TEMA 6 CÓNICAS CÓNICAS TEMA 6. 1.º BACHILLERATO - CIENCIAS. 1. La circunferencia. Ecuación de una circunferencia. (x - a) + (y - b) = r.

(1)

IE S H u art e De S an Ju an - L in are s

TEMA 6 – CÓNICAS

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

1. La circunferencia

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A esa distancia constante se le radio.

Ecuación de una circunferencia

Sea C(a,b) el centro de una circunferencia de radio r. Sabemos, por definición, que la distancia del centro C a un punto P cualquiera de la circunferencia es el radio: d(C ,P) = r .

Aplicando la fórmula de la distancia:

2 2

(x - a) + (y - b) = r

Elevando al cuadrado se obtiene la ecuación reducida:

2 2 2 (x - a) + (y - b) = r Desarrollando: . 0    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (x - a) + ( y - b) = r

x + a - 2ax + y + b - 2by = r x + y - 2ax - 2by + a + b r

2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0, siendo:     _  2 2 2 D = -2a E = -2b F = a + b r Finalmente:     2 2 D E C(a,b) = C - , - ; r = a + b -F 2 2

(2)

EJEMPLO

Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el punto C(1,5) que pasa por el punto P(3,2). Hallando el radio: 2 2 r d(C,P)  CP  ( 3 1)  ( 2 5 )  25 5u La ecuación será:_{( x 1)} 2 _{( y 5 )} 2 ₂₅ → _x2_{2x 1 y}  2_{10y 25}  ₂₅ Simplificando: x2y22x 10y 1  0

EJEMPLO

Halla el centro y el radio de la circunferencia: x2 + y2 − 4x − 6y = 12.

Para conseguir la ecuación reducida se agrupan cuadrados de la siguiente forma:  x2− 4x = x2− 2·2x + 4 −4 = (x−2)2−4

 y2−6y = y2−2·3y + 9 – 9 = (y−3)2−9

De donde se obtiene: (x−2)2−4 + (y−3)2−9 = 12 ⇒(x−2)2+ (y−3)2= 25. Luego el centro es C(2,3) y el radio r= 5.

Ejercicios finales 1 y 2

Posiciones relativas de una circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:

 Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.

 Perteneciente la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.

 Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

Si al sustituir el punto en la circunferencia sale:

 Negativo: es INTERIOR  Positivo: es EXTERIOR  Cero es PERTENECIENTE

(3)

EJEMPLO

¿Pertenece el punto P(-2,3) a la circunferencia: x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0?

Forma 1. Sacamos centro y radio. En este caso, recordamos que son: C(2,3) y r= 5.

2 2

d(C,P) CP  ( 2 2 )  ( 3 3 )  16   4 r 5

P es interior a la circunferencia.

Forma 2. Sustituir el punto en la circunferencia:

x2 + y2 − 4x − 6y – 12 = 0; P(-2,3) → (-2)2 + 32 – 4·(-2) – 6·3 – 12 = 4 + 9 + 8 – 18 – 12 = – 9 Como el resultado es negativo es INTERIOR.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Para hallar la posición relativa de una circunferencia y una recta se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas.

En general, estudiaremos el signo del discriminante, Δ = b - 4ac : 2

Si

Δ>0

: Si

Δ=0

Si

Δ< 0

Dos soluciones: dos puntos en común Una solución: un punto en común Ninguna solución: no se cortan. La recta y la circunferencia son secantes. La recta y la circunferencia son tangentes. La recta y la circunferencia son exteriores. Ejercicios finales 3, 4, 5, 6 y 7

(4)

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, son:

 Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

 Tangentes exteriores, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

 Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios.

Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos.

 Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

 Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

 Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

(5)

 Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias se cortan en más de dos puntos, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Ejercicios finales: 8

Potencia

Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que:

 

PA PB = PC PD

A este producto se le llama POTENCIA del punto P respecto de la circunferencia.

Pot Cf (P)= PA PB

Justificación

 Trazamos las cuerdas que van de A a D y de B a C.  Los triángulos PAD y PCB son semejantes

o Tienen en común al ángulo P.

o Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos y

abarcar el mismo arco.

o Por tanto los ángulos C y A son iguales.  Entonces: PA PD PA PB = PC PD 

PC PB

NOTA. Para calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia, basta sustituir los valores x e y del punto en la circunferencia.

Al realizar la potencia respecto a un punto alineado con el centro de la circunferencia, obtenemos que:

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Por tanto, al realizar la potencia de un punto respecto a la circunferencia, si el resultados es:

 Negativo: es INTERIOR  Positivo: es EXTERIOR  Cero es PERTENECIENTE

EJEMPLO

Estudia la posición relativa del punto P(2, k) respecto a la circunferencia : x2 + y2 − 3x + 6y + 10 = 0 en función del valor de k.

Pot _Cf(P) = 22 + k2 – 3 · 2 + 6 k + 10 = 4+ k2 – 6 + 6 k + 10 = k2 + 6 k + 8 6 2 2 2 6 36 4 8 6 4 6 2 2 2 2 6 2 4 2 2 k + 6k + 8 = 0 x                   _{ }   ESTUDIO Luego:

 Si k (-∞, -4) U (-2, +∞), el punto es exterior a la circunferencia.  Si k  (-4, -2), el punto es interior a la circunferencia.

 Si k = - 4 o k = - 2 el punto es perteneciente a la circunferencia.

Ejercicios finales: 9

Eje radical. Centro radical.

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas.

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias. Dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del

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segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia.

El eje radical de dos circunferencias: C : x + y + Dx + E y + F = 0 y 1 2 2

2 2

2

C : x + y + D'x + E' y + F' = 0 es la recta de ecuación: ( D – D’ ) x + ( E – E’ ) y + F – F’ = 0

Se llama Centro Radical de tres circunferencias al punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias

Para calcular el Centro Radical, hay que calculas dos ejes radicales y hacer el sistema.

EJEMPLO

Calcula el eje radical de las circunferencias: 2 2 1

C : x + y + 6 x - 8 y +1 = 0 y

2 2

2

C : x + y 5x + 4 y + 2 = 0.

Basta usar la fórmula ( D – D’ ) x + ( E – E’ ) y + F – F’ = 0 Así, el eje radical pedido es: 11x – 12y – 1 = 0

Calcula el Centro Radical de las circunferencias: 2 2 1 C : x + y + 6 x - 8 y +1 = 0 , 2 2 2 C : x + y 5x + 4 y + 2 = 0 y 2 2 3 C : x + y 2x 2 y + 5 = 0. Eje 1 (C1 y C2): 11x – 12y – 1 = 0 Eje 2 (C1 y C3) : 8x – 6y – 4 = 0 → 4x – 3y – 2 = 0. Al cortar ambos ejes obtenemos el centro radical:

      ·(-4) 11x - 12y - 1 = 0 11x - 12y - 1 = 0 4x - 3y - 2 = 0 -16x + 12y + 8 = 0 7 - 5x + 7 = 0 x = 5 :        × 4 ·(-11) 11x - 12y - 1 = 0 44x - 48y - 4 = 0 4x - 3y - 2 = 0 - 44x + 33y + 22 = 0 18 6 7 6

- 15y + 18 = 0 x = = Centro Radical ,

15 5 5

 

 

 5

(8)

2. La elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante: PF + PF' 2a. 

En una elipse podemos encontrar los siguientes elementos: 1. Los radios vectores de un punto P: segmentos PF y PF' . 2. El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F'. 3. El eje secundario es la mediatriz del segmento FF' .

4. El centro de la elipse es el punto O donde se cortan los ejes. El eje focal y el eje secundario son ejes de simetría de la elipse y el centro O es el centro de simetría.

5. La distancia focal es el segmento FF' , cuya longitud es 2c, es decir, la semidistancia focal ser OF OF' = c

6. Los vértices son los puntos A, A', B, B' en los que los ejes cortan a la elipse.

7. El eje mayor es el segmento AA' y mide 2a. El semieje mayor será a.

8. El eje menor es el segmento BB' y mide 2b. El semieje menor será b.

Relación fundamental de la elipse: b + c = a2 2 2c = a2 2b2(*) Se define la excentricidad e de una elipse como la razón

2 2 (*) c a - b e = = < 1 (porque c < a) a a . Excentricidad Elipse c e = a

(9)

 0 < e < 1, ya que tanto a como c son positivos.

 La excentricidad determina el mayor o menor achatamiento de una elipse.

 Cuanto más se aproxime a cero, menos achatada será y más se parecerá a una circunferencia.

0 < e < 1

Ecuación analítica de la elipse

Ecuación analítica de la elipse. Los focos están situados en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0).

Sea un punto cualquiera P(x, y) de la elipse y, por definición, sabemos que PF + PF' = 2ª. Entonces:

 2 2 2 2 (x - c) + (y - 0) (x + c) + (y - 0) = 2a  2 2 2 2 (x - c) + y (x + c) + y = 2a



 

2



2 2 2 2 2 (x + c) + y = 2a - (x - c) + y 2 2 2 2 2 2 2 (x + c) + y = 4a + (x - c) + y - 4a (x - c) + y 2 2 x + c _{+ 2xc +y}2 _{= 4a + x + c}2 2 2 _{- 2xc +y}2 _{- 4a (x - c) + y}2 2     2 2 2 2 2 2 4a (x - c) + y 4a 4xc a (x - c) + y a xc





2





₂ 2 2 2 a (x - c) + y = a - xc





2 2 2 4 2 2 2 a (x - c) + y = a + x c - 2a xc 2 2 2 2 2 a x + a c -2a xc + a y = a + x c -2a xc2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 a x + a c + a y = a + x c Sabemos que c = a2 2 b : 2









2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a x + a a - b + a y = a + x a - b 2 2 a x 4 + a 2 2 2 2 4 - a b + a y = a 2 2 +x a 2 2 - x b 2 2 2 2 2 2 x b + a y = a b dividiendo entre a2 b2 obtenemos que :

2 2 2 2 x y + = 1 a b Relación fundamental de la elipse 2 2 2 2 2 2 b + c = a c = a b (*)

(10)

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q), la

ecuación debería de ser :

2 2 2 2 (x - p) (y - q) + = 1 a b Aplicación:

 Las órbitas de planetas como la Tierra son elípticas donde un foco corresponde al Sol.

 También le corresponde esta figura a los cometas y satélites.  Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.

 Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.  En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.

EJEMPLO

Encuentra los vértices y los focos para la elipse 9x2+4y2=36 y trazar su gráfica. Dividimos por 36, para obtener la ecuación habitual de la elipse

2 2 2 2 2 2 2 2 9x 4y 36 x y x y + = + = 1 + = 1 36 36 36 4 9 b a    _ _  

Observamos que el eje mayor es el eje vertical. Los punto A, A’, F y F’ están en el eje y. Así:

 a2 = 9 o bien a = 3 → A(0, 3) y A´(0, -3)  b2 = 4 o bien b = 2 → B(2, 0) y B´(-2, 0)

 c2 = b2- a2 entonces c = 6 → F (0, 6 ) y F´(0,- 6 )

La representación gráfica de la elipse será:

(11)

3. La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante: PF' - PF 2a.

En una hipérbola podemos encontrar los siguientes elementos: 1. Los radios vectores de un punto P son los segmentos

PF y PF' .

2. El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F'. 3. El eje secundario es la mediatriz del segmento FF' .

4. El centro de la hipérbola es el punto O donde se cortan los ejes. El eje focal y el eje secundario son ejes de simetría de la hipérbola y el centro O es también el centro de simetría. 5. La distancia focal es el segmento FF' , que se designa como en la elipse por 2c. La semidistancia focal es c.

6. Los vértices son los puntos A(a,0), A'(-a,0), B(0,b), B'(0 -b). Los vértices A y A' son los puntos de corte del eje focal con la hipérbola. Los vértices B y B' son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF. 7. El semieje real es a.

8. El semieje imaginario es b.

9. Las asíntotas de la hipérbola son: y = x; y = - x.b b

(12)

Relación fundamental de la hipérbola _{c = a}2 2 __b2_(**)

Se define la excentricidad e de una hipérbola como la razón

2 2 (**) c a b e 1 a a     (porque c > a).

La excentricidad e nos indica lo abiertas o cerradas que están las ramas de la hipérbola. Cuanto más cercano es el valor al número 1, más cerradas serán las ramas.

Excentricidad c e =

a e > 1

Ecuación analítica de la hipérbola

Ecuación analítica de la hipérbola. Los focos están situados en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0).

Sea un punto cualquiera P(x, y) de la hipérbola. Por definición sabemos que PF' - PF 2a.Entonces:

 2 2 2 2 (x - c) + (y - 0) (x + c) + (y - 0) = 2a  2 2 2 2 (x - c) + y (x + c) + y = 2a



 

2



2 2 2 2 2 (x - c) + y = 2a + (x + c) + y 2 2 2 2 2 2 2 (x - c) + y = 4a + (x + c) + y + 4a (x + c) + y 2 2 x + c _{- 2xc +y}2 _{= 4a + x + c}2 2 2 _{+ 2xc +y}2 _{+ 4a (x + c) + y}2 2       2 2 2 2 2 2 4a (x + c) + y 4a 4xc a (x + c) + y xc a



2 2



2



  2



2 a (x + c) + y = xc a





2 2 2 4 2 2 2 a (x + c) + y = a + x c + 2a xc 2 2 2 2 2 a x + a c +2a xc 2 2 4 2 2 2 + a y = a + x c +2a xc 2 2 2 2 2 2 4 2 2 a x + a c + a y = a + x c Sabemos que 2 2 2 c = a + b :









2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 a x + a a + b + a y = a + x a + b 2 2 a x + a4 + a b + a y = a2 2 2 2 4 +x a2 2 + x b2 2

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IE S H u art e De S an Ju an - L in are s 2 2 2 2 2 2 a b = x b - a y dividiendo entre a2 b2 obtenemos que :

 2 2 2 2 x y = 1 a b Relación fundamental de la hipérbola (**)  2 2 2 c = a b

Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q), la ecuación debería de ser :

 2 2 2 2 (x - p) (y - q) = 1 a b Aplicación:

 Algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas

 La ley de Boyle es una relación hiperbólica, ya que se establece entre dos relaciones que son inversamente proporcionales entre sí

 La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto, son iguales. Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido).

EJEMPLO

Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son (-6,2) y (0,2) y con un extremo del eje imaginario en (-3,3)

El centro de la hipérbola será M_FF´(-3, 2)

Como Sabemos que B(-3,3) es un extremos del eje imaginario, el otro, debe ser B’(-3,1). Así pues conocemos:

 c = 3 (distancia focal entre dos)  b = 1 (distancia del centro a B)

 2 2 2 2 2 2

c = a b a = c - b

2 2 2

a = 3 - 1 = 9 - 1 = 8a = 8  La ecuación de la hipérbola será:

2 2

(x + 3) (y - 2) = 1 8  1

(14)

4. La parábola.

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que está a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.

En una parábola podemos encontrar los siguientes elementos: 1. El foco es el punto F.

2. La directriz es la recta d.

3. El radio vector de un punto P es el segmento PF que lo une al foco.

4. El parámetro es la distancia del foco a la directriz d y se designa por p.

5. El eje de la parábola es también un eje de simetría 6. El vértice es el punto V en que el eje corta a la parábola. 7. La excentricidad de una parábola es la razón entre la distancia de un punto P de la parábola al foco y a la directriz. 8. Por tanto la excentricidad e = 1.

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Ecuación analítica de la parábola

Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el punto (p/2, 0) y la directriz es la recta x=-p/2 (por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0)), si tomamos un punto cualquiera P(x , y) de la parábola y un punto Q(-p/2, y) de la directriz, debe de cumplirse que: d(P, F) = d(P, Q), y por tanto

 2 p 2 2 p 2 x + ( y - ) (x - x ) + ( y + ) 2 2 elevando al cuadrado : 2 2  2 2 2 p p x + ( y - ) ( y + ) 2 2 x + y      2 p + 2  2 p 2 y  2 y      2 p + 2  2 p 2 y x2 = 2py Aplicación:

 Las trayectorias que siguen los proyectiles son parábolas.  Newton lo demostró considerando a la Tierra como un plano

y sin tomar en cuenta la fricción del aire.

EJEMPLO

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EJERCICIOS DEL TEMA

Soluciones

1. Halla el centro y el radio de las circunferencias: a) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25 b) x2+ y2− 4x + 10y + 25 = 0 c) x2+ y2− 18x −9 = 0 d) x2 + y2 – 3x + 2y – 1 = 0 a) C(-1, 3); r=5 b) C(2, -5); r=2 c) C(9, 0); r= d) , 1 , 2 3       _ C r = 2 17

2. Escribir la ecuación de las circunferencias: a) De centro C(3,1) y radio r= 3. b) De centro C(0,-4) y radio r= 5.

a) x2+ y2− 6x -2y + 1 = 0 b) x2+ y2 + 8y - 9 = 0 3. Hallar la posición relativa de la recta r: 3x + 4y + 1 = 0 y la

circunferencia C: x2 + y2 – 2x + 2y – 23 = 0.

SECANTES y2+2y-8 = 0 / x2-2x-15 = 0 A(-3 , 2); B(5 , -4) 4. Determina los valores de k para que la recta r: y = x + k sea:

a) Exterior b) tangente c) secante… …a la circunferencia C: x2 + y2 + 3x + 5y + 11 = 0.

Siempre es exterior ∆=-4k2-8k-24 5. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(1,2) y

tangente a la recta r: 5x – y + 5 = 0. Hallar el punto de contacto. x

2

+ y2 – 2x – 4y + 33/13 = 0 6. Estudia la posición relativa de la circunferencia de ecuación

4x2 + 4y2 – 8x + 2 = 0 y la recta r: x – y – 2 = 0. Halla los puntos de corte, si los hubiera.

Tangente A(3/2 , -1/2)

7. Hallar la ecuación de una circunferencia concéntrica con la de

ecuación x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 y tangente a la recta r: 3x - 4y + 7 = 0

x2 + y2 – 4x + 6y - 12 = 0

8. Hallar la posición relativa de las circunferencias:  C₁: x2 + y2 – 8x + 4y + 4 = 0.

 C₂: x2 + y2 – 6x - 4y – 12 = 0.

Secantes

9. Estudia la posición relativa del punto P(k, -1) respecto a la circunferencia : x2 + y2 − 3x + 6y + 3 = 0 en función del valor de k.

3 17

2

(17)

10. Los puntos A(6, 0) y B(0, 8) son diametralmente opuestos en una

circunferencia. Calcula la ecuación de la misma. x

2

+ y2 – 6x – 8y = 0 11. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

A(-2, 3), B(1, 2) y tiene su centro en la recta x – 2y – 2 = 0.

(x + 2)2 + (y + 2)2 = 25

x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0 12. Halla el centro radical de las circunferencias:

 x2 + y2 − 4x + 2y + 4 = 0  x2 + (y - 3)2 =4  3x2 + 3y2 + 12x - 36 = 0       65 9 , 28 7

13. Halla la ecuación reducida de las siguientes elipses: a) distancia focal 4 y semieje menor 3,

b) semidistancia focal 3 y eje mayor 10,

c) pasa por el punto (8, 3) y su excentricidad es 2 3 a) 1 9 13 2 2   y x ; b) 1 16 25 2 2   y x ; c) 1 25 100 2 2   y x . 14. Calcula la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos

F(-1, 2) y F´(3, 2), y su excentricidad es igual a . 3 1 2 2 (x - 1) (y - 2) + = 1 36 32

15. Calcula todos los elementos de la elipse E12x236y2 432 16. Halla la ecuación reducida de las siguientes hipérbolas:

a) distancia focal 10 y eje imaginario 6, b) semidistancia focal 3 y eje real 4,

c) pasa por el punto (-3, 2) y su excentricidad es 3 5 a) 2 2 x y - = 1 16 9 ; b) 2 2 x y - = 1 4 5 ; c) 2 2 x y - = 1 3 2 .

17. Halla todos los elementos de la hipérbola H: 3x - 9y = 27 2 2

A(3,0,); A´(-3,0); B(0, 3);

B´(-0,- 3); F( 12,0);

F´(- 12,0)

18. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta x4 y del punto (4,0)

19. Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la recta x2 y del punto (4,6).

(18)

20. Estudia la posición relativa entre la recta y la circunferencia que se dan en cada caso.

a) r  y 2x1; C x2y2 10

b) r  y2x3; C x2y22x3y20 c) r  yx2; C x2y22y10

21. Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2 + 3y2 = 27

A(0, 3); A´(0, -3); B( 3,0); B´(- 3,0); F(0, 6);F´(0,- 6)

22. Ecuación de la elipse de focos F(1,1) y F’(1,-1) y cuyo semieje mayor es 4.

2 2

(x - 1) y

+ = 1

15 16

23. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3, 3), B(-4, 4) y C(0, 4).

2 2

C : x + y + 2x - 24 = 0 24. Encuentre la ecuación de la elipse sabiendo que tiene dos

vértices A(5, 0) y A´(-5, 0) y que los focos son F(3, 0) y F´(-3, 0).

2 2

x y

+ = 1

25 16 25. Halla la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta

2  

y y por vértice el punto (4,1)

26. Calcula los puntos de abscisa 2 de la parábolay2 8x

27. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto A(2, -3) y de la recta r: x – 2y –1 = 0. 4x

2_{+ y}2_{+ 4xy – 18x + 26y + 64 = 0}

28. Calcula el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a la recta r: 3x – 4y + 2 = 0 sea igual al cuadrado de su distancia al punto A(3, -2).

5x2 + 5y2 – 33x + 24y + 63 = 0 5x2 + 5y2 – 27x + 16y + 67 = 0

(19)

IE S H u art e De S an Ju an - L in are s TEMA 6 - CÓNICAS

Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola

2 2 2 (x - a) + (y - b) = r  2 2 2 2 x y = 1 a b  2 2 2 2 x y = 1 a b x 2 = 2py 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0, siendo:     _  2 2 2 D = -2a E = -2b F = a + b r 2 2 2 a = b + c (*) c = a + b2 2 2_(**) Si al sustituir el punto en la circunferencia sale:  Negativo: es INTERIOR  Positivo: es EXTERIOR  Cero es PERTENECIENTE 2 2 (*) c a - b e = = < 1 (porque c < a) a a 2 2 (**) c a + b e = = > 1 (porque c > a) a a e = 1