MA1 Matemàtiques 1
3r lliurament: Les fraccions
Aquesta unitat aborda el treball amb fraccions. Les fraccions formen el conjunt dels nombres racionals. Aquest conjunt és una ampliació del conjunt dels nombres enters Z estudiats a la quinzena anterior.
Al conjunt de nombres racionals se l’anomena amb la lletra Q.
Índex
1. Concepte de fracció
2. Fraccions equivalents. Fracció irreductible 3. Reducció de fraccions a comú denominador 4. Ordenació. Representació gràfica
5. Suma i resta de fraccions 6. Producte de fraccions 7. Divisió de fraccions
8. Operacions combinades. Prioritat dels operadors 9. Propietats de les operacions amb fraccions 10. Annex: solucionari
1. Concepte de fracció
Una fracció esta definida per dos nombres enters a i b i es representa per a/b o
b
a
.
El terme b rep el nom de denominador i indica en quantes parts iguals hem dividit una unitat; el terme a rep el nom de numerador i indica quantes d'aquestes parts agafem.
El denominador, b, no pot ser igual a zero.
Si parlem de 3/4 d'hora (es llegeix tres quarts d'hora) estem indicant que hem dividit una hora en 4 parts i hem agafat tres d'elles. Si parlem de 2/5 parts d'un pastís (es llegeix dues
cinquenes parts) estem indicant que hem dividit el pastís en 5 parts iguals i hem agafat dues parts.
Una gran part de les propietats de les fraccions (els nombres racionals) són una ampliació de les propietats dels nombres enters comentades al lliurament anterior.
2. Fraccions equivalents. Fracció irreductible
2.1 Fraccions equivalents
Continuant amb l'exemple anterior si dividim un pastís en 10 parts i agafem 4 o dividim el pastís en 5 parts i agafem 2 parts, el resultat que obtindrem és la mateixa proporció de pastís. Les fraccions 4/10 i 2/5 son, en principi, diferents però a nivell pràctic podem observar que defineixen un mateix valor.
Direm, en aquest cas, que les dues fraccions són equivalents i expressarem aquesta relació amb el signe igual:
5
2
10
4
Existeixen moltes fraccions equivalents a una fracció donada: 4/10, 8/20, 12/30, 16/40 són algunes de les fraccions equivalents a la fracció inicial 2/5.
...
40
16
30
12
20
8
10
4
5
2
=
=
=
=
=
Totes les fraccions de la forma
n
n
·
5
·
2
són equivalents a 2/5 on n és qualsevol nombre natural.
La propietat que caracteritza l'equivalència de dues fraccions:
d
c
b
a
=
és que el producte del numerador de la primera per el denominador de la segona (a·d) o a l'inrevés (c ·b) s'obté el mateix resultat:
a·d=c·b
En l'exemple inicial 4/10 és equivalent a 2/5 ja que 4·5 = 2· 10 = 20
2.2 Simplificació de fraccions
Simplificar una fracció és convertir-la en una altra equivalent, més senzilla. Per poder simplificar una fracció cal que el numerador i denominador tinguin algun factor en comú. Per realitzar la simplificació es divideix numerador i denominador pel mateix nombre.
Exemples:
a) La fracció 21/35 es pot simplificar ja que el numerador i el denominador són múltiples de 7:
5
3
5
7
3
7
35
21
=
⋅
⋅
=
b) La fracció 60/84 es pot simplificar perquè el numerador i el denominador tenen més d'un
factor en comú:7
5
21
15
42
30
84
60
=
=
=
la simplificació es pot realitzar de formar progressiva eliminant en cada pas un dels factors comuns, com a l'exemple anterior, o en una sola operació:
7
5
7
·
3
·
2
·
2
5
·
3
·
2
·
2
84
60
=
=
eliminant, d'un cop, tots els factors repetits. Prèviament hem fet la descomposició en factors primers del numerador i denominador per tal de poder visualitzar quins factors estaven repetits. Els factors repetits de numerador i denominador correspon al seu màxim comú divisor.
Exercicis 1:
1.1 Simplifiqueu tot el possible les següents fraccions:
a) 12/15 b) 21/49 c) 30/36 d) -33/77
e) 75/(-125) f) 39/169
1.2 Respongueu a les següents preguntes simplificant, tot el possible, el resultat:
a) Quina fracció d'hora són 20 minuts?
b) Si hem recorregut 12 km en bici d'una excursió de 18 km. Quina fracció hem fet?
c) D'un teatre de 800 localitats hem venut 640. Quina fracció de localitats representa?
d) D'un préstec de 6.500€ hem retornat ja 4.500€ . Quina fracció ens falta per retornar?
2.3 Fracció irreductible
Una fracció es diu irreductible si no es pot simplificar més. Correspon al cas en que numerador i denominador son primers entre sí.
Exemples:
Les fraccions 3/5, 21/8, -5/12 son irreductibles. Les fraccions 15/10, 6/22 i 15/21 no són irreductibles perquè es possible simplificar-les.
En el cas de fraccions irreductibles que siguin negatives el signe pot estar tant al numerador com el denominador
5
3
−
ó5
3
−
encara que és més habitual que el signe estigui al numerador o afectant tota la fracció:
5
3
−
Important!: en la resolució d'un exercici o problema de matemàtiques en que la solució és una fracció o un conjunt de fraccions, es considera habitualment que el resultat final ha d'estar en forma de fracció irreductible ja que, cas contrari, encara està pendent del procés final de simplificació.
En el càlcul amb fraccions és, generalment, molt útil realitzar també la simplificació dels resultats parcials ja que d'aquesta forma els nombres que intervenen en les operacions són més petits, els càlculs a realitzar poden ser més senzills i amb un risc d'error més reduït.
2.4 Identificació amb els nombres enters
Tal com hem vist, tot un conjunt de fraccions equivalents representen un únic nombre racional. Així les fraccions 1/2, 2/4, 3/6, 4/8,…. totes elles representen un mateix nombre racional que identifiquem habitualment per la seva fracció irreductible, en aquest cas la fracció 1/2.
Algunes d'aquestes fraccions corresponen a nombres enters. Així les fraccions 3/1, 6/2, 9/3, 12/4 …. totes elles representen un mateix nombre racional que en aquest cas identifiquem no amb la fracció 3/1 sinó directament amb el nombre 3.
De forma més general, un nombre enter n, esta associat a les fraccions n/1, 2n/2, 3n/3,4n/4,…. En aquest context observem que els nombres enters són també exemples concrets de
fraccions i que el conjunt dels nombres racionals Q és una "ampliació" del conjunt dels nombres enters Z.
3. Reducció de fraccions a comú denominador
Tal com es veurà posteriorment, per a alguna de les operacions amb fraccions és necessari que, com a pas previ, aquestes tinguin un mateix denominador: és el cas de la suma, resta i ordenació de fraccions.
Imaginem que volem sumar les fraccions 2/3 i 3/5. Serà necessari transformar-les prèviament en altres fraccions equivalents a les donades però amb un mateix denominador. Aquest procés de transformació rep el nom de "reducció a un comú denominador".
El mecanisme per fer-ho és el següent:
• Es troba el denominador comú de tots els denominadors. Aquest denominador és el mínim comú múltiple (mcm) dels denominadors de les fraccions.
• Es transforma un a un cada numerador de les fraccions de forma que cada fracció sigui equivalent a la fracció inicial i que tingui com a denominador el denominador comú calculat prèviament.
Exemple:
a)
Volem reduir les següents fraccions a un comú denominador:6
11
,15
8
i20
7
Els denominadors són 6 (= 2·3), 15 (= 3·5) i 20 (= 2·2·5). El mcm (6 , 15 , 20) = 60 format per tots els factors comuns i no comuns amb el màxim exponent (2·2·3·5).
Hem de transformar ara els numeradors:
60
?
6
11
=
Per quin factor hem multiplicat el denominador 6 per transformar-se en 60? Per 60/6 = 10. Haurem de multiplicar el numerador 11 pel mateix factor per tal de que la fracció sigui equivalent:
60
110
60
10
·
11
6
11
=
=
De forma anàloga en el segon cas (8/15) hem de multiplicar el numerador pel quocient entre el nou denominador (60) i el denominador inicial (15): 60/15=4. El resultat serà 8·4=32:
60
32
60
4
·
8
15
8
=
=
Finalment:
60
21
60
3
·
7
20
7
=
=
Les tres fraccions transformades en d’altres d’equivalents amb un mateix denominador són
60
110
,60
32
i60
21
Exercicis 2:2.1 Reduïu a un mateix denominador els següents conjunts de fraccions:
a) 1/2 i 2/3 b) 5/6 i 7/9 c) 2/15, 7/10 i 2/35 d) 5/6 i 7/12 e) 7/6, 8/15 i -7/10 f) 2/11 i 7/44
4. Ordenació de fraccions. Representació gràfica
Si tenim dues fraccions, sempre es poden comparar: una d'elles és més petita que l'altra ( i l'altra més gran que la primera).
Qualsevol fracció negativa és sempre menor que qualsevol fracció positiva.
Per comparar dues fraccions, es transformen prèviament per tal que tinguin el mateix denominador i es comparen els numeradors respectius.
7
12
7
3
<
ja que tenen el mateix denominador (7) i 3 < 12.
Si volem comparar les fraccions 3/5 i 2/3 prèviament les reduirem a un comú denominador
15
9
5
3
=
i15
10
3
2
=
Ara es factible establir-ne la comparació entre els numeradors (9 < 10) i conseqüentment:
3
2
5
3
<
Exercicis 3:
3.1Ordeneu de menor a major els següents conjunts de fraccions
a) 7/3 i 5/2 b) 2/7, 3/8 i 1/3 c) 21/11 i 23/14 d) -2/3, -3/2 i 4/5
Els nombres racionals (les fraccions) es poden representar sobre una línia recta. Si fixem un punt com a origen, una determinada longitud com a unitat, i un sentit positiu, podem assignar a cada fracció un punt sobre la recta. Aquesta representació és una ampliació de la representació gràfica dels nombres enters comentada la quinzena passada.
Així, si volem representar fraccions com 1/2, 1/3, 1/4 dividirem gràficament la unitat en 2, 3 o 4 parts per tal d'obtenir la seva representació gràfica:
è 0 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1 5/4
5. Suma i resta de fraccions
5.1 Suma i resta de fraccions amb igual denominador
La suma i resta de fraccions amb el mateix denominador és una fracció que té per numerador les sumes i restes dels numeradors i per denominador el mateix denominador.
Exemples:
a)
5
7
5
4
5
3
+
=
b)
7
4
7
2
7
6
−
=
c)
3
5
3
2
3
8
3
11
=
+
−
5.2 Suma i resta de fraccions amb diferent denominador
El càlcul de sumes i restes de fraccions que no tenen en mateix denominador és més complicat. No es pot realitzar l'operació de manera directa i requereix un pas previ per tal d'aconseguir abans que totes les fraccions tinguin un mateix denominador. Els passos per fer-ho són els següents:
1r. Es calcula el mcm dels denominadors
2n. Es redueixen les fraccions a mínim comú denominador
3r. Es fan les sumes i restes dels numeradors i s’hi deixa el mateix denominador 4r. Es simplifica la fracció resultant
Exemple:
a)
Per calcular la suma de 7/12 i 3/8 el primer pas és calcular el mínim comú múltiple dels denominadors 12 i 8:12 = 2·2·3; 8 = 2·2·2; mcm ( 12 , 8 ) = 24
El segon pas es reduir les dues fraccions al comú denominador (24) calculant els numeradors corresponents. A la primera fracció el denominador 12 s'ha convertit en 24 multiplicant per 2, caldrà multiplicar el numerador per 2 (7·2 = 14). A la segona fracció de manera anàloga el denominador 8 s'ha convertit en 24 multiplicant per 3, caldrà multiplicar el numerador per 3 (3·3 = 9). Tindrem:
24
9
24
14
8
3
12
7
+
=
+
Les fraccions són ara del mateix denominador i es pot realitzar la suma. El resultat serà el següent:
24
23
24
9
24
14
8
3
12
7
+
=
+
=
En aquest cas la fracció resultant 23/24 ja està simplificada i no es pot simplificar més.
b) Volem calcular una resta de fraccions:
72
1
18
7
−
Per obtenir el mínim comú múltiple dels denominadors:
18=2·3·3; 72=2·2·2·3·3; mcm ( 18 , 72 ) = 72
El resultat de les operacions i la simplificació de la fracció final resultant serà:
8
3
24
9
72
27
72
1
72
28
72
1
18
7
=
=
=
−
=
−
c) Volem calcular un conjunt de sumes i restes de fraccions:
60
1
60
100
60
120
60
45
60
24
3
5
2
4
3
5
2
−
+
−
=
−
+
−
=
−
Exercicis 4:4.1 Realitzeu les següents sumes i restes, simplificant el resultat:
a) 2/3 + 3/5 b) 3/2 -1 + 7/3 c) 6/11+3/55 - 7/5
d) 2/7-(1/3-1/4) e) 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 f) 2/3 - 3 - 3/2 +2
4.2 Contesteu les següents preguntes, simplificant tot el possible el resultat:
a) He caminat pel matí 1/3 de tot el recorregut i a migdia 2/5 parts. Quina fracció de tot el recorregut ja he realitzat?
b) He sembrat 1/3 d'un camp amb patates, 2/7 amb mongetes i 1/5 part amb tomàquets. Quina fracció del camp està sembrada? Quina fracció del camp està encara disponible?
c) Hem venut les 4/9 part de les entrades d'un concert per Internet i 2/5 per finestreta. Quina fracció d'entrades hem venut en total? Quina fracció resta encara per vendre?
6. Multiplicació de fraccions
El producte de fraccions és una altra fracció que té per numerador el producte dels numeradors i per denominador el producte dels denominadors. El signe de la fracció s’obté aplicant la regla del producte dels signes.
d
b
c
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=
⋅
Exemples: Els següents tres exemples indiquen com realitzar el producte i simplificar el resultat.
a)
15
8
3
5
4
2
3
4
5
2
=
⋅
⋅
=
⋅
b)
7
18
1
9
7
2
9
7
2
⋅
=
⋅
=
c)
2
9
2
3
)
3
(
2
2
6
)
3
(
2
5
2
5
6
)
3
(
2
5
5
6
2
3
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
6.1 La fracció com a operador d'un altre nombre
En la pràctica es freqüent el càlcul d'una fracció d'una certa quantitat: els 2/3 d'un carregament de dotze tones de blat, la meitat dels escons del parlament, les 2/7 parts del salari rebut…
En aquestes ocasions la fracció actua com operador d'una altre quantitat (fracció, expressió, nombre enter…) i actua multiplicant.
Exemples:
a) Per calcular els 2/3 de 48€ tindrem:
2
16
32
3
48
2
48
3
2
⋅
=
⋅
=
⋅
=
b) Per calcular 1/3 de les 2/5 parts de 450€ tindrem:
60
5
3
2
2
5
3
5
5
3
3
2
2
5
3
450
2
450
5
2
3
1
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
6.2 La fracció inversa
La fracció inversa de la fracciób
a
és la fracció
a
b
sempre que sigui a ≠0.
Quan es multiplica una fracció per la seva inversa el resultat és la unitat:
⋅
=
1
a
b
b
a
Exemple:
La fracció inversa de la fracció
5
3
és3
5
. Es verifica que1
3
5
5
3
⋅
=
7. Divisió de fraccions
El quocient de dividir dues fraccions és una altra fracció que s’obté multiplicant la primera fracció (dividend) per la inversa de la segona fracció (divisor).
c
b
d
a
c
d
b
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=
⋅
=
:
També es pot fer la divisió de fraccions directament multiplicant en creu:
c
b
d
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=
:
Exemples:a)
10
9
5
2
3
3
5
4
6
3
6
5
:
4
3
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
b)
5
6
5
2
3
5
7
14
3
14
5
:
7
3
−
=
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
−
En ocasions la divisió de fraccions està expressada com una fracció de fraccions:
:
a
a c
a d
b
c
b d
b c
d
⋅
=
=
⋅
és a dir el numerador és el producte del terme de més amunt (a) pel terme de més avall (d) dividit pel producte dels dos termes situats al mig (b i c).
Exemple:
7
3
7
4
4
3
4
7
4
3
−
=
⋅
⋅
−
=
−
Exercicis 5:5.1 Realitzeu les següents operacions amb fraccions, simplificant el resultat:
a) 2/3 · 5/6 b) 3/40 · 20/7 c) 3/5 : 7/11
d) 2/3 · 3/5 · 7/9 e) 4/7 : 3/5 · 7/2 f) 61/42 : 22/7
Les regles que determinen l’ordre de les operacions són les mateixes que les exposades amb el treball amb nombres naturals i amb nombres enters. Les regles que determinen l’ordre en el que cal realitzar les operacions són les següents:
• Els parèntesis tenen la màxima prioritat. Això vol dir que és prioritari efectuar en primer lloc les operacions que estan indicades entre parèntesis. En l’expressió
+
⋅
4
7
5
1
3
2
caldrà realitzar primer la suma de les fraccions ja que està entre parèntesis i posteriorment el producte de fraccions. En el cas que hi hagi més d'un parèntesi cal realitzar les operacions del parèntesi més intern i, posteriorment, el parèntesi més extern.
• En una expressió, els productes i les divisions tenen més prioritat que les sumes i les restes. En l'expressió
11
2
5
4
7
2
−
⋅
caldrà realitzar primer el producte de fraccions i desprès la resta.
• La potència té més prioritat que la resta de les operacions.
Exercicis 6:
6.1 Realitzeu les següents operacions amb fraccions, simplificant el resultat:
a) 5/3 · (4/5 + 3/2) b) (4/3 +2): (3/5 -2) c) 2/5 + 3/4 · 7/6
6.2 Contesteu a les següents preguntes simplificant, tot el possible, el resultat:
a) D'un conjunt de 144 turistes les 3/4 parts fan l'itinerari en avió i d'aquests 2/3 fan la excursió facultativa per veure balenes. Quants turistes fan aquesta excursió?
b) En una classe de 35 alumnes 5/7 fan anglès, 4 francès i la resta alemany. Quants alumnes estudien alemany? Quina fracció representa del total de la classe?
c) De les 1.260 entrades disponibles d'un concert hem venut 5/7 per venda anticipada, una part per finestreta i han quedat sense vendre 60. Quina fracció de les entrades s'han venut per finestreta?
d) En la compra d'un sofà que ha costat 1.200 € hem pagat la quarta part d'entrada i la resta en 6 pagaments d'igual quantitat. Quants euros haurem de pagar en cada pagament? Quina fracció del total de l'import correspon a cada un d'aquests pagaments?
9. Propietats de les operacions amb fraccions
Revisem, a continuació, les propietats algebraiques del conjunt de nombres racionals Q amb les dues operacions bàsiques, suma i producte, descrites en els apartats anteriors.
9.1 Propietats de la suma de fraccions
Propietat commutativab
a
d
c
d
c
b
a
+
=
+
Propietat associativa
+
+
=
+
+
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
Element neutre: 0/cb
a
c
c
b
a
+
0
=
0
+
c
b
a
b
a
c
0
0
+
=
+
Element inversPer a qualsevol fracció
b
a
, existeix l'oposadab
a
−
tal queb
b
a
b
a
+
−
=
0
b
b
a
b
a
0
=
+
−
9.2 Propietats del producte de fraccions
Propietat commutativab
a
d
c
d
c
b
a
⋅
=
⋅
Propietat associativa
⋅
⋅
=
⋅
⋅
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
Element neutre: 1/1b
a
b
a
⋅
=
1
1
b
a
b
a
=
⋅
1
1
Element inversPer a qualsevol fracció
b
a
diferent de 0 (a≠0) existeix la fracció inversa
a
b
tal que1
1
=
⋅
⋅
=
⋅
b
a
b
a
a
b
b
a
Propietat distributiva
⋅
+
⋅
=
+
⋅
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
10 Annex: solucionari
1.1 a) 4/5 b) 3/7 c) 5/6 d) -3/7 e) - 3/5 f) 3/13 1.2 a) 1/3 b) 2/3 c) 4/5 d) 4/13 2.1 a) 3/6 i 4/6 b) 15/18 i 14/18 c) 28/210, 147/210 i 12/210 d) 10/12 i 7/12 e) 35/30, 16/30 i -21/30 f) 8/44 i 7/44 3.1 a) 7/3 < 5/2 b) 2/7< 1/3 < 3/8 c) 23/14 < 21/11 d) -3/2 < -2/3 < 4/5 4.1 a) 19/15 b) 17/6 c) -4/5 d) 17/84 e) 13/60 f) -11/6 4.2 a) 11/15 b) sembrada: 86/105; disponible: 19/105c) venut: 38/45; per vendre: 7/45
5.1 a) 5/9 b) 3/14 c) 33/35 d) 14/45 e) 10/3 f) 61/132 6.1 a) 23/6 b) -50/21 c) 51/40 6.2 a) 72 b) 6 i 6/35 c) 15/63 d) 150 i 1/8
