SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

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SUPERFICIES

El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de ex-presar una superficie, esencialmente mediante ecuaciones param´etricas o im-pl´ıcitas. Tambi´en clasificaremos los puntos de una superficies seg´un que sean regulares o singulares.

Adem´as construiremos el vector normal a la superficie en un punto, y con ´el la recta normal en ese punto. El sentido del vector normal permite fijar la orientaci´on, cuando la curva es orientable. Esta distinci´on hay que hacerla, pues existen curvas no orientables, como la banda de M¨obius. De hecho, la clasificaci´on m´as elemental e importante de superficies es en orientables y no orientables. S´olo trabajaremos con superficies orientables.

Tambi´en construiremos el plano tangente, usando una parametrizaci´on o una ecuaci´on impl´ıcita.

Definimos la curva como la imagen de una parametrizaci´on cuyo dominio era un intervalo

I

Γ

γ

I γ Γ

Para una superificie consideraremos la misma definici´on cuyo dominio es un subconjunto deR2.

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S

D

Φ

Definici´on.- Unasuperficie en el espacio es una aplicaci´on continua

φ: DR2 → R3

(u, v) 7→ φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

A la aplicaci´on φse le llamaparametrizaci´on de la superficie y las ecuaciones:

φ(u, v) =    x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) ,(u, v)D

son las ecuaciones param´etricas de la superficie.

Nos referiremos indistintamente a la parametrizaci´on o a las ecuaciones param´etri-cas, pues en esencia son lo mismo.

Denotamos porS la gr´afica de la curva, es decir, el conjunto de puntos:

S={(x, y, z)R3 |(x, y, z) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v)D}

Abusando de la notaci´on, identificamos la superficie Φ con su gr´afica S, de forma que a la gr´afica de la parametrizaci´on tambi´en la llamamos superficie, y dos parametrizaciones con la misma gr´afica consideraremos que son la misma superificie.

Obs´ervese que S ={(x, y, z) |(x, y, z) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) D}, por lo tanto una superficie se describe siempre a trav´es de dos par´ametrosu, v.

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Ejemplo.-Consideremos el plano coordenadoxy deR3. Es imagen de la apli-caci´on φ:R2 →R3,φ(u, v) = (u, v,0).    x(u, v) =u y(u, v) =v z(u, v) = 0 , u, vR

Ejemplo.-La esfera unidad de R3 es imagen de la aplicaci´on:

φ: [0,2π]×hπ 2,

π

2

i

⊂R2→R3, r(u, v) = (cosucosv,senucosv,senv) Unas ecuaciones param´etricas de la esfera son:

   x(u, v) = cosucosv y(u, v) = senucosv z(u, v) = senv , 0≤u≤2π −π 2 ≤v≤ π 2

Ejemplo.-Elcilindro circular de radio 1 es imagen de la aplicaci´on:

φ: [0,2π]×R⊂R2 →R3, r(u, v) = (cosu,senu, v) Unas ecuaciones param´etricas del cilindro son:

   x(u, v) = cosu y(u, v) = senu z(u, v) =v , u∈[0,2π] v(−∞,)

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Definici´on.- Sea S una superficie tal que existe una funci´on F(x, y, z) verifi-cando

S ={(x, y, z)R3 |F(x, y, z) = 0}

entonces se dice queF(x, y, z) = 0 es unaecuaci´on impl´ıcita deS en R3.

Ejemplo.- El plano coordenado xy de R3 S (u, v,0), u, v R, tiene una

ecuaci´on impl´ıcita:z= 0.

Ejemplo.- La esfera unidad de R3 S

≡ (cosucosv,senucosv,senv), u[0,2π], v

−π2,

π

2

, tiene una ecuaci´on impl´ıcita: x2

+y2

+z2

= 1. Ejemplo.- El cilindro circular de radio 1 S (cosu,senu, v), u [0,2π], v(−∞,), tiene una ecuaci´on impl´ıcita x2+y2= 1.

PUNTOS SINGULARES Y REGULARES

Igual que pasaba con las curvas, podemos dar dos definiciones de punto singular atendiendo a que la superficie est´e expresada mediante ecuaciones param´etricas o impl´ıcitas:

A)Si la superficieS est´a expresada en ecuaciones param´etricas,S φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), u, v D

Definici´on.- Sea (u0, v0) D se dice que P0 = φ(u0, v0) es regular para la parametrizaci´on φ, siφ(t) es de clase C1 cerca de (u0, v0) y

rg      ∂x ∂u(u0, v0) ∂y ∂u(u0, v0) ∂z ∂u(u0, v0) ∂x ∂v(u0, v0) ∂y ∂v(u0, v0) ∂z ∂v(u0, v0)      = 2

En caso contrario se dice queP0 es singular para dicha parametrizaci´on. B)Si la curva S est´a dada en ecuaciones impl´ıcitas, S ={F(x, y, z) = 0}: Definici´on.- Un punto P0 S se dice regular si F es de clase C1

cerca deP0

y el rango de J F(P0) es m´aximo. es decir:

J F(P0) = ∂F ∂x(P0), ∂F ∂y(P0), ∂F ∂z(P0) = (0,0,0)

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En caso contrario se dice queP0 essingular.

Como suced´ıa con las curvas, estas definiciones no son equivalentes. La primera depende de la parametrizaci´on, y si un punto es singular para la segunda, lo ser´a tambi´en para la primera, as´ı que en este sentido la mejor definici´on es la segunda.

Ejemplo.-Consideramos el cilindro parab´olico x=y2

. La funci´on F(x, y, z) =y2

−x es la que da lugar a la ecuaci´on impl´ıcita. Cal-culamos su matriz jacobiana:

J F(x, y, z) = (1,2y,0)6= 0 As´ı que todos los puntos deS son regulares.

CAMBIO DE PAR ´

AMETRO

Si tenemos una superficieS podemos parametrizarla de distintas formas, es de-cir, podemos encontrar varias parametrizacionesφque tienen la misma imagen,

S.

Ejemplo.- Consideremos el tronco de cono x2 +y2 = z2, 2

≤ z 5. Dos posibles parametrizaciones son:

φ1(u, v) =    x(u, v) =u y(u, v) =v z(u, v) =√u2+v2 , (u, v)∈ {(x, y)R2 |4x2+y2 25} φ2(r, θ) =    x(r, θ) =rcosθ y(r, θ) =rsenθ z(r, θ) =r , r[2,5], θ [0,2π]

Definici´on.- Seanφy φ∗ dos parametrizaciones de una superficieS

φ: DR2

→ R3

(u, v) 7→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

φ∗ : DR2 R3

(α, β) 7→ (x∗(α, β), y(α, β), z(α, β))

Diremos que φ y φ∗ son equivalentes si existe una aplicaci´on h : D D

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A la aplicaci´on h:D∗D se le llama cambio de par´ametro.

Ejemplo.-Siguiendo con el ejemplo anterior, el cambio de par´ametro entre las

dos parametrizaciones es:

h: [2,5]×[0,2π] R2

(r, θ) 7→ (u, v) = (rcosθ, rsenθ)

VECTORES NORMALES A UNA SUPERFICIE

Un vector normal a la superficie en un punto es un vector perpendicular a la misma. En sentido estricto, como la superficie puede ser curva, en principio puede ser dif´ıcil definir lo que quiere decir ser perpendicular a algo curvo. Sin embargo, para todo punto regular podemos construir un plano tangente a la superficie en dicho punto, y s´ı tenemos una idea clara de lo que es ser perpen-dicular a un plano.

Si la superficie est´a expresada mediante una parametrizaci´on, las derivadas parciales de la misma en el punto nos dan sendos vectores tangente a la superficie en el punto. Con dichos vectores podemos construir el plano tangente. Sin llegar a construir dicho plano, es sabido que dados dos vectores, el producto vectorial de los mismos es otro vector perpendicular a ambos, as´ı que tenemos la siguiente definici´on.

Definici´on.- Sean S una superficie y φ : D R3 una parametrizaci´on de

S. Sea (u0, v0) D tal que P0 = φ(u0, v0) es un punto regular para una parametrizaci´onφ. Se definevector normalaSen un puntoP0al vector unitario en la direcci´on de

∂φ

∂u(u0, v0)× ∂φ

∂v(u0, v0)

SiS F(x, y, z) = 0, la direcci´on del vector normal aS en P0 viene dado por el gradiente de F: ∂F ∂x(P0), ∂F ∂y(P0), ∂F ∂z(P0)

Ejemplo.- Consideramos el tronco de conox2

+y2

=z2,

2z5. La funci´on que nos define la ecuaci´on esF(x, y, z) =x2+y2

−z2, y su gradiente

es:

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El ´unico punto que hace nulo el gradiente es el (0,0,0) S. Entonces cualquier punto del tronco de cono es regular y su vector normal es (x, y,z).

En los puntos (4,0,4), (4,0,4) y (0,4,4) los vectores normales son

Tomemos otra funci´on que nos defina la superficie: G(x, y, z) =z2 −x2

−y2, y

su gradiente es:

∇G(x, y, x) = (2x,2y,2z)

De nuevo el ´unico punto que hace nulo el gradiente es el (0,0,0) S. Entonces cualquier punto del tronco de cono es regular y su vector normal es (x,y, z), que tiene la misma direcci´on que en el caso anterior, pero sentido contrario. En los puntos (4,0,4), (4,0,4) y (0,4,4) los vectores normales son

Veamos que ocurre si consideramos los c´alculos sobre una parametrizaci´on. Sea

φ1 : {(x, y) R2

| 4 x2+y2

≤ 25} → R3 con φ(u, v) = (u, v,u2+v2),

calculamos sus derivadas parciales:

∂φ ∂u = 1,0, u u2+v2 , ∂φ ∂v = 0,1, v u2+v2

y el vector normal es el producto vectorial de ambos:

1,0, u √ u2+v2 ×0,1, v √ u2+v2 = ı  k 1 0 √ u u2+v2 0 1 v √ u2+v2 = u √ u2+v2,− v √ u2+v2,1

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En los puntosφ1(4,0) = (4,0,4), φ1(4,0) = (4,0,4) y φ1(0,4) = (0,4,4) los vectores normales son

Si consideramosφ2 : [2,5]×[0,2π]R3 conφ(r, θ) = (rcosθ, rsenθ, r),

calcu-lamos sus derivadas parciales:

∂φ

∂r = (cosθ,senθ,1), ∂φ

∂θ = (−rsenθ, rcosθ,0)

y el vector normal es el producto vectorial de ambos:

(cosθ,senθ,1)×(rsenθ, rcosθ,0) =

ı  k cosθ senθ 1 −rsenθ rcosθ 0 = (rcosθ,rsenθ, r) En los puntosφ2(4,0) = (4,0,4),φ2(4,π) = (4,0,4) yφ2 4,π 2 = (0,4,4) los vectores normales son

En un punto regular siempre hay dos vectores normales. Geom´etricamente es muy intuitivo que si encontramos un vector normal, otro vector con la misma direcci´on y sentido contrario tambi´en es normal a la superficie. Otra forma de verlo es darse cuenta de que, tendiendo a la definici´on, calculamos el vector normal mediante un producto vectorial, pero ´este no es conmutativo, y si cam-biamos el orden de los factores obtenemos otro vector de la misma direcci´on y m´odulo, pero sentido contrario, pero que sigue siendo normal al plano tangente.

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Para poder establecer una orientaci´on hay que elegir entre un vector normal. Pero no en todas las superficies es posible elegir un vector normal de forma continua.

Banda de Moebius Cilindro

Estas superficies (v´ease ejemplo de la banda de Moebius) se denominan no orientables o de solo una cara. Si la superficie es orientable (v´ease ejemplo del cilindro), el sentido del vector normal se conserva. Trabajaremos con superificies orientables.

Si dos parametrizaciones de una superficie s dan lugar a vectores normales opuestos diremos que tienendistinta orientaci´on. Si dan lugar al mismo vector normal unitario, se dice que tienen lamisma orientaci´on.

A pesar de que una parametrizaci´on u otra proporcione distintas orientaciones y que para una puedan aparecer puntos singulares que no existen para la otra, no hay una “regla general” para decidir cu´al es mejor, depender´a de lo que pretendamos hacer con ella.

Ejemplo.- Sea S la esfera de radio 2 y centro en el punto Ω = (1,2,3) y

calculemos su vector normal en el puntoP = (3,2,3). Una parametrizaci´on de

S es φ: [0,2π)× − π2, π 2 → R3

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En primer lugar tenemos que ver c´omo se expresa el punto P mediante esta parametrizaci´on. Si φ(θ0, ϕ0) = (3,2,3), entonces:

2 cosθ0cosϕ0+ 1 = 3 2 cosθ0cosϕ0= 2 cosθ0cosϕ0 = 1 2 senθ0cosϕ0+ 2 = 2 2 senθ0cosϕ0= 0 senθ0cosϕ0 = 0 2 senϕ0+ 3 = 3 2 senϕ0= 0 senϕ0 = 0 De la tercera coordenada deducimos que ϕ0 = 0, as´ı que sustituyendo en la primera y la segunda ecuaci´on:

cosθ0cos 0 = 1 senθ0cos 0 = 0 ⇒

cosθ0 = 1

senθ0 = 0 ⇒θ0= 0 As´ı queP =φ(0,0).

Calculamos las derivadas parciales de la parametrizaci´on:

∂φ

∂θ(θ, ϕ) = (−2 senθcosϕ,2 cosθcosϕ,0) ∂φ

∂ϕ(θ, ϕ) = (−2 cosθsenϕ,−2 cosθsenϕ,2 cosϕ)

Si calculamos el producto vectorial de las derivadas parciales obtenemos el vactor normal para cualquier puntoφ(θ, ϕ), pero como no nos interesa el vector gen´erico, sino s´olo el vector en el puntoP =φ(0,0), lo que haremos es calcular el valor de las derivadas parciales en (0,0) y hacer el producto vectorial del resultado, que es m´as sencillo de calcular que en general:

∂φ

∂θ(0,0) = (0,2,0), ∂φ

∂ϕ(0,0) = (0,0,2)

y el vector normal es:

(0,2,0)×(0,0,2) = ı  k 0 2 0 0 0 2 = (4,0,0)

normalizando este vector obtenemos n= (1,0,0).

Ejemplo.- SeaS parametrizada como

φ: R×[0,2π) R3

(u, v) 7→ (ucosv, usenv, u) y calculamos su vector normal en el punto P = (1,0,1).

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Los primero ser´a encontrar la expresi´on deP respecto a esta parametrizaci´on:

φ(u0, v0) = (u0cosv0, u0senv0, u0) = (1,0,1)

de la ´ultima coordenada deducimos queu0 = 1, as´ı que cosv0 = 1 y senv0= 0, por tantov0 = 0, es decir P =φ(1,0).

Calculamos las derivadas parciales:

∂φ

∂u(u, v) = (cosv,senv,1), ∂φ

∂u(u, v) = (−usenv, ucosv,0)

Como en el ejemplo anterior, al interesar solamente el vector en el punto P, podr´ıamos calcular el valor de las derivadas parciales en (1,0) y trabajar con eso. Vamos a hacerlo de la otra forma, y es hacerlo para cualquier punto y sustituir en la expresi´on general del vector:

∂φ ∂u(u, v)× ∂φ ∂v(u, v) = ı  k cosv senv 1 −usenv ucosv 0

= (ucosv,usenv, ucos2v

+usen2v

) = (ucosv,usenv, u(cos2v+ sen2v))

= (ucosv,usenv, u)

Este vector no tiene por que ser unitario, as´ı que lo normalizamos:

||(ucosv,usenv, u)|| =p

(ucosv)2+ (usenv)2+u2

=pu2(cos2v+ sen2v) +u2

=√u2+u2 =2u2 =u2

el vector normal en general ser´a:

n= (−ucosv,−usenv, u) u√2 = −cos√v 2 ,− senv √ 2 , 1 √ 2 para el puntoP =φ(1,0): n(1,0) = −cos 0√ 2 ,− sen 0 √ 2 , 1 √ 2 = − √1 2,0, 1 √ 2

PLANO TANGENTE

Aunque ya lo hemos introducido de forma informal, definimos ahora el plano tangente:

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Definici´on.-Se llama plano tangente a la superficieS en un punto regularP0, al plano que pasa porP0 y es ortogonal al vector normal.

Dada la parametrizaci´on φ(u, v) y un punto de la superficieP0 = (x0, y0, z0) =

φ(u0, v0), las derivadas parciales de la parametrizaci´on en el punto nos propor-cionan dos vectores tangentes a la superficie en P0, es decir, dos vectores con-tenidos en el plano tangente, que adem´as no son proporcionales y con dos vec-tores no proporcionales de un plano y un punto, podemos construir la ecuaci´on del plano. La ecuaci´on del plano tangente en P0 es:

TpS≡ xx0 yy0 zz0 ∂x ∂u(u0, v0) ∂y ∂u(u0, v0) ∂z ∂u(u0, v0) ∂x ∂v(u0, v0) ∂y ∂v(u0, v0) ∂z ∂v(u0, v0) = 0 (1)

Si la superficie est´a expresada mediante una ecuaci´on impl´ıcita F(x, y, z) = 0, el gradiente nos da un vector proporcional al vector normal, es decir, un vector perpendicular al plano, y con un vector perpendicular a un plano y un punto, podemos calcular tambi´en la ecuaci´on del plano. Laecuaci´on del plano tangente en el puntoP0 = (x0, y0, z0) es:

TpS ≡(x−x0) ∂F ∂x(P0) + (y−y0) ∂F ∂y(P0) + (z−z0) ∂F ∂z(F0) = 0 (2)

Ejemplo.-Calculemos la ecuaci´on el plano tangente en un puntoP = (x0, y0,0) del plano coordenadoxy. Una ecuaci´on impl´ıcita del mismo esz= 0 y hab´ıamos visto que el vector normal para esta ecuaci´on en cualquier punto de la superficie es (0,0,1).

Usamos la ecuaci´on (2):

(xx0)·0 + (yy0)·0 + (z0)·1 = 0z= 0

es decir, el plano tangente coincide con el plano coordenado del que part´ıamos. En general, siempre que la superficie sea un plano, el plano tangente en cada punto coincidir´a con el plano de partida.

Si consideramos la parametrizaci´on φ : R2 → R3, φ(u, v) = (u, v,0), sus derivadas parciales eran:

∂φ

∂u = (1,0,0), ∂φ

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y el plano tangente, usando la ecuaci´on (1) llegamos al mismo resultado: TPS≡ xx0 yy0 z0 1 0 0 0 1 0 =z= 0

Ejemplo.- Calculamos el plano tangente a la esfera de radio 2 y centro en el

punto Ω = (1,2,3) en el puntoP = (3,2,3).

Hab´ıamos visto que el vector normal en P es (1,0,0). Usando la ecuaci´on (2) para calcular el plano tangente tenemos:

(x3)·1 + (y2)·0 + (z3)·0 = 0x3 = 0 el plano tangente es el plano verticalx= 3.

Ejemplo.-Calculamos el plano tangente en el puntoP = (1,0,1) de la super-ficieS parametrizada comoφ:R×[0,2π)R3,φ(u, v) = (ucosv, usenv, u). Hab´ıamos visto que las derivadas parciales son:

∂φ

∂u(u, v) = (cosv,senv,1), ∂φ

∂u(u, v) = (−usenv, ucosv,0)

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ecuaci´on: TPS ≡ xx0 yy0 zz0 cosv0 senv0 1 −u0senv0 u0cosv0 0 = (yy0)(u0senv0) + (zz0)u0cos2v0+ (z −z0)u0sen2v0 − −(xx0)(u0cosv0) = u0cosv0(xx0)u0senv0(yy0) +u0(zz0) = 0

para calcular el plano en el punto P = (1,0,1) =φ(1,0) basta con sustituir en la ecuaci´on general que acabamos de calcular:

−1·cos 0(x1)1·sen 0(y0) + 1·(z1) = 0

−(x1) + (z1) = 0

−x+z= 0

RECTA NORMAL

Tambi´en con el vector normal se puede construir una recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano tangente:

Definici´on.-Se llama recta normal a la superificie S enP0 a la recta que pasa por P0 y tiene vector director el vector normal.

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Si el vector normal esn= (n1, n2, n3), las ecuaciones param´etricas de la recta son:            x=x0+n1t y=y0+n2t z=z0+n3t

Nota.-Como a la hora de construir una recta el hecho de que el vector director que tomemos sea unitario o no, no es relevante, dado que lo ´unico que nos interesa de ´el es su direcci´on, en realidad para calcular la recta normal no nos har´a falta el vector normal. As´ı, si la superficie est´a dada mediente una ecuaci´on impl´ıcitaF(x, y, z) = 0, nos basta con sus derivadas parciales:

                   x=x0+∂F ∂x(P0)t y=y0+∂F ∂y(P0)t z=z0+∂F ∂z(P0)t

Ejemplo.-La recta normal al plano coordenadoxyen cualquier punto (x0, y0,0). Ten´ıamos que su gradiente eraF(x, y, x) = (0,0,1), as´ı que la recta es:

   x=x0+ 0·t y=y0+ 0·t z= 0 + 1·t ⇒    x=x0 y=y0 z=t

Las ecuaciones impl´ıcitas sonx=x0, y =y0.

Ejemplo.- La recta normal a la esfera de radio 2 y centro en el punto Ω =

(1,2,3) en el punto P = (3,2,3).

El vector normal es (1,0,0), as´ı que las ecuaciones param´etricas de la recta son:

   x= 3 + 1·t y= 2 + 0·t z= 3 + 0·t ⇒    x= 3 +t y= 2 z= 3 y las ecuaciones impl´ıcitas sony= 2, z= 3.

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Ejemplo.-Recta normal a la superficieSparametrizada comoφ:R×[0,2π) R3,φ(u, v) = (ucosv, usenv, u) en el punto P = (1,0,1).

Puesto que el vector normal tiene denominadores y ra´ıces, para simplificar el c´alculo tomaremos un vector proporcional a ´el pero m´as sencillo, por ejemplo (1,0,1).    x= 11·t y= 0 + 0·t z= 1 + 1·t ⇒    x= 1t y= 0 z= 1 +t ´

Estas son las ecuaciones param´etricas. Si queremos encontrar las impl´ıcitas, despejamos el par´ametrot:

t= 1x z= 1 + (1x) = 2x x+z= 2 las ecuaciones impl´ıcitas son:

x+z= 2

y = 0

A continuaci´on veremos dos tipos de superficies especiales. Por un lado las superficies de revoluci´on, que se generan al girar una curva en torno a un eje, y por otro lado las superficies de traslaci´on, generadas al deslizar una curva sobre otra con la que se corta. Veremos c´omo construir las ecuaciones de estos tipos de superficie a partir de las de las curvas que las generan.

Finalmente introduciremos las curvas sobre una superficie. Aunque no lo ver-emos, el estudio de las curvas contenidas en una superficie proporciona mucha informaci´on sobre ´esta. En particular, las curvas coordenadas permiten tratar una superficie de forma similar a un plano, con lo que se facilita su manejo.

SUPERFICIES DE REVOLUCI ´

ON

Definici´on.- Unasuperficie de revoluci´on S es una superficie engrendada por una curva Γ que gira entorno a un eje E.

Definici´on.- Cada punto de Γ describe una circunferencia en el plano

perpen-dicular al eje, estas circunferencias se llaman paralelos.

Las curvas obtenidas de la superficie de revoluci´on al cortar con planos que contengan al eje se llaman meridianos.

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Meridiano

Paralelo

Curva

Eje

Supondremos que la curva Γ no tiene puntos m´ultiples y que no corta al eje de giroE, aunque en realidad hay superficies de revoluci´on donde la curva s´ı corta al eje, como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo.-Girando la recta de ecuaciones impl´ıcitas x=z, y= 0 en torno al

ejezobtenemos el cono x2+y2 =z2.

Ecuaci´on de una superficie de revoluci´on.

Si el ejeE es una recta que pasa por el punto P0 = (x0, y0, z0) en la direcci´on del vectorv= (v1, v2, v3) y la curva generatriz es:

Γ

f1(x, y, z) = 0

f2(x, y, z) = 0

La superficieS se puede pensar como un conjunto de circunferencias, cada una de las cuales:

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1) tiene su centro en el eje, 2) se apoya en Γ,

3) est´a contenida en un plano perpendicular al eje.

Atendiendo a estos tres hechos, un punto gen´erico (x, y, z) de la superficie de revoluci´on S cumple que:

1) por pertenecer a una circunferencia de centro un punto (x0, y0, z0) del eje: (xx0)2+ (yy0)2+ (zz0)2=R2

2) por estar la circunferencia en un plano perpendicular a E, el vector de posici´on del

punto y el vector director del eje forman un ´angulo constante:

v1x+v2y+v3z=λ

3) por pertenecer a la curva Γ, anulas las ecuaciones impl´ıcitas de ´esta:

f1(x, y, z) = 0

f2(x, y, z) = 0

A partir de estos tres hechos se puede establecer una relaci´on entreR2

yλ. Esta relaci´on vendr´a expresada mediante una cierta funci´on, ll´amese F(R2, λ) = 0. Sustituyendo en esta funci´on R2 yλ, obtenemos una ecuaci´on impl´ıcita de S:

F(x, y, z) =F((xx0)2

+ (yy0)2

+ (zz0)2

, v1x+v2y+v3z) = 0

Ejemplo.- El cilindro se obtiene girando en torno al eje una recta paralela a

´el.

Tomemos como eje la recta que pasa por el punto (0,0,0) en la direcci´on del vector (0,0,1) (e.i., el eje OZ) y como curva la recta de ecuaciones impl´ıcitas

(19)

x y z

Atendiendo a las tres condiciones vistas, un punto (x, y, z) de la superficie cumple: (x0)2 + (y0)2 + (z0)2 =R2 0·x+ 0·y+ 1·z=λ x= 0 y= 2        ⇒ x2+y2+z2 =R2 z=λ x= 0 y= 2       

Sustituimos las tres ´ultimas condiciones en la primera para obtener la relaci´on entre los par´ametros R2 yλ:

4 +λ2 =R2F(λ, R2) = 4 +λ2R2 = 0 sustituimos ahoraλyR2

:

F(x, y, z) = 4 +z2(x2+y2+z2) = 4x2y2 = 0 de donde obtenemos la ecuaci´on del cilindro: x2+y2 = 4.

Ejemplo.- El toro circular se obtiene girando una circunferencia en torno al

eje.

Tomemos como eje la recta que pasa por el punto (0,0,0) en la direcci´on del vector (0,0,1) y como curva la circunferencia contenido en el plano y = 0, de centro en (a,0,0) y radio b, siendoa > b >0.

(20)

a b

Atendiendo a las tres condiciones vistas, un punto (x, y, z) de la superficie cumple: (x0)2 + (y0)2 + (z0)2 =R2 0·x+ 0·y+ 1·z=λ y = 0 (xa)2+z2 =b2        ⇒ x2 +y2 +z2 =R2 z=λ y= 0 (xa)2+z2 =b2       

sustituyendo z=λe y= 0 en la otra ecuaciones:

x2 +λ2 =R2 (xa)2 +λ2 =b2

despejamos la x de una de la primera ecuaci´on y la llevamos a la segun-da,obtenemos la relaci´on entre λyR2

:

p

R2λ2a2

+λ2 =b2

por ´ultimo, encontramos la ecuaci´on del toro al sustituir λ = z y R2 = x2+

y2+z2 p (x2+y2+z2) −z2 −a2 +z2 =b2 p x2+y2a2 +z2 =b2

SUPERFICIES DE TRASLACI ´

ON

Consideramos dos curvas:

Γ1 ≡ γ(u) = (x(u), y(u), z(u))

(21)

que se cortan en un puntoP = (x0, y0, z0).

Al deslizar una de las curvas a lo largo de la otra se genera una superficie: Definici´on.- La superficie de traslaci´on de directriz la curva Γ1 y generatriz

la curva Γ2 es la superficie formada al trasladar Γ2 paralelamente a s´ı misma

cuandoP0 recorre Γ1.

Ecuaci´on param´etrica de una superficie de traslaci´on.

Consideramos un puntoQ de la curva Γ2. Al trasladar esta curva a lo largo de

Γ1, el punto P0 va a otro punto P y el punto Q va al puntoR. Entonces, los

vectores−−→P0Qy−→P Rson el mismo. Pero estos vectores se obtienen como diferencia de los vectores de posici´on de los puntos inicial y final de cada vector, as´ı que tenemos:

−−→ P0Q=−→P R −−→

OQ−−→OP0 =−−→OR−−→OP

El puntoRes un punto gen´erico de la superficie, as´ı que en definidas cuentas lo que queremos es conocer la expresi´on de R. Despejamos su vector de posici´on:

−−→ OR=−−→OP +−−→OQ−−→OP0 R Γ1 Q P P0 0 2 Γ

El vector de posici´on de un punto tiene las mismas coordenadas del punto. Las coordenadas deP, como es un punto de Γ1, las proporciona la parametrizaci´on γ, las coordenadas deQ, como es un punto de Γ2, se obtienen de la parametrizaci´on γ∗ y las deP0 son conocidas, as´ı que:

−−→

(22)

as´ı que las ecuaciones param´etricas son:    x=x(u) +x∗(v)x0 y=y(u) +y∗(v)y0 z=z(u) +z∗(v)z0

Nota.- A la hora de tomar la directriz y la generatriz, en realidad son

in-tercambiables pues vemos que en la ecuaciones param´etricas de la superficie intervienen de forma id´entica.

Ejemplo.- El cilindro se obtiene trasladando una circunferencia a lo largo de

una recta normal a ella que la corte.

Tomamos por ejemplo la circunferencia de ecuaciones x2+y2 = 1, z= 0. Una parametrizaci´on de ella esγ∗(t) = (cost,sent,0).

Como directriz tomamos la recta x = 1, y = 0. Una parametrizaci´on de la misma es γ(t) = (1,0, t).

La intersecci´on de ambas es el punto (1,0,0). La superficie de traslaci´on es:

   x= 1 + cosv1 y= 0 + senv0 z=u+ 00 ⇒    x= cosv y= senv z=u

El caso del cilindro demuestra que una misma superficie puede ser a la vez de revoluci´on y de traslaci´on.

Ejemplo.- El paraboloide el´ıptico se obtiene trasladando una par´abola a lo

largo de otra a la que corte perpendicularmente.

Movemos por ejemplo la par´abola Γ2 de ecuaciones impl´ıcitas z = x2, y =

0 a lo largo de la par´abola Γ1 de ecuaciones impl´ıcitas z = y2, x = 0. Las

parametrizaciones son:

γ∗(t) = (t,0, t2)

(23)

Γ1

Γ2

El punto de intersecci´on es el (0,0,0). La superficie de traslaci´on es:

   x= 0 +v0 y=u+ 00 z=u2+v20 ⇒    x=v y=u z=u2+v2

CURVAS SOBRE SUPERFICIES

Una superficie contiene muchas curvas distintas. Si tenemos una curva, ´esta estar´a contenida en la superficie si los puntos de la curva verifican las ecuaciones de la superficie. Pero si la superficie est´a dada en forma param´etrica, tenemos dos par´ametros, mientras que la parametrizaci´on de la curva s´olo depende de un par´ametro. Esto se soluciona poniendo en relaci´on los par´ametros de la superficies para los puntos de la curva, lo que lleva a la siguiente definici´on. Definici´on.- Una curva sobre una superficie S parametrizada por φ(u, v) es cualquier relaci´on ϕ(u, v) = 0 entre los par´ametros.

Ejemplo.-Consideramos el cilindro de radio 1, parametrizado como:

φ(u, v) = (cosu,senu, v).

Tomamos como relaci´on entre los par´ametros ϕ(u, v) = u +v 1, as´ı que

ϕ(u, v) = 0 implica que v= 1u. Sustituimos en la parametrizaci´on y obten-emos la parametrizaci´on de la curva:

γ(u) = (cosu,senu,1u) que es la parametrizaci´on de una h´elice.

(24)

Dentro de todas las curvas que puede contener una superficie, destacan las siguientes:

Definici´on.-Lascurvas coordenadas deS con respecto a una parametrizaci´on

φ(u, v) son dos familias de curvas obtenidas cuando u = constante ´o v =

constante.

Ejemplo.- Consideramos la esfera de radio unidad x2+y2 +z2 = 1 con la

parametrizaci´on usual:    x= cosucosv y= senucosv z= senv

Vamos a ver que las curvas coordenadas son los paralelos y los meridianos usuales de una esfera.

Haciendou=cte:

x=Acosv y=Bcosv z= senv

En el planoBx=Ay tenemos la relaci´on: cos2v+ sen2v= 1,π

2 ≤v≤

π

2

Es decir, obtenemos semicircunferencias de ra-dio 1.

u z

y x

(25)

Haciendov=cte:

x=Acosu y=Asenu z=B

Es la intersecci´on de la esfera con el planoz=

B, que es una circunferencia de radio A.

z

y x

z=B A

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