Problemas con D´ıgitos II
Jorge Tipe Villanueva
Lima, agosto de 2010
Recordando...
S(n) denota la suma de d´ıgitos del n´umero n.
En la primera sesi´on vimos las siguientes desigualdades:
S(a+b)≤S(a) +S(b)
S(ab)≤S(a)S(b)
Recordando...
S(n) denota la suma de d´ıgitos del n´umero n.
En la primera sesi´on vimos las siguientes desigualdades:
S(a+b)≤S(a) +S(b)
S(ab)≤S(a)S(b)
Recordando...
Usando las desigualdades anteriores se demostr´o:
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(2n) es
5.
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(4n) es 7.
¿Cu´al ser´a el mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
Recordando...
Usando las desigualdades anteriores se demostr´o:
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(2n) es 5.
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(4n) es 7.
¿Cu´al ser´a el mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
Recordando...
Usando las desigualdades anteriores se demostr´o:
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(2n) es 5.
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(4n) es
7.
¿Cu´al ser´a el mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
Recordando...
Usando las desigualdades anteriores se demostr´o:
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(2n) es 5.
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(4n) es 7.
¿Cu´al ser´a el mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
Recordando...
Usando las desigualdades anteriores se demostr´o:
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(2n) es 5.
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(4n) es 7.
¿Cu´al ser´a el mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(3n) ?
Recordando...
Usando las desigualdades anteriores se demostr´o:
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(2n) es 5.
I El mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
S(4n) es 7.
¿Cu´al ser´a el mayor valor que puede tomar la expresi´on S(n)
La respuesta es:
La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
La respuesta es:La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
La respuesta es:La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
La respuesta es:La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
La respuesta es:La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
La respuesta es:La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
La respuesta es:La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
La respuesta es:La expresi´on S(n)
S(3n) puede tomar valores arbitrariamente grandes.
Paran= 34 la expresi´on es igual a S(34)
S(102) = 2,33. . .
Paran= 334 la expresi´on es igual a S(334)
S(1002) = 3,33. . .
Paran= 3334 la expresi´on es igual a S(3334)
S(10002) = 4,33. . .
Paran= 33334 la expresi´on es igual a S(33334)
S(100002) = 5,33. . .
Paran= 333334 la expresi´on es igual a S(333334)
S(1000002) = 6,33. . .
Paran= 3333334 la expresi´on es igual a S(3333334)
En general, si
n= 333. . .34 | {z }
kd´ıgitos
se cumple que
S(n)
S(3n) =k+ 1 3.
Esto significa que la expresi´on S(n)
En general, si
n= 333. . .34 | {z }
kd´ıgitos
se cumple que
S(n)
S(3n) =k+ 1 3.
Esto significa que la expresi´on S(n)
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Vamos a asumir que ya hemos demostrado la desigualdad:
S(a+b)≤S(a) +S(b),
que tiene dos variables.
Se puede establecer una desigualdad an´aloga para tres variables:
S(a+b+c) =S(a+ (b+c)) ≤S(a) +S(b+c) ≤S(a) +S(b) +S(c)
en general, se puede probar que:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Vamos a asumir que ya hemos demostrado la desigualdad:
S(a+b)≤S(a) +S(b),
que tiene dos variables.
Se puede establecer una desigualdad an´aloga para tres variables:
S(a+b+c) =S(a+ (b+c)) ≤S(a) +S(b+c) ≤S(a) +S(b) +S(c)
en general, se puede probar que:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Vamos a asumir que ya hemos demostrado la desigualdad:
S(a+b)≤S(a) +S(b),
que tiene dos variables.
Se puede establecer una desigualdad an´aloga para tres variables:
S(a+b+c) =S(a+ (b+c)) ≤S(a) +S(b+c) ≤S(a) +S(b) +S(c)
en general, se puede probar que:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Vamos a asumir que ya hemos demostrado la desigualdad:
S(a+b)≤S(a) +S(b),
que tiene dos variables.
Se puede establecer una desigualdad an´aloga para tres variables:
S(a+b+c) =S(a+ (b+c)) ≤S(a) +S(b+c) ≤S(a) +S(b) +S(c)
en general, se puede probar que:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Vamos a asumir que ya hemos demostrado la desigualdad:
S(a+b)≤S(a) +S(b),
que tiene dos variables.
Se puede establecer una desigualdad an´aloga para tres variables:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Por otro lado, aplicando nuevamente la desigualdad
S(a+b)≤S(a) +S(b), obtenemos:
S(2b)≤S(b) +S(b) = 2S(b)
S(3b) =S(b+ 2b)≤S(b) +S(2b)≤3S(b)
S(4b) =S(b+ 3b)≤S(b) +S(3b)≤4S(b)
y as´ı sucesivamente, se puede probar que:
S(ab)≤aS(b).
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Por otro lado, aplicando nuevamente la desigualdad
S(a+b)≤S(a) +S(b), obtenemos:
S(2b)≤S(b) +S(b) = 2S(b)
S(3b) =S(b+ 2b)≤S(b) +S(2b)≤3S(b)
S(4b) =S(b+ 3b)≤S(b) +S(3b)≤4S(b)
y as´ı sucesivamente, se puede probar que:
S(ab)≤aS(b).
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Por otro lado, aplicando nuevamente la desigualdad
S(a+b)≤S(a) +S(b), obtenemos:
S(2b)≤S(b) +S(b) = 2S(b)
S(3b) =S(b+ 2b)≤S(b) +S(2b)≤3S(b)
S(4b) =S(b+ 3b)≤S(b) +S(3b)≤4S(b)
y as´ı sucesivamente, se puede probar que:
S(ab)≤aS(b).
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Por otro lado, aplicando nuevamente la desigualdad
S(a+b)≤S(a) +S(b), obtenemos:
S(2b)≤S(b) +S(b) = 2S(b)
S(3b) =S(b+ 2b)≤S(b) +S(2b)≤3S(b)
S(4b) =S(b+ 3b)≤S(b) +S(3b)≤4S(b)
y as´ı sucesivamente, se puede probar que:
S(ab)≤aS(b).
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Por otro lado, aplicando nuevamente la desigualdad
S(a+b)≤S(a) +S(b), obtenemos:
S(2b)≤S(b) +S(b) = 2S(b)
S(3b) =S(b+ 2b)≤S(b) +S(2b)≤3S(b)
S(4b) =S(b+ 3b)≤S(b) +S(3b)≤4S(b)
y as´ı sucesivamente, se puede probar que:
S(ab)≤aS(b).
que es una desigualdad parecida a la que queremos obtener.
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Por otro lado, aplicando nuevamente la desigualdad
S(a+b)≤S(a) +S(b), obtenemos:
S(2b)≤S(b) +S(b) = 2S(b)
S(3b) =S(b+ 2b)≤S(b) +S(2b)≤3S(b)
S(4b) =S(b+ 3b)≤S(b) +S(3b)≤4S(b)
y as´ı sucesivamente, se puede probar que:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Seana=a1a2· · ·ak yb enteros positivos.
a=a100· · ·0 +a200· · ·0 +· · ·+ak
ab= (a100· · ·0)b+ (a200· · ·0)b+· · ·+ (ak)b
S(ab)≤S((a100· · ·0)b) +S((a200· · ·0)b) +· · ·+S((ak)b)
S(ab)≤S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)
pero
S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)≤a1S(b) +a2S(b) +· · ·+akS(b)
(por la propiedad que ya demostramos), por lo tanto:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Seana=a1a2· · ·ak yb enteros positivos.
a=a100· · ·0 +a200· · ·0 +· · ·+ak
ab= (a100· · ·0)b+ (a200· · ·0)b+· · ·+ (ak)b
S(ab)≤S((a100· · ·0)b) +S((a200· · ·0)b) +· · ·+S((ak)b)
S(ab)≤S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)
pero
S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)≤a1S(b) +a2S(b) +· · ·+akS(b)
(por la propiedad que ya demostramos), por lo tanto:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Seana=a1a2· · ·ak yb enteros positivos.
a=a100· · ·0 +a200· · ·0 +· · ·+ak
ab= (a100· · ·0)b+ (a200· · ·0)b+· · ·+ (ak)b
S(ab)≤S((a100· · ·0)b) +S((a200· · ·0)b) +· · ·+S((ak)b)
S(ab)≤S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)
pero
S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)≤a1S(b) +a2S(b) +· · ·+akS(b)
(por la propiedad que ya demostramos), por lo tanto:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Seana=a1a2· · ·ak yb enteros positivos.
a=a100· · ·0 +a200· · ·0 +· · ·+ak
ab= (a100· · ·0)b+ (a200· · ·0)b+· · ·+ (ak)b
S(ab)≤S((a100· · ·0)b) +S((a200· · ·0)b) +· · ·+S((ak)b)
S(ab)≤S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)
pero
S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)≤a1S(b) +a2S(b) +· · ·+akS(b)
(por la propiedad que ya demostramos), por lo tanto:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Seana=a1a2· · ·ak yb enteros positivos.
a=a100· · ·0 +a200· · ·0 +· · ·+ak
ab= (a100· · ·0)b+ (a200· · ·0)b+· · ·+ (ak)b
S(ab)≤S((a100· · ·0)b) +S((a200· · ·0)b) +· · ·+S((ak)b)
S(ab)≤S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)
pero
S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)≤a1S(b) +a2S(b) +· · ·+akS(b)
(por la propiedad que ya demostramos), por lo tanto:
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Seana=a1a2· · ·ak yb enteros positivos.
a=a100· · ·0 +a200· · ·0 +· · ·+ak
ab= (a100· · ·0)b+ (a200· · ·0)b+· · ·+ (ak)b
S(ab)≤S((a100· · ·0)b) +S((a200· · ·0)b) +· · ·+S((ak)b)
S(ab)≤S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)
pero
S(a b) +S(a b) +· · ·+S(a b)≤a S(b) +a S(b) +· · ·+a S(b)
Otra demostraci´
on de
S
(
ab
)
≤
S
(
a
)
S
(
b
)
Seana=a1a2· · ·ak yb enteros positivos.
a=a100· · ·0 +a200· · ·0 +· · ·+ak
ab= (a100· · ·0)b+ (a200· · ·0)b+· · ·+ (ak)b
S(ab)≤S((a100· · ·0)b) +S((a200· · ·0)b) +· · ·+S((ak)b)
S(ab)≤S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)
pero
S(a1b) +S(a2b) +· · ·+S(akb)≤a1S(b) +a2S(b) +· · ·+akS(b)
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3.
I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Hay dos criterios de divisibilidad que est´an relacionados con la suma de d´ıgitos:
I Criterio de Divisibilidad por 3:
n es m´ultiplo de 3 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 3. I Criterio de Divisibilidad por 9:
n es m´ultiplo de 9 ⇐⇒ S(n) es m´ultiplo de 9.
Es importante mencionar que estos criterios son v´alidos en base 10. Si cambiamos de base, los criterios de divisibilidad tambi´en
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(9n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(4n) ?
Ejemplo
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(9n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(4n) ?
Ejemplo
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(9n) ?
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(4n) ?
Ejemplo
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, ¿cu´al es el menor valor que puede tomar S(7n) ?
¿Ser´a posible queS(7n) = 1 ?
Para queS(7n) = 1, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10k, lo cual no es posible.
Para queS(7n) = 2, tendr´ıa que ocurrir que 7n = 10. . .010. . .0 o tambi´en 7n= 10. . .01.
¿7 tiene un m´ultiplo de esa forma?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Sea k un entero positivo. Determine en funci´on de k el menor valor que puede tomar la expresi´on S(11· · ·1
| {z }
kveces
n).
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Sea k un entero positivo. Determine en funci´on de k el menor valor que puede tomar la expresi´on S(11· · ·1
| {z }
kveces
n).
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Sea k un entero positivo. Determine en funci´on de k el menor valor que puede tomar la expresi´on S(11· · ·1
| {z }
kveces
n).
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(11n)
es 2.
Ejemplo
Si n es un entero positivo, el menor valor que puede tomar S(13n)
es 2.
Veamos un problema tomado en Argentina:
Ejemplo
(Selectivo para la Olimpiada del Cono Sur, 2009)
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Analicemos ahora la suma de d´ıgitos de n´umeros consecutivos, es decir,S(n) yS(n+ 1).
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean pares?
S´ı por ejemplo, paran= 19.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 3?
No, por el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplo
¿Es posible que S(n) y S(n+ 1) sean ambos m´ultiplos de 4?
Algunos problemas relacionados con divisibilidad
Ejemplo
