Análisis gravimétrico del volcán Puracé

TRABAJO DE GRADO

Para optar el t´ıtulo profesional de:

Msc. en Ciencias-F´ısica

Andres Fernando Pedraza Hernandez

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias

Departamento de F´ısica

Andres Fernando Pedraza Hernandez

TRABAJO DE GRADO

Director:

Jillian Pearse Ph.D.

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias

Departamento de F´ısica

Director

Jurado

Jurado

brindado todo el amor, la compa˜n´ıa y el apoyo para poder realizarme como ser humano.

Agradecimientos

Agradezco a mi directora Jillian Pearse porque sin ella ´este proyecto no habr´ıa sido posible, pues me contagi´o con su dedicaci´on e inter´es por la tierra, me brind´o su apoyo en momentos dif´ıciles, ense˜n´andome a tener paciencia para superar los obst´aculos. Y adem´as, organiz´o la log´ıstica completa en todas las campa˜nas realizadas incluy´endome como investigador. A mi compa˜nera Nataly Castillo, por haber sido de vital ayuda tanto en las campa˜nas, como en el procesamiento de los datos de GPS, aport´andome todos sus conocimientos y todo su respaldo. Al Servicio Geol´ogico Colombiano (SGC) por todo su apoyo, su amistad, sus conocimientos y por ense˜narme a tener fortaleza en momentos dif´ıciles. En especial a Rosa Liliana Alpal´a, Carlos Ospina, Jorge Alpal´a, Cristian Santacoloma, Wilson Cobo, Adriana Ortega y todo el personal de transporte y log´ıstica que siempre me recibi´o con los brazos abiertos. Al se˜nor Hugo Mideros, a sus hijos y en general a toda la comunidad del hermoso municipio de Purac´e, por la gran oportunidad de conocer esta maravillosa regi´on Colom-biana.

A mis compa˜neros de posgrado de la universidad de los Andes: Luis Alfredo Bravo, Ronald Rodriguez, Mario Angarita, Daniel Rojas, Diego Rojas y Alejandro Segura por haber com-partido conmigo por alrededor de 3 a˜nos mi amor por la f´ısica ayud´andome a crecer como profesional y persona; al profesor Andr´es C´ardenas por todo su apoyo en el procesamiento de datos y redacci´on del documento, a los estudiantes de pregrado en geociencias por haberme acompa˜nado en esas extenuantes pero hermosas jornadas de campo. Finalmente, a toda mi familia y mis seres amados ya que fueron el impulso m´as grande para realizar todos mis proyectos y no rendirme durante las adversidades.

Resumen

Se realiz´o un estudio gravim´etrico y de GPS (Global Position System) del volc´an Purac´e ubicado en el departamento del Cauca (coordenadas2.36oN,76.24oW), para llegar a estos resultados se organizaron 3 salidas de campo en las cuales se recorri´o el volc´an desde una altura aproximada de 3390 msnm, hasta 4630 msnm (zona del cr´ater del volc´an), demar-cando un conjunto de coordenadas preliminares con un equipo port´atil de posicionamiento

Garmin, a partir de las cuales se tomaron medidas de gravedad relativa con el equipo CG-5 Scintrex Autograv, y se ubicaron las coordenadas precisas en las que se hab´ıan tomado las medidas con el equipo de Posicionamiento Global (Trimble R7 con antenas geod´eticas Zephyr). Posteriormente, se procesaron los datos obtenidos en cada una de las salidas con la ayuda del software Oasis Montaj c, se generaron varios mapas de anomal´ıas gravita-cionales de la regi´on a partir de los cuales se hicieron c´alculos de las profundidades de dep´ositos de materiales en el subsuelo, as´ı como de su densidad y posible forma.

Se encontr´o que el terreno estudiado tiene una densidad promedio de 2.4g/cm3 _que cor-responde a rocas de tipo andes´ıtico; tambi´en se encontr´o una anomal´ıa gravim´etrica m´as negativa cerca al cr´ater, a una profundidad de alrededor de 2.5 km asociada a un cuerpo con una densidad aproximada de2.0g/cm3_{. Todos los resultados obtenidos permiten generar un} modelo de fuentes gravim´etricas del volc´an Purac´e con el cual se puede tener mas infor-maci´on de la estructura y din´amica interna del volc´an, este estudio provee una contribuci´on importante en la comprensi´on de la actividad volc´anica en Purac´e, y si se combina con campa˜nas de monitoreo existentes y estudios geof´ısicos futuros, puede ayudar a refinar ma-pas de amenaza y sistemas de alerta.

Abstract

A gravimetric and GPS (Global Position System) study was performed at Purac´e volcano

located in the department of Cauca (coordinates 2.36oN,76.24oW). For this purpose, we organized three field trips to measure gravity at the volcano from an elevation of

approxi-mately 3390 msnm, to 4630 msnm (at the volcano’s crater). A set of preliminary coordinates

were chosen using a portable positioning deviceGarmin, and relative gravity measurements

were taken at each point with a CG-5 Scintrex Autogravgravimeter. At each survey point,

precise geographic coordinates and altitudes were measured by means of differential GPS

using high presicion global positioning receivers (Trimble R7receivers with Zephyr geodetic

antennas), in order to ensure accurate height corrections. Subsequently, the data obtained

at all survey points were processed. Finally with the help of software Oasis Montajc, sev-eral gravitational anomaly maps of the region were generated, and based on these, estimates

were made of the depths of anomalous materials in the subsoil, as well as their density and

possible shape.

The rock in the region of the volcano was found to have an average density of2.4g/cm3 cor-responding to andesitic composition; a more negative gravimetric anomaly was also found

near the crater, at a depth of about 2.5 km associated with a body with a density of about

2.0g/cm3. From these results, a model of gravimetric sources at Purac´e volcano was pro-duced, providing more information about the structure and internal dynamics of the volcano.

This study provides an important contribution to the understanding of volcanic activity at

Pu-rac´e, and when combined with existing monitoring networks and further geophysical studies,

may help refine hazard maps and alert systems.

Lista de figuras 1

Lista de Figuras . . . 1

1 Introducci´on 3 1.1 Gravimetr´ıa de volcanes a nivel mundial . . . 3

1.2 Volcanes Colombianos . . . 7

1.2.1 Volc´an Nevado del Ruiz . . . 9

1.2.2 Volc´an Galeras . . . 10

1.3 Volc´an Purac´e . . . 12

1.3.1 Informaci´on geol´ogica de la regi´on . . . 14

1.3.2 Actividad eruptiva hist´orica del volc´an Purac´e . . . 16

2 Marco te´orico 17 2.1 Ley de Gravitaci´on universal . . . 17

2.1.1 Campo gravitacional producido por un cuerpo de forma arbitraria . . 18

2.2 Correcciones gravim´etricas . . . 21

2.2.1 Correcci´on por aire libreCAL . . . 21

2.2.2 Correcci´on de BouguerCB . . . 22

2.2.3 Correcci´on topogr´aficaCT . . . 23

2.2.4 Correcci´on por mareas . . . 24

2.2.5 Correcci´on por deriva instrumental . . . 25

2.2.6 Anomal´ıa completa de Bouguer (∆gBT) . . . 25

2.2.7 M´etodo de Nettleton . . . 26

2.3 Continuaciones anal´ıticas . . . 27

2.4 An´alisis del espectro de potencias como m´etodo para calcular la profundidad de las anomal´ıas . . . 30

2.4.1 Espectros de potencias para analizar datos bidimensionales . . . 34

2.5 Primeras y segundas derivadas verticales . . . 35

2.6 C´alculo de la gravedad absoluta en el campamento base . . . 37

2.7 M´etodo de Talwani . . . 38

3 Grav´ımetro, GPS y log´ıstica 41 3.1 Equipos . . . 41

3.1.1 Grav´ımetro . . . 41

3.1.2 Global Navigation Satellite System (GNSS) . . . 42

3.2 Log´ıstica de las salidas de campo . . . 46

3.2.1 Realizaci´on de precampo . . . 47

3.2.2 Primera campa˜na . . . 48

3.2.3 Segunda campa˜na . . . 52

3.2.4 Tercera campa˜na . . . 53

4 An´alisis de datos 55 4.1 Error por deriva instrumental (CD) . . . 55

4.2 Gravedad absoluta sobre el campamento Base . . . 56

4.3 Elaboraci´on del mapa de alturas . . . 57

4.4 Modelo de elevaci´on digital (DEM) . . . 60

4.5 Calculo de la anomal´ıa total de Bouguer (∆gT B) . . . 60

4.6 M´etodo de Nettleton sobre la zona . . . 61

5 Resultados 64 5.1 Anomal´ıa total de Bouguer (ATB) . . . 64

5.2 Mapa de anomal´ıa regional . . . 66

5.2.1 Espectro de potencias radialmente promediado . . . 68

5.3 Mapa de anomal´ıa residual . . . 69

5.3.1 Continuaciones anal´ıticas . . . 71

5.4 Mapas de primera y segunda derivada . . . 73

5.5 Modelos de inversi´on gravim´etrica . . . 74

6 Discusi´on de los resultados 78 6.1 Mapa de anomal´ıa total de Bouguer . . . 78

6.2 Mapa de anomal´ıa regional . . . 79

6.3 Espectro de potencias radialmente promediado . . . 80

6.4 Mapa de anomal´ıas residuales . . . 80

6.5 Continuaciones anal´ıticas . . . 81

6.6 Mapas de primera y segunda derivada . . . 81

6.7 Modelos de inversi´on gravim´etrica . . . 82

7 Conclusiones y Recomendaciones 84 7.1 Conclusiones . . . 84

7.2 Recomendaciones y trabajos a futuro . . . 85

8 Ap´endices 86 8.1 Grav´ımetro tipo Lacoste-Romberg . . . 86

8.1.1 Especificaciones generales del equipo . . . 89

8.2 Tabla de datos . . . 90

1.1 Volc´an Vesubio . . . 5

1.2 Maar . . . 6

1.3 Cadenas volc´anicas Colombianas . . . 8

1.4 Volc´an Nevado del Ruiz . . . 9

1.5 Volc´an Galeras . . . 10

1.6 Estadios complejo volc´anico Galeras . . . 11

1.7 Ubicaci´on geogr´afica Del volc´an Purac´e . . . 12

1.8 Volc´an Purac´e . . . 13

1.9 Estaciones de monitoreo sobre el volc´an Purac´e . . . 14

1.10 Divisi´on geol´ogica de la zona aleda˜na al volc´an Purac´e . . . 15

2.1 Masa arbitraria . . . 19

2.2 Correcci´on de Bouguer . . . 23

2.3 Diferencia entre correcciones de aire libre y Bouguer . . . 24

2.4 M´etodo de Nettleton para densidades entre1.8gr/cm3 y2.8gr/cm3 . . . 26

2.5 Continuaci´on anal´ıtica sobre una superficie . . . 27

2.6 Profundidades de cuerpos para varios valores de potencias: a) Base de un cuerpo de tama˜no variable; b) Centro de masa de un cuerpo de tama˜no fijo . 32 2.7 Logaritmo natural del espectro de potencias indicando los efectos de las di-versas anomal´ıas . . . 33

2.8 Mapa de referencia para el calculo de el espectro de potencia bidimensional . 35 2.9 Aplicaci´on de primera y segunda derivada en un perfil gravim´etrico . . . 36

2.10 Esquema para el calculo de la gravedad absoluta en la base para 3 puntos . . 38

2.11 Aproximaci´on poligonal de una secci´on vertical de un cuerpo bidimensional 39 3.1 Grav´ımetro . . . 42

3.2 Antena GPS estacionaria . . . 43

3.3 Antena m´ovil con bast´on . . . 44

3.4 Esquema sobre el GPS diferencial . . . 45

3.5 Errores de multipath . . . 46

3.6 Tramo Norte-Sur . . . 48

3.7 Garmin . . . 49

3.8 Metodolog´ıa cerca a la base . . . 50

3.9 Punto NP 111 SW . . . 51

3.10 Lugar del municipio donde se encuentra el punto del IGAC (NP 111 SW) . . 51

3.11 Tramo Este-Oeste . . . 52

3.12 Mediciones en segunda campa˜na . . . 53

3.13 Mediciones en tercera campa˜na cerca al cr´ater . . . 54

4.1 Gr´afica de correcci´on de drift del GG-5 Autograv . . . 56

4.2 Mapa de alturas de la regi´on obtenido en las campa˜nas . . . 59

4.3 Mapa Topogr´afico de la regi´on tomado por el sat´elite Topex/Poseidon . . . . 61

4.4 Anomal´ıas totales de Bouguer para varias obtenidas para el perfil Oriente-Occidente . . . 62

4.5 Anomal´ıas totales de Bouguer para varias densidades obtenidas para el perfil Norte-Sur . . . 63

5.1 Anomal´ıa total de Bouguer . . . 65

5.2 Mapa de anomal´ıas regionales . . . 67

5.3 Espectro de potencias radialmente promediado . . . 68

5.4 Mapa de anomal´ıas residuales . . . 70

5.5 Continuaciones anal´ıticas a 250 m y 500 m . . . 71

5.6 Continuaciones anal´ıticas a 750 m y 1000 m . . . 72

5.7 Mapas de primera y segunda derivada . . . 73

5.8 Selecci´on de perfiles para la inversi´on gravim´etrica . . . 74

5.9 Modelo de inversi´on para el perfil regional . . . 75

5.10 Modelo de inversi´on gravim´etrica perfil residual 1 . . . 76

5.11 Modelo de inversi´on gravim´etrica perfil residual 2 . . . 77

6.1 Mina de azufre ”el vinagre” . . . 79

8.1 Esquema b´asico del grav´ımetro de Lacoste-Romberg . . . 87

8.2 Ubicaci´on del sensor del grav´ımetro . . . 88

8.3 Especificaciones del equipo Scintrex CG-5 Autograv . . . 89

8.4 Tabla de datos 1 . . . 90

8.5 Tabla de datos 2 . . . 91

Introducci´on

Los volcanes son una fuente de innumerables estudios por parte de ge´ologos, geof´ısicos y geoqu´ımicos debido a su actividad volc´anica (reciente o no reciente), provocando diversos cambios atmosf´ericos, tect´onicos y s´ısmicos que afectan tanto la forma de vida de pobla-ciones aleda˜nas, como los ecosistemas de las zonas cercanas a su regi´on de influencia. Por tal raz´on, son sujetos a varios tipos de estudios que permiten caracterizarlos, para as´ı tener una mejor informaci´on de su comportamiento, y en el caso de los volcanes activos ubicados cerca de zonas pobladas, crear un mapa de amenazas que permita establecer zonas seguras en donde las comunidades est´en a salvo y generar un sistema de alerta oportuno para evacuarlas oportunamente.

Respecto a los estudios de anomal´ıas gravitacionales que se realizan a nivel mundial sobre los volcanes, estos ayudan a establecer caracter´ısticas tales como la composici´on y estructura del subsuelo, posible ubicaci´on de c´amaras de magma (lugar donde se encuentra un dep´osito de roca fundida) y si existe alg´un movimiento en ellas [1] [2] [3]. Dichos resultados permiten evaluar los riesgos que involucran permanecer en una regi´on aleda˜na a la zona de influen-cia, y eventualmente evacuar poblaciones enteras con el fin preservar vidas en el momento indicado. En otras palabras, los estudios gravim´etricos establecen un criterio para definir si existir´a una erupci´on a corto plazo y contribuyen a realizar nuevos modelos geof´ısicos que permitan tener una imagen mas completa de la composici´on, distribuci´on y evoluci´on geol´ogica del subsuelo. [4].

1.1

Gravimetr´ıa de volcanes a nivel mundial

La gravimetr´ıa es un m´etodo de exploraci´on geof´ısica que busca hallar anomal´ıas de densi-dad en el suelo mediante cambios de gravedensi-dad, lo cual es muy importante porque permite

encontrar materiales que son de provecho para el ser humano (metales, minerales, etc), pero tambi´en ayuda a identificar cuerpos extra˜nos que pueden presentar un riesgo para la comu-nidad. Combinando las t´ecnicas gravim´etricas con otro tipo de estudios se pueden encontrar estructuras tales como c´amaras de magma de los volcanes, o dep´ositos de fuentes hidroter-males.

En la tierra existen alrededor de 500 volcanes activos que se encuentran en determinadas fajas alrededor del mundo [5], muchos de los cuales no presentan estudios de ning´un tipo, adem´as de otro grupo que han sido recientemente descubiertos. Sin embargo, hay otros que tienen un monitoreo detallado de su actividad, lo que permite tambi´en generar nuevas teor´ıas respecto a su formaci´on y posterior evoluci´on. Desde el estudio gravim´etrico de los vol-canes, se han generado diversos avances en la la toma de datos, precisi´on de las medidas y capacidad de predecir posibles erupciones. Entre los volcanes estudiados se encuentra el Kilauea (ubicado en Hawaii), en el cual empleando m´etodos de microgravedad (m´etodo que detecta anomal´ıas gravim´etricas del orden de10−6_m/s2_{) [2] y deformaci´on [6], se muestran} las desviaciones gravitacionales entre diciembre de 2008 y noviembre de 2012, encontrando anomal´ıas gravim´etricas a poca profundidad (residuales) que muestran como los dep´ositos de magma pudieron haberse llenado, esparci´endose por algunas grietas y ocasionando un levan-tamiento en la superficie del volc´an. ´Este volc´an es objeto de an´alisis continuos debido a que desde 1983 ha tenido una serie de erupciones recurrentes, esto implica que los estudios de microgravedad van acompa˜nados de otro tipo de an´alisis que permiten una mejor precisi´on de los hallazgos desde diversas perspectivas.

El volc´an Vesubio ubicado en Italia (figura 1.1 [7]) es reconocido a nivel mundial, ya que su erupci´on en el a˜no 79 d.C dio inicio a la rama de la geolog´ıa conocida como vulcanolog´ıa, y adem´as esta situado en una regi´on densamente poblada (bah´ıa de Napoles) por lo que se considera como uno de los mas peligrosos del mundo.

Figura 1.1: Volc´an Vesubio

En cuanto a las investigaciones gravim´etricas que se realizan en el volc´an Vesubio, se encuentran las realizadas por Berrino [8] en las cuales se estudian los cambios de gravedad que son asociados a la migraci´on de fluidos hacia las fisuras que se presentan en la regi´on. Para este estudio se plante´o un m´etodo de medici´on anual sobre las 31 estaciones que com-prend´ıa la campa˜na en los periodos de 1985 a 1994, y se observaban los cambios que pod´ıan surgir a˜no tras a˜no, dichos estudios a su vez, fueron acompa˜nados por estudios geoqu´ımicos y geoel´ectricos que indicaban la intrusi´on y regresi´on de agua marina hacia la bah´ıa en la que se encuentra el monte Somma (antiguo cono) o monte Vesubio (Nuevo cono). Y de esta forma explicar algunas de las anomal´ıas gravitacionales en diferentes estaciones del a˜no, as´ı como establecer diferencias entre actividad hidrotermal y actividad magm´atica, lo cual es algo muy dif´ıcil de distinguir.

Los an´alisis de volcanes generalmente se hacen desde diferentes ramas de la f´ısica. Es as´ı, como ´estos se complementan para dar una mejor descripci´on de lo que all´ı sucede. Tomando como ejemplo el caso de los estudios realizados por Zuzana Sk´acelov´a y otros [9], en los cuales mediante un estudio conjunto de gravimetr´ıa, magnetometr´ıa y resistividad, mode-lan el comportamiento de dos maares (cr´ater volc´anico ancho y de poca profundidad que se produce al poner en contacto agua subterr´anea y magma) ubicados al norte de la Rep´ublica Checa conocidos como Rychnov y Hnojnice (figura 1.2 [10]), para los que se pretende hallar caracter´ısticas tales como la era de su formaci´on y su respectiva estructura.

Finalmente, mediante todos estos m´etodos, se observaron anomal´ıas gravim´etricas negativas que indican que los diques bas´alticos que penetran en las brechas diametralmente desenca-denan m´aximos locales gravim´etricos.

Figura 1.2: Maar

En el continente americano se han realizado investigaciones a cadenas volc´anicas o cam-pos volc´anicos [11, 12] cuyos m´etodos gravim´etricos de exploraci´on se realizan de manera conjunta con otros (Magnetometr´ıa, Morfometr´ıa) y ayudan a detectar fuentes de anomal´ıas gravim´etricas que modelan las regiones volc´anicas estudiadas, generando mapas de la com-posici´on de los suelos de las regiones, as´ı como profundidades de las c´amaras de magma de los volcanes que forman parte de dichos campos volc´anicos.

Actualmente los an´alisis gravim´etricos realizados a volcanes se basan en un estudio llamado gravimetr´ıa en 4D [3], en el cual se toma en cuenta la posici´on de un punto especifico sobre el planeta, y adem´as se repiten las mediciones sobre los mismos puntos en tiempos posteriores, para de esta manera poder encontrar comportamientos que determinen si hay movimientos en las c´amaras de magma, en otras palabras para caracterizar los cambios en el subsuelo de sistemas volc´anicos [1]. Los estudios en 4D com´unmente se pueden realizar de manera discreta, es decir tomando datos de manera interrumpida (medidas tomadas en semanas o meses despu´es de la ultima toma) o continuas (con un equipo que se mantiene fijo en lugares espec´ıficos durante algunas semanas), cada uno de estos m´etodos presentan tanto ventajas como desventajas. Por ejemplo, en el caso discreto existe la posibilidad de cubrir varios

puntos en una sola campa˜na, pero se reduce la precisi´on de las predicciones debido a que el monitoreo no es constante, entre los casos mas relevantes de volcanes investigados con este m´etodo se encuentran el estudio del volc´an Askja ubicado en Islandia [13], el complejo volc´anico central de Tenerife (Espa˜na)[14] y Campi Flegrei (Italia) [15]. Por otra parte, el m´etodo continuo permite un monitoreo mas constante de los volcanes, pero representa un costo elevado debido al precio de los equipos empleados y esto limita el rango de la zona que es cubierta, entre los volcanes investigados con este m´etodo se encuentra el Monte Etna ubicado en Italia [16], El volc´an Masaya en Nicaragua [17] y la caldera Nisyros ubicada en Grecia [18].

1.2

Volcanes Colombianos

En Colombia hay alrededor de 20 volcanes activos (ver figura 1.3 [19]), en donde la mayor´ıa se encuentran ubicados en la cordillera de los andes, ´estos son monitoreados frecuentemente por el servicio geol´ogico colombiano (SGC), y se dividen en 3 principales centros de acuerdo a su cercan´ıa a las regiones de influencia (Observatorio de Pasto, Observatorio de Manizales y Observatorio de Popayan), en los cuales se presentan seguimientos permanentes con esta-ciones sismol´ogicas que proporcionan informaci´on sobre los fen´omenos s´ısmicos ocurridos en regiones cercanas al volc´an, geoqu´ımicas, que brindan informaci´on sobre la composici´on de los gases arrojados por el volc´an y posibles cambios que indiquen alg´un tipo de amenaza, geof´ısicas, que permiten detectar variaciones en las se˜nales de campos potenciales, de defor-maci´on, con las cuales se observa si hay alg´un tipo de ascenso de material magm´atico, y de actividad superficial cuyos estudios permiten detectar cambios geomorfol´ogicos y t´ermicos que adviertan alg´un comportamiento an´omalo.

De acuerdo a las 3 principales cadenas volc´anicas colombianas, existen algunos volcanes que presentan un numero de investigaciones mayor a otros. Esto se debe principalmente a que en algunas ocasiones han generado tragedias de grandes magnitudes como la tragedia de Armero en 1985 o la muerte de un grupo de vulcan´ologos en el volc´an Galeras en 1993. Por tal raz´on se realizar´a una breve descripci´on del volc´an Nevado del Ruiz y del volc´an Galeras.

1.2.1

Volc´an Nevado del Ruiz

Figura 1.4: Volc´an Nevado del Ruiz

Ubicado en las coordenadas geogr´aficas4o₅₃0₂₃00_N

y75o₁₉0₂₁00_W

entre los departamen-tos de Caldas y Tolima, el volc´an Nevado del Ruiz (figura 1.4 [20])presenta estaciones de monitoreo en sismolog´ıa, geoqu´ımica, geof´ısica y deformaci´on. Se han generado estudios respecto a fuentes geot´ermicas [21] donde elaboran mapas para relacionar conductividad el´ectrica y t´ermica con susceptibilidad magn´etica, proponiendo un modelo de flujo que est´e de acuerdo con la temperatura de los pozos y la superficie del volc´an. Adem´as de este tra-bajo, existen otros que permiten abordar desde diversos estudios, lo que sucede en los dem´as volcanes de esta cadena cuando ocurre un cambio en el comportamiento del Nevado del Ruiz y sus posibles consecuencias a futuro [22], mostrando as´ı que hay gran probabilidad de que se presente actividad volc´anica en otros sitios de la misma cadena (complejo volc´anico Cerro Mach´ın - Cerro Bravo). As´ı mismo, ´estos estudios tambi´en permiten dar un vistazo al pasado del Volc´an Nevado del Ruiz, evaluando la distribuci´on de los escombros, producto de

una avalancha que ocurri´o en eras anteriores y que ayudan a reconstruir lo sucedido durante la ca´ıda del cono volc´anico [23].

Por otra parte, se destaca la importante lecci´on que dej´o la tragedia de Armero en 1985 [24] [25], en la cual hubo mas de 20000 muertos y muchos mas damnificados. Todo esto, a pesar de que se hab´ıa desplegado una campa˜na mundial para monitorearlo y realizar el mapa de amenazas en menos de 6 meses (aunque normalmente tarda mas de 3 a˜nos).

1.2.2

Volc´an Galeras

Figura 1.5: Volc´an Galeras

Este volc´an se localiza en las coordenadas geogr´aficas 1o₁₃0_43,800_N

y 77o₂₁0₃₃00_W

, a 9 km de la ciudad de Pasto, en el departamento de Nari˜no (figura 1.5 [26]), y presenta un seguimiento desde el siglo XVI debido a su actividad volc´anica continua. El volc´an Galeras es el centro eruptivo m´as reciente y actualmente activo del denominado Complejo Volc´anico Galeras, haciendo parte de la cadena que tambi´en incluye los volcanes Chiles, Cumbal, Cerro negro, Do˜na Juana, Tajumbina y Azufral, en este volc´an se presenta un monitoreo constante por parte del SGC con una red de vigilancia que incluye geof´ısica, geoqu´ımica, sismolog´ıa,

deformaci´on y actividad superficial.

Figura 1.6: Estadios complejo volc´anico Galeras

Entre los trabajos realizados en torno a este volc´an se encuentra el estudio de la actividad s´ısmica en periodos espec´ıficos [27], donde se analiza el alcance de la red sismogr´afica y se identifican algunas estructuras en el subsuelo; tambi´en hay algunos estudios que permiten determinar los estados eruptivos mas importantes que se han presentado, y que van desde Cariaco, hasta Galeras (ver figura 1.6 [28] [29]). Respecto a estudios geof´ısicos, se en-cuentran las investigaciones realizadas en 2 trabajos de grado de la Universidad Nacional de Colombia en los cuales hacen una caracterizaci´on magnetom´etrica [30] y gravim´etrica [28] del volc´an Galeras, de las cuales la mas relevante para el desarrollo de est´a tesis se encuentra en [28] (debido principalmente a que el tema de investigaci´on es similar al realizado en este trabajo), el estudio realizado entre junio de 2008 y abril del 2009 permite identificar cambios de densidad, zonas de ascenso de material magm´atico y zonas de intrusi´on.

1.3

Volc´an Purac´e

El volc´an Purac´e (figuras 1.7 y 1.8 [31]), con una altura aproximada de 4650 msnm ubicado en el punto geogr´afico2o₁₉0_{01N ,76}o₂₃0_{53W a 26 km SE de la ciudad de Popay´an capital}

del departamento del Cauca, forma parte de la Cadena Volc´anica de los Coconucos, que tiene 15 centros eruptivos con una orientaci´on de40o_{al Noroeste, siendo el Purac´e el que esta m´as}

al norte de todos, adem´as del m´as reciente.

Figura 1.7: Ubicaci´on geogr´afica Del volc´an Purac´e

Es un estratovolcan con un edificio (lugar desde el cual el volc´an expulsa el magma a la atm´osfera) que presenta una forma de cono truncado con laderas de 30o _{de inclinaci´on,}

adem´as tiene dos cr´ateres: uno interno (500 m de di´ametro) y otro externo (900m de di´ametro) los cuales son conc´entricos. Se resalta una gran fumarola en el cr´ater interior que atraviesa el fondo; adem´as de un campo fumar´olico en el flanco externo del volc´an (Fumarola Lateral), el cual en ocasiones es visible desde algunos kil´ometros al Noroccidente.

Figura 1.8: Volc´an Purac´e

El volc´an Purac´e es objeto de constantes monitoreos por parte del SGC de manera frecuente presentando una red de vigilancia en geof´ısica, geoqu´ımica, deformaci´on, actividad superfi-cial y sismolog´ıa como se observa en la figura 1.9 [32].

En el volc´an Purac´e se encuentran diversas estaciones que se muestran en la figura 1.9. Sin embargo, el volc´an nunca ha tenido un estudio gravim´etrico. Raz´on por la cual para este trabajo se propone hacer un estudio de este tipo analizando la composici´on del terreno, car-acter´ısticas e irregularidades gravim´etricas con sus respectivas correcciones. Posteriormente, con los datos encontrados se busca pronosticar la ubicaci´on y tama˜no de la c´amara de magma, as´ı como realizar un modelo gravim´etrico de la zona [1] [4], para poder comprender la ac-tividad eruptiva del volc´an Purac´e, que se ha mantenido en reposo desde el 19 de marzo de 1977 (aunque si se ha presentado actividad s´ısmica).

Figura 1.9: Estaciones de monitoreo sobre el volc´an Purac´e

1.3.1

Informaci´on geol´ogica de la regi´on

En las zonas aleda˜nas al volc´an Purac´e, el basamento del ´area est´a constituido por rocas volc´anicas del periodo Terciario Superior-Cuaternario y localmente por rocas volc´anicas del Cret´acico. El volc´an Purac´e se encuentra construido sobre un edificio antiguo (pre-Purac´e), el cual a su vez, se desarroll´o en el borde de una caldera (Chagart´on). Los productos principales del volc´an son piroclastos, intercalados con coladas de lava, generalmente de constituci´on andes´ıtica [33] [34], tambi´en se encuentran 3 fallas como son la de San Jer´onimo, Coconucos y Moras que rodean la regi´on de estudio. La formaciones existentes en las zonas geol´ogicas se pueden dividir de acuerdo a su composici´on como se puede observar en la figura 1.10 y se describe cada una de ellas a continuaci´on:

Figura 1.10: Divisi´on geol´ogica de la zona aleda˜na al volc´an Purac´e

Formaci´on Coconucos: Miembro Chagart´on

Compuesto por lavas e ignimbritas de composici´on andes´ıtica que se remontan al plioceno, se ubica alrededor de las coordenadas 2,25oN y 2,36oN de sur a norte, y entre 76,4oW y 76,5oW de oriente a occidente.

Formaci´on Coconucos: Miembro San Francisco

Se constituye por flujos volcanocl´asticos los que a su vez se componen de piroclastos y epiclastos tambi´en tipo andes´ıticos del periodo cuaternario. Es una regi´on mas peque˜na que la anterior, con una ubicaci´on alrededor de2,36o_Ny2,38o_{Nde sur a norte, y entre76,44}o_W

y76,48oW de oriente a occidente, en su parte central existe un sector de abanicos aluviales y dep´ositos coluviales.

Formaci´on Coconucos: Zona del volc´an

Como su nombre lo indica, en este sector se encuentra ubicado el volc´an Purac´e. Su com-posici´on es de andes´ıtas porfir´ıticas del periodo cuaternario, aunque en su flanco oriental tambi´en esta constituida por dep´ositos glaciares formados por materiales que bien pudieron

haber sido erosionados por el glaciar, pero que fueron transportados y luego depositados cuando se funde el hielo. Cabe resaltar que la zona sobre la cual se realiz´o el estudio de gravimetr´ıa es ´esta, se encuentra en las coordenadas2,12oN y2,47oN de sur a norte, y entre 76,44o_{W y76,26}o_W.

Adem´as de las lavas de composici´on andes´ıtica, se encuentran productos pirocl´asticos (los cuales son com´unmente asociados al Purac´e actual) que se localizan principalmente en las ´areas cercanas al volc´an, adem´as de sectores de los r´ıos Vinagre y Anambio, quebradas Agua Blanca y Chagart´on, y en el valle del r´ıo san Francisco. Tambi´en, se pueden obser-var dep´ositos de flujos de cenizas y escoria, los cuales en un evento pasado rellenaron el ca˜n´on del r´ıo San Francisco y sobre este se construy´o la actual poblaci´on de Purac´e; as´ı mismo, algunos de esos dep´ositos de flujos pirocl´asticos se encuentran en los valles de los r´ıos Anambio, Vinagre y San Francisco, pero en menor cantidad, estos se asocian a varios eventos entre los que se encuentran colapso de columnas, avalanchas de escombros, nubes ardientes y explosi´on de domos entre otros. Adicionalmente, en la regi´on tambi´en hay varios lugares donde se hallan flujos de lodo, especialmente en la zona central del r´ıo San Fran-cisco, en los valles del r´ıo Vinagre y en la parte alta del volc´an, donde se encuentran algunos dep´ositos delgados constituidos por material piroclastico [33].

1.3.2

Actividad eruptiva hist´orica del volc´an Purac´e

A pesar de llevar casi 40 a˜nos sin una actividad notoria, el volc´an Purac´e tuvo un periodo eruptivo frecuente en la primera mitad del siglo XX donde al menos cada 10 o 20 a˜nos ocurr´ıan explosiones (la ´ultima fue el 21 de junio de 1956), emisiones de cenizas (´ultima el 19 de marzo de 1977) y explosiones de domo (´ultima registrada el 26 de mayo de 1949). En el siglo XIX adem´as de explosiones, sismos, emisiones de cenizas y explosiones de domo, se present´o la erupci´on mas fuerte registrada del volc´an. Anterior al siglo XIX se tiene menos informaci´on, que en su mayor´ıa se debe a relatos de las comunidades ind´ıgenas [35].

Marco te´orico

En este capitulo se presentar´an los fundamentos f´ısicos de los m´etodos gravim´etricos em-pleados para encontrar dep´ositos de materiales en el subsuelo, los cuales van desde la in-terpretaci´on del potencial gravitacional para un elipsoide, hasta el estudio de densidad y profundidad dichos dep´ositos.

2.1

Ley de Gravitaci´on universal

Seanm1 y m2 2 cuerpos que interact´uan entre si debido a una atracci´on gravitacional y se encuentran separados una distanciar12, la fuerzaF~12que experimenta la part´ıculam1debido a su interacci´on con la part´ıculam2 es dada por:

~

F12(x, y, z) = −γm1m2 r2

12 ˆ

r12. (2.1)

Siendo rˆ12 el vector unitario dirigido desde la part´ıcula m2 hasta la part´ıcula m1 y γ la constante de Cavendish(γ ≈6.6672×10−11N m2/kg2).

Ahora, si se considera que la part´ıculam1 es la tierra(m1 =m)y que la distanciar12 es la distancia desde el centro de la tierra (r12 = r =

p

x2_+y2_+z2_{), entonces se puede definir} el potencial gravitacionalU(x, y, z)en funci´on de la fuerzaF(x, y, z)como sigue:

−∇U(x, y, z) = F~12(x, y, z);

~

F12(x, y, z)

m2

=−~g(x, y, z) = γm

r2r.ˆ (2.2)

Siendog(x, y, z)la aceleraci´on gravitacional; esto implica que:

U(x, y, z) = Z

~

g(x, y, z)·d~r=−γm

r . (2.3)

Diferenciando (2.3) respecto a (“m”) se tiene:

dU(x, y, z)

dm =−

γ

r;dU(x, y, z) =−γ dm

r , (2.4)

integrando:

U(x, y, z) =−γ

Z

dm

r . (2.5)

La ecuaci´on 2.5 muestra que el potencial gravitacional de un cuerpo depende de la forma en que se encuentre distribuida su masa, adem´as de la distanciarde la cual se encuentre un punto arbitrario respecto al centro de la tierra.

2.1.1

Campo gravitacional producido por un cuerpo de forma

arbi-traria

Para un cuerpo de densidad ρcon una forma arbitraria, se define un elemento infinitesimal de masa dm(x, y, z), ubicado a una distancia S del centro de masa del cuerpo (O(cm)) formando un ´anguloβ con la horizontal de un sistema en coordenadas rectangulares, de tal manera que un puntoP se ubica a una distanciardel elemento infinitesimaldm(x, y, z)y a una distanciaRdel centro de masa sobre la horizontal como se observa en la figura (2.1). De este modo, se puede definir un elemento infinitesimal de masa como:

dm(x, y, z) =ρdV =ρdxdydz.

As´ı, reemplazando en la ecuaci´on 2.5:

U(x, y, z) =−γ

Z V ρ r dxdydz, (2.6)

nuevamente, de acuerdo a la figura (2.1) se redefinerempleando el teorema del coseno:

Figura 2.1: Masa arbitraria

Es decir

U(x, y, z) =−γ

R

Z

V

1 + S

2

R2 +

2Scosβ R

−1/2

ρdxdydz (2.8) Teniendo en cuenta que paraS << R x = _RS << 1, se puede entonces emplear la aproxi-maci´on binomial(1 +x)n ≈1 +nx+n(n−_2!1)x2, con lo cual la integral de la ecuaci´on (2.8) queda expresada de la forma:

U(x, y, z) = −γ

R

Z

V

1 + S

Rcosβ− S2

2R2 + 3 2

S2 R2 cos

2

β

ρdxdydz. (2.9)

Donde se han eliminado las expresiones con t´erminos _RS33 y

S4

R4; separando t´erminos se tiene que:

U(x, y, z) = −γ

R

Z

V

ρdxdydz− γ

R2 Z

V

Scosβρdxdydz+ γ 2R3

Z

V

S2(1−3 cos2β)ρdxdydz.

(2.10) Luego de algunos c´alculos y consideraciones (R_V Scosβρdxdydz = 0pues el origen es el centro de masas) se llega a la siguiente ecuaci´on conocida como f´ormula de MacCullagh :

U(x, y, z) = −γM

R − γ

2R3[(A+B+C)−3I0], (2.11) Con:

A= Z

V

(y2+z2)ρdxdydz;

B = Z

V

(x2 +z2)ρdxdydz;

C = Z

V

(x2+y2)ρdxdydz.

Los momentos de inercia respecto a los ejes principalesx, y, zy:

M = Z

V

ρdxdydz;

S2 =x2+y2+z2;

I0 = Z

S2sin2βρdxdydz

Con la ecuaci´on (2.11) se puede hallar ~g(x, y, z) mediante (2.3), en gravimetr´ıa se utiliza el mgal como unidad de medida (1mgal = 10−5m

s2). Por otra parte, el resultado de (2.11) implica que de acuerdo a la forma del cuerpo el potencial gravitacional deber´a ser diferente al generado por una esfera y mas bien debe ser similar al de un elipsoide de revoluci´on, por lo que se deben hacer correcciones en las ecuaciones del campo gravitacional. Adem´as, esto tambi´en indica que los valores de gravedad son diferentes al cambiar coordenadas de latitud pues la rotaci´on de la tierra se har´a de acuerdo al modelo matem´atico que simule la forma elipsoidal que depende de la latitud terrestre (β) desde la cual se encuentre . Sin embargo, aproximando algunos t´erminos se puede dar un valor de la gravedad te´orica (gteo) respecto a

la latitud de acuerdo a la formula de Caliraut [34] [36]:

gteo = 978031.8(1 + 0.0053924 sin2β−0.0000059 sin4β)mgal (2.12)

En 1930 la Uni´on Internacional de Geodesia y Geof´ısica adopta una formula para el valor te´orico de la gravedad terrestre en cualquier punto de acuerdo a su latitud , la cual ha sido

modificada con el transcurso del tiempo, hasta llegar a la correcci´on realizada por el Sistema de Referencia Geod´etico de 1967 (GRS1967) [34] cuyo valor te´orico es:

gteo = 978031.846(1 + 0.005278895 sin2β+ 0.0000023462 sin4β)mgal (2.13)

Todos los modelos anteriormente mencionados hacen parte de un conjunto de aproxima-ciones a elipsoides de referencia tambi´en conocidos como datum, que difieren unos de otros en par´ametros como semieje mayor (a), semieje menor (b) y un factor inverso al aplanamiento (1/f con f = aplanamiento). Los modelos elipsoidales que son de ori-gen matem´atico, se deben aproximar a un modelo f´ısico llamadogeoideque consiste en una superficie gaussiana en la cual el campo gravitacional es uniforme, es decir encierra a una superficie equipotencial. En Colombia, los par´ametros empleados son del datum Bogot´a, cuyos dos datum geoc´entricos mas importantes son el datum GRS40 y el datum WGS84 (C´ardenas, et.al 2014) [37], ´este ultimo es el empleado en ´este trabajo.

2.2

Correcciones gravim´etricas

2.2.1

Correcci´on por aire libre

C

Este valor permite corregir los cambios de elevaci´on de alg´un lugar respecto al elipsoide de referencia (datum) de acuerdo a si dicho lugar se encuentra por encima o por debajo del mismo y se obtiene derivando la magnitud de la ecuaci´on (2.2) respecto a su posici´on.

∂g ∂R ≈

∆g

∆R =−

2gteo

RT ierra

=−0.3086mgal/m, (2.14) si∆R =h, la correcci´on de aire libre (CAL) ser´a:

CAL = ∆g =−0.3086mgal·h. (2.15)

Dependiendo as´ı de la altura (h) al plano del datum [34] donde se ubique el puntoP. Esta correcci´on se suma a la magnitud del valor de la gravedad si se encuentra por encima de nuestra estaci´on y se resta en caso contrario, debido a que “las estaciones distribuidas a lo

largo de un perfil topogr´afico requieren la reducci´on de altura que no tiene en cuenta la masa por encima o por debajo del elipsoide” (C´ardenas, et.al 2014)[37]

2.2.2

Correcci´on de Bouguer

C

Para este caso se tiene en cuenta la atracci´on entre la estaci´on y una placa rectangular de densidad uniforme (ρ) de la roca sobre la cual se realizan las medidas gravim´etricas (figura 2.2), por lo cual en dicha correcci´on se debe tener en cuenta la ecuaci´on de Poisson para el campo gravitacional [34]

∇2_{U = 4πγρ=∇ ·~g, (2.16)}

aplicando el teorema de Gauss se puede decir que:

Z

V

∇ ·~g = Z

S

~g·ndSˆ = 4πγρV, (2.17) teniendo en cuenta que el flujo solo se da a trav´es de la superficie equipotencial y que para una placa rectangular uniformeV =A·hse tiene que:

∆gB·2A= 4πγρAh, (2.18)

es decir

CB= ∆gB = 2πγρh= 0.04192·ρ·h. (2.19)

Si se asume una densidad (ρ) de2.67g/cm3se encontrara un valor num´erico tal que:

CB = 0.1119264·h. (2.20)

Sin embargo, como no todas las placas se pueden asumir con este mismo valor, se emplear´a el m´etodo de Nettleton (ver secci´on 2.2.7) para encontrar una densidad que se encuentre acorde a la geolog´ıa de la zona. A diferencia de la correcci´on de aire libre (ver figura 2.3 [38]) (CAL), la correcci´on de Bouguer se resta si el punto medido se encuentra por encima de

la estaci´on y se suma en caso contrario, pues se tiene en cuenta la masa que fue ignorada en la correcci´on de aire libre y que al estar sobre el terreno va a influir sobre el valor obtenido.

Figura 2.2: Correcci´on de Bouguer

2.2.3

Correcci´on topogr´afica

C

En caso de que los sectores sean amplios y con una geograf´ıa irregular (muchas monta˜nas y/o valles en la regi´on de inter´es) como en el caso de la topograf´ıa de un volc´an, se debe realizar otra correcci´on debida a la atracci´on gravitacional entre monta˜nas cercanas o valles [39]. Los valores de correcciones topogr´aficas se pueden obtener por tablas de promedios de elevaci´on determinados, empleando mapas topogr´aficos e insertando la informaci´on en varios programas que permiten procesarla [37]. Matem´aticamente se pueden encontrar diversos m´etodos para realizar dicha correcci´on; de los cuales se citara el empleado en [34] cuya definici´on es:

Figura 2.3: Diferencia entre correcciones de aire libre y Bouguer

CT = ∆gT =

X

r

X

θ

γρθh(ro−ri) + (ri2+ ∆z

2₎1_{2 −(r}2

o + ∆z

2₎1₂i_{. (2.21)}

Siendoθel sector del ´angulo,royri son los radios internos y externos del sector

respectiva-mente,∆z =|ze−zp|(ze= elevaci´on de la estaci´on) (zp= elevaci´on promedio del sector). A

continuaci´on se muestra una imagen extra´ıda de [40] que indica el modo en el cual se toman las diversas correcciones explicadas anteriormente.

2.2.4

Correcci´on por mareas

Aunque el grav´ımetro hace estas correcciones, cabe mencionarlas debido a que tiene en cuenta los efectos gravitacionales de la luna, el sol y en general de todo el sistema solar afectan las medidas realizadas, provocando que sean dependientes del tiempo [34] [39].

2.2.5

Correcci´on por deriva instrumental

La correcci´on de deriva instrumental (CD) corresponde al instrumento de medida y

con-siste en observar como se puede afectar el sensor que tiene el grav´ımetro, como funci´on del tiempo, durante el tiempo de trabajo del mismo, esto permite brindar una mayor precisi´on a las medidas que se puedan tomar, pues permite identificar las variaciones que existen en el transcurso del d´ıa debidas a la relajaci´on del sistema el´astico([34], [39]).

2.2.6

Anomal´ıa completa de Bouguer (

∆

g

)

Luego de aplicar las diversas correcciones que se pueden presentar, es importante reunirlas de tal manera que se pueda obtener una correcci´on mas completa de todas las fuentes im-plicadas. Dicho compendio se conoce como la anomal´ıa completa de Bouguer (ACB), y se define de la siguiente manera:

∆gBT =gobs−CD+CM −gteo+CAL−CB+CT. (2.22)

Con:

gobs =Gravedad Observada

CM =Correcci´on por mareas (Usualmente realizada por el equipo).

El estudio de estas anomal´ıas permiten analizar variaciones en la composici´on interna del subsuelo, as´ı como la ubicaci´on promedio y geometr´ıa de diversos cuerpos “extra˜nos” (en el sentido de tener una densidad diferente a la de la placa). De este modo, si existe un cuerpo con mayor densidad media, aumenta la atracci´on y esto genera una anomal´ıa positiva, en caso contrario (menor densidad) la anomal´ıa ser´a negativa [37].

Por otra parte, para hallar los valores degobsse establece una “base” que se tomar´a en cuenta

para conocer el valor de gravedad absoluta, y con la cual se registraran datos de los dem´as puntos como relativos a ella, es decir que se tomaran lecturas de gravedad relativa respecto a la “base” . Si no es necesario que se determine el valor absoluto degobs en la estaci´on base

2.2.7

M´etodo de Nettleton

El M´etodo de Nettleton [34] [40] permite estimar la densidad promedio de un terreno. Para tal fin, se gr´afica la anomal´ıa completa de Bouguer como en la figura 2.4 [40] (que depende de la densidad), como funci´on de la distancia horizontal durante un recorrido en el cual se obtuvieron datos de gravimetr´ıa y GPS (conocido como sobre un perfil gravim´etrico). Poste-riormente se realizan m´ultiples gr´aficas cambiando el valor de la densidad como se observa en la figura 2.4 y se compara cual de las gr´aficas realizadas presenta menor correlaci´on con la topograf´ıa del perfil en cuesti´on (es decir cual de las gr´aficas de anomal´ıa completa de Bouguer varia menos al cambiar las condiciones topogr´aficas). Finalmente, se toma la den-sidad que cumple con esta condici´on como la adecuada para calcular tanto la correcci´on topogr´afica, como la anomal´ıa completa de Bouguer.

2.3

Continuaciones anal´ıticas

Debido a que la anomal´ıa completa de Bouguer nos presenta informaci´on de la existencia de fuentes an´omalas ubicadas a profundidades del orden de 2 o mas kil´ometros (anomal´ıa regional), as´ı como de fuentes ubicadas a una profundidad menor (anomal´ıa residual), se debe buscar un m´etodo que permita filtrar anomal´ıas residuales, para poder tener mayor conocimiento sobre las fuentes mas profundas, debido a que es de inter´es analizar la estruc-tura interna del volc´an. Por esta raz´on se estudian las continuaciones anal´ıticas que permiten hacer proyecciones matem´aticas de un datum vertical a otro superior o inferior [34], [36].

Teniendo en cuenta la figura 2.5, se puede definir el potencial como:

U(x, y, z0−∆z) = γ Z _ρ

rdV, (2.23)

siendor = p(x−x0₎2_{+ (y−y}0₎2_{+ (z}

0−z0−∆z)2. En el punto(x0, y0, z0)(ubicado en el borde de la esfera, sobre el puntoz0 que la divide en 2 como se muestra en la figura 2.5) el potencial lo define la ecuaci´on de Poisson, es decir:

∇2U(x0, y0, z0) =−4πγρ, (2.24) con esto: ρ=−∇2U(₄x_πγ0,y0,z0), reemplazando en la ecuaci´on 2.23:

U(x, y, z0−∆z) =− 1 4π

Z 1

r∇

2_U(x0

, y0, z0), dV (2.25)

Aplicando la segunda identidad de Green y aprovechando el hecho de que∇2 1

r

= 0:

U(x, y, z0−∆z) = 1 4π

Z

S

U(x0, y0, z0)∇

1

r

− 1

r∇U(x

0

, y0, z0)

·ndA.ˆ

U(x, y, z0−∆z) = 1 4π

Z

S

U(x0, y0, z0)

∂ ∂n 1 r − 1 r

∂U(x0, y0, z0)

∂n

.dA (2.26) Por otra parte, siW es una funci´on arm´onica (es decir es continua en todas sus derivadas y satisface∇2_{W = 0) entonces:}

Z

V

U∇2W dV = 0 = 1 4π

Z

S

U∂W ∂n −W

∂U ∂n

dA, (2.27)

sumando (2.26) con (2.27) se tiene que:

U(x, y, z0−∆z) = 1 4π Z S U ∂ ∂n

W +1

r

−

W + 1

r ∂U ∂n dA. (2.28)

De la figura se observa que (ˆn = ˆz0). Adem´as, Como se requiere que el potencial sea el mismo sobre la superficie, se emplea un un m´etodo f´ısico conocido como el m´etodo de las im´agenes para proponerW =−1

R conR=

p

(x−x0₎2_{+ (y−y}0₎2_{+ (z}

0−z0+ ∆z)2y de este modo eliminar el segundo termino de la integral Si se eval´uan las respectivas derivadas:

∂ ∂z0 1 r

=−((z0−z

0_−∆z))

∂ ∂z0 1 R

= ((z0−z

0_{+ ∆z))}

R3 .

Y se extiende la superficie al infinito (z0 ≈z0), el valor para el potencial quedara:

U(x, y, z0−∆z) = ∆z 2π Z ∞ −∞ Z ∞ −∞

U(x0, y0, z0)

[(x−x0₎2_{+ (y−y}0₎2_{+ ∆z}2_]3/2dx

0

dy0. (2.29)

Ahora, si se define:

ψ(x−x0, y−y0,∆z) = ∆z 2π

1

[(x−x0₎2_{+ (y−y}0₎2_{+ ∆z}2_]3/2, es posible redefinirU(x, y, z0−∆z)como una convoluci´on de dos funciones:

U(x, y, z0−∆z) = Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

U(x0, y0, z0)ψ(x−x0, y−y0,∆z)dx0dy0 =U0∗ψ, (2.30) reescribiendoU(x, y, z0 −∆z) = U;U(x0, y0, z0) = U0;ψ(x, y,∆z) = ψ y Empleando el teorema de Convoluci´on de Fourier se encuentra que:

F[U] =F[U0]F[ψ]. (2.31)

Dado que:

F[ψ] =− 1

2π ∂ ∂∆z

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

e−i(kxx+kyy)

p

x2_+y2_{+ ∆z}2dxdy,

six = acosθ;y = asinθ;kx = kcosφ;ky = ksinφ, entonces se puede escribir la

transfor-mada en coordenadas polares de la forma:

F[ψ] =− 1

2π ∂ ∂∆z

Z ∞

0

1

√

a2_{+ ∆z}2 Z 2π

0

e−iakcos(θ−φ)dθ

ada.

Sin Embargo

1 2π

Z 2π

0

e−iakcos(θ−φ)dθ = Z 2π

0

e−iakcos(θ)dθ =J0(ak), siendoJ0(ak)la funci´on de Bessel de Orden cero [36], con lo cual:

F[ψ] =− ∂

∂∆z

Z ∞

0

1

√

a2_{+ ∆z}2J0(ak)ada,

que a su vez se define mediante una transformada de Hankel, de tal manera que:

Z ∞

0

1

√

a2_{+ ∆z}2J0(ak)ada=

e−k∆z k .

Lo que implica que:

F[ψ] =− ∂

∂∆z

e−k∆z

k

=e−k∆z, (2.32)

con lo que finalmente se puede definir la transformada de Fourier como:

F[U] =F[U0]e−k∆z. (2.33)

De este modo se puede obtener la continuaci´on anal´ıtica mediante la transformada de Fourier de las mediciones realizadas, multiplicada por el termino exponencial y posteriormente aplicar la transformada inversa. Esto adem´as indica que si∆z >0la funci´on exponencial decrece y las longitudes de onda mayores se amplifican, permitiendo captar anomal´ıas a profundidades mayores a 2 km [28] [41].

2.4

An´alisis del espectro de potencias como m´etodo para

calcular la profundidad de las anomal´ıas

Por otra parte, tambi´en es de gran utilidad procesar datos de campos gravitacionales desde el espacio de las frecuencias, debido a que permiten eliminar ruido, separar anomal´ıas y cal-cular profundidades de fuentes an´omalas. Si se tiene una funci´ong(x)definida en t´erminos del potencial gravitacional bidimensionalU(x, z0) = √ γm0

(x−x0)2_+z2 0

producido por una masa puntual (m0) tal que:

g(x) =− γm0z0

((x−x0)2+z02)3/2 = ∂

∂z0

γm0 p

(x−x0)2+z02 !

.1 _(2.34)

Consideremos la transformada de Fourier unidimensional y el espectro de potencia P(k) definidos como:

g(k) = F[g(x)] = 1 2π

Z ∞

−∞

g(x)e−ikxdx; (2.35)

1_{Por la definicion de derivada} d dx

1

√

a2_+x2

=−1 2

2x

(a2_+x2₎3/2 =− x

P(k) = 4π2|g(k)|2 ₌ Z ∞ −∞

g(x)e−ikxdx

2 . (2.36)

Reemplazando (2.34) en (2.35) se puede observar que la transformada tiene una estructura similar a (2.33), esto implica entonces que:

g(k) = 2πγm0e−kz0e−ikx0. (2.37) Teniendo en cuenta quee−ikx0

2

= 1se puede definir la potencia como:

P(k) = 4π2γ2m2₀e−2kz0_{, (2.38)} este resultado visto desde el punto de las frecuencias (k = 2πf) toma la forma:

P(f) = 4π2γ2m2₀e−4πf z0_{. (2.39)} Esta ecuaci´on es una funci´on exponencial negativa que no depende de la posici´on (x0) en la cual se encuentre la masa implicada, y la cual decrece al aumentar el valor dez0. Se observa adem´as que a medida que la amplitud disminuye, de acuerdo a la figura 2.6 [28] los valores de numero de onda aumentan, y a medida que la profundidad aumenta el pico de espectro se mueve a valores mas bajos, en el caso(a)de la figura 2.6 se observa la profundidad de la base de un cuerpo de tama˜no variable que genera la anomal´ıa, mientras que el caso(b) muestra la profundidad del centro de masa para un cuerpo de tama˜no fijo. Teniendo en cuenta la forma de la ecuaci´on 2.39, es conveniente aplicarle logaritmo natural debido a que se puede linealizar y expresar como la ecuaci´on de una recta, esto implica entonces que:

lnP(f) =ln(4π2γ2m2₀)−4πf z0.

Si se realiza una aproximaci´on en la cual se desprecia el termino del intercepto se puede definir entonces la profundidad de la anomal´ıa de la siguiente forma

z0 =−

lnP(f) 4πf =−

lnP(k)

2k . (2.40)

De un modo similar, si se cuenta con una distribuci´on de dos masas (m0, m1) a profundidades (z0, z1) respectivamente, la ecuaci´on (2.34) seria en principio la misma, al aplicar el principio

Figura 2.6: Profundidades de cuerpos para varios valores de potencias: a) Base de un cuerpo de tama˜no variable; b) Centro de masa de un cuerpo de tama˜no fijo

de superposici´on solamente se sumar´ıan aritm´eticamente las funciones, sin embargo al calcu-lar el espectro de potencia existir´ıan algunos cambios importantes si las masas se encuentran correlacionadas (en el sentido que interaccionen gravitacionalmente). es decir:

P(k) = 4π2γ2 m2₀e−2kz0 _+m2 1e

−2kz1 _+Corr(m 0, m1)

, (2.41)

si se asume que m1 >> m0 y z1 >> z0 adem´as de no tener en cuenta la atracci´on grav-itacional entrem0 ym1 se puede despreciar la correlaci´on indicada anteriormente y de este modo:

P(k) = 4π2γ2 m2₀e−2kz0 _+m2 1e

−2kz1_{. (2.42)}

La ecuaci´on (2.42) permite identificar 2 factores importantes como son: A valores muy grandes dek (λ≈0es decir onda corta) se observan de manera predominante las anomal´ıas superficiales debido a quez1 >> z0y la funci´on exponencial dez1 tiende a cero mas r´apido. Adem´as para valores dek ≈ 0(λmuy grande) el valor de anomal´ıa dominante sera el de la fuente profunda debido a quem1 >> m0.

De la figura 2.7 se pueden inferir varias situaciones, de las cuales se resalta que linealizando el primer tramo de la anomal´ıa regional se puede calcular la pendiente de esa recta que per-mite hallar la profundidad del centro de masa generado a ese nivel, mientras que con la pendiente de la recta asociada a anomal´ıas residuales se pueden calcular profundidades mas locales (las l´ıneas punteadas indican la proyecci´on de las rectas que se encuentran sobre las regiones del espectro de potencias de las diferentes anomal´ıas). Y finalmente, con la ultima simplemente se pueden estimar anomal´ıas mucho mas superficiales y asociadas principal-mente a ruido. En otras palabras, mediante la regresi´on en cada uno de los sectores de la gr´afica del espectro de potencias se puede hallar una profundidad media en cada secci´on (Regional, residual y ruido).

Figura 2.7: Logaritmo natural del espectro de potencias indicando los efectos de las diversas anomal´ıas

2.4.1

Espectros de potencias para analizar datos bidimensionales

En este caso particular debido a que se tiene una ret´ıcula bidimensional (figura 2.8 [41]) de datos de anomal´ıas gravim´etricas distribuidos, se debe realizar un estudio de potencia que permita hallar un ´unico espectro, con el cual se pueda identificar la profundidad requerida. Para tal fin, se debe transformar toda la informaci´on contenida en la cuadricula2×2y con-vertirla en una gr´afica unidimensional como la de la figura 2.7. A este an´alisis se le denomina espectro de potencia radialmente promediado, y consiste en tomar un mapa como el mostrado en la figura 2.8 y asignarle a cada punto de la cuadricula un valor especifico que usualmente se realiza tomando como referencia el punto(0,0)y definiendo distancias radiales para cada anillo, de esta forma se van definiendo c´ırculos conc´entricos que aumentan su radio y su origen: “ El espectro de potencia bidimensional nos proporciona un valor de amplitud para cada arm´onico, estando ´este definido por su n´umero de arm´onico seg´un la direcci´onxy por el n´umero de arm´onico seg´un la direcci´ony. Como la longitud del mapa no tiene necesari-amente que ser la misma en la direcci´on x que en lay, un mismo n´umero de arm´onico en cada direcci´on puede representar diferentes frecuencias, y por lo tanto longitudes de onda, en cada direcci´on. Adem´as, en el caso de un espectro bidimensional, el n´umero de arm´onicos es mucho mayor que en el caso unidimensional, ya que tenemos todas las combinaciones posibles entre arm´onicos de distinto orden para las dos direccionesxey.” 2 [41]. As´ı, rep-resentando el espectro de potencia de toda la grilla como si se trabajara un ´unico perfil, se pueden identificar los respectivos cambios en las pendientes y encontrar las profundidades estipuladas en la secci´on anterior para cada tipo de anomal´ıas, con la ventaja adem´as de tener en cuenta los efectos laterales de los cuerpos que generan estos cambios [28].

Figura 2.8: Mapa de referencia para el calculo de el espectro de potencia bidimensional

2.5

Primeras y segundas derivadas verticales

Cuando se desean estudiar las anomal´ıas residuales, se emplean derivadas verticales que permitan remover las componentes regionales de los mapas y tomar en cuenta solamente las componentes residuales o locales. Estas derivadas adem´as, permiten identificar las zonas en las cuales existen contrastes en la densidad de los cuerpos (en el caso de la primera derivada), as´ı como los respectivos bordes (en el caso de la segunda derivada). Matem´aticamente, debido a que los potenciales cumplen con la ecuaci´on de Laplace, entonces se cumple:

∂2U ∂z2 =−

∂2U ∂x2 +

∂2U ∂y2

Aplicando la transformada de Fourier para cualquier derivada de orden “n” se cumple la propiedad

F

∂n_U

∂xn

= (ikx)nF [U] ;

F

∂n_U

∂yn

= (iky)nF [U],

con esto finalmente se obtiene (para el caso den = 2):

F

∂2_U

∂z2

= ((kx)2+ (ky)2)F[U] =|k|2F [U]. (2.44)

Con|k|2 _{= (k}

x)2 + (ky)2.

El esquema mostrado en la figura 2.9 [28]muestra un perfil gravim´etrico de una anomal´ıa completa de Bouguer (l´ınea negra), en la parte inferior se indica la primera derivada del potencialU(x, y, z)(l´ınea roja) indicando regiones con contraste de densidad y en los puntos donde la primera derivada se anula se encuentran los bordes de dichas regiones (c´ırculos azules).

2.6

C´alculo de la gravedad absoluta en el campamento base

Debido a que el punto elegido como “base” no tiene un valor de gravedad absoluta definido, se debe buscar la forma de “relacionarlo” con un punto geogr´afico del cual si se conozca el valor de gravedad absoluta previamente. Para esto, se recurri´o a las tablas de gravedad absoluta brindadas por el Instituto Geogr´afico Agust´ın Codazzi (IGAC), y se busc´o un punto cercano a la base con dichas caracter´ısticas, para as´ı poder encontrar medidas de gravedad relativa entre estos dos puntos y definir finalmente cual seria el valor de gravedad absoluta sobre la “base”. Usualmente tambi´en se debe establecer los valores de gravedad relativa en al menos un punto medio entre la base y el lugar definido por el IGAC para evitar propagaci´on de errores (debidos a las correcciones de drift y mareas) de los c´alculos de gravedad relativa y obtener un valor de gravedad absoluta mas preciso.

Para esto, suponiendo que se conocen los datos de gravedad relativa, almacenados en un vectord~l, el cual viene multiplicado por una matrizM que no es cuadrada y por un vector de variacionesm~, se observa la siguiente forma:

d~l=Mm,~ (2.45)

como M no es cuadrada se debe multiplicar ambos lados por MT _{para as´ı lograr que se}

pueda hallar la inversa y despejarm~, es decir:

MT_d~l=MT_{Mm,~ (2.46)}

con lo cual calculando la inversa deMT_{M finalmente se obtiene:}

~

m = MTM−1

MT_d~l.

(2.47)

En este caso particular, para el esquema de la figura 2.10 se tienen 3 puntosL1, L2, L3 que corresponden al punto ubicado en la base, el punto medio y el punto de gravedad abso-luta establecido por el IGAC respectivamente desde los cuales se har´an los recorridos en el orden indicado por las flechas y los cuales establecen los valores de gravedad relativa

d12, d21, d13, d31, d23 y d32 que permiten hallar el valor de gravedad absoluta en la base, es decir que para este casod~lyM tienen la forma que se muestra en la ecuaci´on (2.48).

Figura 2.10: Esquema para el calculo de la gravedad absoluta en la base para 3 puntos

d~l=             d12 d21 d13 d31 d23 d32            

; M =

           

−1 0

1 0

0 −1

0 1

1 −1

−1 1             . (2.48)

2.7

M´etodo de Talwani

El m´etodo de Talwani, permite evaluar efectos gravitacionales de cuerpos con formas irregu-lares empleando un pol´ıgono den−lados para aproximarse al contorno de la secci´on vertical de un cuerpo de dos dimensiones como se muestra en la figura 2.11 [34]. Para este caso se plantea que el efecto gravitacional producido por esta secci´on es igual a la integral de l´ınea

Figura 2.11: Aproximaci´on poligonal de una secci´on vertical de un cuerpo bidimensional

sobre el per´ımetro:

g = 2γρ

I

zdθ, (2.49)

teniendo en cuenta la figura 2.11, se observa parazque:

z =xtanθ= (x−ai)tanφi =

aitanθtanφi

tanφi−tanθ

, (2.50)

reemplazando en la ecuaci´on 2.49 sobre el ladoBC: Z

BC

zdθ= Z C

B

aitanθtanφi

tanφi−tanθ

dθ =Zi,

con esto, paranlados:

g = 2γρ

n

X

i=1

Zi, (2.51)

en un caso mas general, se resuelve la integral obteniendo:

Zi =aisinφicosφi

(θi−θi+1) +tanφi ·ln

cosθi(tanθi−tanφi)

cosθi+1(tanθi+1−tanφi

donde:

θi =tan−1

zi

xi

; φi =tan−1

zi+1−zi

xi+1−xi

ai =xi+1−zi+1·cotφi =xi+1+zi+1

xi+1−xi

zi−zi+1

.

Aunque en este caso, se toma un pol´ıgono en 2D, tambi´en se puede extender este m´etodo para cuerpos en 3D, sin embargo las integrales que se deben resolver son aun mas complejas. El m´etodo de Talwani permite desarrollar modelos de inversi´on gravim´etrica, ´estos consisten en emplear un perfil del mapa de anomal´ıas de Bouguer realizado y determinar mediante los valores de anomal´ıas de cada punto del perfil, las propiedades f´ısicas de las fuentes an´omalas generando as´ı un modelo en 2D de los cuerpos bajo la superficie que generan anomal´ıas gravim´etricas.

Grav´ımetro, GPS y log´ıstica

En este cap´ıtulo se expone el trabajo realizado con los equipos, as´ı como la log´ıstica de las salidas de campo que permitieron obtener los datos requeridos para el an´alisis gravim´etrico del volc´an Purac´e.

3.1

Equipos

3.1.1

Grav´ımetro

Para la adquisici´on de informaci´on gravim´etrica se usa el equipo CG-5 Scintrex Auto-grav[42] (Figura 3.1) el cual pertenece la universidad de los Andes. El equipo en menci´on permite realizar medidas de gravedad relativa respecto a un punto de control fijo, raz´on por la cual se debe armar una base en una zona de f´acil acceso, que se encuentre en un ter-reno que no presente fluctuaciones fuertes con el paso del tiempo (una zona estable) y desde la cual se pueda ubicar un punto de referencia de gravedad absoluta necesario para tomar la primera medida del d´ıa y tambi´en la ultima; realizando as´ı, las correcciones de mareas y deriva instrumental. Para tomar los datos, se deja el grav´ımetro sobre una base espe-cial que permite nivelarlo, el equipo toma varias medidas de valores de gravedad en mgals, (1mgal = 1×10−3cm/s2) en un intervalo de tiempo definido por el usuario y se establece cuantas veces se repite la misma toma de datos. Luego, el equipo guarda el promedio de val-ores de gravedad de cada ciclo con su respectiva desviaci´on standard y sus respectivo an´alisis de error (informaci´on adicional en el ap´endice 8.1).

Figura 3.1: Grav´ımetro

3.1.2

Global Navigation Satellite System (GNSS)

Los equipos de GPS permiten determinar con precisi´on puntos espec´ıficos sobre la superficie terrestre, raz´on por la cual son de vital importancia en el desarrollo de estudios gravim´etricos; pues adem´as de establecer las coordenadas en las cuales se tomaron medidas, tambi´en trazan una hoja de ruta que permite construir los mapas de alturas y anomal´ıas con una gran pre-cisi´on (dependiendo de los equipos). En este caso, se se emplearon los equipos receptores de alta precisi´on GNSS marcaTrimble 7con antenasZephyr - Geodeticque dan una precisi´on submilim´etrica, la cual en la practica depende de cuanto tiempo continuo se deje funcionar en la adquisici´on de informaci´on, nivel de cuidado y reposo del equipo durante la misma, as´ı como de la disponibilidad de sat´elites, etc. En un lugar cercano a la base de gravimetr´ıa se debe ubicar una base estacionaria de GPS conocida como transmisor (ver figura 3.2), con

el prop´osito de realizar correcciones de las coordenadas que se van tomando con una antena receptoraZephyr - Geodetic conocida como rover (figura 3.3), la cual se esta trasladando junto con el equipo de gravimetr´ıa por toda la regi´on; tomando as´ı medidas de GPS diferen-cial.

Figura 3.3: Antena m´ovil con bast´on

El GPS diferencial introduce una mayor exactitud en el sistema. Este tipo de receptor, adem´as de recibir y procesar la informaci´on de los sat´elites para especificar coordenadas con precisi´on; recibe y procesa, otra informaci´on adicional procedente de una estaci´on terrestre situada en un lugar cercano y reconocido por el receptor. Esta informaci´on complementaria, permite corregir las inexactitudes que se puedan introducir en las se˜nales que el receptor recibe de los sat´elites. En este caso, la estaci´on terrestre transmite al receptor GPS los ajustes a las coordenadas que son necesarios realizar en todo momento, los contrasta con su propia informaci´on y realiza las correcciones mostrando los datos correctos con una gran exactitud; la figura 3.4 [43] incluye una estaci´on est´atica de referencia(a) se encuentra ubicada en un punto conocido rastreando todos los sat´elites disponibles calculando las correcciones de las coordenadas, mientras que la estaci´on m´ovil(b)recibe los valores de esas correcciones y los aplica para dar su posici´on correcta.

Para la adquisici´on de la informaci´on, en el momento en que se llegue a la base se instala la antena, orient´andola hacia el norte y se programa el computador de la antena GPS que

per-Figura 3.4: Esquema sobre el GPS diferencial

manece estacionaria, la cual va a estar todo el d´ıa encendido realizando constantemente las correcciones al rover como se menciono anteriormente. Luego, se programa el computador del rover y se crea una carpeta que guarda la informaci´on adquirida durante el d´ıa; posteri-ormente se toman las medidas con el grav´ımetro, y en el lugar donde fueron efectuadas, se toman medidas de GPS con el rover durante 2 minutos aproximadamente (dependiendo de las condiciones clim´aticas); con esto, se determinan las respectivas coordenadas en las que se realiz´o la medida (todo eso en cada punto establecido) con una precisi´on que depende del cuidado que se tuvo al ubicar el rover, debido a que se pueden presentar errores por efecto multicamino o multipath (figura 3.5 [44]), ´este consiste en un error debido a que la se˜nal que llega al rover no es directa, sino que se refleja de alg´un cuerpo cercano y de tama˜no consid-erable como pueden ser mont´ıculos de roca con gran elevaci´on, construcciones altas, arboles de gran tama˜no o cuerpos de agua. Finalmente, se retorna a la base de GPS, se observa la