, como todo el desarrollo se ha realizado bajo la hipótesis de que las desviaciones de la trayectoria recta son pequeñas (Z+ ≈ 0), la función de la trayectoria puede expresarse como Z+ = Z+1 M + Z+2 M2 y las expresiones de las componentes de la velocidad y sus derivadas se pueden desarrollar en la forma:. 26.

(55) U ( X , Z ) U ( X , 0 ) + U Z ( X , 0 ) Z +1M = U 0 + U Z 0 Z +1M , U X U X 0 + U XZ 0 Z +1M , U Z U Z 0 + U ZZ 0 Z +1M ,. W ( X , Z ) W ( X , 0 ) + WZ ( X , 0 ) Z +1M = W0 + WZ 0 Z +1M ,. (2.30). WX WX 0 + WXZ 0 Z +1M , WZ WZ 0 + WZZ 0 Z +1M , Reemplazando el desarrollo de Z+ y las expresiones (2.30) en (2.29) es posible separar los problemas de orden M y M2:. M 1 : Z +′′1 + (U Z 0 − WX 0 ) = 0 ,. (2.31). M 2 : Z +′′2 − 2 (U 0 U Z 0 + W0 WZ 0 ) + U 0WX 0 + Z +1 (U ZZ 0 − WXZ 0 ) = 0 .. (2.32). 2.2.2 Trayectoria de la señal que va de P2 a P1 Se puede realizar un razonamiento similar para el pulso que viaja de 2 a 1 modificando los signos que definen la dirección de avance del frente de onda. En este caso la expresión del tiempo de vuelo adimensional queda: −1. T− = t−. c = l. 2. ∫UM− 1 2. 1 2. dX 1 1 + Z F′2−. =−. ∫ F dX . −. (2.33). −1. 2. donde F– = F–(X) y Z'F– es la orientación del frente de onda que se mueve desde el punto P2 hacia el punto P1 a velocidad c. Por otro lado se obtiene la relación entre. Z'– y Z'F– con un procedimiento similar al desarrollado en las ecuaciones (2.23) a (2.25) llegando a:. Z F′ − Z −′ (1 − MU ) + M W + O( M )3 .. (2.34). Tras desarrollar en serie la función F– con los mismos criterios que para F+ y reemplazar la (2.34) se obtiene:. 27.