FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
MAT II
En el mundo real hay fenómenos regidos por leyes determinadas. El resultado es previsible, salvo quizás por errores de medida; estos fenómenos se denominan fenómenos deterministas. Un ejemplo de ellos puede ser la caída de un objeto desde determinada altura.
Frente a estos fenómenos existen otros muchos que no siguen unas leyes determinadas. Un fenómeno o experimento se dice aleatorio si puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser posible decir con certeza los resultados del mismo.
1. EXPERIENCIAS ALEATORIAS. SUCESOS.
Dado un experimento aleatorio, el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados diferentes (que se desean considerar diferentes) del mismo, se conoce como espacio muestral asociado al experimento aleatorio, se denota por E .
En el lanzamiento de un dado se puede tomar como espacio muestral:
E
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
En el lanzamiento de una moneda se puede tomar como espacio muestral:
E
=
{
C ,
+
}
Se llama suceso a cualquier subconjunto de E .
En el lanzamiento de un dado, algunos sucesos son:
A=
ital
par
=
{
2,4,6
}
,
B= “múltiplo de 3”=
{
3,6
}
Los elementos de E se llaman sucesos elementales o casos.
En el lanzamiento de una moneda, los sucesos elementales son
{
C
}
,
{
X
}
Se llama
suceso imposible
(φ)
al que nunca ocurre.En el lanzamiento de un dado, “mayor de 6” es un suceso imposible.
Se llama suceso seguro al que siempre ocurre. Coincide con E. En el lanzamiento de un dado, “menor de 7” es un suceso seguro.
Si E tiene un número finito n de elementos, el número de sucesos de E es 2n . Por tanto, el conjunto S tiene 2n elementos.
Por ejemplo, al lanzar una moneda hay 22 = 4 sucesos. S=
{
φ ,{
C},{
+},{
C , +}}
1.1. OPERACIONES Y RELACIONES CON SUCESOS. Dados dos sucesos, A y B, se llama:
Unión de sucesos: A U B (se lee a unión B) es el suceso formado por todos los casos de A y de B. A U B se verifica cuando ocurra uno de los dos, A o B, o ambos.
Al lanzar un dado, si
A=
ital
par
=
{
2,4,6
}
,
B= “múltiplo de 3”=
{
3,6
}
,
el sucesoA
∪
B=
{
2,3,4,6
}
En el lanzamiento de un dado, si
A=
ital
par
=
{
2,4,6
}
,
B= “múltiplo de 3”=
{
3,6
}
,
el sucesoA
∩B
=
{
6
}
Sucesos contrarios. Se llama suceso contrario o complementario de A , y se escribe
A
c,
A ´ , o
A ,
al que ocurre cuando no ocurre A .Son sucesos contrarios “sacar par” y “sacar impar” al lanzar un dado.
Diferencia de sucesos: A-B (se lee A menos B) es el suceso formado por todos los casos de A que no son de B. A-B se verifica cuando lo hace A y no B.
Es equivalente a
A
−B
=
A∩B
cSucesos compatibles y sucesos incompatibles.
Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún caso en común, es decir,
no pueden ocurrir a la vez. Cumplen que
A
∩
B
=
φ
, es decir que su intersección es el sucesoimposible.
Si A =“sacar par” al tirar un dado y B = “obtener múltiplo de 5”, A y B son incompatibles.
Si A =”sacar par” al tirar un dado y B =”obtener múltiplo de 3”, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.
Suceso contenido en otro. A está contenido en B sí, siempre que ocurre A ocurre B. Se denota A⊂B .
Se observa que dado cualquier suceso A, siempre ocurre
φ
⊂
A
⊂
Ω
.Elemento neutro: dado cualquier suceso A, se cumple siempre que
{
A
=
A U φ
¿¿¿¿
¿
¿
1.2. ALGUNAS IMPORTANTES PROPIEDADES
Si
A⊂B , entonces
A
∪
B
=
B
yA
∩
B
=
A
Leyes de MORGAN:
(
A∪B)
´
=A
∩B´
El complementario de la unión es la intersección de loscomplementarios
(
A∩B)
´
=A
∪B´
El complementario de la intersección es la unión de loscomplementarios
2. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD
Se realiza N veces una experiencia aleatoria.
Se llama frecuencia relativa de S a la proporción de veces que ocurre S,
f
r(
S
) =
f
(
S
)
N
2.1. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS.
A medida que aumenta el número de veces que se realiza la experiencia, experiencia,la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número (que se llama probabilidad).
p
(
A
)=
lim
N→∞
f
r(
A
)
2.2.PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES
Se llama probabilidad a una función que asocia a cada suceso S del espacio muestral, un número real que llamamos probabilidad de S y que cumple los siguientes axiomas
p
(
E
)=
1
p
(
A
)≥
0
Si A y B son incompatibles,
A
∩
B
=
φ
, entoncesp
(
A
∪
B
)=
p
(
A
)+
p
(
B
)
Consecuencias:
p
(
A ´
)=
1
−
p
(
A
)
p
(
φ
)=
0
Si A⊂B ,
p
(
A
)≤
p
(
B
)
Si A⊂B entonces
p
(
B
)≤
p
(
A
)+
p
(
B
−
A
)
Si los sucesos A1, A2, …An, son incompatibles dos a dos, entonces
p
(
A
1∪
A
2∪...∪
A
n)=
p
(
A
1)+
p
(
A
2)+.. .+
p
(
A
n)
Si A y B son compatibles,
p
(
A
∪
B
)=
p
(
A
)+
p
(
B
)−
p
(
A
∩
B
)
Si el espacio muestral E es finito y un suceso S=
{
x1, x2,.. ., xn} , entoncesp
(
s
)=
p
(
x
1)+
p
(
x
2)+
.. .+
p
(
x
n)
2.2. LEY DE LAPLACE
Si los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de
casos favorables al suceso A y el número de casos posibles de la experiencia.
p
(
A
)=
nº casos favorables
nº casos posibles
Ej: Aplicando la ley de Laplace, la probabilidad de obtener una cualquiera de las caras de un dado es 1/6.
En el lanzamiento de una moneda, si A =” obtener cara”, p(A) = 1/ 2.
En la extracción de una carta de una baraja española, si A =” sacar rey”, p(A) = 4/10 = 1/ 4.
3. PROBABILIDAD CONDICIONADA.
p
(
A
/
C
) =
p
A
C
p
(
C
)
Ejemplo: Sean los sucesos A=” sacar rey”, B=” sacar oro”, C=”sacar figura” del experimento aleatorio
consistente en extraer una carta de una baraja. p(A)=1/10, p(B) = 1/ 4, p(C) = 12/40 =3/10
Directamente
p
(
A
/
C
)=
4
12
=
1
3
o bien,p
(
A
/
C
)=
p
(
A
∩
C
)
p
(
C
)
=
1/
10
3/
10
=
1
3
Ejemplo:Dada una caja en la que hay 3 bolas verdes con el 1, 2 y 3, 4 rojas con el 4, 5, 6 y 7 y 1 negra con el 8, respectivamente, calcular la probabilidad de sacar bola par condicionada a que la bola sea verde.
p
(
par
/
verde
) =
p
(
par y verde
)
p
(
verde
)
=
1/
8
3/
8
=
1
3
En el mismo ejemplo, observamos que la probabilidad de par condicionada a rojo es la misma que la
probabilidad de par sin condiciones:
p
(
par
/
rojo
) =
p
(
par
)
Dos sucesos A y C son independientes cuando la probabilidad de que suceda uno de ellos no se ve afectada
porque haya sucedido o no el otro. Es decir,
p
(
A
/
C
) =
p
(
A
)
lo que es equivalente a p
(
C
/
A
) =
p
(
C
)
En otro caso, se dicen dependientes.Consecuencias de la definición:
p
(
A
∩
B
)=
p
(
A
/
B
)
· p
(
B
)
si A y B son dependientesp
(
A
∩
B
)=
p
(
A
)
· p
(
B
)
si A y B son independientesNOTA:
p
(
A
)
· p
(
B
/
A
)=
p
(
B
)
· p
(
A
/
B
)
La definición de probabilidad de la intersección se puede extender a más sucesos, si todos son independientes dos a dos
p
(
A
1∩
A
2∩.. .∩
A
n)=
p
(
A
1)
· p
(
A
2/
A
1)
· p
(
A
3/
A
1∩
A
2)
·
...
· p
(
A
n/
A
1∩...∩
A
n−1)
3.1. PROBABILIDAD CONDICIONADA EN TABLAS DE CONTINGENCIA.
Veamos, a través de un ejemplo, en qué consisten las tablas de contingencia, cómo se interpretan y se calculan las probabilidades condicionadas.
Ejemplo: Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas.
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
p
(
hom
bre soltero
)=
20
120
=
1
6
HOMBRE
S
MUJERE
S
TOTA
L
CASADO
S
35
45
80
SOTERO
S
20
20
40
p
(
mujer
/
casado
)=
45
80
=
9
16
4. EXPERIENCIAS COMPUESTAS.
Se llama experiencia compuesta a la formada por varias experiencias simples. Por ej: lanzar una moneda y un dado, lanzar tres dados, ….
Ejemplo: Lanzamos una moneda y un dado. Es evidente que el resultado de una no influye en la otra. Son
independientes. En este caso el cálculo de probabilidades es especialmente sencillo si suponemos que la moneda y el dado son de Laplace.
1
2
3
4
5
6
C
C, 1
C,2
C,3
C,4
C,5
C,6
+
+,1
+,2
+,3
+,4
+,5
+,6
p
[
(C ,
3
)
]
=
p
(C
)(
.
p(
3
)
La probabilidad del suceso compuesto es igual al producto
de las probabilidades de los sucesos componentes
.
p
[
(C y par
)
]
=
p
(C
)
.
p(
par) =
1
2
.
1
2
=
1
4
Se dice que dos o más pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en las probabilidades de los distintos resultados de las otras.
Si n pruebas son independientes y los sucesos S1, S2, …, Sn corresponden, respectivamente, a cada una de ellas se cumple:
P(S1 en la 1ª. y S2 en la 2ª. y … y Sn en la n-ésima) = p(S1). p(S2). … . p(Sn)
Ejemplo: Extraemos dos cartas de una baraja. El resultado de la segunda sí depende de la primera (por ejemplo, si la primera es ”as”, es menos probable que la segunda lo sea). Son dependientes.
Dos experiencias son dependientes cuando el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda. Las probabilidades de sucesos compuestos se obtienen así:
P(S1 en la 1ª y S2 en la 2ª) = p(S1). p(S2/S1). Es decir:
P(S1 en la 1ª) . p( S2 en la 2ª, supuesto que ocurrió S1 en la 1ª)
Si se encadenan más de dos experiencias dependientes, las probabilidades de los sucesos compuestos se obtienen análogamente:
P(S1 en la 1ª y S2 en la 2ª y S3 en la 3ª) = p(S1). p(S2/S1). P(S3/S1 y S2)
Ejemplo: De una baraja española de 40 cartas, se extraen sucesivamente dos cartas sin devolverlas a la baraja. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean do oros?
Consideremos el suceso A =” sacar oros en la primera extracción” y el suceso B= “sacar oros en la segunda extracción”
Debemos calcular
p
(
A
∩
B
)=
p
(
A
)
· p
(
B
/
A
)=
10
40
·
9
39
=
1
130
(sin devolución)Si hubiésemos devuelto la primera carta a la baraja, los dos sucesos serían independientes y
p
(
A
∩
B
)=
p
(
A
)
· p
(
B
)=
4
40
·
4
40
=
1
100
(con devolución)acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial de constituye a su vez, un nudo del que parten nuevas ramas, según las
posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento.
Hay que tener en cuenta que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de ser 1.
Ej: Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres alumnos al azar, hallar la probabilidad
de
a) seleccionar tres niños
p
(
3
niños
)=
10
16
·
9
15
·
8
14
=0
´
214
b) seleccionar tres niñas
p
(
3
niñas
)=
6
16
·
5
15
·
4
14
=0
´
0357
c) seleccionar exactamente dos niños y una niña
p
(
2
niños y
1
niña
)=
10
16
·
9
15
·
6
14
+
10
16
·
6
15
·
9
14
+
6
16
·
10
15
·
9
14
=
0
´
482
c) seleccionar exactamente dos niñas y un niño
p
(
2
niñas y
1
niño
)=
10
16
·
6
15
·
5
14
+
6
16
·
10
15
·
5
14
+
6
16
·
5
15
·
10
14
=0
´
268
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que, al arrojar tres monedas al aire,
salgan tres caras
4.2. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL.
Si tenemos n sucesos A1, A2, …,An, incompatibles dos a dos y tales que
A
1∪
A
2∪
.. .
∪
A
n=
E
. Entonces,para cualquier suceso S se cumple
p
(
S
)=
p
(
A
1)
· p
(
S
/
A
1)+
p
(
A
2)
· p
(
S
/
A
2)+...
+
p
(
S
)
· p
(
S
/
A
n)
Ejemplo: Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay 4
fundidas; en la segunda hay 6 bombillas, una de ellas fundida, y la tercera caja tiene 3 bombillas fundidas de un
total de 8. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar
una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas,
esté fundida?
p
(
fundida
)=
p
(
fundida
/
caja
1
)
· p
(
caja
1
)+
p
(
fundida
/
caja
2)
· p
(
caja
2)+
p
(
fundida
/
caja
3
)
· p
(
caja
3)=
1
3
·
4
10
+
1
3
·
1
6
+
1
3
·
3
8
=
113
360
4.3. PROBABILIDADES “A POSTERIORI”. TEOREMA DE BAYES.
Si tenemos n sucesos A1, A2, …,An, incompatibles dos a dos y tales que
A
1∪
A
2∪
.. .
∪
A
n=
E
. Entonces,p
(
A
i/
S
)=
ip
(
S
)
=
i i
p
(
A
1)
· p
(
S
/
A
1)+
p
(
A
2)
· p
(
S
/
A
2)+
.. .
+
p
(
S
)
· p
(
S
/
A
n)
Ejemplo: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas, solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
p
(
I
/
D
)=
p
(
D
/
I
)
· p
(
I
)
p
(
D
/
I
)
· p
(
I
)+(
d
/
E
)
· p
(
E
)+
p
(
D
/
O
)
· p
(
O
)
==
0
´
2
·
0
´
75
0
´
2
·
0
´
75
+0
´
2
·
0
´
5+0
´
6
·
0
´
3
=0
´
405
Ejemplo: La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0´1. La
probabilidad de que suene la alarma si se ha producido algún un incidente es 0´97 y la probabilidad de que suene si no se ha producido ningún incidente es 0´02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los suceso A = ”Sonar la alarma”, I = ”Producirse un incidente”
p(
I
/
A
)=
p(
A
)· p
(
A/
I
)
p(
A
)· p
(
A
/
I
)+(
A
)· p(
A
/
I
)
==
0
´
9
·
0
´
02
0
´
9
·
0
´
02
+
0
´
1
·
0
´
97
=
0
´
157
Ejemplo: Supongamos el siguiente experimento compuesto: Tenemos dos urnas, U1 con 3 bolas rojas y 2 azules,
y U2 con 2 bolas rojas y 3 azules. Se extrae una bola de la urna U1 y se traslada a la urna U2. A continuación, se
extrae una bola de la urna U2. Se pide calcular:
a) la probabilidad de que la bola extraída en U2 sea azul
b) Se sabe que la bola extraída en U2 es roja. ¿Cuál es la probabilidad de haber trasladado una bola azul?
a) Consideremos los siguientes sucesos
R1=” sacar bola roja de U1”; A1= “sacar bola azul de U1”, R2=” sacar bola roja de U2”; A2= “sacar bola azul de U2”
p
(
A
2)
·
=
p
(
A
2/
A
1)
· p
(
A
1)+
p
(
A
2/
R
1)
· p
(
R
1)=
3
6
·
3
5
+
4
6
·
2
5
=
17
30
b)
p
(
A
1/
R
2)=
p
(
R
2)
· p
(
R
2/
A
1)
p
(
R
2)
· p
(
R
2/
A
1)+
p
(
R
2)
· p
(
R
2/
R
1)
=
2
6
·
2
5
3
6
·
3
5
+
2
6
·
2
5
=
4
30
13
30
=
4
13
Combinaciones de m elementos tomados de n en n: es el conjunto de todas las disposiciones que se pueden formar tomando n elementos entre los m, con la condición que dos disposiciones serán distintas sí y sólo sí están formadas por elementos distintos, es decir, no se tiene en cuenta el orden de los elementos en la disposición.
C
m,n=
(
m
n
)
=
m !
n !
(
m
−
n
)
!
siendo m !
=
m
(
m
−
1
) (
m
−
2
)
... 3 . .2 . 1
Variaciones de m elementos tomados de n en n: es el conjunto de todas las disposiciones que se pueden formar tomando n elementos de entre los m elementos, con la condición de que dos disposiciones serán distintas si están formadas por elementos distintos o si los elementos están dispuestos en orden distinto dentro de la disposición, esto es, se tiene en cuenta el orden de los elementos en la disposición.
V
m,n=
m
.
(
m
−
1
)
.
(
m
−
2
)
... ..
(
m
−
n
+
1
)
Permutaciones de m elementos: es un caso particular de las variaciones, son variaciones de m elementos tomados de m en m.
P
m=
V
m,m=
m !
=
m
.
(
m
−
1
)
.
(
m
−
2
)
... .. 3 . 2 . 1
Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n: es el conjunto de todas las disposiciones distintas que se pueden formar tomando n elementos entre los m elementos, en los que eventualmente pueden aparecer elementos repetidos, con la condición de que dos disposiciones serán distintas si tienen distintos elementos o están situados en distintos lugares, esto es, se tiene en cuenta el orden de los elementos en las disposiciones.
V
mn=
m
nPermutaciones con repetición: es el conjunto de todas las disposiciones distintas que se pueden formar con m
elementos, en los que en cada disposición cada elemento puede aparecer
(
n
1, n
2,
...
n
m)
veces y en un ordendeterminado.
RC
mn=
n !
n
1!
.
n
2!
. ...
n
m!
donde n
1+
n
2+
...
+
n
m=
n
Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n: es el conjunto de todas las disposiciones distintas que se pueden formar tomando n elementos entre los m elementos, en donde eventualmente pueden aparecer elementos repetidos, con la condición de que dos disposiciones serán distintas si tienen distintos elementos, es decir, no se tiene en cuenta el orden de la disposición.