Cálculos de esfuerzos y deformaciones de la pared arterial

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(1)CALCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES DE LA PARED ARTERIAL. Nicolás Castañeda Sandoval. Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Bogotá, Diciembre 2009.

(2) CALCULO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES DE LA PARED ARTERIAL. Nicolás Castañeda Sandoval Proyecto para optar al título de Ingeniero Mecánico. Asesor:. JUAN CARLOS BRICEÑO TRIANA Ph.D. en Ingeniería Biomédica. Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Bogotá, Diciembre 2009.

(3) AGRADECIMIENTOS Agradezco a mis padres y mi hermana por el apoyo incondicional y fe que siempre los ha caracterizado en el transcurso de mi vida. Desde el inicio hasta el final de esta etapa académica.. A mis abuelos, primas, tías y tíos por su gran apoyo y ayuda en todas las etapas de mi vida en especial en esta ultima que comprometió mis años universitarios.. A mis amigos más cercanos por sus palabras de apoyo en el transcurso de estos 5 años y la grata compañía que siempre me han brindado. Además de su empuje en los años duros por los que pase.. Al grupo de Biomédica de la Universidad de los Andes, en especial a Juan Carlos Briceño por sus aportes, ayuda y guía en el transcurso de la realización de este proyecto.. A los profesores del Departamento de Ingeniería Mecánica por sus enseñanzas y palabras sabias, tanto en el ámbito académico como en el de formación personal a lo largo de estos cinco años.. A todas aquellas personas que han pasado por mi vida que de alguna u otra manera forjaron la persona que soy y me ayudaron en mis metas personales y académicas hasta el momento de escribir este proyecto..

(4) Tabla de contenido 1.. INTRODUCCION ................................................................................................ 8. 2.. OBJETIVOS ........................................................................................................ 9. 3.. 2.1. Objetivo Principal ....................................................................................... 9. 2.2. Objetivos Secundarios ................................................................................ 9. MARCO TEORICO ............................................................................................ 10 3.1 Sistema Cardiovascular ................................................................................ 10 3.2 Arterias ......................................................................................................... 11 3.3 Pruebas Mecánicas ....................................................................................... 12 3.4 Isotropía, Ortotropía y Anisotropía................................................................ 13 3.5 Análisis de Cilindro de Pared Delgada............................................................ 14 3.6 Cilindro Pared Gruesa ................................................................................... 16 3.7 Modulo de Elasticidad ................................................................................... 17 3.8 Modulo de Poisson........................................................................................ 17 3.9 Presión hidrostática ...................................................................................... 17 3.10 Máquina de Ensayo Biaxial .......................................................................... 18 3.11 Materiales Biológicos .................................................................................. 20. 4.. Metodología Experimental y Protocolo ........................................................... 21 4.1. Caracterización Material ........................................................................... 22. 4.2. Modelos Mecánicos .................................................................................. 26.

(5) 4.3. Prueba Presión-Volumen .......................................................................... 28. 4.4. Protocolo .................................................................................................. 32. 5.. Resultados ...................................................................................................... 36 5.1. Resultados de caracterización................................................................... 36. 5.2. Resultados de análisis de modelos mecánicos .......................................... 41. 5.3. Pruebas de Presión-Volumen.................................................................... 43. 6.. Discusión ........................................................................................................ 50. 7.. Bibliografía ...................................................................................................... 52. Tabla de imágenes •. Figura 1. Imagen sistema cardiovascular. •. Figura 2. Anatomía de las arterias1. •. Figura 3. Definición de direcciones en pared arterial.. •. Figura 4. Montaje de la Máquina de Ensayo Biaxial. (A) Motores Actuadores, (B) Video Extensómetro, (C) Regulador de Temperatura, (D) Computador con WINTEST Software.. •. Figura 5. Montaje y dimensiones de la Muestra para la Máquina de Ensayo Biaxial. [7]. •. Figura 6. Histéresis en arterias.. •. Figura 7. Muestras de arteria carótida luego de limpieza parcial. •. Figura 8. Sistema coordenado en la muestra.. •. Figura 9. Ciclo de pruebas en el tiempo alimentado por desplazamiento.. •. Figura 10. Montaje de muestra de arteria en prueba uniaxial..

(6) •. Figura 11. Diagrama montaje presión-volumen. •. Figura 12. Montaje final Presión-Deformación. •. Figura 13. Montaje de arteria. •. Figura 14. Ilustración geométrica del estado de cambio de volumen en arteria. •. Figura 15. Grafica Esfuerzo-Deformación en el sentido circunferencial. •. Figura 16. Grafica Esfuerzo-Deformación en sentido axial.. •. Figura 17. Grafica esfuerzo-deformación en sentido circunferencial promediada. •. Figura 18. Grafica esfuerzo-deformación en sentido axial promediada. •. Figura 19. Variación de la deformación debido a efecto de poisson. •. Figura 20. Resultados de pruebas de presión-volumen. •. Figura 21. Datos ponderados de deformación ante presión interna de la arteria. •. Figura 22. Modelos de pared delgada comparados con resultados experimentales. •. Figura 23. Pared gruesa ortotrópica comparado con resultados experimentales. •. Figura 24. Pared gruesa isotrópica comparada con resultados experimentales. •. Figura 25. Pared delgada isotrópica comparada con resultados experimentales. •. Figura 26. Pared gruesa isotrópica comparada con resultados experimentales. •. Figura 27. Pared delgada ortotrópico comparada con resultados experimentales.

(7) •. Figura 28. Pared gruesa ortotrópico comparada con resultados experimentales. Lista de Tablas •. Tabla 1. Ecuaciones modelos matemáticos.. •. Tabla 2. Caracterización Material. •. Tabla 3. Modulo de Poisson.. •. Tabla 4. Valores de Esfuerzo y deformación para presión de 106,6mmHg. •. Tabla 5. Análisis Χi2 de resultados.

(8) 1. INTRODUCCION. Al generarse una lesión en una arteria hay varios métodos que se usan para lograr un flujo estable de sangre. Uno de estos métodos es reemplazar la arteria con un nuevo injerto. Este material puede ser de índole artificial o natural. Al hacerse natural se implanta una arteria del paciente que comúnmente puede ser tomada de la pierna, en búsqueda de evitar una cirugía adicional para resolver el problema con la lesión, la Universidad de Los Andes liderado por el grupo de Biomédica ha desarrollado un método de implantación de arterias artificiales. Estos reemplazos se crean a partir de SIS (“small intestinal submucose”), que no solo sirven como conducto para la sangre sino que así mismo logra regenerar tejido de arteria en su matriz de colágeno con el paso del tiempo.. Debido a estándares internacionales se deben hacer pruebas en animales y encontrar resultados favorables antes de generar pruebas en humanos. Es por esto que este proyecto pretende estudiar tejidos animales en lugar de humanos. Así mismo dado que el proyecto pretende entender con mayor claridad todos los componentes que están involucrados en la implantación de la vena artificial, este proyecto. pretende. caracterizar. los. materiales. involucrados. siendo. este. particularmente la arteria carótida distal. Para esto se pretende hacer una caracterización del tejido seguido por un experimento in vitro que simule el estado de presión de una arteria..

(9) A partir de estas pruebas de laboratorio se pretende observar diferencias entre modelos matemáticos que predigan deformaciones en la arteria y las pruebas realizadas al la muestra de presión y cambio de volumen.. 2. OBJETIVOS 2.1 Objetivo Principal. Caracterizar mecánicamente arteria carótida distal para encontrar el modelo matemático que describa de manera más precisa el comportamiento biológico de la arteria mediante un experimento in vitro.. 2.2 Objetivos Secundarios. •. Realizar estudio Bibliográfico. •. Obtener y crear las muestras de arteria carótida y submucosa. •. Crear modelos matemáticos de esfuerzos y deformaciones. •. Encontrar valores de esfuerzo de cedencia y poisson en las direcciones pertinentes.. •. Predecir deformaciones y esfuerzos en la arteria con ayuda de los modelos matemáticos y las propiedades mecánicas del material.. •. Crear experimento in situ de cambio volumétrico a presión. •. Comparar modelos con resultados de prueba de presión-volumen y elegir el modelo que describe de manera más acertada el fenómeno natural..

(10) 3. MARCO TEORICO. 3.1 Sistema Cardiovascular El sistema cardiovascular puede ser divido en tres divisiones todas igual de importantes, el corazón, arterias y venas y sangre. Este sistema está encargado del transporte de nutrientes y oxigeno al cuerpo. El corazón actúa como una bomba de 2 momentos capaz de impulsar la sangre a los pulmones para oxigenarla y luego de esto bombearla al cuerpo para entregarle este oxigeno. La sangre es transportada a través de un vasto sistema de irrigación denominado el sistema circulatorio el cual comprende las arterias que son aquellas que transportan la sangre oxigenada del corazón al cuerpo. Luego de entregar el oxigeno esta vuelve al corazón para ser bombeada a los pulmones y empezar el ciclo nuevamente. La sangre es un liquido corporal capaz de transportar por si mismo nutrientes y oxigeno a las diferentes células del cuerpo. Es también capaz de transportar y disponer. de. los. deshechos que. las células generan.. Está. compuesta. mayoritariamente por plasma que es 90% agua y hace parte también de la sangre células como las células rojas, blancas incluyendo las plaquetas..

(11) Figura 6. Imagen sistema cardiovascular (REVISTA PUBLIVISOR, 2009). 3.2 Arterias Las arterias son vasos que llevan la sangre del corazón al resto del cuerpo es así que se diferencia de las venas debido que ellas llevan la sangre al corazón. Es un conducto membranoso y elástico encargado de transportar la sangre a todo el cuerpo. Están compuestas por 3 partes mayoritarias: •. Tejido externo. •. Capa media. Con fibras musculosas y fibras elásticas. •. Capa Interna. Principalmente constituido por el endotelio.. Figura 7. Anatomía de las arterias (Harun Yahya, 1997).

(12) 3.3 Pruebas Mecánicas Para caracterizar un material mecánicamente comúnmente se realiza un ensayo a tensión para generar una grafica esfuerzo-deformación. Para encontrar el esfuerzo al que se está exponiendo un material a tensión pura, se acude a la siguiente . ecuación donde F es la fuerza a la cual está expuesto el material y A el área . donde actúa esta fuerza. Así mismo la deformación es un índice geométrico que esta dado por el cambio de la longitud del material de la siguiente manera . . donde lo es la longitud inicial y l la longitud luego de presentarse una carga en el material. Una prueba de tensión uniaxial es aquella en la cual se genera una carga en una probeta en una única dirección ortogonal de tal manera que el esfuerzo más importante sea este. La probetas son basadas en estándares y a través de controles sobre la carga y las deformaciones se puede extraer la curva esfuerzo deformación directamente. Así mismo se han creado instrumentos capaces de generar pruebas biaxiales estas son aquellas que son capaces de generar cargas en dos direcciones distintas generalmente perpendiculares. Estas pruebas toman relevancia en materiales que a diferencia de aquellos típicos en la ingeniera como los metales se comportan de manera distinta ante la presencia de cargas en direcciones ortogonales distintas. Materiales como polímeros, tejidos biológicos o materiales compuestos son algunos ejemplos de materiales con comportamientos mecánicos distintos dependiendo del estado de carga. Estas pruebas además son capaces de.

(13) generar estados de cargas biaxiales que ayudan a modelar situaciones de cargas más reales a las que genera una prueba uniaxial.. 3.4 Isotropía, Ortotropía y Anisotropía Los materiales todos se comportan de manera distinta ante una carga a la que estén expuestos. Algunos materiales se comportan de la misma manera indiferente de la dirección a la que la carga se presente, estos materiales son llamados isotrópicos, esto por lo general es una idealización pero se puede observar en algunos metales, cerámicos entre otros. La anisotropía es una característica opuesta a la isotropía en cuanto el material se comporta de manera distinta dependiendo de la dirección de la carga al que está expuesto. Esto se observa con claridad en materiales fibrosos como lo son los tejidos biológicos, los polímeros, fibras naturales y los materiales compuestos por nombrar algunos ejemplos. Ortotropía es una variante de la anisotropía e igualmente es una idealización bajo la cual el material se comporta de manera distinta en ciertas direcciones ortogonales, es así que el material solo toma propiedades mecánicas de importancia en las direcciones ortogonales principales. Para el caso de la arteria se tomara por ortotropía, diferencia en la dirección axial, circunferencial y radial de la pared arterial..

(14) 3.5 Análisis de Cilindro de Pared Delgada. Considerando el análisis de un cilindro hueco con un fluido a presión en el interior, se genera un estado de cargas en la pared del mismo en las tres direcciones ortogonales pertinentes (radial, tangencial y axial) la siguiente figura lo muestra con mayor facilidad:. Figura 8. Definición de direcciones en pared arterial.. Para hallar los valores de estos esfuerzos nos remitimos a las siguientes demostraciones: Aislando un segmento semicilíndrico de longitud L y el fluido que contiene este internamente encontramos que la fuerza en el sentido circunferencial está dada por:. . . [1].

(15) Donde L*t es el área de la pared expuesta a la carga, así mismo hay una carga generada por la presión del fluido que está dada por:. [2]. . Al analizar el diagrama de cuerpo libre de semicilindro obtenemos que:. . [3]. . Encontrando así que el esfuerzo circunferencial esta dado por la siguiente ecuación:. . . [4]. . Para encontrar el esfuerzo axial nos valemos de la observación del cilindro cortado transversalmente o como se muestra en la figura anterior. En este caso la fuerza en la pared está dada por la ecuación interna es. . y la fuerza generada por la presión. . Igualando las ecuaciones como se hizo anteriormente nos. encontramos con el valor del esfuerzo axial que se encuentra a partir de:. . . [5]. Se puede observar que el esfuerzo axial es la mitad del esfuerzo circunferencial, así mismo debido a que el esfuerzo radial es diminuto comparativamente se excluye del análisis de carga..

(16) Es preciso saber que el análisis anterior se hace para un cilindro cerrado este análisis tiene unas diferencias al tomarse como un cilindro abierto similar similar a un tubo y a una arteria. La principal radica en que el esfuerzo axial es nulo ya que no hay un tapa a la cual el fluido le genere una carga, carga eliminando así este esfuerzo quedamos solo con un esfuerzo circunferencial que nos generara un cambio de circunferencia circunferencia en la arteria.. 3.6 Cilindro Pared Gruesa El análisis para este modelo geométrico es similar al anterior con la diferencia que al ser el grosor más grande deja de ser despreciable y toma relevancia en los cálculos de los esfuerzos. Las ecuaciones para encontrar los valores de los esfuerzos son entonces:. [6]. [7]. [8] Es pertinente entender que este esfuerzo radial toma no solo relevancia al existir como un valor critico de ingeniería, sino porque afectara así mismo los otros.

(17) esfuerzos y deformaciones dependiendo del valor de poisson al que estén expuestos.. 3.7 Modulo de Elasticidad Los materiales al ser expuestos a una carga se deforman, para la mayoría de materiales se observa una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación. Esta propiedad se observa con claridad en el resorte, que fue como Robert Hooke lo descubrió. Este fenómeno se puede observar como:. . [9]. Esto se puede observar como la pendiente a la que crece el esfuerzo dado una deformación que es como se aprecia en la grafica esfuerzo-deformación. 3.8 Modulo de Poisson Es el efecto de contracción o deformación transversal generada por un objeto al ser expuesto a una carga en la dirección contraria. La comparación entre las deformaciones son el modulo de poisson y se define de la siguiente manera:. . !. [10]. ". Los valores de Poisson oscilan para todos los materiales por lo general entre -1 y 0,5.. 3.9 Presión hidrostática.

(18) Un fluido al generar un volumen generara una presión debida a la columna que se genera de este mismo. Es de esta manera que se puede explicar cómo a medida que se desciende en un ambiente con fluido la presión aumenta. La presión en un punto dado dentro de un fluido se describe como:. # $%& ' #( [11] Donde P es la presión, $ es la densidad del fluido, g la gravedad, h la diferencia de altura entre la superficie superior y el punto de medición y Po la presión externa. La inclusión de este último término define si la medición es de manera manométrica o absoluta. Para efectos comparativos es más común utilizar la medición manométrica.. 3.10 Máquina de Ensayo Biaxial El sistema para realizar una prueba de ensayo biaxial de tensión está completo por la disposición en cruz de motores y actuadores, un video extensómetro, celdas de carga, un regulador de temperatura y el software programable para el funcionamiento del sistema. La máquina para ensayos biaxiales utilizada es una Bose Electroforce Planar Biaxial Testbench..

(19) Figura 9. Montaje de la Máquina de Ensayo Biaxial. (A) Motores Actuadores, (B) Video Extensómetro, (C) Regulador de Temperatura, (D) Computador con WINTEST Software.. Figura 10. Montaje [Sacks: 2] y dimensiones de la Muestra para la Máquina de Ensayo Biaxial.. Se deben considerar dos restricciones importantes del montaje: • Necesidad de muestras pequeñas por restricciones de desplazamiento de los motores (6.5 mm de movimiento en cada dirección). Entre 1-1,5cm • Análisis reducido de deformación debido a que solo se generan esfuerzos relativamente pequeños por restricciones de las celdas de carga (máxima carga soportada de 20N)..

(20) 3.11 Materiales Biológicos Es necesario tener presente que existen ciertas diferencias entre hacer pruebas a materiales comunes y materiales biológicos debido a su naturaleza. Entre estas debemos considerar:. •. Los materiales biológicos requieren instrumentos específicos para generar las condiciones apropiadas para probarlos. •. Los materiales biológicos son por lo general aniso trópicos debido a su naturaleza fibrosa.. •. Se debe tener presente que estos materiales están pre-cargados generalmente debido a su ubicación corporal y para responder al uso de estos por el individuo.. •. Estos tejidos presentan por lo general insensibilidad a la tasa de deformación.. •. Fenómenos como histéresis son comunes dentro del estudio de estos materiales.. Para suplir estos requerimientos. es necesario generar ciertos parámetros. dentro del ensayo del tejido. Entre estos es pertinente generar una curva de pre-condicionamiento para ayudar al material. a eliminar el fenómeno de. histéresis variante y generar una curva de carga y descarga estabilizada..

(21) Figura 6. Histéresis en arterias.. 4. Metodología Experimental y Protocolo. La metodología experimental se divide en 2 partes principales la primera parte es la caracterización del material que toma efecto en el sistema biaxial bose y la segunda que es una prueba de presión-volumen que será observada en detalle posteriormente. Con la primera etapa experimental y ayuda de los modelos matemáticos descritos anteriormente, se pretende desarrollar un modelo de presión interna-esfuerzodeformación en la pared arterial. Estos valores de índole teóricos serán comparados con los valores encontrados en la segunda etapa de este trabajo, esto para encontrar el modelo más cercano a la realidad..

(22) Es pertinente expresar que debido a la naturaleza biológica de las muestras y de este proyecto, todo lo relacionado a pruebas experimentales y manipulación de muestras se debe hacer siguiendo y manteniendo el. protocolo para evitar. accidentes. Todo contacto con las muestras fue hecho con el equipo de seguridad necesario, gafas guantes y batas. Este proceso tomaba un protocolo más agresivo en la planta de sacrificio debido a los riesgos biológicos a los que se es expuesto.. 4.1 Caracterización Material. La metodología de la caracterización de las muestras de arteria carótida se divide así mismo en dos partes. La primera compone la adquisición de las muestras, el cuidado, limpieza, transporte y refrigeración de estas. Para asegurar la calidad de las muestres estas se deben conseguir de un lugar apropiado y certificado para el sacrificio animal. No solo debido a calidad sino también debido al riesgo biológico que supone tratar con tejidos biológicos es pertinente conseguir muestras frescas del tejido esto también para asegurar que no se degraden. Siguiendo esta idea todas las muestras utilizadas en este proyecto fueron adquiridas de la Planta de Sacrificio Animal de Tabio, Cundinamarca. Estas muestras fueron donadas con fines académicos por el administrador de la planta y fueron debidamente certificadas por él mismo. Esto requiere seguir normas de seguridad industrial tanto para el ingreso a la planta como para el tratamiento de las muestras. Las muestras fueron tomadas en minutos, máximo dos horas.

(23) después de la defunción del animal. El corte se hizo luego de la identificación de la arteria carótida en las denominadas viseras rojas del animal.. Figura 7 . Muestras de arteria carótida luego de limpieza parcial. Las muestras deben mantenerse refrigeradas para transportarse en solución salina al 0,8% y tienen un protocolo de refrigeración hasta el momento de prueba. Las muestras son estudiadas en 3 ejes: circunferencial o tangencial, axial o longitudinal y radial..

(24) Figura 8. Sistema coordenado en la muestra.. La preparación final de las muestras será explicada con detenimiento en el protocolo de prueba diseñado. Posterior al montaje se definió el comando de prueba que definiría el ensayo realizado a las muestras. Este sigue el siguiente bloque retroalimentado por el desplazamiento del motor.. Prueba Uniaxial 8 Desplazamiento [mm]. 6 4 2 0 -2 0. 50. 100. 150. -4 -6 -8. Tiempo [s]. Figura 9. Ciclo de pruebas en el tiempo alimentado por desplazamiento.. 200.

(25) Esto se observa en una curva de tiempo contra desplazamiento donde el sistema es retroalimentado por el desplazamiento de los motores. Esta curva se ha venido usando de manera similar para diferentes proyectos del grupo de biomédica de la Universidad de los Andes: La curva muestra una precarga de 15 ciclos llevando la muestra hasta aproximadamente un 5-7% de deformación y termina con una rampa a 10% de deformación por segundo. De esta manera la prueba dura aproximadamente 300 segundos. Esta prueba es constante para todas las muestras que se probaron de manera uniaxial y se hicieron todas con el motor D11 para asegurar mayor homogeneidad en los resultados. Estas pruebas se hacen sumergidas en solución salina a temperatura ambiente y deben estar en lo posibles ajenas a cualquier agente de vibración externo, esto debido a la gran sensibilidad de las celdas de carga.. Figura 10. Montaje de muestra de arteria en prueba uniaxial..

(26) Posterior a prueba se debe seguir un protocolo de limpieza para evitar reproducción de bacterias y agentes nocivos. Así como también se siguieron las normas de disposición de materiales biológicos de la universidad.. 4.2 Modelos Mecánicos. Como se ha explicado la intención del proyecto es comparar resultados de un experimento de presión-volumen con cuatro modelos mecánicos distintos para observar comportamiento. Las arterias que se usaron durante todo el proyecto mantienen una relación diámetro/espesor cercana a 10. Esto es el límite entre los modelos de pared delgada y pared gruesa. Es por esto que ambos modelos serán ambos evaluados en el transcurso del proyecto. Igualmente se pretende simplificar, el análisis teórico de las arterias por lo cual aunque se tiene entendido por la literatura, que los materiales biológicos se comportan de manera ortotrópica, analizar la arteria como un material isotrópico. Esta ortotropía a la que se referirá el proyecto será útil en dos direcciones ortogonales, la circunferencial y la axial. Esto se debe a que la caracterización en sentido radial y todo lo relacionado con esta dirección se dificulta. con los. instrumentos usados para caracterizar. La siguiente tabla muestra cómo se comportan los modelos matemáticos para cada uno de los modelos:.

(27) Material Geometría. Isotrópico. Pared delgada. Ortotrópico. Pared delgada. Isotrópico. Pared gruesa. Ortotrópico. Pared gruesa. Esfuerzo en la dirección circunferencial. Esfuerzo en la dirección axial. Esfuerzo en la dirección radial. Propiedades mecánicas. Deformaciones. Tabla 2. Ecuaciones modelos matemáticos.. Anteriormente se referencio el modelo de tubo largo, bajo el cual el contenedor cilíndrico no tiene tapas o estas están lo suficientemente alejadas como para asumir que el esfuerzo axial se torna nulo. Ambos escenario serán observados y comparados con los valores encontrados experimentalmente. La metodología sigue el siguiente procedimiento analítico, primero se examinan las arterias para sus propiedades geométricas para así, evaluar el esfuerzo generado bajo una presión inducida al interior de esta. Posterior a esto usando los valores del material encontrados en la caracterización, se encuentran los valores de deformación que son los de comparación en fases posteriores del proyecto. Esto se debe a la dificultad para medir de manera acertada los esfuerzos a los que esta expuesto un material..

(28) 4.3 Prueba Presión-Volumen Esta parte compone la segunda y parte final de lo que comprende los procedimientos experimentales. Esta prueba pretende observar las deformaciones de la arteria al ser expuesta a una presión interna creada por una columna de agua. Esto ayudara a corroborar los cálculos generados por métodos matemáticos y la caracterización del material, para esto se creó un montaje experimental:. Figura 11. Diagrama montaje presión-volumen. Para estas pruebas se mantuvieron y se continuaron con los protocolos de higiene y transporte de las muestras, así mismo todas fueron adquiridas de la planta de sacrificio de Tabio, Cundinamarca. Las pruebas se hicieron igualmente en el laboratorio de dinámica cardiovascular de la Universidad de los Andes. El montaje conto con un soporte de altura para sostener la columna de agua, mangueras transparentes de tamaño apropiado para el montaje de las muestras, agarres plásticos, cinta de teflón (los últimos para.

(29) agarre de la arteria a la manguera y evitar fugas), solución salina y el video extensómetro del sistema biaxial bose. Para la adquisición de datos se utilizo el mismo programa de captura que utiliza el sistema biaxial controlando el tiempo. Para entonces generar las curvas de presióndeformación, se demarcaron alturas en la columna de agua bajo la cual se encontraba una presión interna específica deseada. Al iniciar la prueba se calibra un cronometro con el inicio de la prueba en el programa computacional. Se toman los valores del tiempo al llegar a cierta altura y luego con estos tiempos se encontraba el valor de la deformación con ayuda del extensómetro. De esta manera se encuentran en 8 momentos de presión, la deformación que genera está en la arteria. Es preciso indicar que así como en la prueba de tensión al material también se le genera una precarga equivalente mediante el uso de una pequeña columna de presión que simularía la misma carga expuesta en el otro experimento. Al hacer esto se asegura que el material empieza su ciclo de carga desde un punto cercano al que se creó en la otra prueba dando resultados más validos. El montaje final se puede apreciar en la siguiente imagen.

(30) Figura 12. Montaje final Presión-Deformación. Figura 13. Montaje de arteria. Como se observa en la imagen anterior de la misma manera que en la prueba de tensión se marcaron unos puntos de referencia para el video extensómetro. Debido.

(31) a que este material no es plano como en el caso anterior se va a observar una discrepancia frente a los valores reales de deformación. Para el caso pertinente al sentido circunferencial se genero la siguiente demostración que explicara cómo se comporta el fenómeno en esta dirección.. Figura 14. Ilustración geométrica del estado de cambio de volumen en arteria.. Si se detiene a observar la deformación circunferencial en la arteria se da por el aumento o descenso del valor del radio externo. Entonces siguiendo esta analogía si se encuentra el cambio del radio se puede encontrar el valor de la deformación en ese sentido. Se observa que la variación en dimensiones se da como un cambio dr o dl esto se puede suponer como el valor inicial más un aumento porcentual.. )* * ' +*,- ) ' + [12] Entonces haciendo un análisis de semejanza de triángulos podemos ver que: . . /. +.. . 0. 0. /0. +0.. [13].

(32) . . 1/+.. . 0. 0. 1/+0. . 2 ' +* 2 ' + + +. [14]. [15]. [16]. Entonces podemos observar que el cambio en la longitud vertical es equivalente al cambio en el radio de manera porcentual. La distancia vertical es la misma que observa la cámara para el cambio en una dirección. Es necesario igual indicar que hay una aberración debido a la distancia de la cámara la distancia que aumenta el radio también lo aumenta en dirección de la cámara pero debido a que el cambio es pequeño y la distancia es bastante mayor a la de la arteria podemos asumir un efecto lineal y evitar tomar con detalle el efecto óptico que se genera por la distancia.. 4.4 Protocolo. Este fue el protocolo que se utilizo para la adquisición, manejo, prueba y disposición de las muestras de arteria carótida bovina usada a través del proyecto de grado. Vale la pena indicar que el protocolo se enfoca también en el uso del sistema biaxial bose y no en la prueba de presión-volumen. Aun así todo lo que no es referente al sistema se hizo de manera equivalente para asegurar el mismo tratamiento y la misma calidad de las muestras de arteria..

(33) 1. Obtener muestras de lugar apropiado, asegurar calidad de animal (Planta de sacrificio animal) a. Usar equipo de protección: bata, guantes, tapabocas, gafas de seguridad, botas de obra. b. Desinfectar cuchillo para corte c. Ubicar arterias en las vísceras rojas y cortar con precaución d. Limpiar excesos de sangre y colocar en recipiente con solución salina 2. Refrigeración y transporte a 4°C en solución salina a. Transporte en nevera portátil para asegurar temperatura estable 3. Refrigeración de muestras hasta momento de prueba a. Muestras a probar al día siguiente se refrigeran a 4°C b. Muestras a probar después del día siguiente se congelan a -14°C hasta el día anterior a la prueba donde se dejan al aire libre 4. Limpiar arteria y generar corte longitudinal a. Retirar exceso de tejido externo b. Cortar con bisturí limpio de manera longitudinal 5. Retirar tejido de pared exterior de la arteria y marcar dirección para referencia a. Luego del corte se facilita retirar el tejido externo (mantener humedeciendo la arteria en solución salina). b. Marcar con marcador permanente una línea a través de la dirección longitudinal para mantener referencia en el montaje de las mordazas..

(34) 6. Cortar muestra de arteria cuadrada de 1,4cm de lado a. Con ayuda de un calibrador marcar las distancias b. Trazar la línea de corte con bisturí c. Terminar corte con tijera d. Humedecer muestra en solución salina 7. Colocar anzuelos a 3.5 mm de distancia en direcciones opuestas a. De ser necesario marcar las distancias b. Colocar anzuelo de una esquina de manera vertical para evitar desgarre de la muestra c. Seguir hasta el anzuelo de la otra esquina d. Remojar muestra y repetir para mordaza contraria 8. Hacer marcación de 5 puntos generando un cuadrado de 7mm de lado aproximadamente con 4 puntos y marcar un punto en el centro del cuadrado 9. Recortar distancia nylon y asegurar tensión pareja en los anzuelos a. Observar con atención tensión en el nylon de los anzuelos y con ayuda del mecanismo de tensión de la mordaza recoger nylon hasta punto cercano a la mordaza para asegurar tensiones iguales b. Asegurar mecanismo de tensión c. Repetir en mordaza contraria 10. Llenar ambiente de sistema biaxial con solución salina a temperatura ambiente.

(35) a. Colocar mordazas sin ajustarlas al sistema para asegurar humedad en la muestra. b. Prender sistema biaxial, Computador y abrir programa Wintest® 11. Abrir secuencia de prueba creada para prueba de las muestras a. Encender actuador y desplazara a posición negativa -6,4mm 12. Montaje de mordaza en sistema biaxial y generar precarga cercana a los 0,7N en el material. a. Observando constantemente el programa para evitar cruzar los limites de desplazamiento de los motores o la carga de las celdas de carga ajustar primero mordaza al brazo del motor. b. Sin generar carga en la muestra acoplar mordaza opuesta y luego pre-cargar muestra a 0,7N aproximadamente c. Asegurar brazo de celda de carga 13. Realizar prueba a. Preparar Video-extensómetro para prueba b. Preparar toma de datos para prueba c. Realizar prueba evitando movimientos bruscos que generen ruido en la prueba 14. Desmonte muestra a. Parar toma de datos del Video-Extensómetro b. Aflojar brazo de celda de carga c. Aflojar mordazas.

(36) d. Con ayuda de tijeras remover muestra de los anzuelos asegurando no dejar partes de esta en los anzuelos 15. Repetir pruebas necesarias 16. Limpieza sistema y herramientas a. Limpiar con jabón mordazas y secar con aire a presión para evitar corrosión b. Retirar solución salina de sistema y limpiar recipientes poliméricos con jabón y agua abundante c. Enjabonar pinzas y tijeras repetidas veces limpiar con abundante agua. d. Restos de muestras, papel de limpieza y de trabajo eliminados en bolsa roja de riesgo debidamente demarcada. e. Limpieza de zona de trabajo con jabón y agua.. 5. Resultados 5.1 Resultados de caracterización. Siguiendo con la metodología anteriormente mencionada, primero se optó por caracterizar el material en las direcciones posibles siendo estas circunferencial y axial para describir el material de manera completa. En cada dirección se generaron 20 pruebas de tensión uniaxial cada una con una muestra distinta debido a que la.

(37) mayoría llegaban a la ruptura. Es preciso indicar que las curvas que a continuación se observaran las curvas hasta el 20% de deformación, esto debido a que las pruebas que se pretenden hacer no sobrepasaran el 10% de deformación y se espera que a una deformación mayor el material se comporte de manera plástica y no recupere su geometría inicial. Las pruebas todas fueron realizadas en muestras de distintas reces para generar un conocimiento general del material y un análisis estadístico más apropiado. Estas pruebas igualmente se realizaron en el transcurso de tres meses siguiendo el mismo protocolo.. 300. 250. Esfuerzo [kPa]. 200. 150. 100. 50. 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. Deformacion [%] Prueba 1. Prueba 2. Prueba 3. Prueba 4. Prueba 5. Prueba 6. Prueba 7. Prueba 8. Prueba 9. Prueba 10. Prueba 11. Prueba 12. Prueba 13. Prueba 14. Prueba 15. Prueba 16. Prueba 17. Prueba 18. Prueba 19. Prueba 20. Figura 15. Grafica Esfuerzo-Deformación en el sentido circunferencial (20 muestras arteria carótida bovina). La anterior grafica muestra el resultado de 20 pruebas de tensión hasta el 20% de deformación, nótese que los valores de deformación se presentan en valores porcentuales y los valores de esfuerzo se presentan en kPa..

(38) 100 90 80. Esfuerzo [kPa]. 70 60 50 40 30 20 10 0 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. Deformación [%] Series1. Prueba 2. Prueba 3. Prueba 4. Prueba 5. Prueba 6. Prueba 7. Prueba 8. Series9. Prueba 10. Prueba 11. Prueba 12. Prueba 13. Prueba 14. Prueba 15. Prueba 16. Prueba 17. Prueba 18. Prueba 19. Prueba 20. Figura 16. Grafica Esfuerzo-Deformación en sentido axial. (20 muestras arteria carótida bovina). La grafica anterior se hizo de manera equivalente a la grafica en sentido circunferencial, por esto las unidades son distintas. Aunque las pruebas se realizaron cada una con una arteria distinta esto solo aplica a cada dirección es decir que de una misma arteria se pudieron hacer 2 pruebas una en cada dirección. A partir de estos resultados se generaron unas curvas únicas para cada dirección, esto se hizo tomando los valores de esfuerzo para la deformación cada 2% de cambio. Estos valores luego eran promediados en una curva promedio del comportamiento mecánico en las diferentes direcciones. A estas curvas se les aproximo de dos maneras distintas una con una regresión lineal y con una regresión del modo polinómica de segundo grado. En el primer caso se aproxima a un modelo elástico de Hook y el segundo siguiendo el modelo de Mooney y Rivlin..

(39) 250. 200. Esfuerzo [kPa]. y = 10,349x - 0,0693 150. y = -0,07x2 + 11,749x - 4,2694 100. 50. 0 0. 5. 10. 15. 20. 25. Deformación [%] Esfuerzo. Lineal (Esfuerzo). Polinómica (Esfuerzo). Figura 17. Grafica esfuerzo-deformación en sentido circunferencial promediada. 60. Esfuerzo [kPa]. 50. y = 0,120x2 + 0,292x + 0,849. 40. 30. y = 2,704x - 6,3849. 20. 10. 0 0. 5. Esfuerzo. 10. 15. Deformacion [%] Polinómica (Esfuerzo). 20. Lineal (Esfuerzo). Figura 18. Grafica esfuerzo-deformación en sentido axial promediada. 25.

(40) A partir de estos resultados podemos entonces encontrar valores relativos a la caracterización de estos materiales. Estos se pueden observar en la siguiente tabla:. Circunferencial Axial. E [Mpa] x^2 1,340 0,270. x -7 0,12. x^0 11,74 0,292. C01 -4,269 0,849. C10 -9,37 -0,086. C11 -11,5045 1,16666667 0,3385 -0,02. Tabla 2. Caracterización Material. Los anteriores valores aproximan las regresiones de los resultados de las pruebas de tensión anteriormente descritas, de esta manera se da una caracterización del comportamiento mecánico del material. Así mismo haciendo uso del video extensómetro y sus funciones de toma de deformaciones se aproximaron los valores del modulo de poisson como se muestra en la siguiente tabla. Modulo de Poisson Direccion 12 Promedio 0,34 Desviacion 0,04. 21 0,40 0,05. Tabla 3. Modulo de Poisson.. Tomando la dirección 1 como la dirección circunferencial y la dirección 2 como la axial. De esta manera el valor 12 representa el valor de poisson relativo a hacer la prueba de tensión en sentido circunferencial y observar la deformación en el sentido axial y el valor para 21 el sentido contrario. Con estos dos últimos resultados podemos observar el comportamiento del material plano siendo expuesto a una carga en dirección tanto axial y.

(41) circunferencial. Debido al grosor del material las propiedades relativas al comportamiento mecánico radial no se pueden encontrar y únicamente pueden ser estimadas por valores encontrados por estudios anteriores, mas no por pruebas mecánicas realizadas al material. Finalmente se opto por encontrar el valor de modulo de elasticidad promedio y la desviación asociada a estas curvas estas para ayudar a generar el análisis estadístico a los resultados y poder comparar entre los distintos modelos.. 5.2 Resultados de análisis de modelos mecánicos A partir de la caracterización que se realizo en el capitulo anterior entonces se puede con ayuda de los modelos geométricos anteriormente explicados de pared delgada y gruesa y las suposiciones de isotropía y ortotropía encontrar unos valores de esfuerzo y a través de ellos los valores de la deformación. A partir de esto se pueden encontrar las primeras discrepancias de los modelos y las suposiciones que se hacen del material. Esto se debe a que aunque la arteria se encuentra en un lugar entre los modelos de pared delgada y gruesa el valor del grosor si genera un factor de cambio. Para el cálculo de la deformación se utilizo un tabla de trabajo en Microsoft Excel®, donde dependiendo de los factores encontrados anteriormente mas la geometría del material para este caso se encontró que los valores de radio estaban alrededor de 1cm para todas las muestras y el grosor de 1mm para la mayoría de la muestras. Estos valores fueron los usados para el análisis matemático..

(42) Dado el rango de presión dentro del cuerpo bovino se tomo el valor promedio promedio de presión dado por la ecuación:. [17] Con presión sistólica como 120mmHg y diastólica de 80mmHg se encuentra que la presión media es de 106,6mmHg. Con este valor se encontraron los valores de deformación y esfuerzo generados en la pared arterial como un primer dato. Caso Presión Media Presión interna106,6mmHg. Material Isotrópico Ortotrópico Isotrópico Ortotrópico. Esfuerzos [Pa] Esfuerzo en Módulo de Esfuerzo en Esfuerzo en Módulo de la dirección Elasticidad Geometría la dirección la dirección Elasticidad circunferenci Circunferenci axial radial Radial al al N.A. 1,34MPa N.A. Pared delgada 85271 0 Pared delgada 85271 0 N.A. 1,34MPa N.A. 78812 0 -14212 1,34MPa 1,34MPa Pared gruesa Pared gruesa 78812 0 -14212 1,34MPa 0,27MPa. Deformación [%] Módulo de Poisson Circ,Ax. Módulo de Deformación Deformación Deformación Poisson circunferenci axial radial Rad,Circ al. 0,4 0,4 0,4 0,4. N.A. N.A. 0,5 0,5. 8,30 8,30 6,80 8,40. 0 0 0 0. 0 0 -6,80 -5,20. Tabla 4.. Valores de Esfuerzo y deformación para presión de 106,6mmHg. Este indica el valor al cual los experimentos de presión-deformación n deberían acercarse. Así mismo es preciso indicar que los valores que serán comparados serán los de deformación circunferencial debido a que los de deformación radial no son medibles experimentalmente con el montaje que se creó. Debido a la incertidumbre del valor de poisson se genero una grafica a continuación que demuestra el cambio de la deformación deformación teórica debido al cambio del valor de poisson..

(43) 0,090. Deformacion [mm/mm]. 0,080 0,070 0,060 0,050 0,040 0,030 0,020 0,010 0,000 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Presión [mmHg] 0,33. 0,4. 0,45. 0,5. Figura 19. Variación de la deformación debido a cambio del modulo de poisson. Dado que el cambio no es sustancial se mantiene el valor encontrado en la caracterización del material como valor de poisson para la dirección circunferencialaxial.. 5.3 Pruebas de Presión-Volumen. Estas pruebas aunque lleven el nombre de presión-volumen, en realidad están más cercanas a ser de presión-deformación. Pero en esencia el fenómeno es el mismo una presión interna en la arteria genera un cambio de volumen y este a su vez implica una deformación en la pared arterial. Para estas pruebas se utilizaron 3 muestras, esto se debe a que conseguir una artera de longitud necesaria es complicado aún más si se pretende encontrar una.

(44) sin pequeños vasos que signifiquen una pérdida de líquido y presión en el momento de hacer la prueba. Los resultados son los siguientes y los olores similares indican que fueron pruebas de la misma muestra debido a que se hicieron 5 pruebas por muestra.. 12. Deformacion [%]. 10 8 6 4 2 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. 180. Presión Hidrostatica [mmHg]. Figura 20. Resultados de pruebas de presión-volumen. Estos resultados como se observan mantienen una variación pero en esencia la prueba se comporta de manera similar a través del tiempo. Todas las pruebas se hicieron utilizando el mismo montaje explicado anteriormente manteniendo las muestras hidratadas en una piscina de solución salina para asegurar su comportamiento en todas las pruebas. A partir de los datos anteriores se promediaron punto a punto y se encontró la nueva curva con su debida desviación en cada punto. Esta es la curva final que se usara para comparar:.

(45) 10 9. Deformacion [%]. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Presion [mmHg]. Figura 21. Datos ponderados de deformación ante presión interna de la arteria. A partir de estos valores y con el análisis matemático anterior se pueden sobreponer las curvas teóricas a los datos experimentales. Se generaron curvas para cada uno de los modelos, asumiendo tanto el estado sin carga axial (sin paredes) y el estado con carga axial (con tapas). Primero se mostraran las graficas que asumen la ausencia de la pared y por ende el esfuerzo axial nulo. Se entenderá como mejor modelo descriptivo del fenómeno aquel que se acerque más a los valores experimentales..

(46) 1 14. Deformación [%]. 12 10 8 6 4 2 0 0. 20. 40. 60 80 Presión [mmHg]. 100. 120. 140. Figura 22. Modelos de pared delgada comparados con resultados experimentales (sin tapas). 14. Deformación [%]. 12 10 8 6 4 2 0 0. 20. 40. 60 80 Presión [mmHg]. 100. 120. Figura 23. Pared gruesa ortotrópica comparado con resultados experimentales (sin tapas). 140.

(47) 10 9. Deformación [%]. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Presión [mmHg]. Figura 24. Pared gruesa isotrópica comparada con resultados experimentales (sin tapas). Las líneas marcadas con líneas punteadas son el promedio de la curva y las extremas representan los bordes superiores e inferiores a una (1) desviación estándar, estos al igual que las barras de error están demarcados por una desviación estándar superior e inferior. Las curvas de pared delgada son idénticas debido a que los esfuerzos y deformaciones en la dirección radial son eliminados por definición de la pared delgada, y los esfuerzos en la dirección axial son eliminados por el análisis de carga de tubo infinitamente largo. A continuación se muestran estas mismas graficas sin la suposición de tubo infinitamente largo. Esto es añadiéndole el factor del esfuerzo axial que no se tuvo en cuenta anteriormente..

(48) 12. Deformación [%]. 10 8 6 4 2 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. Presión [mmHg]. Figura 25. Pared delgada isotrópica comparada con resultados experimentales (con tapas). 12. Deformación [%]. 10 8 6 4 2 0 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. Presión [mmHg] Figura 26. Pared gruesa isotrópica comparada con resultados experimentales. (con tapas). 140.

(49) 12. Deformación [%]. 10 8 6 4 2 0 0. 20. 40. 60 80 Presión [mmHg]. 100. 120. 140. Figura 27. Pared delgada ortotrópico comparada con resultados experimentales (con tapas). 12. Deformación [%]. 10 8 6 4 2 0 0. 20. 40. 60 80 Presión [mmHg]. 100. 120. Figura 28. Pared gruesa ortotrópico comparada con resultados experimentales. 140.

(50) 6. Discusión. Se pudo observar que los materiales biológicos como las arterias usadas en este proyecto se comportan distintas unas de otras, ósea que hay una diferencia entre individuo e individuo. Esto genera una varianza alta en los resultados como se pudo observar. Esto no implica que no se puedan encontrar conclusiones acerca de los resultados, obtenidos tanto experimentalmente como analíticamente. A partir de los resultados observados anteriormente, se puede inferir que, los resultados obtenidos asumiendo cilindro infinitamente largo (sin esfuerzo axial), son más precisos que aquellos entregados sin tener esta suposición presente. Esto se observa en la cercanía de los puntos experimentales al valor medio del análisis teórico. Así como se observa una menor varianza de los resultados analíticos. Deteniéndose a observar el modelo isotrópico pared gruesa sin pared se observa la diferencia más grande de todos los modelos. Esto se puede explicar porque solo tiene presente dos direcciones la radial y la circunferencial, y le otorga a ambas el mismo valor de modulo de elasticidad generando una gran falla y diferencia de la realidad. Así mismo se observa que las arterias parecen comportarse de manera más similar a un tubo que a un recipiente a presión. Esto se observa con claridad en la cercanía de los primeros modelos a los valores experimentales y la diferencia de los modelos que asumen tapas en los extremos de las arterias. De aquí que se pueda asumir esta.

(51) suposición como válida y entender que las arterias se comportan de manera más similar a un cilindro con tapas abiertas. A partir de esto se puede observar que el modelo que más se aproxima. al. comportamiento mecánico de la arteria bajo presión es el modelo de pared gruesa ortotrópico. Este modelo es el más complejo de los 4, debido a su complejidad matemática en el modelo geométrico y a que asume 2 comportamientos mecánicos distintos en la pared arterial. Aun así se observa que los modelos de pared delgada se aproximan muy bien a los datos experimentales. Es por esta razón que se observa que el modelo isotrópico pared delgada con extremos abiertos modela de manera satisfactoria el fenómeno físico. A su vez se prefiere este modelo debido a la sencillez de recrear debido a que solo requiere dos valores de caracterización mecánica (modulo de elasticidad y poisson), ambos encontrados en una misma prueba de tensión en sentido circunferencial. Esto se soporta al hacer un análisis estadístico de la muestra de Χi2 donde se observaron los siguientes valores:. TOTAL hasta 5%. Sin Tapa Con Tapas Isotrópico Ortotrópico Isotrópico Ortotrópico Thin Thick Thin Thick Thin Thick Thin Thick 0,696 3,92 0,696 0,696 TOTAL 2,169 2,899 2,322 1,415 0,572 2,22 0,572 0,349 hasta 5%1,394 1,83 1,467 1,02 2. Tabla 5. Análisis Χi de resultados.

(52) Se observa que de manera muy similar se comportan los modelos de pared delgada con los de pared gruesa ortotrópica, en el análisis de todos los datos. Pero si se detiene a observar los valores hasta llegar a 5% se observa que el ortotrópico se aproxima más a los resultados experimentales. De 5% a 10% se comportaran mejor los modelos de pared delgada. Aun así se recomienda el uso de los modelos de pared delgada por su aproximación a los resultados reales y su sencillez en el momento de generar la caracterización del material. Es necesario indicar que este proyecto se baso en deformaciones pequeñas que en su máximo se acercaban al 10%. En este rango el material se comporta aproximadamente de manera lineal por lo cual se hizo este procedimiento. Se debe tener presente que a mayor deformaciones el material es claramente no-lineal por lo cual es necesario reconsiderar la metodología en caso de experimentar mas alla de este rango. Por último se observo como el protocolo que se uso puede ser implementado para pruebas futuras utilizando el sistema biaxial Bose® o al trabajar con materiales biológicos similares a los usados en este trabajo.. 7. Bibliografía. [1]ARISTIZÁBAL, H. A. (2009). Caracterización mecánica de injertos de Submucosa. Intestinal Porcina (SIS) en aplicaciones vasculares. Bogotá: Proyecto de grado, Universidad de los Andes..

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