EPJA 7714 ECE MODULO 2 DE MATEMATICA

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EPJA 7714 ECE

MODULO 2

DE MATEMATICA

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Números Fraccionarios

Números Fraccionarios son aquellos que se encuentran entre dos números enteros El numerador indica la cantidad de partes

afectadas

Mientras que el denominador indica la cantidad de partes en la que se dividió la unidad

La forma oral de llamar a los denominadores de una fracción es la siguiente: Del 1 al 12 nombres particulares y desde el 13 en adelante la extensión AVOS

1 2 2 3 1 4 2 5 3 6 1 7 5 8 un medio dos tercios un cuarto dos quintos tres sextos un séptimo cinco octavos 1 9 1 10 6 11 3 12 un noveno un décimo seis undécimos tres duodécimos 1 13 1 14 8 26 15 70 un trece avos un catorce avos ocho veintiséis avos quince setenta avos

Las fracciones en la recta numérica:

Las fracciones como cualquier otro número ocupan un lugar en la recta numérica, una manera de poder ubicarlas es dividiendo la unidad en partes iguales, de acuerdo al denominador y contar los segmentos.

Si quisiera ubicar el número 𝟑

𝟓 tendría que dividir la unidad en 5 partes y tomaría solo 3, allí

ubicaría

(3)

2 Si quisiera ubicar el número −𝟏𝟐 una fracción negativa, tendría que dividir la unidad en 2 partes, seleccionaría solo 1, pero hacia la izquierda del cero.

Al observar en cuantas partes se ha divido la unidad, establecemos el denominador de la fracción y la cantidad de partes seleccionadas determina el numerador.

Un entero dividido en 2 partes 𝟏 𝟐 Un entero dividido en 5 partes 𝟏 𝟓 Un entero dividido en 6 partes 𝟒 𝟔 Un entero dividido en 8 partes 𝟐 𝟖 Un entero dividido en 3 partes 𝟐 𝟑

Relación de Orden de números fraccionarios con igual denominador

Ésta relación nos permite establecer cuando una fracción es menor (<), igual(=) o mayor(>) que otra.

Siempre en relación al número de la IZQUIERDA.

Si la fracción es positiva:

A igual denominador será mayor la fracción que tenga el numerador más grande, porque se encontrará más lejos del cero (0).

Dividiendo las unidades en 8 partes menor (<), igual(=) o mayor(>) 2 8 3 8 5 8 2 8< 3 8< 5 8

(4)

3

Si la fracción es negativa:

A igual denominador será mayor la fracción que tenga el numerador más pequeño, porque se encontrará más cerca del cero (0).

Dividiendo las unidades en 8 partes mayor(>)

−2 8 − 3 8 − 5 8 − 2 8> − 3 8 > − 5 8

Números Mixtos

Cuando el numerador es mayor que su denominador la fracción se convierte en un número mixto. Los Números Mixtos son aquellos compuestos por un número entero más una fracción.

𝟓 𝟑

=

1

𝟐 𝟑

Representa 1 entero + 2 partes de un entero dividido en 3 partes

Si el número mixto (

𝟏

𝟑

𝟖

) es representado con un gráfico de torta, observamos que cada círculo

está dividido en ocho porciones iguales, cada porción representa 1/8 del total.

En el primer círculo se tiene la totalidad de las partes ( 8/8 ) lo que constituye la unidad, es decir 1.

En el segundo círculo tenemos 3 porciones ( 3/8 ).

8 8+ 3 8 = 11 8 1 + 3 8= 1 3 8

fracción Reconocer la ubicación en la recta numérica y representarla

(5)

4 7 5 1 2 5 7 𝑉𝐸𝐶𝐸𝑆 1 5 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5= 5 5= 1 1 5+ 1 5= 2 5 1 + 2 5= 1 2 5 9 5 1 4 5 9 𝑉𝐸𝐶𝐸𝑆 1 5 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5= 5 5= 1 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5= 4 5 1 + 4 5= 1 4 5 11 5 2 1 5 11 𝑉𝐸𝐶𝐸𝑆 1 5 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5= 5 5= 1 + 1 5 2 1 5 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5+ 1 5= 5 5= 1

Fracciones Equivalentes

Dos fracciones se llaman equivalentes cuando ambas representan la misma cantidad.

Para obtener fracciones equivalentes podemos multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

Quiere decir que, si el rectángulo es la unidad o “el entero”, las fracciones sombreadas, que ocupan un mismo espacio, representan lo mismo por lo tanto son equivalentes.

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5 3 4 = 6 8 = 9 12 3 4 ∙ 2 2= 6 8 3 4 ∙ 3 3= 9 12

Relación de Orden de números fraccionarios con denominadores diferentes

Para comparar fracciones debemos reducirlas a fracciones equivalentes con el mismo denominador. Si la fracción es positiva:

Si debemos comparar fracciones positivas con denominadores diferentes

1 3 y

4 6 Llevamos la primer fracción para igualar el denominador de la segunda

creando una fracción equivalente.

Multiplicando por 2 el numerador y el denominador

1 3

2 2

Una fracción equivalente es necesaria para poder compararla con otra. 2 6=

1 3 Al estar igualado el denominador establecemos que la primer fracción al

tener un nominador más pequeño que la segunda es menor ya que está más cerca del 0

2 6

<

4 6

(7)

6

Si la fracción es negativa:

Si debemos comparar fracciones negativas con denominadores

diferentes −

1 3 y −

4 6 Llevamos la primer fracción para igualar el denominador de la segunda

creando una fracción equivalente.

Multiplicando por 2 el numerador y el denominador

13

2 2

Una fracción equivalente es necesaria para poder compararla con otra.

2

6

= −

1 3

al estar igualado el denominador establecemos que la primer fracción es mayor al tener un nominador más pequeño que la segunda y estar más cerca del 0

2 6

> −

4 6

Simplificar Fracciones

El concepto de simplificar atiende al logro de que todo se convierta en algo más simple es decir menos complejo, difícil o complicado.

El proceso de simplificar se logra al dividir el nominador y el denominador por un mismo número siempre que el resultado sea exacto.

Cuando se llega a una fracción que no se puede simplificar más, se dice es una fracción irreducible. 9 12 = 3 4 9 12∶ 3 3= 3 4 9 12 = 3 4

Simplificar por múltiplos de 10:

Todo número finalizado en 0 es divisible por 10, por 100, por 1000. 10 100= 1 10 10 100: 10 10 1 10 300 1000= 3 10 300 1000: 100 100 3 10

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7

Sumas y Restas de fracciones:

Para sumar o restar fracciones hay varios métodos. Uno de ellos es reducirlas a fracciones equivalentes con el mismo denominador y luego sumar los numeradores.

A partir del común denominador : Determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m.); dividir éste por el denominador de cada fracción y multiplicarlo por el nominador para entonces aplicar las sumas y restas correspondientes. Ejemplo

:

2 5

1 2

+

3 10

Determinamos que 10 es el (m.c.m.) ya que es el número que nos permite dividir de forma exacta los 3 denominadores

Quedando como denominador el número = 10

2 5− 1 2+ 3 10=10

Dividimos el mcm (10) por el 5 de la 1º fracción (10 : 5= 2) al resultado 2 lo multiplicamos por el nominador 2 (2 ∙ 2= 4) 2 5− 1 2+ 3 10= 4 − 10

Dividimos el mcm (10) por el 2 de la 2º fracción (10 : 2= 5) al resultado 5 lo multiplicamos por el nominador 1 (5 ∙ 1= 5) 2 5− 1 2+ 3 10= 4 − 5 + 10

Por último repetimos la operación en la 3º fracción (10 : 10= 1) al resultado 1 lo multiplicamos por el nominador 3 (1 ∙ 3= 3) 2 5− 1 2+ 3 10= 4 − 5 + 3 10 Finalmente resolvemos el numerador

4 -5 +3 = 2

Por último simplificamos hasta llegar a la fracción irreductible 2 5− 1 2+ 3 10= 4 − 5 + 3 10 = 2 10= 1 5 Denominador Común

Dado que solo se pueden sumar o restar fracciones que tengan el mismo denominador, cuando los denominadores son diferentes debemos hallar un número que nos permita dividir a todos los denominadores con resultado exacto o sea un número entero.

La primer opción para hallar un común denominador que pueda dividir todos los denominadores con resultado exacto, es la de ver si el mayor de ellos nos permite dividir exactamente todos los denominadores de la operación.

(9)

8 5 2+ 1 3+ 5 6=

El 6 divide de forma exacta los denominadores 2, 3 y 6 por lo tanto es nuestro COMÚN DENOMINADOR + + 6 = 6 : 2= 3 6 : 3= 2 6 : 6= 1

Al resultado se lo multiplica por el nominador de cada fracción

3 ∙ 5= 15 2 ∙ 1= 2 1 ∙ 5= 5 15 + 2 + 5 6 = 22 6 = 22 6 = 11 3

Cuando nuestra 1º opción no sea posible, podemos recurrir a multiplicar los denominadores asegurándonos que la operación contraria se realice satisfactoriamente.

5 2+ 1 3+ 5 9=

Multiplicamos el 2 por el 3 y por el 9, el resultado de multiplicar los denominadores nos asegura que sean divisibles entre si.

2 ∙ 3 ∙ 9 =54

El 54 divide de forma exacta los denominadores 2, 3 y 9 por lo tanto es nuestro máximo común denominador

54 : 2= 27 54 : 3= 18 54 : 9= 6

El resultado se multiplica por el nominador de cada fracción

27 ∙ 5= 54 18 ∙ 1= 18 6 ∙ 5= 30 54 2 + 18 3 + 30 9 = 102 54 Simplificamos el resultado hasta llegar a la fracción irreductible 102

54 = 51 27=

17 9

Mínimo Común Múltiple

Cuando hallar un denominador fuese muy complicado podemos factorear dichos denominadores y calcular el mínimo común múltiplo Para lograrlo seguiremos la técnica que a continuación desarrollamos.

Partiendo de cada denominador, descomponemos cada número dividiéndolo hasta llegar a 1. Comparamos los divisores teniendo en cuenta que, si se repite algún factor común, uno de los mismos se elimina, solo se tiene en cuenta uno de ellos.

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9 En éste ejemplo un 2 y dos 3 se repiten (marcados con un

círculo), se eliminan para no ser tenidos en cuenta en la multiplicación final. 1 72+ 1 90= Buscar un mcm entre 72 y 90 72 90 dividimos 72:2=36 72 2 90 2 90:2=45 36:3=12 36 3 45 3 45:3=15 12:3=4 12 3 15 3 15:3=5 4:2=2 4 2 5 5 5:5=1 2:2=1 2 2 1 1 2, 3, 3, 2, 2 2, 3, 3, 5 Comparamos los resultados

eliminando 1 de los números repetidos 2, 3, 3,

72 2, 3, 3, 2, 2

90 2, 3, 3, 5

Se toman en cuenta entonces 2, 2 2, 3, 3, 5

Se multiplican 2 ∙ 2 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5

4 90

Se multiplican los resultados 4 ∙ 90

mcm (72, 90) = 360 360

360 entonces es el número que dividido por 72 y por 90 nos dará un número exacto 360 : 72= 5 360 : 90= 4

Resolvemos la operación aplicando el denominador hallado por factoreo. Simplificamos el resultado hasta llegar a la fracción irreductible

1 72+ 1 90 = 5 + 4 360 = 9 360= 3 120= 1 40

Multiplicación de fracciones

Regla de signos

Dos números del mismo signo:

el producto es positivo

Dos números de distinto signo: el producto negativo

Los signos que preceden a las fracciones se multiplican cada 2 fracciones según la regla de signos, recordando que la ausencia de signo antes de una fracción implica que ésta sea positiva.

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10 Los numeradores se multiplican entre si

Los denominadores se multiplican entre si 1 5 ∙ 2 3 = + ∙ + = + 1 5 ∙ 2 3= + 2 15 −1 5 ∙ (− 2 3) = − ∙ − = + − 1 5 ∙ (− 2 3) = + 2 15 −1 5 ∙ 2 3= − ∙ + = − − 1 5 ∙ 2 3= − 2 15 1 5∙ (− 2 3) = + ∙ − = − 1 5∙ (− 2 3) = − 2 15

Simplificación cruzada en la multiplicación:

En una multiplicación de fracciones es posible simplificar, antes de multiplicar.

Simplificamos numeradores con denominadores de distintas fracciones, siempre y cuando la operación entre estas fracciones sea una multiplicación.

100 16 ∗ 16 200 = = 1 16∗ 16 2 = = 1 1∗ 1 2= = 1 2 Multiplicación de más de 2 fracciones

El procedimiento recomendado para resolver múltiples multiplicaciones es el siguiente:

Multiplicar la 1º fracción con la siguiente, dejando el resto de la operación para más adelante. El resultado logrado multiplicarlos por la siguiente fracción y así sucesivamente hasta terminar la operación, con el signo que finalmente resulte de todas las multiplicaciones realizadas de a pares.

Ejemplo: −1 5 ∙ 2 3 ∙ 5 2= −1 5 ∙ 2 3 ∙ 5 2= −1 5 ∙ + 2 3 ∙ 5 2= − 2 15 ∙ 5 2= − 2 15 ∙ + 5 2= −10 30

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División de fracciones

Para resolver problemas en donde aparece división de fracciones, las mismas se resuelven transformandolas en una multiplicación.

1. Para transformar la operación tenemos que invertir una de las fracciones haciendo que el denominador quede arriba (nominador) y viceversa pasando el nominador abajo como denominador.

2. Una vez invertida la segunda fracción reemplazamos el signo de división por el de multiplicación. Procediendo entonces a resolver la operación.

3. Debemos recordar que para simplificar cruzado debemos estar en la instancia de multiplicación y no antes. DIVISIÓN Invertimos la segunda fracción y cambiamos a multiplicación SIMPLIFICACIÓN CRUZADA RESOLUCIÓN (3 2) : ( 5 4) = ( 3 2) ∗ ( 4 5) = ( 3 2) ∗ ( 4 5) = ( 3 1) ∗ ( 2 5) = ( 6 5)

Operaciones combinadas

Sumas y Restas con multiplicación

Una suma combinada con una multiplicación (1

3+ 1 2) ∗

9 10 Resolvemos la operación dentro del paréntesis (2 + 3

6 ) ∗ 9 10 Eliminamos el paréntesis (5 6) ∗ 9 10 Simplificamos cruzado 5 6∗ 9 10 Simplificamos cruzado 1 6∗ 9 2 Multiplicamos 1 2∗ 3 2 Resultado 3 4

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12

Sumas y Restas con división

Una suma combinada con una división (34 +

1 2) +54 5 8

=

Resolvemos la operación dentro del paréntesis =

(3 + 24 ) +54 5 8 = Eliminamos el paréntesis = (54) + 5 4 5 8 =

Resolvemos el nominador (arriba) =

(5 + 54 ) 5 8 = (104 )5 8 = Modificamos la expresión =10 4 ∶ 5 8= Convertimos a multiplicación y Simplificamos

cruzado = 10 4 ∗ 8 5= 5 4∗ 8 1= Finalmente multiplicamos =5 1∗ 4 1= 20 1 = 20

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Potenciación

de Fracciones

Al igual que con los números enteros la potencia de números fraccionarios

representa una multiplicación reiterada∙ ( 2 3) 2 =2 3∙ 2 3= 4 9 Elevar una fracción a una potencia,

implica elevar tanto el numerador

como el denominador al exponente∙ (

2 3) 2 =22 32 = 4 9

Propiedades de las potencias de fracciones

Todo número fraccionario elevado

a potencia 0 da por resultado 1 (

1 2)

0

= 1 Todo número fraccionario elevado

a potencia 1 da por resultado la misma fracción (1 2) 1 = 1 2 El producto de fracciones elevadas

a potencia de igual base se resuelve

sumando sus exponentes∙ (

2 3) 2 ∙ (23) 3 = (23) 2+3 = (23) 5 =24332 La división de fracciones elevadas

a potencia de igual base se resuelve restando sus exponentes

(2 3) 7 : (2 3) 3 = (2 3) 7−3 = (2 3) 4 =16 81 La división de fracciones elevadas

a potencia de fracciones diferentes se resuelven invirtiendo la 2ª, multiplicando

y aplicando el exponente al resultado

(3 5) 3 : (2 3) 3 = (3 5) 3 ∙ (3 2) 3 = (9 10) 3 = 729 1000 Para resolver una potencia de

una potencia se multiplican las mismas [( 1 2) 3 ] 2 = (1 2) 6 = 1 64 El producto de potencias con el mismo

exponente, se resuelve multiplicando las fracciones y aplicando el exponente al resultado

(3 5) 3 ∙ (2 3) 3 = (6 15) 3 = 216 3375

Potencias de exponente negativo:

Exponente negativo

Recíproco del exponente

positivo Respuesta

5–3 = 4 / 53 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 =0,008

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14

10–3 = 1 / 103 1/1.000 = 0,001

La potencia de exponente negativo se resuelve como la potencia del número inverso∙ Toda potencia de signo negativo se

resuelve invirtiendo la fracción y convirtiendo el exponente en positivo

(2 3) −3 = (3 2) 3 =27 8 Para el caso de fracciones negativas

elevadas a número negativo impar,

mantiene el signo (− 2 3) −3 = (−3 2) 3 = −27 8 Para el caso de fracciones negativas

elevadas a número negativo par,

el signo se cambia a positivo (−

2 3) −2 = (−32) 2 = 278

Ejemplo en donde tenemos un solo término, para resolver primero el paréntesis y luego la potencia Resolver el paréntesis (3 2− 4 3=) 2 Aplicando el m∙ c∙ m∙ , dividir por cada dividendo y multiplicar por el nominador,

después sumar Resolución parcial (3 ∙ 3) − (2 ∙ 4) 6 = 9 − 8 6 = 1 6 La nueva fracción entonces, se

eleva a la potencia ( 1 6) 2 = 1 36

Ejemplo en donde debemos separar en términos para resolver las potencias en cada uno de ellos∙ (3 2) 2 − (4 3) 2 = 1º término Resolución parcial ( 3 2) 2 = 9 4 2º término Resolución parcial ( 4 3) 2 = 16 9

Resolver sumas y restas 9

4− 16 9 = (9 ∙ 9) − (4 ∙ 16) 36 = 81 − 64 36 = 17 36

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15 Ejemplo en donde tenemos dos términos dentro de un paréntesis elevado a una potencia∙

Reconocemos los dos

términos ( 4 5∙ 25 12− 4 9) 2

Resolvemos el primero Resolución parcial 4 5∙ 25 12= 100 60 = 5 3 Resolvemos la resta Resolución

parcial 5 3− 4 9= (3 ∙ 5) − (1 ∙ 4) 9 = 15 − 4 9 = 11 9 Resolvemos la potencia (11 9) 2 =121 81

Radicación de Fracciones

Cuando una fracción se encuentre afectada por

una radicación debemos entender que tanto el numerador como el denominador están

alcanzados por la misma

√𝟐𝟕 𝟖 𝟑 = √𝟐𝟕 𝟑 √𝟖 𝟑 = 𝟑 𝟐

Operaciones de fracciones combinadas con Raíz:

Observamos que dentro de la raíz cúbica tenemos don términos.

En 1º lugar resolvemos el paréntesis Siendo una potencia negativa invertimos la fracción y multiplicamos por el exponente Resolvemos la resta de fracciones

Encontrado el m.c.m.(mínimo común

múltiplo)=8, éste divide por cada denominador y multiplica por cada nominador

Resuelta la operación, calculamos la raíz cúbica √(𝟖 𝟑) −𝟏 − 𝟏 𝟐 𝟑 √(𝟑 𝟖) 𝟏 − 𝟏 𝟐 𝟑 √𝟑 𝟖− 𝟏 𝟐 𝟑

𝟑−𝟒 𝟖

=

𝟑

−𝟏 𝟖 𝟑

=

𝟏 𝟐

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16 Ésta es una operación que incluye 2 términos

Resolvemos cada raíz tanto en el nominador como en el denominador

Procedemos a la resta de fracciones buscando un m.c.m.(mínimo común múltiplo)= 12

Dividimos éste por cada denominador y lo multiplicamos por el nominador

Por último restamos y simplificamos

√121 144− √ 25 16 √121 √144− √25 √16 11 12− 5 4 11 − 15 12 = − 4 12= − 1 3

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