4. Estudio de sistemas de potencia en estado estacionario, regulación de tensión y control de reactivos

4. Estudio de sistemas de potencia en estado estacionario,

regulación de tensión y control de reactivos

4.1 Introducción

4.2 Modelo estacionario de la red

4.3 Métodos de flujo de potencia

4.4 Métodos de regulación de tensión

4.5 Estimadores de estado

Contenido

El objetivo general de este capítulo es el de poder determinar la condición de operación

de una red, bajo los siguientes supuestos:

- Estado de operación estacionario

- Cargas equilibradas

Estudios de flujos de potencia

(Planificación y Operación)

Objetivo General

- Determinación de voltajes complejos en todos los nodos del sistema

- Cálculo de los flujos de potencia activa y reactiva en elementos de unión

(líneas aereas, cables de poder, transformadores), pérdidas.

- Estrategias de regulación de tensión y control de reactivos

Definición del Problema

Introducci

El modelo estacionario requiere de una representación de la red que supone los

siguientes aspectos:

- Conocimiento de los consumos en los nodos del sistema

- Representación del sistema en función de un modelo Nodo-Rama

Datos del Modelo

Utilización de modelos de componentes vistos en capítulo 3!

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (I)

de la Red (I)

( )

0 U U

( )

x

( )

0 I 1

Y

( )

x I 2

Y

Z

1

X

E

o

Y

Y

o S

I

G

T2

Línea

_C1

Para la representación matemática de una red en estado estacionario es conveniente

el uso de la matriz de admitancia nodal

Y. Para ello se define en cada nodo

i

del

sistema la corriente de nodo y el voltaje de nodo

Modelo Lineal de la Red

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (II)

de la Red (II)

i

I

U

i

Modelo para nodo

i

del sistema

.

.

.

..

.

..

.

Consumos

conectados al

nodo

(consumo propio)

i

i

I

U ,

Li

S

Inyección

de generadores

Gi

S

Líneas y

transformador

es

i

i

Li

Gi

i

i

i

U

I

S

S

P

jQ

S

=

*

=

−

=

+

..

.

i

i

I

S ,

Corriente neta

inyectada en un nodo

desde fuente o carga

externa

= generación

-carga

Para la representación matemática de una red en estado estacionario es conveniente

el uso de la matriz de admitancia nodal

Y. Para ello se define en cada nodo

i

del

sistema la corriente de nodo y el voltaje de nodo

Modelo Lineal de la Red

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (II)

de la Red (II)

i

I

U

i

Modelo para nodo

i

del sistema

.

.

.

..

.

..

.

Consumos

conectados al

nodo

(consumo propio)

i

i

I

U ,

Li

S

Inyección

de generadores

Gi

S

Líneas y

transformador

es

i

i

Li

Gi

i

i

i

U

I

S

S

P

jQ

S

=

*

=

−

=

+

..

.

i

i

I

S ,

Las corrientes y voltajes de nodos quedan relacionados

por la matriz de admintancia nodal

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (III)

de la Red (III)

[ ] [ ][ ]

I

=

Y

U

3

L

S

1

2

3

3

G

Q

1

G

S

_S

_G

₂

1

L

S

Unilineal

3

S

1

2

3

1

S

S

2

0

13

Y

0

31

Y

13

Y

12

Y

23

Y

Modelo Equivalente

Monofásico

0

12

Y

Y

0

21

0

23

Y

0

32

Y

No linealidad de modelo

General

*

i

i

i

U

I

S

=

Armado de la matriz de admitancia

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (IV)

de la Red (IV)

[ ] [ ][ ]

I

=

Y

U

La regla general para la construcción de la matriz de admitancia está dada por:

Elementos

de la matriz

de admitancia

y

ij

Elemento de la Diagonal

Elemento fuera de la Diagonal

∑

∈

=

)

(

:

Y

i

k

ik

ii

ik

Y

y

α

ij

ij

Y

y

=

−

Propiedades

• Simétrica (caso general)

• Dispersa (matriz rala)

• Inversa (matriz densa, si

existe)

En sistemas de potencia se conocen las potencias complejas en los nodos que resultan de la

diferencia entre la potencia inyectada por los generadores y la retirada por los consumos.

Modelo No Lineal de Red

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (V)

de la Red (V)

Modelo de red no lineal

i

i

Li

Gi

i

i

i

U

I

S

S

P

jQ

S

=

*

=

−

=

+

*

1

*

*

j

n

j

ij

i

i

i

i

U

I

U

y

U

S

∑

=

=

=

Potencia

aparente

neta

Reemplazando relación de matriz de admitancia,

válida para los

n

nodos del sistema

(

)

(

)

2

0

*

*

*

0

2

*

*

*

ji

j

ij

i

j

j

ji

ji

ji

j

ji

ij

i

ij

j

i

i

ij

ij

ij

i

ij

Y

U

Y

U

U

U

jQ

P

I

U

S

Y

U

Y

U

U

U

jQ

P

I

U

S

+

−

=

+

=

=

+

−

=

+

=

=

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (VI)

de la Red (VI)

Nodo de Referencia

0

1

1

=U

∠

0

U

Especificación de las ecuaciones de balance de flujo de potencia (coordenadas polares)

Otros Nodos

i

i

i

U

U

=

∠

δ

Variables del sistema

Elementos de la matriz de admitancia Y

ij

ij

ij

y

y

=

∠

θ

Balance de flujo nodo

i

∑

=

−

−

=

−

=

n

j

ij

j

i

ij

j

i

Li

Gi

i

P

P

U

U

y

P

1

)

cos(

δ

δ

θ

∑

=

−

−

=

−

=

n

j

ij

j

i

ij

j

i

Li

Gi

i

Q

Q

U

U

y

sin

Q

1

)

(

δ

δ

θ

i

i

Li

Gi

Li

Gi

P

Q

Q

U

P

,

,

,

,

,

δ

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (VII)

de la Red (VII)

• Barras PQ (85%) --> barras de carga o de pasada

• Barras PV (15%) --> barras de generación

• Barra libre (1) (barra slack, referencia) --> es una barra de generación específica

Caracterización de nodos en el sistema

Gauss/Seidel

Newton/Raphson

Característica del problema

• No lineal

• 6 variables por nodo

• 2n ecuaciones

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (VIII)

de la Red (VIII)

En esta sección se estudiarán dos métodos iterativos importantes (y sus

variantes) para la solución del sistemas de ecuaciones no lineales de flujos de

potencia: Gauss-Seidel, Newton-Raphson.

Métodos de Flujo de Potencia

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

x

)

(

),

(

x

F

x

f

Método de Gauss

Método de Gauss-Seidel

• Forma general:

• Ejemplo

)

(

0

)

(

x

x

F

x

f

=

⎯

⎯→

=

)

(

0

1

x

F

x

=

ε

≤

−

+

k

k

x

x

1

_tolerancia

)

(x

F

_y

=

_x

)

(x

f

0

4

5

)

(

x

=

x

2

−

x

+

=

f

0

x

1

x

2

x

3

x

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (IX)

de la Red (IX)

Operatoria General

• Se supone tensión en cada nudo

• Se resuelven las ecuaciones PQ, PV

• Se obtienen nuevas tensiones iterando hasta

ε

≤

−

+

k

i

k

i

V

V

1

05

.

0

24

.

0

j

jB

j

Z

=

=

Ejemplo de Aplicación

Caso Ejemplo

Utilizar método de Gauss-Seidel para el

sistema mostrado en la figura.

3

S

1

2

3

1

S

2

S

06

.

0

06

.

0

j

jB

j

Z

=

=

04

.

0

18

.

0

j

jB

j

Z

=

=

04

.

1

,

0

06

.

1

ref.

2

.

0

3

.

1

1

.

0

2

.

0

2

1

3

2

=

∠

=

+

=

+

=

V

V

Barra

j

S

j

S

o

L

L

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (X)

de la Red (X)

Operatoria

• Se supone tensión en cada nudo

• Se resuelven las ecuaciones PQ, PV

Barras PQ

Barras PV

• Se obtienen nuevas tensiones iterando hasta

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

∑

≠i

j

j

ij

i

ii

i

I

y

V

y

V

1

*

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

i

i

i

V

S

I

₌

₌

_∑

+

=

j

j

ij

i

i

i

i

i

i

V

y

V

I

V

jQ

P

S

*

*

)

(

*

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

i

i

i

V

S

I

ε

≤

−

+

k

i

k

i

V

V

1

Variaciones del método

• Uso de variables actualizadas

• Factor de aceleración

[

k

]

i

k

calculado

i

k

i

k

i

V

V

V

V

+

1

=

+

α

_,

−

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XI)

de la Red (XI)

Este método es comparativamente: más complejo, requiere mayor volumen de

cálculos por iteración, presenta mejores características de convergencia

(número de iteraciones, rapidez).

x

)

(x

f

Método de Newton

Método de Newton-Raphson

• Forma general:

Sea

Desarrollando en series de Taylor

• Ejemplo

0

)

(

x

=

f

0

)

(

)

(

!

2

1

)

(

)

(

!

1

1

)

(

)

(

2

0

2

0

2

0

0

0

=

+

−

+

−

+

=

"

x

x

dx

x

f

d

x

x

dx

x

df

x

f

x

f

0

4

5

)

(

x

=

x

2

−

x

+

=

f

0

x

2

x

1

x

3

x

dx

x

df

x

f

x

x

_k

k

k

k

)

(

)

(

1

=

−

+

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XII)

de la Red (XII)

Operatoria

• Descripción de variables

• Ecuaciones generales

• Forma General método de NR

∑

=

=

+

=

j

j

ij

i

i

i

i

i

i

V

y

V

I

V

jQ

P

S

*

*

)

(

i

i

i

V

V

=

∠

θ

y

ij

=

y

ij

∠

δ

ij

=

G

ij

+

jB

ij

θ

ij

=

θ

i

−

θ

j

))

cos(

)

(

(

(

))

(

(

))

(

)

cos(

(

(

))

cos(

(

ij

ij

ij

j

ij

j

i

ij

j

i

j

ij

j

i

i

ij

ij

ij

j

ij

j

i

ij

j

i

j

ij

j

i

i

B

sin

G

V

V

sin

y

V

V

Q

sin

B

G

V

V

y

V

V

P

θ

θ

δ

θ

θ

θ

θ

δ

θ

θ

−

=

−

−

=

+

=

−

−

=

∑

∑

∑

∑

[ ]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

V

V

Q

P

θ

θ

L

M

N

H

J

N-1

Número de

nodos PQ

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XIII)

de la Red (XIII)

Datos

• Matriz de

admitancia Y

Elección de tensiones

iniciales

• Barras

PQ, PV, SL

Iter =0

Cálculo de f. de errores

Formación del Jacobiano

Criterio de fin

No

Si

Resultado

• Potencia Barra SL

• Flujos de potencia

Q

P

∆

∆ ,

Diagrama de flujo NR

Iter = Iter+1

V

∆

∆ ,

θ

Corrección de valores

θ

,

V

Cálculo

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XIV)

de la Red (XIV)

Este método aprovecha características matriciales de los sistemas reales

logrando acelerar considerablemente los cálculos requeridos en cada iteración.

Método de Newton-Raphson desacoplado/rápido (Stott, Alsac 1970-1972)

• Simplificaciones consideradas

1. Relación Resistencia/Reactancia

[ ]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

V

V

Q

P

θ

θ

L

M

N

H

J

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

X

B

y

Z

y

X

R

<<

⎯

⎯→

=

−

1

=

∠

90

0

=

1

Elementos

fuera de

la diagonal

2. Se desprecia conductancia de línea

0

90

0

⎯

⎯→

=

∠

±

≈

_ii

_ii

ij

y

y

G

3. Diferencia de ángulo de fase entre nodos conectados

1

os

,

pequeña

⎯

⎯→

≈

≈

⎯→

⎯

−

=

_i

_j

_ij

_ij

_ij

ij

θ

θ

sin

θ

θ

c

θ

θ

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XV)

de la Red (XV)

• Modelo Resultante

[ ]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

V

V

Q

P

θ

θ

L

M

N

H

J

Por conveniencia

en el cálculo

[ ]

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

∆

∆

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

∆

∆

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆

∆

V

V

V

V

Q

P

θ

θ

L

H

J

_~

0

0

~

Debido a

supuestos

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

∆

∆

=

∆

n n

V

V

V

V

V

V

_#

1 1

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

→

∑

∑

∑

−

=

≠

=

≠

=

1

1

3

2

3

3

,

1

3

23

2

23

2

,

1

2

'

n

j

nj

n

n

n

n

j

j

j

n

n

j

j

j

y

y

y

y

y

y

y

y

y

%

#

"

B

H

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

→

∑

∑

∑

−

=

≠

=

≠

=

1

1

3

2

3

3

,

1

3

33

23

2

23

2

,

1

2

22

''

2

2

2

~

n

j

nj

nn

n

n

n

n

j

j

j

n

n

j

j

j

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

%

#

"

B

L

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XVI)

de la Red (XVI)

Simplificación

adicional

j

i

U

U

≈

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

n

U

U

U

diag

"

%

#

"

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

U

[

diag

]

∆

P

=

∆

−2

'

U

B

θ

Modelo de Potencia

Activa

Modelo de Potencia

_Reactiva

[

diag

]

Q

U

U

₌

_∆

∆

−2

''

U

B

Permite replantear diagrama de flujo a través de dos modelos desacoplados con

matrices

de coeficientes constantes. El método resuelve iterativamente ambos modelos.

Proceso de Convergencia

Número de Iteración

Error

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XVI)

de la Red (XVI)

Simplificación

adicional

j

i

U

U

≈

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

n

U

U

U

diag

"

%

#

"

0

0

0

0

0

0

0

0

3

2

U

[

diag

]

∆

P

=

∆

−2

'

U

B

θ

Modelo de Potencia

Activa

Modelo de Potencia

_Reactiva

[

diag

]

Q

U

U

₌

_∆

∆

−2

''

U

B

Permite replantear diagrama de flujo a través de dos modelos desacoplados con

matrices

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XVII)

de la Red (XVII)

Este método puede ser estudiado y entendido como una consecuencia natural de

las simplificaciones utilizadas en el método de NR desacoplado rápido. Los resultados

entregados por este cálculo aproximado son suficientes para una amplia gama de

estudios: contingencias, económicos, etc..

Flujo de Potencia en Continua Modelo (P-Delta) o (P-Theta)

Simplificación

adicional

U

i

≈

1

pu

[

diag

]

∆

P

=

∆

−2

'

U

B

θ

Modelo de Potencia

Activa

[ ] [ ]

'

θ

B

=

P

(

)

1

j

i

ij

ij

X

P

=

θ

−

θ

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

∑

∑

∑

− = ≠ = ≠ = 1 1 3 2 3 3 , 1 3 23 2 23 2 , 1 2 ' n j nj n n n n j j j n n j j j

y

y

y

y

y

y

y

y

y

%

#

"

B

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XVIII)

de la Red (XVIII)

Bajo el supuesto de que se ha alcanzado un estado de operación estacionario es posible

estudiar el efecto de pequeñas variaciones (perturbaciones) sin necesidad de resolver

nuevamente el flujo de potencia --> análisis de sensibilidad del sistema.

Análisis de Sensibilidad en Ecuaciones de Flujo de Potencia

)

,

,

(

x

u

p

0

f

=

Variables de

perturbación SL

Variables de

control SG

Variables de

estado V

p

J

J

u

J

J

x

=

−

∆

−

∆

∆

−

−

p

u

_x

x

1

1

Matrices de

sensibilidad

Modelo

Modelo

Estacionario

Estacionario

de la Red (XIX)

de la Red (XIX)

El cálculo de la operación en estado estacionario a través de un flujo de potencia no

asegura un resultado que respete límites técnicos de operación, tales como :

Consideraciones Finales Sobre Flujo de Potencia

• Capacidad de transmisión de líneas y transformadores

• Voltaje en barras dentro de límites o banda aceptable

• Conexión de elementos adicionales (Líneas, transformadores)

• Compensación reactiva (capacitiva, inductiva)

• Transformadores reguladores

• Equipos FACTS

El objetivo central de la regulación de tensión es mantener la tensión en equipos a lo

largo del día (año) de manera de no afectar su vida útil. Lo anterior depende del tipo y

caractísticas de los equipos:

Introducción

M

Mé

étodos

todos

de Regulaci

de

Regulació

ón

n

de Tensi

de

Tensió

ó

n

n

(I)

(I)

• Tensión nominal y rangos de operación (banda):

• Tipos de equipos:

• Central generadora

• Líneas de transmisión

• Redes de distribución

• Tipos de variaciones:

• Lentas

• Bruscas (variaciones del tipo parpadeo)

• Caídas de tensión

Sólo se detallarán métodos utilizados para regular variaciones lentas. No

se estudia el desfase del fasor tensión (control de estabilidad).

Formas de regular variaciones lentas de tensión

M

Mé

étodos

todos

de Regulaci

de

Regulació

ón

n

de Tensi

de

Tensió

ó

n

n

(II)

(II)

• Métodos más empleados

• Forma de actuar:

•Inyección o absorción de potencia reactiva

•Inserción de tensión serie adicional

• Modificación de la reactancia

• Regulación continua

• Regulación cuasi-continua

• Regulación intermitente

• Regulación fija

Regulación por inyección de potencia reactiva

M

Mé

étodos

todos

de Regulaci

de

Regulació

ón

n

de Tensi

de

Tensió

ó

n

n

(III)

(III)

• Sistemas radiales:

• Sistemas enmallados:

• Gradiente

• Parámetros ABCD

• Flujo de potencia

• Factores de Influencia

La forma básica para mejorar la regulación de tensión será reducir el flujo de reactivos,

produciéndolos directamente donde se necesitan, no transportándolos desde las centrales.

))

(

(

))

cos(

(

ij

j

i

j

ij

j

i

i

ij

j

i

j

ij

j

i

i

sin

y

V

V

Q

y

V

V

P

δ

θ

θ

δ

θ

θ

−

−

=

−

−

=

∑

∑

M

Mé

étodos

todos

de Regulaci

de

Regulació

ón

n

de Tensi

de

Tensió

ó

n

n

(IV)

(IV)

Transmisiones que no incluyen admitancias

Para este caso se puede establecer una relación lineal entre de los requerimientos de

reactivos de un consumo determinado a través del gradiente G.

2

2

2

*

1

1

1

*

2

2

*

1

1

V

jQ

P

V

jQ

P

V

S

V

S

I

_⎟⎟

=

−

=

−

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

G

_T1

Línea

_T2

_C

jX

R

+

2

2

jQ

P

+

1

1

jQ

P

+

(

)

(

R

jX

)

V

jQ

P

jX

R

V

jQ

P

Z

I

V

_⎟⎟

+

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

=

∆

2

2

2

*

1

1

1

0

2

2

= V

∠

0

V

0

1

1

= V

∠

θ

V

V

XQ

V

XQ

RP

V

XQ

RP

V

V

G

_⎟⎟

≈

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

≈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

≈

−

=

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

RP

XQ

GV

=

+

X

RP

X

GV

Q

2

2

2

=

−

0

Q

)

(x

f

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

0

2

Q

2

P

2

Q

Curva de

consumo

I

M

Mé

étodos

todos

de Regulaci

de

Regulació

ón

n

de Tensi

de

Tensió

ó

n

n

(V)

(V)

Estudio de Puntos de Operación

X

RP

X

GV

Q

₂

=

2

−

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

0

2

Q

2

P

2

Q

A

B

C

D

A‘

C‘

D‘

θ

1

V

2

V

I

Transmisiones Radiales que Incluyen Admitancias

Trabajo con parámetros ABCD y diagrama de círculo (visto en capítulo de líneas de

de transmisión).

RI

M

Mé

étodos

todos

de Regulaci

de

Regulació

ón

n

de Tensi

de

Tensió

ó

n

n

(VI)

(VI)

Caso General de Sistema Enmallado

Generalización a un punto cualquiera M de un sistema eléctrico donde existe un consumo

P+jQ y una tensión V.

∑

=

j

j

P

P

..

.

Impedancia

Equivalente

Thevenin

V

P

+

jQ

n

n

P

+

jQ

∑

=

j

j

Q

Q

Existe una función, tal que

V

=

F

(

P

,

Q

)

( )

0

U

V

V

+

∆

0

V

S

S

S

R

jX

Z

=

+

)

(

Q

Q

j

P

+

+

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

V

Q

dQ

V

P

dP

dQ

Q

V

dP

P

V

dV

Factores

de

Influencia

S

S

R

V

V

V

P

X

V

V

V

Q

2

2

0

0

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

Voltaje

en M en

vacío

S

S

R

V

V

P

X

V

V

Q

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

Caso

general

consumo previo

Caso sin

M

M

i

i

Hasta el momento en el estudio de la operación en estado estacionario hemos supuesto

un conjunto de parámetros como fijos. Lo anterior es válido para estudios en el ámbito

de la planificación. Sin embargo, para poder calcular las condiciones actuales de

operación del sistema (operación real) esta simplificación no es válida. Esto queda de

manifiesto, para el caso del flujo de potencia, en el momento de fijar 4 de las 6

variables en cada nodo del sistema. Los estimadores de estado (state estimation)

entregan un método sistemático para tratar esta problemática en los centros de control.

Introducción

Estimadores

Estimadores

de Estado

de

Estado

(I)

(I)

Sistema

Eléctrico de

Potencia

Sistema de

Adquisición

de Datos y

Control

Centro de Control

Visualización

de datos/

Represen-tación del

sistema

Procesamiento

de datos con

estimadores

de estado

Programas de

análisis para

la operación del

sistema

SCADA

Modelo General

Estimadores

Estimadores

de Estado

de

Estado

(II)

(II)

• Características generales:

•Errores gruesos producto de mal funcionamiento.

•Errores de precisión, naturaleza aleatoria.

•Ausencia de mediciones.

•Cambios en la topología de la red no considerados.

Estimador

de Estado

Topología

de red

Parámetros

de equipos

Mediciones Z:

• potencias en nodos

• flujos en líneas

• módulos de voltaje

• módulos y ángulos

de voltaje

Estado del sistema X:

• Modelos de Estimación lineal

• Modelos de Estimación no lineales

Obtener mediante criterios estadísticos,

la “mejor estimación” de las variables

de estado, considerando que pueden existir

errores y redundancia en los datos.

Estimadores de estado (III)

Estimadores de estado (III)

Ejemplo 2

Ejemplo 2

•Flujo de potencia DC

estimar el valor de las inyecciones de potencia y ángulos relativos en cada barra a partir de las

mediciones M

₁₂

, M

₁₃

, M

₃₂

Reactancia p.u.

(S

_b

= 100 MVA)

X

12

_{= 0.2}

X

13

_{= 0.4}

X

23

_{= 0.25}

Características Medidores

P

_b

= 100 MW

M

₁₃

, M

₃₂

: Precisión ±3 MW

(σ = 1 MW = 0.01 p.u.)

M

₁₃

: Precisión ±0.3 MW

(σ = 0.1 MW = 0.001 p.u.)

Precisión: Usualmente se define como el

error máximo admisible para el 99% de las

mediciones. Suponiendo distribución normal:

Precisión = 3σ

•Identificando términos en la ecuación 4.3:

⎡

⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

=

_⎢

_{⎥ ⎢}

=

_⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦

JJK

12

13

32

0.62

0.06

0.37

med

M

Z

M

M

θ

θ

⎡

⎤

= ⎢

⎥

⎣

⎦

JG

₁

2

est

est

x

−

−

−

⎡

⎤

= ⎣

⎦

JJG

JG

₁

₁

₁

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

med

est

_T

_T

x

H R

H

H R Z

(ángulos referidos a θ

₃

)

[ ]

σ

σ

σ

− − −

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

_⎢

_⎥

_{= ⎢}

_⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣

⎦

2 4 12 2 6 13 2 4 32

10

10

10

M

M

M

R

Matriz de covarianza del error de las mediciones

Estimadores de estado (IV)

Estimadores de estado (IV)

θ θ

ω

−

=

i

j

ij

ij

M

j L

Recordando ecuaciones flujo DC es posible determinar la forma de los

f x

i

( )

=

h x

i

_{1 1}

+ +

...

h x

iN

_S

N

_S

JG

θ θ

−

_θ

_θ

=

1

2

=

−

12

_0.2

5

1

5

2

M

θ θ

−

_θ

=

1

3

=

13

_0.4

2.5

1

M

θ

−

θ

_θ

=

3

2

= −

13

_0.25

4

2

M

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

−

⎥

⎣

⎦

5

5

[ ]

2.5 0

0

4

H

Resumiendo hasta ahora:

[ ]

− − −

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

4 6 4

10

10

10

R

θ

θ

⎡

⎤

= ⎢

⎥

⎣

⎦

JG

₁

2

est

est

x

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

JJK

0.62

0.06

0.37

med

Z

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

−

⎥

⎣

⎦

5

5

[ ]

2.5 0

0

4

H

Estimadores de estado (V)

Estimadores de estado (V)

[ ]

−

−

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

4

6

4

10

10

10

R

θ

θ

⎡

⎤

= ⎢

⎥

⎣

⎦

JG

₁

2

est

est

est

x

_{= ⎢}

⎡

⎢

⎤

⎥

_⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

JJK

0.62

0.06

0.37

med

Z

−

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

−

⎥

⎣

⎦

5

5

[ ]

2.5 0

0

4

H

−

−

−

⎡

⎤

= ⎣

⎦

JJG

JG

₁

1

₁

[ ] [

][ ] [ ] [

]

med

est

_T

_T

x

H R

H

H R Z

•Resumen de resultados obtenidos:

En la ecuación 4.3:

−

−

−

−

−

−

−

−

−

⎡

_⎡

_⎤

_⎡

₋

_⎤

⎤

_⎡

_⎤

_⎡

_⎤

⎢

_⎡

_⎤

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

⎥

_⎡

_⎤

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

⎢

⎥

=

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

−

−

−

−

⎢

_⎣

_⎦

_⎢

_⎥

_⎢

₋

_⎥

⎥

_⎣

_⎦

_⎢

_⎥

_⎢

_⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎢

⎢

_⎣

⎥

_⎦

⎥

⎢

_⎣

⎥

_⎦

⎣

⎦

JG

1

1

1

4

4

6

6

4

4

10

₅

₅

10

_0.62

5.0 2.5 0

5.0 2.5 0

10

2.5 0

10

0.06

5 0

4

5 0

4

0

4

0.37

10

10

est

x

θ

θ

⎡

⎤

⎡ ⎤

=

_{⎢ ⎥}

_{= ⎢}

_⎥

−

⎣ ⎦ ⎣

⎦

JG

₁

2

0.024115

0.097003

est

x

Estimadores de estado (VI)

Estimadores de estado (VI)

•Comparación de resultados

Una vez obtenidos los ángulos para cada una de las barras es posible determinar la totalidad

de los flujos de potencia del sistema.

La figura muestra el flujo real,

el obtenido mediante el

estimador de estado, y el flujo

que se obtiene al considerar

sólo las mediciones M13 y

M32.

Se comprueba que el

estimador entrega resultados

más cercanos a los que se

obtienen mediante métodos no

estadísticos.

Estimadores de estado (VII)

Estimadores de estado (VII)