Comparación de modelos para optimización de portafolios

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(1)Comparación de modelos para optimización de portafolios. Rafael Ignacio Thomas Bohórquez. Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial Bogotá, Colombia 2006.

(2) Comparación de modelos para optimización de portafolios. Rafael Ignacio Thomas Bohórquez. Tesis para optar al grado de magíster En Ingeniería Industrial. Director de tesis Dr. Fernando Palacios Gómez. Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial Bogotá, Colombia 2006.

(3) Tabla de contenido. 1. Introducción .............................................................................................................. v 2. Teoría básica de portafolios......................................................................................1 2.1 Retorno de un activo................................................................................................. 1 2.1.1 Retorno compuesto............................................................................................... 2 2.1.2 Retorno discreto................................................................................................... 2 2.2 Valor esperado de un activo....................................................................................... 2 2.3 Varianza y desviación estándar de un activo. ............................................................... 3 2.4 Covarianza y correlación de activos. ........................................................................... 3 2.5 Portafolio................................................................................................................ 4 2.6 retorno de un portafolio............................................................................................ 4 2.7 Valor esperado de un portafolio. ................................................................................ 5 2.8 Varianza y desviación estándar de un portafolio........................................................... 5 2.9 Portafolio factible..................................................................................................... 6 2.10 Comparación de portafolios ..................................................................................... 6 2.11 Portafolio eficiente.................................................................................................. 8 2.12 Frontera eficiente.................................................................................................... 9 2.13 Ventas en corto......................................................................................................10 3. Modelos de optimizaciÓ n........................................................................................11 3.1 Retorno - Varianza ..................................................................................................12 3.1.1 Formulación del modelo.......................................................................................12 3.1.2 Comentarios.......................................................................................................13 3.2 Generación de escenarios..........................................................................................13 3.2.1 Formulación del modelo.......................................................................................14 3.2.2 Comentarios.........................................................................................................15 3.3 Valor al riesgo.........................................................................................................15 3.4 Ruszczynski –Vanderbei...........................................................................................17 3.4.1 Formulación del modelo.......................................................................................17 3.4.2 Comentarios.......................................................................................................18 3.5 Heurística Thresholds accept ....................................................................................19 3.5.1 Descripción del algoritmo.....................................................................................20 3.5.2 Comentarios.......................................................................................................21 3.6 Modelo propuesto....................................................................................................21 3.6.1 Formulación del modelo.......................................................................................22 3.6.2 Comentarios.......................................................................................................23.

(4) 4. ANÁLISIS REALIZADO ............................................................................................25 4.1 Conjunto de datos....................................................................................................25 4.1.1 Períodos de tiempo..............................................................................................25 4.1.2 Activos .............................................................................................................26 4.1.3 Retornos por período............................................................................................27 4.1.4 Desviación estándar de las acciones ........................................................................27 4.1.5 Matriz de varianza-covarianza ...............................................................................27 4.1.6 Cálculos adicionales ............................................................................................28 4.2 Modelos implementados ...........................................................................................29 4.2.1 Modelo Retorno-Varianza.....................................................................................29 4.2.2 Modelo de escenarios .......................................................................................31 4.2.2.1 Escenarios Equiprobables ...............................................................................32 4.2.2.2 Escenarios Pesimista......................................................................................34 4.2.2.3 Escenarios optimista......................................................................................35 4.2.3 Modelo Retorno-semivarianza ...............................................................................36 4.2.3.1 Retorno-semivarianza equiprobable ..................................................................37 4.2.3.2 Retorno-semivarianza tres factores de probabilidad..............................................40 4.2.3.3. Retorno-semivarianza probabilidad creciente .....................................................41 4.2.4 Algoritmo implementado......................................................................................44 4.2.5 Modelo propuesto ...............................................................................................46 5. comparación de resultados.....................................................................................51 6. seguimiento.............................................................................................................57 7. Conclusiones...........................................................................................................59 7. Conclusiones...........................................................................................................59 Bibliografía ..................................................................................................................60 ANEXO S.........................................................................................................................1 Anexo 1. Listados resultados modelo Markowitz. .............................................................. 1 Anexo 2. Listados resultados modelo escenarios equiprobable............................................. 1 Anexo 3. Listados resultados modelo escenarios pesimista. ................................................. 2 Anexo 4. Listados resultados modelo escenarios optimista. ................................................. 3 Anexo 5. Listados resultados modelo retorno semivarian za equiprobable............................. 4 Anexo 6. Listados resultados modelo retorno semivarian za tres factores de probabilidad....... 5 Anexo 7. Listados resultados modelo retorno semivarian za probabilidad creciente ............... 5 Anexo 8: Listados resultados algoritmo thresholding accept ............................................... 6 Anexo 9. Listados resultados modelo sugerido................................................................... 6 Anexo 10. Archivo de datos............................................................................................. 7.

(5) 1. INTRODUCCIÓN Los seres humanos en el transcurso de sus vidas toman decisiones de todo tipo en las cuales se enfrentan al riesgo, este factor es inevitable en muchos aspectos y hace de la toma de decisiones una aventura de la cual nos interesa salir bien librados; las decisiones de inversión son con ventaja las más riesgosas debido a que por un lado se trabaja con base en predicciones de retornos futuros de los activos sobre los que se realiza la inversión, retornos que dependen de demasiadas variables complejas completamente fuera del control del inversionista (crecimiento de la economía, comportamiento de la devaluación, impacto de la inflación, estabilidad política y fiscal, buen manejo de la empresa por parte de su junta directiva, seguridad del país, etc.) y por otro lado depende también del miedo que cada inversor tenga a correr riesgos. Recientemente la Teoría de Portafolios1, ha hecho su aparición como una ciencia formal y aunque sea una disciplina relativamente joven, tiene alto impacto dentro de las actividades humanas dado que su objetivo fundamental es la maximización del beneficio financiero de una inversión. La Teoría de Portafolios, es la ciencia que ayuda a los inversionistas a decidir cuál es la mejor elección cuando se enfrentan a decisiones bajo incertidumbre, es decir, cuando no existe un completo conocimiento sobre las funciones de salida asociadas a las entradas, o cuando aquellas dependen de factores cuyo control escapa a las posibilidades del inversionista, en palabras de Sharpe, “La teoría de portafolios está relacionada con decisiones que envuelven salidas que no pueden ser pronosticadas con com pleta certeza”[SHA]. La teoría de portafolios es una extensión de los modelos económicos clásicos que estudian las inversiones bajo supuestos de certidumbre total. En este trabajo se pretende contrastar la utilización de varios modelos de optimización de portafolios propuestos por diversos autores, utilizando para ello información del mercado accionario Colombiano. Inicialmente se presentará una breve descripción de la teoría básica involucrada, se explicarán los modelos a contrastar y se resolverá un problema con datos reales con cada uno de ellos, se analizarán los resultados obtenidos y finalmente se contrastaran los resultados pronosticados por los modelos contra los resultados obtenidos si se hicieran las inversiones aconsejadas.. 1. El paper, “Portfolio selection” fue publicado por Harry Markowitz en marzo de 1952..

(6) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 2. TEORÍA BÁSICA DE PORTAFOLIOS Este capítulo presenta en forma breve los fundamentos básicos de la Teoría de Portafolios, define algunos conceptos fundamentales como retorno, varianza y portafolio eficiente y explica la importancia de la determinación de este último 2. Es claro que el rendimiento futuro de los activos financieros es fortuito, por lo tanto debe ser considerado como una variable aleatoria cuyo valor está caracterizado por una distribución de probabilidad que tiene asociado un riesgo, entendiendo esta como una medición que establezca la variación entre el valor realmente obtenido y el que se esperaba obtener. Estas dos medidas, el retorno y el riesgo son básicas en el análisis y construcción de portafolios y todos los modelos las involucran en su planteamiento; el retorno es definido de la misma manera, pero la medición del riesgo varía de acuerdo con la disposición que el inversionista tenga hacia el riesgo.. 2.1 Retorno de un activo. El retorno de una inversión se mide como el porcentaje de utilidad obtenida (o pérdida) al desarrollar la transacción durante un intervalo de tiempo, suponiendo que se compra al inicio del período a un precio Pt y se vende al finalizar el período a un precio Pt+1. El retorno entonces se puede calcular de manera general de la siguiente manera:. Valor venta − Valor compra Utilidad obtenida , es decir, , entendiendo que la Valor compra Costo incurrido utilidad puede ser positiva o negativa. Cuando se trabaja con acciones es necesario además de la utilidad o pérdida obtenida por el cambio en el precio de la acción involucrar los réditos recibidos por ser accionista de la empresa, es decir, es necesario conocer el valor de los dividendos recibidos. Si tenemos n acciones(activos) numeradas de 1,...,N. y se conocen los precios sobre un horizonte de tiempo de 1,...,T períodos, y si:. pit es el precio de la acción i en el período t. 2. Esta introducción no pretende ser una exposición exhaustiva sobre la teoría de portafolios, por lo tanto, sí se requiere una explicación más profunda acerca de los temas a tratar, favor consultar la bibliografía especializada.. 1.

(7) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. Div it son los dividendos pagados por la acción i en el período t Se puede formular entonces las siguientes definiciones:. 2.1.1 Retorno compues to. Para cada una de las inversiones se calcula con base en la función logarítmica de la siguiente manera:. ⎛ P t +1 + Divit+1 ⎞ ⎟⎟ rit +1 = ln ⎜⎜ i Pit ⎝ ⎠. (1). 2.1.2 Retorno dis creto. Para cada una de las inversiones se calcula como el simple cociente entre la utilidad y el costo, de la siguiente manera:. ri. t+ 1. Pi t+1 + Div ti +1 = −1 Pi t. (2). 2.2 Valor esperado de un activo. El valor esperado de un activo se define como el promedio aritmético simple de los retornos calculados para cada uno de los períodos. Suponga que para un activo i cualquiera, se conoce el valor de sus retornos t en 1,...,T, entonces el valor esperado para el activo i se define así:. E (i ) = ri =. 1 T t ri T∑ t= 1. rti para. (3). 2.

(8) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 2.3 Varianza y desviación estándar de un activo. La varianza de un activo es la medida de la volatilidad del activo, en otras palabras mide el “riesgo” incurrido al invertir en el activo, dado que muestra que tan lejos el retorno real puede estar de la media esperada. Suponga que para un activo i cualquiera, se conoce el valor de sus retornos t en 1,...,T, y el valor de. σ (i) = σ i2 = 2. (. 1 T t ri − ri T∑ t= 1. rti para. ri , entonces la varianza del activo i se calcula así: 2. ). (4). La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. σ (i ) = σ i = σ i2. (5). 2.4 Covarianza y correlación de activos. La covarianza mide el grado de dependencia que existe entre dos o más activos, es decir, qué efecto puede tener uno sobre el otro. Si para dos activos i,j se conocen los valores de sus retornos los valores esperados i,j se define así:. rti , rt j para t=1,...T, y. ri , rj , entonces la covarianza de los retornos entre los activos. [ ]. Cov (ri , rj ) = σ ij2 = E ri r j − ri rj =. (. )(. 1 T t ri − ri rjt − rj T∑ t=1. ). (6). El coeficiente de correlación, mide el grado de linealidad entre los retornos de los activos i y j, se calcula así:. ρ ij =. Cov(i , j ). σi σ j. (7). Cuando los retornos de los activos i y j son linealmente independientes tenemos que. ρ ij = 0.. 3.

(9) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 2.5 Portafolio Un portafolio es “la totalidad de decisiones que determ inan las perspectivas del futuro de un individuo....”[SHA], en un sentido más estricto 3, se entiende como portafolio la determinación de unas cantidades a invertir por parte de un individuo racional, que escoge entre un conjunto de opciones aquellas que según su opinión maximicen sus objetivos de acuerdo a su característica de aceptación de riesgos. Suponga que un inversionista tiene N posibles activos 1,.....,N con precios actuales p1,....pN, sobre los cuales decidir su inversión, y una cantidad γ para invertir; sin pérdida de generalidad podemos obviar γ y trabajar solamente con los porcentajes que el inversor destinará a cada activo, de esta manera tenemos que la composición del portafolio esta dada por:. Γ = x1 p1 + x2 p 2 + L + x N p N donde x i representa el porcentaje de inversión del portafolio en el activo i. Para que la inversión sea igual a. γ. N. se necesita que. ∑x i= 1. si. ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ r ⎢ x2 ⎥ = X ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xN ⎦. y. ⎡ p1 ⎤ ⎢ ⎥ r ⎢ p2 ⎥ = P ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ pN ⎦. i. =1. son los vectores de inversión y precios. respectivamente, entonces:. r r Γ = X tP. N. Γ = ∑ xi p i i= 1. en notación matricial tenemos que. (8). 2.6 retorno de un portafolio El retorno de un portafolio es el valor obtenido como resultado de la inversión realizada en él, si conocemos los precios de los activos para los períodos 1,...T, tenemos entonces que el retorno del portafolio para el período t esta dado por:. 3. o por lo menos más económico.. 4.

(10) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL —————————————————————————————————————————————————— T r r Rt (Γ ) = X t Pt = ∑ xi rit donde rit corresponde al retorno del activo i en el período t t =1 rt r y X es el vector X transpuesto.. 2.7 Valor esperado de un portafolio. El valor esperado de un portafolio es el promedio ponderado de los valores esperados de retorno de cada una de las inversiones que lo conforman. Si se conocen los r1 ,......., rN , retornos esperados de los activos disponibles para el portafolio, entonces el valor esperado será: N. E (Γ ) = R (Γ) = ∑ x i ri. (9). i =1. 2.8 Varianza y desviación estándar de un portafolio La varianza de un portafolio es un estimador del “riesgo” de inversión en el, es una medida que muestra que tan lejano puede estar el retorno real obtenido al invertir en el portafolio del valor esperado del mismo. Si conocemos las σ ij2 covarianzas de los retornos de los activos i y j, entonces la varianza del portafolio se puede calcular así:. N. N. i =1. i =1 j=i +1. N. σ (Γ) = ∑ xi2 σ i2 + 2∑ ∑ xi x j Cov( ri rj ) 2. (10). La desviación estándar de un portafolio se define como la raíz cuadrada de la varianza.. σ (Γ ) = σ 2 (Γ ). (11). La matriz de varianza-covarianza de un portafolio es aquella que tiene el valor de la covarianza entre los retornos de las inversiones i y j en la i-esima fila y la j-esima columna y la denotaremos por Ω .. 5.

(11) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. ⎡σ 12,1 σ 12, 2 σ 12,3 L σ 12,N ⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 2 2 ⎢σ 2 ,1 σ 2 ,2 σ 2 ,3 L σ 2 ,N ⎥ Ω=⎢ ⎥ M M M ⎥ ⎢M M M 2 2 2 ⎢σ 2 ⎥ ⎣ N ,1 σ N ,2 σ N ,3 L σ N ,N ⎦ Con esta notación se puede ver que:. r. r. σ 2 (Γ) = X t ΩX. (12). r. r. Finalmente si tenemos que X 1 , X 2 son dos vectores de inversión en un portafolio cualquiera, se puede demostrar que la covarianza entre los dos portafolios está dada por. r r X 1t ΩX 2. 2.9 Portafolio factible Γ es un portafolio factible si puede ser expresado como una combinación lineal de los diferentes activos disponibles. Como. N r Γ = X t P = ∑ x i pi. se necesita que. r r X > 0 y P > 0 por lo tanto Γ será. i=1. factible si. pi ≥ 0 ∀i , y ∃ j tal que p j > 0 y además. N. ∑x i= 1. i. =1. 2.10 Comparación de portafolios Un portafolio se caracteriza principalmente por dos variables, su retorno esperado y su desviación estándar. El retorno esperado es una medida de “tendencia central” de la rentabilidad que con mayor probabilidad es posible lograr al realizar las inversiones sugeridas por el portafolio, mientras que la desviación estándar es una medida que intenta determinar cual puede ser el grado de desviación (positiva o negativa) del resultado de la inversión contre el valor esperado pronosticado.. 6.

(12) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. Comparación de portafolios 25%. Retorno. 20% 15% 10% 5% 0% 0.00%. 2.00%. 4.00%. 6.00%. 8.00%. 10.00%. 12.00%. Desviación Estándar. En el cuadro anterior se muestra la comparación entre retorno y desviación estándar para cinco portafolios, Sharpe define las siguientes reglas básicas para la escogencia de portafolios [SHA]. 1. Si dos portafolios tienen la misma desviación estándar con diferentes retornos esperados, es preferible aquel con mayor retorno. 2. Si dos portafolios tienen el mismo retorno esperado con diferente desviación estándar, es preferible aquel con menor desviación. 3. Si un portafolio tiene una desviación estándar más pequeña y un retorno esperado más grande que un segundo portafolio, es preferible el primer portafolio. En este orden de ideas • • •. El portafolio x es preferible frente al portafolio ▲(regla 2) El portafolio x es preferible frente al portafolio ♦ (regla 1) El portafolio ♦ es preferible frente al portafolio ■ (regla 3). Si tomamos un portafolio cualquiera como referencia, supongamos ■, en términos generales podemos decir que todos los portafolios que se encuentren a la izquierda y arriba de este serán preferibles dado que dominan a ■ y aquellos que se encuentren a la derecha y abajo no serán escogidos debido a que estas alternativas serán dominadas por ■.. 7.

(13) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 2.11 Portafolio eficiente “Un portafolio eficiente es aquel que tiene la m ás baja varianza de retorno de todos los portafolios teniendo el m ism o retorno esperado, alternativam ente, podem os decir que un portafolio eficiente tiene el m ás alto valor esperado de retorno de todos los portafolios teniendo la m ism a varianza de retorno”. [BEN]. El problema para definir o encontrar un portafolio eficiente radica en que las variables que caracterizan un portafolio, es decir su retorno y su riesgo generan una distribución de probabilidad que es muy difícil de establecer, aunque en la práctica no es necesario conocer explícitamente esta distribución, dado que “la teoría de portafolios asum e que el inversor está deseoso de escoger entre los portafolios basado únicam ente en estas dos m edidas..... para concluir la teoría de portafolios asum e que el inversor tiene incertidum bre, pero no es ignorante.” [SHA]. De acuerdo con la definición anterior, es fácil observar que no existe un mecanismo óptimo para identificar y establecer cuando un portafolio es eficiente, debido a que la optimalidad está caracterizada por dos variables que son inversamente proporcionales desde el punto de vista del inversor, es claro que cualquier aumento del retorno sólo puede hacerse a costas del incremento en el riesgo, lo que es una característica no deseada, de igual manera una disminución en el riesgo sólo podrá obtenerse causando deterioro en el retorno, es decir en el ingreso esperado. Por lo mencionado anteriormente, debe ser claro que no es posible desde el punto de vista teórico o práctico definir un modelo que maneje satisfactoriamente estas dos variables simultáneamente y es necesario por lo tanto concentrarse en sólo una de ellas, esta escogencia está definida generalmente por la fobia que el inversor tenga al riesgo, es decir, un inversor con aversión al riesgo preferirá los modelos que intentan minimizar la incertidumbre, de otra manera su preferencia debería ser hacia la maximización del ingreso esperado (retorno) hasta el punto en que su propia simpatía hacia el riesgo lo permita. Matemáticamente podemos definir un portafolio eficiente de la siguiente manera:. Para un retorno establecido a-priori, µ un portafolio eficiente Γ* es aquel que resuelve el siguiente problema lineal:. ∑ ∑x x σ. min. i. i. s.a.. j. ij. j. ∑x r =µ i i. i. ∑x. i. (13). =1. i. Li ≤ x i ≤ U i ∀i. 8.

(14) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. El modelo anterior encuentra el portafolio con la mínima varianza para el retorno definido µ. De manera similar se puede formular el siguiente modelo: Para una varianza establecida a-priori σ un portafolio eficiente Γ* es aquel que resuelve el siguiente problema lineal:. max. ∑x r. i i. i. s.a.. ∑∑ x x σ i. i. j. ij. =σ (14). j. ∑x. i. =1. i. Li ≤ xi ≤ U i. ∀i. las restricciones Li y Ui representan las cotas mínimas y máximas que un inversor puede invertir en el portafolio en cada uno de los activos i que lo componen.. 2.12 Frontera eficiente La frontera eficiente es aquella que está formada por la unión de todos los portafolios eficientes, en otras palabras la frontera eficiente es el conjunto de todos los portafolios eficientes. Frontera eficiente =. {Γ * } tal que Γ *es un. portafolio eficiente. La frontera eficiente puede generarse como una combinación convexa de dos portafolios eficientes, es decir que si Γ = {γ1, γ2, γ3,..... γn } y Λ = {λ1, λ2, λ3,.... λn ,} son dos portafolios eficientes, entonces el portafolio Ζ definido como:. ⎡ aγ 1 + (1 − a)λ 1 ⎤ ⎢ ⎥ aγ 2 + (1 − a)λ 2 ⎥ ⎢ Ζ = aΓ + (1-a) Λ = ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ ⎣ aγ n + (1 − a)λ n ⎦. es también un portafolio eficiente.. 9.

(15) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. El valor esperado y la varianza de Z están dados por: E(Z) = aE(Γ) + (1-a) E(Λ). (15). σ z2 = a 2σ Γ2 + (1 − a) 2 σ Λ2 + 2 a(1 − a )Cov( Γ, Λ ) = a 2σ Γ2 + (1 − a) 2 σ Λ2 + 2 a(1 − a )Γ T ΩΛ. (16). 2.13 Ventas en corto Las ventas en corto (short sales) se producen cuando el límite inferior Li de participación de un activo en el portafolio es negativo, es decir para algún activo i, xi < 0. Cuando esto ocurre se debe interpretar como una indicación del modelo para adquirir unidades negativas del activo i, en otras palabras una venta en corto se debe entender como la adquisición de unidades negativas del activo. En la práctica (no se puede comprar unidades negativas de un activo) una venta en corto consiste en tomar prestadas las unidades indicadas del activo con el objeto de venderlas al precio actual del mercado y adquirirlas al final del período a un precio supuestamente más bajo para devolverlas a su dueño, es decir, el inversor especula con que el precio futuro del activo va a caer con lo cual obtiene una ganancia dada por la diferencia entre el precio actual y el precio futuro del activo. La posición anterior implica cierto riesgo para el inversionista, en el sentido de que el precio futuro en vez de caer podría subir, con lo cual la especulación arrojaría pérdida. Una especulación similar podría hacerse cuando se cree que el precio de una activo puede subir en el transcurso del período; con el préstamo solicitado se adquiere el activo al precio actual para venderlo a un valor futuro más alto que el actual, para devolver el préstamo pedido. En este último caso es necesario tener en cuenta el costo del dinero, es decir, el interés que se debe pagar por el valor del préstamo solicitado y que hará que la utilidad sea menor.. 10.

(16) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 3. MODELOS DE OPTIMIZACIÓN Los portafolios están constituidos generalmente por un conjunto finito (aunque no necesariamente pequeño) de activos cuyos retornos están caracterizados por una función de distribución conjunta y discreta sobre un período de tiempo definido, la determinación de esta función de probabilidad es en la mayoría de los casos compleja y aunque ayude a entender el problema no es realmente necesaria para abordar un tratamiento técnico del problema de optimización. El objetivo de optimizar un portafolio es encontrar el punto que satisfaciendo los requisitos y gustos del inversor le de la máxima rentabilidad posible, entendiendo que el retorno de un portafolio (su rentabilidad) debe ser mirada como una variable aleatoria cuyo comportamiento está influenciado por muchas variables que están fuera del control y del conocimiento (lo que agrava el problema) del inversor, es decir, el comportamiento futuro de un portafolio depende de medidas económicas, legales, éticas, de orden público, etc que si bien algunas pueden ser conocidas y por lo tanto previstas (cuantificadas) de antemano, otras son en su mayoría totalmente impredecibles o por lo menos incuantificables. Es claro que un portafolio está caracterizado por su retorno y el riesgo (que es entendido como la diferencia entre el valor esperado y el valor realmente obtenido), todos los acercamientos planteados concuerdan en la medición del retorno, las diferencias entre cada uno de los modelos se encuentran en el abordaje del riesgo. El modelo de optimización retorno-varianza propuesto por Markowitz es ciertamente el más popular y utilizado en la optimización de portafolios, Markowitz demostró que las curvas de indiferencia de un inversor están definidas por [MAR02]: 2 1⎡ σp ⎤ k = ln(1 + E p ) − ⎢ ⎥ (17) 2 ⎣⎢ (1 + E p ) 2 ⎦⎥. Este modelo está caracterizado por la medición del retorno y el riesgo del portafolio (el riesgo es medido aquí como la varianza del portafolio). Entre las críticas que se encuentran sobre esta aproximación las más repetidas son aquellas que tienen que ver con la llamada “cola gorda”, que expresa el hecho de que una cantidad importante de observaciones se encuentran más halla de las tres desviaciones estándar. O tros modelos plantean acercamientos alternativos para medir el riesgo, entre ellas se encuentran Value at Risk (VaR), desviación media absoluta, semi-varianza y pérdida esperada; que intentan hacer menos complejo el problema dado que el modelo propuesto por Markowitz es cuadrático.. 11.

(17) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. Acercamientos adicionales han sido hechos mediante la definición de heurísticas con el objeto de disminuir el tiempo computacional requerido para abordar este problema. Cuando se encuentra un número relativamente alto de activos, restricciones sobre el nivel de participación de cada uno de los activos, grandes períodos de tiempo, restricciones sobre el número de activos que simultáneamente pueden participar en el portafolio, etc. El tiempo requerido por los programas de optimización actuales son relativamente altos, lo que hace importante y necesaria la definición de heurísticas que permitan encontrar de manera rápida y eficiente un valor cercano al óptimo requerido. A continuación se explicarán algunos de los modelos encontrados en la literatura.. 3.1 Retorno - Varianza El modelo planteado por Markowitz asume que las curvas de indiferencia del inversor son cuadráticas y los retornos de los activos son normalmente distribuidos, la caracterización del portafolio se hace sobre la base del retorno del mismo y la medición del riesgo se mide con base en la varianza de los retornos del portafolio. Este modelo minimiza la varianza (riesgo) del inversor para un retorno esperado predefinido del portafolio, es decir, dado un valor de retorno que el inversor desea percibir, el modelo predice cual es la inversión que hace que el riesgo sea el más pequeño posible sin deterioro del valor esperado del portafolio.. 3.1.1 Formulación del modelo sea: x i : La proporción del portafolio invertida en el activo i. ri : El retorno esperado del activo i. N : Número de activos ρ : Retorno esperado del portafolio Entonces el retorno esperado del portafolio X = (x 1,x 2,x 3,......x n ) es: n. r. µ ( X ) = ∑ E (ri ) xi = X t E (r ) i =1. Y la varianza del portafolio se calcula como:. 12.

(18) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL —————————————————————————————————————————————————— N. N. r. r. σ 2 ( X ) = ∑∑ xi x jσ ij = X t ΩX i =1 j=1. donde Ω es la matriz de varianza-covarianza del vector de retornos R. De esta manera, para obtener el portafolio con la varianza más baja posible y que tenga un retorno esperado no menor que ρ se debe resolver el siguiente problema cuadrático:. min. xr t Ωxr n. s.a. ∑x r i=1. i i. n. ∑x. i. ≥ ρ. (18). =1. i =1. Li ≤ xi ≤ U i Las variables de decisión son las wi Las Li y Ui representan posibles restricciones sobre los porcentajes de participación de cada activo en el portafolio. 3.1.2 Comentarios Para calcular la frontera eficiente se debe resolver el problema definido en (18) para diferentes valores de ρ. Para implementar este modelo se deben calcular N retornos esperados, y N2/2 coeficientes de correlación (donde N de estos serán varianzas). Al calcular el valor esperado de los activos se tiene en cuenta el comportamiento histórico de los mismos. Este modelo desconoce por completo cualquier concepto de aleatoriedad asociada con los activos o sus retornos.. 3.2 Generación de escenarios. 13.

(19) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. El modelo de generación de escenarios intenta agregar el concepto de probabilidad al problema de optimización de portafolios al tener en cuenta la incertidumbre acerca de los retornos futuros, para esto define un conjunto de escenarios calculados a partir del comportamiento histórico del retorno de los activos. El modelo más sencillo que se puede construir considera los retornos futuros como equiprobables, es decir, si se tienen Q escenarios se supone que los retornos futuros tiene una probabilidad de 1/Q de ser iguales a cualquiera de los retornos ya presentados. Este modelo minimiza la varianza del portafolio.. 3.2.1 Formulación del modelo sea : Q : el número de escenarios a considerar T: Períodos de tiempo para los cuales se tiene la información T = 1,2,3,.....,T ∆t : longitud de cada período de tiempo. x i : La proporción del portafolio invertida en el activo i. N : el número de activos ρ : Retorno esperado del portafolio. p tj : precio del activo j en el período t rjs = ln(. p tj+ ∆t ) p tj. retorno del activo j en el escenario s. de esta manera se debe resolver el siguiente problema cuadrático:. 1 Q ⎛ N s 1 N Q s ⎞ ⎜ rj x j ⎟⎟ ∑ ∑ rj x j − Q ∑∑ Q S =1 ⎜⎝ j=1 j =1 S =1 ⎠. min. 2. Q. s.a. 1 N rjs x j ≥ ρ ∑∑ Q j=1 s=1 N. ∑x j =1. j. (19). =1. Li ≤ x i ≤ Ui Las variables de decisión son las wi. 14.

(20) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. Las Li y Ui representan posibles restricciones sobre los porcentajes de participación de cada activo en el portafolio.. 3.2.2 Comentarios Para calcular la frontera eficiente se debe resolver el problema definido en (19) para diferentes valores de ρ. Para implementar este modelo se deben calcular N*Q retornos, es decir, el retorno de cada uno de los activos en cada escenario definido. Para conocer el esperado del portafolio es necesario calcular los esperados de los activos, es decir N valores esperados. Al trabajar directamente con los retornos de los activos, este modelo es más cercano a la realidad. Al modificar las probabilidades definidas en cada uno de los escenarios se puede simular un comportamiento del portafolio más acorde al temperamento del analista, es decir, si se asigna una probabilidad más alta a los escenarios con ganancias y una más baja a aquellos con pérdidas se estaría trabajando con un escenario optimista, la situación inversa equivaldría a un escenario pesimista. La ganancia o pérdida de un escenario está representada por el esperado de cada uno de los escenarios en particular.. 3.3 Valor al riesgo. Este modelo es conocido como VaR por sus siglas en ingles4, en la práctica se puede definir como la máxima pérdida posible en que un portafolio puede incurrir en un período de tiempo con un intervalo de confianza conocido. VaR no especifica la máxima pérdida que un portafolio puede generar, sino un nivel de pérdida que con una probabilidad específica se puede presentar en un período de tiempo, la aversión al riesgo del inversionista será quien determine el nivel de confianza esperado y la longitud del intervalo de tiempo. VaR objetivamente trata de combinar la sensibilidad del portafolio con una probabilidad pre-establecida de posibles cambios del mercado. Los métodos más utilizados para trabajar con VaR son: • • 4. VaR paramétrico VaR con simulaciones montecarlo. Value at Risk.. 15.

(21) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL —————————————————————————————————————————————————— • VaR histórico.. El VaR paramétrico asume que la distribución de los retornos esperados de los activos es normalmente distribuida, calcula la matriz de varianza-covarianza como instrumento fundamental. El VaR con simulaciones montecarlo calcula inicialmente la matriz de correlación y usando esta genera aleatoriamente posibles escenarios futuros y calcula el valor del portafolio para cada uno de estos escenarios; los resultados son clasificados de tal manera que la pérdida correspondiente al nivel de confianza deseado pueda ser determinada. El VaR histórico no depende de la matriz de correlaciones, utiliza los datos históricos de los precios para determinar la distribución actual del portafolio, el nivel de confianza se calcula con base en la distribución de probabilidad de los retornos esperados del número de períodos que conforman el porcentaje involucrado, ese número de portafolios se calcula así (1-Nivel confianza) * total de períodos. Una pequeña comparación entre los métodos para calcular VaR es:. M étodo Paramétrico. Montecarlo. Histórico. Ventajas Fácil de entender e implementar. El costo computacional es muy bajo. Maneja cualquier distribución de probabilidad para los retornos. La no linealidad de las correlaciones son intrínsecamente manejadas. Los problemas de cola gorda y no linealidad entre las correlaciones de los activos son intrínsecamente tratados.. Desventajas Asume linealidad entre las correlaciones de los activos. Presenta problema de “cola gorda”. Asume que retornos son normalmente distribuidos. Costoso computacionalmente. Depende de un buen generador de números aleatorios. Si el número de repeticiones es bajo se generan resultados erróneos (sampling error) Intensivo en el manejo de datos. Es altamente dependiente de la calidad de los datos. El costo computacional es medio.. En la practica V aR se calcula com o el α -percentil de la distribución de la pérdida (el m ás pequeño valor tal que la probabilidad de que la pérdida exceda o sea igual a este valor es por lo m enos α )[URY]. No existe una metodología única para calcular VaR, depende del tipo de VaR con el que se quiera trabajar.. 16.

(22) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. En la práctica tampoco existe una técnica única para calcular VaR, muchas empresas e instituciones financieras han adoptado sus propios sistemas de medición de VaR y la han hecho disponible a sus clientes. Existen metodologías adicionales derivadas de VaR para el manejo del riesgo, por ejemplo CvaR, CvaR+, CvaR- . En la práctica VaR tiende a incrementar el riesgo cuando el portafolio se diversifica5, lo que es una característica no deseada.. 3.4 Ruszczynski –Vanderbei El modelo propuesto por estos dos autores define un problema de optimización lineal al calcular el riesgo del portafolio como la semi-varianza en vez de la varianza. El modelo tiene en cuenta los retornos de cada activo sobre un rango de períodos de tiempo (escenarios) y asigna una probabilidad a cada uno de estos. El retorno del portafolio esta dado por: n. T. µ ( x) = Ε[R ( x)] = ∑∑ rjt x j pt j =1 t =1. El riesgo del portafolio es definido de la siguiente manera:. δ ( x ) = Ε{max(µ( x ) − R( x ),0)} En la función objetivo se encuentra el retorno del portafolio y el riesgo del mismo, con el objeto de expresar el compromiso que existe entre el retorno y el riesgo, es decir, se modela una tasa de cambio de retorno por riesgo. max µ(x) – λ δ (x) si λ es parámetro positivo, entonces una mejora de δ en el retorno solo es posible con un incremento en el riesgo de al menos δ/λ, de igual manera un decremento de δ en el riesgo solo se consigue con una merma de al menos δλ en el retorno.. 3.4.1 Formulación del modelo 5. Citado por Uryasev Stan, ver bibliografía.. 17.

(23) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. sea:. N : número de activos. T : número de períodos de tiempo. x i : la proporción del portafolio invertida en el activo i. rit : retorno del activo i en el período t pt : Probabilidad asignada al período t. λ : Parámetro no negativo ut : varianza del portafolio en el período t. st + : Variable de holgura positiva. st - : Variable de holgura negativa. Se debe resolver el siguiente problema lineal: N. T. T. ∑∑ rit pt xi − λ∑ p t ut. max. i=1 T =1. ⎞ pt′ ⎟ x i − u t + st+ = 0 t′ = 1 i= 1 ⎝ ⎠ N T ⎛ ⎞ − ∑ ⎜ rit − ∑ rit ′ pt′ ⎟ x i − ut + st− = 0 ⎠ i= 1 ⎝ t′ = 1 N. s.a. ⎛. t =1. T. ∑⎜r − ∑r it. N. ∑x. i. it ′. t = 1,2,3,.....T t = 1,2,3,....T. (20). =1. i= 1. Li ≤ xi ≤ U i + t. − t. ut , s , s ≥ 0. i = 1,2,3....N t = 1,2,3,....T. Las variable de decisión son las x i, ut , st + y st -, aunque estás dos últimas son solamente variables de holgura. Las Li y Ui representan posibles restricciones sobre los porcentajes de participación de cada activo en el portafolio.. 3.4.2 Comentarios El modelo trabaja con N + T variables de decisión y por lo menos 2T + 1 restricciones (si los Ui y Li son cero). Para encontrar la frontera eficiente se debe resolver el problema (21) para λ = [0,∞), para λ = [0,1/2) los portafolios son óptimos SSD.6 Ver [RUS] 6. Second-order Stochastic Dominance. 18.

(24) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. Para trabajar el modelo se deben conocer los retornos de cada activo en cada uno de los períodos. La definición del valor de probabilidad asignado a cada período no es clara, tampoco es fácil de determinar. El modelo no determina como encontrar la gráfica de la frontera eficiente, dado que para cada λ se genera un vector de varianzas del portafolio en cada período.. 3.5 Heurística Thresholds accept Las heurísticas son útiles en problemas donde los métodos clásicos de optimización no trabajan eficientemente, para nuestro caso puede ser por un número elevado de activos y/o períodos, por un conjunto medio de restricciones, o cuando el programa no es lineal. En los problemas de optimización de portafolios, la inclusión de restricciones sobre la participación de activos en el portafolio (que son obligatorias en nuestro medio) hace que el problema hace generalmente al problema no solucionable mediante algoritmos de optimización similares o derivados del método SIMPLEX por más sofisticados que estos puedan ser. Los métodos heurísticos son muy exitosos en estos casos, debido a que son fáciles de implementar y su costo computacional es relativamente bajo. El método Threshold Accepting fue definido por Dueck and Scheuer en 1990, este método se basa en la idea de una búsqueda local en la que se aceptan soluciones no óptimas (cuya función objetivo sea peor que la encontrada hasta ahora) que no estén por debajo de un valor umbral previamente definido, esto se hace con el objeto de escapar de los mínimos locales. El algoritmo genera aleatoriamente soluciones vecinas a la óptima encontrada, que son las que se evalúan para ver si cumplen con el criterio de violación del óptimo local. Para el caso de portafolios, el vecino debe ser una solución factible que varía solamente en el nivel de participación de dos activos en él. Este procedimiento se repite un número específico de pasos para cada iteración del algoritmo, en cada iteración el valor umbral se decrementa hasta que en la última iteración sea cero. La complejidad del algoritmo es O (puntos x iteración x pasos).. 19.

(25) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 3.5.1 Des cripción del alg oritmo. El pseudo-código para el algoritmo es el siguiente[GIL01]: Sea: X0 : Portafolio factible. X1 : Portafolio factible vecino de X0 f(Xi) : Función objetivo calculada para el portafolio Xi 1. Inicialice el número de iteraciones. 2. Inicialice el número de pasos. 3. Inicialice la secuencia de umbrales th i i = 1,2....iteraciones. 4. Genere una solución inicial X0 factible. 5. f or i = 1 to iteraciones do 6. f or j = 1 to pasos do 7. Genere X1 vecino de X0 8. if f(X1) < f(X0) + th i then 9. X0 = X1 10. end if 11. end f or 12. end f or el vecino se calcula de la siguiente manera: Sea: N : Número de activos. X0i representa la participación del activo i en el portafolio X0 q : Es una fracción fija. Li: Límite inferior de participación del activo i en un portafolio factible. Ui : Límite superior de participación del activo i en un portafolio factible. t : variable auxiliar. sr : participación del activo libre de riesgo en el portafolio. 1. Seleccione aleatoriamente con probabilidad 1/N, un activo i, i=1.......N. 2. Seleccione aleatoriamente con probabilidad 1/N, un activo j, j=1.......N, j diferente i. 3. t = q*X0i. 4. if (X0i – t) > Li then 5. X0i = X0i – t 6. else 7. t = X0i 8. x 0i = 0 9. end if 10. if (X0j + t) <= Uj then 11. X0j = X0j + t 12. else 13. sr = sr + t. 20.

(26) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 14. end if El algoritmo necesita como parámetros el número de iteraciones, los pasos y la secuencia de umbrales por cada iteración.. 3.5.2 Comentarios El algoritmo es sencillo de entender y de implementar, la única dificultad radica en la determinación de la secuencia de umbrales para las iteraciones. Los umbrales se calculan como los percentiles equidistantes de las distancias de la función objetivo evaluada en puntos aleatorios y sus vecinos. El cálculo de la función objetivo exige manejo de matrices que dependiendo del tamaño del problema pueden ser grandes. No existe descripción en la literatura de cómo generar la frontera eficiente utilizando este algoritmo. El algoritmo anterior puede ser utilizado en cualquier tipo de problemas, particularmente puede adaptarse para optimizar portafolios usando el modelo VaR. [GIL03]. 3.6 Modelo propuesto De la observación y análisis de los modelos y del razonamiento acerca de mi propio comportamiento como inversor, pienso que un buen índice para calificar una inversión debe tener en cuenta el cociente del riesgo / retorno. Entre más pequeño sea este cociente, un inversor adverso al riesgo se debe sentir más confortable, es decir, si la proporción de riesgo es pequeña comparada con el retorno que se piensa obtener, el inversor debería sentirse muy satisfecho. Por lo mencionado anteriormente, la función objetivo de este modelo debe buscar el mínimo valor que satisfaga este índice; dado que el retorno y el riesgo son valores positivos, este índice será positivo, para lograr que un cociente positivo sea pequeño, se requiere que el numerador sea mucho más pequeño que el denominador, es decir, que el riesgo sea mucho menor que el retorno, en principio para que este valor sea muy cercano a cero (el mínimo posible) se requiere de un riesgo cercano a cero con un retorno alto, lo que confirma que esta es una posición ideal para un inversionista adverso al riesgo.. 21.

(27) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL —————————————————————————————————————————————————— N. El retorno del portafolio será como siempre. ∑xr. i i. donde X es el vector portafolio y. i= 1. R es el vector de retornos asociados a los activos en cada uno de los períodos. Para el riesgo del portafolio se puede utilizar cualquiera de las formas utilizadas para medirla, se puede utilizar la varianza por ser un indicador más tradicional. De igual manera como inversionista adverso al riesgo me gustaría invertir menos capital en aquellos activos que fluctúan demasiado, dado que históricamente estos son más proclives a generar pérdidas. El objeto es partiendo de un modelo que minimice el riesgo (Markowitz) se construya un modelo que trabaje preferencialmente con los activos menos volátiles, es decir, buscar minimizar aún más el riesgo al trabajar solamente con activos cuya varianza sea pequeña, esto se puede conseguir adicionando un factor que castigue a los activos con varianza alta, es claro que este factor puede causar un deterioro en el valor esperado del portafolio, al existir la posibilidad de castigar un activo con retorno esperado alto.. 3.6.1 Formulación del modelo sea: N : Número de activos. T : Número de períodos.. ri : Valor esperado de retorno del activo i. rij : Retorno real del activo i en el período j. x i : Participación del activo i en el portafolio. σ ij : Covarianza entre los activos i y j. Li : Límite inferior de participación del activo i en el portafolio. Ui : Límite superior de participación del activo i en el portafolio. γ i : Vector de factores de castigo de activos con varianza alta. Se debe resolver el siguiente problema no lineal. 22.

(28) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. ⎛. N. N. ∑ γ x ⎜⎜ ∑ x σ i. i. i =1. min. ⎝. j. j =1. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. N. ∑xr. i i. i =1. N. s.a. ij. ∑x. (21). =1. i. i =1. Li ≤ xi ≤ U i donde γ i = β. σ ii ri. σ kk − σ ll. β=. 1 N. N. σ kk = max(σii ) ∀i. T. 1. ∑T ∑ r. ij. i =1. j =1. σ ll = min(σ ii ). ∀i. Las variables de decisión son los x i Para encontrar la frontera eficiente se debe resolver el siguiente problema no lineal para diferentes valores pre-establecidos ρ de retornos esperados para el portafolio.. i. i=1. min. ⎞ ⎛N + xi ⎜⎜ ∑ x jσ ij ⎟⎟ ri ⎠ ⎝ j =1. σ 2 ii. N. ∑γ. N. ∑xr. i i. i =1. N. s.a. ∑x r = ρ i i. i =1 N. ∑x. i. =1. i= 1. Li ≤ xi ≤ U i donde γ i = β. σ. (22). σ. 2. ii. ri. − σ ll β= N 1 1 T ∑ ∑ rij N i=1 T j =1 2. kk. 2. σ 2 kk = max(σ 2ii ) ∀ i σ 2 ll = min(σ 2 ii ) ∀i. 3.6.2 Comentarios. 23.

(29) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 1. Creo que el término γ i puede refinarse mucho más, es necesario para ello trabajar con más conjuntos de datos. 2. Creo que el modelo es fácil de entender, parte del modelo básico de Markowitz y adiciona un término que intenta castigar los activos con volatilidad alta. 3. Para trabajar con este modelo se necesita calcular los N retornos esperados de los activos y la matriz de varianza covarianza. Q ue equivale a N2/2 coeficientes de correlación.. Para involucrar conceptos de aleatoriedad asociados con los retornos esperados de los activos o sus varianzas se puede multiplicar la función objetivo por un factor que castigue aquellos activos con una varianza relativamente alta, puesto que como inversor adverso al riesgo no desearía invertir demasiado capital en activos que históricamente fluctúan mucho.. 24.

(30) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 4. ANÁLISIS REALIZADO En este capítulo se hará un resumen del análisis realizado con cada uno de los modelos y se expondrán los resultados encontrados.. 4.1 Conjunto de datos Para desarrollar cada uno de los modelos especificados se escogió como datos los valores de las acciones de empresas inscritas en la bolsa de valores de Colombia con índices de bursatilidad combinados (alto, medio y bajo). La ganancia o pérdida de una persona que invierte su capital en acciones está representada por el cambio del valor de la acción y el total de dividendos que sobre esta pague la empresa, sin embargo como no se tenía la información de todos los dividendos pagados por todas las empresas seleccionadas se trabajó solamente con el valor de la acción, la cual es información de carácter público y de información obligatoria. Para obtener la información en formato Excel™ se adquirió en la BVC7 los valores diarios de cada acción transada desde su apertura el 1 de diciembre del 2000 hasta el 28 de septiembre de 2005, esta información contiene para cada empresa inscrita en bolsa la siguiente información diaria: precio inicial de la acción, precio mínimo, precio máximo, precio promedio, precio de cierre y cantidad de acciones negociadas. Se decidió trabajar solamente con acciones, aunque en la literatura generalmente se recomienda trabajar con un activo libre de riesgo, que en el mercado financiero está representado por papeles cuya tasa de retorno es perfectamente conocida de antemano por el inversor, por ejemplo los CDT’s. Para mayor información acerca de los datos seleccionados puede consultar el CD anexo.. 4.1.1 Períodos de tiempo Los períodos definidos para realizar la comparación se establecieron en un mes, el cual es un período relativamente largo para un inversor especializado, sin embargo constituyen un período aceptable y en muchos casos pequeño para un ciudadano. 7. Bolsa de valores de Colombia. 25.

(31) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. corriente, puesto que el inversor común compra acciones con expectativas en semestres e incluso años. Para efectos de la comparación y estudio de los modelos se supone que en todos los casos el accionista compra los activos (acciones) al precio de apertura del primer día hábil del mes8 y los vende al precio de cierre del último día hábil del mes, es decir, si durante el transcurso del período se presentan precios más altos al del cierre del período estos no son tenidos en cuenta. (para tener en cuenta este factor el período de tiempo debería ser reducido a días, e incluso a horas o minutos).9 Finalmente los períodos tomados se extienden desde Enero de 2001 hasta agosto del 2005, es decir 56 períodos.. 4.1.2 Activ os Las acciones seleccionadas son las siguientes:. Nombre de la acción Índice de bursatilidad10. Cementos Argos Bavaria Bancolombia Banco de Bogotá Cementos Caribe Cartón de Colombia Cementos Paz del Río Clínica Colsanitas Colsánitas Compañía colombiana de tabaco Coltejer Corporación Financiera del Valle Almacenes Éxito Textiles Fabricato tejicondor Banco Ganadero BBV. Alto Alto Alto Alto Alto Bajo Medio Bajo Bajo Medio Bajo Alto Alto Medio Bajo. 8. El cual corresponde al precio de cierre del último día hábil del período anterior. El período puede ser tan pequeño que exista un continuo en el tiempo, de tal manera que las distribuciones de probabilidad dejarían de ser discretas y se constituirían en continuas (con respecto a la variable tiempo). 10 Fuente : Bolsa de valores de Colombia al 31/08/2005. 9. 26.

(32) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. Para facilitar los cálculos y operaciones aritméticas posteriores los precios de las acciones se redondearon en pesos (las únicas acciones que presentan valores con centavos son Fabricato y Coltejer).. 4.1.3 Retornos por período Los retornos para cada uno de los períodos se calculó utilizando (1). Dado que existen datos desde diciembre del 2000, el primer período efectivo será enero del 2001, como ya se mencionó el valor de los dividendos pagados no se tuvo en cuenta al no contar con la información completa relativa a estos pagos. De igual manera el valor esperado de cada acción se calculó utilizando (3), los valores de la sumatoria correspondían a los retornos calculados anteriormente para cada uno de los períodos.. 4.1.4 Des v iación es tándar de las acciones La desviación estándar de las acciones se calculó utilizando la formula de DESVESTP de Excel™, que implementa la formula definida en (5).. 4.1.5 Matriz de v arianza-cov arianza El cálculo de la matriz de varianza covarianza (Ω) se realizó con el siguiente algoritmo : [BEN] Sea:. ri el retorno esperado para la acción i, calculado como en (3). rij el retorno del activo i en el período j. M el número de períodos. N el número de activos.. 1. Calcular la matriz de excesos de retorno, la cual está formada por la diferencia entre el retorno del activo en cada período y el valor esperado del mismo.. 2. Hallar At .. ⎡ r11 − r1 ⎢ − r12 r1 A=⎢ ⎢ M ⎢ ⎣ r1 m − r1. r21 − r2 r22 − r2 M r2 m − r2. L rn 1 − rn ⎤ ⎥ L rn 2 − rn ⎥ M ⎥ ⎥ L rnm − rn ⎦. 27.

(33) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. 3. hacer. Ω=. At A M. 4.1.6 Cálculos adicionales Se realizaron además los siguientes cálculos para ser utilizados posteriormente: Retorno esperado por período, el cual se calculó como el promedio aritmético simple de los retornos de los activos en cada uno de los períodos. Sea N: el número de activos. rij : el retorno del activo i en el período j.. R j : retorno esperado para el período j. Rj =. 1 N. N. ∑r. ij. i =1. El retorno por período ponderado por un factor de propensión al riesgo, el cual se calculó de la siguiente manera: Sea Pt : Probabilidad asignada al periodo t. rit : Retorno real del activo i en el período t. rpit : Retorno ponderado escenario optimista activo i período t.. R t : Retorno esperado del período t. entonces:. rpit = rit pt. con. ⎧0.021025641 si R t > 0 ⎫ pt = ⎨ ⎬ ⎩0.010588235 si R t ≤ 0⎭. El retorno por período ponderado para un escenario pesimista, el cual se calculó de la siguiente manera: Sea Pt : La probabilidad asignada al periodo t. rit : el retorno real del activo i en el período t. rait : el retorno ponderado pesimista activo i período t.. R t : Retorno esperado del período t. entonces:. 28.

(34) UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA MAGÍSTER EN INGENIERÍA INDUSTRIAL ——————————————————————————————————————————————————. rait = rit pt. con. ⎧0.013846154 si R t > 0 ⎫ pt = ⎨ ⎬ ⎩0.027058824 si R t ≤ 0 ⎭. 4.2 Modelos implementados Para el análisis y comparación de los modelos se seleccionaron el de retorno-riesgo de Markowitz, el de escenarios y el de retorno semi-varianza propuesto por Ruszczynski y Vanderbei. Para hallar los óptimos y las fronteras eficientes para cada uno de los casos enumerados anteriormente, se utilizó la versión 2.0.24.12 del programa GAMS™ utilizando el solver nlp11 y se corrió sobre un equipo con procesador AMD Athlon de 995 Mhz y 240 MB de RAM con sistema operacional Microsoft Windows XP profesional versión 2002.. 4.2.1 Modelo Retorno-Varianza Este modelo fue el propuesto inicialmente por Markowitz, la implementación se hizo de la siguiente manera: 1. Se calculó la matriz de varianza covarianza para las acciones escogidas de la manera como fue descrito en 4.1.5. 2. Se calcularon los retornos esperados de las acciones utilizando (3). 3. Las restricciones de límite de inversión para los activos no se tuvieron en cuenta (Li, Ui). 4. Con esta información se construyó el modelo planteado en (18), eliminando inicialmente la primera restricción y obteniendo el rendimiento mínimo esperado ρ* = 1.5% ; el cual representa el portafolio óptimo con mínima varianza, portafolios con menor retorno tendrán el mismo riesgo, por lo tanto no son deseables. 5. Para encontrar la frontera eficiente se resolvió el modelo planteado en (18), variando el valor del retorno esperado desde ρ* y aumentando su valor en 0.1% en cada iteración. 6. Se calcularon 100 iteraciones. 7. El problema se desarrollo para los casos sin short-sales (ventas en corto) y con short sales, es decir, sin short sales los x i >= 0 para todo i, con short sales esta restricción no se tiene.. 11. Esta es una versión académica suministrada en un curso anterior que tomé en la Universidad.. 29.