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(1)

UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT

Geometría

II Nivel

I Eliminatoria

(2)

Contenido

1 II Nivel (8° y 9°) - Geometría 2

1.1 Presentación . . . 2 1.2 Temario de I eliminatoria 2015. . . 3 1.3 Problemas resueltos. . . 4

2 Ejercicios propuestos 20

3 Sugerencias a los ejercicios propuestos 23

(3)

1

II Nivel (8° y 9°) - Geometría

1.1 Presentación

Este material presenta ejercicios que fueron tomados de pruebas de primeras eliminatorias apli-cadas del 2003 al 2015.

El objetivo principal del material es que los estudiantes de segundo nivel -estudiantes de octavo y noveno años, tengan un acercamiento al tipo de problemas que son propuestos en pruebas de primeras eliminatorias.

En el material se indica el temario que está considerado para este nivel. Es importante resaltar que no son desarrollados los contenidos que ahí se describen, sino que se consideran problemas que contemplen algunos de los contenidos propios de este nivel.

Antes de cada uno de los ejercicios que se plantean y resuelven, son enunciandos los teoremas y las definiciones más relevantes que se necesitan para dicho ejercicio (teoremas y definiciones propios del segundo nivel para primeras eliminatorias).

(4)

1.2 Temario de I eliminatoria 2015

1 _{Conceptos geométricos básicos y su notación: punto, recta, plano.}

2 _{Puntos colineales y no colineales. Puntos coplanares y puntos no coplanares.}

3 _{Segmentos de recta, semirrectas, rayos y semiplanos.}

4 _{Rectas paralelas, perpendiculares y concurrentes. Planos paralelos y perpendiculares.}

5 _{Figuras tridimensionales. Caras, aristas y vértices.}

6 _{Clasificación de ángulos por su medida. Clasificación de ángulos por su posición} (adya-centes y consecutivos).

7 _{Relaciones de medida entre los ángulos (congruencia, complementarios y suplementarios).}

Ángulos determinados por dos rectas y una transversal: alternos externos, alternos internos, correspondientes y conjugados.

8 _{Desigualdad triangular.}

9 _{Teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo y cuadrilátero} convexo. Teorema de la medida del ángulo externo de un triángulo.

10 _{Teorema de la suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo y cuadrilátero}

convexo.

11 _{Clasificación de triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos internos o la medida} de sus lados.

12 _{Ejes cartesianos. Representación de puntos y figuras.}

13 _{Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y círculo.}

14 _{Rectas notables en un triángulo. Propiedades de las rectas notables en un triángulo.}

15 _{Congruencia de triángulos.}

16 _{Teorema de Pitágoras.}

(5)

1.3 Problemas resueltos

Teorema1.1(Teorema de Pitágoras) En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Según los datos de la figura adjunta una expresión equivalente a a 2

c−b es

A) a+b

B) b+c

C) c−b

D) a−b

A B

C

a

b c

Ejercicio 1.1Primera eliminatoria - segundo nivel - 2013 - ítem 1

De acuerdo con el teorema de Pitágoras, teorema1.1, se tiene que

c2=a2+b2

⇒ c2−b2=a2

⇒ (c+b) (c−b) =a2

⇒ c+b= a

2

c−b

De esta manera, a 2

c−b es equivalente a la expresiónc+b. Respuesta correcta: opción B.

(6)

En la figura adjuntaAB=x,AC=x−1yBC = x+1, con certezaa−bes

A) 1

B) 2

C) 4

D) 5

B A

C

b a

Con base en el teorema de Pitágoras (teorema1.1),

(x+1)2−a2= (x−1)2−b2

⇒ x2+2x+1−a2=x2−2x+1−b2

⇒ 4x=a2−b2

⇒ 4x= (a−b) (a+b)

Luego, dado queAB=x=a+b, se concluye que4=a−b. Respuesta correcta: opción C.

Solución

Teorema1.2(Área de un triángulo) Sihes la altura correspondiente al ladoABde algún triángulo, su

área está dada por 1 2·AB·h.

(7)

En la figura adjunta, el∆ABCes rectángulo enCyM es el punto medio deAB. ¿Qué porcentaje del área del∆ABCes el área del∆AMC?

A) menos del 50% B) igual al 50% C) más del 50%

D) no se puede determinar

A B

C

M

Basados en el teorema 1.3, al trazar la paralela media del ∆ABC con respecto al lado AC, esta contiene el punto medio deAB(que esM) y el punto medio deBC.

A B

C

M

h h

h

Sih es la medida de la altura del∆AMC, de acuerdo con el teorema1.2se tiene que el área del ∆ABC=1

2·AC·BC= 1

2·AC·2h=AC·hy el área del∆AMC= 1 2·AC·h.

(8)

Sea el∆ABCtal queDes el punto medio deAB,Ees el punto medio deDByF es el punto medio deBC. Si el área del∆ABCes 72 cm2_{, entonces el área en cm}2_del_∆_AEF _es

A) 18

B) 24

C) 27

D) 36

Dado queF es el punto medio deBC, la alturahdel∆AEF deF aAE es la mitad de la alturaH del∆ABCdeCaAB(lo anterior basados en el teorema1.3aplicado en el triángulo rectángulo de hipotenusaBC).

A

B

E

D

C

F

h

H

La baseAE del∆AEFmide 3

4·AB, puesDes el punto medio deAByEes el punto medio deDB; así, basados en el teorema1.2,

Área del∆AEF = 1

2·AE·h

= 1

2

3 4·AB

1 2·H

= 3

8 ₁

2·AB·H

= 3

8·72=27 Respuesta correcta: opción C.

(9)

Considere el∆ABCde la figura adjunta, dondeF es el punto medio deCB,Ges el punto medio deAC,Hes un punto cualquiera deABconEyDtales queAE=EHyHD=DB. Sihrepresenta la medida en centímetros de la altura del∆ABCsobre el ladoAByAB=20cm, el área, en centímetros cuadrados del∆AEG, es

A) h(10−x)

B) h

2(10−x) C) h

4(10−x) D) h

8(10−x) A

C x B D E F G H

Considere las alturas de los triángulos∆ABCy∆AEGsobre las bases respectivasAByAE. Como

Ges el punto medio deAC, la altura de medidah1del∆AEGes la mitad de la medida de la altura

hdel∆ABC(lo anterior basados en el teorema1.3).

A C x B D E F G H h x 20-2x

Dado que DB=x=HDyAB=20cm, se tiene queAH=AB−HD−DB=20−2x, por lo que la baseAEdel∆AEGmide1

2(20−2x) =10−x. Luego, el área del∆AEG=1

2·AE·h1= 1

2·(10−x)·

h

2=

h

4(10−x). Respuesta correcta: opción C.

Solución

Definición1.1(Triángulos semejantes) Dos triángulos se llaman triángulos semejantes si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Teorema1.4(Teorema de Thales) Dos triángulos son semejantes si, y solo si, sus lados correspondientes son proporcionales.

(10)

Definición1.2(Ángulos opuestos por el vértice) Sean←AB→yCD←→dos rectas que se cortan enO, tales que valenA−O−ByC−O−D. Se dice que∠AOCy∠BODson ángulos opuestos por el vértice.

Teorema1.6(Ángulos internos de un triángulo) La suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo es igual a180◦.

En la figura adjuntal1kl2. Si]B=100◦y]C=]A−10◦, entonces]Aes

A) 55◦ B) 45◦ C) 100◦ D) 80◦

A

l

B

1

l₂ C

Con base en el teorema1.5, se tiene que]B=_]D=100◦por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Por otra parte,]E=180◦−_]D=180◦−100◦=80◦.

A

l

B

1

l₂ C

D E G

F

De acuerdo con la definición 1.2, ∠C y ∠F son ángulos opuestos por el vértice; así,

]C=_]F=_]A−10◦.

(11)

Los ángulos ∠E,∠F y ∠Gson los ángulos internos de un triángulo, por lo que basados en el teorema1.6se tiene que

]E+_]F+_]G=180◦

⇒ 80◦+ (_]A−10◦) +_]A=180◦

⇒ 2_]A=180◦−80◦+10◦

⇒ _]A=110

◦ 2 Por lo tanto,]A=55◦. Respuesta correcta: opción A. Solución - continuación

En la figura adjuntal1kl2. Si m∠y=m∠x−20◦, entonces m∠xes

A) 25°

B) 45°

C) 65°

D) 70°

l1

l2

110°

x

y

En la figura se colocan las medidas de los tres ángulos internos de un triángulo.

Siarepresenta la medida en grados del ángulox, se tienen las tres medidas en mención:apor ser opuesto por el vértice (definión1.2), 70° por ser ángulo suplementario ya−20◦por ser ángulo alterno interno entre paralelas (teorema1.5).

l

₁

l

₂

110°

a-20°

a

70°

a-20°

a

(12)

Luego, con base en el teorema1.6se tiene quea+70◦+a−20◦=180◦⇒a=180

◦₋₅₀◦ 2 =65

◦

.

Respuesta correcta: opción C. Solución - continuación

Teorema1.7(Desigualdad triangular) La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Se construyen triángulos de tal manera que todas las longitudes de sus lados son números enteros. SiAD=CD=3cm,FE=2cm,EB=5cm. y el resto de los segmentos tienen la misma medida, ¿cuál es la menor medida posible para estos segmentos?

A) 1 cm.

B) 2 cm.

C) 3 cm.

D) 4 cm.

A B

C

D

E F

Considere los cinco triángulos que se presentan en la figura.

A B

C

D

E F

3 3

2

5 x

x

(13)

Al aplicar la desigualdad triangular en cada uno de los triángulos (ver teorema1.7) y tomando en cuenta quex(la longitud de cada uno de los segmentos restantes) es un entero, se tienen los resultados siguientes:

En el∆ACD: 3+x>3y6>x⇒0<x<6.

En el∆CED: 2x>3⇒x>3/2. En el∆DEB: 2x>5⇒x>5/2.

En el∆CFE: 2x>2⇒x>1.

En el∆AFB: 2x+7>3+x⇒x>−4,10+x>2x⇒x<10y3x+3>7⇒x>4/3.

Como el menor enteroxque satisface todas las condiciones esx=3cm, se concluye que la menor medida posible para los segmentos es 3 cm. Respuesta correcta: opción C.

Solución - continuación

Teorema1.8(Recíproco del teorema de Pitágoras) Si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, el ángulo opuesto al tercer lado es recto.

Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 10. Entonces, la longitud de una altura del triángulo es

A) 12 5 B) 24

5 C) 15

2 D) 10

Como62+82=102, por el teorema1.8se tiene que el triángulo es un triángulo rectángulo; dos de las alturas de este triángulo miden 6 y 8, respectivamente.

Con base en1.2se tiene que el área del triángulo es1

2·6·8=24.

Luego, sihrepresenta la medida de la otra altura del triángulo (la altura sobre la hipotenusa), se

tiene que24=1

2·10·h⇒h= 24·2

10 = 24

(14)

Definición1.3(Mediana de un triángulo) Una mediana de un triángulo es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Teorema1.9(Concurrencia de las medianas) Las medianas de un triángulo son concurrentes y su punto de intersección divide a cada mediana en la razón2 : 1.

Definición1.4(Centroide) El puntoGde concurrencia de las medianas de un triángulo se llama el cen-troide (o también el baricentro) del triángulo.

En un triánguloABC se tiene que las longitudes de las medianas AD, BE yCF son 9, 12 y 15, respectivamente. SeaHel punto medioGC, dondeGes el baricentro o centroide del triángulo. El área del triánguloGDHes

A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

De acuerdo con el teorema 1.9, se tienen los resultados siguientes:BG=8,GD=3yCG=10. Además,GH=5, puesHes el punto medio deCH.

A

B

C

G E

D

F

H

8 4

6

3 5

5

El segmentoDH une los puntos medios del triánguloBGCy, de acuerdo con el teorema1.3, su

longitud debe ser la mitad del tercer lado; en este caso,DH=1

2BG=4.

De acuerdo con lo anterior, el∆GDH tiene longitudes 3, 4 y 5; así, el teorema1.8garantiza que dicho triángulo es un triángulo rectángulo pues32+42=52.

El área (ver definición1.2) del∆GDHes igual 1

(15)

Dados cuatro puntos no colineales en un planoπ1 y tres puntos no colineales en un planoπ2, π2kπ1, el número máximo de rectas que quedan determinadas por estos siete puntos es

A) 12

B) 18

C) 21

D) 28

Enπ1(donde hay cuatro puntos no colineales) quedan determinadas seis rectas.

Enπ2(donde hay tres puntos no colineales) quedan determinadas tres rectas.

Además, cada uno de los cuatro puntos deπ1con cada uno de los tres puntos deπ2determinan una recta; es decir, 12 rectas en total.

Por lo tanto, quedan determinadas6+3+12=21rectas. Respuesta correcta: opción C. Solución

Teorema1.10(Ángulo externo en un triángulo) En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de sus dos ángulos internos no adyacentes.

En la figura adjunta el∆AEDes equilátero y el∆BCDes isósceles, además]DAB=70◦,D−E−B yA−B−C. Entonces]ADCcorresponde a

A) 85◦ B) 87,5◦ C) 100◦ D) 110◦

A

B

C D

E

(16)

Como el ∆AED es equilátero, entonces los ángulos ∠AED, ∠EDA y ∠DAE son congruentes y miden60◦cada uno.

Como el∠AEBes suplementario con el∠AED, se cumple que]AEB=180◦+60◦=120◦. Por otra parte,]DAB=_]DAE−_]EAB⇒_]EAB=70◦−60◦=10◦.

En el∆AEBy de acuerdo con el teorema de la medida de un ángulo externo de todo triángulo, teorema1.10, se tiene que]AEB+_]EAB=_]EBC⇒_]EBC=120◦+10◦=130◦.

A

B

C D

E 60°

70° 130°

Dado que el ∆BCD es isósceles y dado que el ∠DBC es obtuso, se tiene los ángulos que poseen la misma medida son los ángulos ∠BDCy ∠BCD; así, de acuerdo con el teorema de la suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo, teorema 1.6, se cumple que

]BDC+_]BCD+_]DBC=180◦, luego,2·_]BDC=180◦−_]DBC=180◦−130◦=50◦⇒_]BDC=25◦. Por lo tanto,]ADC=_]ADE+_]BDC=60◦+25◦=85◦. Respuesta correcta: opción A.

Solución

Definición1.5(Meditriz de un segmento) La mediatriz de un segmentoABes la línea recta perpendic-ular a dicho segmento que contiene su punto medio.

Teorema1.11(Concurrencia de las mediatrices) Las mediatrices de los tres lados de todo triángulo son concurrentes y este punto equidista de los tres vértices del triángulo.

(17)

En la figura adjunta←DE→es la mediatriz del∆ABCsobre el ladoACy m∠BDA=50. La medida, en grados, del∠BCAes

A) 15

B) 25

C) 30

D) 45

A B

E D

C

Como←DE→es mediatriz del∆ABC, se cumple queEC=EAyDC=DA(ver definición1.5).

Esto último indica que el∆ADCes isósceles, por lo que m∠DCA=m∠DAC=25◦, ya que el ángulo externo∠BDAmide lo mismo que la suma de estos dos ángulos internos no adyacentes a él.

A B

E D

C

50°

25°

Respuesta correcta: opción B. Solución

Definición1.7(Perímetro de un polígono) El perímetro de todo polígono es igual a la suma de las me-didas de sus lados.

(18)

Un cuadradoAtiene igual área que un rectánguloB, en el cual el largo mide 2 cm. más que la mitad de lo que mide el lado deA, y el ancho deBmide 1 cm. menos que el doble de lo que mide el lado deA. La diferencia entre el perímetro deBy el perímetro deA, en centímetros, es un número

A) mayor que 3

B) entre 2 y 3

C) entre 1 y 2

D) entre 0 y 1

Seaxla medida del lado del cuadradoA.

Como el largo del rectánguloBmide 2 cm. más que la mitad de lo que mide el lado del cuadrado

A, se tiene que el largo del rectánguloBmidex 2+2.

Como el ancho del rectángulo B mide 1 cm. menos que el doble de lo que mide el lado del cuadradoA, se tiene que el ancho del rectánguloBmide2x−1.

Luego, de acuerdo con el teorema1.12, se tiene que el área del cuadradoAestá dada porx2y el área del rectánguloBestá dada por(2x−1)2+x

2

.

Además, se indica en el enunciado que el cuadradoAtiene igual área que el rectánguloB, por lo que al igualar sus áreas obtenidas anteriormente se tiene que:

x2= (2x−1)2+x

2

⇒ x2=4x+x2−2−x

2

⇒ 2=4x−x

2

⇒ 2=8x−x

2

⇒ 4=7x

⇒ 4

(19)

Ahora, de acuerdo con la definición1.7, el perímetro del cuadradoAes igual a4x=4·4

7 = 16

7 y el perímetro del rectángulo Bes igual a 2(2x−1) +22+x

2

=2

2·4

7−1

+2

2+4/7

2

=

2 ₈

7−1

+2

2+2

7

=2·1

7+2· 16 7 = 2 7+ 32 7 = 34 7 .

La diferencia entre el perímetro del rectángulo B y el perímetro del cuadradoAestá dada por 34

7 − 16

7 = 18

7 =2 4

7 ≈2,57. Respuesta correcta: opción B. Solución - continuación

Sea∆ABCisósceles, tal queAC=BC=20cm y seaDun punto cualquiera deAB(distinto deAy distinto deB). PorDse trazan una recta paralela aACque corta aBCenEy una recta paralela a

BCque corta aACenF. El perímetro, en centímetros, delCEDF es A) 20

B) 30

C) 40

D) 50

Los ángulos∠BACy∠ABCson congruentes, pues∆ABCes isósceles; seaαla medida de dichos ángulos.

Dado queDFkBCyDEkAC, se cumple que∠FDA∼=∠CBAy∠BAC∼=∠BDEpor ser, respectiva-mente, ángulos correspondientes entre paralelas (ver teorema1.5); todos estos con medidaα.

Así, son isósceles también los triángulos∆AFDy∆DEB.

(20)

SeaFA=FD=x,ED=EB=y.

El perímetro (ver definción1.7) delCEDF= (20−y) +y+x+ (20−x) =40. Respuesta correcta: opción C.

(21)

2

Ejercicios propuestos

2.1(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 16) En la figura adjunta, la bisectriz del∠B

interseca aACenEy aADenM. Si]BCA=50◦,]DAB=15◦y]DMB=55◦, entonces con certeza se cumple que

A) ∆ABCes escaleno

B) ∆ABCes equilátero C) ADes mediana sobreBC

D) BEes mediana sobreAC A

B

C D

Respuesta correcta: opción D.

2.2(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 17) SiBD,CFyAEson alturas del∆ABCque se intersecan en el puntoP, con P en el interior del triángulo, tales que]BPE =60◦ y]DPC=70◦, entonces con certeza se cumple que∆ABCes

A) escaleno

B) isósceles

C) obtusángulo

D) rectángulo

(22)

2.3(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2013 - ítem 17) Una escalera se apoya sobre un muro de manera que sale una parte de ella por encima del muro. Si el pie de la escalera está a 5 metros, la parte de la escalera que sobresale mide 10 m, mientras si la base está a 9 metros sobresalen 8 m. de la escalera. Entonces, la altura del muro es

A) 10 m.

B) 12 m.

C) 14 m.

D) 20 m.

Respuesta correcta: opción B.

2.4(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2013 - ítem 25) Considere la siguiente figura, si se tiene queBCyDEson alturas de los triángulos∆ABCy∆ADE, respectivamente, entonces con certeza se cumple que

A) AE>AB

B) BE>AB

C) CB>AC

D) AB>EC

A

B

C D

E

50° 110°

Respuesta correcta: opción D.

2.5(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2013 - ítem 26) De acuerdo con la siguiente figura, se tiene que]Bes tres veces]Adisminuido en10◦. Entonces el∆ABDes

A) rectángulo y escaleno

B) obtusángulo y escaleno

C) rectángulo e isósceles

D) obtusángulo e isósceles

A

B D

130°

(23)

2.6(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 4) En la figura adjunta l1kl2 y l3⊥l4. Si

]A=125◦, entonces]Bes

A) 125◦ B) 135◦ C) 145◦ D) 155◦

A _l

B

1

l₂ l₄

l3

Respuesta correcta: opción C.

2.7(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 12) El número máximo de triángulos en los cuales dos lados miden 6 cm. y 9 cm. y la medida del tercer lado es un número natural corresponde a

A) 3

B) 5

C) 8

D) 11

(24)

3

Sugerencias a los ejercicios

propuestos

3.1(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 16) TraceBE y note que55◦es la medida de un ángulo externo del∆ABM, por lo que puede hallar la medida del∠ABM(que es igual a la medida del

∠MBD-puesBEes bisetriz del∠ABC).

Con las medidas anteriores, halle la medida del∠BCAy tendría que el∆ABCes isósceles (pero no equilátero).

Pruebe que los triángulos∆BECy∆BEAson semejantes (además, son triángulos rectángulos) y de ahí podrá concluir queBEes mediana sobreAC.

Utilizando argumentos asociados con los triángulos∆ADBy∆ADCse puede descartar queADsea mediana deBC.

3.2(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 17) Dado que las alturas se intersecan dentro del triángulo, es imposible que dicho triángulo sea un triángulo rectángulo; tampoco puede ser un triángulo obtusángulo por ese mismo motivo.

Determine las medidas de los ángulos internos del∆ABCy compruebe que son todas distintas, por lo que el triángulo es escaleno.

3.3(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2013 - ítem 17) Utilice dos variables para indicar, respec-tivamente, la longitud de la escalera y la altura del muro.

Con base en el teorema de Pitágoras aplicado en los triángulos formados por la escalera y el muro en las dos situaciones planteadas, se obtienen dos ecuaciones que relaciones a las variables definidas. Al resolver las ecuaciones se obtiene que la longitud de la escalera es 23 metros y la altura del muro es 12 metros.

3.4(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2013 - ítem 25) Los segmentosDE y BC son paralelos -pues ambos son perpendiculares al ladoAB.

Con lo anterior, es posible indicar las medidas de varios de los ángulos presentes en la figura y, basados en la relación entre los ángulos y los lados es posible indicar que la única relación posible es queAB>EC.

(25)

Con lo anterior y lo mencionado en el enunciado, es posible determinar cada una de las medidas de los ángulos internos del∆ABD-dichas medidas son35◦,105◦y 50◦, por lo que el triángulo en cuestión es

escaleno obtusángulo.

3.6(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 4) El ángulo formado por las rectas l3 y l4

mide90◦pues dichas rectas se cortan de manera perpendicular.

Averigüe las medidas de los otros dos ángulos del triángulo formado por las rectasl3,l4yl2.

Dado que las rectasl1yl2son paralelas cortadas por la rectal4, utilice el teorema asociado con las medidas

de los distintos ángulos formados y pruebe que145◦es la medida del ángulo buscado.

3.7(Primera eliminatoria - segundo nivel - 2012 - ítem 12) Utilice alguna variable para designar la medida del tercer lado del triángulo.

Utilizando la desigualdad triangular aplicada en ese triángulo donde 6 y 9 son las otras medidas de los lados restantes, puede deducir que esta variable puede tomar valores enteros entre 3 y 15.

(26)

4

Créditos

Este documento es un material de apoyo sobre Geometría para estudiantes que participan en el segundo nivel de la primera eliminatoria de las Olimpiadas Costarricenses de Matemáticas.

Autor

Christian Páez Páez.

Editor

Christian Páez Páez.

Revisor

Christian Zamora Jaén.

Para referenciar este documento