Teoría del Consumidor.
Conjunto de consumo (elección): Conjunto de todo el consumo posible sin tomar en cuenta restricciones (presupuestarias). Debe reunir las siguientes características (al menos):
1. 𝑋 ⊆ ℝ+𝑛: Porque es inconcebible pensar en cantidades negativas de un atributo físico de un bien (e.g.
litros negativos, kilogramos negativos, unidades negativas, etc.) y estamos contemplando 𝑛 bienes.
2. 𝑋 es cerrado: Porque debe incluir a sus fronteras.
3. 𝑋 es convexo: Cualquier combinación convexa debe pertenecer al conjunto.
4. 𝟎 ∈ 𝑋1: También debemos considerar el caso trivial de 0 unidades de los 𝑛 bienes.
Conjunto factible: Es un subconjunto propio del conjunto de consumo 𝐵 ⊂ 𝑋, donde se incluye a todas las alternativas de consumo que sean posibles tomando en cuenta ciertas restricciones a las que se enfrenta el consumidor (e.g. institucionales, prácticas, etc.)
Relaciones de preferencia: Se establece una relación binaria entre elementos que pertenecen al conjunto de consumo (i.e. ∀𝒙𝒊, 𝒙𝒋∈ 𝑋). Estas relaciones se caracterizan de manera axiomática a partir
de una relación binaria ≽ que se lee “es al menos tan bueno como”: e.g. 𝒙𝟏≽ 𝒙𝟐 se lee “𝒙𝟏 es al menos
tan bueno como 𝒙𝟐” y se dice que 𝒙𝟏 es débilmente preferido a 𝒙𝟐.
Supuesto: El agente económico de nuestro modelo sólo requiere hacer comparaciones binarias.
Axiomas (definición formal):
a) Completitud/Completez: ∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐∈ 𝑋 se cumple uno de los siguientes dos casos (o los dos):
i) 𝒙𝟏 ≽ 𝒙𝟐
ii) 𝒙𝟐≽ 𝒙𝟏
NOTA: Si se cumplen ambos casos, es decir: tanto 𝒙𝟏≽ 𝒙𝟐 como 𝒙𝟐 ≽ 𝒙𝟏 ocurren, entonces
𝒙𝟏~𝒙𝟐, decimos que 𝒙𝟏 es indiferente a 𝒙𝟐.
b) Transitividad: Para cualesquiera 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 ∈ 𝑋, si ocurre que 𝒙𝟏 ≽ 𝒙𝟐 y 𝒙𝟐 ≽ 𝒙𝟑; entonces 𝒙𝟏≽ 𝒙𝟑.
c) Continuidad: ∀𝒙 ∈ ℝ+𝑛, el conjunto de los elementos débilmente preferidos sobre 𝒙 (i.e. el conjunto
𝐴) y el conjunto de los elementos donde 𝒙 es débilmente preferido sobre éstos últimos (i.e. el conjunto
𝐴′); son conjuntos cerrados:
i) 𝐴 = {𝒙𝟎|𝒙𝟎 ≽ 𝒙} … Conjunto de los elementos débilmente preferidos sobre 𝒙
ii) 𝐴′ = {𝒙𝟎|𝒙 ≽ 𝒙𝟎} … Conjunto de los elementos, donde 𝒙 es débilmente preferido sobre ellos
d.1) No saciedad local: ∀𝒙𝟎∈ ℝ+𝑛 y ∀𝜀 > 0, ∃ algún 𝒙 ∈ 𝐵𝜀(𝒙𝟎) ∩ ℝ+𝑛 tal que 𝒙 ≻ 𝒙𝟎
d.2) Monotonía estricta: ∀𝒙𝟎, 𝒙𝟏∈ ℝ+𝑛, si se cumple que 𝒙𝟎≥ 𝒙𝟏 ó 𝒙𝟎≫ 𝒙𝟏, entonces 𝒙𝟎 ≽ 𝒙𝟏 y 𝒙𝟎≻
𝒙𝟏 respectivamente.
1 La razón de poner en negritas los elementos es para hacer hincapié en que son 𝑛-tuplos, ya que 𝒙 ∈ 𝑋 implica
e.1) Convexidad: Si 𝒙𝟎 ≽ 𝒙𝟏, entonces 𝜆𝒙𝟎+ (1 + 𝜆)𝒙𝟏≽ 𝒙𝟎∀𝜆 ∈ [0,1]
e.2) Convexidad estricta: Si 𝒙𝟎 ≽ 𝒙𝟏, y además 𝒙𝟎≠ 𝒙𝟏 entonces 𝜆𝒙𝟎+ (1 + 𝜆)𝒙𝟏 ≻ 𝒙𝟎∀𝜆 ∈ (0,1)
Axiomas (definiciones intuitivas):
a) Completitud/Completez: Recordemos que lo único que le hemos pedido al individuo hipotético de nuestro modelo es que pueda hacer comparaciones binarias. Este axioma nos dice que al hacer estas comparaciones binarias puede suceder una de dos cosas (o las dos porque es una disyunción inclusiva, es decir “o uno o el otro o los dos”): o prefiere débilmente 𝒙𝟏 sobre 𝒙𝟐 o prefiere 𝒙𝟐 débilmente sobre
𝒙𝟏 (o las dos).
Cuando no se cumplen de manera simultánea, se da lugar a las preferencias estrictas.
b) Transitividad: Este axioma se presenta para que el agente económico de nuestro modelo sea
consistente en el sentido lógico: que no haya contradicciones.
c) Continuidad: Este término alude a que un conjunto se dice ser cerrado (en cierto intervalo) si su complemento es abierto en dicho intervalo. Suponga el siguiente ejemplo hipotético de una estructura de preferencias (retomado de Jehle y Reny): suponga un elemento 𝒙𝟎 ∈ 𝑋, si consideramos el conjunto
de todos los elementos 𝒙𝟏 ≽ 𝒙𝟎 y el conjunto de todos los elementos 𝒙𝟎≽ 𝒙𝟐, entonces la intersección
entre estos conjuntos serán los elementos 𝒙𝟑~𝒙𝟎.
Denotemos para coincidir con la terminología de Jehle y Reny, el conjunto de los elementos débilmente preferidos sobre 𝒙𝟎 como ≽ (𝒙𝟎), al conjunto de los elementos donde 𝒙𝟎 es débilmente preferido sobre
estos elementos como ≼ (𝒙𝟎) y los elementos que son indiferentes a 𝒙𝟎 como ~(𝒙𝟎).
Entonces el complemento del conjunto ≽ (𝒙𝟎) es ≺ (𝒙𝟎) y por definición debe ser abierto (no incluir la
frontera). El complemento de ≼ (𝒙𝟎) es ≻ (𝒙𝟎) y por definición debe ser abierto también.
Por propiedad de los conjuntos cerrados, la intersección de dos conjuntos cerrados también es cerrada, así ~(𝒙𝟎) también debería ser un conjunto cerrado. La siguiente figura muestra una estructura de
preferencias hipotéticas que no violan el supuesto o axioma de continuidad. Para que no se viole el supuesto, note que las líneas que delimitan a las tres categorías (i.e. ≻ (𝒙𝟎), ≺ (𝒙𝟎), ~(𝒙𝟎)) que
constituyen una partición2 del conjunto de elección son sólidas. Este axioma evita que se dé la inversión de preferencias (un fenómeno que en realidad acontece seguido).
2 Una partición es obtener a partir de un conjunto varios subconjuntos que son mutuamente excluyentes (su
d.1) No saciedad local: Este axioma nos dice que para todo elemento que pertenece al conjunto de elección, si consideramos una bola abierta (en ℝ+2 sería un círculo, en ℝ+3 una esfera, etc.) de radio 𝜀 >
0 centrado en el elemento antes considerado, es posible encontrar un elemento distinto al original que es estrictamente preferido sobre el elemento original. En otras palabras, en la vecindad de cualquier elemento que pertenece al conjunto de elección (sin importar qué tan pequeña sea la vecindad), es posible encontrar un elemento distinto que es estrictamente preferido sobre el original.
En la figura anterior, hay una bola abierta (en este caso un círculo porque estamos poniendo un ejemplo en ℝ+2) de radio 𝜀 > 0 centrada en 𝒙𝟏 en el que se garantiza que existe algún elemento que es
estrictamente preferido a 𝒙𝟏.
d.2) Monotonía estricta: Este axioma nos dice que si una canasta de bienes tiene al menos la misma cantidad de todos los bienes que conforma a otra, será preferida débilmente. Si contiene una mayor cantidad, será estrictamente preferido. En este sentido, suponemos que más es mejor.
e.1) Convexidad: Por definición una función 𝑓(𝑥) es cóncava si se cumple que
𝜆𝑓(𝑥0) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝜆𝑥0+ (1 − 𝜆)𝑥1)∀𝜆 ∈ [0,1]
Considere el siguiente ejemplo de una función cóncava: 𝑦 = 100 − 𝑥2, si tomamos dos puntos del dominio, digamos 2 y 8, debe cumplirse que 𝜆𝑓(2) + (1 − 𝜆)𝑓(8) ≤ 𝑓(𝜆(2) + (1 − 𝜆)(8)):
Desarrollando la parte izquierda:
𝜆𝑓(2) = 𝜆(100 − 22) = 96𝜆
(1 − 𝜆)𝑓(8) = (1 − 𝜆)(100 − 82) = (1 − 𝜆)36
Por lo tanto la parte izquierda de la desigualdad queda: 96𝜆 + (1 − 𝜆)36 = 36 + 60𝜆
Desarrollando la parte derecha:
𝑓(𝜆(2) + (1 − 𝜆)(8)) = 𝑓(8 − 6𝜆) = 100 − (8 − 6𝜆)2= 100 − (64 − 96𝜆 + 36𝜆2)
= 36 + 96𝜆 − 36𝜆2
Por lo tanto la parte derecha de la desigualdad queda: 36 + 96𝜆 − 36𝜆2 Comparando ambas partes y viendo si se cumple la desigualdad:
0 ≤ 36𝜆(1 − 𝜆)
Por lo tanto, esta desigualdad se cumple ∀𝜆 ∈ [0,1] y la representación gráfica es la siguiente:
En este caso, la combinación convexa 𝜆𝑥0+ (1 − 𝜆)𝑥1 es el conjunto de puntos que consideramos del
dominio: en este ejemplo 𝑥0 = 2, 𝑥1 = 8, por lo tanto la combinación convexa nos da todos los puntos
entre 2 y 8 (dado que 𝜆 ∈ [0,1], también se incluye el 2 y el 8). La parte derecha de la desigualdad nos dice que una vez que tenemos estos puntos, los evaluemos en la función lo que nos da la curva entre los puntos (2,96) y (8,36).
Por su parte, 𝜆𝑓(𝑥0) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑥1) nos dice que primero evaluemos la función en 𝑥 = 2 y en 𝑥 = 8 (lo
cual nos da los puntos (2,96) y (8,36)) y luego hagamos una combinación convexa entre esos puntos, que nos da la línea recta que una a estos dos puntos.
La desigualdad que define concavidad sólo nos dice que la curva siempre estará encima de la línea recta para cualesquiera puntos 𝑥0 y 𝑥1, en este ejemplo elegimos arbitrariamente 𝑥0= 2, 𝑥1= 8.
Para decir que una función es convexa y no cóncava, únicamente se invierte la desigualdad; es decir, la línea recta estaría encima de la curva como sería por ejemplo, el caso de una función 𝑦 =4
𝑥, con 𝑥0 =
e.2) Convexidad estricta: Se vuelve estricto si ahora consideramos 𝜆 ∈ (0,1), de este modo ya no se incluyen los dos puntos en la combinación convexa.
Más adelante veremos que la curva de nivel de una función de utilidad asociada a dos bienes debe ser convexa: una curva de nivel es una representación en una dimensión menor a la dimensión de la función que proyecta, en el caso de una función de utilidad asociada a dos bienes, ésta se representa en ℝ3, sin
embargo, la curva de nivel fija distintos valores de la utilidad y lo proyecta a ℝ2, de modo que estas curvas (llamadas curvas de indiferencia) deben ser convexas.
Esta convexidad estricta implica que una combinación convexa entre dos canastas de bienes 𝒙𝟎, 𝒙𝟏∈ 𝑋
es estrictamente preferido a cualquiera de dichas canastas de bienes. La convexidad no estricta implica que existe una preferencia débil de la combinación convexa sobre estas canastas de bienes.
Asimismo, cuando 𝑋 ⊆ ℝ+2, el valor absoluto de la pendiente de la recta tangente a un punto
determinado en la curva de indiferencia nos da la tasa marginal de sustitución del bien B por el bien A.
Considere la siguiente figura, donde tenemos en el eje de las abscisas distintas cantidades del bien A (que son cantidades no negativas) y distintas cantidades del bien B (que también son cantidades no negativas). Por lo tanto, nuestra curva de indiferencia estará en ℝ+2, y de hecho 𝑋 ⊆ ℝ+2 porque
podemos pensar en distintas cantidades no negativas para ambos bienes, que de hecho corresponde con todo ℝ+2.
Sobre la curva de indiferencia tenemos dos canastas de bienes: 𝒙𝟎 y 𝒙𝟏. La primera canasta consiste en
una unidad del bien A y 4 unidades del bien B, mientras que la canasta dos (i.e. 𝒙𝟏) consiste en 4
unidades del bien A y una unidad del bien B. El axioma de convexidad estricta nos dice que cualquier combinación convexa entre estas dos canastas debe ser preferida estrictamente sobre cualquiera de las dos canastas, es decir, cualquier canasta de bienes 𝒙𝝀 que esté situada sobre la línea quebrada es
estrictamente preferida a 𝒙𝟎 o 𝒙𝟏, o incluso cualquier otra canasta situada sobre la curva de indiferencia
Asimismo, el valor absoluto de las pendientes de las rectas tangentes en los puntos dados 𝒙𝟎(1,4); 𝒙𝟏(4,1) nos dice la tasa marginal de sustitución, esto es: en el punto 𝒙𝟎, la pendiente de la
recta tangente es igual a -4, por tanto su valor absoluto es 4, y nos dice que se está dispuesto a renunciar a 4 unidades del bien B por obtener una unidad más del bien A. En el punto 𝒙𝟏 la pendiente
de la recta tangente es de −1
4, que nos dice que cuando nuestro agente económico representativo tiene
4 unidades del bien A y 1 unidad del bien B, está dispuesto a renunciar a 0.25 unidades del bien B por obtener una unidad más del bien A.
Es evidente que 0.25 < 4, y en general, conforme se avanza sobre el eje de las abscisas, la tasa marginal de sustitución va disminuyendo. Esta propiedad es lo que se conoce como principio de tasa marginal de
sustitución decreciente.
Función de utilidad (cardinal).
Una función de utilidad no es otra cosa que un mapeo de las preferencias a los números reales, dejando intacta la estructura de las preferencias. De manera formal, se define como:
𝑢: ℝ+𝑛 → ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀𝒙𝟎, 𝒙𝟏∈ 𝑋 ⊆ ℝ𝑛+, 𝑢(𝒙𝟎) ≥ 𝑢(𝒙𝟏) ↔ 𝒙𝟎≽ 𝒙𝟏 Teorema de Existencia:
Si la relación binaria ≽ cumple con los axiomas de completitud/completez, transitividad, continuidad y monotonía estricta, entonces existe una función real 𝑢: ℝ+𝑛 → ℝ que corresponde a la relación≽.
Propuesta: Si ≽ es una relación sobre ℝ+𝑛 y 𝑢(𝒙) es una función de utilidad que corresponde a esta
relación, entonces 𝑣(𝒙) también corresponde a esta relación si y sólo si 𝑣(𝒙) = 𝑓(𝑢(𝒙)), donde 𝑓: ℝ → ℝ es estrictamente creciente sobre la imagen de 𝑢.
Ejemplos:
𝑓: 𝑢 → ℝ, Donde 𝑓(𝑢) = 𝑢3;
𝑓: 𝑢 → ℝ, donde 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 + 𝑏, 𝑎 > 0
Las funciones de utilidad poseen la propiedad de ser continuas y diferenciables (en su mayoría). A la primera derivada parcial de la función de utilidad 𝑢(𝒙) respecto al bien 𝑥𝑖 es la utilidad marginal del bien 𝒊3. Recuerde que 𝒙 es una canasta de bienes y también es un 𝑛-tuplo, lo que nos dice en realidad es
la cantidad de cada uno de los 𝑛 bienes que son cantidades no negativas y por eso es que 𝑋 ⊆ ℝ+𝑛
A partir de esta definición de utilidad marginal del bien 𝑖, vamos a obtener la tasa marginal de sustitución: consideremos ℝ+2, lo cual implicaría que estamos tomando en cuenta dos bienes, digamos
bien 𝑥1 y bien 𝑥2. Dentro de este plano, consideremos una canasta de bienes 𝒙
𝟏= (𝑥11, 𝑥12).
La curva de indiferencia que pasa por la canasta de bienes 𝒙𝟏 es una curva de nivel, y se obtiene al fijar
un nivel de utilidad, digamos 𝑢(𝒙) = 5, o 𝑢(𝒙) = 8, etc.; lo que permite quitar una dimensión a la gráfica porque es un conjunto contorno, dicho de otro modo, la función de utilidad 𝑢(𝒙) para el caso de dos bienes es una gráfica en ℝ3, sin embargo al fijar un nivel de utilidad, se proyecta esta gráfica tridimensional al plano bidimensional que contiene a los dos bienes. Un esbozo de qué implica se presenta a continuación:
Al considerar la curva de nivel en un plano bidimensional, es posible expresar a un bien como función de la otra, i.e. 𝑥1= 𝑓(𝑥2), así 𝑢(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) = 𝑐, donde 𝑐 es una constante.
3 La notación puede prestarse a confusión: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖 no denotan una potencia, sino que son superíndices para
Definimos la tasa marginal de sustitución del bien 𝑥2 por el bien 𝑥1 como el valor absoluto de la
pendiente de la recta tangente que pasa por un punto determinado en la curva de indiferencia, o sea:
𝑇𝑀𝑆12(𝑥11, 𝑥12) = |𝑓′(𝑥11)| = −𝑓′(𝑥11) ∵ 𝑓′< 0 (∵ 𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑎)
Sin embargo, hay que tomar en cuenta que habíamos propuesto que 𝑢(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) = 𝑐, por lo que la derivada parcial respecto a 𝑥1 debe ser igual a cero:
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑥2) 𝜕𝑥1 +
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2 𝑓′(𝑥1) = 0
Donde 𝜕𝑢(𝑥1,𝑥2)
𝜕𝑥1 = 0 ∵ se dijo que 𝑢(𝑥
1, 𝑓(𝑥1)) = 𝑐 y 𝜕𝑢(𝑥1,𝑥2) 𝜕𝑥2 𝑓
′(𝑥1) se obtiene usando la Regla de la
Cadena y también debe ser igual a cero.
Despejando de la ecuación:
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2 𝑓′(𝑥1) = −
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) 𝜕𝑥1
𝑓′(𝑥1) = −
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) 𝜕𝑥1
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑓(𝑥1))
𝜕𝑥2
= −
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑓(𝑥1)) 𝜕𝑥1
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑓(𝑥1))
𝜕𝑥2
Como se había dicho que 𝑇𝑀𝑆12(𝑥11, 𝑥12) = −𝑓′(𝑥11), esto implica del despeje anterior que:
𝑇𝑀𝑆12=
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑥2) 𝜕𝑥1
𝜕𝑢(𝑥1, 𝑥2)
𝜕𝑥2
Para obtener este resultado, consideramos únicamente ℝ+2 porque estábamos contemplando un mundo
con dos bienes únicamente, pues sólo en este mundo hipotético es posible construir una función de utilidad con gráfica en ℝ3, sin embargo, el caso más general es un mundo de 𝑛 bienes que se representa
en ℝ+𝑛.
En general, para una canasta de 𝑛 bienes, se tiene que:
𝑇𝑀𝑆𝑖𝑗(𝒙) =
𝜕𝑢(𝒙) 𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑢(𝒙) 𝜕𝑥𝑗
Retomando el ejemplo que se empleó previamente, se tenía una curva de utilidad que pasaba por los puntos 𝑥0(1,4); 𝑥1(4,1) y cuya curva de indiferencia queda descrita con la función 𝐵 =
4
𝐴, donde B es el
bien 𝑥2 y A es el bien 𝑥1. Queda descrita con esta función porque se ha fijado el nivel de utilidad en 4, sin embargo el caso general implica que 𝐵 =𝑢(𝒙)
𝐴 , por lo tanto 𝑢(𝒙) = 𝐴𝐵, o cambiando notación
𝑢(𝒙) = 𝑥1𝑥2.
𝑇𝑀𝑆12(𝒙𝟎) =
𝜕
𝜕𝑥1(𝑥1𝑥2)
𝜕
𝜕𝑥2(𝑥1𝑥2)
=𝑥
2
𝑥1
Puesto que la canasta 𝒙𝟎 estaba conformada por 1 unidad del bien 𝑥1 y 4 unidades del bien 𝑥2,
sustituyendo:
𝑇𝑀𝑆12(𝒙𝟎) =
𝑥2
𝑥1=
4 1= 4
Lo cual coincide con el resultado que habíamos obtenido al sacar valor absoluto de la pendiente de la recta tangente en el punto dado.
Asimismo, si sustituimos las coordenadas del punto 𝒙𝟏 que nos dicen las cantidades de los bienes 𝑥1, 𝑥2
que conforman a la canasta 𝒙𝟏:
𝑇𝑀𝑆12(𝒙𝟏) =
𝑥2 𝑥1=
1
4= 0.25
Lo cual, también coincide con el resultado obtenido a partir de sacar el valor absoluto de la pendiente de la recta tangente al punto 𝒙𝟏.
Nótese que en general 𝑇𝑀𝑆𝑖𝑗≠ 𝑇𝑀𝑆𝑗𝑖, pues el primero nos dice las unidades del bien 𝑗 que se está
dispuesto a renunciar con tal de obtener una unidad más del bien 𝑖, mientras que el segundo (i.e. 𝑇𝑀𝑆𝑗𝑖) nos dice las unidades del bien 𝑖 que se está dispuesto a renunciar con tal de obtener una unidad
más del bien 𝑗. En el ejemplo anterior, únicamente consideramos 𝑇𝑀𝑆𝑖𝑗 donde 𝑖 = 1, 𝑗 = 2; a pesar de
considerar dos canastas de bienes distintas, lo que nos estamos planteando es cuántas unidades del bien 𝑥2 que estamos dispuestos a sacrificar para obtener una unidad adicional del bien 𝑥1.
Problema del consumidor:
Hasta el momento hemos considerado TODO el conjunto de elección, sin embargo, al principio se mencionó que hay un subconjunto 𝐵 ⊂ 𝑋, que es el conjunto factible. Este conjunto factible debe contemplar las restricciones a las se enfrenta el agente económico de interés.
En esencia, el problema del consumidor es maximizar su función de utilidad. Si se dejara libre (i.e. no se impone restricción alguna), entonces bajo el axioma de monotonía estricta/ no saciedad local “más es mejor” y el problema no tiene una solución práctica, pues a medida que se incrementa la cantidad de bienes que conforma a la canasta, mayor será la utilidad asociada, lo cual lleva a que siempre se busque más y más, tendiendo al infinito.
El hecho de que vivimos en un mundo con bienes limitados, que hay que pagar por los bienes y otras consideraciones nos lleva a contemplar las restricciones que deben tomarse en cuenta. Al problema de maximizar (o minimizar) estando sujeto a restricciones se le conoce como optimización y en breve, el problema del consumidor es optimizar: maximizar su función de utilidad sujeto a restricciones (e.g. presupuestaria, cantidad limitada de bienes, etc.)
Se parte del escenario más simple en el que contemplamos únicamente una restricción presupuestaria. Asimismo, por conveniencia, suponemos que no se puede comprar por mayoreo, por lo que el precio es fijo sin importar las unidades del bien 𝑥𝑖. Si cada bien 𝑥𝑖 se vende a un precio 𝑝
𝑖, entonces el total que
se gasta por canasta de bienes es ∑𝑛𝑖=1𝑝𝑖𝑥𝑖, que podemos denotar en forma de producto punto como
𝒑 ∙ 𝒙, dicho gasto en una canasta de bienes no debe exceder una cota fijada llamada presupuesto. Podemos pensar en este presupuesto como el salario de un trabajador, como una herencia, como el “domingo” que se le da a un niño, etc.
Si denotamos por 𝑦 a esta cota, entonces debe cumplirse que 𝑦 ≥ 𝒑 ∙ 𝒙; a su vez, por el axioma de no saciedad local es entendible que la restricción se va a cumplir en la igualdad, es decir, se va a agotar el presupuesto, sin que exista ahorro en el sentido de gastar menos del presupuesto con el que se cuenta; sin embargo, el ahorro es completamente compatible con la idea de que la cota 𝑦 pudo haber sido fijada dejando de lado una cantidad “abajo del colchón”.
Si esta es la única restricción que opera (un mundo muy ideal por cierto), entonces el conjunto factible es:
𝐵 = {𝒙|𝒙 ∈ ℝ+𝑛; 𝒑 ∙ 𝒙 ≤ 𝑦}
Nuevamente, es posible pensar en un mundo de dos bienes únicamente (por simplicidad así como por conveniencia de poder usar gráficas). A continuación se muestra una gráfica donde la parte sombreada es el conjunto factible suponiendo un presupuesto de 10 y donde el precio del bien 𝑥1 es igual al precio del bien 𝑥2, i.e. 𝑝1= 𝑝2= 1. Implícitamente se tienen las restricciones 𝑥1≥ 0 y 𝑥2≥ 0 ya que no
De manera puntual, el problema al que se enfrenta el agente económico es el siguiente:
max
𝒙∈ℝ+𝑛𝑢(𝒙)
Sujeto a la restricción
𝒑 ∙ 𝒙 ≤ 𝑦
Si existe una canasta de bienes 𝒙∗ que resuelva el problema anterior, entonces también resuelve el
problema antes planteado de encontrar un 𝒙∗∈ 𝐵 tal que 𝒙∗≽ 𝒙∀𝒙 ∈ 𝐵, pues tal canasta 𝒙∗, de existir
implica que 𝑢(𝒙∗) ≥ 𝑢(𝒙)∀𝒙 ∈ 𝐵.
Para resolver este tipo de problemas de Optimización, recurrimos a la construcción de una función Lagrangiana, las condiciones de Kuhn-Tucker, condiciones de primer orden y el uso de multiplicadores que satisfagan las condiciones. El problema hasta el momento es completamente estático a pesar de que existen modelos macroeconómicos “microfundados” como es el caso del modelo de Ramsey, donde se optimiza de manera intertemporal, es decir, una optimización dinámica, que requiere otras metodologías y conceptos: Cálculo en Variaciones, Teoría de Control Óptimo, Hamiltonianos, etc.
El problema general de programación cóncava (de la cual, la programación lineal es un subcaso) se puede plantear como sigue:
Sean 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔𝑖: ℝ𝑛→ ℝ con 𝑖 = 1, … , 𝑛; funciones cóncavas, donde 𝑓 es una función objetivo y 𝑔𝑖
son restricciones dadas. Entonces el problema general de programación cóncava es:
max
𝒙∈ℝ𝑛𝑓(𝒙)
s.a.
𝑔1(𝒙) ≥ 0
⋮
𝑔𝑛(𝒙) ≥ 0
Llamamos conjunto factible al siguiente conjunto:
𝐾 = {𝒙 ∈ ℝ𝑛|𝑔
𝑖(𝒙) ≥ 0∀𝑖 = 1, … , 𝑛}
Y las Condiciones de Kuhn-Tucker son:
a) 𝜆𝑖∗≥ 0, donde 𝜆𝑖 es el multiplicador asociado a la restricción 𝑔𝑖(𝒙) ≥ 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛.
b) 𝑔𝑖(𝒙∗) ≥ 0
c) 𝜆𝑖∗𝑔𝑖(𝒙∗) = 0
Considere el siguiente ejemplo de un problema de consumidor: se debe maximizar la función utilidad de un agente que tiene la forma funcional 𝑢(𝒙) = 𝑥1𝑥2 sujeto a la restricción presupuestaria 10 ≥ 𝑝1𝑥1+
𝑝2𝑥2. Supongamos que 𝑝1= 𝑝2= 1, entonces la restricción presupuestaria es 10 ≥ 𝑥1+ 𝑥2.
De manera intuitiva, estamos en un mundo de dos bienes: 𝑥1, 𝑥2 de modo que la función de utilidad
tendría una representación en ℝ3 y las curvas de nivel obtenidas al fijar un nivel dado de utilidad tendrían una representación en ℝ+2. Asimismo, mencionamos previamente que la restricción se resuelve
en forma de igualdad (debido al axioma de no saciedad local/ monotonía estricta), de este modo, la desigualdad se vuelve 10 = 𝑥1+ 𝑥2. Si despejamos a 𝑥2, para tener la notación en forma de 𝑥2=
𝑓(𝑥1), entonces tenemos que 𝑥2= 10 − 𝑥1.
Si representamos varias curvas de nivel obtenidas de la función de utilidad y también representamos a la restricción en un plano 𝑥1− 𝑥2⊆ ℝ+2 obtenemos una figura como la que se muestra a continuación:
En esta Figura, de manera intuitiva, el punto de tangencia nos da la canasta óptima, la que maximiza la función de utilidad sujeta a la restricción presupuestaria, es decir, la canasta óptima es la canasta 𝒙∗, la
razón de ello es porque si suponemos otra canasta (e.g. 𝒙𝟎) dentro del conjunto factible (compárese con
la Figura anterior para ver que pertenece al conjunto factible), ésta no sería óptima porque el problema es maximizar la utilidad y la curva de nivel de la canasta 𝒙∗ tiene una utilidad asociada mayor a la
canasta 𝒙𝟎, sin embargo, dado que la canasta 𝒙∗ es el punto de tangencia entre la curva de nivel y la
restricción presupuestaria, no existe otra canasta dentro del conjunto factible que tenga una utilidad asociada que sea mayor a la utilidad asociada a la canasta 𝒙∗, por ende, es la solución al problema del
consumidor supuesto.
Como ejercicio se resolvería como sigue:
max
𝒙∈ℝ+2𝑢(𝒙) = 𝑥 1𝑥2
10 ≥ 𝑥1+ 𝑥2
Construimos la función Lagrangiana:
ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = 𝑥1𝑥2+ 𝜆(10 − 𝑥1− 𝑥2) Obtenemos Condiciones de Primer Orden:
𝜕
𝜕𝑥1ℒ = 𝑥2− 𝜆 … (1)
𝜕
𝜕𝑥2ℒ = 𝑥1− 𝜆 … (2)
𝜕
𝜕𝜆ℒ = 10 − 𝑥
1− 𝑥2… (3)
Agregamos las Condiciones de Kuhn-Tucker:
𝜆(10 − 𝑥1− 𝑥2) = 0 … (4)
𝜆 ≥ 0 … (5)
10 − 𝑥1− 𝑥2≥ 0 … (6)
Dado que queremos maximizar debemos igualar las ecuaciones (1) (2) y (3) a cero4:
𝑥2− 𝜆 = 0 … (1)′
𝑥1− 𝜆 = 0 … (2)′
10 − 𝑥1− 𝑥2 = 0 … (3)′ Caso i): Suponemos que 𝜆 > 0:
Esto implicaría que la única manera en que se cumple la condición de Kuhn-Tucker (4) es si (6) es una igualdad.
Despejando a lambda de (1)’ y (2)’ obtenemos:
𝜆 = 𝑥1= 𝑥2… (7)
Sustituyendo (7) en (3)’ y reacomodando términos:
𝑥1= 5
Sustituyendo en (7) este valor:
𝑥2= 5
4 No es necesario verificar con condiciones de segundo orden si se está maximizando o no porque el
𝜆 = 5
∴ (𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = (5,5,5) Caso ii): Suponemos que 𝜆 = 0:
Esto implicaría que la condición de Kuhn-Tucker (4) se cumple aunque (6) no sea una igualdad, por lo tanto, no nos sirve la ecuación (3)’.
Sustituimos 𝜆 = 0 en (1)’ y (2)’ obteniendo:
𝑥1 = 𝑥2= 0
∴ (𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = (0,0,0)
Por lo tanto, tenemos dos “candidatos” a ser la canasta óptima que resuelve el problema anterior, la manera en que se determina cuál es la canasta óptima es sustituyendo los valores en la función Lagrangiana y viendo cuál maximiza:
Caso i):
ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = 𝑥1𝑥2+ 𝜆(10 − 𝑥1− 𝑥2) ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = (5)(5) + (5)[10 − (5) − (5)]
∴ ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = 25
Caso ii):
ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = (0)(0) + (0)[10 − (0) − (0)]
∴ ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = 0
Por lo tanto, la canasta óptima que resuelve este problema de consumidor es la canasta formada por 5 unidades del bien 𝑥1 y 5 unidades del bien 𝑥2, i.e. 𝒙
∗= (𝑥1∗, 𝑥2∗) = (5,5), donde 𝒙∗∈ ℝ+2
Cuando se resuelve el problema de optimización de
max
𝒙∈ℝ+𝑛𝑢(𝒙)
s.a.
𝒑 ∙ 𝒙 ≤ 𝑦
La canasta que resuelve el problema suele estar en función de dos argumentos: el vector de precios y el ingreso, a tal canasta se le suele llamar la demanda Marshalliana (denotada como 𝑥𝑖(𝒑, 𝑦)) y se dice ser
problema: uno por estar debajo y otro por no estar en el conjunto factible, se muestra que el nivel óptimo es donde hay un solo punto de tangencia entre la curva de nivel y la restricción presupuestaria.
Por otra parte, cuando se resuelve el problema de optimización de
min
𝒙∈ℝ+𝑛𝒑 ∙ 𝒙
s.a.
𝑢(𝒙) = 𝑢0
La canasta que resuelve este problema de optimización suele estar en función de dos argumentos: el vector de precios y la utilidad, a tal canasta se le conoce como la demanda Hicksiana (denotada como ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑢)) y se dice que es una demanda no observable porque uno de los argumentos de los que
depende (i.e. la utilidad) no es observable o tangible. En la siguiente figura se muestra de manera gráfica qué acontece al resolver el problema de optimización: dado que la restricción ahora es que el nivel de utilidad debe mantenerse constante, denotamos con una línea roja a la restricción de utilidad y denotamos con líneas negras los presupuestos distintos que dejamos variar. Las líneas quebradas representan gastos que no resuelven el problema de optimización: uno porque aunque se gasta menos, no consigue el nivel de utilidad debido y otro porque excede el gasto de la línea sólida. Nuevamente, el gasto óptimo es aquel donde hay un solo punto de tangencia entre el presupuesto y el nivel de utilidad, el cual ahora es nuestra restricción. Nótese que es cuestión del ejemplo que se decidió poner el que la canasta óptima sea igual para la demanda Hicksiana y para la demanda Marshalliana, no es una regla
A partir de las demandas Marshallianas podemos obtener lo que se conoce como Función Indirecta de
Utilidad. Esta función (denotada como 𝑣(𝒑, 𝑦)) no es otra cosa que sustituir las demandas Marshallianas de cada uno de los bienes en la función de utilidad, es decir, una vez obtenidas las cantidades óptimas de cada uno de los 𝑛 bienes que conforman a la función de utilidad y que resuelven el probelma de optimización para la Marshalliana (i.e. maximizar la utilidad sujeto a una restricción presupuestaria), se sustituyen éstas en la función de utilidad de manera que 𝑣(𝒑, 𝑦) = 𝑢(𝑥𝑖(𝒑, 𝑦)).
De manera análoga, a partir de las demandas Hicksianas podemos obtener lo que se conoce como
Función de Gasto. Esta función (denotada como 𝑒(𝒑, 𝑢)) no es otra cosa que sustituir en el gasto (i.e. 𝒑 ∙ 𝒙) las cantidades óptimas que se obtuvieron para cada uno de los 𝑛 bienes al resolver el problema de optimización para la Hicksiana (i.e. minimizar el gasto sujeto a un nivel fijo de utilidad), de manera que 𝑒(𝒑, 𝑢) = ∑𝑛𝑖=1𝑝𝑖ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑢).
Tanto la Función Indirecta de Utilidad como la Función de Gasto son importantes porque junto con 4 identidades que se mencionarán a continuación, nos permiten obtener las demandas Hicksianas de la Función de Gasto vía Lema de Shephard y las demandas Marshallianas a partir de la Función Indirecta de Utilidad vía la Identidad de Roy.
Las cuatro identidades son:
a) 𝑣(𝒑, 𝑒(𝒑, 𝑢)) ≡ 𝑢 b) 𝑒(𝒑, 𝑣(𝒑, 𝑦)) ≡ 𝑦
c) ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑣(𝒑, 𝑦)) ≡ 𝑥𝑖(𝒑, 𝑦)
d) 𝑥𝑖(𝒑, 𝑒(𝒑, 𝑢)) ≡ ℎ
La primera identidad nos dice que sabemos que la Función Indirecta de Utilidad depende de dos argumentos: el vector de precios y el presupuesto, pero si en vez de usar el argumento de presupuesto, evaluamos específicamente en la Función de Gasto, obtendríamos la función de utilidad.
La segunda identidad nos dice que sabemos que la Función de Gasto depende de dos argumentos: el vector de precios y la utilidad, pero si en vez de usar el argumento de la utilidad, evaluamos específicamente en la Función Indirecta de Utilidad, obtendríamos el presupuesto.
La tercera identidad nos dice que la demanda Hicksiana es equivalente a la Marshalliana si evaluamos específicamente en la Función Indirecta de Utilidad.
Finalmente, la cuarta identidad establece que la demanda Marshalliana es equivalente a la Hicksiana si evaluamos específicamente en la Función de Gasto.
Además de estas 4 identidades, se emplean comúnmente el Lema de Shephard y la Identidad de Roy.
El Lema de Shephard establece que si sacamos la derivada parcial de la función de gasto respecto al precio asociado al bien 𝑥𝑖, obtendríamos la demanda Hicksiana del bien 𝑥𝑖. Formalmente:
𝜕 𝜕𝑝𝑖
𝑒(𝒑, 𝑢) = ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑢)
La identidad de Roy establece que el negativo del cociente de la derivada parcial de la función indirecta de utilidad respecto al precio asociado al bien 𝑥𝑖 entre la derivada parcial de la misma función respecto al ingreso, es igual a la demanda Marshalliana del bien 𝑥𝑖. Formalmente:
− 𝜕
𝜕𝑝𝑖𝑣(𝒑, 𝑦)
𝜕
𝜕𝑦𝑣(𝒑, 𝑦)
= 𝑥𝑖(𝒑, 𝑦)
Consideremos el siguiente ejemplo para ilustrar cómo se pueden obtener las demandas Hicksianas y Marshallianas de una función de utilidad, cómo se obtendría la función de gasto y la indirecta de utilidad y cómo a partir de éstas, usando el Lema de Shephard y la Identidad de Roy respectivamente, obtenemos nuevamente la demanda Hicksiana y Marshalliana respectivamente.
Consideremos una función de utilidad tipo Cobb-Douglas: 𝑢(𝒙) = (𝑥1)𝛼 (𝑥2)𝛽
El problema de optimización para determinar las demandas Marshallianas es el siguiente:
max
𝒙∈ℝ+𝑛𝑢(𝒙)
s.a.
𝑝1𝑥1+ 𝑝2𝑥2≤ 𝑦
Planteando el Lagrangiano para resolver este problema:
ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = (𝑥1)𝛼(𝑥2)𝛽+ 𝜆(𝑦 − 𝑝
1𝑥1− 𝑝2𝑥2)
𝜕
𝜕𝑥1ℒ = 𝛼(𝑥1)𝛼−1(𝑥2)𝛽− 𝜆𝑝1= 0 … (1)
𝜕
𝜕𝑥2ℒ = 𝛽(𝑥1)𝛼(𝑥2)𝛽−1− 𝜆𝑝2= 0 … (2)
𝜕
𝜕𝜆ℒ = 𝑚 − 𝑝1𝑥
1− 𝑝
2𝑥2= 0 … (3)
De la ecuación (1):
𝜆 =𝛼(𝑥
1)𝛼−1(𝑥2)𝛽
𝑝1
De la ecuación (2):
𝜆 =𝛽(𝑥
1)𝛼(𝑥2)𝛽−1
𝑝2
Formando una nueva ecuación a partir del “𝜆” que despejamos:
𝛼(𝑥1)𝛼−1(𝑥2)𝛽
𝑝1
=𝛽(𝑥
1)𝛼(𝑥2)𝛽−1
𝑝2
Reacomodando:
𝛼 𝛽 = (
𝑝1
𝑝2
) (𝑥
1
𝑥2)
Resolviendo para 𝑥1:
𝑥1=𝛼𝑝2𝑥 2
𝛽𝑝1
Nótese que aunque ya despejamos el valor de 𝑥1, no está expresado en términos de 𝑝
1, 𝑝2, 𝑦, lo cual es
necesario para obtener las demandas Marshallianas, por tanto, sustituyendo este valor para 𝑥1 en la
ecuación (3):
𝑦 − 𝑝1(
𝛼𝑝2𝑥2
𝛽𝑝1
) − 𝑝2𝑥2 = 0
Cancelando 𝑝1 en la multiplicación y sacando factor común:
𝑦 − 𝑝2𝑥2(
𝛼
𝛽+ 1) = 0
𝑦 − 𝑝2𝑥2(
𝛼 + 𝛽 𝛽 ) = 0
𝑦 = 𝑝2𝑥2(
∴ 𝑥2(𝒑, 𝑦) = 𝛽𝑦 𝑝2(𝛼 + 𝛽)
Sustituyendo esta demanda Marshalliana en el valor de 𝑥1 que habíamos obtenido del despeje:
𝑥1=𝛼𝑝2𝑥 2
𝛽𝑝1
𝑥1=
𝛼𝑝2(𝑝 𝛽𝑦 2(𝛼 + 𝛽))
𝛽𝑝1
𝑥1= 𝛼𝛽𝑦 𝛽𝑝1(𝛼 + 𝛽)
∴ 𝑥1(𝒑, 𝑦) = 𝛼𝑦 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
Así, hemos obtenido las demandas Marshallianas para esta función de utilidad tipo Cobb-Douglas:
[𝑥1(𝒑. 𝑦), 𝑥2(𝒑. 𝑦)] = [( 𝛼𝑦
𝑝1(𝛼 + 𝛽)
) , ( 𝛽𝑦 𝑝2(𝛼 + 𝛽)
)]
Usando éstas, podemos hallar la función indirecta de utilidad:
𝑣(𝒑, 𝑦) = 𝑢(𝑥1(𝒑, 𝑦), 𝑥2(𝒑, 𝑦)) = ( 𝛼𝑦
𝑝1(𝛼 + 𝛽)
)
𝛼
( 𝛽𝑦
𝑝2(𝛼 + 𝛽)
)
𝛽
Verificando la Identidad de Roy:
Por una parte: 𝜕𝑝𝜕
1𝑣(𝒑, 𝑦) = −𝛼𝑝1
−𝛼−1(𝛼 + 𝛽)−𝛼𝛼𝛼𝑦𝛼𝛽𝛽𝑦𝛽𝑝 2
−𝛽(𝛼 + 𝛽)−𝛽= −𝛼𝛼+1𝛽𝛽𝑝 1−𝛼−1𝑝2
−𝛽(𝛼 + 𝛽)−(𝛼+𝛽)𝑦𝛼+𝛽
Por otra parte: 𝜕𝑦𝜕𝑣(𝒑, 𝑦) = (𝛼 + 𝛽)𝑦𝛼+𝛽−1( 𝛼 𝑝1(𝛼+𝛽))
𝛼
(𝑝 𝛽
2(𝛼+𝛽))
𝛽
= 𝑦𝛼+𝛽−1𝛼𝛼𝛽𝛽𝑝 1−𝛼𝑝2
−𝛽
(𝛼 + 𝛽)−(𝛼+𝛽)+1
Dividiendo:
𝜕
𝜕𝑝1𝑣(𝒑. 𝑦)
𝜕
𝜕𝑦𝑣(𝒑, 𝑦) =−𝛼
𝛼+1𝛽𝛽𝑝 1 −𝛼−1𝑝
2
−𝛽(𝛼 + 𝛽)−(𝛼+𝛽)𝑦𝛼+𝛽
𝑦𝛼+𝛽−1𝛼𝛼𝛽𝛽𝑝1−𝛼𝑝2−𝛽(𝛼 + 𝛽)−(𝛼+𝛽)+1 = − 𝛼𝑦 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
Finalmente si tomamos el negativo de este cociente:
− (− 𝛼𝑦
𝑝1(𝛼 + 𝛽)
) = 𝛼𝑦 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
= 𝑥1(𝒑. 𝑦)
De forma parecida, si se obtuviera la derivada parcial de la función indirecta de utilidad respecto al precio asociado al bien 𝑥2, se dividiera entre la derivada parcial respecto al ingreso y se le multiplicara por −1, deberíamos obtener la demanda Marshalliana asociada al bien 𝑥2.
min
𝒙∈ℝ+𝑛𝑝1𝑥
1+ 𝑝 2𝑥2
s.a.
𝑢(𝒙) ≥ 𝑢0
Planteando el Lagrangiano para resolver este problema de optimización:
ℒ(𝑥1, 𝑥2, 𝜆) = −𝑝
1𝑥1− 𝑝2𝑥2+ 𝜆((𝑥1)𝛼(𝑥2)𝛽− 𝑢0)
Obteniendo Condiciones de Primer Orden:
𝜕
𝜕𝑥1ℒ = −𝑝1+ 𝛼𝜆(𝑥1)𝛼−1(𝑥2)𝛽… (1)
𝜕
𝜕𝑥2ℒ = −𝑝2+ 𝛽𝜆(𝑥1)𝛼(𝑥2)𝛽−1… (2)
𝜕
𝜕𝜆ℒ = (𝑥
1)𝛼(𝑥2)𝛽− 𝑢
0… (3)
De la ecuación (1):
𝜆 = 𝑝1
𝛼(𝑥1)𝛼−1(𝑥2)𝛽
De la ecuación (2):
𝜆 = 𝑝2
𝛽(𝑥1)𝛼(𝑥2)𝛽−1
Formando una nueva ecuación al igualar: 𝑝1
𝛼(𝑥1)𝛼−1(𝑥2)𝛽 =
𝑝2
𝛽(𝑥1)𝛼(𝑥2)𝛽−1
Reacomodando términos:
𝑝1
𝑝2
= (𝛼 𝛽) (
𝑥2
𝑥1)
Resolviendo para 𝑥1:
(𝑥1)−1= 𝛽𝑝1
𝛼𝑝2𝑥2
→ 𝑥1=𝛼𝑝2𝑥 2
𝛽𝑝1
Dado que debemos obtener una función que esté en términos de 𝑝1, 𝑝2, 𝑢0; sustituyendo éste despeje
en la ecuación (3):
(𝛼𝑝2𝑥
2
𝛽𝑝1
)
𝛼
(𝑥2)𝛽− 𝑢 0= 0
(𝛼𝑝2 𝛽𝑝1)
𝛼
(𝑥2)𝛼+𝛽 = 𝑢 0( 𝛽𝑝1 𝛼𝑝2 ) 𝛼
∴ ℎ𝑥2(𝒑, 𝑢) = [𝑢0(𝛽𝑝1
𝛼𝑝2 ) 𝛼 ] 1 𝛼+𝛽
Sustituyendo la demanda Hicksiana del bien 𝑥2 en el despeje que teníamos para 𝑥1:
𝑥1 =𝛼𝑝2𝑥
2
𝛽𝑝1
=
𝛼𝑝2[𝑢0(𝛽𝑝𝛼𝑝1 2) 𝛼 ] 1 𝛼+𝛽 𝛽𝑝1
=𝛼𝑝2 𝛽𝑝1
[𝑢0(
𝛽𝑝1 𝛼𝑝2 ) 𝛼 ] 1 𝛼+𝛽
= [𝑢0(
𝛼𝑝2
𝛽𝑝1
)
𝛼+𝛽
(𝛽𝑝1 𝛼𝑝2 ) 𝛼 ] 1 𝛼+𝛽
∴ ℎ𝑥1(𝒑, 𝑢) = [𝑢0(
𝛼𝑝2 𝛽𝑝1 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
Así, hemos obtenido las demandas Hicksianas de esta función de utilidad tipo Cobb-Douglas:
[ℎ𝑥1(𝒑, 𝑢), ℎ𝑥2(𝒑, 𝑢)] = [[𝑢0(
𝛼𝑝2 𝛽𝑝1 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
, [𝑢0(
𝛽𝑝1 𝛼𝑝2 ) 𝛼 ] 1 𝛼+𝛽 ]
Usando éstas, podemos hallar la función de gasto:
𝑒(𝒑, 𝑢) = 𝑝1(ℎ𝑥1(𝒑, 𝑢)) + 𝑝2(ℎ𝑥2(𝒑, 𝑢))
= 𝑝1[𝑢0(
𝛼𝑝2 𝛽𝑝1 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
+ 𝑝2[𝑢0(
𝛽𝑝1 𝛼𝑝2 ) 𝛼 ] 1 𝛼+𝛽
= [𝑢0𝑝1𝛼(
𝛼𝑝2 𝛽 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
+ [𝑢0𝑝2 𝛽
(𝛽𝑝1 𝛼 )
𝛼
]
1 𝛼+𝛽
Verificando el Lema de Shephard:
𝜕 𝜕𝑝1
𝑒(𝒑, 𝑢) = 𝜕 𝜕𝑝1 [𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽+ 𝑢
0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 𝛼 𝛼+𝛽] = 𝜕 𝜕𝑝1 [𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
= 𝛼 𝛼 + 𝛽𝑝1
−𝛽 𝛼+𝛽 𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽)
Cancelando (𝛼 + 𝛽) en la multiplicación y sumando los exponentes de 𝛼:
𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽 = [𝑢
0( 𝛼𝑝2 𝛽𝑝1 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
= ℎ𝑥1(𝒑, 𝑢)
Si sacáramos la derivada parcial de la función de gasto respecto al precio asociado al bien 𝑥2 deberíamos encontrar la demanda Hicksiana de éste.
Si quisiéramos, podríamos verificar que se cumplen las 4 identidades:
a) 𝑣(𝒑, 𝑒(𝒑, 𝑢)) ≡ 𝑢
De la función indirecta de utilidad:
( 𝛼𝑦
𝑝1(𝛼 + 𝛽)
)
𝛼
( 𝛽𝑦
𝑝2(𝛼 + 𝛽)
)
𝛽
= ( 𝛼
𝑝1(𝛼 + 𝛽)
)
𝛼
( 𝛽
𝑝2(𝛼 + 𝛽)
)
𝛽
𝑦𝛼+𝛽
Sustituyendo 𝑦 con 𝑒(𝒑, 𝑢):
𝑣(𝒑, 𝑒(𝒑, 𝑢)) = ( 𝛼 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
)
𝛼
( 𝛽
𝑝2(𝛼 + 𝛽)
) 𝛽 (𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽)) 𝛼+𝛽
= (𝛼𝛼𝛽𝛽𝑝1−𝛼𝑝2 −𝛽
(𝛼 + 𝛽)−(𝛼+𝛽)) (𝑢 0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽)) 𝛼+𝛽
𝑢0
𝛼+𝛽 𝛼+𝛽
= 𝑢01= 𝑢0
b) 𝑒(𝒑, 𝑣(𝒑, 𝑦)) ≡ 𝑦
De la función de gasto:
[𝑢0𝑝1𝛼(
𝛼𝑝2 𝛽 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
+ [𝑢0𝑝2 𝛽
(𝛽𝑝1 𝛼 )
𝛼
]
1 𝛼+𝛽
= 𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽)
Sustituyendo 𝑢0 con 𝑣(𝒑, 𝑦):
[( 𝛼
𝑝1(𝛼 + 𝛽)) 𝛼
( 𝛽
𝑝2(𝛼 + 𝛽)) 𝛽
𝑦𝛼+𝛽]
1 𝛼+𝛽 (𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽))
= (𝛼 𝛼 𝛼+𝛽𝛽 𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛼 𝛼+𝛽 𝑝2 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽)−(𝛼+𝛽)𝛼+𝛽
𝑦
𝛼+𝛽 𝛼+𝛽) (𝑝
1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
c) ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑣(𝒑, 𝑦)) ≡ 𝑥𝑖(𝒑, 𝑦)
De la Demanda Hicksiana (del bien 𝑥1, se puede hacer también para el bien 𝑥2):
[𝑢0(
𝛼𝑝2 𝛽𝑝1 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
= (𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 𝛽 𝛼+𝛽 )
Sustituyendo 𝑢0 por 𝑣(𝒑, 𝑦):
= [( 𝛼 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
)
𝛼
( 𝛽
𝑝2(𝛼 + 𝛽)
)
𝛽
𝑦𝛼+𝛽] 1 𝛼+𝛽 (𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 𝛽 𝛼+𝛽 ) = (𝛼 𝛼 𝛼+𝛽𝛽 𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛼 𝛼+𝛽 𝑝2 −𝛽 𝛼+𝛽
(𝛼 + 𝛽)
−(𝛼+𝛽) 𝛼+𝛽 𝑦
𝛼+𝛽 𝛼+𝛽) (𝛼
𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 𝛽 𝛼+𝛽 ) = 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽𝑦 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼+𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽)𝛼+𝛽𝛼+𝛽
= 𝛼𝑦
𝑝1(𝛼 + 𝛽)
= 𝑥1(𝒑, 𝑦)
d) 𝑥𝑖(𝒑, 𝑒(𝒑, 𝑢)) ≡ ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑢)
De la Demanda Marshalliana (para el bien 𝑥1, también se puede hacer para el bien 𝑥2):
𝛼𝑦 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
Sustituyendo 𝑦 por 𝑒(𝒑, 𝑢):
= 𝛼
𝑝1(𝛼 + 𝛽)
(𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝑝
1 𝛼
𝛼+𝛽𝛼𝛼+𝛽−𝛼𝑝 2
𝛽
𝛼+𝛽𝛽𝛼+𝛽−𝛽 (𝛼 + 𝛽))
= (𝛼𝑝1−1(𝛼 + 𝛽)−1) (𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝑝 2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽))
= 𝑢0
1 𝛼+𝛽𝑝
1 −𝛽
𝛼+𝛽𝛼𝛼+𝛽𝛽 𝑝 2
𝛽
𝛼+𝛽𝛽𝛼+𝛽−𝛽 = [𝑢 0( 𝛼𝑝2 𝛽𝑝1 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽
= ℎ𝑥1(𝒑, 𝑦)
Además de las 4 identidades, la Identidad de Roy y el Lema de Shephard, una ecuación muy importante es la Ecuación de Slutsky. Esta ecuación captura el efecto total en la demanda al variar el precio, dividiendo dicho efecto en efecto sustitución y efecto ingreso.
La Ecuación de Slutsky formalmente se expresa como:
𝜕𝑥𝑖(𝒑, 𝑦) 𝜕𝑝𝑗
=𝜕ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑢) 𝜕𝑝𝑗
−𝜕𝑥
𝑖(𝒑, 𝑚)
𝜕𝑦 𝑥
Donde 𝜕ℎ𝑥𝑖(𝒑,𝑢)
𝜕𝑝𝑗 es el efecto sustitución y 𝜕𝑥𝑖(𝒑,𝑦)
𝜕𝑦 𝑥
𝑗(𝒑, 𝑦) es el efecto ingreso.
Regresando al ejemplo de la función de utilidad tipo Cobb-Douglas, si uno quiere evaluar la Ecuación de Slutsky (para el bien 𝑥1 variando el precio 𝑝2, aunque también se puede hacer para 𝑥2 variando 𝑝1):
𝝏𝒙𝟏(𝒑, 𝒚) 𝝏𝒑𝟐
= 𝜕 𝜕𝑝2
[ 𝛼𝑦 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
] = 𝟎
𝝏𝒉𝒙𝟏(𝒑, 𝒚)
𝝏𝒑𝟐
= 𝜕 𝜕𝑝2
[𝑢0(
𝛼𝑝2 𝛽𝑝1 ) 𝛽 ] 1 𝛼+𝛽 = 𝜕 𝜕𝑝2 (𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 𝛽 𝛼+𝛽 ) = 𝜷
𝜶 + 𝜷(𝒖𝟎 𝟏 𝜶+𝜷 𝜶 𝜷 𝜶+𝜷𝜷 −𝜷 𝜶+𝜷𝒑 𝟏 −𝜷 𝜶+𝜷 𝒑𝟐 −𝜶 𝜶+𝜷 )
𝝏𝒙𝟏(𝒑, 𝒚)
𝝏𝒚 =
𝜕 𝜕𝑦[
𝛼𝑦 𝑝1(𝛼 + 𝛽)
] = 𝜶
𝒑𝟏(𝜶 + 𝜷)
𝒙𝟐(𝒑, 𝒚) =
𝜷𝒚 𝒑𝟐(𝜶 + 𝜷)
Sustituyendo estos valores en la Ecuación de Slutsky:
0 = 𝛽 𝛼 + 𝛽(𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 −𝛼 𝛼+𝛽
) − 𝛼𝛽𝑦
𝑝1𝑝2(𝛼 + 𝛽)
Por lo tanto, el efecto sustitución está dado por:
𝛽 𝛼 + 𝛽(𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 −𝛼 𝛼+𝛽 )
Y el efecto ingreso por:
− 𝛼𝛽𝑦
𝑝1𝑝2(𝛼 + 𝛽)
Comprobando que está bien:
𝛽 𝛼 + 𝛽(𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 −𝛼 𝛼+𝛽
) = 𝛼𝛽𝑦
𝑝1𝑝2(𝛼 + 𝛽)
Re expresando el lado DER de la ecuación:
𝛼𝛽𝑦 𝑝1𝑝2(𝛼 + 𝛽)
= 𝛼𝛽
𝑝1𝑝2(𝛼 + 𝛽)2
(𝑢0 1 𝛼+𝛽 𝑝1 𝛼 𝛼+𝛽 𝑝2 𝛽 𝛼+𝛽 𝛼 −𝛼 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽
𝛼+𝛽(𝛼 + 𝛽))
= 𝑢0
1 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 2 −𝛼
= 1
𝛼 + 𝛽(𝑢0( 𝛼 𝑝1 ) 𝛽 (𝛽 𝑝2 ) 𝛼 ) 1 𝛼+𝛽 … 𝐷𝐸𝑅
Re expresando el lado IZQ de la ecuación:
𝛽 𝛼 + 𝛽(𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 −𝛽 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 −𝛼 𝛼+𝛽
) = 1 𝛼 + 𝛽(𝑢0
1 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽𝛽 𝛼 𝛼+𝛽𝑝 1 −𝛽 𝛼+𝛽 𝑝2 −𝛼 𝛼+𝛽 ) = 1
𝛼 + 𝛽(𝑢0( 𝛼 𝑝1 ) 𝛽 (𝛽 𝑝2 ) 𝛼 ) 1 𝛼+𝛽 … 𝐼𝑍𝑄
Dado que 𝐷𝐸𝑅 = 𝐼𝑍𝑄, concluimos que está bien calculada la Ecuación de Slutsky.
La Ecuación de Slutsky nos permite identificar entre al menos 3 tipos de bienes: normales, inferiores y giffen.
Cuando uno calcula la Ecuación de Slutsky (recordando la fórmula):
𝜕𝑥𝑖(𝒑, 𝑦) 𝜕𝑝𝑗
=𝜕ℎ𝑥𝑖(𝒑, 𝑢) 𝜕𝑝𝑗
−𝜕𝑥
𝑖(𝒑, 𝑚)
𝜕𝑦 𝑥
𝑗(𝒑, 𝑦)
1. Puede suceder que el efecto total sea negativo, en cuyo caso puede suceder que:
1.1.a) El efecto sustitución es negativo.
1.1.b) El efecto ingreso es negativo (porque la curva de Engel 𝜕𝑥𝑖(𝒑.𝑦)
𝜕𝑦 > 0 y la Demanda Marshalliana del
otro bien también: 𝑥𝑗(𝒑, 𝑦) > 0).
1.1.c) Dado que el efecto sustitución y el efecto ingreso son ambos negativos, al sumar, obtenemos una cantidad negativa.
Si esto ocurre, nos enfrentamos a un bien normal.
1.2.a) El efecto sustitución es negativo.
1.2.b) El efecto ingreso es positivo (porque la curva de Engel 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑖(𝒑.𝑦)< 0, pero la Demanda Marshalliana del otro bien: 𝑥𝑗(𝒑, 𝑦) > 0).
1.2.c) El efecto sustitución es mayor al efecto ingreso.
Si esto ocurre, nos enfrentamos a un bien inferior.
2. Puede suceder que el efecto total sea positivo, en cuyo caso:
2.1 a) El efecto sustitución es negativo.
b) El efecto ingreso es positivo (porque la curva de Engel 𝜕𝑥𝑖(𝒑.𝑦)
𝜕𝑦 < 0 y la Demanda Marshalliana del otro
bien también: 𝑥𝑗(𝒑, 𝑦) > 0).
c) El efecto ingreso es mayor al efecto sustitución.
Si esto ocurre, nos enfrentamos a un bien giffen.
Nótese que lo que distingue a un bien inferior de uno giffen es que el efecto sustitución es mayor en el primero, mientras que en el segundo lo es el efecto ingreso.
Apéndice Matemático.
Conjunto convexo: Sea 𝑋 ⊂ ℝ𝑛, se dice que 𝑋 es convexo si ∀𝑥
𝑖, 𝑥𝑗 ∈ 𝑋 y ∀𝜆 ∈ (0,1) se cumple que
𝜆𝑥𝑖+ (1 − 𝜆)𝑥𝑗∈ 𝑋.
Propiedades: Si 𝐴 y 𝐵 son conjuntos convexos, entonces:
i) 𝐴 ∩ 𝐵 es convexo ii) 𝐴 + 𝐵 es convexo
iii) ∀𝑐 ∈ ℝ, el conjunto 𝑐𝐴 = {𝑐𝑎|𝑎 ∈ 𝐴} es convexo
Función cóncava/convexa: Sea 𝑋 ⊂ ℝ𝑛 y 𝑋 convexo. 𝑓: 𝑋 → ℝ es una función cóncava si ∀𝑥
𝑖 ≠ 𝑥𝑗∈ 𝑋
Función cuasicóncava/cuasiconvexa: Sea 𝑋 ∈ ℝ𝑛 y 𝑋 convexo. 𝑓: 𝑋 → ℝ es una función cuasicóncava si
∀𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗∈ 𝑋 y ∀𝜆 ∈ [0,1] se tiene que 𝑓(𝜆𝑥𝑖+ (1 − 𝜆)𝑥𝑗) ≥ min{𝑓(𝑥𝑖), 𝑓(𝑥𝑗)}. Se dice ser estrictamente cuasicóncava si 𝜆 ∈ (0,1) y la desigualdad anterior es estricta. Para definir una función cuasiconvexa, la desigualdad se vuelve 𝑓(𝜆𝑥𝑖+ (1 − 𝜆)𝑥𝑗) ≤ max{𝑓(𝑥𝑖), 𝑓(𝑥𝑗)} y para que sea
estrictamente cuasiconvexa, se considera de igual manera que 𝜆 ∈ (0,1) y que la desigualdad sea estricta.
En el siguiente gráfico se muestra el ejemplo de una función cuasilineal. Para que una función sea considerada cuasilineal debe ser de manera simultánea una función cuasiconvexa y una función
cuasicóncava. Nótese que min{𝑓(𝑥𝑖), 𝑓(𝑥𝑗)} en este caso es 𝑓(𝑥𝑖) y que max{𝑓(𝑥𝑖), 𝑓(𝑥𝑗)} en este caso
es 𝑓(𝑥𝑗).
Para que sea considerada una función cuasicóncava, se había dicho previamente que debe cumplirse que 𝑓(𝜆𝑥𝑖+ (1 − 𝜆)𝑥𝑗) ≥ min{𝑓(𝑥𝑖), 𝑓(𝑥𝑗)}, en este caso, debería cumplirse que 𝑓(𝜆𝑥𝑖+
(1 − 𝜆)𝑥𝑗) ≥ 𝑓(𝑥𝑖), lo cual puede apreciarse en el gráfico, pues cuando se evalúa la función en la
combinación convexa entre 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗, la curva siempre se encuentra por encima de 𝑓(𝑥𝑖).
De manera similar, para que sea considerada una función cuasiconvexa, se había dicho que debe cumplirse que 𝑓(𝜆𝑥𝑖 + (1 − 𝜆)𝑥𝑗) ≤ max{𝑓(𝑥𝑖), 𝑓(𝑥𝑗)}, lo cual en este caso se vuelve 𝑓(𝜆𝑥𝑖+
(1 − 𝜆)𝑥𝑗) ≤ 𝑓(𝑥𝑗), lo cual también puede apreciarse en el gráfico, pues cuando se evalúa la función en
la combinación convexa entre 𝑥𝑖 y 𝑥𝑗, la curva siempre se encuentra por debajo de 𝑓(𝑥𝑗).
Por tanto, como satisface de forma simultánea las definiciones de cuasiconcavidad y cuasiconvexidad, decimos que la función (sigmoide) del gráfico es una función cuasilineal.
Contorno: El contorno de una función se representa en una dimensión menor al gráfico de la función.
Sea 𝑋 ⊂ ℝ𝑛, 𝑓: 𝑋 → ℝ, el contorno de una función es 𝐶
𝑓= {𝑥 ∈ 𝑋|𝑓(𝑥) = 𝑦}, donde 𝑦 es una
constante o un valor fijo.
El contorno superior de la función es 𝑈𝐶𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑓(𝑥) ≥ 𝑦} y el contorno inferior de la misma
función es 𝐿𝐶𝑓= {𝑥 ∈ 𝑋|𝑓(𝑥) ≤ 𝑦} para el mismo valor fijo 𝑦.
Si 𝑓 es una función cóncava, entonces 𝑈𝐶𝑓 será un conjunto convexo. Si 𝑓 es una función convexa,
entonces 𝐿𝐶𝑓 será un conjunto convexo.
En el gráfico anterior se muestran los contornos de una función de utilidad cuasilineal para distintos valores fijos de 𝑢(∙).
Se muestran cinco curvas de nivel que corresponden a 5 valores fijos de 𝑢(∙): 𝑢 = 1,3,5,7,9.
Nótese que la función de utilidad se muestra en un espacio tridimensional mientras que el contorno se representa en un plano bidimiensional, ejemplo de que los contornos se representan en una dimensión menor al gráfico de la función.
Por tanto, las curvas de nivel y las isocuántas son contornos de funciones de utilidad y de producción respectivamente.
Funciones homogéneas: Sea 𝑓: ℝ𝑛→ ℝ. Se dice que 𝑓 es homogénea de grado 𝑛 si 𝑓(𝑡𝑥
1, … , 𝑡𝑥𝑛) =
𝑡𝑛∙ 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛).
Los casos más importantes en la Microeconomía son funciones homogéneas de grado cero y funciones homogéneas de grado uno.
Programación cóncava: Es un problema de maximización condicionada. Si 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔
𝑖: ℝ𝑛→ ℝ∀𝑖 =
1, … , 𝑛 son funciones cóncavas, entonces:
max
𝒙∗∈ℝ𝒏𝑓(𝒙)
s.a. {
𝑔1(𝒙) ≥ 0
⋮ 𝑔𝑛(𝒙) ≥ 0
es llamado el Problema General de la Programación Cóncava (PGPC) y
𝑘 = {𝒙 ∈ ℝ𝑛|𝑔
𝑖(𝒙) ≥ 0∀𝑖 = 1, … , 𝑛}
es llamado el conjunto factible. Una solución al PGPC debe ser 𝒙∗∈ 𝑘 tal que 𝑓(𝒙∗) ≥ 𝑓(𝒙)∀𝒙 ∈ 𝑘. Se dice entonces que 𝒙∗ es un máximo global de 𝑓 sobre 𝑘 y 𝑓(𝒙∗) es el valor óptimo de 𝑓 sobre 𝑘.
Se optimiza con el Lagrangiano donde
ℒ: ℝ𝑛→ ℝ
ℒ(𝒙, 𝜆𝑖) = 𝑓(𝒙) + ∑ 𝜆𝑖𝑔𝑖(𝒙) 𝑛
Las condiciones de Kuhn-Tucker (de primer orden) que se emplean son:
𝑖) 𝜕ℒ 𝜕𝑥𝑗
= 0∀𝑗 = 1, … , 𝑚
𝑖𝑖)𝜕ℒ 𝜕𝜆𝑖
= 0∀𝑖 = 1, … , 𝑛
𝑖𝑖𝑖) 𝑔𝑖(𝒙) ≥ 0∀𝑖 = 1, … , 𝑛
𝑖𝑣) 𝜆𝑖 ≥ 0∀𝑖 = 1, … , 𝑛
𝑣) 𝜆𝑖𝑔𝑖(𝒙) = 0∀𝑖 = 1, … , 𝑛 Métrica: Es una medida de distancia.
Espacio métrico: Es un conjunto donde hay una distancia definida entre todos los elementos del
conjunto:
Para ℝ1:
𝑑(𝑥1, 𝑥2) = |𝑥2− 𝑥1|
Para ℝ2:
𝑑(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = √(𝑥
22− 𝑥21)2+ (𝑥12− 𝑥11)2
Para ℝ3:
𝑑(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = √(𝑥32− 𝑥31)2+ (𝑥22− 𝑥21)2+ (𝑥12− 𝑥11)2
Generalizando, para ℝ𝑛:
𝑑(𝒙𝟏, 𝒙𝟐) = √(𝑥
𝑛2− 𝑥𝑛1)2+ ⋯ + (𝑥12− 𝑥11)2= √(𝒙𝟐− 𝒙𝟏) ∙ (𝒙𝟐− 𝒙𝟏) = ‖𝒙𝟐− 𝒙𝟏‖
Bola 𝜺: Sean 𝒙𝟎 y 𝒙 ∈ ℝ𝑛. Sea además 𝜀 ∈ ℝ.
i) Abierta: Una bola abierta 𝜀 centrada en 𝒙𝟎 de radio 𝜀 > 0 es:
𝐵𝜀(𝒙𝟎) = {𝒙 ∈ ℝ𝑛|𝑑(𝒙𝟎, 𝒙) < 𝜀}
ii) Cerrada: Una bola cerrada 𝜀 centrada en 𝒙𝟎 de radio 𝜀 > 0 es:
𝐵𝜀∗(𝒙𝟎) = {𝒙 ∈ ℝ𝑛|𝑑(𝒙𝟎, 𝒙) ≤ 𝜀}
𝒙𝟎= (𝑥 1, 𝑦1)
𝒙𝟎 = (𝑥 1, 𝑦1)
Para ℝ3 una bola abierta o cerrada se vería de la siguiente manera:
𝒙𝟎= (𝑥
1, 𝑦1, 𝑧1)
𝒙𝟎= (𝑥
1, 𝑦1, 𝑧1)
𝜺 > 𝟎
Para ℝ1 una bola abierta es simplemente un intervalo abierto (𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀) y una bola cerrada es un
intervalo cerrado [𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀]
Conjunto abierto: Sea 𝑆 ⊂ ℝ𝑛. Se dice que 𝑆 es un conjunto abierto si ∀ 𝒙 ∈ 𝑆 ∃ algún 𝜀 > 0, tal que 𝐵𝜀(𝒙) ⊂ 𝑆
Ejercicios:
1. Demuestre que si ≽ es una relación de preferencia, entonces ≻ y ~ son transitivas. Muestre también que si 𝒙𝟏~𝒙𝟐≽ 𝒙𝟑, entonces 𝒙𝟏 ≽ 𝒙𝟑.
[Sol.]
Vamos a emplear las siguientes definiciones: ≻ se define como:
𝒙 ≻ 𝒚 ↔ 𝒙 ≽ 𝒚 ∧ ¬(𝒚 ≽ 𝒙) ~ se define como:
𝒙~𝒚 ↔ 𝒙 ≽ 𝒚 ∧ 𝒚 ≽ 𝒙 La relación de preferencia ≽ es racional si se cumple:
i) Completez/completitud: ∀𝒙, 𝒚 ∈ 𝑋 ocurre 𝒙 ≽ 𝒚 ∨ 𝒚 ≽ 𝒙 ii) Transitividad: ∀𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑋: si 𝒙 ≽ 𝒚 ∧ 𝒚 ≽ 𝒛 → 𝒙 ≽ 𝒛
Ahora, usando la definición de ≻ y transitividad:
Supongamos que ∃𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑋 tales que 𝒙 ≻ 𝒚 ∧ 𝒚 ≻ 𝒛, se desea probar que 𝒙 ≻ 𝒛:
i) Si 𝒙 ≻ 𝒚 entonces 𝒙 ≽ 𝒚 ∧ ¬(𝒚 ≽ 𝒙) ii) Si 𝒚 ≻ 𝒛 entonces 𝒚 ≽ 𝒛 ∧ ¬(𝒛 ≽ 𝒚)
Por transitividad sabemos que 𝒙 ≽ 𝒛, sin embargo, supongamos que 𝒛 ≽ 𝒙. Esto querría decir que 𝒙~𝒛 (por definición de~) y esto implicaría que 𝒛 ≽ 𝒚!
Entonces 𝒙 ≽ 𝒛, pero ¬(𝒛 ≽ 𝒙).
∴ 𝒙 ≻ 𝒛
Usando la definición de ~ y transitividad, supongamos que ∃𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑋 tales que 𝒙~𝒚 ∧ 𝒚~𝒛, se desea probar que 𝒙~𝒛:
i) Si 𝒙~𝒚, entonces 𝒙 ≽ 𝒚 ∧ 𝒚 ≽ 𝒙 ii) Si 𝒚~𝒛, entonces 𝒚 ≽ 𝒛 ∧ 𝒛 ≽ 𝒚
Por transitividad sabemos que 𝒙 ≽ 𝒛, sin embargo, supongamos que 𝒛 ≽ 𝒙. Las consecuencias de esta preferencia débil serían:
a) Implicaría que 𝒛 ≽ 𝒚 b) Implicaría que 𝒚 ≽ 𝒙
Dado que ninguna de las implicaciones causa una inconsistencia, 𝒙 ≽ 𝒛 ∧ 𝒛 ≽ 𝒙 ∴ 𝒙~𝒛
i) Si 𝒙𝟏~𝒙𝟐, entonces 𝒙𝟏≽ 𝒙𝟐∧ 𝒙𝟐≽ 𝒙𝟏, dado que se incluye 𝒙𝟏 ≽ 𝒙𝟐, esto quiere decir que 𝒙𝟏≽ 𝒙𝟑 es un resultado directo del Axioma de Transitividad