Calculo vectorial en R2 Y R3 Vectores en el plano y en el espacio tridimensional. Adición y multiplicación de un vector por un real. Producto escalar. Norma de un vector. Producto escalar y ortogonalidad. Paralelismo. Producto vectorial en R3. Triple prod

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y valle

Alma Máter del Magisterio Nacional FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

CÁLCULO VECTORIAL EN R

Y R

Vectores en el plano y en el espacio tridimensional. Adición y Multiplicación de un vector por un real. Producto escalar. Norma de un Vector. Producto Escalar y Ortogonalidad. Paralelismo. Producto Vectorial en R3. Triple producto Escalar. Bases y proyección ortogonal de vectores en R2. Ecuación Vectorial de rectas en R2 y R3. Planos en R3. Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0525-2018-D-FAC

PRESENTADA POR

FLORES AVALOS, LESLIE NORMA INGRID

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: Matemática

3

4 ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 10

CAPÍTULO I VECTORES 11

1.1 Vectores en el plano cartesiano y en el espacio tridimensional 11 1.1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica. 11

1.1.2 Representación geométrica de vectores. 12

1.1.3 Suma de vectores. 14

1.1.4 Multiplicación de un vector por un real (escalar). 19

1.1.5 Magnitud o norma de un vector en R2 y R3. 20

1.1.6 Producto escalar o producto punto. 21

1.1.6.1 Propiedades del producto escalar. 24

1.1.7 Vector unitario. 26

1.1.8 Vectores paralelos. 27

1.1.9 Ángulo entre dos vectores. 29

1.1.10 Vectores ortogonales o perpendiculares. 30

1.2 Producto vectorial en R3 o producto cruz 31

1.2.1 Producto vectorial con determinantes. 32

5

1.3 Triple producto escalar (Producto mixto) 33

1.4 Proyección ortogonal y componentes 35

1.5 Área del paralelogramo 36

CAPÍTULO II RECTAS 39

2.1 Rectas en el plano 39

2.1.1 Ecuaciones de la recta. 39

2.1.2 Ecuación punto - pendiente. 40

2.1.3 Ecuación punto- intersección. 40

2.1.4 Recta paralelas. 41

2.1.5 Rectas ortogonales. 43

2.2 Ecuación vectorial de una recta en el plano 43

2.2.1 Ecuación vectorial de la recta en R2. 43

2.3 Ecuación vectorial de una recta en el espacio (R3) 44

2.3.1 Ecuación vectorial en R3. 44

2.3.2 Ecuación paramétrica en R3. 45

6

CAPÍTULO III PLANOS 49

3.1 Planos en R3 49

3.1.1 Ecuación vectorial del plano. 49

3.1.2 Ecuación paramétrica del plano. 50

3.1.3 Ecuación vectorial general del plano. 50

3.2 Planos paralelos y ortogonales 51

3.3 Ecuación biplanar de la recta 53

3.4 Intersección entre recta y plano 53

3.5 Distancia de un punto a un plano 55

3.6 Ángulo entre recta y plano 57

3.7 Ángulo entre dos planos 58

CAPÍTULO IV PLANOS VECTORIALES 60

4.1 Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria 60

4.1.1 Axiomas de un espacio vectorial. 61

7

SÍNTESIS 68

APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS 70

BIBLIOGRAFÍA 71

8 ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Segmento de recta dirigido. Por Ayres y Mendelson, 2010 12

Figura 2. Vector u en R2. Por Del Valle, 2011 13

Figura 3. Vector 𝑢 en R3 . Por Del Valle, 2011 14

Figura 4. Suma de vectores. Por Haaser, 2000 15

Figura 5. Ley del paralelogramo. Por Valle, 2011 16

Figura 6. Suma de vectores. Elaboración propia. 16

Figura 7. Suma de vectores con el método del paralelogramo. Elaboración propia. 17 Figura 8. Interpretación gráfica de la suma de vectores en R3. Por Tortosa, 2012 18

Figura 9. Suma de los vectores a + b. Elaboración propia. 18

Figura 10. Multiplicación por un escalar, en R2_{. Por Haaser, 2000. 19}

Figura 11. Multiplicación por un real, en R3. Por Tortosa, 2012. 20

Figura 12. Magnitud de un vector. Por Grossman, 2012 20

Figura 13. Los ángulos α, β, γ son ángulos directores. Por Mesa, 2012 21

Figura 14. Producto escalar entre dos vectores. Por Del Valle, 2012 22

Figura 15. Ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π. Por Del Valle, 2012 22

Figura 16. Ley de cosenos. Por Grossman, 2012 23

Figura 17. Magnitudes de los vectores. Por Grossman, 2012 23

9

Figura 19. Vectores unitarios 𝑘, 𝑗 e 𝑖 en R3. Por Del Valle, 2011 27 Figura 20. Ángulo θ formado por los vectores a y b. Elaboración propia 29 Figura 21. Proyección ortogonal de un vector sobre otro. Por Barrera, 2014 35 Figura 22. Paralelogramo formado por los vectores 𝑢 y 𝑣. Por Del Valle, 2011. 37

Figura 23. Recta L en R2_{. Por Ayres y Mendelson, 2010. 40}

Figura 24. Punto pendiente de L. Por Ayres y Mendelson, 2010. 41

Figura 25. Rectas L1 y L2. Por Ayres, 2010. 42

Figura 26. Rectas L1 y L2. Por Ayres y Mendelson, 2010. 42

Figura 27. Ecuación vectorial de la recta en R2. Elaboración propia. 44 Figura 28. Ecuación vectorial de la recta R3. Elaboración propia. 45 Figura 29. Plano P que pasa por el punto 𝑢0. Por Del Valle, 2011 51

Figura 30. Planos paralelos. Por Grossman 2012 52

Figura 31. Planos perpendiculares. Por Grossman, 2012 52

Figura 32. Plano 𝜋1 y 𝜋2. Elaboración propia. 53

Figura 33. Intersección recta y plano. Elaboración propia 54

Figura 34. Plano π y la distancia de Q hasta P. Por Mesa, 2012 55

Figura 35. Plano π y P que no pertenece al plano. Por mesa 2012. 56

Figura 36. Plano π y la recta r. Elaboración propia. 57

10 INTRODUCCIÓN

El cálculo vectorial facilita una notación clara y precisa al representar ecuaciones matemáticas que nos sirven de referente ante distintas situaciones físicas; también ayuda de manera significativa a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos. Por ejemplo, la masa, temperatura y longitud quedan perfectamente definidas con solo conocer el valor de su medida; las denominadas magnitudes escalares. En otros casos, en cambio, para definirlas correctamente no es suficiente con conocer el valor absoluto de su medida; por ejemplo: la fuerza y la velocidad, denominadas magnitudes vectoriales.

El enfoque principal de este trabajo serán los vectores en R2 _{y R}3, _{apoyándonos en} conceptos básicos de geometría analítica y trigonometría.

Nuestro estudio consta de cuatro grandes bloques a los que denominaremos capítulos, en ellos tratamos las operaciones básicas de los vectores en R2 y R3: la suma vectorial, la

11 CAPÍTULO I

VECTORES

1.1 Vectores en el plano cartesiano y en el espacio tridimensional

1.1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su interpretación geométrica.

Antes de dar una definición, debemos diferenciar: Ayres y Mendelson (2010) afirma “Cantidades como el tiempo, la temperatura y la rapidez, que tienen solo magnitud (valor

numérico), se denominan escalares. Por otra parte, cantidades como la fuerza, velocidad y la aceleración, que tienen tanto magnitud como dirección, se denominan vectores” (p. 317).

12

dirigidos (flechas) como se muestra en la figura 1. “El segmento de recta dirigido 𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑ es un

vector en el plano denotado por v = 𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑ ; los vectores se denotan normalmente por letras minúsculas en negrita como a, b, u, v y w” (Ayres y Mendelson, 2010, p. 317).

1Figura 1. Segmento de recta dirigido. Por Ayres y Mendelson, 2010

Un vector está determinado por los siguientes elementos

1. Dirección: La misma que tiene la recta sobre la cual está el vector (directriz).

2. Sentido: Uno de los dos posibles que define su dirección, representado por la cabeza de la flecha.

3. Magnitud: Valor numérico de la norma que representa, expresado por la longitud del vector.

1.1.2 Representación geométrica de vectores.

13 En R2_:

Tracemos dos rectas perpendiculares, llamémosle ejes x y y; luego, tomamos el par ordenado (a, b), que serán nuestras coordenadas cartesianas. Después, trazamos las

perpendiculares a los ejes x y y, entonces se producen dos distancias dirigidas a y b, como se muestra en la figura 2. Finalmente, a se llama la componente x y b la componente y del vector 𝒖

⃑⃑ = (a, b) (Haaser, 2000).

2 Figura 2. Vector u⃑ en R2_{. Por Del Valle, 2011}

En R3_:

14

3 Figura 3. Vector 𝑢⃑ en R3 . _{Por Del Valle, 2011}

1.1.3 Suma de vectores. En R2_:

La suma de dos vectores estará definida por:

Sean a y b vectores en R2, para cada a = (a1, a2) y b= (b1, b2), entonces: a + b = (a1, + b1, a2 + b2)

Una descripción geométrica de la adición de vectores es la siguiente: 1. Elijase un punto P0

2. Constrúyase el vector a desde P0 y localícese así el punto P1

15

Es decir, si el punto de inicio del vector b se ubica en el punto final de a, entonces a + b corresponde a la flecha dibujada desde el punto de inicio de a hasta el punto final de b, como se muestra en la figura 4(Haaser, 2000).

4 Figura 4. Suma de vectores. Por Haaser, 2000

La operación de adición de dos vectores 𝐚 +b puede ilustrarse también de la siguiente manera. Trasladamos los vectores a y b en paralelo y de forma continua, formando un

paralelogramo. Vemos, en la figura 1.5, por esta construcción que a + b es una diagonal del paralelogramo (Haaser, 2000).

P0

P1

P2

a

b a+

b

16

5 Figura 5. Ley del paralelogramo. Por Valle, 2011

Ejemplo 1: Sean u y v vectores en R2, hallar la suma de u y v si u= (4, 1) y v= (2, 3) Solución:

u + v = (4 + 2, 1 + 3) u+ v = w = (6, 4)

17

Ejemplo 2: Dados los vectores u= (5, 2) y v= (1, 4); representar gráficamente la suma de ambos vectores.

Gráficamente, usando el método del paralelogramo, trazamos las paralelas a los vectores u y v que llamaremos u’ y v’; finalmente, trazamos la diagonal del paralelogramo que es el vector w que representa la suma de u y v, como se muestra en la figura 7 (Del Valle, 2011). El vector w = u + v, entonces:

w= (5+1, 2+4) w= (6, 6)

7 Figura 7. Suma de vectores con el método del paralelogramo. Elaboración propia.

En R3_:

La suma de vectores en R3 estará definida por:

18

8 Figura 8. Interpretación gráfica de la suma de vectores en R3_{. Por Tortosa, 2012}

Ejemplo 3: Sean a y b vectores en R3. Hallar la suma de a y b si a = (1, 7, 3) y b= (2, 0, 6), entonces:

a + b = (1+2, 7+0, 3+6) = (3, 7, 9)

19

1.1.4 Multiplicación de un vector por un real (escalar).

La multiplicación por un real (escalar) r por un vector u, expresado por ru, es un vector r veces tan largo como u y tiene el mismo sentido que u si r es positivo y sentido opuesto si r es negativo (Tortosa, 2012).

En R2_:

Por definición, si r es un número real y a = (a1, a2) es un vector (Haaser, 2000), entonces: ra = r(a1, a2) = (ra1, ra2)

Gráficamente:

10 Figura 10. Multiplicación por un escalar, en R2_{. Por Haaser, 2000.}

En R3_:

Definimos si k es un real y a = (a1, a2, a3) un vector. Entonces:

20

11 Figura 11. Multiplicación por un real, en R3_{. Por Tortosa, 2012.}

1.1.5 Magnitud o norma de un vector en R2 _{y R}3_.

Denotemos la magnitud de un vector a por |a|, siendo este último un escalar (Grossman, 2012). En R2_:

Sea el vector a = (a1, a2), para calcular la magnitud graficamos un triángulo rectángulo trazando a1 y a2, que serán, en este caso, los catetos y el vector a la hipotenusa. Entonces, aceptando el teorema de Pitágoras, obtenemos (Grossman, 2012):

|a|= √𝑎₁2+ 𝑎₂2

21 En R3_:

Sea 𝑣⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧), la magnitud o norma del vector 𝑣⃗ se denota de igual manera como |𝑣⃗|, se define como:

|𝑣⃗| = √𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2

La dirección de 𝑣⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) está definida por la medida de los ángulos que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes x, y, z. Ver figura 13

13 Figura 13. Los ángulos α, β, γ son ángulos directores. Por Mesa, 2012

1.1.6 Producto escalar o producto punto.

“El producto escalar de dos vectores es la magnitud de la proyección del primer vector

sobre el segundo, multiplicada por la norma de este último, donde θ es el ángulo formado por los dos vectores” (Del Valle, 2012, p. 116).

22

14 Figura 14. Producto escalar entre dos vectores. Por Del Valle, 2012

Observación: Tener en cuenta que se entiende por el ángulo θ entre los vectores u y v, al ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π, como se muestra en la figura 15.

15 Figura 15. Ángulo que satisface 0 ≤ θ ≤ π. Por Del Valle, 2012

23

16 Figura 16. Ley de cosenos. Por Grossman, 2012

En R2_:

Ahora sea 𝒖⃑⃑ = (𝑥₁, 𝑦₁) y 𝒗⃑⃑ = (𝑥₂, 𝑦₂) un par de vectores en R2

17 Figura 17. Magnitudes de los vectores. Por Grossman, 2012

De la figura 17 y la ley de cosenos tenemos que

24 Luego,

2‖𝑢⃑ ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 = ‖𝑢⃑ ‖2_{+ ‖𝑣 ‖}2_{− ‖𝑣 − 𝑢⃑ ‖}2

= 𝑥12+ 𝑦12+ 𝑥22+ 𝑦22− [(𝑥2− 𝑥1)2 + (𝑦2− 𝑦1)2]

= 𝑥₁2+ 𝑦₁2+ 𝑥₂2+ 𝑦₂2− [ 𝑥₂2− 2𝑥₁𝑥₂+ 𝑥₁2+ 𝑦₂2− 2𝑦₁𝑦₂+ 𝑦₁2]

de donde

2‖𝑢⃑ ‖‖𝑣 ‖𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2(𝑥1𝑥2+ 𝑦1𝑦2)

y, por tanto,

𝒖

⃑⃑ • 𝒗⃑⃑ = 𝑥₁𝑥₂ + 𝑦₁𝑦₂

es la relación buscada (Valle, 2012) En R3_:

Sea u = (m1, m2, m3) y v = (p1, p2, p3) el producto escalar se obtiene, de igual manera, multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando, luego, los productos resultantes. Esto es:

u • v= (m1p1 + m2p2 + m3p3) 1.1.6.1Propiedades del producto escalar.

1. El producto escalar de un vector por sí mismo es igual a la magnitud del vector al cuadrado.

Esto es:

25 Demostración:

Sea el vector u = (x, y, z)

u • u= (x, y, z) • (x, y, z) = (𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2_{)………(por definición)}

|u| = √𝑥2_{+ 𝑦}2_{+ 𝑧}2_{………..…………(magnitud de un vector)}

|u|2= (𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2)

2. El producto escalar de a • b es igual al producto escalar de b• a (conmutativa). a • b = b• a

Demostración:

Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3) a • b = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = (a1 b1 + a2b2 + a3b3) b • a = (b1, b2, b3) • (a1, a2, a3) = (b1a1 + b2a2 + b3a3) a • b = b • a

3. Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial Sean p, q y r vectores. Entonces:

p • (q + r) = p •q + p • r Demostración:

Sean p= (p1, p2, p3), q= (q1, q2, q3) y r= (r1, r2, r3)

26

= (p1 q1 + p2 q2 + p3 q3) + (p1 r1 + p2 r2 + p3 r3) ……… (suma de vectores) = p • q + p • r

4. El producto escalar entre dos vectores, donde uno de ellos está multiplicado por un real, así:

(ka) • b = k(a • b) = a • (kb) Demostración:(ka) • b= k (a • b)

Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b= (b1, b2, b3)

(ka) • b = (ka1, ka2, ka3) • (b1, b2, b3) = (ka1b1, ka2b2, ka3b3)……. (Def. producto escalar) = k (a1 b1 + a2b2 + a3b3) ……… (factorizando k) = k (a • b) ………...…… (Def. producto escalar)

Demostración: a • (kb) =k (a •b)

a • (kb) = (a1, a2, a3) • (kb1, kb2, kb3) = (kb1a1, kb2a2, kb3a3) …. (Def. producto escalar) = k (b1a1, b2a2, b3a3)……… (factorizando k)

= k (b • a)……….(Def. producto escalar) = k (a • b)……….(Propiedad conmutativa)

1.1.7 Vector unitario.

El vector unitario es un vector de magnitud (o módulo) igual a uno.

𝑢̂ = 𝑢⃑⃗

|𝑢|

27

18 Figura 18. Vectores unitarios en R2_{. Por Del Valle, 2011}

En R3 _{tenemos los vectores 𝑖̂ = (1,0,0), 𝑗̂ = (0,1,0) y 𝑘̂ = (0,0,1), como lo muestra la} figura 19.

19 Figura 19. Vectores unitarios 𝑘⃑⃗, 𝑗⃗ e 𝑖⃗ en R3_{. Por Del Valle, 2011}

1.1.8 Vectores paralelos.

28

vectores distintos de cero, se dice que están en direcciones opuestas si uno de ellos es el resultado de multiplicar el otro por un número real negativo (Haaser, 2000).

Supongamos que un vector a es el resultado de multiplicar un vector b por un real

positivo k; es decir, a = kb. Esto implica que b = k-1 a. El vector b es también el resultado de multiplicar el vector a por un número real positivo. Por lo tanto, si dos vectores están en la misma dirección, entonces, cada uno de ellos es el resultado de multiplicar el otro por un número real positivo (Haaser, 2000.)

Definición 2. Se dice que dos vectores son paralelos si uno de ellos es el resultado de multiplicar el otro por un número real (Haaser, 2000).

Dados los vectores a y b, diremos que a es paralelo a b si, y solo si, existe un k ∈ R tal que

a = kb

Ejemplo: ¿Son paralelos los vectores a= (3, -1) y b= (-9, 3)? Vamos a suponer que a= kb

Entonces: (3, -1) = k (-9, 3) (3, -1) = (-9k, 3k)

Igualamos:

3= -9k → −3 9= 𝑘

-1= 3k → −1 3 = 𝑘

29 1.1.9 Ángulo entre dos vectores.

Dados dos vectores a y b en R2 o R3, tomamos el ángulo menor formado por dichos vectores y trazamos un nuevo vector c = a - b que une la punta de las flechas de los otros dos vectores, formando así un triángulo, como lo muestra la figura 20 (Del Valle, 2011).

20 Figura 20. Ángulo θ formado por los vectores a y b. Elaboración propia

Utilizando la ley de cosenos 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃, tenemos:

|a – b|2 = |𝐚|2+ |𝐛|2 − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽

(a - b) • (a - b) = a • a + b • b − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 ………. por a • a = |a|2 a•a - a•b - b•a + b•b = a • a + b • b − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 …………. Prop. de producto Escalar - 2 (a•b) = − 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 ………..Prop. Conmutativa

− 2|𝐚| |𝐛|𝑐𝑜𝑠𝜽 = - 2 (a•b)

Cos𝜃 =− 2 (𝐚•𝐛) − 2|𝐚| |𝐛|

Cos𝜃 = (𝐚•𝐛) |𝐚| |𝐛|

a

b

30

Luego que logramos definir el concepto de ángulo entre vectores, podemos establecer, a continuación, en que ocasiones dos vectores son ortogonales(perpendiculares) (Del Valle, 2012).

1.1.10 Vectores ortogonales o perpendiculares.

Definición 1: Un vector a se dice que es ortogonal a un vector b si (Haaser, 2000). |a + b| = |a – b|

Definición 2: Dos vectores a , b ≠ 0 serán ortogonales si, y solo si, su producto punto o escalar es cero (Haaser, 2000).

a • b= 0 Demostración:

Si a y b son ortogonales. Entonces θ= 90°, siendo θ el ángulo que forman dichos vectores. Cosθ = 𝒂•𝒃

|𝒂||𝒃|

Cos90° = 𝒂•𝒃 |𝒂||𝒃|

0 = 𝒂•𝒃 |𝒂||𝒃|

(|a| |b|) 0 = a • b 0= a • b

31 1.2 Producto vectorial en R3 o producto cruz

Es el producto de vectores que da como resultado un nuevo vector, este nuevo vector tendrá la propiedad geométrica de ser perpendicular al plano generado por los vectores iniciales (Marsden, 1991).

Demostración:

Dados dos vectores a, b ≠0, de tres dimensiones, encontrar un tercer vector c, que sea perpendicular a ambos.

a= (𝑎₁ + 𝑎₂+ 𝑎₃) b= (𝑏₁+ 𝑏₂+ 𝑏₃) c= (x, y, z)

Por ortogonalidad de vectores

a • c =0 --- > 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑦 + 𝑎₃𝑧 = 0 b • c =0 --- > 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧 = 0

𝑏3(𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 + 𝑎3𝑧) = 0 --- >𝑎1𝑏3𝑥 + 𝑎2𝑏3𝑦 + 𝑎3𝑏3𝑧 = 0

−𝑎3(𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑏3𝑧) = 0 --- >−𝑎3𝑏1𝑥−𝑎3𝑏2𝑦−𝑎3𝑏3𝑧 = 0

(𝑎₁𝑏₃−𝑎₃𝑏₁)𝑥 + (𝑎₂𝑏₃−𝑎₃𝑏₂)𝑦 = 0 x =𝑎₂𝑏₃−𝑎₃𝑏₂

y =𝑎3𝑏1− 𝑎1𝑏3

Sustituimos estos valores en una de las primeras ecuaciones para hallar z.

32

𝑎1𝑎2𝑏3−𝑎1𝑎3𝑏2+ 𝑎2𝑎3𝑏1− 𝑎2𝑎1𝑏3+ 𝑎3𝑧 = 0

𝑎3𝑧 = 𝑎1𝑎3𝑏2 − 𝑎2𝑎3𝑏1

𝑧 =𝑎1𝑎3𝑏2−𝑎2𝑎3𝑏1

𝑎₃

𝑧 = 𝑎₁𝑏₂− 𝑎₂𝑏₁

c= (x, y, z) = (𝑎₂𝑏₃−𝑎₃𝑏₂, 𝑎₃𝑏₁− 𝑎₁𝑏₃,𝑎₁𝑏₂− 𝑎₂𝑏₁) a x b = (𝑎₂𝑏₃−𝑎₃𝑏₂, 𝑎₃𝑏₁− 𝑎₁𝑏₃,𝑎₁𝑏₂− 𝑎₂𝑏₁)

1.2.1 Producto vectorial con determinantes. Considerando dos vectores a y b

a= (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) b= (𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃)

a x b=

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

=𝑖̂ |𝑎_𝑏2 𝑎3 2 𝑏3|- 𝑗̂ |

𝑎₁ 𝑎₃

𝑏1 𝑏3|+ 𝑘̂ |

𝑎₁ 𝑎₂

𝑏1 𝑏2|

= 𝑖̂(𝑎2𝑏3− 𝑎3𝑏2) − 𝑗̂(𝑎1𝑏3− 𝑎3𝑏1) + 𝑘̂(𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)

= (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2)𝑖̂ + (𝑎3𝑏1− 𝑎1𝑏3)𝑗̂ + (𝑎1𝑏2− 𝑎2𝑏1)𝑘̂

Ejemplo:

Dados los vectores a y b, hallar a x b a= (1, 1, -2)

b= (-3, 1, 0)

a x b= | ₁𝑖̂ _{1 −2}𝑗̂ 𝑘̂

−3 1 0

|= 𝑖̂ |1 −2

1 0 | − 𝑗̂ |

1 −2

−3 0 | + 𝑘̂ |

1 1

33

= 𝑖̂(0 + 2) − 𝑗̂(0 − 6) + 𝑘̂(1 + 3)

= 2𝑖̂ + 6𝑗̂ + 4𝑘̂ = (2, 6, 4)

1.2.2 Propiedades. I. u x 0 = 0 x u = 0 II. u x v = -(v x u) III. (ku) x v = k (u x v).

IV. u x (v + w) = (u x v) + (u x w) V. u • (u x v) = v • (u x v) = 0

VI. u x v = 0, con u y v distintos de cero, únicamente cuando u y v son paralelos. VII. |u x v| = |u| |v| senθ

1.3 Triple producto escalar (Producto mixto)

Se trata de una operación entre 3 vectores, en la cual se desarrolla primero el producto vectorial (cruz) entre dos vectores y, luego, al resultado se hace el producto escalar (punto) con el último vector: a • (b x c) = triple producto escalar, donde a, b, c son los vectores. Cabe señalar que el resultado siempre será un escalar (solo tiene magnitud y no sentido o dirección), ya que el producto vectorial (cruz) de dos vectores siempre dará un vector y el producto escalar (punto) nos da como resultado un escalar. Una de sus aplicaciones sirve para determinar el valor de volumen que generen 3 vectores en el espacio.

34 b= (𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃)

c= (𝑐₁, 𝑐₂, 𝑐₃)

Hallamos, primero, el producto vectorial:

b x c=

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂

𝑏1 𝑏2 𝑏3

𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃

=|𝑏2 𝑏3

𝑐₂ 𝑐₃| 𝑖̂- |

𝑏1 𝑏3

𝑐₁ 𝑐₃| 𝑗̂+ |

𝑏₁ 𝑏₂

𝑐₁ 𝑐₂| 𝑘̂

Luego, el producto escalar:

a • (b x c) = a1|𝑏2 𝑏3

𝑐2 𝑐3| – a2|

𝑏₁ 𝑏₃

𝑐1 𝑐3| + a3|

𝑏1 𝑏2

𝑐1 𝑐2|

Entonces, podemos decir que el triple producto escalar de define por:

a • (b x c) =

𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎₃

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃

𝑐1 𝑐2 𝑐3

Ejemplo: Dados los vectores a, b y c, hallar el triple producto escalar.

a= (2, 1, −2)

b= (3, −1, 0)

c= (−2, 3, 1)

a • (b x c) =

2 1 −2

3 −1 0

−2 3 1

= 2 |−1 0

3 1| - 1 |

3 0

−2 1| + (-2)|

3 −1

−2 3 |

a • (b x c) = 2(-1- 0) -1(3- 0) -2(9- 2) a • (b x c) = - 2 – 3 – 14

35 1.4 Proyección ortogonal y componentes

Dados dos vectores u y v ≠ 0, podemos descomponer a u como suma de dos vectores: uno ortogonal a v que denotaremos x y otro paralelo a v que es de la forma λv. Ver figura 21 (Barrera, 2014).

Lo denotaremos así:

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮

21 Figura 21. Proyección ortogonal de un vector sobre otro. Por Barrera, 2014

Las componentes serán las magnitudes de los vectores de proyección. |𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 | = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝐮

Llamemos 𝜃 al ángulo formado por el vector u y v entonces Cos𝜃 = 𝒖 • 𝒗

|𝒖||𝒗| ……… Def. Ángulo entre dos vectores 𝒖 • 𝒗

|𝒖||𝒗|=

|𝑃𝑟𝑜𝑦_𝑣𝐮|

|𝒖| ……….. Def. Trigonométrica

𝐶𝑜𝑚𝑝_𝑣𝐮 |𝒖| =

36

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝒖 = |u|

𝒖 • 𝒗 |𝒖||𝒗|

Finalmente, la componente es:

𝐶𝑜𝑚𝑝_𝑣𝒖 = 𝒖 • 𝒗 |𝒗|

Ahora, hallaremos el vector proyección a partir de la componente.

El vector proyección de m sobre n es igual a multiplicar la componente de m sobre n con el vector unitario, esto es

𝑃𝑟𝑜𝑦𝑛𝐦 = 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑛𝒎 𝒏 |𝒏| = ( 𝒎 • 𝒏 |𝒏| ) 𝒏 |𝒏| = ( 𝒎 • 𝒏 |𝒏|𝟐)n

Ejemplo: Calcula 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣𝐮 y su componente. u = (2, 2, 3), v = (1, -2, 0)

Solución:

u • v = (2, 2, 3) • (1, -2, 0) = 2 – 4 + 0 = -2

|v| = √12_{+ (−2}2_{) + 0}2 _{= √5}

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑣𝒖 =

−2 √5

𝑃𝑟𝑜𝑦_𝑣𝐮 = - 2

(√5)2 (1, -2, 0) = -

2

5 (1, -2, 0) = (- 2 5,

4 5, 0) 1.5 Área del paralelogramo

Sea 𝒖⃑⃑ = (𝑎, 𝑏) y 𝒗⃑⃑ = (𝑐, 𝑑) dos vectores en R2_{. Hallaremos el área S del paralelogramo}

37

22 Figura 22. Paralelogramo formado por los vectores 𝑢⃑ y 𝑣 . Por Del Valle, 2011.

S1= 𝑥ℎ

2 y h = |𝑢⃑ |𝑠𝑒𝑛𝜃 Entonces,

S = 2𝑥ℎ 2 + 𝑆2

= xh + S2 = x|𝑢⃑ |𝑠𝑒𝑛𝜃 + S2 = x|𝑢⃑ |𝑠𝑒𝑛𝜃 + ℎ(|𝑣 | − 𝑥) = x|𝑢⃑ |𝑠𝑒𝑛𝜃 + ℎ|𝑣 | − ℎ𝑥 = x|𝑢⃑ |𝑠𝑒𝑛𝜃 + ℎ|𝑣 | − 𝑥|𝑢⃑ |𝑠𝑒𝑛𝜃

= |𝑢⃑ ||𝑣 |𝑠𝑒𝑛𝜃.

Puesto que 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃,

38

= |𝑢⃑ |2 _{|𝑣 |}2_{(1 − 𝑐𝑜𝑠}2_𝜃)

= |𝑢⃑ |2 |𝑣 |2− |𝑢⃑ |2 |𝑣 |2𝑐𝑜𝑠2𝜃

= |𝑢⃑ |2 |𝑣 |2_{− (𝑢⃑ • 𝑣 )}2

= (𝑎2_{+ 𝑏}2_{) (𝑐}2_{+ 𝑑}2_{) − (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)}2

= 𝑎2𝑐2+ 𝑎2𝑑2+ 𝑏2𝑐2− 𝑎2𝑐2− 2𝑎𝑐𝑏𝑑 − 𝑏2𝑑2

= 𝑎2_𝑑2_{+ 𝑏}2_𝑐2_{− 2𝑎𝑐𝑏𝑑}

= (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)2,

de donde

39 CAPÍTULO II

RECTAS

2.1 Rectas en el plano

2.1.1 Ecuaciones de la recta.

Sea L una recta que pasa por un punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m, como se muestra en la figura 23. Para cualquier otro punto P (x, y) sobre la recta, la pendiente m es, por definición, el cociente de y-y1 y x- x1. Así, para todo punto (x, y) en L (Ayres y Mendelson, 2010, p. 20).

𝑚 = 𝑦 − 𝑦1

40

23 Figura 23. Recta L en R2_{. Por Ayres y Mendelson, 2010.}

2.1.2 Ecuación punto - pendiente.

La ecuación punto pendiente de una recta L es toda ecuación de la forma 𝑚 = 𝑦− 𝑦1

𝑥− 𝑥₁. Si la pendiente m de L ya la conocemos, siendo así cada punto (x1, y1) de L nos dará una ecuación punto - pendiente de L. Por consiguiente, hay innumerables ecuaciones punto-pendiente para L. La ecuación de la recta equivale a (Ayres y Mendelson, 2010):

y- y1 = m(x-x1) donde,

(x1, y1) → son las coordenadas de un punto sobre la recta. m → es la pendiente (dirección) de la recta.

2.1.3 Ecuación punto- intersección. Si se multiplica la ecuación 𝑚 = 𝑦− 𝑦1

𝑥− 𝑥1 por (x – x1) se obtiene la ecuación y- y1 = m(x-x1), que puede reducirse primero a y- y1 = mx - mx1 y luego a y = mx + (𝑦1− 𝑚𝑥1). Sea b el número y1 –mx1. Entonces, la ecuación para la recta L. Se vuelve

41

La ecuación produce el valor y= b cuando x= 0, así que el punto (0, b) está en L. Por ende, b es la coordenada y de la intersección de L y el eje y, como se muestra en la figura 24. El número b se denomina la intersección de L con el eje y, por ello denominamos a esta ecuación punto- intersección de L (Ayres y Mendelson, 2010, p. 21).

24 Figura 24. Punto pendiente de L. Por Ayres y Mendelson, 2010.

2.1.4 Recta paralelas.

Sea L1 y L2 rectas paralelas no verticales y A1 y A2 los puntos en los que L1 y L2 cortan el eje y, como en la figura 25. Además, sea B1 una unidad a la derecha de A1 y B2 una unidad a la derecha de A2. Sean C1 y C2 las intersecciones de las verticales que pasan por B1 y B2 con L1 y L2. Ahora, el triángulo A1B1C1 es congruente con el triángulo A2B2C2 (por el teorema de congruencia ángulo- lado- ángulo) (Ayres y Mendelson, 2010, p. 21).

Por ende, 𝐵1𝐶1 = 𝐵2𝐶2

Pendiente de L 1 = 𝐵₁𝐶₁

1 = 𝐵₂𝐶₂

1 = pendiente de L2

42

25 Figura 25. Rectas L1 y L2. Por Ayres, 2010.

“Recíprocamente, suponemos que dos rectas diferentes L1 y L2 no son paralelas y se

hallan en el punto P, como en la figura 26. Si L1 y L2 tuvieran igual pendiente entonces serían la misma recta. Por tanto, L1 y L2 tienen pendientes diferentes” (Ayres y Mendelson, 2010, p. 22).

26 Figura 26. Rectas L1 y L2. Por Ayres y Mendelson, 2010.

43 2.1.5 Rectas ortogonales.

Teorema: Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es -1.

Si m1 y m2 son las pendientes de las rectas perpendiculares, entonces m1m2 = -1. Esto

equivale a m2 = − 1

𝑚₁; por tanto, las pendientes de rectas perpendiculares son cada una la recíproca negativa de la otra (Ayres y Mendelson, 2010, p. 22).

2.2 Ecuación vectorial de una recta en el plano 2.2.1 Ecuación vectorial de la recta en R2.

El plano Euclidiano se denota por R2. Los puntos de R2 son los pares ordenados (x, y), los números x y y tienen que verse como las coordenadas rectangulares del punto A= (x, y). La definición de recta en R2 nace de nuestra realización instintiva de que una recta está definida por un punto A y una dirección u (u es un vector no nulo). Los puntos P sobre la recta que pasa por A en la dirección de u son todos puntos de la forma P = A + ka donde k es un número real (Haaser, 2000).

Obteniendo así la ecuación vectorial de la recta (ver figura 27):

𝑂𝑃

44

27 Figura 27. Ecuación vectorial de la recta en R2_{. Elaboración propia.}

2.3 Ecuación vectorial de una recta en el espacio (R3) 2.3.1 Ecuación vectorial en R3.

Tomamos un punto P en el espacio, luego trazamos un vector 𝑣 que nos dará la dirección de la recta que contiene al punto P y la recta será paralela a dicho vector.

Trazamos un vector desde el origen hasta el punto P, ahora P será el nuevo vector. Para hallar la ecuación vectorial de cualquier punto sobre la recta, elegimos un punto y trazamos un vector desde el origen al que llamaremos 𝑟 como se ve en la figura 28 así

determinamos la ecuación vectorial de la recta en el espacio, la cual definimos así (Grossman, 2012):

𝑟 = 𝑃⃑ + 𝑡𝑣

45

28 Figura 28. Ecuación vectorial de la recta R3_{. Elaboración propia.}

2.3.2 Ecuación paramétrica en R3.

A partir de la ecuación vectorial de la recta 𝑟 = 𝑃⃑ + 𝑡𝑢⃑ tenemos que: 𝑃⃑ → vector posición de componentes (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀)

𝑟 → vector posición, de un punto cualquiera sobre la recta, con los siguientes componentes (x, y, z)

𝑢⃑ → vector director de componentes (a, b, c).

Reemplazamos, en la ecuación vectorial de la recta, los componentes. (x, y, z) = (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) + t(a, b, c)

(x, y, z) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + (ta, tb, tc) (x, y, z) = (𝑥₀ + 𝑡𝑎, 𝑦₀+ 𝑡𝑏, 𝑧₀+ 𝑡𝑐) Igualamos miembro a miembro

x = 𝑥0 + 𝑡𝑎

y = 𝑦0+ 𝑡𝑏 Ecuaciones paramétricas de la recta

46 2.3.3 Ecuación simétrica en R3.

A partir de las ecuaciones paramétricas

x = 𝑥₀ + 𝑡𝑎

y = 𝑦₀+ 𝑡𝑏

z = 𝑧₀+ 𝑡𝑐

despejamos t en todos los casos. Para x:

x = 𝑥₀ + 𝑡𝑎

x - 𝑥0 = 𝑡𝑎

𝑥 − 𝑥₀

𝑎 = 𝑡

Para y:

y = 𝑦₀+ 𝑡𝑏

y - 𝑦₀ = 𝑡𝑏

𝑦 − 𝑦₀

𝑏 = 𝑡

Para z: z = 𝑧₀+ 𝑡𝑐 z - 𝑧₀ = 𝑡𝑐

𝑧 − 𝑧₀

47

Igualamos las tres ecuaciones obtenidas y de esta forma tenemos las ecuaciones simétricas de una recta.

𝑥 − 𝑥₀

𝑎 =

𝑦 − 𝑦₀

𝑏 =

𝑧 − 𝑧₀

𝑐

Ejemplo: Halla la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por el punto (1, -2, 3) y tiene como vector director u= (3, 2, 4).

Primero reemplazamos los valores en la ecuación vectorial: 𝑟 = 𝑃⃑ + 𝑡𝑢⃑ 𝑟 = (1, -2, 3) + t(3, 2, 4) → Ecuación vectorial de la recta

(x, y, z) = (1, -2, 3) + (t3, t2, t4) (x, y, z) = (1+ t3, -2+ t2, 3 + t4) x= 1+ t3

y= -2+ t2 →Ecuaciones paramétricas z= 3 + t4

despejamos t x – 1 = t3 𝑥 − 1

3 = 𝑡

y= -2+ t2 𝑦 + 2

2 = 𝑡

48 𝑧 − 3

4 = 𝑡

Igualamos: 𝑥−1

3 = 𝑦+2

2 = 𝑧−3

49 CAPÍTULO III

PLANOS 3.1 Planos en R3

“Sea P un punto en el espacio y sea n un vector dado diferente de cero. Entonces el conjunto de todos los puntos Q para los que 𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑ • n = 0 constituye un plano en R3”(Grossman, 2012, p. 266).

3.1.1 Ecuación vectorial del plano.

Dado un plano P, vamos a obtener la relación de las coordenadas del punto X = (x1, x2, x3) que pertenece al plano P.

50

que pasa por el punto P = (p1, p2, p3) y tiene la dirección definida por los vectores independientes 𝑢⃑ = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) y 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3)

3.1.2 Ecuación paramétrica del plano.

Los vectores 𝑢⃑ y 𝑣 admiten las siguientes ecuaciones paramétricas de coordenadas:

𝒙𝟏= 𝒑𝟏+ 𝒌𝒖𝟏+ 𝒕𝒗𝟏

𝒙_𝟐= 𝒑_𝟐+ 𝒌𝒖_𝟐+ 𝒕𝒗_𝟐

𝒙_𝟑= 𝒑_𝟑+ 𝒌𝒖_𝟑+ 𝒕𝒗_𝟑

Para los k, t Є R

3.1.3 Ecuación vectorial general del plano.

Supongamos que un plano P pasa por el punto 𝑢⃑⃑⃑⃑ = (𝑥0 0, 𝑦0, 𝑧0) y es ortogonal al vector

𝑛⃑ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) es decir, 𝑛⃑ es perpendicular a toda línea recta contenida en el plano P. Sea

𝑢⃑ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto cualquiera del plano P. Entonces 𝑛⃑ es perpendicular al segmento

que une a los puntos 𝑢⃑⃑⃑⃑ ₀ y 𝑢⃑ ; es decir, 𝑛⃑ es perpendicular a (𝑢⃑ − 𝑢⃑⃑⃑⃑ ₀). Por lo tanto, 𝑛⃑ •

(𝑢⃑ − 𝑢⃑⃑⃑⃑ ) = 00 y, por ende,

𝑎(𝑥 − 𝑥₀) + 𝑏(𝑦 − 𝑦₀) + 𝑐(𝑧 − 𝑧₀) = 0

es la ecuación que determina el lugar geométrico correspondiente al plano P. Esto significa que todo punto (x, y, z) que pertenece al plano P satisface la ecuación

51

29 Figura 29. Plano P que pasa por el punto 𝑢⃑⃑⃑⃑ ₀. Por Del Valle, 2011

La ecuación 𝑎(𝑥 − 𝑥₀) + 𝑏(𝑦 − 𝑦₀) + 𝑐(𝑧 − 𝑧₀) = 0 es equivalente a 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑

donde 𝑑 = 𝑎𝑥₀ + 𝑏𝑦₀+ 𝑐𝑧₀

Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial del plano que es ortogonal al vector 𝑛⃑ = (−1, 2, 4) y pasa por el punto 𝑢⃑ = (2, 1, 1).

(−1)(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 1) + 4(𝑧 − 1) = 0

que equivale a

−𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 4

3.2 Planos paralelos y ortogonales

“Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto

52

30 Figura 30. Planos paralelos. Por Grossman 2012

“Dos planos son ortogonales si sus vectores normales son ortogonales, es decir, si el

producto escalar de sus vectores normales es cero, ver figura 31” (Grossman, 2012, p. 274).

53 3.3 Ecuación biplanar de la recta

Dos planos no paralelos 𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0 y 𝜋2: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0 determinan al cortarse una recta en R3 que queda expresada por el sistema de ecuaciones

lineales:

r : 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0

32 Figura 32. Plano 𝜋1y 𝜋2. Elaboración propia.

3.4 Intersección entre recta y plano

Para obtener la intersección entre la recta L1: (x, y, z) = P + tv y el plano 𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 +

𝑐1𝑧 = 𝑑1, despejamos x, y, z en la ecuación de la recta y reemplazamos este despeje en la

ecuación del plano. Resolvemos para t, si la solución es única, con este valor de t

54

que la ecuación en t, puede también tener infinitas soluciones (si la recta está en el plano) o no tener solución (si no hay intersección). (Mesa, 2012, p. 27)

33 Figura 33. Intersección recta y plano. Elaboración propia

Ejemplo: Encuentra el punto de intersección entre el plano 𝜋 ∶ 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −7 y la recta L: (x, y, z) = (1, 2, 0) + t(2, -1, -3).

Solución:

x = 1 +2t y = 2 - t

z = - 3t reemplazamos en la ecuación del plano

1 + 2𝑡 − 3(2 − 𝑡) + 2(−3𝑡) = −7

1 + 2𝑡 − 6 + 3𝑡 − 6𝑡 = −7

55 por consiguiente, el punto de intersección (5, 0, -6). 3.5 Distancia de un punto a un plano

Esta distancia se calcula como la longitud ortogonal del punto al plano, por esta razón obtenemos fórmulas que tienen que ver con proyección ortogonal (Mesa, 2012).

Sea π un plano con vector normal 𝑛⃑ , que contiene al punto P (ver figura 34).

La distancia d(Q, π) es

𝑑(𝑄, 𝑛⃑ ) = |𝑃𝑟𝑜𝑦𝑛⃑ 𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑ | =

|(𝑄 − 𝑃). 𝑛⃑ | |𝑛⃑ |

34 Figura 34. Plano π y la distancia de Q hasta P. Por Mesa, 2012

Demostración:

Sea 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 la ecuación de un plano y 𝑃 = ( 𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) un punto que no está en el

56

𝑑𝑖𝑠 = |𝑎𝑥0+ 𝑏𝑦0+ 𝑐𝑧0+ 𝑑|

√𝑎2_{+ 𝑏}2_{+ 𝑐}2

35 Figura 35. Plano π y P que no pertenece al plano. Por mesa 2012.

Por definición tenemos que:

𝑑𝑖𝑠 = |𝑃𝑟𝑜𝑦𝑛⃑ 𝑆𝑃⃑⃑⃑⃑ | =

|𝑆𝑃⃑⃑⃑⃑ . 𝑛⃑ |

|𝑛⃑ |

𝑆𝑃

⃑⃑⃑⃑ = 𝑃 − 𝑆 = (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) − (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥₀− 𝑥, 𝑦₀ − 𝑦, 𝑧₀− 𝑧)

𝑆𝑃

⃑⃑⃑⃑ • 𝑛⃑ = (𝑥₀− 𝑥, 𝑦0− 𝑦, 𝑧0− 𝑧) • (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎(𝑥0− 𝑥) + 𝑏( 𝑦0− 𝑦) + 𝑐(𝑧0− 𝑧)

= 𝑎𝑥0− 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦0 − 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧0− 𝑐𝑧 = 𝑎𝑥0+ 𝑏𝑦0+ 𝑐𝑧0+ 𝑑

donde d= -ax – bx – cz,

|𝑛⃑ | = √𝑎2 _{+ 𝑏}2_{+ 𝑐}2

luego se tiene la fórmula

𝑑𝑖𝑠 = |𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|

57 3.6 Ángulo entre recta y plano

Dados el plano π y la recta r que corta dicho plano, trazamos el vector director 𝑣 de la

recta r y el vector normal 𝑛⃑ del plano π como se muestra en la figura 36.

36 Figura 36. Plano π y la recta r. Elaboración propia.

Observamos que el ángulo que necesitamos es α, y β es el ángulo formado por los vectores

𝑛⃑ 𝑦 𝑣 , ambos ángulos son complementarios.

Si

𝑣 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧)

𝑛⃑ = (𝐴, 𝐵, 𝐶)

por definición del ángulo que forman dos vectores,

𝑐𝑜𝑠𝛽 = |𝑣 • 𝑛⃑ |

|𝑣 | • |𝑛⃑ |=

|(𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦, 𝑣_𝑧) • (𝐴, 𝐵, 𝐶)|

√𝑣𝑥2+ 𝑣𝑦2+ 𝑣𝑧2 • √𝐴2+ 𝐵2+ 𝐶2

58 3.7 Ángulo entre dos planos

“El ángulo entre dos planos está definido como el ángulo agudo formado entre sus

vectores normales” (Grossman, 2012, p. 274).

Dados los planos 𝜋₁ 𝑦 𝜋₂ con los vectores normales 𝑛⃑⃑⃑⃑ 𝑦 𝑛₁ ⃑⃑⃑⃑ ₂respectivamente, y el ángulo α formado por los vectores normales como se presenta en la figura 37.

37 Figura 37. Ángulo α formado por los planos 𝜋1 𝑦 𝜋2. Elaboración propia

Tenemos que

𝑛₁

⃑⃑⃑⃑ • 𝑛⃑⃑⃑⃑ = |𝑛₂ ⃑⃑⃑⃑ ||𝑛₁ ⃑⃑⃑⃑ | 𝑐𝑜𝑠𝜃₂

𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝑛⃑ 1• 𝑛⃑ 2

|𝑛⃑⃑⃑⃑ ||𝑛1 ⃑⃑⃑⃑ |2

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 𝑛⃑ 1• 𝑛⃑ 2

59 Ejemplo: Encuentre el ángulo entre los planos:

-8x – 6y + 2z = 1 → 𝑛⃑⃑⃑⃑ = (−8, −6, 2)1 z = 4x+ 3y → 𝑛⃑⃑⃑⃑ = (4, 3, −1) 2

hallamos la magnitud del vector normal

|𝑛⃑⃑⃑⃑ | = √64 + 36 + 4₁ = √104

|𝑛⃑⃑⃑⃑ | = √16 + 9 + 1 = √26₂

luego hallamos el producto escalar

𝑛₁

⃑⃑⃑⃑ • 𝑛⃑⃑⃑⃑ = −32 − 18 − 2 = −52₂

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 −52

√104√26

60 CAPÍTULO IV PLANOS VECTORIALES

4.1 Propiedades de los espacios vectoriales en la educación secundaria

Los conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio) cuentan con diversas propiedades peculiares. Se puede sumar dos vectores en R2 y obtener otro vector en R2, entonces x + 0 = x y x + (-x) = 0. Se puede multiplicar vectores en R2 por escalares y obtener las leyes distributivas. En R3 se cumplen las mismas propiedades.

Los conjuntos R2 y R3 junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar se denominan espacios vectoriales (Grossman, 2012, p. 208).

61 4.1.1 Axiomas de un espacio vectorial.

1. Si m Є V y n Є V, entonces m + n Є V

(cerradura bajo la suma) 2. Para todo m, n, y p en V, (m + n) + p= m + (n + p)

(ley asociativa de la suma de vectores) 3. Tenemos un vector 0 Є V así para todo m Є V, m + 0 = 0 + m = m

(el 0 se denomina vector cero o idéntico aditivo) 4. Si m Є V, existe un vector –m Є V tal que m + (-m) = 0

(-m se denomia inverso aditivo de x) 5. Si m y n están en V, entonces m + n = n + m

(ley conmutativa de la suma de vectores) 6. Si m y n están en V y β es un escalar, entonces βm Є V

(cerradura bajo la multiplicación por un escalar) 7. Si m y n están en V y β es un escalar, entonces β (m + n) = βm + βn

(primera ley distributiva) 8. Si m está en V y β y θ son escalares, entonces(β + θ) m = βm + θm

(segunda ley distributiva) 9. Si m está en V y β y θ son escalares, entonces β (θm) = (βθ)m

62

63

UNIVERSISAD NACIONAL DE EDUCACIÓN ENRIQUE GUZMÁN Y VALLE

FACULTAD DE CIENCIAS

1. DATOS INFORMATIVOS

Facultad : Ciencias

Especialidad : Matemática

Promoción : 2010

Números de Alumnos : -

Profesora : Flores Avalos, Leslie

2. PRECISIÓN DEL LUGAR Y TIEMPO

Lugar :

Día : 3 de julio de 2018

Hora : 08:30 a. m.

Duración : 45 minutos

3. DETERMINACIÓN DEL TEMA

Nombre de la Actividad : Conociendo los vectores y sus elementos

Unidad Didáctica : I Unidad

64

4. COMPETENCIA Y DESEMPEÑOS

Competencia

Explica el mundo físico basándose en conocimientos sobre los seres vivos, materia y energía, biodiversidad, tierra y universo.

Desempeños

Explica la interpretación gráfica de un vector en dos dimensiones. Efectuar las operaciones suma y resta del vector adecuadamente.

5. MOMENTOS DEL APRENDIZAJE

INICIO CONSTRUCCIÓN TRANSFERENCIA

Actividad 1

Se entrega a cada grupo de estudiantes una imagen de un circuito de carreas y pediremos a los

estudiantes que dibujen la trayectoria que le parece más beneficiosa para ganar la carrera.

A partir de esta idea

definimos un vector y sus elementos.

Los estudiantes conocen las diferentes nomenclaturas de un vector; en letras negritas, indicando el punto de inicio y final con una flecha arriba o letras minúsculas con una flecha arriba.

¿Qué aprendí hoy? ¿Tuve alguna dificultad?

¿Qué aspecto del tema no entendí?

65 Luego los

estudiantes responden a las siguientes preguntas: 1. ¿Qué tomaste en

cuenta para que tu trayectoria te ayude a ganar la carrera?

2. ¿En una carrera solo es importante ir a mayor

velocidad?

Se grafica un plano en R2 en la pizarra y se invita a los estudiantes a tomar un papelito a modo de sorteo y graficar el vector que está escrito en el papelito.

Los estudiantes observan el siguiente video para relacionar los conceptos que va adquiriendo con la vida diaria.

https://www.youtube.com/watch?v=

UGzZiZsH1Pk

Finalmente, en el laboratorio de computación los estudiantes usando el programa geogebra grafican nuevos vectores. Actividad 2

Los estudiantes salen del aula y se dirigen

Los estudiantes observan una imagen en un PPT e identifican las magnitudes vectoriales que

66 al patio para realizar el

juego de la soga. Se dividen en dos grupos y deberán tirar de un lado de la soga hasta hacer pasar al otro equipo por la línea roja dibujada en el piso.

Luego de esta actividad los estudiantes responden a la siguiente pregunta.

3. ¿Qué usaste para jalar la soga? 4. ¿Qué tipo de magnitud es la fuerza?

5. ¿Qué hubiera pasado si dos integrantes de un

representa y la operación que se da entre ellas.

Mediante la explicación de la profesora los estudiantes logran identificar al vector resultante en el plano R2_.

La profesora explica un nuevo método para hallar la suma de 2 vectores, graficando un

paralelogramo. Y para sumar más de dos vectores tenemos el método del polígono.

Los estudiantes aplican el método del paralelogramo y del polígono usando geogebra.

¿Qué aspecto del tema no entendí?

67 grupo se pasaban

al otro equipo?

Finalmente, los estudiantes aplican los métodos resolviendo ejercicios propuestos.

6. EVALUACIÓN

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN Lista de cotejo

Ficha de evaluación

7. BIBLIOGRAFÍA

68 SÍNTESIS

Al finalizar la elaboración de este trabajo monográfico, llego a las siguientes conclusiones: 1. El cálculo vectorial permite una percepción más clara de las situaciones físicas, bajo

los ojos de la matemática.

2. El álgebra, geometría y trigonometría están estrechamente ligados al cálculo vectorial, de tal manera que es preciso tenerlos presente como prerrequisitos.

3. El vector es un ente matemático que se caracteriza por ser más completo al tener distintos elementos que lo conforman.

4. Se puede denotar un vector usando letras minúsculas en negrita o las letras mayúsculas que representan su punto de inicio y punto final, con una flecha arriba, del mismo modo con letras minúsculas, pero no en negrita esto se utiliza sobre todo al denotar vectores de forma manual.

5. Un vector en R2 es un segmento de recta dirigido desde el origen de un punto de coordenadas (a, b) que se denominan componentes de x y y respectivamente. 6. La suma de dos vectores continuos es el vector que une el punto inicial del primer

vector y el punto final del segundo vector.

7. Un escalar es un número real. La multiplicación de un vector por un escalar da como resultado un escalar, es decir, un número real.

69

9. La magnitud o norma de un vector en R2 _{o R}3 _{dará como resultado un escalar.} 10. La magnitud o norma de un vector se halla aceptando el teorema de Pitágoras en un

triángulo formado por las componentes del vector.

11. Para hallar el producto escalar tenemos dos formas: para la primera es necesario la medida de un ángulo formado por los vectores; y para la segunda, depende solo de las componentes del vector; esto gracias a la Ley de cosenos.

12. Si un vector1 es el resultado de multiplicar un vector2 por un real, entonces ambos vectores son paralelos.

13. Al tomar el ángulo entre dos vectores, se debe satisfacer ángulo 0 ≤ θ ≤ π.

14. El producto vectorial o producto cruz solo se da en R3, y da como resultado un vector. 15. El triple producto escalar siempre da como resultado un escalar, es decir, solo tiene

magnitud y no sentido o dirección.

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APRECIACIÓN CRÍTICA Y SUGERENCIAS

El estudio del cálculo vectorial en la educación secundaria, como en los primeros años de estudio superior, brinda conocimientos esenciales para complementar y seguir adquiriendo nuevos conocimientos; sin embargo, es necesario dar mi apreciación crítica al desarrollo del trabajo monográfico:

1. Los docentes deben asegurarse de que sus estudiantes tengan los conocimientos previos necesarios para abordar el tema de cálculo vectorial y, de esta manera, facilitar la adquisición el conocimiento sin dificultades.

2. Los docentes deben aplicar la interdisciplinariedad al abordar este tipo de temas que, el parecer, son abstractos en su totalidad; pero en realidad parten de situaciones cotidianas que el estudiante debe conocer y experimentar.

3. El uso de la tecnología en la educación cada vez gana más terreno. Temas como vectores caen como anillo al dedo a diversos softwares que permiten graficar rectas, planos y vectores con dos y tres dimensiones. El docente debe incluir dentro de su sesión de clase un espacio exclusivo para la gráfica de vectores, rectas y planos usando estos softwares, pues utilizar solo la perspectiva al graficar en un cuaderno ya no es suficiente. Estas herramientas nos ayudan a brindarle a nuestros estudiantes una visión mucho más clara, sobre todo en los gráficos de tres dimensiones.

71 BIBLIOGRAFÍA

Ayres F. y Mendelson E. (2010). Cálculo (6a. ed.). México D.F: McGraw-Hill Interamericana

Barrera, F. (2014). Álgebra lineal. Grupo Editorial Patria.

Burgos, J. (2013). Álgebra lineal y geometría cartesiana (3a. ed.).España: McGraw-Hill. Grossman, S. (2008). Álgebra lineal (6ª. Ed.). México D.F.: McGraw-Hill Interamericana.

Kong, M. (2001). Cálculo diferencial. Lima, Perú: PUCP. Fondo editorial.

Mesa, F. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, Colombia: ECOE Editores.

Tortosa, L. y Vicent, J. (2012). Geometría moderna para Ingeniería. Editorial ECU.

73 Anexo 2 : www.geogebra.org

74 Anexo 4: Lista de cotejo

Nombres y apellidos

75 Anexo 5: Ficha de aplicación

1. Hallar el valor de la resultante del grupo de vectores mostrados.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 0

2. ¿Cuál es el valor de la resultante? Los vectores están colocados en un rectángulo.

a) 12

b) 16

c) 6

d) 8

e) 20

3. En la figura: |C|20 y |D|40, determinar su resultante.

a) 20

b) 20 3

c) 20 5

d) 20 7

FICHA DE APLICACIÓN

NOMBRE Y APELLIDO………GRADO Y SECCIÓN: …………. ÁREA: ………. DOCENTE: Leslie Flores Avalos FECHA: ………

0

8

6

80°