2.1. Estructura algebraica de espacio vectorial

Tema 2

Espacios vectoriales

de dimensi´

on finita.

2.1.

Estructura algebraica de espacio vectorial

Losvectores libres en el plano son el sustento geom´etrico del concepto de espacio vectorial. Se trata de segmentos orientados sobre los que definimos las operaciones de suma (mediante laregla del paralelogramo) y producto por un escalar (dilatando o contrayendo el vector seg´un la magnitud del escalar λ). En lo que sigue estaremos interesados fundamentalmente en las propiedades de dichas operaciones.

La idea abstracta de espacio vectorial generaliza el concepto de vector a objetos matem´aticos muy diversos, siempre y cuando entre ellos est´en definidas dos operacio-nes, a las que llamaremos tambi´en suma y producto por un escalar —y que pueden tener definiciones muy diversas— que satisfagan las mismas propiedades que en el caso de vectores libres.

Definici´on 2.1 Sea un conjunto V —a cuyos elementos llamaremos vectores— y el cuerpoR_{de los n´umeros reales —cuyos elementos llamaremosescalares—. Se suponen} definidas dos operaciones en V

Suma de vectores (+) Producto por un escalar (_·)

u_,v _{∈V −→}+ u₊v _{∈V λ∈}R_, u_{∈V −→}· _λu_∈V (ley de composici´on interna) tal que (ley de composici´on externa) tal que

S1. (u₊v_{) +}w ₌u_{+ (}v₊w_{) ∀}u_,v_,w _{∈V P1. λ(}u₊v_{) =λ}u_+λv _{∀λ ∈}R_{, ∀}u_,v _∈V S2. u₊v ₌v₊u _∀u_,v _{∈V P2. (λ+µ)}v _=λv_+µv _{∀λ, µ∈}R_{, ∀}v _∈V S3. _∃0_∈V _|v₊₀₌v _∀v _{∈V P3. λ(µ}v_{) = (λµ)}v _{∀λ, µ∈}R_{, ∀}v_∈R S4. _∀v _{∈V ∃ −}v _|v_{+ (−}v_{) =0 P4. 1·}v ₌v _∀v _∈V

Se dice que el conjunto V con las dos operaciones definidas arriba —lo que represen-taremos como (V,+,_·)—, satisfaciendo las ocho propiedades anteriores es un espacio vectorial sobre R_.

Ejemplos de espacios vectoriales. Los siguientes son los espacios vectoriales con los que vamos a trabajar durante el curso. Para todos ellos, es un f´acil ejercicio comprobar que se satisfacen las propiedades de espacio vectorial.

i_{) V =}Rn_.

Es el espacio vectorial con el que hemos trabajado en el tema 1. Obs´ervese que las propiedades de la definici´on 2.1 coinciden con las ya enunciadas en la secci´on 1.1. Como veremos m´as adelante, este espacio vectorial es de particular importancia. ii_{) V =Mm×n(}R_{) ={A= (ai,j), aij ∈}R_{, i= 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}}

Espacio vectorial de las matrices de tama˜no m_×n con coeficientes reales. Las operaciones suma y producto por un escalar se definen, paraA= (aij),B = (bij),

λ_∈R _como

A+B = (aij+bij)

λA = (λaij) (2.1)

El elemento neutro es la matriz O cuyos elementos son todos nulos y el opuesto de A es ₋A= (₋aij).

2.1 Estructura algebraica de espacio vectorial 43

Es el espacio vectorial de los polinomios de grado 6 n. Las operaciones suma y producto por un escalar est´an definidas de la forma habitual, si p(x) = a0+

a1x+· · ·+anxn, q(x) =b0+b1x+· · ·+bnxn,λ ∈R, entonces

(p+q)(x) =a0+b0+ (a1+b1)x+· · ·+ (an+bn)xn

(λp)(x) =λa0+λa1x+· · ·+λanxn (2.2)

El elemento neutro ser´a 0 = 0 + 0x+_{· · ·}+ 0xn _{y el elemento opuesto de p(x)}

ser´a (₋p)(x) =₋a0−a1x− · · · −anxn.

iv_{) V =P(}R₎

Espacio vectorial de los polinomios de cualquier orden. v_{) V =C(}R_{) ={f :}R_→R_{, f continua}}

Espacio vectorial de las funciones continuas de variable real. Las operaciones suma y producto por un escalar, para f, g _∈V, λ_∈R _{se definen como}

(f +g)(x) =f(x) +g(x)

(λf)(x) =λf(x) (2.3) El elemento neutro es la funci´on nula 0(x) = 0_∀x y el opuesto de f es ₋f con (₋f)(x) =₋f(x)_∀x. Otros espacios de funciones relacionados son

V = C(a, b) = _{f : [a, b] _→ R_{, f continua}, funciones continuas definidas} en el intervalo [a, b], ´o

V = Cn_{(a, b) = {f : [a, b] → R, f de clase n}, funciones de clase n —con}

n derivadas continuas— en el intervalo (a, b).

Veremos ahora algunas consecuencias de las propiedades —que tambi´en llamare-mos axiomas— de espacio vectorial que, aunque puedan parecer evidentes, no lo son ya que las operaciones suma y producto por un escalar pueden estar definidas de muy diversas formas.

Consecuencias de los axiomas de espacio vectorial.

C1. El elemento neutro 0 de un espacio vectorial V es ´unico. C2. el elemento opuesto ₋v _{de todo vector} v_{∈V es ´unico.} C3. 0v _=0∀v _∈V

C4. _∀v _{∈V, (−1)}v _{es su opuesto.}

C5. λ0=0 _∀λ_∈R_.

Demostraci´on.

C1. Supongamos que existen dos elementos neutros distintos 01 y 02. Entonces

01 elemento neutro⇒01+02 =01

02 elemento neutro⇒02+01 =02 )

S2

⇒01 =02

C2. Supongamos que v _{tiene dos elementos opuestos distintos} v_{1 y} v_{2. Entonces} v_{2 + (}v₊v_{1) =}v₂₊₀₌v_{2 (2.4)} Ahora bien, por otro lado

v_{2+ (}v₊v₁₎S1_{= (}v₂₊v_{) +}v_{1 =0+}v_{1 =}v_{1 (2.5)} De las ecuaciones (2.4) y (2.5) se deduce inmediatamente que v_{1 =}v_2.

C3. v P4_{= 1·}v_{= (0 + 1)}v P2_{= 0}v_{+ 1·}vP4_{= 0}v₊v_⇒0v _=0. C4. v_{+ (−1)}v P4_{= 1·}v_{+ (−1)}v P2_{= (1 + (−1))}v _{= 0}v C3_=0.

C5. λ0=λ(0+0)P1= λ0+λ0_⇒λ0=0.

2.1.1.

Dependencia e independencia lineal en un espacio

vectorial

Generalizaremos ahora los conceptos de dependencia e independencia lineal vistos en el tema 1. Todas las definiciones y observaciones vistas en dicho tema para vectores

2.1 Estructura algebraica de espacio vectorial 45

deRn _{siguen siendo v´alidas ahora para vectores de un espacio vectorialV cualquiera.} En particular, extenderemos la definici´on de independencia lineal 1.3 a la

Definici´on 2.2 El conjunto de vectores S = _{v_1,v_{2, . . . ,}v_{p} ⊂ V es linealmente} independientesi

λ1v1+λ2v2+· · ·+λpvp =0⇒λ1 =λ2 =· · ·=λp = 0 (2.6)

donde ahora el 0 en la ecuaci´on (2.6) representa el elemento neutro del espacio vec-torial V. De este modo, el estudio del rango de conjuntos de vectores depender´a del espacio vectorial en que se encuentren, como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1 Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son dependientes o independientes.

a) S =_{1₋x,2 +x2_,2x+x2_{} ⊂P2(R).} b) S =_{1,cosx, senx_{} ⊂}C(R_).

c) S =_{cos 2x,cos2_{x, sen}2_{x} ⊂C(R).}

Soluci´on

a) Realizaremos una combinaci´on lineal de los vectores de S y la igualaremos al elemento neutro deP2(R_{), es decir, el polinomio 0 + 0x+ 0x}2

λ1(1₋x) +λ2(2 +x2) +λ3(2x+x2) =

=λ1+ 2λ2+ (−λ1+ 2λ3)x+ (λ2+λ3)x2 = 0 + 0x+ 0x2 (2.7) Como dos polinomios coinciden si son iguales coeficiente a coeficiente, entonces (2.7) se satisface si y s´olo si λ1 + 2λ2 = 0 −λ1 + 2λ3 = 0 λ2 + λ3 = 0        (2.8)

que es un sistema compatible indeterminado de soluciones (λ1, λ2, λ3) =

α(2,₋1,1), α_∈R_{, por lo que S es linealmente dependiente.}

De la soluci´on se desprende que 2(1₋x)+(2x+x2_{) = 2+x}2_{, por lo que si sustraemos} de S el segundo polinomio obtenemos un conjunto S0 _={1−x,2x+x2_{} que es} linealmente independiente.

b) Ahora tendremos que combinar linealmente las funciones deSe igualar al elemento neutro de C(R_{) (funci´on que toma el valor 0 para todo x)}

λ1·1 +λ2cosx+λ3senx= 0 ∀x (2.9) Pues bien, si la ecuaci´on (2.9) ha de satisfacerse _∀ x, tendr´a que hacerlo, en particular para x = 0, x = π/2 y x = π. Introduciendo dichos valores de x en (2.9) obtenemos el sistema λ1 + λ2 = 0 λ1 + λ3 = 0 λ1 − λ2 = 0        ←x= 0 ←x=π/2 ←x=π (2.10)

cuya ´unica soluci´on es la trivial λ1 = λ2 = λ3 = 0, por lo que S es linealmente independiente.

c) Sin m´as que recurrir a la relaci´on trigonom´etrica

cos2x₋ sen2x= cos 2x (2.11) es claro queSes linealmente dependiente. Sustrayendo el primer vector obtenemos el conjunto S0 _={cos2_{x, sen}2_{x}linealmente independiente.}

2.2.

Espacios vectoriales de dimensi´

on finita.

Bases

Pregunt´emonos ahora cu´antos vectores puede contener un conjunto linealmente independiente en un cierto espacio vectorial V. ¿Existir´a un n´umero m´aximo o ten-dremos conjuntos independientes arbitrariamente grandes? Eso depender´a del espacio

2.2 Espacios vectoriales de dimensi´on finita. Bases 47

vectorial en cuesti´on. De momento, nos restringiremos a aquellos espacios vectoriales en los que los conjuntos independientes s´olo pueden contener un n´umero finito de vectores.

Definici´on 2.3 Sea (V,+,_·) un espacio vectorial sobreR_{. Se dice queV es unespacio} vectorial de dimensi´on finita si satisface, adem´as de las 8 propiedades dadas en 2.1, la siguiente propiedad (a la que llamaremos axioma de dimensi´on finita)

9. Existen n vectores linealmente independientes en V y todo conjunto de n+ 1 vectores es linealmente dependiente.

En tal caso, diremos que la dimensi´on del espacio vectorial es n

dimV =n (2.12)

y llamaremos base de V a cualquier conjunto B = _{v_1,v_{2, . . . ,}v_{n} de n vectores} linealmente independientes deV.

Si un espacio vectorial no cumple la propiedad 9, diremos que es de dimensi´on infinita.

La dimensi´on de un espacio vectorial de dimensi´on finita es por tanto el m´aximo n´umero de vectores linealmente independientes que podemos encontrar en V y coin-cide por definici´on con el n´umero de elementos que contenga una base deV. Veamos el ejemplo m´as sencillo de espacio vectorial de dimensi´on finita.

Ejemplo 2.2 Probar que Rn _{es un espacio vectorial de dimensi´on finita y que} dimRn_=n.

Soluci´on Hemos de probar queRn_{satisface el axioma de dimensi´on finita. Para ello} hemos de encontrar primero un conjunto linealmente independiente con n vectores. Sea el conjunto

Bc={e1,e2, . . . ,en} ⊂Rn, con ei = (0,0, . . . ,

i

↓

formado por vectores cuyas componentes son todas nulas menos la componentei₋ ´esi-ma cuyo valor es la unidad. Veamos que se trata de un conjunto independiente. En efecto

λ1e1+λ2e2+· · ·+λnen= (λ1, λ2, . . . , λn) = 0⇒λ1 =λ2 =· · ·=λn = 0 (2.14)

Veamos ahora que cualquier conjunto con un n´umero superior de vectores es necesa-riamente linealmente dependiente. En efecto, sea S = _{v_1,v_{2, . . . ,}v_n,v_{n+1} ⊂} Rn un conjunto de n + 1 vectores en Rn_{. Podemos denotar sus componentes como} v_{i = (ai1, ai2, . . . ain) para i = 1, . . . , n + 1. Si disponemos los n + 1 vectores en} las filas de una matriz

A=          a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... an1 an2 . . . ann an+1,1 an+1,2 . . . an+1,n          (n+1)×n (2.15)

es claro que, seg´un el teorema del rango, Rg(A)6n, por lo que Rg(S) es, a lo sumo,

n, por lo que no puede existir ning´un conjunto conn+1 vectores linealmente indepen-dientes en Rn_{. Como, adem´as, Bc dado en (2.13) contiene n vectores independientes,} podemos concluir queRn_{es de dimensi´on finita e igual an. Por definici´onBcser´a una} base —a la que llamaremos base can´onica— de Rn_.

Veamos ahora que las bases juegan un papel fundamental en los espacios vecto-riales de dimensi´on finita.

Teorema 2.1 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita con dimV =n y sea

B =_{v_1,v_{2, . . . ,}v_{n}una base de V. Entonces, todo vector}v _{∈V se puede} represen-tar de manera ´unicacomo una combinaci´on lineal de los vectores de B

v _=x1v_{1 +x2}v_{2+· · ·+xn}v_{n (2.16)} A los coeficientes x1, x2, . . . , xn de la combinaci´on lineal (2.16) les llamaremos

2.2 Espacios vectoriales de dimensi´on finita. Bases 49 Demostraci´on Consideremos el conjunto S =B _{∪ {}v_{} = {}v_1,v_{2, . . . ,}v_n,v_{} que,} al contener n+ 1 vectores en un espacio de dimensi´onn ha de ser linealmente depen-diente. Por dicho motivo, existir´a una relaci´on lineal entre sus vectores

α1v1+α2v2 +· · ·+αnvn+βv =0 (2.17)

en la que no todos los coeficientes ser´an nulos. Es m´as, ha de ser necesariamente

β₆= 0 ya que, en caso contrario, al ser 0v _{=0 la ecuaci´on (2.17) se convierte en}

α1v1+α2v2+· · ·+αnvn=0 (2.18)

de donde, al serB un conjunto linealmente independiente tenemosλ1 =· · ·=λn = 0,

por lo que la relaci´on (2.17) se convierte en la trivial, en contra de lo supuesto. Por tanto, al ser β ₆= 0 podemos despejar v _{en (2.17) para obtener}

v ₌₋α1 β v1− α2 β v2− · · · − αn β vn (2.19)

donde, si hacemos ₋αi/β ≡xi, i= 1, . . . , n, obtenemos la relaci´on (2.16)

v _=x1v_1+x2v_{2+· · ·+xn}v_{n (2.20)} S´olo falta probar entonces, que (2.20) es ´unica. Para ello supongamos que existe otra forma de representarv _{como combinaci´on lineal de los vectores de B}

v _=x0

1v1+x02v2+· · ·+x0nvn (2.21)

Si ahora restamos (2.20) y (2.21) obtenemos

(x1−x01)v1+ (x2 −x02)v2+· · ·+ (xn−x0n)vn=0 (2.22)

Pero como B es linealmente independiente, entonces x1 − x01 = x2 − x02 = · · · =

xn −x0n = 0, por lo que x1 = x01, x2 = x02, . . . , xn = x0n y las dos representaciones

(2.20) y (2.21) coinciden.

cualquier vector como combinaci´on lineal de sus vectores, en efecto, es inmediato que (x1, x2, . . . , xn) =x1e1+x2e2+· · ·+xnen (2.23)

por lo que en la base can´onica de Rn_{las componentes de un vector coinciden con sus} coordenadas. Esta situaci´on se complicar´a en otras bases.

El teorema 2.1 afirma entonces que en los espacios vectoriales de dimensi´on fi-nita todo vector v _{se puede poner en correspondencia con un ´unico vector de} Rn_, compuesto por las coordenadas (x1, x2, . . . , xn) dev en una cierta base B de V. Esto

hace que los espacios vectoriales de dimensi´on finita sean m´as manejables que los de dimensi´on infinita. Ahora bien, ¿c´omo distinguir entre unos y otros? Comprobar que se cumple el axioma 9 de dimensi´on finita no es, en general, una tarea f´acil. Veremos ahora una forma alternativa.

Teorema 2.2 Sea V un espacio vectorial y sea B =_{v_1,v_{2, . . . ,}v_{n} ⊂V tal que} 1. B es linealmente independiente.

2. Todo vector v _{∈V se puede expresar como combinaci´on lineal de los vectores} de B.

Entonces V es de dimensi´on finita con dimV =n y B es una base de V.

Demostraci´on Demostraremos primero que V es de dimensi´on finita. Considere-mos un conjunto de m vectores S=_{u_1,u_{2, . . . ,}u_{m} con m > n. Veamos que ha de} ser linealmente dependiente. Para ello, planteemos la relaci´on lineal

λ1u1+λ2u2+· · ·+λjuj+· · ·+λmum =0 (2.24)

Ahora bien, por hip´otesis los vectores de S pueden expresarse como combinaci´on lineal de los de B, es decir, existen coeficientes aij tales que

2.2 Espacios vectoriales de dimensi´on finita. Bases 51

Si introducimos las relaciones (2.25) en (2.24) obtenemos

λ1(a11v1+a21v2+· · ·+ai1vi+· · ·+an1vn)+ +λ2(a12v1+a22v2+· · ·+ai2vi+· · ·+an2vn)+ .. . +λj(a1jv1+a2jv2+· · ·+aijvi+· · ·+anjvn)+ (2.26) ... +λm(a1mv1+a2mv2+· · ·+aimvi+· · ·+anmvn) =0

Si ahora reorganizamos (2.26) sacando factor com´un a los vectores de B obtenemos (λ1a11+λ2a12+· · ·+λja1j +· · ·+λma1m)v1+ +(λ1a21+λ2a22+· · ·+λja2j +· · ·+λma2m)v2+ ... +(λ1ai1+λ2ai2 +· · ·+λjaij+· · ·+λmaim)vi+ (2.27) ... +(λ1an1+λ2an2+· · ·+λjanj +· · ·+λmanm)vn=0

Ahora bien, como por hip´otesis B es linealmente independiente, la relaci´on (2.26) se satisfar´a si y s´olo si λ1a11+λ2a12+· · ·+λja1j +· · ·+λma1m = 0 λ1a21+λ2a22+· · ·+λia2j+· · ·+λma2m = 0 .. . λ1ai1+λ2ai2 +· · · +λiaij+· · ·+λmaim = 0 (2.28) ... λ1an1 +λ2an2 +· · ·+λianj +· · ·+λmanm = 0

que es un sistema lineal homog´eneo denecuaciones ym > ninc´ognitas que necesaria-mente ha de tener grados de libertad y por tanto soluciones distintas de la trivial. En consecuencia S, es decir, cualquier conjunto con un n´umero superior a n de vectores

es linealmente dependiente por lo que V es de dimensi´on n. Por definici´on, entonces,

B ser´a una base de V.

Tenemos por tanto un m´etodo para identificar los espacios vectoriales de dimen-si´on finita. Como indica el teorema 2.2, consiste simplemente en encontrar una base de dicho espacio. Apliqu´emoslo a algunos espacios conocidos.

Ejemplos de espacios vectoriales de dimensi´on finita. Como ya hemos visto en el ejemplo 2.2, Rn _{es de dimensi´on finita con dim}Rn _{= n. Apliquemos ahora el} teorema 2.2 para encontrar m´as espacios de dimenis´on finita.

i_{) V =Mm×n(}R_{). Consideremos el conjunto} Bc={Eij, i=m, . . . , j = 1, . . . , n}, con j ↓ Eij =          0 _{· · ·} 0 _{· · ·} 0 ... ... ... 0 _{· · ·} 1 _{· · ·} 0 ... ... ... 0 _{· · ·} 0 _{· · ·} 0          ←i

integrado porm_×n matrices cuyos elementos son todos nulos salvo el elemento situado en la fila i y columna j que toma el valor 1. Es f´acil ver que Bc es

linealmente independiente formando una combinaci´on lineal de sus matrices e igual´andolo a la matriz nula

m X i=1 n X j=1 λijEij =          λ11 · · · λ1j · · · λ1n ... ... ... λi1 · · · λij · · · λin ... ... ... λm1 · · · λmj · · · λmn          =          0 _{· · ·} 0 _{· · ·} 0 ... ... ... 0 _{· · ·} 0 _{· · ·} 0 ... ... ... 0 _{· · ·} 0 _{· · ·} 0         

de donde se desprende que ha de ser λij = 0 parai= 1, . . . , m,j = 1, . . . , n. Por

2.2 Espacios vectoriales de dimensi´on finita. Bases 53

lineal de las matrices deBccon unos coeficientes que coinciden precisamente con

los elementos de matriz

m X i=1 n X j=1 aijEij =          a11 · · · a1j · · · a1n .. . ... ... ai1 · · · aij · · · ain ... ... ... am1 · · · amj · · · amn          =A

por lo que se satisfacen las condiciones del teorema 2.2, V es dimensi´on finita con

dim_Mm×n(R) =m·n (2.29)

Bc es una base, a la que llamaremos base can´onica de V y

(a11, a12, . . . , a1n, a21, a22, . . . , a2n, . . . , am1, am2, . . . amn)∈Rm·n (2.30)

son las coordenadas de la matriz A = (aij) en Bc.

ii_{) V =Pn(}R_{). Consideremos ahora el conjunto den+ 1 polinomios}

Bc={1, x, x2, . . . , xn} (2.31)

Probemos que es linealmente independiente igualando al polinomio nulo una combinaci´on lineal de sus elementos

λ0 ·1 +λ1x+λ2x2+· · ·+λnxn = 0·1 + 0x+ 0x2+· · ·+ 0xn

Como para que dos polinomios coincidan han de ser iguales entre s´ı todos sus coeficientes, entonces λ0 = λ1 = · · · = λn = 0. Por otro lado, todo polinomio

p _⊂ V puede escribirse como una combinaci´on lineal de los vectores de Bc, en

efecto p(x) = n X i=0 aixi =a0·1 +a1·x+· · ·+an·xn (2.32)

dimensi´on finita con

dimPn(R) = n+ 1 (2.33)

Bc es una base (que llamaremos can´onica) de V y

(a0, a1, . . . , an)∈Rn+1 (2.34)

son las coordenadas del polinomiop(x) =a0+a1x+· · ·+anxn en Bc.

Ahora bien, no todos los espacios vectoriales son de dimensi´on finita. Existen espacios vectoriales donde podemos encontrar conjuntos ilimitados de vectores lineal-mente independientes, como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.3 Comprobaremos que el conjunto de 2n+ 1 funciones

S =_{1,cosx,cos 2x, . . . ,cosnx, senx, sen 2x, . . . , sennx_{} ⊂}C(R_{) (2.35)} es linealmente independiente. Para ello, como es habitual tomaremos una combinaci´on lineal de sus elementos igualada a la funci´on nula

a0·1+a1cosx+a2cos 2x+· · ·+ancosnx

+b1senx+b2sen 2x+· · ·+bnsennx= 0∀x (2.36)

Multipliquemos ahora la expresi´on (2.36) por cosxe integremos en el intervalo [0,2π] Z 2π

0

(a0cosx+a1cosxcosx+a2cosxcos 2x+· · ·+ancosxcosnx

+b1senxcosx+b2sen 2xcosx+· · ·+bnsennxcosx) dx=

Z 2π

0

0 cosxdx

Es claro que la integral de la derecha es trivialmente nula, mientras que la integral de la izquierda, por linealidad puede descomponerse en una suma de integrales

a0 Z 2π 0 cosxdx+a1 Z 2π 0 cosxcosxdx+a2 Z 2π 0 cosxcos 2xdx+_{· · ·}+an Z 2π 0 cosxcosnxdx +b1 Z 2π 0 senxcosxdx+b2 Z 2π 0 sen 2xcosxdx+_{· · ·}+bn Z 2π 0 sennxcosxdx= 0

2.3 Isomorfismo entre espacios vectoriales 55

Si ahora tenemos en cuenta que Z 2π 0 coskxsenlxdx= 0 _∀k, l; Z 2π 0 coskxcoslxdx= Z 2π 0 senkxsenlxdx= ( 0, si k₆=l π, si k=l

todas las integrales en la suma de arriba se anulan salvo la segunda, con lo que obtenemosπa1 = 0 ⇒a1 = 0.

Es claro que, de haber multiplicado (2.36) por cos 2x, cos 3x, . . . ,cosnx, tras in-tegrar habr´ıamos obtenido respectivamente a2 = 0, a3 = 0, . . . , an = 0. Si

pos-teriormente multiplicamos por las funciones senx, sen 2x, . . . , sennx, obtenemos

b1 =b2 =· · ·=bn= 0, con lo que (2.36) queda reducida finalmente a a0·1 = 0. Ahora bien, al ser S linealmente independiente y ser n arbitrario podemos ob-tener conjuntos de funciones linealmente independientes con tantas funciones como queramos, por lo que el espacio vectorialV =C(R_{) es de dimensi´on infinita.} An´alo-go razonamiento puede hacerse para otros espacios vectoriales de funciones como

V =C(a, b) ´o V =Cn_{(a, b).}

Puede comprobarse asimismo que el espacio vectorialV =P(R_{) de los polinomios} de cualquier orden es tambi´en de dimensi´on infinita ya que, como hemos probado anteriormente, el conjunto S = _{1, x, . . . , xn_{} es linealmente independiente, pero}

ahoran es arbitrario.

2.3.

Isomorfismo entre espacios vectoriales

Probaremos ahora que todos los espacios vectoriales de la misma dimensi´on (finita) son, en un cierto sentido, el mismo. En efecto, seaV un espacio vectorial con dimV =

n y sea B =_{v_1,v_{2, . . . ,}v_{n} una base ordenada —esto es, si alteramos el orden de} los vectores la consideramos una base distinta— de V. Como hemos visto, cualquier vectorv _{∈V puede representarse en funci´on de sus coordenadas en B de la forma}

v _=x1v_1+x2v_{2+· · ·+xn}v_{n (2.37)} Pues bien, la relaci´on (2.37) nos permite establecer unacorrespondencia biun´ıvoca

entre vectores deV y vectores deRn_{, donde a cada vector deV se le hace corresponder} un ´unico vector de Rn _{(cuyas componentes son las coordenadas de} v _{en B) y} vice-versa. Dicha correspondencia se conoce con el nombre de isomorfismo(concepto que estudiaremos en profundidad en el tema 5) ya que es lineal, esto es, preserva la suma y el producto por un escalar. En efecto, si v _{= x1}v_{1 +x2}v_{2 +· · ·+ xn}v_n, w_=y1v_1+y2v_{2+· · ·+yn}v_{n y λ∈}R_{, entonces}

v₊w_{= (x1+y1)}v_{1+ (x2 +y2)}v_{2+· · ·+ (xn+yn)}v_n

λv_=λx1v_1+λx2v_{2+· · ·+λxn}v_n por lo que el isomorfismo les har´a corresponder

v₊w_{←→(x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn)B= (x1, x2, . . . , xn)B+ (y1, y2, . . . , yn)B}

λv _{←→(λx1, λx2, . . . , λxn)B =λ(x1, x2, . . . , xn)B}

Es decir, a la suma de dos vectores le hace corresponder la suma de los vectores de coordenadas y al producto de un vector por un escalar le hace corresponder el vector de coordenadas multiplicado por el escalar.

Se dice que dos espacios vectoriales sonisomorfossi entre ellos se puede establecer un isomorfismo. Hemos probado entonces el siguiente resultado

Teorema 2.3 Todos espacio vectorial de dimensi´on n es isomorfo a Rn_.

Esta circunstancia nos permite trabajar con Rn _{en lugar de con espacios} vecto-riales m´as complicados siempre y cuando ´estos sean de dimensi´on n. Por ejemplo, el resultado anterior nos asegura que

Mm×n(R) es isomorfo aRm·n, y

Pn(R) es isomorfo a Rn+1.

2.4.

Cambios de base

Ahora bien, el isomorfismo anterior tiene el inconveniente de que es dependiente de la base B de V elegida. En efecto, sean B =_{v_1,v_{2, . . . ,}v_{n} y B}0 _={v0

2.4 Cambios de base 57

dos bases distintas deV. Para cada vectorv _{∈V existir´an unas ´unicas coordenadas en} cada base, es decir podemos expresarlo simultaneamente de las dos formas siguientes

v _=x1v_{1 +x2}v_{2+· · ·+xn}v_n=x0 1v 0 1+x 0 2v 0 2+· · ·+x 0 nv 0 n (2.39)

El problema radica ahora en determinar la relaci´on entre las coordenadas (x1, x2, . . . , xn)B de v en B y las coordenadas (x10, x02, . . . , x0n)B0 de v en B0. Veamos

c´omo hacerlo.

En primer lugar, por ser B una base de V todos los vectores del espacio, y en particular los vectores de B0_{, se podr´an expresar como combinaci´on lineal de los}

vectores de B. Es decir, existir´an unas ´unicas coordenadas pij tales que podemos

escribir v0 1 =p11v1+p21v2+· · ·+pi1vi+· · ·+pn1vn v0 2 =p12v1+p22v2+· · ·+pi2vi+· · ·+pn2vn ... (2.40) v0_{j =p1j}v_1+p2jv_{2+· · ·+pij}v_{i+· · ·+pnj}v_n .. . v0 n=p1nv1+p2nv2 +· · ·+pinvi+· · ·+pnnvn

v ₌ n X i=1 x0_iv0 i =x 0 1v 0 1+x 0 2v 0 2+· · ·+x 0 nv 0 n = n X i=1 x0_i n X j=1 pjivj ! =x0 1(p11v1+p21v2+· · ·+pi1vi+· · ·+pn1vn)+ +x0₂(p12v1+p22v2+· · ·+pi2vi+· · ·+pn2vn)+ .. . +x0_j(p1jv1+p2jv2+· · ·+pijvi+· · ·+pnjvn)+ ... +x0 n(p1nv1+p2nv2+· · ·+pinvi+· · ·+pnnvn)

Ahora bien, si en la expresi´on anterior sacamos factor com´un a los vectores deB

(o, lo que es lo mismo, intercambiamos el orden de los sumatorios) obtenemos

v ₌ n X j=1 n X i=1 x0_ipji ! v_{j =} =(x0 1p11+x02p12+· · ·+x0jp1j +· · ·+x0np1n)v1+ +(x0₁p21+x02p22+· · ·+x0jp2j +· · ·+x0np2n)v2+ ... +(x01pi1+x02pi2+ · · · +x0jpij+· · ·+x0npin)vi+ .. . +(x0 1pn1+x02pn2+· · ·+x0jpnj +· · ·+x0npnn)vn= n X j=1 xjvj

Es decir, hemos encontrado la siguiente relaci´on entre las coordenadas en ambas bases

2.4 Cambios de base 59 x1 =x01p11+x02p12+· · ·+x0jp1j +· · ·+x0np1n x2 =x01p21+x02p22+· · ·+x0jp2j +· · ·+x0np2n ... xi =x01pi1+x02pi2+ · · · +x0jpij+· · ·+x0npin .. . xn =x01pn1+x02pn2 +· · ·+x0jpnj+· · ·+x0npnn                        (2.41)

que son las llamadas ecuaciones de cambio de base. Tambi´en pueden reescribirse matricialmente como

coord. coord. coord. coord. coord. de v _de v0 1 de v02 de v0n de v en B en B en B en B en B0 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓               x1 x2 ... xi .. . xn               =               p11 p21 ... pi1 .. . pn1 p12 p22 ... pi2 .. . pn2 · · · p1n p2n ... pin .. . pnn                             x0 1 x0 2 ... x0 i .. . x0 n              

o bien, si llamamosP = (pij),X ≡(x1 x2 · · · xn)T,X0 ≡(x01 x02 · · · x0n)T, finalmente

resulta

X =P X0 _(2.42)

donde hemos introducido la matriz P llamada matriz de cambio de base de B a B0_.

Por comparaci´on con (2.40) se observa que las columnas de la matrizP de cambio de base deB aB0 _{contienen las coordenadas de los vectores de la baseB}0 _expresados

en la base B. ¿Cu´al ser´ıa la matriz Q de cambio de base de B0 _{aB? Para calcularla}

necesitar´ıamos conocer las coordenadas de los vectores de B expresados en B0 _(es

decir, la relaci´on inversa a (2.40)) y disponerlas en columnas. Eso dar´ıa lugar a la ecuaci´on

Ahora bien, comparando (2.42) y (2.43) obtenemos

X =P X0 =P QX _∀X _⇒P Q=I _⇒Q=P−1 (2.44) de donde se deduce que toda matriz de cambio de base es invertible y su inversa es la matriz que realiza el cambio en sentido contrario.

Ejemplo 2.4 Sea V = _M2(R_{) el espacio vectorial de las matrices cuadradas de} orden 2 de coeficientes reales.

a) Demostrar que B0 = ( 1 2 3 4 ! , 2 3 4 1 ! , 3 4 1 2 ! , 4 1 2 3 !) (2.45) es una base de V.

b) Hallar las coordenadas de la matriz A= 1 1 1 1

!

en dicha base.

Soluci´on

a) Para ser una base de V,B0 _{ha de ser linealmente independiente y contener tantos}

vectores como la dimensi´on del espacio. Como dim_M2(R) = 2·2 = 4 y B0 tiene 4 matrices s´olo nos queda probar que es linealmente independiente. Para ello formaremos una combinaci´on lineal de sus vectores igualada a la matriz nula

λ1 1 2 3 4 ! +λ2 2 3 4 1 ! +λ3 3 4 1 2 ! +λ4 4 1 2 3 ! = 0 0 0 0 ! (2.46)

Una vez hecha la combinaci´on lineal (2.46) se reduce a

λ1+ 2λ2+ 3λ3+ 4λ4 2λ1+ 3λ2+ 4λ3+λ4 3λ1+ 4λ2+λ3+ 2λ4 4λ1+λ2+ 2λ3 + 3λ4 ! = 0 0 0 0 ! (2.47)

2.4 Cambios de base 61 ser λ1+ 2λ2+ 3λ3+ 4λ4 = 0 2λ1+ 3λ2+ 4λ3+ λ4 = 0 3λ1+ 4λ2+ λ3+ 2λ4 = 0 4λ1+ λ2+ 2λ3+ 3λ4 = 0            (2.48)

Sistema cuya ´unica soluci´on es la trivial, luego B0 _{es independiente.}

b) Conocemos las coordenadas de la matriz A en la base can´onica de _M2(R₎

Bc= ( 1 0 0 0 ! , 0 1 0 0 ! , 0 0 1 0 ! , 0 0 0 1 !) (2.49)

ya que trivialmente coinciden con los elementos de matriz

A= 1_· 1 0 0 0 ! + 1_· 0 1 0 0 ! + 1_· 0 0 1 0 ! + 1_· 0 0 0 1 ! (2.50)

es decir, A _→ (1,1,1,1)Bc. ¿Cu´ales ser´an sus coordenadas en la base B

0_{? Para ello}

tendremos que plantear la combinaci´on

A= 1 1 1 1 ! =a0 1 2 3 4 ! +b0 2 3 4 1 ! +c0 3 4 1 2 ! +d0 4 1 2 3 ! (2.51) que nos lleva al sistema de ecuaciones

a0_{+ 2b}0_{+ 3c}0_{+ 4d}0 _{= 1} 2a0_{+ 3b}0_{+ 4c}0_{+ d}0 _{= 1} 3a0_{+ 4b}0_{+ c}0_{+ 2d}0 _{= 1} 4a0_{+ b}0_{+ 2c}0_{+ 3d}0 _{= 1}            (2.52)

cuya ´unica soluci´on a0 _{= b}0 _{= c}0 _{= d}0 _{= 1/10 nos da las coordenadas de A en B}0_:

ecuaciones de cambio de base entre B y B0_{, que son de la forma}       a b c d       =       1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3       | {z } P       a0 b0 c0 d0       (2.53)

donde la matrizP de cambio de base en (2.53) (que coincide con la matriz asociada de los sistemas (2.48) y (2.53)) contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de B0 _enB

cque, de nuevo trivialmente coinciden con sus elementos de matriz ya que

Bc es la base can´onica. Si en (2.53) hacemos a =b =c=d = 1 obtenemos de nuevo