07.3- Comparación de Múltiples Medias

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(1)Facultad de Ciencias Naturales, UNSa Área de Estadística Material de apoyo didáctico elaborado por S. Sühring. COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS Cuando se rechaza la Ho al realizar un ANOVA, es necesario realizar análisis complementarios para dar respuesta a los objetivos del experimento. El análisis dependerá del tipo de efecto (fijo o aleatorio) que tiene el factor evaluado. MODELO DE EFECTOS FIJOS Si rechazamos la Ho, sólo podemos afirmar que existe por lo menos una media poblacional de tratamientos que es diferente. Pero: • ¿dónde están localizadas las diferencias? • ¿cuál es la diferencia mínima requerida entre dos medias muestrales para decir que existen diferencias significativas entre las respectivas medias poblacionales? Para poder responder a estas preguntas debemos realizar pruebas para comparar los valores medios de los grupos. Se pueden plantear muchas hipótesis que respondan a diferentes objetivos de investigación, por lo que se tomará un conjunto de decisiones simultáneas. Por ejemplo, si evaluamos 3 tratamientos (1, 2 y 3) podríamos plantear las hipótesis nulas: µ1 = µ2 µ1 = µ3 µ2 = µ3. La inferencia simultánea afecta los errores estadísticos asociados. Al realizar una prueba se definen dos tipos de error, I y II, inversamente relacionados. El error de tipo II está afectado por la cantidad de réplicas, la varianza y el tamaño de la comparación para las medias poblacionales. Para una comparación cualquiera llamamos αC a su probabilidad de error tipo I. Si vamos a realizar varias comparaciones (familia de comparaciones), se define αE como la tasa de error de tipo I con respecto al experimento, es decir, la probabilidad de cometer al menos un error en la familia de comparaciones. Si se propone realizar todas las comparaciones de las t medias tomadas de a pares, habrá k = t (t - 1) /2 comparaciones posibles. Si todas las hipótesis nulas fueran ciertas, y todas las comparaciones independientes, la probabilidad de cometer x errores en las k pruebas se puede calcular usando la distribución binomial:. k  P( X = x) =   p x .q k − x , donde p: αC y q: (1 - αC)  x k  P( x = 0) =  α C0 .(1 − α C ) k = 1.1.(1 − α C ) k = (1 − α C ) k 0 La tasa de error del experimento αE (probabilidad de cometer al menos un error) será:. α E = P( x ≥ 1) = 1 − [P ( x = 0)] = 1 − (1 − α C ) k. De esta igualdad se deduce que:. α C = 1 − (1 − α E ) 1 / k. Si por ejemplo k = 4 y αC = 0.05, la tasa de error αE será 0.185 !! (mucho mayor que la probabilidad de error de cada comparación). Comparaciones múltiples de medias – 2016. 1.

(2) Si k = 4 y αE = 0.05, la tasa de error de cada comparación deberá ser αC = 0.0013 !! Para realizar inferencia simultánea con una tasa de error del experimento inalterada (en un valor fijado por el investigador), se han desarrollado diversos métodos estadísticos específicos denominados comparaciones múltiples de medias. El método estadístico a elegir dependerá del tipo y la fuerza de la inferencia deseados. Los tipos de inferencia pueden ser: contrastes planeados, comparaciones contra el mejor tratamiento, comparaciones contra el tratamiento control, comparaciones de a pares. La fuerza de la inferencia se refiere a cuánto se puede decir de la comparación: 1) Las más fuertes brindan información acerca de la magnitud y la dirección de la inferencia. Es el caso de los intervalos de confianza simultáneos. 2) Inferencia de direcciones confiables: puedo establecer la dirección (si Ci > 0 ó Ci < 0), pero no miden la magnitud de la diferencia. 3) Inferencia de desigualdades confiables: puedo establecer si Ci = 0 ó Ci ≠ 0, pero no miden la magnitud ni la dirección de la diferencia. 4) Comparación individual: no tiene en cuenta que habrá una inferencia simultánea, por lo tanto el αE será mayor. Las comparaciones de las medias poblacionales se pueden plantear a priori o a posteriori. Las pruebas a priori son las que se plantean como H1 antes de realizar el experimento; el investigador identifica patrones específicos de diferencias entre las medias de los grupos ensayados porque tiene una idea previa de los resultados que va a obtener. En este caso podría planear de antemano qué comparaciones o contrastes va a realizar para responder a preguntas acerca del comportamiento de los distintos tratamientos; existe una secuencia ordenada para las comparaciones planteadas y por ello se garantiza orden y lógica en las interpretaciones y conclusiones. Estas pruebas se deben realizar aún si el ANOVA no resultara significativo. Entre ellas se encuentran las pruebas F planeadas y la prueba de Dunnett. Las pruebas a posteriori se realizan sólo si el ANOVA dio significativo para descubrir dónde están las diferencias entre medias. Se plantean comparaciones sugeridas por los datos, es decir por los resultados del experimento, o todos los contrastes de a pares. Entre ellas se incluyen las pruebas de Scheffé, Duncan y Tukey. Cuando el investigador está interesado en analizar las diferencias entre las medias de a pares, cada comparación considera sólo dos medias y las hipótesis se plantean como: Ho: µi = µj ó (µi - µj) = 0 H1: µi ≠ µj ó (µi - µj) ≠ 0 En estos casos el valor crítico utilizado para tomar la decisión se denomina DMS (diferencia mínima significativa), y es la diferencia más pequeña que debe haber entre dos medias muestrales ( Yi − Y j ) para concluir que las medias poblacionales respectivas son diferentes (es decir, rechazar la Ho). Prueba de Tukey Se utiliza para determinar la significación de todas las comparaciones posibles entre pares de medias. Las hipótesis que se plantean son: Ho: µi = µj ó. (µi - µj) = 0. H1: µi ≠ µj ó. (µi - µj) ≠ 0. Para responder se calcula la correspondiente diferencia di = Yi − Y j que se compara con el valor de DMS. Si di> DMSTukey se rechaza la Ho ⇒ las diferencias entre las respectivas medias poblacionales son significativas.. Comparaciones múltiples de medias – 2016. 2.

(3) Se calcula un único valor de DMSTukey para cada nivel de significación dado (α), denominado “amplitud o rango estudentizado”, para contrastar todas las hipótesis planteadas.. DMS Tukey = q( t ;δ e )α ⋅. CMEE r. cuando los ri son iguales.  1 1  CMEE  DMS Tukey = q(t ;δ e )α ⋅  +   r r  2  j   i. cuando los ri son diferentes. q = valor de la tabla de amplitud total estudentizada de Tukey, depende de t y δe t = número de tratamientos (n en la tabla) δe = grados de libertad del error experimental (m en la tabla) r = número de repeticiones con las que se calculó cada media a comparar Se deben ordenar las medias de grupos de menor a mayor en filas y columnas, calcular las diferencias de los pares (di) y compararlas con la DMSTukey. Es una prueba sencilla y sensible por lo cual es ampliamente utilizada. OJO! Cuando los tamaños muestrales son muy diferentes, la prueba de Tukey puede dejar de ser confiable, en ese caso podría utilizarse algún procedimiento de contraste múltiple que considere tal situación, como el de Scheffé. Con pruebas F es más fácil rechazar la hipótesis de igualdad de medias que con Tukey, por esta razón se dice que esta última es más conservadora (menor error tipo I) y la primera es más potente (menor error tipo II). También resulta más conservador que Duncan. Usando el valor de DMS pueden calcularse intervalos de confianza simultáneos para las diferencias de medias con:. d i ± DMS Tukey Si el intervalo de confianza calculado incluye al valor 0 (cero) se concluye que las medias poblacionales son iguales. Prueba de Duncan Permite comparar medias de a pares. Se conoce como prueba de rangos múltiples, ya que se calcula un valor de DMS para cada amplitud. La amplitud se refiere a la cantidad de medias que abarca el contraste cuando éstas son ordenadas de menor a mayor (diferencias o desviaciones de amplitud múltiple). Por esta razón es más eficiente, es decir, tiene mayor capacidad de detectar diferencias entre dos medias si es que estas diferencias existen. Con esta prueba se obtienen más diferencias significativas que con Tukey, es decir que es más sensible. Las hipótesis que se plantean son: Ho: µi = µj H1: µi ≠ µj Si la cantidad de réplicas es la misma para los tratamientos a comparar, se calcula como:. DMS Duncan = Z ( p ;δ e )α ⋅ Comparaciones múltiples de medias – 2016. CMEE r 3.

(4) Donde Z es un valor de la tabla de Duncan para un α dado, que depende del número de medias abarcadas en el contraste (p) y de los grados de libertad del error (δ δe). Si el número de réplicas es diferente el nivel de significación es solo aproximado, pero puede calcularse como:. DMS Duncan = Z ( p ;δ e )α ⋅ 0.5 ⋅. di = Z ( p ;δ e )α ⋅ 0.5 ⋅ CMCo t ci2 ∑ i =1 ri. Si di> DMSDuncan ⇒ rechazo la Ho de igualdad de medias Para evitar contradicciones, ninguna diferencia en una pareja de medias se considera significativa si las medias se encuentran entre dos que no diferían significativamente. Prueba de Dunnet Se utiliza en experimentos que incluyen un testigo, ya que permite comparar cada una de las medias de los tratamientos ensayados contra el testigo. Si se dispone de t grupos de los cuales uno es el control, se pueden realizar (t – 1) comparaciones. Las hipótesis que se plantean son: Ho: µi = µj H1: µi ≠ µj Para todos los contrastes planteados se calcula un único valor crítico (DMS), en función del valor de nivel de significación establecido (α). El valor crítico se denomina DMSDunnett = DUT Si la diferencia entre medias observada di = Yi − Y j > DMSDunnett ⇒ rechazo la Ho de igualdad de medias.. DMS Dunnett = t ′ (α ; p;δ e ).. 2CMEE cuando los ri son iguales r. 1 1 DMS Dunnett = t ′ (α ; p; δ e ). CMEE  +  cuando los ri son diferentes r r  j   i Donde t’ es un valor de la tabla de Dunnett que depende del nivel de significación (α), del número de tratamientos incluido el control (p) y de los grados de libertad del error δe. Pueden calcularse intervalos de confianza simultáneos para estimar la diferencia entre medias con:. d i ± t ′ (α ; p; δ e ). 2.CMEE r. El valor de t’ se extrae de la tabla de Dunnett para comparaciones bilaterales. Si un intervalo de confianza incluye al valor 0 (cero) se concluye que las medias son iguales. Con la prueba de Dunnet la cantidad de comparaciones que pueden plantearse son restringidas, por eso el valor crítico es menor que el de la prueba de Tukey.. Comparaciones múltiples de medias – 2016. 4.

(5) COMPARACIONES O CONTRASTES Son combinaciones lineales de las medias o de los totales de tratamientos que expresan la forma en que deseo realizar las comparaciones. Por ejemplo: si se quiere comparar dos medias µ1 y µ2 , la Ho dirá que son iguales: µ1 = µ2 y por lo tanto su diferencia sería igual a cero (µ µ1 - µ2 = 0) . Así, esta comparación puede escribirse como: Qi = c1 µ1 + c2 µ2 = 0 Los coeficientes c1 y c2 serán (1) y (-1) y el contraste queda expresado como: Qi = (1) µ1 + (-1) µ2 Una comparación será un contraste si: Qi = c1 µ1 + c2 µ2 + . . . + ct µt. Si la ∑ ci = 0 ⇒ contraste. Qi = comparación o contraste ci = coeficiente que corresponde a cada media t = número de tratamientos Reglas para elegir los coeficientes: 1. Si deseo comparar 2 grupos de igual tamaño, le asigno 1 a cada media de un grupo y -1 a cada media del otro grupo. 2. Si deseo comparar dos grupos de diferente tamaño, le asigno a cada media del primer grupo un coeficiente igual al tamaño del segundo grupo, y a cada media del segundo grupo un coeficiente igual al tamaño del primer grupo pero negativo. 3. A las medias que no se incluyen en el contraste se les asigna el coeficiente ci = 0. 4. Debo simplificar los coeficientes para que resulten un número entero mínimo. Ejemplo: Se evaluaron 5 tratamientos (t = 5), por lo tanto hay 5 medias poblacionales involucradas en el contraste (µ1 , µ2 , µ3 , µ4 y µ5) a) Si quiero comparar µ1 con µ2 la Ho será: µ1 = µ2 Qi = (1) µ1 + (-1) µ2 + (0) µ3 +(0) µ4 + (0) µ5 b) Si quiero comparar dos grupos de medias, el grupo 1 con µ1 y µ2 y el grupo 2 con µ3, µ4 y µ5 . La Ho será:. µ1 + µ 2 2. =. µ3 + µ 4 + µ5 3. Como el grupo 1 tiene 2 medias y el grupo 2 tiene 3 medias, entonces: Qi = (3) µ1 + (3) µ2 + (-2) µ3 +(-2) µ4 + (-2) µ5 Contrastes ortogonales Dados dos contrastes se dice que éstos son ortogonales si se cumple que ∑ c1i c2i = 0 Los contrastes ortogonales son independientes, es decir que no contienen información redundante. La variación de uno de ellos es independiente de la del otro, por lo que la información que proporciona una comparación no se solapa con la proporcionada por la otra. Si disponemos de t medias se podrán plantear (t – 1) contrastes ortogonales. Ejemplo:. Q1 = (1) µ1 + (-1) µ2 + (0) µ3 + (0) µ4 + (0) µ5 Q2 = (3) µ1 + (3) µ2 + (-2) µ3 + (-2) µ4 + (-2) µ5 ∑ c1i c2i = (1 x 3) + (-1 x 3) + (0 x -2) + (0 x -2) + (0 x -2) = 0 ⇒ son ortogonales. Comparaciones múltiples de medias – 2016. 5.

(6) Los contrastes pueden definirse en general como Qi = ∑ ciYi ; donde los Yi pueden corresponder a totales o a medias de tratamientos. Como Qi es un estadístico que varía (si repetimos el experimento las medias de cada tratamiento pueden ser diferentes y por tanto el valor de Qi también será diferente), es importante conocer su varianza. La varianza de cada contraste se calcula como la suma de cuadrados dividido los grados de libertad (δ : siempre es igual a 1), ⇒ SCCo = CMCo. Cuando se usan totales de tratamientos la varianza del contraste se calcula: si el número de réplicas no es el mismo si el número de réplicas es el mismo 2. CMCo =.  t   ∑ ci Yi.  Qi2 i =1   CMCo = = t t r ∑ ci2 r ∑ ci2. 2 i. Q. ci2 ∑ i =1 ri t. i =1. i =1. Cuando se usan medias de tratamientos la varianza del contraste se calcula: si los ri son diferentes si r es igual para todos los grupos t. CMCo = CMEE ⋅ ∑ i =1.  t 2  ∑ ci  CMCo = CMEE ⋅  i =1  r. 2 i. c ri. Las hipótesis sobre contrastes en general pueden expresarse como: Ho: Qi = 0. H1: Qi ≠ 0. Para poner a prueba hipótesis referidas a contrastes podemos utilizar las pruebas F planeadas (si los contrastes se plantearon a priori) o las pruebas de Scheffé (cuando los contrastes son planteados a posteriori en función de los resultados obtenidos). Pruebas F planeadas Se utilizan para poner a prueba comparaciones específicas que pueden incluir grupos de medias. Los contrastes planteados deben ser ortogonales (independientes), es decir que la información de una comparación no se solapa con la de otra comparación. En estos contrastes se utilizan los totales de tratamientos y por eso se utiliza el estadístico Fc para ponerlos a prueba. Si se plantean (t - 1) contrastes ortogonales, entonces cada uno constituye una partición de la SCTr, y por lo tanto la ∑SCCo = SCTr. Las hipótesis que se plantean son: Ho: Qi = 0. El estadístico de prueba es:. Fc =. H1: Qi ≠ 0. CMCo ≈ F(1,δ );α e CMEE. Prueba de Scheffé Permite realizar muchos contrastes simultáneos utilizando las medias de tratamientos. Las hipótesis que se plantean son: Ho: Qi = 0. Comparaciones múltiples de medias – 2016. H1: Qi ≠ 0. 6.

(7) La DMS se calcula utilizando los valores de los coeficientes de los contrastes. t. DMS Scheffé = (t − 1).F( t −1),δe . CMCo = (t − 1) ⋅ F ⋅ CMEE.∑ i =1. ci2 . ri. donde t = n° de tratamientos ; F valor de la tabla F de Snedecor que depende de (t - 1) y δe (grados de libertad del error). Si Qi > DMSScheffé ⇒ rechazo la Ho de igualdad de medias. Esta prueba se utiliza cuando hay datos perdidos, o cuando se quieren realizar contrastes sugeridos por los datos, o si se tienen muchos tratamientos y poca planificación (muchas preguntas). Es un método muy conservador o riguroso (es menos sensible), ya que se puede usar para cualquier número de contrastes. Detecta sólo diferencias grandes, por lo que tiende a considerar significativas menos diferencias de las que debiera. No es recomendable si se van a plantear muchas comparaciones de a pares de medias. Pueden calcularse intervalos de confianza simultáneos para las diferencias de medias con: t. d i ± (t − 1) ⋅ F(t −1),δ e ⋅ CMEE ⋅ ∑ i =1. ci2 ri. MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS En este modelo se asume que los t niveles del factor considerados son una muestra aleatoria de muchas más situaciones distintas y aleatorias. Un valor cualquiera yij se puede escribir como: yij = µ + Ai + εij i = 1, 2, …t y j = 1, 2, …r donde Ai es una variable distribuida normalmente, independiente de los εij, con media 0 y varianza σ2A. σ2A : componente añadida a la varianza de los datos. E ( CMA ) = σ. 2. ∑ + n. A i2. k −1. =σ. 2. + nσ. 2 A. La existencia de esta componente añadida se contrasta con F = CMA/CMEE y en caso afirmativo (se rechaza la Ho), la σ2A se estima como:. σ. 2 A. =. 1 ⋅ (CMA − CMEE r. ). Nos interesa entonces calcular la magnitud relativa de σ2A respecto de la varianza común σ2 expresada como porcentaje, que para el caso de un ANOVA I sería:. 100 .σ A2 σ A2 + CMEE. La magnitud relativa de las componentes da una idea de la contribución de cada una de las dos fuentes de variabilidad.. Comparaciones múltiples de medias – 2016. 7.

(8) Ejemplo COMPARACIONES MÚLTIPLES DE MEDIAS Utilizando los datos del ejemplo 2 del teórico de ANOVA: Se realizó un ensayo experimental empleando cuatro sistemas de lucha biológica contra la mosquita del sorgo: a) empleando un microhimenóptero parásito b) Eliminando las gramíneas muertas, c) empleando un hongo patógeno para la plaga y d) utilizando la protección por escape. Se consideró un testigo sin tratamiento. Una réplica de cada tratamiento fue dispuesta al azar en cada uno de 5 establecimientos de la zona de producción. La variable de respuesta fue el rendimiento en kg/ha. Resultado del ANOVA: Cuadro de ANOVA F5% F1% FV SC Gl CM Fc Establecimiento 49.84 4 12.46 2.30 3.006 4.77 Tratamiento 83.84 4 20.96 3.87* 3.006 4.77 Error 86.56 16 5.41 Total 220.24 24 Conclusiones: El sistema de lucha incide en el rendimiento del sorgo, la media de rendimiento de alguno de los sistemas es diferente. El establecimiento no incide en el rendimiento del cultivo. Es necesario realizar un análisis complementario para saber qué media es diferente. Prueba F planeada Se deben plantear los contrastes ortogonales y calcular para cada uno del valor de Qi y el CMCo. Las hipótesis planteadas son: µ + µC µ B + µ D µ + µ B + µC + µ D 1) µT = A 2) µ A = µc 3) A 4) µ B = µ D = 4 2 2. Totales 1 2 3 4. T 446 -4 0 0 0. Tratamientos A B C 469 459 467 1 1 1 1 0 -1 1 -1 1 0 1 0. D Qi = ∑ (ciYi.) 471 82 1 2 0 6 -1 -12 -1. r.∑. ci2. 100 10 20 10. SCCo =CMCo Qi 2 / r .∑ ci2. Fc = CMCo / CMEE. 67.24 0.4 1.8 14.4 83.84. 12.43** 0.074 0.333 2.662. Q1= (-4)446 + (1)469 + (1)459 + (1)467 + (1)471 = 82 Q2= (0)446 + (1)469 + (0)459 + (-1)467 + (0)471 = 2 Q3= (0)446 + (1)469 + (-1)459 + (1)467 + (-1)471 = 6 Q4= (0)446 + (0)469 + (1)459 + (0)467 + (-1)471= -12 F1,16, 0.05 = 4.49. F1,16, 0.01 = 8.53. Interpretación: existen diferencias significativas entre el rendimiento promedio de las parcelas sin tratar respecto de las tratadas con cualquiera de los sistemas de lucha. No se encontraron diferencias significativas en el rendimiento medio de los sistemas de lucha. Usando el InfoStat la salida será: Contrastes SISTEMA_LUCHA Contraste1 Contraste2 Contraste3 Contraste4 Total. Contraste 16,40 0,40 1,20 -2,40. Comparaciones múltiples de medias – 2016. E.E. 4,65 1,47 2,08 1,47. SC gl 67,24 1 0,40 1 1,80 1 14,40 1 83,84 4. CM F p-valor 67,24 12,43 0,0028 0,40 0,07 0,7892 1,80 0,33 0,5721 14,40 2,66 0,1223 20,96 3,87 0,0219. 8.

(9) Coeficientes de los contrastes SISTEMA_LUCHA Ct.1 Ct.2 Ct.3 Ct.4 A 1,00 1,00 1,00 0,00 B 1,00 0,00 -1,00 1,00 C 1,00 -1,00 1,00 0,00 D 1,00 0,00 -1,00 -1,00 T -4,00 0,00 0,00 0,00. Prueba de Dunnett Se deben calcular los valores críticos para cada nivel de significación.. DMS Dunnett = t ′ (α ; p;δ e ). DMS Dunnett ,5% = 2.71.. 2CMEE r. 2(5.41) = 3.99 5. DMS Dunnett ,1% = 3.51.. 2(5.41) = 5.16 5. Procedimiento: 1) se calculan las medias de cada tratamiento, 2) se calculan las diferencias entre la media del testigo y cada una de las medias de tratamientos, 3) se compara el valor di con el DMS para conlcuir. Tratamiento Media (kg). T A B C D 89.2 93.8 91.8 93.4 94.2. tratamientos Diferencias con media del T (kg). A 4.6*. B 2.6. C 4.2*. D 5*. Cálculo de intervalos de confianza simultáneos del 95% para las diferencias con:. d i ± t ′(α ; p; δ e ) A: 4.16 ± 2.71. 2.(5.41) 5. →. 2.CMEE r. 4.16 ± 3.99 → [0.17 ; 8.15] *. Interpretación: Se puede afirmar con un 95% de confianza que la diferencia en el rendimiento promedio del sorgo será de entre 0,17 y 8,15 kg si se aplica el método de control A.. 2.(5.41) → 2.6 ± 3.99 → [− 1.39 ; 6.59] 5 2.(5.41) → 4.2 ± 3.99 → [0.21 ; 8.19] * C: 4.2 ± 2.71 5 2.(5.41) → 5 ± 3.99 → [1.01 ; 8.99] * D: 5 ± 2.71 5. B: 2.6 ± 2.71. Prueba de Tukey Se deben calcular los valores críticos para cada nivel de significación con:. DMS Tukey = q( t ;δ e )α ⋅. Comparaciones múltiples de medias – 2016. CMEE r 9.

(10) DMS Tukey ,5% = 4.33. 5.41 = 4.504 5. DMS Tukey1% = 5.49. 5.41 = 5.71 5. Las medias ordenadas se ubican en filas y columnas para calcular los valores de di. Se comparan con el valor de DMS para decidir. D 94.2 T B C A D. A 93.8. C 93.4. B 91.8. T 89.2. 89.2. 5*. 4.6*. 4.2. 2.6. 91.8. 2.4. 2. 1.6. 0. 93.4. 0.8. 0.4. 0. 93.8. 0.4. 0. 94.2. 0. 0. Usando InfoStat la salida será: Test:Tukey Alfa=0,05 DMS=4,50683 Error: 5,4100 gl: 16 SISTEMA_LUCHA Medias n T 89,20 5 B 91,80 5 C 93,40 5 A 93,80 5 D 94,20 5. E.E. 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04. A A A. B B B B. Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p > 0,05). Prueba de Duncan Debemos ordenar las medias de menor a mayor y establecer las comparaciones en función de la cantidad de medias que abarcan:. orden de las medias T. B. C. A. D Abarcan dos medias. Abarcan tres medias Abarcan cuatro medias Abarca cinco medias Se calculan los valores críticos para cada amplitud :. p 2 3 4 5. 5% Z 3.00 3.15 3.23 3.30. Comparaciones múltiples de medias – 2016. 1% DMS 3.12 3.28 3.36 3.43. Z 4.13 4.34 4.45 4.54. DMS 4.29 4.51 4.62 4.72. 10.

(11) Se calculan los valores de di y se comparan con los respectivos valores críticos. Comparaciones que abarcan dos medias: B - T = 2.6. C - B = 1.6. A - C = 0.4. D - A = 0.4. Comparaciones que abarcan tres medias: C - T = 4.2*. A-B=2. D - C = 0.8. Comparaciones que abarcan cuatro medias: A - T = 4.6* D - B = 2.4 Comparaciones que abarcan cinco medias: D - T = 5** B C A D Usando InfoStat la salida será: Test:Duncan Alfa=0,05 Error: 5,4100 gl: 16 SISTEMA_LUCHA Medias T 89,20 B 91,80 C 93,40 A 93,80 D 94,20. n 5 5 5 5 5. E.E. 1,04 1,04 1,04 1,04 1,04. A A. B B B B. Medias con una letra común no son significativamente diferentes (p > 0,05). Prueba de Scheffé. Se deben establecer los contrastes y calcular para cada uno del valor de Qi usando las medias de cada tratamiento y el CMCo. Las hipótesis planteadas son: µ + µC µ B + µ D µ + µ B + µC + µ D 1) µT = A 2) µ A = µc 3) µT = µ D 4) µ B = µ D 5) A = 4 2 2 Q1= (-4)89.2 + (1)93.8 + (1)91.8 + (1)93.4 + (1)94.2 = 16.4 Q2= (0) 89.2 + (1) 93.8 + (0) 91.8 + (-1) 93.4 + (0)94.2 = 0.4 Q3= (0) 89.2 + (1) 93.8 + (-1) 91.8 + (1) 93.4 + (-1) 94.2 = 5.0 Q4= (0) 89.2 + (0) 93.8 + (1) 91.8 + (0) 93.4 + (-1) 94.2 = 2.4 Q5= (0) 89.2 + (1) 93.8 + (-1) 91.8 + (1) 93.4 + (-1) 94.2 = 1.2 Tratamientos CMCo = DMS5%/1% T A B C D Qi ∑ ci2 ∑ ci2 / r CMEE .(∑ ci2 / r) Totales 89.2 93.8 91.8 93.4 94.2 16.14 / 20.31 Q1 -4 1 1 1 1 16.4* 20 4 21.64 0.4 5,10 / 6.43 Q2 0 1 0 -1 0 2 0.4 2.164 5 5,10 / 6.43 Q3 1 0 0 0 -1 2 0.4 2.164 2.4 5,10 / 6.43 Q4 0 0 1 0 -1 2 0.4 2.164 1.2 7.21 / 9.09 Q5 0 1 -1 1 -1 4 0.8 4.328 F4,16, 0.05 = 3.01. F4,16, 0.01 = 4.77. DMS Scheffé = (t − 1).F(t −1),δ ee ⋅ CMCo. DMS Scheffé ,5% = 4.(3,01).21,64 = 16,14. Comparaciones múltiples de medias – 2016. DMS Scheffé ,1% = 4.(4,77).21,64 = 20,31. 11.

(12) DMS Scheffé ,5% = 4.(3,01).2,164 = 5,10. DMS Scheffé ,1% = 4.(4,77).2,164 = 6,43. DMS Scheffé ,5% = 4.(3,01).4,328 = 7,21. DMS Scheffé ,1% = 4.(4,77).4,328 = 9,09. COMPARACION ENTRE RESULTADOS DE LAS PRUEBAS Como las diferentes pruebas propuestas tienen distinta sensibilidad, sus resultados pueden ser diferentes. En el ejemplo: Tukey. Duncan. Dunnett. *. *. *. 0. 0. *. *. *. *. *. AB. 0. 0. AC. 0. 0. AD. 0. 0. BC. 0. 0. BD. 0. 0. CD. 0. 0. TA TB. 0. TC. 0. TD. T vs. otras AC vs. BD. Comparaciones múltiples de medias – 2016. Scheffeé. F. 0. 0. 0. 0. 0. *. *. 0. 0. 12.

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