CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 1
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
1. Ecuaciones de la recta en el espacio 2. Ecuaciones del plano
3. Haz de planos
4. Posiciones relativas de dos planos 5. Posiciones relativas de tres planos
6. Posiciones relativas de una recta y un plano 7. Posiciones relativas de dos rectas
1. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Una recta queda determinada por un punto y un vector director (vector con la misma dirección que la recta)
( , , ) ) , , ( 3 2 1 3 2 1 u u u u a a a A r
A) ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
a
a
a
t
u
u
u
t
z
y
x
r
:
(
,
,
)
(
1,
2,
3)
(
1,
2,
3),
EJEMPLO: t t z y x r u A r :( , , ) ( 1,2,3) (2,1,1), ) 1 , 1 , 2 ( ) 3 , 2 , 1 ( B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
t u a z t u a y t u a x r 3 3 2 2 1 1 : , t EJEMPLO: t z t y t x r u A r 3 2 2 1 : ) 1 , 1 , 2 ( ) 3 , 2 , 1 ( , t
C) ECUACIONES CONTINUAS DE LA RECTA
Despejando e igualando t en las ecuaciones paramétricas se tiene:
3 3 2 2 1 1
u
a
z
u
a
y
u
a
x
EJEMPLO: 1 3 1 2 2 1 : ) 1 , 1 , 2 ( ) 3 , 2 , 1 ( x y z r u A r D) ECUACIONES IMPLÍCITAS DE LA RECTA
Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
0 0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A r
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 2 Si en las ecuaciones continuas de la recta escogemos dos de las igualdades, quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos las ecuaciones
implícitas. EJEMPLO: 0 1 3 2 1 3 1 2 0 5 2 4 2 1 1 2 2 1 1 3 1 2 2 1 : ) 1 , 1 , 2 ( ) 3 , 2 , 1 ( z y z y z y y x y x y x z y x r u A r
Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta, a partir de las ecuaciones implícitas, se resuelve el sistema por Gauss, como sólo hay dos ecuaciones y tres incógnitas, quedará en función de “t”
2. ECUACIONES DEL PLANO Un plano queda determinado por:
- un punto y dos vectores directores (vectores paralelos al plano)
) , , ( ) , , ( ) , , ( : 3 2 1 3 2 1 3 2 1 v v v v u u u u a a a A
- un punto y un vector normal (vector perpendicular al plano)
( , , ) ) , , ( : 3 2 1 3 2 1 n n n n a a a A
El vector normal se puede obtener como producto vectorial de los vectores directores:
3 2 1 3 2 1 v v v u u u k j i v u n A) ECUACIÓN VECTORIAL
, ,
( , , ) ( , , ) ( , , ) : x y z a1 a2 a3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
, , EJEMPO:
) 1 , 1 , 1 ( ) 3 , 0 , 2 ( ) 4 , 3 , 1 ( , , : ) 1 , 1 , 1 ( ) 3 , 0 , 2 ( 4 , 3 , 1 : x y z v u A , ,B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO
3 3 3 2 2 2 1 1 1 : v u a z v u a y v u a x , ,
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 3 EJEMPO:
3 4 3 1 2 1 : ) 1 , 1 , 1 ( ) 3 , 0 , 2 ( 4 , 3 , 1 : z y x v u A , ,C) ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DEL PLANO
( , , ) ) , , ( : 3 2 1 3 2 1 n n n n a a a A AxByCzD0
A, B y C son las coordenadas del vector normal, y D se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto.
EJEMPO:
1,3,4
3( 1) 5 3 2 4 0 3 15 8 0 10 0 2 5 3 : 2 , 5 , 3 1 1 0 2 , 1 1 3 2 , 1 1 3 0 1 1 1 3 0 2 ) 1 , 1 , 1 ( ) 3 , 0 , 2 ( 4 , 3 , 1 : D D D A D z y x k j i n v u A 0 10 2 5 3 : x y zPara obtener las ecuaciones paramétricas del plano, a partir de la ecuación implícita, se resuelve el sistema por Gauss, como sólo hay una ecuación y tres incógnitas, quedará en función de dos parámetros.
3. HAZ DE PLANOS
HAZ DE PLANOS PARALELOS
Todos los planos paralelos a uno dado tienen el mismo vector normal, por tanto, en la ecuación general solo cambia D. La ecuación del haz de planos será de la forma:
By Cz k k Ax 0,
HAZ DE PLANOS QUE PASAN POR UNA RECTA
Se llama haz de planos de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r.
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 4 Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:
0 0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A r
la ecuación del haz de planos de eje r nieve dada por la igualdad:
A1xB1yC1zD1
A2xB2yC2zD2
0
Si dividimos por λ y, la ecuación del haz resulta:
A1xB1yC1zD1
k
A2xB2yC2zD2
0 EJEMPLOHallar en la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, −3) y pertenece al haz de planos de eje en la recta:
0 2 3 2 0 9 3 2 : z y x z y x r Haz de planos:
2x3yz9
k
x2y3z2
0Sustituyendo las coordenadas del punto (3, 2, −3), obtenemos el valor de k que le corresponde a ese plano:
6639
k
3492
066k 0k 1 El plano será:
2x3yz9
1x2y3z2
0x5y2z704. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Los planos se expresan en forma general:
0 0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 5 5. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Los planos se expresan en forma general:
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 : D z C y B x A D z C y B x A D z C y B x A
Y se estudian las posibles soluciones del sistema de ecuaciones que forman. Sean:
3 3 3 2 2 2 1 1 1 C B A C B A C B A A Y 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 * D C B A D C B A D C B A A CASOS:
1. rgA = rgA* =3 (COMPATIBLE DETERMINADO)
Planos secantes en un punto (El punto se puede calcular resolviendo el sistema)
2. rgA = 2, rgA* =3 (INCOMPATIBLE) 2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 6 3. rgA = rgA* =2 (COMPATIBLE INDETERMINADO)
3.1 Planos secantes y distintos
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante
Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 4. rgA = 1, rgA* =2 (INCOMPATIBLE)
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes
Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 5. rgA = rgA* =1 (COMPATIBLE INDETERMINADO)
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 7 6. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO
La ecuación del plano debe venir dada en forma implícita, mientras que la recta tiene dos posibilidades:
1. LA RECTA VIENE DEFINIDA EN FORMA IMPLÍCITA (por dos planos secantes) Sea la recta: 0 0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A r y el plano : AxByCzD0.
Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A D z C y B x A Sean 3 3 3 2 2 2 1 1 1 C B A C B A C B A A Y 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 * D C B A D C B A D C B A A
TEN EN CUENTA QUE AL SER LAS ECUACIONES DE LA RECTA DOS PLANOS SECANTES, LOS RANGOS NO PUEDEN SER MENOR QUE DOS CASOS:
1.1 Si rgA = rgA* = 3, el sistema es compatible determinado, la recta corta al plano en un punto, que se puede calcular resolviendo el sistema (SECANTES)
1.2 Si 3 * 2 rgA rgA
sistema incompatible, no tienen puntos en común, PARALELOS
1.3 Si rgA = rgA* = 2, compatible indeterminado, infinitos puntos en común, la recta está CONTENIDA en el plano (no se puede decir que coincidan) 2. LA RECTA VIENE DEFINIDA POR UN PUNTO Y UN VECTOR
Sea una recta
( , , ) ) , , ( 3 2 1 3 2 1 u u u u a a a A
r y un plano : AxByCzD0, cuyo rector normal es n
A,B,C
.CASOS:
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 8 1.1 Si u n 0, SECANTES
1.2 Si u n 0, sustituyo el punto de la recta en el plano, y si no verifica la ecuación, PARALELOS
1.3 Si u n 0, sustituyo el punto de la recta en el plano, y si sí verifica la ecuación, RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Rectas de las que conocemos un punto y el vector director.
Si la recta r viene determinada por
( , , ) ) , , ( 3 2 1 3 2 1 u u u u a a a A r y la recta s por ( , , ) ) , , ( 3 2 1 3 2 1 v v v v b b b B s ,
La posición relativa de r y s viene dada por la posición de u, v y AB . Empezamos por estudiar el rango de las matrices:
3 3 2 2 1 1 v u v u v u A y 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 * a b v u a b v u a b v u A CASOS I. si rgA* = 3, 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b v u a b v u a b v u
los tres vectores son linealmente
independientes, no están en el mismo plano, por tanto las rectas se CRUZAN (no son paralelas, pero no están el mismo plano). Se dice que las rectas NO SON COPLANARIAS
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 9 II. Si 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b v u a b v u a b v u
los tres vectores son linealmente dependientes, están
en el mismo plano, por tanto las rectas SON COPLANARIAS. Tendremos tres posibilidades:
II.1. Si rgA = 2, u, v no son proporcionales pero las rectas están en el mismo plano SECANTES
II.2. Si rgA = rgA* = 1, los tres vectores son paralelos, las rectas COINCIDEN
II.3 Si rgA = 1 (u, v son paralelos ) y rgA* = 2 (
AB no es paralelo a ellos), rectas PARALELAS
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 10 A. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Los planos se expresan en forma general:
0 0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A
SECANTES PARALELOS COINCIDEN
B. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Los planos se expresan en forma general:
3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 : D z C y B x A D z C y B x A D z C y B x A CASOS:
1. rgA = rgA* =3 (COMPATIBLE DETERMINADO): Secantes en un punto
2. rgA = 2, rgA* =3 (INCOMPATIBLE) 2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante
Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 3. rgA = rgA* =2 (COMPATIBLE INDETERMINADO)
3.1 Planos secantes en una misma recta
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante (en una recta)
Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 4. rgA = 1, rgA* =2 (INCOMPATIBLE)
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos 4.2 Planos paralelos y dos coincidentes
Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 5. rgA = rgA* =1 (COMPATIBLE INDETERMINADO) Los tres planos coinciden
C. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO
Sea la recta: 0 0 : 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A r y el plano : AxByCzD0. CASOS:
2.1 Si rgA = rgA* = 3, el sistema es compatible determinado, la recta corta al plano en un punto, que se puede calcular resolviendo el sistema (SECANTES)
2.2 Si 3 * 2 rgA rgA
sistema incompatible, no tienen puntos en común, PARALELOS
2.3 Si rgA = rgA* = 2, compatible indeterminado, infinitos puntos en común, la recta está CONTENIDA en el plano (no se puede decir que coincidan)
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas 11 D. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Rectas de las que conocemos un punto y el vector director.
Si la recta r viene determinada por
( , , ) ) , , ( 3 2 1 3 2 1 u u u u a a a A r y la recta s por ( , , ) ) , , ( 3 2 1 3 2 1 v v v v b b b B s ,
La posición relativa de r y s viene dada por la posición de u, v y AB . Empezamos por estudiar el rango de las matrices:
3 3 2 2 1 1 v u v u v u A y 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 * a b v u a b v u a b v u A CASOS I. Si rgA* = 3, 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b v u a b v u a b v u
los tres vectores son linealmente
independientes, no están en el mismo plano, por tanto las rectas se CRUZAN
II. Si rgA* < 3 0 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 a b v u a b v u a b v u
los tres vectores son linealmente dependientes,
están en el mismo plano, por tanto las rectas SON COPLANARIAS. Tendremos tres posibilidades:
II.1. Si rgA = rgA* = 2 SECANTES II.2. Si rgA = rgA* = 1 COINCIDEN II.3 Si rgA = 1 y = rgA* = 2 PARALELAS
