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TRI ´

ANGULOS

1.

Definamos...

Un tri´angulo es una figura plana, cerrada, li-mitada por 3 trazos llamados lados y que se intersectan s´olo en sus puntos extremos lla-mados v´ertices (no se cruzan).

Ejemplo 1 En el 4_{ABC figura, AB, BC y} CA son los lados del tri´angulo, mientras que

A, B y C son sus v´ertices.

A

B C

2.

Angulos en el tri´

´

angulo

La suma de sus ´angulos internos es igual a 180o

, es decir, α+β+γ = 180o .

La suma de sus ´angulos externos es igual a 360o

, es decir, α0_+β0_+γ0 _{= 360}o

.

B A

C

α β

γ

α0 _β0

γ0

Cada ´angulo exterior es igual a la suma de los ´angulos interiores no adyacentes a ´el, es decir,

3.

Clasificaci´

on de tri´

angulos

1. Acut´angulo: Tiene sus tres ´angulos agudos. 2. Rect´angulo: Tiene un ´angulo recto.

3. Obtus´angulo: Tiene un ´angulo obtuso. Y tambi´en seg´un sus lados en

1. Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida. 2. Is´osceles: Tiene s´olo dos lados de igual medida. 3. Equil´atero: Tiene sus tres lados de igual medida.

4.

Congruencia de tri´

angulos

Dos tri´angulos son congruentes si y s´olo si sus ´angulos y lados tienen la misma medida de forma correspondiente, es decir, que uno de los tri´angulos sea el otro pero girado.

4_ABC ∼₌4_{P QR}⇒                         

AB∼=P Q BC ∼=QR AC ∼=P R

^ABC ∼=P QR

^BAC ∼=QP R

^ACB∼=P RQ

A B C | || | | | P Q R | || | | |

Para determinar si dos tri´angulos son congruentes utilizaremos los siguientes postulados

1. ALA: Dos tri´angulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ´angulos adyacentes a ese lado.

A B

C

|

A0 _B0

C0

2. LAL: Dos tri´angulos son congruentes cuando tie-nen dos lados y el ´angulo comprendido entre ellos respectivamente iguales.

A B

C

| || |

A0 _B0

C0

| || |

3. LLL: Dos tri´angulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

A B

C

| ||

| ||

A0 _B0

C0

| ||

| ||

4. LLA>: Dos tri´angulos son congruentes cuando

tienen dos lados y el ´angulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

A B

C

| || |

A0 _B0

C0

| || |

5.

Elementos secundarios

Ojo 1 En la figura,H es el ortocen-tro(punto de intersecci´on de las

altu-ras).

A B

C

D E F

Bisectriz: es el trazo que divide al ´angulo en dos ´angulos congruentes.

Ojo 2 En la figura, I = incentro

(punto de intersecci´on de las bisectri-ces).

Ojo 3 El incentro, es el centro de la circunferencia inscrita al tri´angulo, es decir, que es tangente interiormente a sus lados. Por lo tanto, el incentro equidista de todos los lados.

A B C α α β β γ γ D F E I

Transversal de gravedad: Es el trazo que une un vertice con el punto medio del lado opuesto.

Ojo 4 En la figura, G = centro de

gravedad (punto de intersecci´on de

las transversales de gravedad).

Ojo 5 Si el 4_{ABC es rect´angulo en} C, entonces CD=AD=DB.

| |

+

+

Simetral: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del tri´angulo.

Ojo 6 En la figura, O = circuncen-tro (punto de intersecci´on de las si-metrales).

Ojo 7 El circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita al tri´angulo, es decir, que pasa por todos los v´ertices. Por lo tanto, el circun-centro equidista de todos los v´ertices.

Mediana: Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del tri´angulo.

Ojo 8 4_ADF ∼₌4_DBE ∼₌4_{F EC} ∼₌4_{EF D}

Ojo 9 F E//AB, F D//BC yDE//AC.

| |

+

+

A B

C

D

E F

Ojo 10 En todo tri´angulo is´osceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto.

A B

C

α α

| |

+

+

γ γ

Ojo 11 En todo tri´angulo equil´aterocoinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. Adem´as, coinciden el ortocentro, incen-tro, etc.

A B

C

30o 30o 30o

30o

30o 30o

| |

| |

6.

Ejercicios

Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.

1. En el tri´anguloBED de la figura, el valor del ´angulox es

a) 19o

b) 23o

c) 29o

d) 58o

e) 116o

46o 18o

x 35o A

C

B

E D

2. En el4_{GHI de la figura, la medida del}^x es

a) 45o

b) 75o

c) 135o

d) 150o

e) 210

H G

I

2x −15

o

x 150o

3. El valor deγ en el 4_{DEF de la figura, con G}∈−_{DE, es}−→

a) 30o

b) 40o

c) 50o

d) 60o

e) 70o

D

F

E G

4. La clasificaci´on del tri´anguloABC de la figura, es

a) escaleno y acut´angulo.

b) escaleno y rect´angulo.

c) is´osceles y acut´angulo.

d) is´osceles y obtus´angulo.

e) is´osceles y rect´angulo. 4x x

30o

A

B C

5. En la figura,4_{ABC equil´atero y} 4_{BDC rect´angulo enD e is´osceles,} ¿cu´al es la medida del ^x?

a) 45o

b) 60o

c) 75o

d) 105o

e) 135o

A B

C

D x

6. En el4_{ABC de la figura,AC=BC. ¿Cual es la medida del}^ACB?

a) 110o

b) 115o

c) 120o

d) 140o

e) 150o

A

B C

7. Siα es la mitad deβ en la figura, entonces γ =

a) 30o

b) 45o

c) 60o

d) 75o

e) 85o

α

β

γ

8. Si en un4_{ABC se cumple que} ^_CAB+^_{ABC =}^_{ACB y} ^CAB= 2^ABC ¿cu´anto mide ^ABC?

a) 30o

b) 45o

c) 60o

d) 90o

e) 120o

9. Si el 4_{ABC es rect´angulo en A y} ^_CAB+^_{ABC = 120}o

, entonces

^CAB+^BCA=

a) 90o

b) 120o

c) 140o

d) 150o

e) 160o

10. En la figura,AB//L. ¿Cu´al es el valor deα+β?

a) 105o

b) 120o

c) 130o

d) 150o

e) 175o

A

B

C L 50o

α

11. Si el tri´anguloABC de la figura, es rect´angulo enC, entonces el com-plemento del^_{x mide}

a) 22o

b) 34o

c) 36o

d) 44o

e) 46o

A B

C

x

46o

12. El valor deγ en el 4_{DEF de la figura, con G}∈−_{DE, es}−→

a) 20o

b) 30o

c) 80o

d) 100o

e) 120o

D

F

E G

80o 5γ

γ

13. En el tri´anguloABC de la figura, se traza la transversalDE. ¿Cu´anto mide el^CM D?

a) 63o

b) 70o

c) 103o

d) 117o

e) Ninguna de las anteriores. A _B

C

D E

45o

54o

M

14. En la figura,^_DAB=^_{ABC. Entonces, el}^_xmide

a) 80o

b) 100o

c) 110o

d) 120o

e) 140o

110o

x

A B

C D

E

15. ¿Cu´anto mide el^_{x en el}4_{M N Lde la figura?}

a) 60o

b) 40o

c) 30o

d) 20o

e) 10o

2α 120o _α

α x

M

O N

L

16. De acuerdo a la informaci´on suministrada en la figura, ¿cu´al es la me-dida del^SM R?

a) 110o

b) 120o

c) 150o

d) 160o

e) 170o P

Q R

S T

α α

α

M

17. En el4_{ABC de la figura, siM es punto medio de AB y}

^_{BCM =}^_{M BC= 30}o

, entonces el ^_BCAmide

a) 120o

b) 100o

c) 90o

d) 80o

e) 60o B

M A

C

18. Si4_{P QRy}4_{T N Mson dos tri´angulos escalenos tales que}4_{P QR}∼₌4_{T N M,} entonces, ¿cu´al de las siguientes proposiciones esfalsa?

a) P Q∼=T N

b) P R∼=T M

c) QR∼=N M

d) ^QRP ∼=^N M T

e) ^P QR∼=^T M N

19. En la figura,4_ABC ∼₌4_{DEF, conDperteneciente aBC, AC//DF ,}^BDE = 80o

y ^ACB= 40o

, ¿cu´al es la medida del ^DEF?

a) 40o

b) 60o

c) 80o

d) 90o

e) No se puede determinar.

A B

C

D E

20. En la figura,DC ⊥−_AD−→ _yCB ⊥_{AB. Si}−−→ ^DAC ∼=^BAC, entonces el trianguloCABes congruente con el triangulo DCAen su orden

a) ACD

b) ADC

c) CAD

d) DCA

e) CDA

D

A

B C

21. El tri´angulo ABC de la figura, es is´osceles de base AB, CD ⊥ _{AB y} AD = DB. Entonces, ¿cu´al(es) de los siguientes pares de tri´angulos es (son) congruentes?

I) 4_{ADE con} 4_BDE II) 4_{AEC con} 4_BEC III) 4_{ADC con} 4_BDC

a) S´olo I

b) S´olo II

c) S´olo III

d) S´olo I y II

e) I, II y III

A B

C

D E

22. En la figura, el4_{ABC es equil´atero y el}4_{DEAes rect´angulo} is´osce-les. SiCE es altura, entonces α+β+γ =

a) 105o

b) 120o

c) 135o

d) 150o

e) 165o

A B

C

E

D

α

23. En la figura,−BD−→ es bisectriz del^B ¿Cu´al es la medida del^x?

a) 10o

b) 20o

c) 50o

d) 60o

e) 110o

A B

C

x 60o

70o D

24. En el4_{ABC de la figura,CEes transversal de gravedad yCE =BE.} La medida del^BCA es

a) 40o

b) 70o

c) 80o

d) 90o

e) no se puede calcular.

A

B _C

E

70o

25. En la figura, −→RS es simetral de AB y −AD//−→ −→RS. ¿Cu´al es la medida del^ACBsi ^CAD=^CBA?

a) 139o

b) 90o

c) 51o

d) 49o

e) 41o

A

C

B R

S D

26. En el tri´angulo P QR de la figura, ^_{P RQ = 80}o

y DE es mediana. ¿Cu´anto mide el^_x?

a) 35o

b) 45o

c) 50o

d) 55o

e) 60o

P

C

Q D

R

x 55o

27. El tri´angulo DEF de la figura es is´osceles de base DF. R es punto medio deDF y^DF E= 50o

. ¿Cu´anto mide el^REF?

a) 25o

b) 30o

c) 40o

d) 50o

e) 80o D E

F

R

28. En el tri´angulo equil´atero ABC de la figura, E es punto medio de AB y BD es bisectriz del ^_{ABC. ¿Cu´anto mide el suplemento de}

(^x+^y)?

a) 150o

b) 120o

c) 90o

d) 60o

e) 30o

A B

C

E D

29. En el4_{ABC de la figura, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones permite} demostrar queCF es bisectriz del^_BCA?

a) CD∼=CE y ^_{DF C} ∼₌^_{EF C}

b) AD∼=EB yCD ∼=CE

c) CD∼=CE y DF ∼=EF

d) DF ∼=EF y^DF A∼=^EF B

e) CD∼=CE y ^CDF ∼=^CEF A B C

F

D E

30. ¿En qu´e tri´angulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos tri´angulos congruentes?

a) Rect´angulo is´osceles.

b) Is´osceles acut´angulo.

c) Rect´angulo escaleno.

d) Equil´atero.

e) En ninguno.

31. Los ´angulos exteriores de un tri´angulo est´an en la raz´on 3 : 2 : 3, luego el tri´angulo es

a) escaleno obtus´angulo.

b) escaleno rect´angulo.

c) is´osceles obtus´angulo.

d) is´osceles rect´angulo.

e) is´osceles acut´angulo.

32. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Dos tri´angulos rect´angulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son congruentes.

b) Si dos tri´angulos rect´angulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.

e) Si dos tri´angulos rect´angulos tienen un ´angulo respectivamente congruentes, son congruentes.

33. En la figura, −AD//−→ ←CB. Se puede determinar que→ ←AB→ es bisectriz del

^_{DAC si:}

(1) 4_{ACB es rect´angulo enC.} (2) ^_{DAB= 45}o

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

e) Se requiere informaci´on adicional.

A

D

C

B

34. En el4_{P QR de la figura, S es punto medio de P Qy} ^RQS = 55o . Se puede determinar que el4_{P QR es isosceles si:}

(1) RS⊥_{P Q.} (2) ^QRS=^P RS

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

e) Se requiere informaci´on adicional. P

S _Q

35. El4_{ABC de la figura es rect´angulo si:} (1) ^CAB=^ABC

(2) ^_{BF A= 135}◦_{; AD yBE son bisectrices} de los ´angulos A yB, respectivamente.

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

e) Se requiere informaci´on adicional.

A B

C

D E

F

36. En el 4_{P QR de la figura, RS es altura y P S = SQ . El} 4_{P QR es} equil´atero si:

(1) 4_{P SR}∼₌4_QSR (2) ^SP R= 60o

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

e) Se requiere informaci´on adicional.

P Q

R

S

37. En el 4_{M N P de la figura, se puede afirmar que los triangulos RON} yROP son congruentes si:

(1) R punto medio de N P. (2) 4_{M OP es equil´atero.}

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

P

R

38. En la figura,4_{P QR}∼₌4_{P ST yT pertenece a RQ. Se puede} deter-minar la medida del^_{P T R si}

(1) ]_{QP S= 50}o (2) ^ST P = 65o

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

e) Se requiere informaci´on adicional. P R

Q T

S 39. Los tri´angulosABC yBAD son congruentes. Se puede determinar la

medida del^_{BEA si:}

(1) ^DAB= 40o

(2) CE ∼=EB ∼=DE ∼=EA

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

e) Se requiere informaci´on adicional.

A B

D C

E

40. 4_ADC ∼₌4_{BEC. El}4_{DEC es equil´atero si:} (1) ^_{CAD= 30}o

(2) ^ADC = 120o

a) (1) por s´ı sola.

b) (2) por s´ı sola.

c) Ambas juntas, (1) y (2).

d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).

e) Se requiere informaci´on adicional.

A B

C

1 C 2 B 3 A 4 D 5 C

6 C 7 C 8 A 9 D 10 C