sucesiones_y_series_4.pdf

Una sucesión se puede definir como una lista de números escritos en orden definido:

El número es el primer término; , el segundo término y en general , es el n-ésimo término . Consideraremos sólo

sucesiones infinitas , de modo que cada término tendrá su sucesor .

,...

,

,...

,

,

_{2 3}

1

a

a

a

n

a

1

a a₂

n

a

n a

1

+

n a

Observemos que por cada entero positivo , n , hay un número correspondiente , y , por lo tanto , se puede definir una sucesión como una función cuyo dominio es el conjunto de los

enteros positivos

n

NOTACIÓN: la sucesión { } también se representa por

{ } , o bien

,... ,

, _{2 3} 1 a a

a

n

a { }an ∞_n=1

Ejemplo1 Algunas sucesiones se pueden definir mediante una

fórmula del n-ésimo término . En los ejemplos que siguen presentamos tres descripciones de una sucesión:

      + + =      

+ ₌ 5 ,.... 1,...

4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 1 a

1 ₁ n n

n n n n n n

( )

( )

( )

      + − − − + − =       + − = ,... 2 1 ,...., 7 4 , 5 3 , 4 2 , 3 1 2 1 a 2 1 _n 1 n n n n n

n n n

En general , la notación

significa que los términos de la sucesión se pueden acercar a L tanto como se desee, con un valor de n lo bastante grande .

L

a

lim

_n

n→∞

=

{ }

an

DEFINICIÓN: Una sucesión { } tiene el límite L , y se representa

si para toda ε > 0 , hay un entero N correspondiente , tal que

siempre que n > N

Si existe el se dice que la sucesión converge ( o que es convergente). Si no es así , se dice que la sucesión diverge (o que es divergente)

n

a

∞ → →

= ∞

→ a L o bien a L cuando n

lim _{n n}

n

ε

<

−

L

a

_n

L a lim _n

En ella los términos , se grafican en una recta numérica . No importa cuán pequeño se elija al intervalo

( L - ε ., L + ε ), existe una N tal que todos los términos de la sucesión , desde en adelante , deben estar en ese intervalo.

,.. ,

, _{2 3}

1 a a

a

1

+

N

a

Al comparar la definición anterior con la definición de límites al infinito, se advierte que la única diferencia entre

es que n ha de ser entero

L a_n =

∞ →

n

lim

L x

f ( ) = lim

( )

1

+

N

a aN+2

Teorema: Si y cuando n es un entero, entonces

L x f = ∞

→ ( )

lim

x f (n) = an

L a_n =

∞ → n

lim

En particular cuando r>0,

entonces cuando r>0,

0 1 lim

x→∞ xr =

0 1 lim

n→∞ nr =

DEFINICIÓN: significa que para todo número positivo M , hay un entero N tal que

> M cuando n > N

∞ =

∞ → an n

lim

OBS: Si , la sucesión { } es divergente ,

aunque en una forma especial . Se dice que { } diverge a .

∞ =

∞ → an n lim n a n a

∞

Algebra de límites para sucesiones

Si y son sucesiones convergentes y si c es una constante

(

)

(

)

b b a b a b a b a a c ca b a b a b a b a

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ≠ = ⋅ = = − = − + = + ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → 0 si ) (

Ejercicio: Determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen

n n a

n n a

n n a

n n

a_{n n n n} ln

1 1

1 3

1 4

5

1 3

2 2 2

2

= +

− =

+ − =

+ − =

Teorema del Sandwich para sucesiones

Si para y si

entonces

n n

n b c

a ≤ ≤

0

n

n ≥ a_n = c_n = L

∞ → ∞

→ n

nlim lim

L b_n =

∞ →

nlim

Teorema

Si entonces lim 0 n→∞an =

0 lim

n→∞an =

Ejercicio: Determine si las siguientes sucesiones convergen o divergen

( ) ( ) a ( )

(

n n

)

n a

a n

a _n n

n

n n

n

n = − + −

− = −

=

= 2− 1n 1 1 2

¿Para qué valores de r converge la sucesión ?

{ }

rn

La sucesión es convergente si -1<r≤1, y divergente para los demás valores de r

{ }

n

r

  

= < < =

∞

Ejercicio: Calcule los siguientes límites

( ) ( ) ( )

( )

(

)

∑

= ∞ →

−

∞ →

∞ →

+

+

+ +

+ +

+ +

+ +

n

j

n

n

j n

n

n

n n n

n n

1 2 n

1 2

n

2 2

2 2

n

1 lim

5

5 ... 5

5 1 lim

/ ...

/ 3 /

2 /

Definición: Una sucesión se llama creciente si para toda n≥1 y decreciente si para toda n≥1 y monótona si es creciente o decreciente

{ }

an

1

+

≤ _n

n a

a _an ≥ _an+1

Ejercicio: Pruebe que las sucesiones

son decrecientes 

 

 

+ 

  

 

+ n 1

n

, 7 n

4

2

{ }

   

 

+2 n

2 -n , 5n

Definición: Una sucesión está acotada por arriba si existe un número M tal que

Está acotada por abajo si existe un número m tal que

Si está acotada por arriba y por abajo, es una sucesión acotada

{ }

an

1 n toda para

≥

≤ M a_n

1 n toda para

≥

≤ a_n m

{ }

an

Teorema: Toda sucesión convergente es acotada

Teorema: Toda sucesión acotada y monótona es convergente

Ejercicio : Demuestre el teorema

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

a) Si es acotada entonces es convergente

b) S existe entonces es convergente

c) Si es acotada entonces

{ }

an

n

a

∞ →

nlim

0 lim

2 n→∞ _n =

a_n

{ }

an

Límites Fundamentales

n lim ) IR a a lim ) IR k n kn lim ) r lim ) Z Z, q , p

Ejercicio :Determine tal que donde

1

lim 1

n <

+ ∞ → _n

n

a a

{ }0 -IR ∈

x

n n

n n a

n

x !

=

Ejercicio :Determine para qué valores de el límite es menor que 1, siendo

{ }0 -IR ∈

x

n n a

a ₁

nlim

+ ∞ →

n

n x

n

Al sumar los términos de una sucesión infinita ,

obtenemos una expresión de la forma

(1)

que se llama

serie infinita

o tan sólo serie , y se

representa con el símbolo

{ }

∞ =1

n n

a

...

....

3 2

1

+

a

+

a

+

+

a

n

+

a

∑

∞

∑

=1

n a bien

o

n n

a

¿ tiene sentido hablar de la suma de una cantidad infinita de

Examinaremos las sumas parciales

4 3

2 1

4

3 2

1 3

2 1

2

1 1

a a

a a

s

a a

a s

a a

s

a s

+ +

+ =

+ +

=

+ =

=

y , en general,

∑

=

= +

+ +

= n

i i n

n a a a a a

S

1 3

2

1 ....

Estas sumas parciales forman una nueva sucesión , {s_n} , que puede tener un límite o no. Si existe el (como número finito ) , entonces , decimos que es la suma de la serie

s s

lim _n

n→∞ =

DEFINICIÓN; Dada una serie Sea s_n el símbolo de su n-ésima suma parcial:

....,

3 2

1

1 = + + +

∑

∞n= an a a a

∑

= =

= n

i i

n a

s

1

n

a a

a

a₁ + ₂ + ₃ +....

Si la sucesión {s_n} es convergente y si existe el como número real, la serie se llama convergente , y se escribe

s s

lim _n

n→∞ =

∑

an

s a

a

a₁ + ₂ +.... _n +....= _{o bien}

∑

∞

=

= 1

i

n s

a

El número s se denomina suma de la serie . Si la serie no converge , es divergente. De lo anterior

∑

∞

∑

= →∞ =

=

1 1

n

n

i

i n

n

lim

a

Ejemplo 1: La serie geométrica

∑

∞

=

− _{= + + +}

1

2 1

...

n

n

ar ar

a ar

converge si y la suma esr <1

1 r 1

1

1 _<

− =

∑

∞

=

−

r a ar

n

n

Ejercicio: Calcula la suma de la serie geométrica

4+ 8/5 + 16/25 +32/125 + ...

Ejercicio: Demuestre que las series

son convergentes y calcule su suma.

∑

∞

=1 ( +1) 1

n n n

∑

∞

=14 2 −1 1

n n

Ejercicio: Determine si las series convergen o divergen

∑

∑

∞

=

+ −

∞

=

+

1

1

0

1

8

3

5

4

n

n n

n n

n

Ejercicio: Demuestre que la serie armónica diverge

∑

∞

=

+ + + + =

1

... 4

1 3 1 2 1 1 1

Teorema

Si la serie es convergente , entonces

∑

∞

=1

n

n

a _→∞ n = 0

nlim a

OBS: En general no es cierto el inverso del teorema .

Prueba de la divergencia

Si no existe , o si , la serie n diverge

nlim→∞a n→∞ n ≠ 0

a

lim

∑

∞

=1

n

n a

Ejercicio: Demuestra que la serie diverge.

∑

∞ 2

TEOREMA:

Si y son series convergentes , también lo son las series ( donde c es una constante ) , y ,

∑

a

n

∑

bn

∑

can

∑

(an +bn)

∑

(an −bn)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

= ∞

=

∞

=

∞

= ∞

= ∞

= ∞

=

+

=

+

−

=

−

=

1 1 1

1 1 1

1 1

)

iii)

)

n n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

n n

n

b

a

b

a

ii

b

a

b

a

a

c

ca

i

Ejercicio: Calcule la suma

∑

∞

= − −













₊

1 1

3

1

2

2

1

Ejercicios: Determina si las series son convergentes o divergentes. En caso de convergencia , calcula la suma.

∑

∞

=

−

     

1

1

4 3 2

n

n ₁

1

3 −

∞

=

∑



  



 − n

n π

∑

∞

=1 2

1

n

e

n

( )(

)

∑

∞

=1

+

+

2

2

1

3

n

n

n

n

(

)(

)

∑

∞

=1 3 − 2 3 +1

1

n n n

∑

∞

=









₊

1

6

2

3

n n

n n

∑

∞

=

















+

1

1

2

n

n

n

_∑

∞

=













+

1

2

5

ln

n

n

n

( )

(

)

∑

∞

=1

−

+

))

1

/(

1

sen(

/

1

sen

n

Ejercicio: Calcule los valores de x para los cuales la serie converge. Calcule la suma de la serie para esos valores de x

(

)

5

3

3

2 0

0

∑

∑

∑

∞

= ∞

= ∞

=

−

n n n n

n n n

n x

x x

∑

∞₊

=N 1

n n

a

∑

∞₌

1

n n

a

¿Si se sabe que la serie es convergente, entonces también lo es la serie ?

∑

∞₊ =N 1

n

n

a

∑

∞₌

1

n n

a

PRUEBA DE LA INTEGRAL:

Sean f una función contínua , positiva y decreciente en [1,∞) y

a_n = f(n) . Entonces , la serie es convergente sí y sólo sí

converge la integral impropia ; en otras palabras:

a) es convergente , entonces es convergente

b) diverge , entonces es divergente.

∑

∞

=1 n

n

a

∫

∞

1

) (x dx f

∫

∞

1

) (x dx

f

∑

∞

=1

n n

a

∫

∞

1

) (x dx

f

∑

∞

=1

n n

La serie p, , es convergente si

p>1 , y divergente cuando ¿Para qué valores de p

es convergente la serie ?

_∑

∞

=1

1

n np

∑

∞

=1

1

n np

1

≤

p

Ejercicio: Determine si las series convergen o diverge

∑

∞

= −

1

2

n

n

ne

2

1 1

1 2

∑

∑

∞

= ∞

= + n n

n

n

NOTA: Cuando se usa la prueba de la integral no es

necesario iniciar la serie o la integral en n=1. Por

ejemplo, en la prueba de las series.

(

)

( )

∑

∞_{= −}

_∫

∞

4

2 2

5 1

n n 4 x-5

1

usamos

Tampoco es necesario que f siempre sea decreciente. Lo

importante es que f sea decreciente cuando x sea mayor que determinado número N. Entonces

∑

∑

₌∞ ∞₌

1

n N

n

e convergent

es a

tanto

lo por y e convergent

es

Ejemplo: La serie diverge

∑

∞

=1

ln

n n

En efecto, La función f(x)=(lnx)/x es positiva y continua cuando x>1. Además es decreciente para x>e pues

2

ln 1 ) ´(

x x x

f = −

y f ´(x)< 0 cuando ln x >1; esto es, x>e. Ahora podemos usar el criterio de la integral

( )

_{= = ∞}

   

= =

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

∫

∫

2

ln 2

ln ln

ln

1 2 1

1

t lim x

lim x

x lim

dx x

x

t t

t t

¿Del criterio de la integral, podemos inferir que

?

∑ ∫

∞₌ = ∞

1 1

n

n f(x)dx

a

No debemos inferir que la suma de la serie es igual al

valor de la integral. Por ejemplo

∑

∞₌ =

1

2 ₆

1

n n

π2

mientras que

1

1

1 2

=

PRUEBA DE COMPARACIÓN: Supongamos que

son series de términos positivos

a) Si es convergente y para todo n ,

entonces también converge.

b) Si es divergente y para todo n ,

entonces también lo es.

∑

an y

∑

bn

∑

bn an ≤ bn

∑

an

∑

b

n a_n ≥ b_n

∑

an

Pruebas de comparación

Ejercicio: Determine si las series convergen o diverge

2

ln

5

2

3

6

1 1

2

∑

∑

∞₌

₊

₊

∞₌

n

n

n

n

n

PRUEBA DE COMPARACIÓN DE LÍMITES

Supongamos que son series

con términos positivos.

∑

an y

∑

bn

a) Si , ambas series convergen o divergen_lim = > ₀

∞

→ _b c

a

n n n

∑

=

∞

→

0

y

b

n

lim

n n

n

b

a

∑

an b) Si converge, entonces

también

c) Si diverge, entonces también

=

∞

∑

∞

→

y

b

n

lim

n n

n

b

a

Ejercicio: Determine si las series convergen o divergen

!

1

ln

3

5

3

1

1 1

1

∑

∑

∑

∞₌

₊

∞₌ ∞₌

n n

n

n

n

n

n

4

3

1

2

3

1 3 10 2 2

1

2 4

2 3

∑

∑

∞₌

₊

−

₊

∞₌

−

₋

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

∑

∑

∑

∞₌ ∞₌ ∞₌

₊

1 5

1 3

1

4

ln

!

n n

n

n

n

n

n

n

n

Series Alternantes

Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos alternativamente

( )

( )

1

1

....

6

5

-5

4

4

3

-3

2

2

1

-1

....

6

1

-5

1

4

1

-3

1

2

1

-1

1 1

1

∑

∑

∞

= ∞

=

−

+

−

=

+

+

+

−

=

+

+

+

n

n n

n

n

n

n

Prueba de la serie alternante; Si la serie alternante satisface las condiciones

Nota el n-ésimo término de una serie alternante toma la forma

( )

-

b

a

( )

-

b

a

_n

=

1

n-1 _n

o

bien

_n

=

1

n _n

0

2

1

₁

=

≤

+

n

n n

b

lim

)

do n

para to

Ejemplo: La serie armónica alternante

satisface las desigualdades

0 1 ) 1 1 1 ) ₁ = = < + < ∞ → ∞ → + n lim b b n n b b a n n n n nlim porque

( )

∑

∞₌ − − = − + − + − 1 1 1 ... 5 1 4 1 3 1 2 1 1 n n n

Así que converge, según la prueba de la serie alternante.

Ejercicio: Compruebe si la serie es convergente o divergente

Convergencia absoluta

Definición:

La serie es

absolutamente

convergente

si la serie de valores absolutos

converge

∑

an

∑

an

Ejemplo: La serie

es absolutamente convergente porque

Si es una serie de términos positivos, entonces y en este

caso convergencia absoluta es lo mismo que convergencia

∑

an

n

n a

a =

( )

∑

∞₌ − −

1

2 / 3

1

1

n

n

n

∑

∞ 3/2

Definición:

Una serie se llama

condicionalmente

convergente

si converge pero no es absolutamente

convergente.

∑

an

Ejemplo: La serie armónica alternante converge, pero no es absolutamente pues la serie diverge

( )

∑

∞₌ − −

1

1

1

n

n

n

∑

∞₌

1 1

n n

Teorema:

Si una serie es absolutamente

convergente, entonces converge.

∑

an

Ejemplo: La serie es absolutamente convergente, y por lo tanto convergente

∑

∞₌

1 2

2 sen

n n

¿Qué criterio podemos usar Para determinar si una serie es

absolutamente convergente?

Prueba de la razón

diverge a s lim si o lim Si b) converge) tanto lo por y ( e convergent nte absolutame es a s lim Si a) 1 n n n 1 n n n n n n n n n n erie la a L a erie la entonces L a

∑

∑

∞ = ∞ → ∞ → ∞ = ∞ → ∞ = > = < = , , 1 , 1

Prueba de la raíz

( )

( )

(

( )

)

( )

( )

n

∑

∑

_2n

∑

∞ ∞ ∞ ∞ = ∞ = ∞ = + − − 1 1 2 2 1 ln 1 2 n n n n n n n n n n n arctann n

Series de Potencias

Una serie de potencias es aquella que tiene la forma

....

3 3 2

2 1

0 0

+ +

+ +

=

∑

∞₌ c x c c x c x c x

n

n n

en donde x es una variable y las c

_n

son constanres,

llamadas coeficientes de la serie.

Una serie de potencias puede converger ante ciertos

valores de x y diverger ante otros. La suma de la serie

es una función

...

...

)

(

x

=

c

₀

+

c

₁

x

+

c

₂

x

2

+

c

₃

x

3

+

+

c

_n

x

n

+

f

Para c

_n

=1 la serie de potencias se transforma en

la serie geométrica

x x

x x

x

x n

n

n

− = + +

+ +

+ + =

∑

∞₌ 1

1 ...

....

1 2 3

0

que converge cuando –1<x<1 y diverge cuando IxI

≥

1

De una manera más general, una serie de la forma

... )

( ....

) (

) (

) (

)

( _{0 1 2} 2 ₃ 3

0

+ −

+ +

− +

− +

− +

= −

∑

∞₌ n

n n

n

n x a c c x a c x a c x a c x a

c

Teorema:

Para una serie de potencias dada,

sólo hay tres posibilidades

i)

La serie sólo converge cuando x=a

ii) La serie converge para toda x.

iii) Hay un número positivo, R, tal que la serie converge

si Ix-aI<R , y diverge si Ix-aI>R

∑

∞₌ −

0

) (

n

n n x a

c

El número R se denomina

radio de convergencia

de la

serie de potencias. Por convención, el radio de

convergencia es R=0 en el caso i) y R=

∞

en el caso iii)

El

intervalo de convergencia

de una serie de

Ejercicio:

Hallar el radio y el intervalo de

convergencia de cada una de las series

Representación de funciones como serie de potencias

¿Cómo representar una función como la suma de una serie de potencias?

Consideremos

1

IxI

<

=

+

+

+

+

+

+

=

−

∑

∞

=

,

...

....

1

1

1

0 3

2

n

n n

x

x

x

x

x

x

Ejercicio:

Deducir una representación en serie de

potencias de cada función y determina el intervalo de

convergencia

x

x f(x)

9. 4

3x 2 f(x)

8. 3

-x

x f(x)

7.

x 1

x 1 f(x) 6. x

4 1 f(x)

5. x

1 f(x)

4.

4x 1

1 f(x)

3. x

1 x f(x)

2. x

1 1 f(x)

2 2

2

2

2 3

16 .

1

2 4

+ −

= +

= =

− + = +

= +

=

+ = −

= +

=

Diferenciación e integración de series de potencias

∑

∞₌ − = + − + + − + − + − + = 0 3 3 2 2 1

0 ( ) ( ) ( ) .... ( ) ... ( )

) ( n n n n

n x a c x a

c a x c a x c a x c c x f

Teorema:

Si la serie de potencias tiene el radio de convergencia R>0, la función f definida por

es diferenciable ( y en consecuencia continua) en el intervalo (a-R,a+R), y

∑

∞₌ − 0 ) ( n n n x a

c

∑

∫

∑

∞ = + ∞ = − + − + = + − + − + − + = − = + − + − + = 0 1 3 2 2 1 0 1 2 3 2 1 1 ) ( .... 3 ) ( 2 ) ( ) ( ) ) ( .... ) ( 3 ) ( 2 ) n n n n n n n a x c C a x c a x c a x b a x nc a x c a x c c f a 0 c C f(x)dx ´(x)

Observación:

Las ecuaciones a) y b) se pueden escribir

[

]

[

]

∑∫

∑

∫

∑

∑

∞

= ∞

=

∞

= ∞

=

−

=

















−

−

=

















−

0 0

0 0

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

n

n n

n

n n

n

n n

n

n n

dx

a

x

c

dx

a

x

c

d

a

x

c

dx

d

a

x

c

dx

d

c

Nota: Aunque el teorema establece que el radio de

convergencia no cambia cuando se diferencia o se integra una serie de potencias, esto no significa que el intervalo de convergencia no se altere. Puede suceder que la serie

Ejercicio

: La función de Bessel

está definida para toda x. Así según el teorema ,

J

₀

es diferenciable para toda x y su derivada se

determina por diferenciación término a término

( )

( )

∑

∞₌ −

= 0

2 2

2 0

! 2

1 )

(

n

n

n n

n x x

J

( )

( )

∑

( )

( )

∑

∞₌

−

=

∞₌

−

−

=

1

2 2

1 2

0

2 2

2

0

!

2

2

1

!

2

1

)

´(

n

n

n n

n

n

n n

n

nx

n

x

dx

d

x

Serie de Taylor y de Maclaurin

¿Qué funciones tienen representación como series de potencias?

¿cómo podemos deducir esas representaciones?

Supongamos que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias

R a

x a

x c a

x c a

x c a

x c c

x

f _n n

< − +

− +

+ −

+ −

+ −

+ =

... )

( ....

) (

) (

) (

) ( ) 1

( _{0 1 2} 2 ₃ 3

Si x=a en la ecuación (1), obtenemos

Derivando la ecuación (1) se tiene

0

)

(

a

c

f

=

R

a -x

_<

+ −

+ +

− +

− +

= 2 ( ) 3 ( ) .... ( ) − ... )

´( ) 2

( f x c₁ c₂ x a c₃ x a 2 nc_n x a n 1

Si sustituimos x=a en la ecuación (2), obtenemos

Derivando la ecuación (2) se tiene

1

)

´(

a

c

f

=

x a R

a x nc n

a x c c

x

f´´( ) = 2 + 2.3 ( − )+....+( −1) _n( − )n− +... − < )

3

Derivando la ecuación (3) se tiene

x a R a

x c a

x c c

x

f´´´( ) = 2.3 + 2.3.4 ( − )+3.4.5 ( − ) +... − < )

4

( _{3 4 5} 2

Si sustituimos x=a en la ecuación (4), obtenemos

3

3

3

!

3

.

2

)

´´´(

a

c

c

f

=

=

Si continuamos diferenciando y sustituimos x=a , obtenemos

n

n

n

c

c

n

a

f

(

n)

(

)

=

2

.

3

.

4

.

5

...

.

=

!

Al despejar el n-ésimo coeficiente, cn , de esta ecuación, el resultado es

!

)

(

(

n

a

f

n

c

n)

Teorema:

Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es si

los coeficientes están expresados por la fórmula R a

x c x

f

n

n

n − <

=

∑

∞

=

a -x

0

) (

) (

! ) (

(

n a f

n

c

n)

=

Luego, si f tiene un desarrollo en serie de potencias en a, ha de ser de la forma

´´ ´

) (

! ) ( )

(

3 2

0

) (

+ −

+ −

+ −

+ =

− =

∑

∞

=

f f

f

a x n

a f

x

f n

n

n

´´(a) ´ (a)

La serie de la ecuación anterior se llama

serie de

Taylor de la función f en a .

En el caso especial en que a=0, la serie se

transforma en

.... ´´

´ )

0 (

! ) 0 ( )

(

3 2

0

) (

+ +

+ +

=

=

∑

∞

=

x f

x f

x f

f

x n

f x

f n

n

n

3! ´´(0) ´ 2!

(0) 1!

(0)

Esta serie se denomina

serie de Maclaurin