MATEMATICAS FINANCIERAS

MATEMATICAS FINANCIERAS

OBJETIVO GENERAL:

Dominio y uso de las herramientas básicas para realizar los cálculos matemáticos, frecuentemente utilizados en el medio financiero. Particularmente en el Mercado de dinero y en el de Capitales.

Conocimiento pleno de los conceptos matemáticos y fórmulas que se aplican en el Mercado de Valores, así como el uso de calculadoras especializadas.

INTERES SIMPLE

En las operaciones financieras de crédito e inversión que se usa interés simple, el capital o base de la operación no cambia y los rendimientos del mismo dependen del capital, del tiempo de la tasa de interés aplicada.

Ejemplo:

Si se invierte un capital de $2,000 durante 4 años al 30 % anual, los intereses que va a generar este capital serán los siguientes:

Capital: $2,000 Tasa de interés 30 % anual Tiempo: 4 años

PERIODO CAP. INICIAL INTERÉS CAP. FINAL

1 2000 600 2000 2 2000 600 2000 3 2000 600 2000 4 2000 600 2000

TOTAL 2400

Si en este momento se retira la inversión, los intereses ganados serán de $2,400 y el capital de $2,000, lo que dará un total o monto de $4,400.

Si el cálculo de intereses se quiere resolver por fórmula matemática se tendría:

I = C i n

Donde:

I = Interés generado por un cierto capital.

i = Tasa de interés efectiva para el periodo.

n = número de períodos que se permanece un capital invertido o prestado.

En la solución de problemas de interés es muy importante que la tasa de interés esté relacionado con el tiempo; y al tanto por uno, es decir, si el periodo es anual, la tasa será anual, si es trimestral, la tasa será trimestral, etc.

I = C x i x n

I = 2000 x .30/2 x 8 = 2,400

Como la base o capital no varía el cambio en el periodo no afecto la obtención de intereses.

Despejando de la fórmula anterior las diferentes variables se puede obtener el capital, el tiempo y la tasa de interés efectiva para el periodo.

I = C x i x n C = I /(i x n) n = I / C x i i = (I / C x n)

A continuación veremos un ejemplo para cada variable:

1) ¿Cuánto le contará a usted un préstamo de $1,000 al 24% anual si lo cubre al final de 6 trimestres?

I = C i n

I = 1,000 x .24/4 x 6 = $360

2) ¿Qué capital se invirtió para que después de 6 trimestres a una tasa del 24 % haya generado intereses por $360 ?

C = I / in

C = 360 .24 / 4 x 6 C = $1,000

3) ¿A qué tasa de interés nominal anual se colocó un capital de $1,000 para que después de 6 trimestres haya generado un interés de 360?

i = I x 100 C x n

i = 360 x 100 : i = 6% trimestral 1000 x 6

i = 6 x 4 = 24 % anual

¿Durante cuántos trimestres se invirtió un capital de $1,000 para que a una tasa de interés anual del 24% haya producido 360 de intereses?

n = I C x I

n = 360 = 6 trimestres 1000 x .24/4

nota: El capital en operación de interés se conoce también como el valor presente del dinero.

MONTO O VALOR FUTURO EN INTERES SIMPLE

El monto o valor futuro en operaciones financieras es la suma del capital inicial o valor presente más los intereses que se generaron durante un cierto tiempo y a una tasa de interés.

M = C + I Donde: C = M - I I = M - C

Si se desea calcular directamente el monto o valor futuro de una inversión sin calcular primero los intereses, se puede usar la siguiente fórmula integral.

M = C + I Donde:

M = C+ Cin Factorizando con C

M = C(1 + in) Ejemplo.:

¿Cuál será el monto o valor futuro de una inversión de $1000 que se coloca en una institución bancaria durante 9 meses al 24 % anual en interés simple?

M = C [ I + (in) ]

M = 1000 [ I + (.24/12 X 9 ) ] = $1,180

Sobre la fórmula de monto o valor futuro se puede determinar el capital, el tiempo y la tasa de interés efectiva para el periodo.

En nuestro Ejemplo.

¿Qué capital se invirtió para que después de 9 meses y a una tasa del 24 % anual, haya dado un monto de $1,180?

C = M = 1180 = 1,000 [1 + (in) ] [1 + 24/12 x 9 ]

Para hacer más sencillo el despeje de el tiempo (n) y de la tasa de interés efectiva (y)

para el periodo use la fórmula de monto sin factorizar.

M = C + C i n M - C = i Cn Donde: i = M - C x 100 C x n

En nuestro ejemplo el planteamiento quedaría de la siguiente forma:

A que tasa de interés anual colocó un capital de $1,000 para que después de 9 meses haya dado un monto de $1,180.

i = M - C x 100 C x n

i = 1,180 - 1,000 x 100 = 2% mensual 1,000 x 9

i = 2 / x12 = 24 % anual

Para despejar n de la fórmula de monto:

M = C +C i n Donde: M - C = Cin M - C = n C x i n = M - C C x i

El resultado será el número de periodos que se colocó la inversión.

En el Ejemplo:

¿Durante cuantos meses se colocó un capital de $1,000 para que a una tasa de interés del 24% anual haya dado un monto de $1,180?

n = M - C C x i

n = 1,180 - 1,000 = 9 meses 1,000 x .24/12

DESCUENTO FINANCIERO

Existen algunos préstamos o instrumentos de inversión que se manejan bajo el régimen de descuento financiero.

El descuento financiero consiste en cobrar los intereses al inicio de la operación a diferencia del régimen de intereses donde se cobran al final.

Descuento Bancario Descuento Financiero

Descuento Racional

En el descuento bancario que es el que más se usa, el interés se cobra o se paga sobre el monto o valor nominal de la operación (valor final) esta modalidad se usa en Préstamos Bancarios a corto plazo, factoraje, cetes, papel comercial, etc.

En el descuento racional el interés se cobra sobre el capital o valor inicial de la operación. Es poco usado en los Mercados Financieros y las fórmulas matemáticas que se usan son las de interés simple, con la única modalidad que los intereses por descuento se cobran al principio de la operación. Para esta modalidad de descuento.

Intereses por descuento = ID = Cin

M =C (1 + in) C = M [ 1 + (in) ]

DESCUENTO BANCARIO

Como los intereses se cobran al principio, sobre el monto, el interés por descuento se calcula con la siguiente fórmula:

ID = M x (in) Donde:

ID = Interés que se va a descontar

M = Monto o valor nominal de la operación

I = Tasa efectiva del periodo

n = Número de periodos que va a durar la inversión

Ejemplo:

La Cía. Espejos Pintados, S.A. solicita un préstamo de $10,000 por 12 meses y se le concede por el régimen de descuento bancario. Si la tasa de interés que le cobra el banco es de 36% anual, ¿Cuánto se le descontará por intereses y cuánto recibirá la empresa?

ID = M (in)

ID = 10,000 ( .36 x 12 ) = 3600 12

El descuento por intereses que le hará el banco será de $3,600, por lo que la empresa recibirá $6,400 (10,000 - 3,600).

C = M- Y

C = 10,000 -3,600 = 6,400

En los problemas de descuento se pueden determinar 2 tasas: * La tasa de rendimiento

*La tasa de descuento

disponible, y la tasa de descuento, el rendimiento o descuento sobre el monto.

En nuestro problema la tasa de rendimiento nominal anual por el año para el banco y por lo tanto, tasa de costo efectivo para el cliente será:

Tasa de Rendimiento Nominal = 3,600 x 100 = 56.25 % 6,400

Mientras que la tasa de descuento sería:

Tasa de Descuento Nominal = 3,600 x 100 = 36% 10,000

Dé la fórmula general de descuento bancario: ID=M (in) se puede despejar

M= ID in i= ID x 100 Mn n= ID Mi

Para comprobar las fórmulas usemos un Ejemplo:

1) La empresa “X” solicita un préstamo de $ 10,000 a diez meses a una tasa anual del 36% bajo el régimen de descuento bancario. ¿ A cuánto ascenderán los intereses por descuento ?.

ID= M(in)

ID= 10,000 x (.36/12x10)= $3,000.00

si se descontaron $ 3,000.00 ?

M = ID in

M = 3,000 = $10,000 (.36/12x10)

3) ¿ A qué tasa de interés por descuento se recibió un préstamo de $10,000 en diez meses para que el banco haya descontado $ 3,000 ?

y= ID x 100

MN i = 3000 x 100 = 3% mensual 10,000 x 10

i = 3% x 12 meses = 36% anual

4) A cuantos meses se concedió un préstamo de $ 10,000 para que el banco haya descontado $ 3,000 si la tasa de interés nominal fue del 36% anual.

n= ID M x i

n= 3,000 = 10 meses 10,000 x (.36/12)

En las operaciones financieras por descuento bancario se puede calcular el capital al que se le han descontado los intereses.

C = M - ID Donde: M = C + ID ID = M - C En el Ejemplo anterior C = M -ID C = 10,000 - 3,000 = $ 7,000 M = C + ID M = 7,000 + 3,000 = $ 10,000 ID = M - C ID = 10,000 - 7,000 = $ 3,000

Si el capital se quiere obtener directamente se puede usar la siguiente fórmula:

M = C - ID de donde: C = M - ( M i n) factorizando con M C = M [ (1 - i n) ] En nuestro ejemplo. C = 10,000 [ 1 -(.36/12 x 10) ] = 7,000 De la fórmula anterior C = M [ (1 - i n) ]

Se puede despejar el monto: M = C

(1 - (i n))

También se pueden despejar las variables i y n y para hacerlo se recomienda tomar la fórmula antes de factorizar.

C = M - ID de donde: C = M - M i n Para despejar la i: M i n = M -C i = M - C x 100 M x n Para despejar n: C = M -M i n M i n = M -C n = M - C M x i

Para entender las fórmulas anteriores supongamos el siguiente ejemplo: Si el valor nominal de un cete a 28 días es de $ 10.00 y tiene una tasa de descuento de 30%.

1) ¿Cuánto deberá pagar por cada título? C = M x ( 1 - ( i n)

2) Si la cantidad que se pagó por un cete a 28 días es de 9.77 y la tasa de descuento es del 30%, ¿Cuál es el valor nominal del título?

M = C = 9.77

[1 - (i n] [1 - (.30 /360 x 28)]

M = $ 10.00

3) ¿A qué tasa de descuento se adquirió un cete a 28 días si se pagó por él $9.77?

i = M -C x 100 M x n i = 10 - 9.77 x 100 = .08214 % en un día. 10 x 28 i = Nominal Anual .0821428 x 360 = 30%

4) ¿A cuánto tiempo de vencimiento se adquirió un cete por el que se pagó 9.77 si la tasa de interés es del 30%?

n= M - C M x i

n = 10 - 9.77 = 28 días [10 x (.30/ 360) ]

DESCUENTO RACIONAL

En el Descuento Racional los intereses se calculan sobre el capital y se descuentan del monto o valor nominal al principio de la operación.

Las fórmulas a usar son las mismas de interés simple, así es que sólo ilustraremos esta modalidad con un ejemplo:

El Sr. Rodríguez consigue un préstamo por $ 10,000 con base de descuento racional si la operación se concerta a una tasa de descuento del 36% a 10 meses.

¿ A cuánto ascenderá la cantidad que va a recibir el Sr. Rodríguez y a cuánto los intereses que le descontó el banco?

Datos: Monto = 10,000 Capital = ? i = 36% anual n = 10 meses Fórmula: C = M 1 + (i n) C = 10,000 = $ 7,692.31 (1 + (.36/12 x 10)

Capital o cantidad disponible = $ 7,692.31

Intereses por descuento = 10,000 - 7,692.31 Intereses por descuento = $ 2,307.69

Para comprobar que los intereses se calculan sobre el capital.

I = C i n de donde:

I = 7,692.31 x .36/12 x 10 = $ 2,307.69 Monto = C ( 1 + i n) =

M = 7,692.31 x (1 + .36/12 x 10) = $ 10,000

Si se comparan los intereses por Descuento Racional contra los intereses por Descuento Bancario resultan menores bajo esta última modalidad, por lo tanto conviene más la

modalidad de descuento bancario para el inversionista, y más el descuento racional para el que solicita un préstamo.

Ejemplo:

Determine el importe de intereses por descuento bancario y racional para un instrumento financiero de $ 20,000 a 60 días, al 30% anual.

Datos:

M = 20,000 i = 30% n = 60 días Interés = ?

Cálculo de Interés por Descuento

Bancario Racional fórmulas fórmulas ID = M i n C = M /( 1 + (i n) ID = 20,000 x (.30 /360 x 60) C = 20,000/ [ 1 + (.30/360 x60) ] ID = $ 1,000 C = $ 19, 047.62 C = M ( 1 - (i n) ID = M - C C = 20,000 ( 1 - .30/ 360 x 60) ID = 20,000 - 19,047.62 C = $ 19,000 ID = $ 952.38 o bien: o bien. C = M - ID I = C i n C = 20,000 - 1,000 I = 19, 047.62 x ( .30/360 x 60) C = $ 19,000 I = 952.38

INTERES COMPUESTO

Existen Instrumentos de Inversión y Financiamiento que se concertan con base en interés compuesto, también llamado interés capitalizable.

En el interés compuesto o capitalizable el interés que genera un capital se va acumulando a éste y se convierte en capital; de tal manera que los intereses se van acumulando sobre una nueva base a medida que se capitalizan.

En el interés compuesto entonces las variables que intervienen para determinar el rendimiento son: CAPITAL, TASA DE INTERES, TIEMPO Y FRECUENCIA DE CAPITALIZACION.

El capital es la cantidad que se invierte o se pide prestada.

La tasa de interés es el porciento del capital que se va a cubrir o se va a pagar nominalmente sobre el capital.

El tiempo es el número de períodos que se va a usar un capital o se va a invertir (años, semestres, trimestres, meses, días, etc.).

La Frecuencia de Capitalización es el número de veces que durante un año se van a acumular los intereses al capital. (una vez al año, semestralmente, mensualmente, etc.)

La Frecuencia de Capitalización es, sin lugar a dudas la variable más interesante en el interés compuesto, ya que de ella depende un mayor o menor rendimiento sobre un mismo capital, a un mismo lapso de tiempo y a una cierta tasa.

La Frecuencia de Capitalización puede ir desde una vez al año (anual), hasta una frecuencia infinita llamada capitalización continua.

Para entender mejor la mecánica del interés compuesto, supóngase que usted invierte $ 1,000 al 20% capitalizable anualmente y los deja 3 años.

INVERSION

PERIODOS C. INICIAL INTERES C. FINAL

1 $ 1,000 $ 200 $ 1,200

2 $ 1,200 $ 240 $ 1,440

3 $ 1,440 $ 288 $ 1,728

del 1er año, los intereses que generó este capital fueron de $ 200 ( 1,000 x .20 x 1) y éstos se incorporaron al mismo, dando como resultado un nuevo capital. Como resultado un nuevo capital de $ 1,200 con lo que se inició el segundo ejercicio. Sobre este nuevo capital se aplicó la tasa de interés dando como resultado intereses por $ 240 ( 1200 x .20 x 1) y así sucesivamente.

Si los cálculos anteriores los hacemos usando fórmulas matemáticas tendríamos:

VF1= 1000 (1.20) = 1,200

VF2= 1000 (1.20) (1.20) = 1,440

VF3= 1000 (1.20) (1.20) (1.20) = 1,728

Lo anterior significa que al capital se le va a multiplicar (1 + i) uno más la tasa de interés efectiva (decimal) tantas veces como se vaya capitalizando los intereses.

VF = VP (1 + i) (1 + i) (1 + i)... (1 + i) dando como resultado la fórmula de valor futuro de una inversión en interés compuesto.

VF = VP (1 + i)n

de donde:

VF es el importe final de una inversión que incluye capital más intereses después de un tiempo

1 Es la unidad aritmética

i Es la tasa efectiva para el período (anual, semestral, diaria, etc.) n Es la frecuencia de capitalizaciones en el año.

En el interés compuesto la tasa de interés efectiva debe estar relacionada con la frecuencia de capitalización; es decir, si la capitalización es anual, la tasa efectiva será anual, si la capitalización es mensual, la tasa efectiva debe ser mensual.

Ejemplo:

capitalización anual.

Solución:

Capital o Valor Presente: $ 100

Tiempo: 3 años Tasa Nominal: 10% Capitalización: anual VF = VP ( 1 + i) n VF = 100 ( 1 +.10) 3 $ 133.10 VP VF 100 133.10 0 1 2 3

De lo anterior se desprende que si usted invirtió $100 durante 3 años al 10% anual y al final recibe 133.10, la diferencia entre el valor del capital final y el valor del capital inicial son los intereses que generó la inversión.

En interés compuesto entonces los intereses se conocen sacando la diferencia entre el valor futuro y el valor presente de una inversión. No existe una fórmula matemática para determinar los intereses debido a que el capital varía cada vez que se le acumulan los intereses.

Si se desea comprobar las cifras de la inversión anterior, puede hacerse un cuadro.

Inversión: $100 al 10% a 3 años con capitalización anual.

PERIODO CAP. INICIAL INTERES CAP. FINAL

1 100 10 110

2 110 11 121

3 121 12.10 133.10

Supongamos ahora una capitalización semestral para esta misma inversión:

C= 100

i = 10%

n

Capitalización semestral (dos veces al año) VF = VP ( 1 + i) n

VF= 100 (1 + .10/2)6= 134.01

Obsérvese, que aquí la tasa nominal se divide entre 2 porque la tasa efectiva debe ser semestral, ya que el número de veces que los intereses se van a incorporar al capital son dos.

La potencia a que se eleva la expresión es 6 (3 años por 2 veces de capitalización).

Observése también que el capital final o valor futuro de la inversión fue mayor y por lo tanto los intereses más elevados, debido a la incorporación más rápida de los mismos al capital.

Supongamos ahora una capitalización trimestral:

Capital: 100

i: 10%

n_{: 3 años : 12 trimestres}

Con capitalización trimestral ( 4 veces al año) VF = VP ( 1 + i) n

VF = 100 (1 + .10/4)12= 134.49 Con capitalización mensual:

VF = VP ( 1 + i) n

VF = 100(1 + .10/12)36= 134.82

Con capitalización diaria (año comercial): VF = VP ( 1 + i) n

VF =100 (1 + .10/ 360)1080= 134.98 Con capitalización 2 veces al día: VF = VP ( 1 + i) n

VF = 100 (1 + .10/720)2160= 134.98

Observese que en este momento la frecuencia de capitalización dejó de ser importante para el rendimiento de la inversión ya que el valor futuro de la misma fue el mismo que en el caso de capitalización diaria, y aunque la capitalización se lleve hasta el infinito el resultado final de la inversión no cambiará considerablemente.

Por ejemplo, supongamos $ 10’000,000 de capitalización al año. VF = 100 ( 1 +.10/ 10’000,000)30,000,000 = 134.98

El valor futuro de la inversión no cambio.

Debido a esto, podemos hablar de lo que se denomina capitalización continua ( n puede hacerse arbitrariamente grande hasta el infinito), es decir efectuar la capitalización con una frecuencia infinita durante el año.

Para resolver problemas con capitalización continua se usa el factor dado por el logaritmo natural llamado e, cuyo valor es 2.71828 (aparece en las calculadoras financieras); y la fórmula para determinar el valor futuro de una inversión con capitalización continua es:

VF = VP x ei x n

En nuestro ejemplo: VF = 100 x( 2.71828)3 x.10 VF = 134.98

Ahora bien, si se desea saber como se encontró el valor logaritmo e determine el valor futuro de 1.00 a diferentes capitalizaciones hasta llevarlo a un número arbitrariamente alto de capitalización. PERIODO DE CAPITALIZACION (1 + I/P)P VALOR 1 (1 + 1/1)1 2.00 2 (1 + 1/2)2 2.25 10 (1 + 1/10)10 2.594 100 (1 + 1/100)100 2.705 1,000 (1 + 1/1000)1000 2.7169 10,000 (1 + 1/10,000)10,000 2.7181 100,000 (1 + 1/100,000)100,000 2.71827 1’000,000 (1+ 1/1’000,000)1’000,000 2.71828

VALOR PRESENTE EN INTERES COMPUESTO

Existen operaciones financieras donde se conoce el valor futuro o monto de la operación y se desea conocer el valor presente de la misma, por ejemplo cuando se descuenta un documento, o se quiere reestructurar una deuda, en un momento dado, o bien cuando se quiere saber cuanto se quiere invertir en este para ahorrar cierta cantidad que se necesita en el futuro.

El valor presente en una operación financiera es el importe de un capital en cierto momento.

Para determinar el valor presente de un capital conociendo su valor futuro basta con despejar de la fórmula del valor futuro el valor presente.

VF = VP ( 1 + i) n de donde: VP = VF/ (1 +i)n

Ejemplo:

Supongamos que la Cía. Libros Rotos descuenta una factura con valor de $1,000 que vence en 3 meses a una tasa de interés del 32% con capitalización mensual. ¿Cuánto recibirá en este momento por su factura?

VP = ? VF = 1,000

i = 32% con capitalización mensual n

= 3 meses Fórmula:

VP= VF/(1 + i)n de donde:

VP = 1000/(1 + .32/12)3 = 924.08

TIEMPO EN INTERES COMPUESTO

Para determinar el tiempo necesario para que el valor presente de un capital se convierta en un cierto valor futuro con determinada tasa de interés, de la fórmula general de valor futuro hay que despejar la n.

Fórmula:

VF = VP X (1+I)n

Como n es un exponente en la fórmula para resolver la operación hay que usar logaritmos.

Logaritmo de un número es el exponente al que está elevada cierta base para obtener como resultado dicho número.

La base generalmente es 10 y se llama logaritmo común.

Ejemplo:

El logaritmo común de 10 es 1: (10)1 = 10 El logaritmo común de 100 es 2: (10)2 = 100 El logaritmo común de 1000 es 3: (10)3 = 1000 El logaritmo común de 25 es 1.39794: (10)1.3979= 25

Los logaritmos se usan para resolver operaciones matemáticas y tienen 4 propiedades fundamentales:

Propiedades de los logaritmos:

1) Log (a x b) = log a + log b Ejemplo:

a2 x a3=a2+3=a5 2) Log a/b = log a - log b Ejemplo:

a5/a2 = a5-2 = a3 3) Log 1/a = - log a Ejemplo:

1/a2= a-2 4) Log (a) n = n log a Ejemplo:

(a2)4 = a2x4 = a8

Ya que se conocen las propiedades de los logaritmos se procede a despejar n de la fórmula de valor futuro.

VF = VP X (1+i)n VF/ VP = (1+i)n

log VF- log VP = n log (1 +i) log VF - log VP = n

log (1+i)

Ejemplo:

En cuanto tiempo un capital de $ 1,000 se convierte en $ 1,280.08 si la tasa de interés vigente en el mercado es del 30% con capitalización mensual.

VP = 1000 VF= 1,280.08 i = 30% n = ? meses Fórmula: n= log VF - log VP = n log (1+y) n= log 1,280.08 - log 1000 log ( 1 + .30/ 12) n= 3.1072371122 - 3.00 = 10 meses .01072386539

TASA DE INTERES

Para determinar la tasa de interés efectiva en una operación financiera con interés compuesto se despeja de la formula general de valor futuro y una vez que se conoce ésta para convertirla en nominal basta con multiplicarla por el número de periodos que la tasa efectiva se aplica en un año.

Fórmula: VF = VP x (1 + i ) n Donde: VF/VP = (1 + i) n

Para eliminar la n de la segunda parte de la ecuación se aplica una raíz n a las dos partes.

VF VP

_/

=

₍

₁

+

_{i n}

₎

VF VP

_/

=

VF VP

_/

=

[

i

=

VF V

/

P

Si no se quiere trabajar con raíz se convierte en potencia.

i= ( VF/VP) 1 /n -1)100

para que después de 2 años se reúnan $20,327.94 VF = 20,327.94 VP = 10,000 n = 2 años i= [(VF/VF) 1 /n-1] x 100 i = [(20,327.94/10,000)1 24/ -1]100= 3% Nota:

n se describe en meses porque la capitalización es mensual. i = 3 % mensual efectiva

Tasa Nominal Anuall:

TASA DE INTERES

La tasa de interés es una operación financiera, es el porcentaje que sobre un capital se obtiene o se cubre de acuerdo con lo establecido convencionalmente entre el oferente y el demandante de recursos.

Dentro de la tasa de interés hay varias formas de considerarla y calcularla

TASA NOMINAL:

Es la tasa de interés pactada entre los usuarios del dinero, su expresión es anual, siempre indica el plazo al cual se refiere la operación.

Ej. Pagaré a 28 días 32% TASA EFECTIVA:

Es la tasa de interés que va a operar para cada período. Es la que efectivamente se recibe o se paga periódicamente y al capitalizarla anualmente da un rendimiento efectivo. Su expresión es con base al plazo y se puede calcular en forma anual.

Ej. 3% mensual o [(1.03)12 - 1] 100= 42.57% anual

Para entender mejor la expresión de tasa efectiva, supóngase que una señora deposita en un Banco un capital de $6,000 a una tasa del 24% con capitalización mensual y lo deja durante un año.

1. ¿Cuánto ganó por su inversión?

2. ¿Cuál fue el rendimiento efectivo sobre su inversión ? 3. ¿Cuál es la tasa efectiva?

solución VF= VP (1+I) n

VF= 6000 (1 + .24/12) 12 = $7,609.45

Si el valor futuro de la inversión es de $7,609.45 y el Capital invertido fue de $6,000, el interés ganado es de $1,609.45.

% Rendimiento = Interés ganado X100 Capital Invertido

% Rendimiento = 1,609.45 X 100 = 26.82% Anual 6,000

26.82% es el rendimiento que efectivamente ganó la señora por su inversión, y representa la tasa efectiva para un 24% con capitalización mensual.

La tasa efectiva se pudo haber determinado con base en la tasa nominal: Capitalizando la tasa efectiva del periodo.

Tasa Nominal = 24% anual con capitalización mensual

Tasa Efectiva

Mensual = 24/12 = 2% mensual

Tasa Efectiva

TASA REAL:

Es aquella tasa efectiva a la cual se le ha descontado la inflación del periodo.

La tasa se puede determinar usando cualquiera de las fórmulas siguientes:

(

)

Tasa Real =

1 + i Efectiva

1 + Inflación

- 1

100

Tasa Real =

% Efectiva - % Inflación

(1+ Inflación Decimal)

x

Supóngase que la Sra. del ejercicio anterior que invirtió su dinero durante un año al 24% de interés capitalizable mensualmente, desea conocer su Tasa Real de rendimiento ante una inflación anual del 18%.

Tasa Real = [ ( 1 + .2682) -1] 100 = 7.47% 1 + .18

Tasa Real = [ 26.82 - 18] = 7.47% 1.18

Despejando de la fórmula anterior:

TASAS EQUIVALENTES

Son las tasas de interés que con diferentes periodos de capitalización producen los mismos rendimientos durante un año.

Por Ejemplo:

La Srita. Álvarez invirtió durante un año 100 pesos al 24% con capitalización mensual y la srita. Anguiano invirtió también 100 al 25.23% con capitalización semestral. Cual de las dos personas obtuvo un rendimiento mayor sobre su inversión.

Solución: Srita. Álvarez VF = VP (1 + I)n VF = 100 (1+ .24/12)12 = $126.82 Interés Ganado: 126.82 - 100 = $26.82 % Rendimiento : 26.82 X 100 = 26.82% 100 Srita. Anguiano VF = VP (1 + I)n VF = 100 (1+ .2523/2)2 = $126.82 Interés Ganado: 126.82 - 100 = $26.82 % Rendimiento : 26.82 X 100 = 26.82% 100

Como se puede observar en el cuadro anterior las 2 personas obtuvieron el mismo rendimiento debido a que la tasa efectiva para ambas tasas nominales fue la misma.

Inversión Señorita Alvarez:

Tasa Efectiva anual para 24% mensual T. Efectiva = [ ( 1+ .24/12)12 -1] 100 = 26.82%

Inversión Señorita Anguiano:

Tasa Efectiva para 25.23% semestral

T. Efectiva= [( 1+ .2523/2)2 -1 ] 100 = 26.82%

Para determinar la tasa Equivalente efectiva para cualquier Tasa Nominal existe una

fórmula general:

T. Efectiva Equivalente = [(1 + i )m/n -1)] 100 Donde:

i = Es la tasa efectiva del periodo para la tasa nominal conocida

m = Es el período final o período buscado (mes, año, día, etc.)

n = Es el período inicial o dado (mes, año, día, etc.)

Si aplicamos la fórmula para encontrar la tasa equivalente al 24% con capitalización mensual, para un cierta tasa con capitalización semestral.

i = es igual al .24/12 = .02 mensual

m = es un semestre (6 meses)

n = es un mes

Quedando la fórmula:

T. Efectiva Equivalente = [(1 + .24/12) 6/1 -1] 100

T. Efectiva Equivalente= 12.616% para un semestre

Para encontrar la tasa Nominal Anual que corresponde a esta Tasa Efectiva Semestral basta con multiplicarla por 2 semestres.

Tasa Efectiva Semestral = 12.616 X 2 = 25.23% Anual Nominal con capitalización Semestral.

15% de capitalización Trimestral para cierta Tasa con capitalización diaria.

i= .15/4 = .0375 trimestral

m= un día

n= 90 días ( un trimestre)

Tasa Efectiva Equivalente = [( 1 + .15/4)1/90 -1] 100 Tasa Efectiva Equivalente = .0409% por un día

Tasa Equivalente Nominal Anual = .0409 X 360 = 14.73%

Comprobación:

Tasa Efectiva para 15% Trimestral (capitalización) T. Efectiva = [( 1 + .15/4)4 -1] 100 = 15.86%

Tasa Efectiva Anual para 14.73 a 1 día

T. Efectiva = [8 1+ .1473/360)360 -1] 100 = 15.86%

TASA ACUMULADA:

Es la tasa de interés efectiva acumulada para un tiempo determinado. Se calcula usando la siguiente fórmula:

Tasa Acumulada = [(1+i1) (1+i2) (1+i3) .... -1] 100

Ejemplo:

La Señora Rodriguez manejó una inversión durante 90 días a las siguientes tasa Nominales:

36% en 7 días 30% en 30 dias 28% en 45 días 27% en 8 días

¿Cual fue la tasa efectiva Acumulada para los 90 días?

Solución:

36% en 7 días = (.36/360 X 7) = .7% en 7 días

30% en 30 dias = (.30/360 X 30) = 2.5% en 30 días

28% en 45 días = (.28/360 X 45) = 3.5% en 45 días

27% en 8 días = (.27/360 X 8) = .6% en 8 días

Tasa Efectiva en 90 días: [(1.007) (1.025) ( 1.035) (1.006) -1] 100

Tasa Efectiva en 90 días = 7.47%

TASA PROMEDIO

Es aquella tasa de interés que corresponde en promedio a un período específico a partir de una tasa acumulada.

Ejemplo:

Si en el problema anterior la inversión de una persona le dio una tasa efectiva de 7.475 por un trimestre, uno se podría preguntar cual fue la tasa promedio para un mes.

La tasa promedio se determina:

Tasa Promedio = [(1+I)1/n -1] 100

Donde:

“i” representa la tasa acumulada para un periodo.

“n” representa los periodos contenidos en la tasa acumulada. En nuestro Ejemplo:

Tasa Promedio Mensual = [(1+.0747)1/3 -1] 100 Tasa Promedio Mensual = 2.43%

Otro ejemplo podría ser el siguiente:

Un fondo pagó en un año una Tasa Efectiva del 56%

¿Cuáles fueron las Tasas promedio pagadas en periodo semestral, trimestrales, bimestrales y mensuales?

Solución:

Tasa Promedio Semestral = [(1.56)1/2 - 1] 100 = 24.90% Tasa Promedio Trimestral = [(1.56)1/4 -1] 100 = 11.76% Tasa Promedio Bimestral = [(1.56)1/6 -1] 100 = 7.69% Tasa Promedio Mensual = [(1.56)1/12 - 1] 100= 3.78%

TASA ANUALIZADA

A veces se conoce la tasa de interés para un periodo y se desea saber cual es la tasa anualizada a que corresponde dicha tasa periódica

Tasa Anualizada = [(1+I)n -1] 100

La Tasa efectiva mensual de interés que ofrece un instrumento financiero es del 2.5% cual será la tasa efectiva anualizada.

Solución:

Tasa Anualizada = [(1.025)12 -1] 100 = 34.49%

TASA REMANENTE

Se usa para determinar la tasa que corresponde a un periodo a partir de una tasa Total

Tasa Remanente = [ ( 1+ i final / 1+ i inicial) -1 ] 100 Ejemplo:

La tasa de interés efectiva anual de una inversión es del 42% y en el primer trimestre se lleva ganado un 12% ¿Cuanto falta por obtener?

TASA DE RENDIMIENTO EN PESOS INVIRTIENDO EN DOLARES

El rendimiento o tasa efectiva que genera la inversión de un capital mexicano en dólares, debe considerar dos factores:

a) la tasa efectiva en dólares y la tasa de devaluación del peso.

Tasa de Rendimiento en $ = [1 + i en dólares) ( 1 + devaluación) -1 ] 100

Ejemplo:

Un inversionista mexicano invierte en un instrumento en dólares al 9% a 60 días y la devaluación que ocurrió en México en ese lapso es de un 4%.

¿Cuál es el rendimiento efectivo en pesos?

Tasa de Rendimiento = [( 1 + .09/6) (1.04) - 1] 100 =5.56% en 60 días.

TASA DE RENDIMIENTO EN DOLARES INVIRTIENDO EN PESOS

El rendimiento efectivo de una inversión en dólares dentro de los mercados financieros mexicanos, debe tomar en cuenta la tasa de rendimiento en pesos y la tasa de devaluación del peso.

Tasa Rendimiento en dólares = ( 1 + i en $) -1 x 100 invirtiendo en pesos (1 + devaluación)

Ejemplo:

Se invirtió un fondo americano en la Bolsa Mexicana y gana el 42% nominal, en un año. Si la devaluación de la moneda en ese lapso fue de un 18% . ¿Cuál es el Rendimiento en dólares ?

invirtiendo en pesos (1 + .18)

ANUALIDADES

No siempre las operaciones financieras relacionadas con préstamos o con inversiones se realizan a través de un sólo pago o de pagos de diferentes importes, a veces se usan instrumentos financieros donde las cantidades que se reciben o se pagan son periódicos o iguales. A las cantidades iguales que se presentan en forma consecutiva y por un cierto tiempo para cubrir un préstamo o inversión se les llama en matemáticas financieras ANUALIDAD.

El nombre de anualidad no significa necesariamente que el pago igual, se realice cada año ya que éste puede ser también semestral, bimestral, mensual y hasta diario.

Las anualidades o pagos iguales consecutivos pueden darse al principio de cada período o al final.

Cuando el pago se recibe o se cubre al principio de cada período se dice que son Anualidades Anticipadas y se usan generalmente para fondos de inversión, pagos de rentas, etc.

Cuando el pago se recibe o se cubre al final de cada período se llaman Anualidades Vencidas Ciertas u Ordinarias, y se usan generalmente para el pago de algunos préstamos bancarios, créditos por adquisición de muebles, automóviles, etc.

Anualidad Anticipada (Fondo de Inversión)

100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5

En problemas financieros donde se usan anualidades se puede calcular su valor futuro, su valor presente y la propia anualidad a partir de un valor presente o de un valor futuro. Generalmente la capitalización va relacionada con el pago periódico.

ANUALIDADES VENCIDAS

Como ya dijimos son pagos iguales que en forma consecutiva se realizan al final de cada período y el valor futuro de la serie se localiza al final y su valor presente al principio.

Anualidad Vencida

100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5

VALOR FUTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS

Es la suma del valor futuro de todos los pagos al final del plazo de la operación y a una cierta tasa de interés.

Ejemplo:

Suponga que usted establece un fondo de inversión con su banco y al final de cada mes deposita 2000 durante 5 meses Si el banco le cubre una tasa de interés del 36% ¿Cuánto habrá reunido al final de este plazo?

VF 1 2 3 4 5 2,000(1+.36/12)4 _{= 2,251.02} 2,000(1+.36/12)3 _{= 2,185.45} 2,000(1+.36/12)2 =2,121.80 2,000(1+.36/12)1= 2,060.00 2,000(1+.36/12)0 = 2,000.00 SUMA 10,618.27

En este caso el valor final de su inversión será que estará compuesto de 5 pagos de 2,000 igual a 10,000 y la diferencia de 618.27 serán intereses.

Existe una fórmula matemática para localizar directamente el valor futuro de anualidades vencidas, ya que sería impráctico estar calculando cada uno de los valores futuros de la operación, sobre todo porque hay algunas que abarcan muchos períodos.

FORMULA PARA VALOR FUTURO DE ANUALIDADES VENCIDAS

VF = A x (1 +i)n -1 i

En nuestro ejemplo:

VF = 2000 X [(1 + .36/12)5 -1] = 10,618.2 .36/12

ANUALIDAD VENCIDA A PARTIR DE VALOR FUTURO

De la fórmula anterior se puede despejar el valor del pago igual vencido anualidad y así conocer por ejemplo de cuanto debe ser el depósito periódico para alcanzar una cierta cantidad al final de un cierto plazo.

A = VF x i (1 + i)n-1

Usando el mismo ejemplo vamos a suponer que usted necesita al final de 5 meses los 10, 618.27 para reponer el mueble y su pregunta es cuanto debe depositar mensualmente en forma vencida para cumplir con su compromiso a una tasa de interés del 36% anual.

Aplicando la fórmula tendríamos:

A = 10,618.27 x 36/12 = (1 + .36/12)5 -1

A = $2,000

El depósito a efectuar en forma vencida durante 5 meses será entonces de $2,000.

VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES VENCIDAS

El Valor Presente de una serie de pagos iguales vencidos es la suma del valor presente de cada uno de ellos a una cierta tasa de interés y a un cierto tiempo hacia atrás

Por Ejemplo:

Supongamos que usted recibe 5 pagarés de 2,000 anuales vencidos y los descuenta en este momento. ¿Cuánto recibirá por la serie si la tasa de interés que le cobran es del 20%

Para resolver el problema hagamos un diagrama de tiempo. VP = VF/(1+I)n VP=2000/1.20)1 =1,666.66 VP=2000/1.20)2 =1,388.88 VP=2000/1.20)3 =1,157.41 VP=2000/1.20)4 = 964.51 VP=2000/1.20)5 = 803.76 suma = 5,981.22 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 4 3 2 0 1 5 2 0 0 0 2 0 0 0

El resultado anterior significa que si usted se va esperando a cada vencimiento al final de los 5 años tendrá 10,000, pero si los descuenta a una tasa del 20% capitalizable en este momento recibirá $5,981.22, la diferencia entre los intereses.

Para determinar directamente el valor presente de anualidades vencidas existe una fórmula matemática:

VP = A x 1-(1+i) -n i

de donde:

VP = 2000 x 1-(1.20)-5 .20

VP = 5,981.22

ANUALIDAD VENCIDA A PARTIR DE VALOR PRESENTE

En muchas operaciones financieras se conoce el valor presente y se requiere el valor del pago periódico vencido. En este caso se puede despejar la variable anualidad de la fórmula de valor presente.

A = VP x i 1-(1+i) -n

Para entender la fórmula anterior vamos a suponer que usted va a adquirir una máquina que en este momento vale $5,981.22 y la va a pagar con 5 pagos iguales vencidos a una tasa de interés del 20% y desea saber a cuanto ascenderá cada uno.

Usando la fórmula anterior tendríamos

A = VP x i 1-(1+I) -n

A = 5,981.22 x .20 1-(1.20)-5

Usando calculadora financiera (HP 17 o 19) usted puede encontrar; valor presente, valor futuro, anualidad, tasa de interés y tiempo usando el programa de valor del dinero en el tiempo (VDT)

ANUALIDAD ANTICIPADA

Son pagos iguales periódicos que se hacen o se reciben al principio de cada operación.

VALOR FUTURO DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

Es la suma del valor futuro de cada pago periódico anticipado al final del plazo de la operación a una cierta tasa de interés.

Supongamos que usted establece un fondo de ahorro por 5 años depositando 1000 anuales anticipados a una tasa del 25% anual

1 2 3 4 5 VF = 1,000(1.25)5 = 3,051.76 VF = 1,000(1.25)4 _{= 2,444.41} VF = 1,000(1.25)3 _{= 1,953.12} VF = 1,000(1.25)2 _{= 1,562.50} VF = 1,000(1.25)1 = 1,250.00 SUMA 10,258.79

Existe una fórmula matemática para encontrar el valor futuro de anualidades anticipadas.

VF = A x (1+i)n-1 x (1+i) i de donde: VF = 1000 x (1.25)5 -1 x (1.25) .25 VF = $10,258.79

VALOR DE ANUALIDAD ANTICIPADA A PARTIR DE VALOR FINAL

Si se conoce el valor futuro de anualidades anticipadas pero se desconoce el valor del pago, se puede despejar la variable “anualidad” de la fórmula de valor futuro.

A = VF x i x 1 (1+i)n-1 (1+i) En nuestro Ejemplo: A = 10,258.79 x .25 x 1 (1.2595 -1) (1.25) A = $1,000

VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

El valor presente de anualidades anticipadas es la suma del valor presente de todos los pagos a una cierta tasa de interés.

Ejemplo:

Supongamos que usted se gana una beca de 500 al principio de cada año por 5 años y desea saber cuanto depositó la institución que le otorgó la beca al principio de la operación si la tasa interés vigente en el mercado es de 30% anual

VP = VF (1+I) n 1 2 3 4 5 500 500 500 500 500

VP=500/(1.30)

=00

VP=500/(1.30)

=384.62

VP=500/(1.30)

=295.88

VP=500/(1.30)

=227.58

VP=500/(1.30)

=175.06

1,583.12

La fórmula para determinar al valor presente de anualidades anticipadas es la siguiente: VP = A x 1-(1+i)-n x (1+i) i VP = 500 x 1-(1.30) -5 x (1.30) .30 = 1,583.12

VALOR ANUALIDAD ANTICIPADA A PARTIR DE

VALOR PRESENTE

Supongamos en nuestro ejemplo que nosotros conocemos el valor presente, pero desconocimos el valor del pago anual anticipado. Despejando de la fórmula anterior la “anualidad” tendremos: A = VP x i x 1 1-(1+i)-n (1 +I) A = 1,583.12 x .30 x 1 1-(1.30)-5 (1.30) A = $500

En la calculadora financiera (HP17 Y 19) se puede calcular el valor presente, valor futuro, anualidad, tiempo y tasa de interés con el programa valor del dinero en el tiempo.

TABLAS DE AMORTIZACION

Frecuentemente al concertar un crédito bancario o cualquier otro crédito financiero, el deudor siente que no cubre capital con sus pagos y que lo único que está pagando son intereses.

La gran mayoría de deudores bancarios y financieros olvidan que su crédito debe cubrir intereses y cuando reciben su saldo insoluto se sienten defraudados, pues solo restan sus pagos al capital, sin tomar en cuenta que por parte de éstos pagos cubren el costo del dinero (intereses).

Existen muchos modelos de amortización de créditos. En algunos de ellos se cubren más intereses al principio que al final.

En otras, por el contrario, menos intereses al principio y más al final.

Hay modelos donde la amortización de capital es igual en cada pago; otras donde se amortiza más capital al principio, y otras donde se amortiza más capital al final, etc.

Cualquiera que sea el modelo que adopte el acreedor o que escoja el deudor es conveniente mostrar al cliente una tabla de amortización del crédito para que él se de cuenta como lo va a finiquitar.

También es conveniente explicarle si la tasa de interés que se le va a aplicar a su crédito es fija o variable y sus implicaciones financieras.

Una Tabla de Amortización es la representación numérica en forma de cuadro de los pagos que va a hacer el cliente y su distribución a pago de capital e intereses.

A manera de ejemplo mostraremos una tabla de amortización de un crédito por $ 10,000 a cubrir con pagos iguales anuales durante 5 años a una tasa del 30% anual (fija) y en capítulo por separado se mostraron otras modalidades de amortización.

Solución:

1) Datos:

Capital $ 10,000 (VP) Interés 30% anual (Tasa Fija) Tiempo 5 años

fórmula:

A = VP x [ i/ 1-( 1 +i)-n ] A = 10,000 x [ .30/1 - (1.30)-5] A = $ 4,105.81

TABLA DE AMORTIZACION

Préstamo de $10,000 con pagos iguales de $4,105.81 anuales vencidos.

Período Capital Inicial Interés Pago Anual Amort. Cap. Capital Final 1 10,000 3,000 4,105.81 1,105.81 8,894.19 2 8,894.19 2,668.26 4,105.81 1,437.55 7,456.64 3 7,456.64 2,236.99 4,105.81 1,868.82 5,587.82 4 5,587.82 1,676.35 4,105.81 2,429.46 3,158.36 5 3,158.36 947.45 4,105.81 3,158.36 0 Suma 10,529.05 20,529.05 10,000

Como se puede observar en el cuadro anterior:

Los intereses en los primeros años son mayores debido a que el saldo insoluto o capital que se adeuda es mayor.

El valor de la amortización del capital va aumentando en la proporción de la tasa de interés que se está usando (30%).

El valor del pago se compone de una parte de intereses y una parte de capital.

PRACTICA

INTERES SIMPLE

1.- El Sr. Pérez depositó en un banco $ 1,000 y los dejó 9 meses a una tasa de interés del 22% en interés simple.

a) ¿Cuánto ganó por concepto de intereses? b) ¿Cuánto retiró en total?

2.- ¿Cuánto le costará por concepto de intereses en préstamo de $ 100,000 por 6 trimestres a una tasa de interés anual del 24%?

3.- ¿Cuánto ganará usted si invierte $2,000 a 28 días al 26% anual?

4.- Determine que capital invirtió la Sra. Rodríguez para que en 6 bimestres hay recibido por concepto de intereses $2,400 si la tasa de interés anual fue de un 24%.

5.- ¿Qué capital invirtió una persona si en 28 días recibió un interés de $6,090 a una tasa de interés anual del 27%?

6.- ¿A que tasa de interés se colocó un capital de $ 10,000 para que en 3 trimestres haya dado un interés de $2,700.

7. ¿A que tasa de interés anual se colocó un capital de $ 20,000 para que en 28 días, haya dado un interés de $560.

8.- ¿Durante cuantos días colocó un capital de $ 100,000 para que dé un interés de $36,000 si la tasa de interés anual fue de un 24%?

9.- ¿Durante cuántos días se colocó un capital de $116,000 para que a una tasa de interés anual del 34% haya dado un interés de $ 7,888?

10.- ¿Durante cuántos meses se colocó un capital de $10,000 para que a una tasa de interés del 40% haya dado un interés de $2,000?

11.- ¿Cuál será el valor futuro o monto de una inversión de $40,000 que se colocó en un banco durante 6 trimestres a una tasa del 36% y cuál fue el interés generado?

12.- ¿Cuál será el valor futuro de una inversión de $10,000 que se deja en un banco durante 18 meses a un 30% anual?

13.- ¿Cuánto tendría usted que pagar por un préstamo de $2,000 a 60 días al 48% anual ? ¿Cuánto corresponde a interés?

14.- ¿Cuál será el capital que pidió prestado una señora para que después de 9 meses y a una tasa de interés del 36% haya pagado $31,750?

15.- ¿Qué capital pidió prestado el Sr. Álvarez para que después de 72 días hay pagado $32,640. Si la tasa de interés anual que se le cobró fue de un 44% y cuánto correspondió a intereses?

16.- ¿Durante cuántos meses pidió prestado la Sra. Sánchez $5,000 para que a una tasa del 20% anual haya tenido que pagar $5,750 y cuánto correspondió a intereses?

17.- ¿Durante cuántos días se invirtió un capital de $ 10,000 para que a una tasa de interés del 32% el inversionista haya retirado $10,640?

18.- ¿A que tasa de interés anual se consiguió prestado un capital de $20,000 para que después de 8 meses se haya pagado $23,200?

19.- El día de hoy se presenta con usted que es ejecutivo de un banco el Sr. Chacón a reestructurar 2 deudas que tiene con el banco.

La deuda 1 la firmó hace 4 meses, fue por un capital de $150,000 a 8 meses al 30% anual.

La deuda 2 la firmó hace 2 meses y fue por un capital de $ 100,000 a 9 meses al 24% anual.

Para cubrir las 2 deudas desea hacer un pago el día de hoy por $140,000y el resto cubrirlo en 9 meses al 32% anual.

¿A cuánto ascenderá su pago final? a) Fecha focal el día de hoy

b) Fecha focal: vencimiento de deuda 3

20.- El Sr. Pérez firmó 2 documentos; uno por $5,000 a pagar en un año y el otro por $10,000 a pagar en 3 años. En una reestructuración convino pagar en $7,500 ahora y el resto dentro de 4 años. Si se considera como fecha focal el año el año 4 ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del 4º año suponiendo una tasa de interés para todas las operaciones del 20% anual?

Nota: Fecha focal o fecha de valuación es el momento en que se iguala el valor de varias obligaciones. A esta igualdad se le llama en matemáticas financieras ecuación de valor.

21.- Para adquirir mobiliario el Sr. Rodríguez solicitó un crédito por $20,000 a cubrir en 72 días . Si la operación se concertó el 28 de Diciembre de 1995 al 30% anual con interés simple.

a) ¿Cuál será el pago total que tendrá que realizar? b) ¿Cuánto corresponderá a intereses?

c) Fecha de pago

INTERES COMPUESTO

1.- Si usted invierte $5,000 a una tasa del 28% anual durante 2 años, y el banco le ofrece una capitalización mensual ¿Cuánto recibirá al final del período?

2.- Usando tabla de capitalización, fórmula y calculadora financiera determine el valor futuro de una inversión de $20,000 a 2.5 años al 30% anual con capitalización semestral. ¿Cuánto corresponde a intereses?

3.- Determine el valor futuro de una inversión de $100 a 3 años al 10% anual con las siguientes capitalizaciones: a) Anual b) Semestral c) Trimestral d) Mensual e) Diaria f) Continua

4.- El Sr. Rodríguez desea invertir $40,000 por 3 años y se encuentra en las siguientes opciones:

a) 28% con capitalización mensual b) 30% con capitalización bimestral c) 26% con capitalización continua d) 28.5% con capitalización a 28 días e) 32% con capitalización semestral f) 34% con capitalización anual g) ¿Cuál le conviene más?

5.-Una empresa de factoraje adquiere una factura con un valor de $ 40,000 que vence dentro de 10 meses. Si negoció una tasa de interés del 24% con capitalización mensual, ¿Cuánto pagará por la factura?

6.- Una empresa descuenta documentos por $50,000 con vencimiento a 6 meses. Si el banco le cobra un interés del 48% con capitalización trimestral. ¿Cuánto recibe la empresa?

7.- El Sr. Rodríguez necesita $ 80,000 dentro de 8 meses y ahorita cuenta con fondos. ¿Cuánto necesita depositar en este momento para reunir los $80,000 si la tasa de interés que le ofrece el banco es de un 30% con capitalización diaria.

8.- Determina el valor presente de una inversión de $ 40,000 que vence en un año y medio al 36% anual con capitalización bimestral.

9.- Se invirtieron en un banco $ 10,000 por 5 años. Durante los primeros 3 años. La tasa de interés fue del 30% y durante los 2 siguientes la tasa fue del 26%. Si la capitalización a que es tuvo sujeto el ahorro fue trimestral ¿Cuál es el valor futuro de la inversión al final del 3er año y al final de 5º año. ¿Cuánto corresponde a intereses?

10.- Lolita Yañez recibió de regalo de bodas $ 50,000 que le ahorraron sus padres desde su fecha de nacimiento. Si la joven se casó a los 18 años y la tasa promedio de interés que pagó el banco fue de un 16% anual con capitalización continua. ¿cuánto depositaron sus padres en su nacimiento?

11.- ¿A que tasa de interés anual capitalizable mensualmente un capital de $10,000 se convirtió en 39,905.00 en 5 años?

12.- Si la Sra. Juana del Pozo invirtió $2,000 durante un año y recibió 2,699.38. ¿A que tasa de interés con capitalización diaria colocó su inversión (año comercial)?

13.- El Sr. Aguirre adquirió un mueble que de contado valía $1,200 y a crédito para pagar en 6 meses se lo dieron en $1,432.86. ¿A que tasa de interés capitalizable mensualmente le aplicaron el crédito?

14.- Si la tasa de interés que ofrece una inversión es de 32% capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto tiempo necesita para que una inversión de $1,000 se le duplique?

15.- ¿En que tiempo la cantidad de $2,000 se convertirá en $3,023.39 al 20% capitalizable mensualmente?

15a.- ¿Cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $10,000 para que a una tasa del 40% con capitalización diaria se convierta en 18,033.98?

16.- Si el Sr. Juanito invierte $2,000 durante 3 años al 28% capitalizable semanalmente (con 52 semanas).

a)¿Cuál es el valor futuro de la inversión? b) ¿A cuánto ascendieron los intereses?

17.- Si el Sr. Campos necesita $2,000 dentro de 3 meses y encuentra una inversión que ofrece el 24% con capitalización diaria, ¿Cuánto debe invertir ahora para reunir la cantidad?

18.- Si usted desea que $100 se le conviertan en $250 y las tasas que le ofrecen es de un 41.96% con capitalización semanal ¿Cuánto tiempo debe dejar su inversión ( año de 52 semanas)

19.- ¿A qué tasa de interés convertible mensualmente una inversión de $200 se convirtió en $250 durante 8 meses?

TASAS DE INTERES

1.- Calcula la tasa efectiva para el período y la tasa efectiva anual, para las siguientes tasas nominales. a) 24% capitalizable mensualmente b) 36% capitalizable trimestralmente c) 42% capitalizable bimestralmente d) 20% capitalizable semestralmente e) 32% capitalizable a 28 días f) 40% capitalización diaria

g) 36% capitalización continua h) 30% capitalización anual I) 54% capitalización semanal

2.- El Sr. Díaz invirtió $2,000 durante un año al 30% con capitalización mensual y desea saber:

a) Cuál es el valor futuro de su inversión. b) Los intereses que va a generar su inversión. c) La tasa efectiva anual de su inversión.

d) Aplicando la tasa efectiva anual sobre su inversión compruebe el valor futuro.

3.- Una señora deposita en un banco un capital de $ 2,000 a una tasa del 30% con capitalización continua y lo deja un año.

a) ¿Cuál fue el valor futuro de su inversión? b) ¿Cuánto ganó por su inversión?

c) ¿Cuál fue el rendimiento efectivo sobre su inversión? d) Usando la tasa efectiva calcule su valor futuro

4.- Determina la tasa efectiva para el período a) 22% a 28 días

b) 50% a 1 día c) 65% a 80 días d) 36% a 7 días e) 40% a 270 días

5.- Convierte las siguientes tasas efectivas en nominales. a) 2% en 36 días

b) .2% en 1 día c) 2.5% en 28 días d) 7.45% en 45 días

6a.- Una persona invierte en cetes a 28 días a una tasa nominal de 42.74%. Determine la tasa equivalente si la persona mantienen su inversión:

a) 1 día b) 10 días c) 14 días

d) 20 días e) 28 días f) 91 días

7.- A que tasa debe cerrar un inversionista a 6 días para que ésta sea equivalente al 46.24% a 28 días.

8.- Determine la tasa real de las siguientes tasas efectivas:

Tasa efectiva Tasa inflación

a) 35% anual 18.25% anual

b) 23.4% anual 28.45% anual

c) 5.40% mensual 3.48% mensual

9.- Determine la tasa equivalente nominal para las siguientes tasas: a) 35% capit. anual______________________________ capit. diaria b) 30% capit. continua___________________________ capit. semestral c) 285 capit. mensual____________________________ capit. anual d) 42% capit. semestral__________________________ cap. mensual e) 40% capit. diaria______________________________ capit. trimestral.

10.- Un inversionista obtuvo en forma consecutiva los siguientes rendimientos nominales: 42% a 7 días

36% a 28 días 28.6% a 30 días 27.5% a 25 días

¿Cuál fue su rendimiento acumulado efectivo y nominal para los 90 días ?

11.- Usando los datos del problema anterior determine la tasa efectiva real para su inversión si la inflación por 90 días. fue de: 7.9%

12.- Un fondo pagó en un año una tasa efectiva del 48% anual ¿Cuáles fueron las tasas efectivas promedio en períodos:

a) semestrales b) trimestrales c) bimestrales d) mensuales

13.- Un instrumento financiero ofrece una tasa efectiva mensual del 3.2%: ¿cuál es la tasa efectiva anualizada y cuál es la tasa nominal?

14.- Si un inversionista espera un rendimiento efectivo anual de 64.26% y en el primer semestre lleva ganado un 39.20% ¿Cuánto deberá ganar en el 2º semestre para cumplir con sus expectativas.

15.- Calcula las tasa reales suponiendo una inflación anual del 42% a) 36% capitalización diaria b) 20% capitalización continua c) 56% capitalización mensual d) 48% capitalización diaria e) 41% capitalización

ANUALIDADES

1.- El Sr. Reyes estableció un fondo de ahorro depositando al final de cada mes durante 5 años $ 100. Si la tasa de interés que le paga el fondo es del 20% anual con capitalización mensual ¿Cuánto recibirá al final de la operación?

2.- Determine el valor futuro de una serie de pagos trimestrales de $ 500 vencidos al final de 2 años a una tasa del 30% anual.

3.- Si usted ahorrara en un banco $10 diarios vencidos durante 360 días a una tasa del 28% anual con capitalización diaria las cuales sería el valor futuro de su inversión.

4.- La Sra. Martínez estableció un seguro dote para retirarse depositando $500 semestrales vencidos durante 10 años si la tasa promedio de interés que ganó su fondo fue de 18% anual con la misma capitalización del pago. ¿Cuánto recibió?

5.- La Sra. López necesita cubrir un pagaré que vence dentro de 9 meses por $ 100,000. Para cubrir el pagaré establece un fondo de inversión que paga el 32% anual, haciendo pagos mensuales vencidos iguales. ¿A cuánto ascenderá cada pago que tiene que depositar? ¿A cuánto ascendieron los intereses que le pagó el banco?

6.- El Sr. Campos programó un viaje a final de año que le va a costar aproximadamente $ 50,000 para lo cual abrió un fondo de ahorro depositando al final de cada día una cierta

cantidad. Usando el año comercial y una tasa del 22% anual con capitalización diaria, determine el importe del depósito diario que tiene que hacer el Sr. Campos par costear su viaje.

7.- Un taxista desea cambiar su taxi dentro de 3 años y presupuesta un valor aproximadamente de $100,000. Si él deposita bimestralmente una cantidad igual a una tasa del 32%, podrá ahorrar lo que necesita? ¿A cuánto ascenderá la cantidad bimestral?

8.- La Cía. Computadoras Usadas, S.A. cuenta con una serie de 12 pagarés de $20,000 con vencimiento mensual y como necesita fondos en este momento los descuenta en su banco . Si la tasa que le aplican es de un 30% con capitalización mensual. ¿Cuánto recibe por su paquete?

9.- Si usted va a adquirir un auto a crédito y le indican que va a cubrir 40 mensualidades vencidas de $1,600 porque la tasa de interés que le aplicaron fue del 28% anual ¿Cuál es el valor del auto de contado? ¿Cuánto va a cubrir de intereses?

10.- Un papá depositó una cierta cantidad en su banco para cubrir 10 pagos semestrales vencidos de $20,000 en la universidad donde estudia su hijo. Si la tasa de interés vigente en el mercado es de 22% anual con capitalización semestral. ¿A cuánto ascendió el depósito?

11.- La Srita. Chacón va a adquirir un auto que de contado vale $60,000 y le ofrecen un crédito para cubrirlo con 50 pagos iguales mensuales vencidos al 28% anual con capitalización mensual ¿A cuánto ascenderá el pago? ¿Cuánto pagará de intereses por el auto?

12.- Si usted establece un fondo de ahorro con pagos mensuales anticipados de $200 durante 5 años a una tasa del 30% anual. ¿Cuánto recibirá al final?

13.- ¿Cuál es el valor futuro de $2.00 diarios anticipados durante 180 días al 28% anual con capitalización diaria? (use año de 360 días)

14.- ¿Cuál es el valor presente de una serie de 28 pagarés de $1,000 mensuales anticipados al 38% anual con capitalización mensual?

15.- ¿Qué cantidad mensual anticipada necesitará depositar en un banco para que al final de 18 meses cuente con $ 2,000 a una tasa del 20%?

16.- El Sr. Martínez necesita cubrir un pagaré por $ 40,000, dentro de 1 año y medio. Para juntar la cantidad establece un fondo de ahorros donde depositará una cantidad igual trimestral anticipada. Si la tasa de interés que le ofrecen es de un 36% con capitalización trimestral a cuanto ascenderá su depósito? ¿Cuánto correspondió a capital y cuanto a intereses?

17.- Una empresa tiene 2 deudas con el banco, establecidas el día de hoy.

Deuda 1.- $100,000, a pagar en 2 años a una tasa del 23% capitalizable trimestralmente.

Deuda 2.- $60,000 a pagar en 5 años con una tasa del 25% convertible semestralmente.

Un año después de hablar adquirido estas deudas se realiza una renegociación entre la empresa y el banco y se conviene en sustituir ambas por una sola a pagar al final del 3er año (a partir de la firma inicial) con una tasa del 24% capitalizable bimestralmente (este sería la fecha focal).

18.- La Cía. Rombos Verdes cuenta con 3 deudas en su banco.

Deuda 1.- $40,000 a pagar en 6 meses al 20% con capitalización mensual. Deuda 2.- $50,000 a pagar en 8 meses al 22% con capitalización bimestral. Deuda 3.- $10,000 a pagar en 9 meses al 24% con capitalización trimestral.

Cuatro mese después se negocia con el banco sustituir las 3 deudas por una sola con vencimiento a 12 meses al 28% con capitalización mensual .

¿A cuánto ascenderá el pago único? (fecha focal en el pago único).

19.- El día de hoy se presenta el Sr. Torres a renegociar una deuda que tiene con su banco por $ 40,000 que firmó hace 3 meses para pagar en 9 meses al 36% con capitalización trimestral. El saldo insoluto que debe, quiere pagarlo con 10 pagos mensuales iguales vencidos. Si la tasa de interés no ha cambiado a cuánto ascenderá cada pago?

20.- La Cía. Azul, S.A. firmó con su banco 2 deudas.

Deuda A.- $50,000 a 2 años al 30% con capitalización mensual. Deuda B.- $ 100,000 a 4 años al 32% con capitalización trimestral.

Un año después de firmadas las deudas negocia con su banco cubrir las 2 deudas con 8 pagos iguales anticipados semestrales. El banco calcula sus saldos insolutos a las tasas originales y aplica para la nueva operación una tasa del 40% con capitalización semestral.

A) ¿Cuál es el saldo insoluto de las dos deudas en la fecha de renegociación? B) ¿A cuánto ascenderá cada pago semestral para cubrir su deuda total?

21.- Si usted adquiere un auto que de contado vale $45,000 y lo va a pagar con 50 mensualidades vencidas por $ 1,380. ¿Qué tasa de interés anual le están cobrando?

22.- El Sr. Mascareñas adquiere una camioneta que de contado vale $60,000 con mensualidades para pagar con mensualidades vencidas por $2,390.17 al 30%. ¿cuántas mensualidades necesita cubrir?

DESCUENTO FINANCIERO

1. El Sr. Rodríguez concerta un préstamo bancario por $40,000 a 90 días bajo el régimen de descuento bancario a una tasa del 32%.

a) ¿Cuánto recibe líquido?

b) ¿A Cuánto asciende el descuento?

2. La cía X, S.A. solicita un préstamo por $50,000 a 180 días y el banco se lo concede bajo el régimen de descuento bancario al 28% anual.

a) ¿Cuánto descontará el banco por el préstamo? b) ¿Cuánto entregará a la Cía. X, S.A.

3. El banco le carga un descuento de $1,800 al Sr. Juárez por un préstamo bancario a 60 días realizado el 6 de enero. Si la tasa de descuento es del 30%.

a) ¿Cuánto debe liquidar al vencimiento? b) ¿Cuánto recibe el Sr. Juárez?

c) ¿Cuándo debe ser liquidado el préstamo?

4. El Sr. Aguirre firmó un pagaré por $60,000 bajo el régimen de descuento bancario el 28 de diciembre d 1995, con vencimiento el 29 de marzo de 1996 y el banco le entregó la cantidad de $55,093.33

a) ¿por cuánto tiempo fue el préstamo?

b) ¿Cuál fue la tasa de descuento anual que se le cargó? c) ¿A cuánto ascendió el descuento?

5. ¿Cuál es el valor al vencimiento de un pagaré que se descuenta al 28% por 100 días. Si la persona recibe $83,000?

6. El Sr. Andrade desea invertir en cetes y le ofrecen un paquete de 10,000 cetes a 28 días. Si el valor nominal del cete es de $10 y la tasa de descuento en el mercado el 5 de enero de 1996 es del 44.70%.

a) ¿Cuánto pagará por el paquete? b) ¿A cuánto asciende el descuento? c) ¿Cuál es la tasa de descuento nominal? d) ¿Cuál es la tasa de rendimiento nominal?

7.- Si la Sra. Rodríguez adquiere cetes a 90 días en $ 8.89. A que tasa de descuento concertó su inversión. Compruebe el valor nominal y la tasa de rendimiento nominal anual de ésta operación.

8.- Si usted pide prestado en un banco $ 100,000 y le ofrecen la operación con base en descuento racional a una tasa del 32% anual y usted necesita el dinero por 60 días. a) ¿Cuánto recibirá líquido?

b) ¿A cuánto ascenderá el descuento que le hace su banco? c) ¿Cuánto tendrá que pagar al vencimiento?

d) Si el descuento hubiese sido por descuento bancario, cuánto hubiese recibido y a cuanto asciende el interés que le descontaron?

9.- Si usted adquiere cetes a 91 días con valor nominal de $ 10 y la tasa de descuento es del 46.21%

a) ¿Cuánto pagará por el cete?

b) ¿Cuál es la tasa de descuento nominal anual? c) ¿Cuál es la tasa de rendimiento nominal anual? d) Cuál es el valor nominal del cete?

10.- La Cía. Lentes Oscuros solicita un préstamo por $200,000 el 30 de Enero de 1996 a 90 días a una tasa del 42%. Si el préstamo se concerta por descuento bancario. a) ¿Cuánto recibe la empresa?

b) ¿Cuánto paga por intereses? c) ¿Cuánto tiene que cubrir’

TRATAMIENTO MATEMATICO DE LA INFLACION

Se dice que la inflación es el aumento generalizado y sostenido en el precio de los artículos.

Son muchas variables las que intervienen para que en un País se dé inflación, dentro de las cuales se tienen:

1) Aumento excesivo en el circulante. 2) Déficit en el Gasto Público.

3) Funcionamiento de la máquina de hacer dinero.

4) Desequilibrio entre la oferta y la demanda de productos y servicios. 5) Devaluación en la moneda

6) Inercia psicológica 7) Inflación externa, etc.

La inflación en un país ocasiona una disminución en el poder adquisitivo de la moneda, incremento en el costo del dinero y desaliento en las inversiones dentro del país, entre otras cosas.

La inflación se puede medir matemáticamente, ya que es una tasa efectiva en contra del nacional de un país con ese problema.

Las expresiones matemáticas que se derivan del problema inflacionarios son:

INFLACIÓN ACUMULADA

Es el porciento de inflación que se va acumulando durante un periodo determinado: Fórmula: