0301) Trabajo y Energía
A) Conceptos de Trabajo y Energía
El concepto de energía es uno de los más importantes de toda la ciencia, en especial por su transversalidad. En todas las ramas de la ciencia, la energía está presente de alguna forma.
• El sol nos da energía en forma en luz.
• Nuestros alimentos nos dan energía, que mantiene la vida.
• El calor es una forma de energía. Así, cuando una persona que siente frío frota sus manos entre sí, producto de la fricción se disipa energía, la que se transforma en calor.
• Al hacer funcionar una ampolleta o bombilla, el paso de la corriente hace que el filamento interno de la ampolleta se caliente y encienda,
disipando calor (es cosa de tocar una ampolleta encendida para darse cuenta de ello)
Sin embargo, el concepto de energía es también uno de los más difíciles de explicar. Hay energía en las personas, los lugares y las cosas y sólo observamos sus efectos cuando algo está sucediendo.
En mecánica, se dice que un cuerpo tiene energía cuando es capaz de realizar trabajo. Un agente (hombre, máquina, etc) realiza un trabajo mecánico cuando vence una resistencia a lo largo de un camino. Consideremos la situación ilustrada en la figura 1, donde la persona, usando
una cuerda que pasa a través de una polea fija, eleva un mueble de peso P hasta el piso en el que está ubicado, a una altura d del suelo. Para cumplir su objetivo, la persona debe vencer una resistencia (el peso del mueble) a lo largo de un camino (la altura d).
Los factores que intervienen en el trabajo mecánico sobre un objeto son dos:
• Aplicación de una fuerza sobre el objeto • Movimiento del objeto debido a la fuerza
Así, una primera definición de trabajo sería “el producto de fuerza por distancia” (W = F·d)
En el caso de la situación de la figura 1, podemos distinguir tres situaciones:
• si la persona aplica una fuerza para elevar el mueble, y éste se eleva, moviéndose en forma
paralela (igual dirección e igual sentido), a la fuerza aplicada, la persona ejerce un trabajo
positivo sobre el mueble.
• si el mueble no se eleva ni cae, es decir, si no hay desplazamiento alguno en el sentido de la fuerza, la persona no ejerce trabajo sobre el mueble.
• Si el mueble cae, moviéndose en forma antiparalela (igual dirección y sentido opuesto), a la fuerza aplicada, la persona ejerce un trabajo negativo sobre el mueble.
Figura 1) Persona levantando un mueble
Considere la situación mostrada en la figura 2, donde un cuerpo de masa M se mueve en una superficie lisa debido a la interacción de dos fuerzas de magnitudes F1 y F2. Además, tenemos la
normal con la superficie N y el peso Mg. Suponga que el cuerpo se desplaza una distancia d en la dirección indicada en la figura.
• La fuerza F1 es paralela al desplazamiento
del cuerpo, por lo que el trabajo de F1 sobre
el cuerpo de masa M es de signo positivo y dado por W1 =F1⋅d
• La fuerza F2 es antiparalela al
desplazamiento del cuerpo, por lo que el trabajo de F2 sobre el cuerpo de masa M es
de signo negativo y dado por
d F W2 =− 2⋅
• La normal N y el peso Mg son perpendiculares al desplazamiento. Para que sus respectivos trabajos fueran distintos de cero, el desplazamiento tendría que tener alguna componente vertical.Como este no es el caso,
0 W WN = Mg =
En el caso general la fuerza y el desplazamiento pueden no ser ni (anti)paralelas ni perpendiculares entre sí. En la figura 3 se aprecia a un jardinero aplicando una fuerza de magnitud F a una podadora que está sobre el pasto. La podadora tiene un ángulo de inclinación α con respecto de la horizontal. La fuerza aplicada por el jardinero tiene dos efectos.
• La componente F’=F·cos(α) hace que la podadora haga un desplazamiento horizontal de magnitud d. Luego, el trabajo ejercido por dicha fuerza está dado por W'=F⋅d⋅cos
( )
α • La componente F’’=F·sin(α) aprieta la podadora contra el suelo, pero no la hace avanzarverticalmente. Luego, el trabajo ejercido por dicha fuerza está dado por W''=0
Así, el trabajo total del jardinero sobre la podadora es W =W'+W''=F⋅d⋅cos
( )
α . Ahora si denominamos F
al vector fuerza, d
al vector desplazamiento, y sabiendo que α es el ángulo minimo entre ambos vectores, al aplicar el concepto de producto punto o escalar se llega a deducir fácilmente que W F d
•
= . Así, el trabajo es el producto punto entre dos vectores, y por lo tanto es una cantidad física escalar.
a
M
Mg N
F1 F2
Realiza Trabajo Positivo No Realiza Trabajo
Realiza Trabajo Negativo
No Realiza Trabajo
Sentido del movimiento del cuerpo.
Figura 2) Trabajo de diversas fuerzas sobre un cuerpo que se mueve en un plano horizontal
Aprieta la podadora contra el suelo. Hace avanzar la
podadora
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R En la figura 4, se observa un cuerpo de masa
M al cual se le aplica una fuerza F
, y que tiene un desplazamiento d
. El trabajo W de la fuerza F sobre el cuerpo está dado por
( )
θcos d F d F
W = • = ⋅ ⋅
Donde F y d son las magnitudes de F
y d
, respectivamente, y θ es el ángulo mínimo entre ambos vectores.
Las unidades de trabajo son:
• Sistema MKS (SI): El Joule
(
1[ ]
J =1[
N⋅m]
)
• Sistema CGS: El ergio
(
1[
erg]
=1[
Dy⋅cm]
)
Equivalencia: 1
[ ]
J 107[
erg]
=
B) Trabajo de fuerzas
Trabajo de la Normal
Si el cuerpo está en reposo o se mueve en una dirección perpendicular a la de la normal, el trabajo de ésta es cero. Esto sucede cuando el cuerpo se mueve en un plano horizontal (figura 5a) y cuando se mueve en un plano inclinado (figura 5b)
Si el cuerpo se mueve en una dirección paralela a la de la normal, el trabajo de ésta es distinto de cero,
tal como sucede en el caso del ascensor (figura 5c). Al respecto, se pueden establecer dos casos: • Si el sentido del movimiento es el mismo que el de la normal, el trabajo tiene signo positivo. • Si el sentido del movimiento es el opuesto al de la normal, el trabajo tiene signo negativo.
Trabajo del Roce
Tal como se vio en la parte de fuerzas, por definición, la fuerza de roce se opone al movimiento. Considere un cuerpo en reposo bajo la acción de una fuerza F que no supera el umbral de roce estático. En este caso, el trabajo de la fuerza de roce estático es cero.
En el caso de la fuerza de roce cinética, sabemos que ésta tiene sentido opuesto al del desplazamiento, de lo que se deduce que el trabajo de la fuerza de roce es negativo por definición.
Para el caso de un cuerpo que recorre una distancia d en un plano horizontal con roce (ver figura 6a) el trabajo ejercido por la fuerza de roce (cinética) sobre el cuerpo es igual a:
F
θ
d
Figura 4) Definición de trabajo mecánico
M
NMg
M
NMg
N
Mg N
Mg
N
Mg a
(a) (b) (c)
Figura 5) Trabajo de la fuerza normal. (a) Plano horizontal; (b) Plano inclinado; (c) ascensor.
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
d g M d
N d F W
k k
roce roce
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − =
⋅ − =
µ µ
.
Para el caso de un cuerpo que recorre una distancia d en un plano inclinado con ángulo θ y con roce (ver figura 6b) el trabajo ejercido por la fuerza de roce (cinética) sobre el cuerpo es igual a: El trabajo ejercido por el roce sobre un cuerpo que recorre una distancia d en un plano inclinado en un ángulo θ y con roce esigual a
( )
θ cos d g M µd N µ d F W
k
k roce
roce
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − =
⋅ ⋅ − = ⋅ − =
En ambos casos, µk es el coeficiente de roce cinético.
Trabajo del Peso
Supóngase que la persona de la figura 7 pretende levantar el mueble desde el suelo a una altura d de éste. El trabajo que ejercería el peso es igual a
d g M WPeso =− ⋅ ⋅
Tiene signo negativo, pues el peso tiene dirección contraria a la del movimiento.
Ahora si la persona pretende bajar el mueble en una altura d. El trabajo que ejercería el peso es igual a
d g M WPeso =+ ⋅ ⋅
Tiene signo positivo, pues el peso tiene la misma dirección que el movimiento.
En el caso del cuerpo de masa M en el plano inclinado de la figura 6b, hay que distinguir dos situaciones:
• Si el cuerpo sube una distancia d en el plano inclinado, el trabajo del peso es negativo y está dado por Wpeso=-M g d sen⋅ ⋅ ⋅
( )
θ• Si el cuerpo baja una distancia d en el plano inclinado, el trabajo del peso es positivo y está dado por Wpeso=+M g d sen⋅ ⋅ ⋅
( )
θN
M·g
N
M·g
(a) (b)
Figura 6) Trabajo del roce. (a) plano horizontal; (b) plano inclinado
Trabajo de la Fuerza Elástica
Considérese una masa unida en un punto fijo a un resorte, y apoyada a una superficie sin roce. En la figura 8 se aprecia un ciclo completo de oscilación del sistema masa-resorte, a partir del cual se puede analizar el trabajo de la fuerza interna de restauración del resorte
• Entre (a) y (b) el resorte se estira y la fuerza tiende a estirarlo⇒ Trabajo positivo • Entre (b) y (c) el resorte se estira y la
fuerza tiende a comprimirlo⇒ Trabajo negativo
• Entre (c) y (d) el resorte se comprime y la fuerza tiende a comprimirlo⇒ Trabajo positivo
• Entre (d) y (e) el resorte se comprime y la fuerza tiende a estirarlo⇒ Trabajo negativo
En conclusión, cuando el sistema se acerca a su posición de equilibrio (resorte en su largo natural), el trabajo del resorte es positivo, y cuando el sistema se aleja de su posición de equilibrio, el trabajo del resorte es negativo.
Para un resorte ideal, la fuerza interna es directamente proporcional a su estiramiento o compresión respecto de su largo natural (Ley de Hooke)
La magnitud del trabajo total ejercido por el
resorte para ir desde un estiramiento (compresión) x1 a un estiramiento (compresión) x2 se puede
obtener a partir del área bajo la curva del gráfico F v/s x (ver figura 9)
2 1 2 2 1 1 2 2
res k x x
2 1 2 kx x 2 kx x
W = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ −
Trabajo de la Fuerza Resultante.
Supóngase que un cuerpo de masa M está sujeto a fuerzas F1,F2, ,FN
…
, y que producto de ellas
sufre un desplazamiento d
, como se muestra en la figura 10. El trabajo de la fuerza neta está dado por:
(
)
∑
∑
∑
= = = = • = • = • = N 1 n n N 1 n n N 1 n n netaneto F d F d F d W
W
Figura 8) Trabajo de la fuerza elástica
F
x
x
1x
2k·x1 k·x2
res
W
Figura 9) Cálculo del módulo del trabajo de la fuerza del resorte.
El trabajo neto que se aplica sobre un objeto es igual a la suma de los trabajos aplicados por las distintas fuerzas que actúan sobre él.
C) Energía Cinética y Teorema del Trabajo y la Energía.
Energía Cinética
Supóngase que a un cuerpo con velocidad inicial v0 en t = 0 sobre un
plano horizontal sin roce se le aplica una fuerza neta F horizontal (ver figura 11). El cuerpo adquiere un movimiento acelerado y recorre una distancia d alcanzando una velocidad v1.
El trabajo ejercido por la fuerza Fes WF =F⋅d=m⋅a⋅d
De cinemática se puede obtener que
2 V V d a d a 2 V V 2 0 2 1 2 0 2 1 − = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = −
Reemplazando se llega a:
(
)
B A2 0 2 1 2 0 2 1
F mV K K
2 1 mV 2 1 V V 2 1 m d a m
W = ⋅ ⋅ = − = − = −
Donde KA es la energía cinética en el
punto A y KB es la energía cinética en el
punto B.
En general, la energía cinética es la energía asociada a un cuerpo en movimiento. Es igual al trabajo requerido para llevarlo desde el reposo hasta la rapidez con que se mueve, o también como la cantidad de trabajo que hay que aplicarle para llevarlo al reposo.
Teorema del Trabajo y la Energía
A partir de la demostraión anterior se puede formular el teorema del trabajo y la energía cinética
M M d neta
F
1 F 2 F 3 F N FFigura 10) Trabajo de la fuerza neta
M M
d
F
v
0v
1M M
d
F
v
0v
0v
v
11t=0 t=t1
A
A BB
Figura 11) Definición de Energía Cinética
M
M
V
0Ffrenado
V = 0
A
B
d
(a)
(b)
Figura 12) Frenado de un móvil (a) descripción general; (b) variación de la distancia de frenado con
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
A B 2 0 2
1
F mV K K
2 1 mV 2 1
W = − = −
Su enunciado es el siguiente: El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula.
Considere la situación de la figura 12a: un cuerpo de masa M se mueve con velocidad de magnitud V0 en el punto A. A partir de ese punto, se le aplica una fuerza de frenado Ffrenado que hace que se
detenga e el punto B, a una distancia d del punto A.
Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética
frenado 2 0 2
0 frenado
2 0 2
0 2
frenado Frenado
F 2
V M d MV 2 1 d F
MV 2 1 MV 2 1 0 M 2 1 d F W
⋅ ⋅ =
⇒
= ⋅
⇒
− = −
⋅ ⋅ = ⋅ − =
Con esto se observa que la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad del cuerpo antes de frenar. Es decir, si V0 aumenta al doble, la distancia de frenado aumenta 4 veces.
En la figura 12b se puede visualizar esta conclusión, que es de capital importancia a la hora de explicar y prevenir accidentes de tránsito.
D) Concepto de Potencia
Dos chicos A y B apostaron a quién levantaba más rápido un cuerpo de peso 200 [N] hasta una altura de 5 [m], valiéndose de una polea. En la figura 13 se muestra la situación. Ambos chicos levantan sus respectivas masas con velocidad constante, por lo que la fuerza que aplican es igual al peso del cuerpo.
Como ambos chicos levantaron el mismo cuerpo en la misma distancia, por lo tanto ejercieron el mismo trabajo sobre éste, que está dado por:
[ ] [ ]
N 5m 1000[ ]
J 200d F
W = ⋅ = ⋅ =
La diferencia entre ambos chicos es el tiempo empleado para realizar el trabajo. Mientras el
chico A tarda 10 [s] en levantar la masa, el chico B demora 15 [s]. En este caso, el chico A es más potente (o desarrolló más potencia) que el B (por lo que seguramente A terminó más agotado que B) Figura 13) Chicos “A” y “B” levantando la misma
masa.
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Se denomina potencia (desarrollada por un hombre o una máquina) al cuociente entre el trabajo efectuado y el tiempo empleado en realizarlo, esto es:
t W P=
Unidades de Potencia
En el sistema MKS, la unidad de potencia es el [Watt] ó [W]
[ ]
= ⋅ ⋅ =
=
s m N 1 s
m N 1 s J 1 W 1
De este análisis se puede establecer fácilmente que:
W F d d
P = F = F v
t t t
⋅
= = ⋅ ⋅
Para el ejemplo de los dos chicos, se puede establecer que la potencia desarrollada por el chico A es:
[ ]
[ ]
s 100[ ]
W 10J 1000
PA= =
Mientras que la potencia desarrollada por el chico B es.
[ ]
[ ]
s 66.67[ ]
W 15J 1000
PB = =
Otra unidad, habitualmente usada para medir la potencia que puede desarrollar el motor de un auto, es el [HP] (“caballo de poder”), que se define como es la potencia de un caballo que hace una fuerza de 500 [libras] avanzando a razón de 2.5 [millas/hora].
[
HP]
745.7[ ]
W1 =
A partir del concepto de potencia, se define el kilowatt-hora o [kWh] es la unidad de energía usada por las compañías de electricidad para medir la energía eléctrica consumida en cada casa durante cada mes. Se define como “el trabajo realizado en 1 [h] por una máquina que tiene una potencia de 1 [kW]”, es decir.
[
kW] [ ]
1h 1[
kWh]
1 t P
De acuerdo con esta definición:
[
]
[
] [ ]
3600[ ]
s 3600000[ ]
J 3.6 10[ ]
J sJ 1000 h
1 kW 1 kWh
1 6
⋅ = =
⋅
= ⋅ =
Concepto de Eficiencia
En general, los procesos y máquina no aprovechan al 100% todo el trabajo que se les entrega, sino que una fracción del trabajo entregado a las máquinas se pierde en calor, ya sea por fricción o por procesos de combustión.
Se define la eficiencia (η) de una máquina como el cuociente entre el trabajo útil desarrollado por una máquina y el trabajo total de entrada. Es decir:
entrada de
total trabajo
salida de útil trabajo
= η
La eficiencia es adimensional y es siempre una fracción inferior a 1. Se puede expresar como número decimal (ej. 0.25) o como porcentaje (ej: 25%).
Obviamente, el ideal es que la eficiencia sea la mejor posible. Sin embargo, no existen las máquinas ideales con una eficiencia de 100%. Los mejores motores de auto diseñados no pasan del 35% de eficiencia, pues pierden mucha potencia en refrigeración, vencer la fricción y en la energía que seva por el tubo de escape, como se muestra en la figura 14.
