Límite de una sucesión numérica.
Como una breve introducción presentamos un pequeño problema de células ideales, resuelto afortunadamente. El cual dice lo siguiente:
Demostrar que al año habrá (12)2 células, sabiendo que estas se reproducen a partir de una y tienen de una en una, gestan durante un mes y maduran para tener otra en otro mes.
Utilizaremos la siguiente simbología:
Célula recién nacida. Célula madura.
Mes Gráfica de la reproducción Conteo
de células
1° 1
2° 1
3° 2
4° 3
5° 5
6° 8
7° 13
8° 21
9° 34 10° 55
Le invitamos a que en base a su observación coloque en las filas 11º y 12º las células y el número de ellas.
11º 12º
La cual está formada por los siguientes números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ... , etc.
Sí esta serie de números te quedó clara, escribe los cinco números consecutivos de la serie anotada en el párrafo anterior, en esta línea:_____________________________________________________________ __________________________________________________________________
¿Cuál será el último número?, comenta en tu equipo, a tu profesor o profesora cual es este y anótalo en este espacio: __________________________
Lo anterior quiere decir que haz definido el límite de la serie de Fibonacci.
esta serie de números guarda otro límite, el cual lo vamos a descubrir mediante el llenado de la siguiente tabla, este límite lo ocupan mucho los profesionales del arte y construcción, la prueba está que la proporción la encontramos hasta en la naturaleza.
División del
último al
anterior
número
último Resultado del cociente
1
1
11
2
22
3
1.53
5
1
.
6
5
8
1.68
13
1.62513
21
1
.
615384
21
34
55
1
.
6
1764705882
352941
55
89
1
.
6
18
89
144
1.6179775280898876404494382022472144
233
1.61805
233
377
1.6180257510729613733905579399142377
610
1.6180371352785145888594164456233610
987
1.6180327868852459016393442622951987
1597
1.61803444782168186423505572441741597
2584
1.6180338134001252348152786474642584
4181
1.61803405572755417956656346749234181
6765
1.6180339631667065295383879454676Tal parece que si seguimos construyendo esta tabla jamás tendremos definido el límite de esta sucesión, porque aparecen números cada vez más raros, sin embargo vamos a obtener dicho límite por proporciones a continuación:
Sea el segmento de recta que a continuación se muestra, la parte más gruesa “x” y la más delgada “1” y el total del largo del segmento es “X + 1”, nos queda:
Sí las partes son proporcionales la razón quedará:
X 1
: X:: X:1escrito de otra forma queda:
1
1 X
X X
haciendo los productos cruzados es:
1 X1
X X2
1 X
X
pasamos los término del primer miembro al segundo miembro y quedando igualada dicha expresión de la siguiente forma:
0 1 2 X X
resolviendo esta expresión por la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, siendo a = 1; b = - 1; c = - 1 y la fórmula general es:
a
ac b
b X
2 4 2
sustituyendo dichos valores queda la expresión:
12
1 1 4 1
1 2
X
2 5 1
X las soluciones son
2 5 2 1 1
X y
2 5 2 1 2
Aproximadamente X1 = 1.61803398874989484820458683436564
X2 = - 0.61803398874989484820458683436564
Por lo cual el límite de los cocientes de los números de Fibonacci es aproximadamente: 1.61803398874989484820458683436564 debido a que las razones con las que se cálculo el valor de X son:
1 1 X X
X
sustituyendo el valor de “X” queda:
1
6564 2045868343 8749894848
1.61803398 6564
2045868343 8749894848
1.61803398
1 6564 2045868343 8749894848
1.61803398
haciendo dichas operaciones nos resulta:
Sí graficamos los cambios de los cocientes que están anotados en la tabla anterior, veremos una gráfica como la que se muestra a continuación:
Si observa solo pudimos graficar hasta 13/8, si puede grafique hasta la última fracción de la tabla, pero como sabemos que ni el lápiz con la punta más aguzada logrará graficar todos los cocientes de los números de Fibonacci pues le invitamos a que lo intente.
Sugerimos para visualizar mejor este ejemplo: que vean la película de Donald en el país de las matemagicas de Walt
Disney.
En esta película se observa como los profesionales del arte, arquitectos, dentistas, musicos, etc., y en la naturaleza como presenta la sección aurea o dorada. Sin embargo en esto último vemos que se puede visualizar también el concepto del límite.
2 1.9
1.8 1.7
1.6 1.5
Como actividad de estudio es conveniente que sepas cual es la bacteria que nos produce la enfermedad comúnmente llamada FARINGITIS, esta es el Staphylococus aureus, esta bacteria se duplica cada 3 horas, siguiendo la misma pauta del desarrollo de los números de Fibonacci, haz un diagrama de árbol, determina la sucesión de números, determina la ley matemática con la cual se reproducen y determina el límite de la sucesión.
Como observó, para llegar a este concepto debemos situarlo sobre una escala numérica los puntos correspondientes a los términos de la sucesión, te invitamos a que hagas la gráfica de la siguiente serie de números y determines lo que se te pide.
.
..
,
n
1
-2
...,
,
5
9
,
4
7
,
3
5
,
2
3
1,
Si hacemos una tabulación dándole valores a n podremos ver con mayor facilidad la aproximación al límite de esta sucesión.
N
n 1 2
1 1
2
2 3
3
3 5
El cálculo para n = 1 queda:
1 1 1 2
para n = 2 queda:
2 3 2 1 2 4 2 1
2
para n = 3 queda:
3 5 3 1 3 6 3 1
2
Calcule el límite de las sucesiones siguientes, utilizando la metodología antes usada:
a) 1, ,
5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1
b) ,
25 1 , 16
1 , 9 1 , 4 1 , 1
c) ,
5 14 , 4 11 , 3 8 , 2 5 , 2
d) ,
5 17 , 2 7 , 3 11 , 4 , 5
e) ,
32 1 , 16
1 , 8 1 , 4 1 , 2 1
f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...
Determina los valores que se indican en la tabla desde n = 4 hasta n = 20 en el siguiente espacio:
Si anotas sus equivalencias en decimales ocupando una calculadora, ¿Cuál es el límite de esta sucesión? __________________________
__________________________________________________________________ __________________________________________________________________
Sin tener que hacer todo esto que hemos hecho, ¿podrás indicar los límites de las siguientes sucesiones de números indicadas en la tabla?:
n
n 1 2
1 1
2
5 . 1 2 3
3
6 . 1 3 5
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Sucesión Límite
n 1 3
n 1 5
n 1 6
De la tabla indicada con números nos da por límite “2”, Si “X” es una variable cuyo campo de variación es la sucesión
n 1
2 se dice que “X” se aproxima al límite 2, o bien que “X” tiende a 2, y se representa x2.
La sucesión n 1
2 no contiene a su límite 2, sin embargo, la sucesión
, , 1 , 6 5 , 1 , 2 1 ,
1 en la que todos los términos impares son iguales a 1. por tanto, una sucesión puede o no contener a su propio límite. Sin embargo, como veremos más adelante, decir que x a implica x a, esto es, se sobrentenderá que cualquier sucesión dada no contiene a su límite como término.
Quizá todo esto que hemos estudiado no despierte mucho la ansiedad matemática que tienes, para esto veremos los siguientes temas que los matemáticos le llaman “Matemática formal”, sin embargo, esto no quiere decir que lo que hemos visto hasta ahora no te permita formalizar las matemáticas que ambicionas.
Límite de una función.
Si x2 según la sucesión n 1
2 , f
x x2 4 según la sucesión 2n 1 2 , , 16 49 , 9 25 , 4 9
1,
Ahora bien, si x2según la sucesión n n
1 2 , , 2.001 , 01 2.
2.1 ;x2 4
según la sucesión 4.41; 4.0401; 4.004001; ...,
2
10 1
2
n ; ... Parece razonable n
1 4
esperar que x2 tiende a 4 siempre que tienda a 2. en estas condiciones se establece que “el límite de x2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”, y se representa por el simbolismo 2 4
2 x lím
x .
Determine el límite de y X2, siendo “X” los términos de cada una de las sucesiones:
a) ,,1,
5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 , 1
n
b) ,, 1 ,
25 1 , 16
1 , 9 1 , 4 1 ,
1 2
n
c) ,,5 1,
5 14 , 4 11 , 3 8 , 2 5 , 2
n
d) , ,
5 17 , 2 7 , 3 11 , 4 ,
5 5 2,
n
e) , ,
32 1 , 16
1 , 4 1 , 2 1
,
2 1 2
n
f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ..., ,
10 1 3 n Límites por la derecha y por la izquierda.
Cuando
x
2
según la sucesión ,n 1 -2 , , 5 9 , 4 7 , 3 5 , 2 3 ,
1 , cada término es
siempre menor que 2. Se expresa diciendo que x tiende a 2 por la izquierda, y se representa por
x
2
. Análogamente, cuandox
2
según la sucesión 2.1; 2.01; 2.001; ...; , ,10 1
2
n
cada término es siempre mayor que 2. Se expresa
diciendo que x tiende a 2 por la derecha y se representa por
x
2
. Es evidente que la existencia dellím
f
x
a
x implica la del límite por la izquierda
x
f
lím
a
del límite por la derecha
lím
f
x
a
x , y que por ambos son iguales. Sin embargo, la
existencia del límite por la izquierda (derecha).
Ejemplo: Sea la función f
x 9x2 . El dominio de definición es el intervalo – 3 x 3. Si a es un número cualquiera del intervalo abierto – 3 x 3, 29 x lím
a
x existe y es igual a
2
9a . Considérese ahora que
3
a
. Si x tiende a 3 por la izquierda, 9 2 0 3
x
lím
x
, y si “x” tiende a 3 por la
derecha, 2
3
9 x
lím
x
no existe, puesto que para x 3,
2
9x es un número
imaginario. Por tanto, no existe 2
3 9 x
lím
x .
Análogamente, 2
3
9
x
lím
x
existe y es igual a 0; sin embargo, no existen
0
9 2
3
x lím
x
y ni 2
3
9 x lím
x
.
Ejemplo 1) Hagamos el análisis del siguiente límite
2 6
2
2
x
x x lím
x con
precisión de una milésima.
Solución: Sí hacemos la sustitución directa del límite nos quedará:
ado indetermin
0 0 0
4 4 2
2 6 2 2 2
6 2
2
2
x
x x lím
x
Ahora hagámoslo con lo que nos mencionan en el párrafo anterior:
que hacemos una diferencia de dos con una milésima para ver a que valor tenderá el límite, siendo este de la siguiente forma:
2 – 0.001 = 1.999 el límite queda:
999 . 4 001 . 0 0004999 . 2 999 . 1 6 999 . 1 996001 . 3 2 999 . 1 6 999 . 1 999 . 1 2 6 26 2 2
999 . 1 2 2 x x x lím x x x lím x x
Analizando por la derecha el límite con precisión de una milésima, es decir, nos aproximamos a una milésima por la derecha del 2, lo cual quiere decir que hacemos una suma de dos con una milésima para ver a que valor tenderá el límite, siendo este de la siguiente forma:
2 + 0.001 = 2.001 el límite queda:
001 . 5 001 . 0 005001 . 2 001 . 2 6 001 . 2 004001 . 4 2 001 . 2 6 001 . 2 001 . 2 2 6 26 2 2
001 . 2 2 2 x x x lím x x x lím x x
Ejemplo 2) Analicemos el límite de
3 25 4 2 x x xf cuando x3.
Hagámoslo sustituyendo directamente la tendencia y veamos que pasa:
ado indetermin o indefinido 0 0 0 4 4 0 16 4 3 3 9 25 4 3 3 3 25 4 3 254 2 2
3 x x lím x
Nuevamente hagámoslo con lo que hemos aprendido en el párrafo anterior:
Analizando por la izquierda el límite con precisión de una milésima, es decir, nos aproximamos a una milésima por la izquierda del 3, lo cual quiere decir que haremos una diferencia de 3 con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite, siendo este de la siguiente forma:
3 – 0.001 = 2.999 el límite queda:
001 . 0 994001 . 8 25 4 3 999 . 2 999 . 2 25 4 3 25 4 lim 3 25 4 lim 2 2 999 . 2 2 3 x x x x x x 7498 . 0 001 . 0 007498 . 0 001 . 0 0007498 . 4 4 001 . 0 00599 . 16 4 Analizando por la derecha el límite con precisión de una milésima, es decir, nos aproximamos a una milésima por la derecha del 3, lo cual quiere decir que hacemos una suma de 3 con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite, siendo este de la siguiente forma:
0.75 es centésimas a o Redondeand 0.7501954 001 . 0 0007501954 . 0 001 . 0 9992498 . 3 4 001 . 0 993999 . 15 4 001 . 0 006001 . 9 25 4 3 001 . 3 001 . 3 25 4 3 25 4 3 254 2 2
001 . 3 2 3 x x lím x x lím x x
Como podemos ver los dos límites se aproximan a 0.75 si redondeamos los dos resultados, esto lo comprobarás con los métodos que se utilizan para limites indeterminado que veremos más adelante, mientras eso sucede hagamos otro ejercicio un poco más difícil pero con este método que estamos viendo todo se hace fácil.
Ejemplo 3) Analicemos el siguiente límite
64 2 3 8 x x lím x
Hagámoslo sustituyendo directamente la tendencia y veamos que pasa:
definida no división 0 0 8 8 2 2 8 8 2 8 8 2 3 3
8
x x lím x
Nuevamente hagámoslo con lo que hemos aprendido en los párrafos anteriores:
Analizando por la izquierda el límite con precisión de una milésima, es decir, nos aproximamos a una milésima por la izquierda del 8, lo cual quiere decir que haremos una diferencia de 8 con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite, siendo este de la siguiente forma:
8 – 0.001 = 7.999 el límite queda:
08336 . 0 001 . 0 00008333 . 0 001 . 0 2 9999167 . 1 8 999 . 7 2 999 . 7 8 2 8
2 3 3
999 . 7 3 8 x x lím x x lím x x
El límite por la izquierda es aproximadamente 0.08336 que es casi
Analizando por la derecha el límite con precisión de una milésima, es decir, nos aproximamos a una milésima por la derecha del 8 lo cual quiere decir que hacemos una suma de 8con 0.001 para ver a que valor tenderá el límite, siendo este de la siguiente forma:
8+ 0.001 = 8.001 el límite queda:
0833 . 0 001
. 0
00008332 .
0 001
. 0
2 00008333 .
2 8 999 . 7
2 001 . 8 8
2 8
2 3 3
001 . 8 3
8
x
x lím x
x lím
x x
El límite por la derecha aproximadamente 0.0833 que es casi
12 1
Como podemos ver los dos límites se aproximan a 0.0833 si redondeamos los dos resultados, esto lo comprobarás con los métodos que se utilizan para limites indeterminado que veremos más adelante, mientras eso sucede hagamos otro ejercicio un poco más difícil pero con este método que estamos viendo todo se hace fácil.
Utilizando el método de aproximación que se aprendieron en esta sección realiza los siguientes ejercicios:
a)
5 6
4
2 2
2x x
x lím
x
b)
4 3
2 3
2 2 1x x
x x lím
c)
4
2
2 2x
x lím
x
d)
4
2
2 2 x
x lím
x
e)
4
2
2 2 x
x lím
x
f)
3 2
1
2 1 x
x lím
x
Sin embargo esto aun no lo es todo, habrá que aprender a utilizar las herramientas que nos han proporcionado en los cursos anteriores de matemáticas, para esto tenemos que aprender el siguiente tema que calmará aun más tu ansiedad matemática.
Teoremas sobre límites.
I. Si f
x c, constante, tendremos límf
x c ax .
Si límf
x Aa
x y límxag
x B, resulta:II. lím k f
x kA ax , siendo k una constante.
III. lím
f
x g x
límf
x límg
x A B ax a
x a
IV. lím
f
x g x
límf
x límg
x A B ax a
x a
x
V.
,siemprequeBB A x g lím
x f lím
x g
x f lím
a x
a x a
x
0.
VI.
n
n na x n
a
x f x límf x A A
lím ,siempreque
sea un número real.
Estos teoremas de límites se ven un poco áridos, sin embargo son herramientas que debemos aprender para poder abordar la fórmula general de la derivada o derivada por definición o derivada por los cuatro pasos, que también es otra herramienta fuerte para resolver problemas sin tener que hacer algunas veces el uso de gráficos, tablas y algunos otros recursos.
Límite de una función.
En la función definida por: f(x) = x2. Donde el dominio de la función (valores de X), contenga todos los números reales. El límite de f(x) cuando “x “se aproxima por ejemplo al valor de 10, será 100. Lo cuál se presenta:
10 2 10010 2
10
10
x x
xlímf x límx lím
Y se lee “el límite de la función f(x) es 100 cuándo el valor de la variable x tiende al valor de 10”.
CASO I: Si la función dada está simplificada, basta sustituir directamente el valor a que tiende la variable independiente y realizar las operaciones indicadas, el resultado será el valor del límite buscado.
EJEMPLO 1: Calcula el límite de la función: y = 2x + 6 cuando x 3. Sustituimos el valor de “x” por 3 y realizamos las operaciones indicadas utilizando los teoremas sobre el límite, y tenemos:
2 6
2 6 2
3 6 6 6 123 3
3
3
x x x
x f x lím x lím x lím
lím
“El límite de función y = 2x + 6 es igual a 12 cuando “x” tiende a 3”.
Anota en tu cuaderno la función siguiente y obtén el LÍMITE sabiendo que:
2 12 6
2
x x x
y cuando
x
2
.¿Qué resultado obtuviste?, coméntalo con tus compañeros y maestro.
Resuelve los siguientes límites que son demasiado fáciles:
a)
0 x 1
lím
x
b)
x
x lím
x
2
2
c)
0 2x 4
lím
x
d)
x
x lím
x
1 4 2
e)
x
x lím
x
1
1
f)
1
2
1 x
x lím
x
g)
x x lím
x 4
h)
3 8
x x lím
x
i)
2 1
2 1 h h
lím
h
j)
4
3 0 h
lím
h
k)
32
h
lím
l)
0 5
hlím
m)
1
2
1 x
x lím
x
n)
2
1
2 2 x
x lím
x
ñ)
2
18 2
2
0 x
x x lím
o)
2 7
16 2
2 3
3 x
x x lím
x
p)
4
20 4
2
0 x
x x lím
x
q)
2 1
2 5 2 4 3
2
2 3
2 3 4
2
1 x x x
x x
x x
lím
x
Cálculo de expresiones indeterminadas.
En ocasiones obtenemos expresiones indeterminadas cuando no se conoce su valor, por ejemplo: Cuando se presenta el cociente
0 0
. Veamos unos resultados referente a esto:
?
0
0
1
2.7
2.7
1
3
3
?
0
0
0
4.35
-0
0
2.7
0
0
3
0
Según la primera lista el resultado da uno, ya que el numerador y el denominador son iguales.
Según la segunda lista el resultado es cero, ya que el numerador es cero.
Para calcular LÍMITES indeterminados con ayuda de la derivada, derivamos el numerador y denominador donde se sustituye en esta nueva fracción el LÍMITE a este procedimiento recibe el nombre de teorema de L´Hospital, (este método lo veremos más adelante cuando cubramos el tema de derivadas de funciones algebraicas y trigonométricas si es posible debido al tiempo que se dispone).
CASO II: Se da cuando es necesario, primero simplificar la función dada, antes de sustituir directamente el valor de la variable independiente,
por que, de lo contrario puede dar lugar a la forma indeterminada
0 0
. La
simplificación generalmente se obtiene factorizando las partes o expresiones que sean posibles de la función dada.
EJEMPLO 2: Calcula el límite de la función
3 9 2
X X
y cuando
x
3
.Si sustituimos directamente el valor al que tiende la variable independiente, tenemos:
0 0 3 3
9 9 3 3
9 3 3
9 2
2
3
3
x
x lím x
f lím
x
x quedando esto indefinido
Por lo tanto, será necesario primero factorizar la expresión; en éste caso el numerador y posteriormente habrá que reducir la expresión, luego sustituir el valor de la variable independiente:
3
3 3 63 3 3 3
9
3 3
2
3
3
x lím x
x x lím x
x lím x
f lím
x x
Anota en tu cuaderno la función:
64
40
3
2 2
x
x
x
y
y calcula su límite cuando “x” tiende a 8. Al terminar de hacer este problema en equipo comenta con el resto del grupo como le hicieron para llegar a tal resultado, si los resultados son distintos y tus compañeros no te convencen del procedimiento que siguieron consulten a su facilitador.Para esto tendrás que factorizar tanto el denominador como el
numerador.
Para tengas el gusto de practicar lo aprendido en este apartado te facilitamos los siguientes ejercicios que sabemos que los harás con gusto en casa, si con esto se te presentan algunos problemas para tener dominio de este tema no dudes en consultar a tus compañeros de equipo, al resto del grupo y a tu facilitador clave del conocimiento:
a)
x x
x lím
x 2
2
0
b)
x x
x x lím
x 2 2
2
0
c)
x x
x x lím
x 2
2 1
1 2
d)
x x
x x lím
x 2
2
1
2 3
e)
2
8
3 2 x
x lím
f)
3 2
8
2 3
2 x x
x lím
x
g)
x x
x x lím
x 2
2 1
4 2
CASO III: Este caso se da cuándo en la función dada es necesario simplificar por medio de la racionalización de su numerador o denominador, antes de sustituir directamente el valor a que tiende la variable
independiente de la función, por que si no, da lugar a la indeterminación
0 0
.
Este caso se puede identificar fácilmente porque es la función irracional, debido a que aparece el signo radical
.EJEMPLO 3: Calcula el límite de función
x x x
f 11 cuando
x
0
.Sustituimos directamente el valor de la variable independiente por 0, y tenemos:
0 0 0
1 1 0
1 1 0
1 1 0 1 1 0
0
x
x lím x f lím
x x
Entonces será necesario primero racionalizar el numerador de la expresión, multiplicando dicha expresión por su conjugado, evita que aparezca el radical en el numerador de la siguiente forma:
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
1
0 0
0
x x
x lím x
x x
x lím x
x lím
x x
1 1 1 11 1
1 1 1
0 0
0
x x lím x
x lím
x x
x lím
x x
x
Después, sustituyendo “x” por 0 tenemos:
2 1 1 1
1 1 1
1 1 1 0
1
Escribe en tu cuaderno la función:
2 24
5 3
x x x
f
y determine su límite cuando x2.
Recuerda que tienes que racionalizar la expresión.
Nuevamente como los deportistas, hay que hacer mucha práctica para poder tener dominio de lo que se quiere lograr y para esto te presentamos los siguientes ejercicios:
a)
4
2
2 2 x
x lím
x
b)
4
2
2 2 x
x lím
x
c)
3 2
1
2 1 x
x lím
x
d)
3 2
1
2 1 x
x lím
x
e)
x x
x
25 5
lim
0
f)
2 4 lim
0
h
h
h
g)
x x
x
2 8 lim
3 0
i)
25 5 lim
2
5
x
x
x
j)
1 1
lim
0
x
x
x
Límite de funciones con tendencia a infinito.
Si el límite de una función es infinito cuando su valor aumenta o disminuye infinitamente cuando
x
c
. Es decir:
f x límc x
O si una función tiende hacia el límite “l” (uno), cuando la variable independiente “X” tiende al infinito, es decir:
1 f x lím
c x
Podemos deducir que existen ciertos límites que se presentan generalmente, cuando la variable independiente “X” tiene el valor de cero ó infinito:
c
x lím x
c lím a
x x 0; b)
)
Sí el máximo grado se presenta en el denominador el límite siempre será cero.
Sí el máximo grado se presenta en el denominador el límite
siempre será .
Sí tanto el denominador como en numerador tienen el mismo grado, se tendrá como respuesta los coeficientes de los términos mencionados.
Esto implica que este tipo de límites se pueden resolver por simple inspección visual, sin embargo, habrá que aprender el procedimiento riguroso de los matemáticos, que es lo que sigue y en esta situación se nos presenta:
CASO IV: Cuando en una función se obtiene la indeterminación
. Si
la variable independiente tiende al infinito y se requiere encontrar el límite de una función expresada como un cociente de polinomios, será necesario dividir primero, el numerador y el denominador por la variable con mayor exponente que exista en cual quiera de ambos, antes de sustituir en la expresión el valor a que tiende la variable independiente.
EJEMPLO 4: Obtén el límite de la función: 2 4
3 4
6 3
8
8 3
5
x x
x x
y
cuando x tiende a
infinito ().
Si sustituimos directamente, tenemos:
2 4
3 4 4
2 3 4
6 3 8
8 3 5 6
3 8
8 3 5
x x
x x lím
x
1 6 3 8 8 3 1 5 6 3 8 8 3 5 6 3 8 8 3 5 6 3 8 8 3 5 2 4 4 4 4 4 2 4 4 4 3 4 4 4 4 2 4 3 4 4 2 3 4 x x x x lím x x x x x x x x x x lím x x x x x x lím x x x x lím x x x x 6 5 6 0 0 0 0 5 6 3 8 8 3 5 2 4 4
EJEMPLO 5: En este ejemplo el término de mayor grado se presenta en el numerador y ocupando el método estricto de los matemáticos se hace de la siguiente forma:
0 0
0 0 3 1 6 2 4 3 1 6 2 4 3 lim 1 6 2 4 3 lim 1 6 2 4 3 lim 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x
EJEMPLO 6: En este ejemplo el término de mayor grado se presenta en el denominador y ocupando el método estricto de los matemáticos se hace de la siguiente forma:
Sí observaste esto no requiere de tanto procedimiento matemático, aplicando las reglas que se presentan con viñetas antes de esto solo se tiene que hacer lo siguiente:
Repitiendo el ejemplo 4 se puede hacer de la siguiente forma: Obtén el límite de la función: 2 4
3 4 6 3 8 8 3 5 x x x x y
cuando x tiende a infinito ().
Como la función presenta el término de mayor grado de orden “4”,
entonces podemos poner lo siguiente:
6 5 6 3 8 8 3 5 : quedando de es coeficient los sólo anotamos 6 3 8 8 3 5 4 2 3 4 4 4 2 3 4 x x x x lím x x x x x lím x x
observa si coincide con la respuesta del procedimiento largo y haz tus comentarios con tus compañeros y el facilitador.
Repitiendo el ejemplo 5 se puede hacer de la siguiente forma:
1 6 2 4 3 lim 2 x x x x
Como la función presenta el término de mayor grado de orden “2” y está en
el numerador, entonces podemos poner lo siguiente:
observa si coincide con la respuesta del procedimiento largo y haz tus comentarios con tus compañeros y el facilitador.
Repitiendo el ejemplo 6 se puede hacer de la siguiente forma:
En este ejemplo el término de mayor grado se presenta en el denominador:
0 7 0 0 0 7 0 0 0 0 2 7 2 5 lim : inspección simple por queda expresión la 2 7 2 5 lim 3 4 2 3 3 4 2 3 x x x x x x x x x x x x x x
Sabemos que ya tienes ansiedad por practicar lo que acabas de aprender, para esto te ponemos los siguientes ejercicios, hazlos por los dos métodos con el tiempo que requieras en casa:
a)
5 3
1 4 lim 2 3 2 3 x x x x x x
b)
2 3
3 6 lim 2 2 x x x x x
c)
x
x
x 7 9
2 3 lim
d)
6 3
2 4 6 lim 2 4 2 3 x x x x x x
e)
f)
4 7
8 4 3 2 lim
2 3
2 3
x x
x x x
x
g)
2 7 7 1 5 4
8 3 4 5 3 3 2 lim
2 2 3
x x
x x x
x
Como un pequeño repaso de lo que haz aprendido resuelve lo siguiente con tus compañeros dentro de clase:
1.- Escribe en tu cuaderno la función
4 42 3
8 x x x x f
y encuentra el límite, cuando “x” tiende a infinito.
2.- Obtén el límite cundo X tiende a 6 de la función
36 6 2
x x x
f
3.- Encuentra el límite:
x x lím
x
1 2 1
1
4.- Encuentra el límite:
2 3 8 2 3
2 2 3
3
x
x x x lím
