Sistemas Numéricos Cambios de Base Errores

Definición: es el desarrollo y estudio de procedimientos (algoritmos) para resolver problemas con ayuda de una computadora.

∫

+

π 0 2

)

(

cos

1

x

dx

Tema I: Introducción al Cálculo Numérico

•

Sistemas Numéricos

•

Cambios de Base

Un sistema de numeración en base b_{utiliza para}

representar los números un alfabeto compuesto por b símbolos o cifras. Ejemplos: b = 10 (decimal_{) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}} b = 16 (hexadecimal₎ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} b = 2 (binario_{) {0,1}}

• El número se expresa mediante una secuencia de cifras:

N ≡... n₄ n₃n₂ n₁ n₀ n_-1n_-2n_-3...

• El valor de cada cifra depende de la cifra en sí y de la posición que ocupa en la secuencia.

Sistemas Númericos y Cambios de Base

• Ejemplo en sistema decimal: 3000 0300 0030

El valor decimal del número se calcula mediante el polinomio: N ≡...+ n 3·b3+ n2·b2+ n1·b1+n0· b0+n-1·b-1...

∑

≡

i i i

·

b

n

N

Ejemplo: 175,372₈= 1· 82_{+ 7 · 8}1_{+ 5 · 8}0_{+ 3 · 8}-1₊ + 7 · 8-2_{+ 2 · 8}-3_{= 125,4882812} 10

4521,4875

3 2 1 0 -1-2-3-4

Cambios de Base

•

Método de divisiones sucesivas entre la

base

b

Sistemas Númericos y Cambios de Base

26₁₀= 11010₂

11010₂ =

Cambios de Base

•

Método de multiplicaciones sucesivas por

la base

b

0,1875₁₀= 0,0011₂

Ejercicios

•

Cambie de base el siguiente número:

18,75

₁₀

-> Base 4

Rango de representación:

Conjunto de valores representable. Con ncifras en la base b podemos formar bn_{combinaciones distintas.}

[0..bn-1_] 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Ejemplo sistema de numeración Binario de 3 cifras. Rango de 0 a 7 en decimal

Representación de números enteros

Sistemas Númericos y Cambios de Base

•El signo se representa en el bit más a la izquierda del dato. Bit (n-1)

•En el resto de los bits se representa el valor del número en binario natural. Bits (n-2)..0

n = 6 10₁₀= 001010 -10₁₀= 101010 n = 4 -7₁₀ = 1111 -14₁₀ = no representable Signo Signo

Representación de números reales

Coma Fija

10101,110 = 1×24_{+ 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2}0_{+ 1×2}-1_{+ 1×2}-2_{+ 0×2}-3_{= 21,7510}

01001,011 = 0×24_{+ 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2}0_{+ 0×2}-1_{+ 1×2}-2_{+ 1×2}-3_{= 9,37510}

N=8 (5 parte entera y 3 para la fraccionaria)

0.125 0.25 0 1 0 0 8 0

Representación de números reales

Coma Flotante

00000,100 = 0×24_{+ 0×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 0×2}0_{+ 0×2}-1_{+ 1×2}-2_{+ 1×2}-3_{= 0.375}

0,1100110 x 2-1_{= 0×2}0_{+ 1×2}-1_{+ 1×2}-_{² + 0×2}-3_{+ 1×2}-4_{+ 1×2}-5_{+ 1×2}-6_{+ 0×2}-7₌

0,4296875

Ejemplo: En notación de coma fija, con 5 dígitos para los enteros y 3 dígitos,

0,4296875 en coma fija

Sistemas Númericos y Cambios de Base

0,4296875 en coma flotante

Representación Finita

Supongamos un Sistema de Numeración Binario, de 2 digitos de punto foltante.

.10₂x 2-1_{= 1/8} .102x 2-1= 1/4 .10₂x 2-0_{= 1/2} .10₂x 21_{= 1} .11₂x 20_{= 3/4} .11₂x 22_{= 2} .112x 23= 4 .11₂x 2-2_{= 3/16} .11₂x 2-1_{= 3/8} .112x 21= 3/2 .11₂x 22_{= 3} .10₂x 23_{= 6}

Representación Finita

Supongamos un Sistema de Numeración Binario, de 2 digitos de punto foltante.

Sistemas Númericos y Cambios de Base

6 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 8 3 4 1 8 1 Desbordamiento Overflow Subdesbordamiento Underflow

Errores

•

Error en la Data Original

•

Fallos

•

Error por Truncamiento

•

Error por Redondeo

•

Error Propagado

Errores

•

Error por truncamiento: Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos, es truncada.

Aritemética por Computadora y Errores

Serie truncada Serie exacta

!

3

!

2

!

1

1

3 2

_x

x

x

e

x

≅

+

+

+

∑

∞ =

+

=

1

!

1

n n x

n

x

e

Errores

•

Error por redondeo: El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema

numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita

6 4 3 2 1 2 3 4 3 2 1 8 3 4 1 8 1 Desbordamiento Overflow Subdesbordamiento Underflow

Errores

•

Error por Propagado: Puede definirse como el error de salida provocado por un error en la entrada, suponiendo que todos los cálculos intermedios se efectúan exactamente (en particular, sin error de redondeo)

2x3_-0.33x2_{+8 = 0}

Aritemética por Computadora y Errores

Estimación de Errores

• El error absoluto:es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:

Error absoluto = |exacto – calculado|

Ejemplo:

Valor Exacto= 0.001 Valor Calculado= 0.002 Error absoluto = |0.001 – 0.002|= 0.001

Estimación de Errores

• El error relativo: es el error absoluto dividido entre el valor exacto.

Error relativo = |exacto – calculado| |exacto|

Ejemplo:

Valor Exacto= 0.001 Valor Calculado= 0.002 Error absoluto = |0.001 – 0.002|= 1 100%

0.001

Aritemética por Computadora y Errores

Estimación de Errores

• Ejemplo: Valor Exacto= 0.3x101 Valor Calculado= 0.31x101 Error absoluto= |0.3x101_{– 0.31x10}1_{| = |3.0 – 3.1| = 0.1} Error relativo= |0.3x101_{– 0.31x10}1_{| = 0.1 = 0.33} |0.3x101_{| 3}