Guía Remedial Números enteros y Potencias

Colegio San Fernando

Departamento de Matemática Nivel: 8° Básico ABC

Profesores: Lissette González – Cristóbal Quezada - Ricardo Salinas

OBJETIVO: Resolver operatoria básica de números enteros.

Adición y Sustracción de números enteros

Caso 1: Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Ejemplos: 50 + 12 = 62 (−44) + (−37) = −81

42 + 38 = 80 (−19) + (−84) = −103

Caso 2: Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos: (−90) + 71 = 19 (−69) + 29 = −40

71 + (−28) = 43 (−21) + 40 = 19

La sustracción de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. Ejemplos: 84 − 56 = 84 + (−56) = 28

29 − 43 = 29 + (−43) = −14

Resolver los siguientes ejercicios. a. 26 + 16 =

b. 88 + 17 =

c. (−79) + (−43) = d. (−84) + (−51) = e. 25 + (−81) = f. (−70) + 9 = g. (−27) + 29 = h. 77 + (−56) = i. 76 − 65 = j. 13 − 45 =

k. (−17) + (−66) =

l. 72 + (−3) = m. 8 + 57 = n. 61 + (−79) = o. (−96) + 12 = p. 64 − 43 = q. 29 + (−11) = r. 74 + 87 = s. (−26) + 20 = t. 24 − 73 =

u. (−62) + (−65) = v. 48 − 82 =

Resolver los siguientes problemas de Aplicación

a. En la siguiente tabla se debería mostrar las temperaturas extremas de la última semana en un centro de esquí. Completar la información que falta.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Máx. (°C) -15 -23 -20 -18 -12

Mín. (°C) 1 -2 1 -3 -1

Dif. (°C) 17 11 20 13

b. Un avión vuela a 11000 m y un submarino está a -850 m. ¿Cuál es la diferencia de altura entre ambos?

R: _______________________________________________________________________

c. En una cuenta corriente se tiene $ 1.250.000. Se paga la cuenta de la electricidad, que vale $ 83.000; la cuenta telefónica, que vale $ 37.000, y dos cheques de gasolina de $ 40.000 cada uno. ¿Cuánto dinero queda en la cuenta corriente?

R: _______________________________________________________________________

e. Se compra un frigorífico. Cuando se enchufa a la red eléctrica, la temperatura ambiente es de 25°C. Al cabo de 6 horas, tiene una temperatura de -5°C, ¿Cuántos grados varía la temperatura del frigorífico?

R: _______________________________________________________________________

f. Se realiza un viaje desde Rancagua donde la temperatura es de 11 grados hacia Temuco donde la temperatura es de 3 grados. ¿Cuál es la diferencia de temperatura?

R: _______________________________________________________________________

g. Cristian vive en el 4º piso, si toma el ascensor y baja al sótano 2, ¿Cuántos pisos ha bajado?

R: _______________________________________________________________________

h. Gabriel le debe a un amigo $ 10.000. En la lotería se gana un premio de $ 100.000, lo primero que hará es pagarle a sui amigo. ¿Cuánto dinero le queda?

R: _______________________________________________________________________

i. Ariel tiene en su cuenta $58.000, debe pagar una factura de $ 100.000, ¿Cuánto le falta para pagar la factura?

R: _______________________________________________________________________

j. Si Matías estaba en el piso 2 y baja 3 pisos ¿en cuál esta ahora?

R: _______________________________________________________________________

k. Un día de invierno amaneció con 3 grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido 8 grados, y hasta las cuatro de la tarde subió 2 grados más. Desde las cuatro hasta las doce de la noche bajó 4 grados, y desde las doce a las 6 de la mañana bajó 5 grados más. ¿Qué temperatura hacía a esa hora?

R: _______________________________________________________________________

Multiplicación y División de números enteros

Caso 1: Si los factores son del mismo signo, se multiplican o dividen los valores absolutos y al resultado se le pone el signo positivo.

Ejemplos: 43 ∙ 10 = 430 (−10) ∙ (−24) = 240

(−45) ∶ (−5) = 9 98 ∶ 7 = 14

Caso 2: Si los factores son de distinto signo, se multiplican o dividen los valores absolutos y al resultado se le pone el signo negativo.

Ejemplos: 16 ∙ (−50) = −800 (−24) ∙ 9 = −216 96 ∶ (−8) = −12 (−90) ∶ 6 = −15

Resolver los siguientes ejercicios. a. 1 ∙ (−13) =

b. 20 ∙ 1 = c. (−9) ∙ (−5) = d. 3 ∙ 18 =

e. 168 ∶ (−14) = f. (−20) ∶ 4 = g. 48 ∶ 8 =

h. (−234) ∶ (−18) =

Resolver los siguientes problemas de Aplicación

a. En una cámara de frío baja la temperatura a razón de 4°C por minuto. Si la temperatura que registra es de 18°C. ¿En cuantos minutos lograra los 10°C bajo cero?

R: ______________________________________________________________________

b. Una piscina tiene 1.380 L de agua, si se vacía a razón de 230 L/h. ¿Cuántas horas demorará en vaciarse?

R: ______________________________________________________________________

c. Una cámara de frío se encuentra a -16°C. Si cada 5 minutos desciende 2°C. ¿Qué temperatura tendrá al cabo de 25 minutos?

R: ______________________________________________________________________

d. Camila tiene en su libreta de ahorros $ 73 000. Cada mes su padre le ingresa $ 21 000 y ella saca para sus gastos $ 11 000. ¿Cuánto tendrá en su libreta al cabo de seis meses? R: ______________________________________________________________________

e. Rosa gana cada hora $ 2 000 más que Lucía. Han trabajado el mismo número de horas. Al terminar el trabajo, Rosa ha ganado $ 64 000 más que Lucía. ¿Cuántas horas ha trabajado cada una? Si Lucía gana $ 384 000, ¿cuánto ha ganado Rosa?

R: ______________________________________________________________________

f. En un centro de copiado se gastan diariamente 1500 hojas. ¿Cuántas hojas se gastan en una semana? ¿Cuál ha sido el gasto en el mes de Julio, si una resma de 500 hojas cuesta $ 2 000?

R: ______________________________________________________________________

g. Un edificio está formado por 4 subterráneos, El hall de acceso y 11 pisos más. La altura de cada subterráneo y el hall de acceso, es un metro mayor que la de cada piso. El subterráneo –4 está a una altura de –16 m. ¿Cuál es la altura del edificio?

Potencias

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos por sí mismo se llama base y, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

Ejemplo: 𝑎1 = 𝑎 𝑎2 _{= 𝑎 ∙ 𝑎}

𝑎3 _{= 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎}

Si tomamos un ejemplo numérico tenemos 24; el número dos es la base y el cuatro su exponente.

Esta operación también podría representarse de la siguiente forma 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24 = 16.

Propiedad 0: Cualquier potencia de exponente cero, da como resultado 1. A excepción de que la base sea cero.

Ejemplo: 20 = 1 50 _{= 1}

1020 _{= 1}

Propiedad 1: Toda potencia de exponente 1 es igual a la base. Es así, porque el exponente nos indica el número de veces que multiplicamos el número de la base, y al ser 1, nos está diciendo que ese número sólo debemos considerarlo una vez.

Ejemplo: 21 = 2 41 _{= 4}

Propiedad 2: Para calcular el producto de potencias de igual base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplo: 23∙ 25 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) = 23+5 = 28

Como la base (2) es la misma, los exponentes se suman y da como resultado 23+5= 28 = 256.

Propiedad 3: Para calcular una división de potencias de igual base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes.

Ejemplo: 25∙ 22 = (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) ∶ (2 ∙ 2) = 25−2= 23

Propiedad 4: Para calcular la potencia de un producto, como (2 ∙ 3)3, podemos observar que (2 ∙ 3)3 _{= (2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 3) = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (3 ∙ 3 ∙ 3) = 2}3_{∙ 3}3_.

Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2 ∙ 3) y elevar el producto al cubo (2 ∙ 3)3 _{= 6}3 _{= 216.}

O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 23 = 8 y 33 = 27 y luego, multiplicar los resultados 8 ∙ 27 = 216.

Decimos entonces que la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.

Propiedad 5: La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor.

Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Ejemplo: (6 ∶ 2)2 = 62: 22 = 36 ∶ 4 = 9 porque (6 ∶ 2)2 = 32 = 9

Propiedad 6: Para calcular una potencia de potencia, se debe mantener la misma base y luego multiplicar los exponentes.

Ejemplo: (22)3 = 64 porque 22∙ 22∙ 22 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 64.

También podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 ∙ 3 y luego elevar la base dos a ese resultado: (22)3 = 22∙3 = 26= 64

Propiedad 7: La potencia de exponente negativo es el inverso multiplicativo de la misma potencia, pero con el exponente positivo. (Siempre que la base no sea cero).

Resolver los siguientes ejercicios, expresando el resultado como potencia cuando corresponda. a. 25 =

b. 5 · 5 · 5 =

c. −3 · −3 · −3 · −3 = d. 4,560 =

e. 61 =

f. 33· 34· 3 = g. 57 ∶ 53 = h. (53)4 = i. (5 · 2 · 3)4 = j. (21 ∶ 3)2 = k. (34)4 = l. [(53)4]2 = m. (8−2)3 = n. (93)2 = o. 25· 24· 2 = p. 27 ∶ 26 = q. (2−2)4 = r. (4 · 2 · 3)4 = s. (25)4 = t. [(2−3)4]0 = u. (272)5 = v. (42)−2 =

Resolver los siguientes problemas de Aplicación

a. Un candado tiene en vez de una llave cuatro discos para poner una combinación de cuatro números. ¿Cuántas combinaciones hay, si cada disco tiene las cifras de 0 a 9? R: ______________________________________________________________________

b. Otro candado tiene tres discos y las cifras de 1 a 9. Calcula las combinaciones que se pueden poner. Escribe el número también como potencia.

R: ______________________________________________________________________

c. Un trompo tiene un disco en forma de un hexágono regular. Los seis sectores tienen los colores amarillo, verde, rojo, azul, marrón y negro. Se gira el trompo cinco veces y después de cada giro se anota el color del sector que se apoya en la mesa. Calcula el número de todas las combinaciones de colores.

R: ______________________________________________________________________

d. Un cultivo de 3 bacterias crece y se duplica cada 3 horas. ¿Cuántas veces más grande será el número de bacterias al siguiente día (en 24h)? Calcular usando potencias.

R: ______________________________________________________________________

e. Debido a una inflación, las acciones de una empresa en la bolsa de valores pierde su valor. Al final de cada año cada acción vale tres cuartos del valor que tenía al inicio del año. Calcula el valor al final al tercer año si se mantiene la inflación. Calcular con potencias.

R: ______________________________________________________________________

f. Las sustancias radioactivas se descomponen con el tiempo. El isótopo de yodo 131 se descompone cada 8 días a la mitad de su valor anterior. ¿Qué parte de su valor inicial tendrá en 40 días? Calcular con potencias.

Ejercicios combinados

Para resolver ejercicios combinados se debe seguir el siguiente orden:

Primero, se deben resolver las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. Segundo, se calculan las potencias.

Tercero, resolver los productos y cocientes (multiplicaciones y divisiones) de izquierda a derecha.

Cuarto, calcular las sumas y restas.

Para recordar esto, podemos memorizar la frase PAPOMUDAS, de la siguiente forma. PA Paréntesis.

PO Potencias.

MUD Multiplicación y división. AS Adición y sustracción.

Ejemplo: 23+ 10 ∶ 2 + 5 · 3 + (4– 5) · 2 − (8 + 4) · 22− 16 ∶ 4 = = 23_{+ 10 ∶ 2 + 5 · 3 + (−1) · 2 − 12 · 2}2_{− 16 ∶ 4}

= 8 + 10 ∶ 2 + 5 · 3 + (−1) · 2 − 12 · 4 − 16 ∶ 4 = 8 + 5 + 15 + (−2) − 48 − 4

= 8 + 5 + 15 − 2 − 48 − 4 = 28 − 54

= −26

Resolver los siguientes ejercicios combinados. a. 16 ∶ (−2)– (−4 + 2) + 5 · (−1) = −11

b. 8– 6 ∶ (−3) + 4 · (−2) + 5 · (−10) = −48

c. 4– (−5 + 2)– 15 ∶ (−5) + 4 · (−2) = 2

d. 2 + (8 ∶ 4)– (−2 · 3) + 9 ∶ (−3) = 7

e. 8 ∶ (−4)– (−5– 3) + 3 · 2 = 12

f. 4 · 14 ∶ (−2) + 9 · (−3)– 2 ∶ (−2) = −54