Un método de cálculo dinámico de tableros de puentes

(1)

ASOCIACION TECIIICA ESPAÑOLA DEL PRETEIISADO

A. Samartín, J. Martrnez y C. Siegrist Ingenieros de Caminos

Un método de cálculo dinámico

de tableros de puentes

Artículo publicado en el n.0 ₁₂₆ de la Revista Hormigón y Acero

1er trimestre 1978

Depósito legal: M. Sep. 853-1958

(2)

INTRODUCCION

591-2-126

Un método de cálculo dinámico

de tableros de puentes

A. Samartín, J. Martínez y C. Siegrist Ingenieros de Caminos

l. Frecuentemente en los actuales tableros de puentes, el estudio de su comportamiento bajo ciertas acciones de carácter dinámico puede constituir un importante factor a con-siderar en el curso del proyecto. Y ello es debido a un progresivo incremento de la esbeltez de los tableros de puentes, determinado por causas múltiples, entre las que pueden citarse las de índole económica y las resultantes de un mejor conocimiento de la fenomenología estructu-ral.

2. Las acciones que son susceptibles de provocar una respuesta dinámica en un puente, son de origen vario: eólicas, sísmicas, impacto, circulación, etc. El carácter errático en su ac-tuación, constituye una característica común a la mayoría de las excitaciones dinámicas y di-ficulta extraordinariamente una definición determinista adecuada de las mismas.

(3)

estructura-penderán, entre otros factores, de la importancia de la obra y de las acciones consideradas.

5. El análisis dinámico más simple de una estructura corresponde al cálculo lineal, con amortiguamiento viscoso ortogonal. Unicamente a este tipo de análisis se hace referencia en lo que sigue.

Un primer tipo de resultados importantes de este cálculo está constituido por los modos y frecuencias de vibración (análisis modal). Otros resultados de interés en el proyecto, pueden ser los valores máximos y mínimos de la respuesta dinámica (esfuerzos o desplazamientos) que aparecen en la estructura durante la vibración (espectros de respuesta). Por último, el co-nocimiento detallado de la variación de la respuesta dinámica a través del tiempo puede ser el objetivo del cálculo en algunos casos especiales (análisis de la historia temporal de la respues-ta).

6. Como es bien sabido ( 1 ), si se modela la estructura como un sistema dinámico con un

número finito de grados de libertad, la ecuación que rige su movimiento es:

..

M X+ C X +K X= P (t) [ 1 J

en donde:

K, C y M son las matrices de rigidez, amortiguamiento y masa respectivamente de la

estruc-- estruc--

-tura, P (t) es el vector de acciones dinámicas y X (t) es el vector de desplazamientos o

movi-mientos en los grados de libertad, incógnitas.

7. Con respecto a la ecuación anterior [ 1], conviene recordar el hecho de que las

matri-ces M, C y K generalmente proceden de una idealización de una estructura real continua(con

- -

-masas y rigideces distribuidas) en modelo estructural discreto (con un número finito de

gra-dos de libertad). Es importante apuntar aquí, que las matrices K y M no es preciso obtenerlas

con el mismo grado de aproximación si se desea obtener un mismo nivel de exactitud en los resultados. Es decir, de un modo general, se puede establecer que es suficiente considerar un número de grados de libertad activos menor para la matriz de masas M que para la matriz de

rigidez ~' si se intenta una minimización del cálculo para un nivel determinado de bondad en

los resultados. Esto explica, asimismo, la utilización frecuente, en los cálculos dinámicos, de

la técnica de las masas con~entradas frente a la de las masas consistentes, por sus ventajas

com-putacionales evidentes.

8. Con referencia al cálculo de tableros de puentes, el modelo estructural denominado lámina plegada, prismática o no prismática, constituye un esquema suficientemente adecuado para el análisis estático de un número muy variado de secciones transversales (sección losa ma-ciza o aligerada, vigas, cajón uni o multicelular, etc.). Existe numerosa literatura sobre este

ti-po estructural, (2) a (6), y un estudio comparativo de este modelo estructural con otros

modelos más simples de tableros de puentes (GuyonMassonnet, losa ortótropa, etc.) puede ver -se en (7).

9. Tras las consideraciones de los dos apartados anteriores ha parecido razonable la uti-lización de la lámina plegada como método de análisis de tableros de puentes, por su elevado grado de aproximación y universalidad de su aplicación, en comparación al esfuerzo de cálcu-lo que exige.

La matriz de rigidez K es adecuada, como se ha comprobado en estudios estáticos. Por

otra parte, la simplificación introducida de masas concentradas (a lo largo de las aristas)supo-ne una reducción importante del cálculo, y plausiblemente, la aproximación en los resultados no se deteriora. Esta hipótesis se confirmará numéricamente más tarde. En cualquier caso se puede, con objeto de obtener resultados más exactos, introducir en la lámina plegada aristas adicionales "extras" dentro de cada placa, con objeto de modelar mejor la masa distribuida en las masas concentradas de las aristas. Evidentemente el esfuerzo de cálculo se incrementa en

(4)

este caso, pero se puede, con una juiciosa selección de la estructura lámina plegada equivalen-te al tablero real del puenequivalen-te, manequivalen-tenerlo dentro de límiequivalen-tes admisibles.

Con referencia a la matriz de amortiguamiento C, como se supone ortogonalidad, no es necesaria su determinación explícita, en el cálculo.

-1 O. La importancia de la simplificación de suponer concentradas las masas en las aristas

de la lámina plegada radica en reducir de un modo sustancial la complejidad del cálculo. En efecto, si las masas se considerasen distribuidas en la placa, la rigidez elemental de cada placa ya no sería constante, independiente del período de vibración, y las técnicas normales (solu-ción modal) de resolu(solu-ción del sistema [ 1] ya no serían aplicables, al menos directamente.

Sin embar60, dentro de un contexto más general y sin referencia expresa a tableros de puentes, se ha estudiado en (8), el análisis dinámico de estos tipos estructurales, sin la simpli-ficación de concentración de masas en las aristas. Conviene, por último, recordar que esta sim-plificación es similar a la usual en el estudio dinámico de estructuras reticulares en donde las masas de las vigas se reducen a puntos específicos (nudos) de la estructura, obteniéndose, no

obstante, resultados adecuados. ·

11. Los conceptos anteriores, se han aplicado a la estructura lámina plegada prismática,

es decir, con sección transversal constante. En este tipo estructural, como es bien sabido,exi~

ten cuatro componentes de movimiento a lo largo de cada arista(tres desplazamientos y un gi-ro). Los esfuerzos de interés en cada placa se representan en la Figura l.

Se supone, con objeto de obtener una solución en serie de Fourier, que el tablero

corres-ponde a un puente simplemente apoyado (apoyos tipo tímpano) .

~

_l

•

(5)

La idea fundamental del cálculo estático de esta estructura tridimensional consiste en reducir la solución final a la superposición de soluciones, cuya variación longitudinal es cono-cida (funciones trigonométricas). Para cada una de éstas, se puede hacer abstracción de esta variación longitudinal y plantear las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de la estructu-ra, con las amplitudes de los desarrollos trigonométricos. Es decir, el problema se simplifica y reduce al cálculo de una estructura plana, a la que es posible aplicar toda la técnica de los mé-todos matriciales de estructuras de barras a la sección transversal.

De este modo es posible incluir dentro de un programa general único, secciones transver-sales arbitrarias.

Para el cálculo dinámico, se ha procedido de acuerdo con las consideraciones de los apartados anteriores, es decir, introduciendo un número adicional de aristas, en las cuales se suponen concentradas en toda su longitud las masas de la lámina plegada. De esta forma, se ol:r tiene para cada armónico, una ecuación del tipo [ 1 ], que se resuelve de la forma habitual. Me-diante superposición de los armónicos, que se suponen influyen en el resultado final, se de-termina la respuesta final de la estructura.

12. Con base a la teoría acabada de esbozar, se ha desarrollado un programa de cálculo en computador que permite el análisis dinámico de láminas plegadas prismáticas y simplemen-te apoyadas. Una exposición del programa puede verse en (9), por lo que aquí sólo se presen-tarán algunos resultados obtenidos y su concreta aplicación al cálculo de tableros de puentes.

13. La sección transversal del tablero de puente que se ha estudiado, se representa en la

figura 2, y corresponde a dos pasos superiores de la Autopista Bilbao-Zaragoza en su cruce con la Ronda Norte de Zaragoza. Dichos pasos, ejecutados en viga continua, tienen luces máximas de 41 m., por lo que la luz equivalente entre puntos de inflexión del vano mayor, para carga uniforme, es del orden de 25 m. No obstante, en el estudio que se ha hecho, se ha supuesto una luz de 35 m., para obtener unos resultados más representativos, dada la rigidez de la

es-tructura real. La idealización en lámina plegada para el cálculo estático sería inmediata (Fig.

2b) y se puede comparar con la idealización en lámina plegada precisa para el análisis dinámi-co, donde se comprueba la necesidad de incluir un número adicional de nudos en los que se concentran las masas distribuidas (Fig. 2c).

F ig. 2 a

La luz del puente simplemente apoyado es 1 = 35,00 m. y las propiedades del material

son:

(6)

·~:

Losas

Q)y@ @y@ @y@ @y(l) @,@y@

@y(@

7

--~-Sección transversal de Id' lámina plegada

Análisis estático

(])¡

-Loso i

Arista j

Figura 2b

Eseesor loso Eseesor e loco

0,250 0,324

0,200 0,246

0,200 0,259

0,250 0,307

0,500 0,500

0,750 0,750

4,250

Sección trasnversal de la lamina plegada

Análisis dinámico Figuro 2c

Módulo de elasticidad E = 300.000 kg/cm2

Coeficiente de Poisson v = 0,20

Densidad relativa 'Y

=

2,5 es decir,

2,5 _¡

p

= -

t. seg2 . m

9,8

Coeficiente de amortigua-miento (relativo al crítico) e idéntico para todo el

~

=

0,02

.l

11,150

(7)

MODOS DE VIBRACION A NTISIMETRICOS.

PRMON ll.CJ 1 "1CJDCJ 1 1- Rl::.l.LII::.NLI P ., • j tSC.PI. P 1 i bll

Fig. 3a

PRMCJN!l.CJ "1000 l. 1-RI::.l.JI:'.t-.LIP 11 .8 1::.5l.P.I P 1, bU

~~11

(8)

MODOS DE VIBRACION ANTISIMETRICOS.

~RMONICD 1 ~DOD 3 ~RECUENll~ 4~-2 l5L~IP 1150

Fig. 3b

(9)

MODOS DE VIBRACION SIMETRICOS.

PRHONILO 1 ~000 1 ~RECUENLIP ¿.~ ESLPI.P 1/Sü

Fig. 3c.

P~HON!CO 1 MODO 2 ~RELUENLIP 30.3 ESLPI P'1tbú

(10)

PRMONitO 1 ~000 3 FRElUENliP ~a.b ~Sl~LP libO

Fig. 3d ..

PRMONilO 1 MODO 4 FRECUENCIA 5~.2 tSCRLP J,5ü

(11)

Análogamente en la Figura 4 se indican las primeras frecuencias y correspondientes mo-dos de vibración, considerando el segundo término del desarrollo trigonométrico. Como en la Figura 3, sólo se ha representado aquí la forma del modo en su sección característica (

cen-tral), siendo su variación longitudinal impuesta por la función trigonométrica sen n 1r x (n

1

MODOS DE VlBRAClON ANTlSlMETRlCOS

PRMDNILD 3 ~000 1 ~RECUt~LIA 1~.6 tSLALA !tóU

Fig. 4a

ARMONICO 3 ~000 2 ~RtLUENLIA ~9 ó tSLAl A libO

(12)

MODOS DE VIBRACION ANTISIMETRICOS.

RRMONltO 3. ~000 3 FREtUt~tlR 56.~ t5tRI.R liSO

Fig. 4b.

(13)

ARMONICO 3 MODO 1 FRECUENCIA 16.8 ESCAl.A 1150

Fig. 4c.

ARMONICO 3 MODO 2 FRECUENCIA 36.~ ESCALA 1150

(14)

RR~ONICO 3 ~000 3 FRECUENCIR 54.9 ESCRLR 1150

Fig. 4d.

(15)

=

1, 2, 3) que corresponda.

Se observa que, a efectos de cálculo, ha parecido conveniente separar los modos de vi-bración simétricos y antisimétricos respecto a la recta A-A' de la sección transversal.

Entre los primeros se encuentra el modo de flexión del tablero como viga recta y entre los segundos el modo de torsión como viga. Es interesante comparar aquí estos resultados,que pueden obtenerse de la teoría elemental de vibración de vigas, con los deducidos mediante el análisis de lámina plegada.

a) Frecuencia fundamental del modo de flexión como viga:

f = Wp =

~

( El) 1/2 F 21r 212 _pA

con A, 1, área e inercia de la sección transversal que en..este caso es:

A= 7,5337 m2

1 = 2,16037 m4

con lo que resulta fp = 2,35 seg-1

b) Frecuencia fundamental del modo de torsión como viga.

ft = Wr =

!_

j

GJ

2 2 lp . 12

• p E

con G =

-2 (1

+

v)

J, módulo de torsión.

IP, momento de inercia polar por unidad de longitud.

En este caso:

4 A2

-J =70S= 4,60514 m4; Ip = lxx

+

lyy = 79,27062 m4

fj

t•

Por lo tanto:

fr

=

7,62 seg-1

Los resultados deducidos como lámina plegada son:

fp =2,1 y fr =7,3

15. Si la carga actuante es conocida determinísticamente, la historia temporal de la res-puesta se obtiene según los métodos típicos de resolución modal de la ecuación [ 1 ].

Por ejemplo, suponiendo la actuación de una carga vertical uniforme a lo largo de los ex-tremos de ambos voladizos del tablero, con una intensidad que varía a lo largo del tiempo se-gún se indica en la figura 5, para dos hipótesis teóricas idealizadas que se presentan a efectos comparativos. Evidentemente, en una situación real, si se conociese la variación temporal de la carga excitación como una función arbitraria del tiempo, el programa permite su tratamien-to, ya que realiza numéricamente el análisis de las integrales de Duhamel resultantes. El

va-lor máximo de esta intensidad de la carga se supon.,e aquí de 1 O tm-1

Los resultados que se presentan en las figuras 6 y 7 corresponden a la variación temporal de dos componentes particulares de la respuesta dinámica, concretamente de la flecha verti-cal en el nudo 1 y en el momento flector en el nudo 9, según la numeración de la lámina ple-gada indicada en la figura 2c.

(16)

CASO-A CAS0-8

P(t)

--IQ_!/m-1

Carga unlf«me actuante.

Figuro 5

P~l~lP 1 OEfO~~PLIO~ Cr

·1 .!:)

9 u

Fig. 6a

P~l~lP 1 CEfU~~P~!ON Cr

(17)

Se comprueba el mayor efecto dinámico del caso A en comparación al caso B, lo que es evidente al transmitir el primero más energía al puente. Por otro lado, esta magnificación di-námica puede ser importante incluso si se considera, como en el ejemplo, cierto grado de amor-tiguamiento viscoso. Naturalmente estos resultados suponen un comportamiento lineal y elás-tico de la estructura en todo instante.

16. A veces sólo interesa conocer los valores máximos (en valor absoluto) de la

respues-ta y se evirespues-ta entonces, el esfuerzo compurespues-tacional que exige el tipo de resulrespues-tados presenrespues-tados

en el apartado anterior. Esto es particularmente importante en el caso de acciones sísmicas,

que con la introducción del concepto de espectro de respuesta de la pseudo-velocidad Sy (~,

w) permite un ahorro importante de cálculo.

CASO·A· llJSP ~ ~•1 l ~SFUERlD '1

1.h

\PI.lJR ES1P11~0 ·6.!Ju•1u·1

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Fig. 7o

CASO·B-LO&~ 8 ~X1. 2 tSFUERlO ~

1-h

-1 .o

... 3-S

-6.0

~Ht---t-f---'"~'-'Pl'-"0-'-R -"(:'~:; 1 P1 1 ~O -C. !Jú•l u ·l

11 .o

Fig. 7b

(18)

La extensión de este procedimiento de análisis al caso de láminas plegadas es inmediata.

En efecto, para el armónico n, sea el modo m-simo de dicho armónico, q,nm

correspon-diente a la pulsación w mn. Se puede escribir entonces para el vector desplazamiento máximo

X

.

:

-n,m max

Xn, m máx = q, n, m M*fnm _ _ Sy

(~,

Wnm)

nm Wnm

con .C0m =

!P

~m

M

~n

el factor sísmico modal; Mrim = .P!m·

~

. q,nm

y !:n es el vector de influencia de desplazamientos pseudo-estáticos para el armónico n. En el caso de una excitación sísmica vertical de un apoyo, por un terremoto de

espec-tro de pseudo velocidad Sy (~, w) el vector !n viene dado por la expresión:

con K, número de aristas, y r(i) =

-n

2JQ

x ntrx

siendo a0 = -_Q - sen - - dx _Q

Q

o

- _!n(1)

l

!n (2)

!

_n

=

r (K)

-n

í

0

l

1 0 1 (4 X 1)

L

~

J

Si el terremoto actuase en ambos apoyos simultáneamente, con una aceleración vertical,

entonces el valor de ~ se debería modificar al siguiente

2

~~Q

ntrx

a0 = ~ sen -Q- dx

'o

Es posible generalizar las fórmulas anteriores al caso de otros tipos de acciones sísmicas estructurales.

17. Se considera el espectro de respuesta de pseudo velocidad de un terremoto

(19)

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(23)

TABLA -2- (Cont.)

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CALCULO DIII.HICO.R!~

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