Elementos de contorno adaptables

E~EMENTOS OE CONTORNO ADAPTAB~ES E • de ALARCON

E.T.S.de Ingenieros Industriales. MADRID

Como e• bien sabido , en el ~•todo de los elementos finitos se suele hablar de do• ti~os de converc;¡encia La primera , o converoencia h , •• reflere a fa m•Jora del resultado que se obti~tne r•finando la malla • D~ido a la correspondencia ~tlemento -variables nodales -funciones d• interpolacion , ello implica un aJuste proc;¡resivo de los resultados en aquellas zonas donde se produce el r_ef inami'e,to •

Se trata del metodo mas usado cuando , de forma pra.c;¡matic;a , se desea tener un• idea de la conv.rc;¡encla de los resultados • Su principal inconveniente radica en el hecho que cada refinamiento exiQe el calc,do de lll&trices de ric;¡ide: diferentes de las ~nteriores , de modo que la inforlllacion debe ser rehecha en cada caso y , por tanto , los costes son elevados •

El seoundo metódo analiza la coriveroencia p , o refinamiento de la •Proximacion median·te el incremento del orado del polinD<~~io definido sobre cada elemento • S• trata de ;abandonar la idea de asociar a cada nodo el valor físico de la variable correspondiente en la aproMi~acíon típíca

~ ~

a+

+a

1

+a~

+ ••• +a

9

1 1 2 2 3 3 n n

••• ( 1)

donde las funcione•

1

son unidad en el nodo correspondiente y r:•ro •n •l r••·to •

Por el contrario • se vuelve a la idea &emeJ•nte al d• un des•rrollo ~ serie d& funcione•

9

••tan definidas c;¡lobalmente

y

ponderacion no tienen porque preseñtar un concreto •

oric;¡inal de Ritz , Fouríer , dende las

los coefici•ntes de si;nificado fi•ico

.J::vi dentemente elementos y

jerarquía de

, la vuelta no •• total 1 se stouen manteni•ndo den'tro de cada uno de ellos se establece una funciones

? .

i

sufi~iente para el ajuste por t~ozoa y , por ot~o , ~•fina~ la ap~oMimacion de form. intelio~te ya que , al igual que sucede en

una serie de Fouri...- , cada t~mino que se añade produ~e un

efecto menor , lo que posibilita el t~uncamient~ ~uando se alcanza un dettl4"•in&do-·M·vel de p,..~ist-on • · Ad-a• , puesto que cada ~ tiene un soporte p~fecta . . nte definido desd• un p~incipto,

cada etapa del r.fina•iento aprovech• todoa los ~alculos ante~iores y solo •• necesita evaluar los nuevos t~minos de la -t~iz de ~igidez· •

La p~imttra idea f.ue propu-t.a po~ Zienckiewi~z et al • <1970> , y

poste~iormente han desar~ollado el ••todo Szabo et al. <1978> , Babuska <197~ , 1978> , Peana <1978 > , etc

El p~oéeso op~attvo incluye asi

&>Establecimiento de una malla amplia sobre el dominio a analiza~.

b)Definicion de una Je~arquia de funciones de inte~polacion

dent~o de cada ele~nto •

c>Establecimiento de un 'tndic.ador' de las zonas

adicion de nuevas funciones Je~•~quizadas. que precisen la

d>Establecimiento

er~or cometido y proceso •

de un 'estimador a posterior!' que evalue el

pre~ise el momento en que pueda se~ detenido el

Un metodo que sigue los pasos .ant~io~es se autoadaptable y , como se puede comprende~

interesantísimo para problemas no triviales •

denomina

~•sulta

En lo que sigue vamos a contemplar la posibilid.ad de eMtender las

ideas anterio~es al matado de los elementos de contorno •

1.ELECCION DE LAS FUNCIONES ELEMENTOS NATURALES.

DE INTERPOLACION EN EL M. E. C.

Como •• sabido , el metodo de los elementos de contorno esta basado en la existencia de una ~elacion de reciprocidad entre dos p~oblemas reoidos por un operador elipti~o

Au • f

•

•

Au • f

que se obtiene •1

•

<Au , u

,.

.

.n.

(

f~,..

b) . .. (2)

for-r los productos inte~nos

•

u )•

:..n.

•

•

< Au , u > • < < f , u >..11. ••• <::S>

Desarrollando el prime~ mieMbro

•

•

u

•

!.n.

a.<u , u >..11. + b < u, u )

.

dA

(f,

•

•

a<u ,u >..fl + b<u , u

>d.n.•

(f

•

,u~ . .. (4)

a ( • , •

>..o.

es una forllla bilineal en el dominio ~

y b <

. ,

. o.n.

> otra en su

.

~ontorno

d .n •

Debido a sustraccion

las condiciones de simetría del de ambas ioualdades permite obtener

•

ope~ador

•

b(U o U ) .:-: b<u

an.

.

•

, u > •d.Q '<f,. u

•

..n

> - (f ,u ) -'1.

• •• <:S>

Si 2a ) es el pr.ob1ema original se observa que tan solo el ultimo sumando del segundo mienbro incluye los valores de la variable en el dominio , lo que exigiría su discretizacion •

Sin embargo , si s.e

e

s

coo•

<2 b > de modo que

se obtiene inmediatamente

•

(f u

<•

..

• - b(t,l • u

•

> + b <u

o.n

•

,u ) + (f ,u

orz..

• •• (ó)

• •• (7)

•

• •• (8)

que en elasti~id<1td , por eJemplo , se denomin• identidad

S Pot.ncl.al ,responde a la expresion

de

omioliana , y en ,

) ,

(d~

1

/dn

+

~

, . <d9/dn> +

f

f

p'

. . . (9)

~(&)

..

_a.o.n

que indica que •• POSible ew r

la suma de un potencial de c~p:sar el potencial en un punto co~o

potencial volu . . trico • simple • otro de capa doble y un

Si a

_...

IL

d..O..

'el e: u <a

...

ter1111no de _{<8> •e}

transforma _en

••• ( 10)

=~d;o~t:;nou:~r::!~!; ~~;~~ea ~aa

características geometricas

...

Con la eodificacion (10> ' la ecuacion <S>

coeo un proceso de d puede interpretarse

formula <S> COM9 tal pon eracion de tipo Galerkin ' aunque la genera evidentemente un metodo d- 1

Para crear un _•e t ₀ d _{o n~rfco con base} proceder a interpolar la solucion en ~todos proyecttvos ' es decir

a ·; J j

q •

d,

1 dn "' b

j _{J• 1 , 2 ,}

w co ocacion,

N _{••• ( 11>}

El

M.E.c.

tradicional utiliza para ~ y

y

localmente , lo que ₁ J J

POlinomios definidos

per• te dar significado _{fisico a a y b e} incorporar una fo~ _{1 1}

•IIIU ac on isepara~trica de contorno • Ast si por claridad

,

.

J

'f

•

N

j j

~~ l

• o 11

q

d;,

...

J

l;

~

21 l

• j

J J

representacion del

. . . <12)

·i

C(

NJ

+*

d}•J

N

Jr.

1

r

2

j J

•

i,J 1,2,3, •••• N

donde se ha hecho

rq ,

• 1 11

J ; d~ •••••• Jiq l

7

1 21

L •

J

. . • (13)

q • d~/dn ••• <14>

y N son las funciones de interpolacion tipicas de los elementos lineales parabolices etc.

Como puede observar•• , el siste111a anterior se reduce a

... (15>

Y. , tras la imposicion de las condiciones de contorno a

KX •F . . . (1ó)

que permite obtener las incognitas X ,

Es inm&diato observar que debido a la diferencia entre funciones de interpolacion y funciones de ponderacion , las matrices resultantes son asimetricas , lo que ewige eL calculo de todas y cada una de las integrales que forman sus elementos , Tambien , aunque las funciones de interpolacion sean locales , las de ponderacion resultan al resolver el problema <2 bl y , por lo tanto , estan definidas globalmente • Ademas de asimetricas las matrices son , pues , llenas

La propiedad mas atractiva del metodo , es la r-educcion en dimensiones geometricas , pero el calculo de las integrales exige un tiempo que a veces desequilibra la ventaja anterior •

No es pues extraño que tras los confianza en los resultados del encontrar soluciones que permitan citado ,

prime~os años de adquirir •etodo se pretenda ahora reducir el esfuerzo de calculo

En este sentido , la idea de funciones jerarquizadas se presenta como una ewcitante posibilidad En efecto , la filosofia

isoparametrica expuesta anteriqrmente ha servido para automatizar

Para fiJar ideas piensese en los e ases • po encial bidimensional d t q~e se croquizan en la fio~ra 1 •

Si •• prescinde de COMO cons-ouir un •odelo gea.etrico del cantor

e

q,.r

_{-+ -}

.

t

_....

FIGURA 1

no , lo que no es mas ~ ~·e un p•oble-a ' ., de i n erpolacion t , se

observa la e>cistencia de elementos • naturales • definidos bien por la e><istencia de esquinas , bien por singularidad•• o cambio en las condiciones de borde •

Es evidente que en el caso 1 a. tanto el fluJo como el potencial

evolu7ion~n regularmente dentro de cada uno de los trozos AB,BC, CA !f1gura 2 > que son , por tanto , los elementos logicos en lo•

fLlJJ'O

1-FIGUR~ 2

que debe intentarse la interpol;acion de las variables o y q •

Por su parte , en flujos discontinuos contorno en esos condiciones en B

el ejemplo 1 b. las esquinas que provocan la conv•ni~nci;a trozos , pero , adem;as

sugiere inmediatamente la

ACDE introducen de subdividir el , el ·cambio de eleccion de los

elementos naturales AS , BC , CD , DE ,EA •

Un ejemplo de como se estudia la convergencia mediante un metodo

h en este caso puede verse en Alarcon et al. 11979> • La sencillez de la geometria indica clara~ente lo absurdo que. resulta un tratamiento local en este caso cuando unas pocas funciones globales y jerarquizadas sobre cada el~ento < mas la posible adicion de alguna que represente la singularidad de q ) permitirían obtener resultados aceptables con un esfuerzo incomparablemente menor 1 en efecto , hay d~inios f1jo5 de

integracion y el· numero de funciones esta provocado por 1•

complejidad del potencial y no por la geo•etrta •

2.JERARQUIA DE FUNCIONES DE INTERPOLACION

En los casos planos , las funciones que se precisan monodimensionales • Si se sigue con la idea de un desarrollo en

~\

~1

_..

•

_·-

• l • • •

. . .

1 -1

~

-1~

.

...

.

-1 - 1

FIGURA ::S

~~

..

t

~~

~.~

..

~~'

~ t:J

~

_,

~;;a~~

~

-

e:;>

son

de Fourier , la jerarquía seria la indicada en la fioura ::Sa donde

Una serie popular, es la propuesta por Peano et a1.<1979l figura

::S b. que esta compuesta por las dos funciones lineales mas

p

N _{( ' - b )}

p p! ••• ( 17)

con

b • si p es par

En estas funciones , el sinnificado ~e las

• "' coeficientes a y b

de la ecuacion 11 pasaria a ser el de derivadas

funcion en el centro del intervalo

•

•

p+1

b • p+l

p ,.,

d ;

p ,.,

d q

d

~p

J J

suc:esivas de la

• • • ( 18)

como puede comprobarse in~edtatamente •

En problemas 3 D se necesitan funciones _{bidimensionales que se}

FIGURA 4

obtinen simplemente CORO productos de las anteriores !Figura 4).

3.JERARQUIZACION DE LAS MATRICES DE INFLUENCIA

!~tus~

de las funciones de interpolacion indicadas en el apartado

infelrlor. proovoca la deseada Jerarqul%acíon de las Matrices de

uenc1a • bservemos un elemento •

Si el desarrollo

+ ••••••• +

provoca la Matriz

r

~<

J

1

1

fq:J

~

2

: rq:J

+~

rq:J

12

1

1

¡

Jq:

J

~

1

fq:

J

+

2 .

L

•

A

_...

la adicion de _a

4

implica orlar A en la forma

n+l n+l

i

.

r~J

.

l

1

_,...

A J

o

1

N+ll

A

_,...

1-

-\---

1

: r •

. r .

1

1 q J

o

q J

o

1

L

"'n+1 "'J n+l n+11

1·

_{r -}

_-

_k

1 N

Observes• que , para que esto

eleccion de un nuevo punto

escritura de la nueva ecuacion •

f

1

r

sea posible

de colocacion ' se que

••• ( 19)

••• 120)

••• 121)

precisa permita

la la

Al respecto existen varias alternativas , como es la eleccion de puntos de integracion utilizados en las cuadraturas de Gauss

previas o la utiliz~cion de loa puntos correspondientes a los

maximos de las funciones de interpolacion •

Asi las funciones lineales se corresponderian con los extremos de

los elementos y , si se utiliza la familia de senos se puede

disponer de los puntos ~ • 1/2j donde j • 1, 2,3 , •••• etc.

Aunque es evidente conviene observar tambien que los

refinamientos sucesivos se refieren exclusivamente a la variable

incognita dentro de cada elemento , siendo el dato interpolado

desde el principio segun las indicaciones del usuario , tal cOMO

La jerarqui~acion inducida en las eatrices A y 8

inteqra-.nte al sist . . a final 1161 , consigui~ose

riQide~ anidadas

se trans•ite

- t r i c e s de

il<

1 11 1

1

1

1<

l. ...

'K

-¡

131 1 1N 1

K

l. ...

!K

:

23• 1 2N

', 1

K K K ~····~K

o ::S 1 _

_:2___

:s.:_!

:

:SN

1 • • • 1 •

o 1

·-·--··-

l K

..1.----.

L N1

K

N2

K K 1

Nl NN _1

r

x ,

1 1 1 1 1 1 X 1

1

,--

2 1

~:

1 X • 1 3 1

1-•• "1

1 1

X 1

L N

J

r

F 1

1 1

1

F 1

2 1

1 - - - 1 1

F 1

3 1

1

1 1 • 1

1 F

L

N

l

••• <221 Por si fuera poco , cada nuevo termino K va disminuyendo en

N+1

importancia respecto al ant~ior , lo que ~ace que se debiliten

los acoplamientos y se obtenqa una matriz meJor cond,cionada •

Observase tamb1en que el anidado y sucesiva evanesc,ncia de las

contribuciones suQiere la utilizacion de metodo• iterativos tras

la primera resolucton del problema , manteniendo coao tanteo inicial la solucion anterior a cada paso •

4.CRITERIO OE PARADA

SeQun se dijo mas arriba , para que un sistema pueda ser llamado

adaptable se precisa un indicador de la importancia de los terminas a •~adir ast como un estimador del error implícito en la

solucion •

La labor desarrollada por S~buska y otros ewiste todavia en el

H.E.C.

y por ello procedido a utili~ar el criterio de Peana

continuac:ion •

se produce un residuo

A u - f • r

debido .al error

para vl

H.E.F.

hasta .ahora •• que se describe

no

ha a

••• <231

••• <241

••• ( 2:5)

• - u - u

Ae • Au - Au • - f - r + f • -r ••• (26)

Se define el error •enerQetico' como

••• (27) : : • 1 1

2

• fe Ae

I

e ,.

que , con funciones jerarqui~adas , se aprol<ima tasi

u - u u u • a N

1.+1 i+1 por lo que

2

t 1•11 • -

,.

O e las nuevas ecuac¡iones de equilibrio

K a + K a • f

"'l+l,J "'j "'i+l,i+1 "'1+1 "'1+1 es decir

-1

a • K (f -K a

"'1+1 "'1+1,i+1 "'i+1 ""i + 1' J "'J Pero

-

(N

,

r

l

i +1

• [N

l

i +1

A<u- : , "'

a

IN

AN

i+1 i+l 1+1

••• (29'

, , , C:SOJ

a K

i+1"" i+1,i+1

. . . <31>

sivmpre que N N

i j

sean ortoQon.ales en la norma enerqetica para

Utili~anda <:SO> y <31> en <29> ·~obtiene

2 -1

::e~:

•

K

"'i+1,i+1

2

f - K a l

"'i+1 "'i+1,J ""J

aquellos grados de ¡¡·b t

•• p _ _. er ad

roe.,.. a una resolucion

Por •1 momento no •• dispone

P~mita asegurar la prectsicn de ntnoun estimador _{obtenida •} a _POs t _{ert~ri que}

:S.EJEI'1PLO

En la _{fioura aioutente se recoge}

•1 problema del cuarto de elipse

f!,

. :=-.._

.f/---

~

/;

·

"

~

t

c.

J ',

n·r!

\

1 _\

q, '

/

"' ...

1

O.l¡ :0 /

1

!

1

\

!o

3

1

í.

\

\\

A

~:o

~

¡/.

1

;

¡

f

-Tfo~IC-4,

r

1

1

:..--~~o

.

5'~3 ~

1(

~

\\

1

¡

o

.

sqz

s

<~e..c 11S _

\\

L..

... o

.

<

-o

.

lo"!<; v.. .. ~

L

1

1

lr¡

,,

_\

_\

_l 1

/

A

_B

_-

_---

_-

_-

_-

_-

_-

_-

_J-

_-

_-·

--FIGURA :S

e

croquizado en 1 a,

La Prim~a pasada corresponde

a incognitas con funciones N Y N

•n los lados AB y Ae y en una ~ 1 2

;

N

para

r

en

Be

puesto que el valor

• O en 8 y

e

proscribe el

u~

de las N lineales • Observese que las variables son :S

post~ior a O ' el flujo en 8 en •1 ' los dos fluJos anterior Y

lado AB • el fluJo en

e

en

14

'

-_.... ~

e

A

B

FIGURA b

el lado AC , mas el valor del potencial en el centro O de 9C •

La curva llena es la solucion teorica de este problema , mientras

que la de guiones da la solucion de este primer paso

La siguiente aproximacion consiste en la suma de un sen

2n

~

en la zona

BC

y la colocacion en el punto E (ftg. 6) •

7

La linea de punto y raya indica la nueva solucion , que , como

puede apreciarse , es excelente •

El problema •• ha resuelto aai con solo ó incognitas , mientras

que una aproxi.-c:ion comparable exige 12 elementos lineales •

b. CONCLUSIONES

La idea de jerarquias de funciones de interpolacion permite

discretizar el contorno en elementos naturales de acuerdo con las

discontinuidades previsibles en las variables del problema •

Se puede mejorar de una forma independiente y automatica la

aproximac:ion tanto en diferentes elementos como en las variables esenciales y naturales del problema •

Se puede reducir el calculo de inteorales ( la parte mas costosa del

H.E.e.>

al minimo imprescindible •

Se produce un mejor condicionamiento de la matrit y se debilitan los acoplamientos sucesivos •

Toda la informacion precisa es aprovechada al maKimo una aproximac:ion a la siouiente , lo que facilita soluciones iterativas •

al pasar' de

7.REFE~ENCIAS.

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