Campo gravitatorio

CAMPOS DE FUERZAS

Antes de estudiar que es la energía y como se manifiesta dentro de un campo de fuerzas, debemos repasar el concepto de trabajo mecánico, que aunque se haya visto en años anteriores es necesario definirlo ahora con mayor precisión.

TRABAJO MECÁNICO.

En una primera aproximación, podríamos decir que cuando una fuerza se desplaza entre dos puntos A y B, llamamos trabajo mecánico al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento:

W F r  .( _Ar_B)F r .

Es conveniente aclarar algunos puntos de esta definición.

1. Si no hay desplazamiento de la fuerza, no hay trabajo mecánico. Es decir, sujetar un peso durante unas horas puede cansarnos todo lo que queramos, pero no supone la realización de ningún trabajo mecánico. Luego la idea que habitualmente tenemos de trabajo no coincide con la magnitud física llamada trabajo mecánico.

2. Si la dirección de la fuerza es perpendicular a la del desplazamiento, tampoco se realizaría trabajo. Por ejemplo, si el peso que anteriormente sujetábamos, lo movemos ahora horizontalmente, tampoco hacemos ningún trabajo, aunque nos sigamos cansando. Dicho de otra forma, de las dos componentes de la fuerza, solo realiza trabajo la que coincide con la dirección del desplazamiento y no la perpendicular al mismo.

3. El trabajo es un escalar, no un vector.

Todo lo dicho hasta ahora ha sido considerando una fuerza constante, pero si ésta presenta diferentes valores en los distintos puntos por los que pasa, tendríamos que calcular el trabajo realizado por la fuerza en cada punto (dr) como el trabajo elemental:

dW F dr .

Por tanto, el trabajo realizado por la fuerza al moverse entre los puntos A y B sería:



B A

r d F

W · 

A esta integral se la conoce como circulación del vector F a lo largo de la linea seguida entre los puntos A y B.

o

r

r

F

r

A

B

Debe quedar, por tanto, claro que el trabajo realizado por una fuerza depende de ella misma y no del cuerpo o de la masa sobre la que posteriormente se pueda aplicar.

Si el vector F viene definido en función de sus componentes:_{   }

F F i_x. F j F k_y.  _z. y drdx i.dy j dz k. .

El trabajo quedaría: W





B

x x x

y y y

z z z

A B

A B

A B



_

_

_

_

Una vez aclarado el concepto de trabajo, estamos en condiciones de estudiar el campo físico y los aspectos energéticos relacionados con él.

CAMPO FÍSICO.

En el tercer principio de la Dinámica (Acción y reacción) no se trataba de juzgar la "intencionalidad" de los cuerpos a la hora de "responder a las agresiones" (fuerzas de acción), sino que solamente se trataba de describir determinados fenómenos que no tienen explicación sin la existencia de la fuerza de reacción.

Del mismo modo el campo es un modo de describir determinados fenómenos físicos que aunque cotidianos no dejan de ser extraños: Como un cuerpo es capaz de ejercer una fuerza sobre otro sin estar en contacto con él (ejercer una fuerza a distancia: gravitatoria o electrostática).

Campo físico es una región del espacio en cuyos puntos se presentan u observan propiedades físicas.

Pero para que este bien definido, en cada punto de esa región del espacio debe existir un valor y solo uno de esa propiedad física.

Estas propiedades pueden ser escalares como la temperatura o vectoriales como las fuerzas eléctricas o las gravitatorias, que realmente son el objetivo último de estudio de este tema y del siguiente.

CAMPOS ESCALARES.

Se llama campo escalar a una región del espacio en la que una magnitud escalar V toma en todos y cada uno de los puntos un valor único y bien definido que en cada instante depende únicamente de las coordenadas del punto.

Por ejemplo, la clase en la que estamos o la habitación en la que estudiamos constituye un campo de temperaturas y otro de presiones.

¿Como vamos a representar este campo? ¿Como nos lo vamos a imaginar?

Si consideramos el conjunto de los puntos que tienen un único valor _V1 de la magnitud definida V, deben cumplir _V(x,y,z)=V1 lo que representa una superficie. Esta superficie recibe el nombre de superficie equiescalar o superficie de nivel.

Por consiguiente el campo queda dividido por las superficies equiescalares en zonas o estratos tanto más estrechos cuanto más pequeñas sean las diferencias entre los valores del escalar de dos superficies consecutivas.

Estas superficies los son en el espacio, pero quedan reducidas a líneas si las representamos en un plano, como el papel o la pizarra. Si lo que queremos representar es el campo de presiones definido en la atmósfera terrestre a nivel del suelo lo que tendremos es el Mapa del Tiempo.

Según el tipo de campo dichas superficies reciben diferentes nombres característicos: isotermas, isobaras, superficies equipotenciales,...etc.

GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR:

Sea M un punto de un campo escalar perteneciente a la superficie de nivel V(x,y,z)=V1.

Se define como gradiente de V a un vector cuyas componentes son las respectivas derivadas parciales de la función escalar en dicho punto.

graV V V    x i

V y j

V z k

ó      

 



 (1)

Propiedades:

- Consideramos otro punto del campo M' infinitamente próximo a M. Entre M y M' la función escalar tendrá una variación dV, verificándose:

dV V x dx

V y dy

V z dz

   



 



 pero como además dr dx i dy j dz k

  

 .  .  .

queda graV·drdV (2)

- La expresión (2) nos dice que si a partir de M, consideramos desplazamientos diferenciales MM' de igual valor pero de diferente dirección, el valor de dV es máximo cuando el desplazamiento se toma en la dirección del gradiente (cos a=1).

Dicho de otra forma, el gradiente nos índica la dirección de máxima variación de la función escalar.

-Si los dos puntos M y M' se hallan en la misma superficie equiescalar, sería dV=0, por lo que en (2) cosa=0, es decir el gradiente y el desplazamiento serían perpendiculares, luego el gradiente de la función en un punto es perpendicular a la superficie equiescalar que pasa por el mismo.

- Por último, de (2) se deduce que cuanto mayor sea el módulo del gradiente, para un mismo desplazamiento, mayor será la variación de la función dV, luego el módulo del gradiente nos indica la intensidad de la variación de la función escalar V.

M M '

V₁ V₂

d V V ( x , y , z )

Resumiendo, el gradiente es la característica principal de un campo escalar, es perpendicular a las superficies equiescalares, nos indica la dirección de máxima variación de la función y la intensidad de la misma.

CAMPOS VECTORIALES:

Si en cada punto de esa región del espacio que llamamos campo se puede definir un valor de una magnitud vectorial que quedaría representada por un vector, diremos que dicha región constituye un campo vectorial.

Ejemplos de campos vectoriales pueden ser el cauce de un río como un campo de velocidades o el espacio que rodea a la Tierra o a cualquier otro cuerpo celeste como un campo de fuerzas debido a la atracción gravitatoria.

Nos van a interesar aquellos campos de fuerzas en la que ésta venga definida de la siguiente forma: F_P e·A_P (3)

Siendo: F_P= Fuerza que aparece en el punto. e = Valor del escalar colocado en el punto.

A_P= Valor de la magnitud vectorial característica del punto y que se denomina Intensidad de campo.

A esta clase corresponden los campos de fuerzas que mas adelante vamos a estudiar. Dentro de ellos podemos considerar dos tipos con características especiales:

UNIFORMES: Son aquellos en los que la Intensidad de campo tiene un valor constante: igual en todos los puntos del campo. Un ejemplo claro es el del campo gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre.

CENTRALES: El vector Intensidad de campo es concurrente. Las líneas de acción (recta a la que pertenece el vector) de todos los vectores siempre se cortan en un único punto que será el centro del campo. Ejemplo: campo eléctrico creado por una carga puntual.

Representación del campo:

De la misma forma que antes nos preguntamos como podríamos imaginarnos (representar) un campo escalar, conviene ahora hacerlo también para un campo vectorial. La representación se lleva a cabo mediante las Líneas de Corriente o Líneas de Fuerza, que se definen como tangentes en cada punto al vector intensidad de campo.

La condición de tangencia para que dos vectores tengan la misma dirección es que el ángulo que formen sea 0, luego su producto vectorial debe ser nulo:

 _

A dr 0 siendo A  A ix A jy A kz y dr dx i dy j dz k

  

 .  .  .

de donde resulta: dx_A dy_A dz_A

x y z

ecuaciones diferenciales para la familia de las Líneas de Fuerza. Su integración conduce a la determinación de las ecuaciones de tales Líneas.

Por tanto, mientras que un campo escalar se representa por las superficies equiescalares (conjunto de puntos en los que el escalar tiene un mismo valor), un campo vectorial se representa por las líneas de fuerza (en cada punto indican la dirección y sentido del vector Intensidad de campo).

CAMPOS CONSERVATIVOS (que derivan de un potencial).

Cuando nos movemos entre dos puntos de un Campo de Fuerzas, debemos tener en cuenta que todos los puntos por los que pasamos tienen definido un valor de la fuerza. Por tanto se realiza un trabajo, que será:

W_AB F dr

A B





siendo F la fuerza definida en cada uno de los puntos del campo. En estas condiciones podemos decir:

El campo de fuerzas es conservativo si el trabajo no depende del camino recorrido sino solo de los puntos inicial y final.

n B A m

B

A W

W ) ( )

(   (5)

El trabajo para ir de A a B a través de distintos caminos es el mismo.

Teniendo en cuenta que:









n B

A n

 

y sustituyendo en (5):











 



m B

A

n A

B

m B

A n

  ;  0

Por tanto, el trabajo a través de un ciclo cerrado es nulo. 0

·  

W_ABA

_

ENERGÍA POTENCIAL.

Nos encontramos dentro de un campo conservativo. Tomamos arbitrariamente un punto O como origen.

Se define la Energía Potencial de un punto P como el trabajo necesario para llevar un cuerpo desde el origen O hasta el punto P, en contra de las fuerzas del campo.

m

n

A

Debemos tener en cuenta que este trabajo solo dependerá del punto inicial O y del

final P. 



P

P Fdr

U

0

· 



(7)

Se trata, por tanto, de una magnitud escalar (es un trabajo) función únicamente de las coordenadas del punto, para un determinado cuerpo y un determinado origen.

Pero en realidad no nos importa demasiado la Energía Potencial absoluta que tiene un cuerpo por estar en un punto de un campo de fuerzas, sino, más bien, la cantidad de energía que puede ganar o perder al moverse entre dos puntos de dicho campo.

Si el cuerpo se mueve desde un punto A a otro B del mismo campo:

W_AB F dr F dr F dr U U U U U

A

B B A

B A A B AB









0 0

Luego  



B

A B

A F dr

U ·  (8)

Es decir la variación (incremento) de Energía Potencial que experimenta un cuerpo al moverse de A a B, es igual al trabajo cambiado de signo que realizan las fuerzas del campo al llevar al cuerpo desde A a B.

Dicho de otro modo, si queremos calcular la variación de Energía Potencial que sufre un cuerpo al moverse entre dos puntos de un campo de fuerzas, basta con calcular el trabajo realizado por las fuerzas del campo entre esos dos puntos y cambiarle de signo.

Por otra parte, ¿porqué el trabajo y la Energía Potencial tienen signos contrarios?

La razón tiene su origen en el mismo nombre del campo: conservativo, es decir es un campo donde se conserva el trabajo realizado. Si nosotros hacemos un trabajo al llevar un cuerpo desde un punto a otro (AB) del campo, el mismo campo nos lo devuelve al hacer el camino contrario (BA).

Luego, la única manera posible de que espontáneamente el campo haga un trabajo es que lo realice la fuerza definida en el mismo, es decir, nos tenemos que mover en la dirección de la fuerza (a favor del campo), por tanto, para acumularlo antes, tuvimos que movernos en contra del campo (trabajo negativo).

¿Donde vamos a situar el origen O del campo?

En la práctica tiene poca importancia, pues lo que nos va a interesar son las ganancias o pérdidas (incrementos) de energía al movernos entre dos puntos cualesquiera del campo.

Como el trabajo y la energía son magnitudes escalares, el incremento de trabajo entre dos puntos siempre es el mismo empecemos a contar el trabajo desde donde empecemos, es decir, podemos colocar el 0 donde queramos sin que varíe la diferencia entre dos puntos (la distancia que hay entre dos localidades en una carretera siempre será la misma, no depende del punto desde donde empecemos a contar el espacio).

FUNCIÓN POTENCIAL.

Al definir la Energía Potencial de un punto, hemos creado un campo escalar (un campo de energías) dentro de un campo vectorial (un campo de fuerzas).

Pero el campo escalar de energías no está bien definido, pues en cada punto del espacio existe más de un valor de la Energía Potencial, pues ésta depende del cuerpo que situemos en el punto: Para un cuerpo determinado tendremos un único valor de la energía U_P pero si en ese mismo punto situamos otro cuerpo distinto tendremos otro valor distinto de la energía U_P' (cuanto mayor sea una masa más trabajo nos cuesta moverla dentro de un campo gravitatorio).

Para subsanar este defecto, vamos a definir una nueva magnitud: La Función Potencial o simplemente Potencial.

La Función Potencial V_P se define como la Energía Potencial que tendría la unidad de escalar (unidad de masa o carga según el campo) situada en el punto P.

V U

e

P  P (9) y 



V U

e



RELACIÓN: INTENSIDAD DE CAMPO Y POTENCIAL.

Si tenemos en cuenta que W_AB U e V AB AB

    . queda





W_AB e V V

A B

 . 

y si además dU  F dr . dU e dV. y F e A.  resulta que _{dV  A dr} _. e integrando V_AB A dr

A B

 

_

Que nos indica como calcular la variación de potencial a partir de la intensidad de campo.

Por tanto, tenemos ya un campo vectorial de Intensidades de Campo bien definido (en cada punto un único valor) y dentro de éste acabamos de definir un campo escalar de potenciales, luego tenemos un campo escalar superpuesto a uno vectorial y que podemos relacionar mediante (10).

Por otra parte, en todo campo escalar se cumple que gra .V drdV y, como acabamos de ver dV  A dr . luego queda A  graV (11)

Por tanto disponemos ya de dos ecuaciones que nos relacionan los dos campos o lo que es lo mismo la Intensidad de campo y el Potencial:





 Adr

El campo escalar de potenciales vendrá representado por las superficies equiescalares que en este caso llamaremos superficies equipotenciales: conjunto de puntos que presentan el mismo valor del potencial.

Si además se tiene en cuenta que la intensidad de campo (aunque con signo contrario) es el gradiente del potencial y que viene representada por las lineas de fuerza, cabe deducir que las líneas de fuerza deben ser perpendiculares a las superficies equipotenciales.

La representación de un campo de fuerzas podría ser la de la figura adjunta, siendo las líneas de fuerza perpendiculares a las superficies equipotenciales.

Las lineas de fuerza indican en cada punto la dirección y sentido de la intensidad de campo, así como la dirección de máxima variación del potencial.

CAMPOS DE FUERZAS CENTRALES.

Dentro de los campos de fuerzas nos van a interesar los campos de fuerzas centrales, como son el campo gravitatorio creado por una masa puntual o el campo eléctrico creado por una carga.

El módulo de la fuerza en estos campos siempre es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: F K_r2 (14)

Comprobemos a continuación que los campos de fuerzas centrales son siempre conservativos:

Suponemos un campo de fuerzas central cuyo centro es el punto O.

Las líneas de fuerza serán radiales y perpendiculares a las superficies equipotenciales que serán esféricas (en el plano circulares).

Vamos a demostrar que el campo es conservativo calculando el trabajo necesario para ir de A a B a través de dos caminos: el AA'B y el AB'B.

Trabajo AA'B:

W_AB W W

AA AB

 '

' pero W_AA' _{0 porque}  

F dr por tanto:

W F dr K

r dr

K r

K r

K r A

B

A B

r r r

r r

A B

A A B

A B

   

 

  







 _.

' '

2

L I N E A S D E F U E R Z A

V₁ V₂ V₃ V₄

O

r_A r_B

FA

FB A A '

B

y como U_AB W AB

  queda U K r

K r AB

B A

 

Si tomamos el infinito como origen de energías, pues es en el infinito donde se acaba el campo, es decir, donde F se hace O:

r K

r U

B

B

B

  0 y 0 _luego U K r A

A

 _{y, en general} U K r P

P



(15)

Es decir, la energía potencial solo es función de la posición r_P y, por tanto, el campo de fuerzas debe ser, como demostraremos a continuación, conservativo.

Trabajo AB'B:

W_AB W W

AB BB

 '

' pero como de B a B' F dr  resulta WBB' 0

Luego W F dr K

r dr

K r

K r

K r AB

A B

r r r

r r

A B

A B B

A B

   

 

  





' '

2

Resultado obtenido anteriormente y que prueba el carácter conservativo de los campos centrales.

ENERGÍA CINÉTICA. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS.

Supongamos que una determinada fuerza F ha realizado un trabajo al desplazarse entre dos puntos A y B.

Si éste trabajo se le aplica a una masa m, se cumplirá el segundo principio de la Dinámica, siendo: F  m a.

Por tanto: W F dr m a dr mdv

dtdr m v dv mv A

B

A B

A B

A B

A B

     

 









2

W  1m v_B m v_A

2

1 2

2 2

. .

Al término 1 2

2

m v. se le llama energía cinética y se define como la capacidad que tiene una masa para realizar un trabajo en función de su velocidad.

Por tanto queda: W EC (17)

El trabajo realizado sobre una masa se emplea en variar su energía cinética.

Si el trabajo realizado por la fuerza se aplica a una masa, se invertirá en variar su energía cinética. Si el trabajo es positivo aumentará la energía y si es negativo la disminuirá.

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA.

Suponemos un campo de fuerzas conservativo.

Si movemos una partícula entre dos puntos del campo, la variación de energía que

experimenta será, según (8): U Fdr A B

 



fuerza definida en el campo.

Por otro lado, según el teorema de las fuerzas vivas (17), el trabajo aplicado a una

partícula de masa m se invierte en variar su energía cinética: W Fdr E_c A

B



_

De las dos ecuaciones anteriores se deduce: E_c  U

O lo que es lo mismo: E_CU 0

Es decir, el aumento de energía cinética de una partícula debe ser igual a su disminución de energía potencial y, viceversa, la disminución de energía cinética será igual al aumento de energía potencial.

La energía mecánica total de una partícula sobre la que solamente actúan fuerzas conservativas permanece constante.

Pero, ¿qué sucede si sobre ésta partícula actúan fuerzas no conservativas?

Parece fácil deducir que la energía total de la partícula no sería constante, sino que se vería aumentada o disminuida por el trabajo de las fuerzas no conservativas.

Por lo que (29) quedaría: ECU WNC

El trabajo de las fuerzas no conservativas se emplea en variar la energía mecánica total de la partícula sobre la que actúan.

El ejemplo más típico de fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento que, por ser siempre contraria al movimiento, realiza un trabajo negativo por lo que se empleará en disminuir la energía total de la partícula.

CAMPO GRAVITATORIO.

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA: LEYES DE KEPLER.

En el siglo XVI, Copérnico propuso describir el movimiento de los planetas respecto del Sol como un sistema heliocéntrico, es decir, el Sol se encuentra en el centro del sistema y los planetas giran alrededor del mismo.

Los que propuso era, en esencia, un sistema de referencia basado en Sol. Éste coincidiría con el centro de masas del sistema (su masa sería mucho mayor que la del resto de los planetas) y su movimiento mucho más pequeño que el de los planetas. Constituiría, por tanto, con bastante aproximación, un sistema inercial.

El astrónomo y matemático alemán J. Kepler (1571-1630), basándose en los datos del también astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) y de lo anteriormente propuesto por Copérnico, enunció sus tres leyes que suponen una descripción bastante correcta del movimiento de los planetas.

1ª LEY: Los planetas describen elipses alrededor del Sol, estando éste en uno de sus focos. Aunque la excentricidad de las órbitas es pequeña, no se podían explicar con órbitas elípticas, las posiciones observadas de los planetas.

2ª LEY: Las áreas barridas por los radio vectores (vectores de posición) que delimitan las posiciones de los planetas respecto del Sol, son iguales en tiempos iguales. Dicho de otro modo: la velocidad areolar (velocidad de barrido de área) es constante.

Para entenderlo de forma adecuada debemos estudiar antes que es el momento cinético o angular de un cuerpo y su conservación.

MOMENTO CINÉTICO O ANGULAR DE UN SÓLIDO.

Hemos definido el momento cinético de una partícula como el momento de su cantidad de movimiento:

i i i

i r mv

L   [15]

Si suponemos un sólido rígido como un sistema de masas puntuales:





i r mv

L

L   

Cada vector _Li es perpendicular al plano determinado por _ri y vi, por lo que tendrá la dirección del eje, quedando determinado su sentido por el sentido de giro. Parece fácil deducir que todos los vectores _Li tendrán el mismo sentido y la dirección del eje. Por tanto vamos a calcular solamente el módulo.

v_i

L i r

i _m

Si en [15] calculamos el módulo del producto vectorial y sustituimos la velocidad lineal por la angular, pues es la misma para todas las partículas del sólido:

2

. .

90o _{i i i i i} i

i i

i rmvsen rm r mr

L    

Extendiéndolo a todo el sólido:





L _i  _{. i i}2   _{i i}2 

Luego el momento cinético o angular de un sólido en rotación será un vector de dirección la del eje, sentido ascendente o descendente según sea el giro y módulo:



I

L [16]

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO.

Como ya vimos en su momento, la derivada del momento cinético era el momento de la fuerza aplicada a la partícula y la derivada del momento cinético de un sistema de partículas era la suma de los momentos de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema ([29] del tema anterior):

M F

r v m v dt

v m d r v m dt

r d dt

v m r d dt

L

d _   _ _ __  _ _ __  _{ } 

0 )

( )

(

Y si tenemos en cuenta que los momentos de las fuerzas interiores, por ser de acción-reacción, se anulan:



 M_ext

dt L

d 

Por tanto si un sólido no tiene aplicados momentos exteriores, la derivada del momento cinético sería 0 y el momento cinético constante:

0

o

0 0

Si  _ext   Lcte I cte I I _o  dt

L d

M    

 

Expresión de gran utilidad para la explicación de algunos fenómenos físicos. Por ejemplo: los bailarines cierran sus brazos cuando quieren girar más deprisa y los abren cuando quieren pararse. Ello se debe a que al no tener aplicados momentos exteriores, si el bailarín abre los brazos aumenta su momento de inercia y, por tanto, disminuye su velocidad. Si los cierra disminuye su momento de inercia y aumenta su velocidad.

Esto implica que la velocidad con la que se mueven los planetas alrededor del Sol no es constante, pues, si el área barrida por sus vectores de posición debe ser constante, se deben mover más rápido cuanto más cercanos estén al Sol.

Para tiempos iguales las áreas S1 y S2 deben ser iguales.

Como se puede observar en la figura, el momento de las fuerzas aplicadas a un planeta determinado (m) es 0, luego el momento cinético debe ser constante:

F r m

v S o l

S 1

; 0

 Mext



y como M L r mv cte dt

L d

ext   



    



;

y según la interpretación geométrica del producto vectorial:













m L v m r m dt S d v r dt r d r dt S d r d r S d                  2 2 1 : m por dividimos y mos multiplica Si ; 2 1 2 1 ; 2 1            

Por tanto se deducen dos consecuencias:

1. Al ser constante el momento cinético Lr que resulta del producto vectorial de

v m

r , debe ser también constante el plano determinado por estos dos últimos vectores (r vr r y ), por lo que la órbita debe encontrarse siempre en el mismo plano, es decir. las órbitas de los planetas son planas.

2. La velocidad de barrido de los vectores de posición de los planetas o velocidad areolar es constante: dS_dtcte

3ª LEY: Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las respectivas órbitas.

T

T

A

A



A partir de las conclusiones de Galileo sobre la composición de movimientos, del sistema heliocéntrico de Copérnico, de las observaciones de Tycho Brahe y las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas, Isaac Newton llegó, por inducción, a sus tres leyes simples del movimiento (principios fundamentales de la Dinámica) y a su mayor generalización fundamental: la Ley de Gravitación Universal.

Puede deducirse de forma sencilla partiendo de que la fuera de atracción entre los planetas es central, es decir, siempre tiene dirección radial y sentido hacia el Sol, por lo que al ser una fuerza centrípeta, debe corresponder a la formula:

r v m

F   2 si la ponemos en función de la velocidad angular, como vr

r m r

r m

F _ (· )2 _ ·_2· _{y como}

T

f 



 2 ·  2 r

T m r m

F · · 4 ₂ ·

2

2 

 



Si ahora tenemos en cuenta la tercera Ley de Kepler que dice que el cuadrado del periodo de las orbitas de los planetas es proporcional al cubo del semieje mayor o al radio si las consideramos circulares:

_T

_

_K

_·

_r

2 2 2 2 3 2 2 2 · 4 · 4 · 4 · 4 r m K r K m r r K m r T m

F        

Puesto que el termino 42_{/K es una constante y Newton estableció que la fuerza de}

atracción entre el Sol y los planetas debia ser proporcional a la masa del Sol

S

M

G

K

·

·

4





2

r Mm G

F 

 

. 10

. 67 , 6 donde ; '

1

Kg m Nw G

r r r MM G

F    

y el signo indica que la F es contraria a r, es decir, es una fuerza de atracción.

INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO.

Suponemos una región del espacio vacía. Situamos en ella una masa M.

Se llama campo gravitatorio a la perturbación que ésta masa crea en el espacio que la rodea. Es decir, ese espacio no permanece impasible ante la presencia de la masa, sino que presenta nuevas propiedades, ya que en cada punto aparecen los valores de dos nuevas magnitudes: una vectorial, la intensidad de campo (gr) y otra escalar el potencial (V).

Inicialmente ese nuevo campo no se manifiesta, pero si introducimos una segunda masa m en un punto cualquiera del espacio que rodea a la primera masa M, se vera sometida a una fuerza que vendrá dada por la Ley de Newton (1).

La ecuación que vimos en la teoría general de campos como F e Ar  . se convierter en el campo gravitatorio en Fr m g. , donde r gr _{es la intensidad de campo gravitatorio}

que siempre hemos conocido como aceleración de la gravedad pues coincide en unidades con las de una aceleración.

2 2

.

s m Kg

s m Kg

Kg N m F

g   

 

La intensidad del campo gravitatorio en un punto se define como la fuerza que sufre la unidad de masa (Kg) situada en ese punto del campo.

 

r r r M G g r

r r

m M G F g

m

F  . y   .₂   queda 3  ₂  

Si

Por tanto, según vemos en (3) la intensidad de campo gravitatorio depende de: - La masa que crea el campo M.

- La distancia a la que estemos de M, es decir, del punto del campo en el que nos encontremos.

Nos encontramos entonces ante un campo vectorial bien definido, pues a cada punto del espacio que rodea a la masa M le corresponde un único valor de gr, mientras que puede tener infinitos valores de la fuerza, tantos como masas podamos situar en ese punto.

Como ya vimos en la Teoría de Campos, la representación del mismo se lleva a cabo mediante las Líneas de Fuerza, que indican en cada punto la dirección y sentido de la Intensidad de Campo.

M

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

Si en una zona del espacio tenemos varias masas, cada una de ellas produciendo su propio campo gravitatorio, la fuerza total sobre otra masa situada en un punto P cualquiera de esa zona será:





g m g m g m

F  .₁ .₂  .₃ ... ₁  ₂  ₃...  .

Donde g g gr r r₁, , ,... son los campos producidos por cada masa en el punto P._{2 3}

Podemos enunciar, entonces, el principio de superposición: si en un punto del espacio coinciden a la vez más de un campo gravitatorio, sus efectos (intensidades) se suman.

i

T g g g g

g  ₁ ₂  ₃ ... 

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITARORIA:

Como ya se ha visto, el campo gravitatorio creado por una carga puntual, es un campo central y, por lo tanto, conservativo. Se puede definir, entonces, una energía potencial gravitatoria como el trabajo necesario para traer una masa desde el origen hasta un punto P.

Parece lógico que el origen (el 0 de energías) lo situemos fuera del campo, es decir, en el infinito.

p r

r r

r p

r GMm r

GMm r

dr GMm dr

r Mm G r

d F U

p p

p p

      

  

  



 











Puesto que el trabajo de traer una masa desde el infinito hasta P lo hace el propio campo, ya que la fuerza es de atracción, tendremos una energía potencial negativa. Luego solo acumularemos energía cuando alejemos la masa m, es decir, cuando la movamos en contra de la fuerza del campo.

POTENCIAL GRAVITATORIO:

Mediante la energía potencial hemos definido un campo escalar pues en cada punto que rodea a una masa existen valores de la energía potencial, pero no solamente uno en cada punto, pues tendremos tantos valores como masas podamos colocar en dicho punto, es decir, infinitos.

Tenemos por tanto un campo escalar de energías mal definido.

Para corregir este hecho contamos con el potencial que se define como la energía potencial por unidad de masa, es decir, sería el trabajo necesario para traer 1 Kg de masa desde el infinito hasta el punto P.

V U

m U

GMm

r V G

M r p

p

p

p  y como   queda  

Como vemos el potencial solamente depende de la masa que crea el campo M y del punto del espacio en que nos situemos, luego en cada punto que rodea a una masa existe un único valor del potencial.

Si en ese punto P situamos otra masa m el campo ejercerá sobre ella una fuerza

p g m

F  . y tendrá una energía U m.Vp.

Si en un punto del espacio coinciden los campos creados por varias masas tendremos que aplicar el principio de superposición que hemos visto con anterioridad, sumando sus efectos:

g_T g_i y V_T V_i .

Por otra parte, como ya se demostró en la teoría de campos:



  

 graV V gdr

g  y . 

Que nos muestra la relación entre la intensidad de campo y el potencial gravitatorio.

CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE.

Mientras que en el campo eléctrico pueden existir infinitas posibilidades de cargas, ya sean puntuales u homogéneas, y por tanto infinitos tipos de campo, en el gravitatorio solamente existe uno que nos pueda interesar: el de la Tierra.

Si tenemos en cuenta los siguientes valores:

G N m

Kg MTierra Kg Ro m go ms

_{6 67 10}11 2 _{5 98 10} _{6 370 10} _{9 8}

2

24 6

2

, . . ; , . y , . queda ,

VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA.

Teniendo en cuenta que, según se ha deducido de la aplicación del Teorema de Gauss, se puede calcular el campo gravitatorio de la Tierra como el de una masa puntual equivalente situada en su centro:

g G M

R g

G M R o

o

p  .₂ y  .₂

dividiendo ambas ecuaciones queda: g g R R

p  o o

2 2

Ecuación muy util para calcular la intensidad del campo gravitatorio a diferentes alturas de la Tierra.

O

P

R o

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE:

Aplicando la definición de energía potencial al campo gravitatorio terrestre:





A Fdr m gdr

U .  .  si nos movemos entre lugares muy cercanos a la

superficie de la Tierra, donde podemos considerar que gr es constante:









A mgdr mg sen dr

U . .cos  .

U_AB _mg_{.sen .} s mg h_{ .}

Ecuación bien conocida y que hemos venido utilizando con frecuencia, pero que solamente es válida en zonas cercanas a la superficie.

Si nos movemos en zonas mas alejadas de la superficie, no podemos considerar que gr es constante.

Si se desea mover una masa desde la superficie (Ro) hasta un punto cuya distancia al centro de la Tierra es R:

                     





Luego esta sería la energía necesaria para mandar un satélite de masa m desde la superficie hasta una órbita de radio R.

Pero, además, una vez en órbita el satélite necesita una velocidad tal que:

R M R M mG mg R mv P

F T T

centrífuga ; 2 luegoqueda v= G

2

 

 



velocidad que necesita llevar un satélite para mantenerse en órbita.

Como habrá que dársela en forma de energía cinética:

R M mG E E T c nto mantenimie 2 1  

Luego la energía necesaria para poner en órbita un satélite sería la suma de la potencial para llevarlo hasta la órbita mas la cinética de mantenimiento para que no se caiga.

VELOCIDAD DE ESCAPE:

Se trata de la velocidad inicial que hay que darle a una masa para que abandone el campo gravitatorio terrestre o de cualquier otro planeta.

Por tanto debemos darle toda la energía como una energía cinética inicial.

Luego: h R M G R m M G mv U E T P

c   _

SATÉLITES GEOESTACIONARIOS:

Son aquellos satélites, principalmente de telecomunicaciones, que se desea que no se muevan de la vertical de un lugar de la superficie, es decir, que giren a la vez que la Tierra.

La velocidad angular debe ser de una vuelta al día:

2 2 3

4 . . 86400

queda luego G

= v además y

. 86400

2 .

 

 T _R GMT

R M R

R

v  

lo que nos da un radio para la órbita de 42200 Km, es decir, una altura sobre la superficie de 35800 Km.

Además la órbita debe ser ecuatorial, pues cualquier otra haría que aunque no se moviera de un determinado meridiano, lo recorriera de Norte a Sur. Por tanto la órbita resulta ser única, lo que hace que el situar un satélite en ella esté bastante solicitado.

PERIODO DE REVOLUCIÓN DE UN SATÉLITE:

Puesto que la fuerza centrífuga que soporta debe ser constante e igual al peso, la velocidad del satélite tambien debe ser constante. Por tanto: v s_t y como el periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa, si t=T s=2R.

Luego queda: T R v

 2 siendo v= G

R