SUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una

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SUPERFICIES

El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de ex-presar una superficie, esencialmente mediante ecuaciones paramétricas o im-pl´ıcitas. También clasificaremos los puntos de una superficies según que sean regulares o singulares.

Además construiremos el vector normal a la superficie en un punto, y con él la recta normal en ese punto. El sentido del vector normal permite fijar la orientación, cuando la curva es orientable. Esta distinción hay que hacerla, pues existen curvas no orientables, como la banda de Möbius. De hecho, la clasificación más elemental e importante de superficies es en orientables y no orientables. Sólo trabajaremos con superficies orientables.

También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una ecuación impl´ıcita.

Definimos la curva como la imagen de una parametrizaci´on cuyo dominio era un intervalo

I

Γ

γ

I γ _Γ

Para una superificie consideraremos la misma definici´on cuyo dominio es un subconjunto deR2.

(2)

S

D

Φ

Definici´on.- Unasuperficie en el espacio es una aplicaci´on continua

φ: D_⊂R2 → R3

(u, v) _7→ φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

A la aplicaci´on φse le llamaparametrizaci´on de la superficie y las ecuaciones:

φ(u, v) =    x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) ,(u, v)_∈D

son las ecuaciones param´etricas de la superficie.

Nos referiremos indistintamente a la parametrizaci´on o a las ecuaciones param´etri-cas, pues en esencia son lo mismo.

Denotamos porS la gr´afica de la curva, es decir, el conjunto de puntos:

S=_{(x, y, z)_∈R3 |(x, y, z) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v)_∈D_}

Abusando de la notación, identificamos la superficie Φ con su gráfica S, de forma que a la gráfica de la parametrización también la llamamos superficie, y dos parametrizaciones con la misma gráfica consideraremos que son la misma superificie.

Obsérvese que S =_{(x, y, z) _|(x, y, z) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) _∈D_}, por lo tanto una superficie se describe siempre a través de dos parámetrosu, v.

(3)

Ejemplo.-Consideremos el plano coordenadoxy deR3. Es imagen de la apli-caci´on φ:R2 →R3_,_φ₍_{u, v}_{) = (}_{u, v,}_0).    x(u, v) =u y(u, v) =v z(u, v) = 0 , u, v_∈_R

Ejemplo.-La esfera unidad de R3 es imagen de la aplicaci´on:

φ: [0,2π]_×h₋π 2,

π

2

i

⊂R2→R3, r(u, v) = (cosucosv,senucosv,senv) Unas ecuaciones param´etricas de la esfera son:

   x(u, v) = cosucosv y(u, v) = senucosv z(u, v) = senv , 0≤u≤2π −π 2 ≤v≤ π 2

Ejemplo.-Elcilindro circular de radio 1 es imagen de la aplicaci´on:

φ: [0,2π]_×R⊂R2 →R3, r(u, v) = (cosu,senu, v) Unas ecuaciones param´etricas del cilindro son:

   x(u, v) = cosu y(u, v) = senu z(u, v) =v , u∈[0,2π] v_∈(_−∞,_∞)

(4)

Definici´on.- Sea S una superficie tal que existe una funci´on F(x, y, z) verifi-cando

S =_{(x, y, z)_∈R3 |F(x, y, z) = 0_}

entonces se dice queF(x, y, z) = 0 es unaecuaci´on impl´ıcita deS en R3.

Ejemplo.- El plano coordenado xy de R3 S _≡ (u, v,0), u, v _∈ R, tiene una

ecuaci´on impl´ıcita:z= 0.

Ejemplo.- La esfera unidad de R3 _S

≡ (cosucosv,senucosv,senv), u_∈[0,2π], v_∈

−π2,

π

2

, tiene una ecuaci´on impl´ıcita: x2

+y2

+z2

= 1. Ejemplo.- El cilindro circular de radio 1 S _≡ (cosu,senu, v), u _∈ [0,2π], v_∈(_−∞,_∞), tiene una ecuaci´on impl´ıcita x2₊_y2_{= 1.}

PUNTOS SINGULARES Y REGULARES

Igual que pasaba con las curvas, podemos dar dos definiciones de punto singular atendiendo a que la superficie est´e expresada mediante ecuaciones param´etricas o impl´ıcitas:

A)Si la superficieS est´a expresada en ecuaciones param´etricas,S _≡φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), u, v _∈D

Definici´on.- Sea (u0, v0) _∈ D se dice que P0 = φ(u0, v0) es regular para la parametrizaci´on φ, siφ(t) es de clase _C1 _{cerca de (}_{u0, v0}_{) y}

rg      ∂x ∂u(u0, v0) ∂y ∂u(u0, v0) ∂z ∂u(u0, v0) ∂x ∂v(u0, v0) ∂y ∂v(u0, v0) ∂z ∂v(u0, v0)      = 2

En caso contrario se dice queP0 es singular para dicha parametrización. B)Si la curva S está dada en ecuaciones impl´ıcitas, S =_{F(x, y, z) = 0_}: Definición.- Un punto P0 _∈ S se dice regular si F es de clase _C1

cerca deP0

y el rango de J F(P0) es m´aximo. es decir:

J F(P0) = ∂F ∂x(P0), ∂F ∂y(P0), ∂F ∂z(P0) = (0,0,0)

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En caso contrario se dice queP0 essingular.

Como suced´ıa con las curvas, estas definiciones no son equivalentes. La primera depende de la parametrización, y si un punto es singular para la segunda, lo será también para la primera, as´ı que en este sentido la mejor definición es la segunda.

Ejemplo.-Consideramos el cilindro parab´olico x=y2

. La funci´on F(x, y, z) =y2

−x es la que da lugar a la ecuaci´on impl´ıcita. Cal-culamos su matriz jacobiana:

J F(x, y, z) = (₋1,2y,0)₆= 0 As´ı que todos los puntos deS son regulares.

CAMBIO DE PAR ´

AMETRO

Si tenemos una superficieS podemos parametrizarla de distintas formas, es de-cir, podemos encontrar varias parametrizacionesφque tienen la misma imagen,

S.

Ejemplo.- Consideremos el tronco de cono x2 ₊_y2 ₌ _z2_, ₂

≤ z _≤ 5. Dos posibles parametrizaciones son:

φ1(u, v) =    x(u, v) =u y(u, v) =v z(u, v) =√u2₊_v2 , (u, v)_{∈ {}(x, y)_∈R2 |4_≤x2+y2 _≤25_} φ2(r, θ) =    x(r, θ) =rcosθ y(r, θ) =rsenθ z(r, θ) =r , r_∈[2,5], θ _∈[0,2π]

Definici´on.- Seanφy φ∗ _{dos parametrizaciones de una superficie}_S

φ: D_⊂_R2

→ R3

(u, v) _7→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

φ∗ _: _D∗ _⊂_R2 _→ _R3

(α, β) _7→ (x∗₍_{α, β}₎_{, y}∗₍_{α, β}₎_{, z}∗₍_{α, β}₎₎

Diremos que φ y φ∗ _son _equivalentes _{si existe una aplicaci´}_on _h _: _D∗ _→ _D

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A la aplicaci´on h:D∗_→_D _{se le llama} _{cambio de par´}_ametro.

Ejemplo.-Siguiendo con el ejemplo anterior, el cambio de par´ametro entre las

dos parametrizaciones es:

h: [2,5]_×[0,2π] _→ R2

(r, θ) _7→ (u, v) = (rcosθ, rsenθ)

VECTORES NORMALES A UNA SUPERFICIE

Un vector normal a la superficie en un punto es un vector perpendicular a la misma. En sentido estricto, como la superficie puede ser curva, en principio puede ser dif´ıcil definir lo que quiere decir ser perpendicular a algo curvo. Sin embargo, para todo punto regular podemos construir un plano tangente a la superficie en dicho punto, y s´ı tenemos una idea clara de lo que es ser perpen-dicular a un plano.

Si la superficie está expresada mediante una parametrización, las derivadas parciales de la misma en el punto nos dan sendos vectores tangente a la superficie en el punto. Con dichos vectores podemos construir el plano tangente. Sin llegar a construir dicho plano, es sabido que dados dos vectores, el producto vectorial de los mismos es otro vector perpendicular a ambos, as´ı que tenemos la siguiente definición.

Definici´on.- Sean S una superficie y φ : D _→ R3 _{una parametrizaci´on de}

S. Sea (u0, v0) _∈ D tal que P0 = φ(u0, v0) es un punto regular para una parametrizaci´onφ. Se definevector normalaSen un puntoP0al vector unitario en la direcci´on de

∂φ

∂u(u0, v0)× ∂φ

∂v(u0, v0)

SiS _≡F(x, y, z) = 0, la direcci´on del vector normal aS en P0 viene dado por el gradiente de F: ∂F ∂x(P0), ∂F ∂y(P0), ∂F ∂z(P0)

Ejemplo.- Consideramos el tronco de conox2

+y2

=z2_,

2_≤z_≤5. La funci´on que nos define la ecuaci´on esF(x, y, z) =x2₊_y2

−z2_{, y su gradiente}

es:

(7)

El ´unico punto que hace nulo el gradiente es el (0,0,0) _∈S. Entonces cualquier punto del tronco de cono es regular y su vector normal es (x, y,₋z).

En los puntos (4,0,4), (₋4,0,4) y (0,₋4,4) los vectores normales son

Tomemos otra funci´on que nos defina la superficie: G(x, y, z) =z2 −x2

−y2_{, y}

su gradiente es:

∇G(x, y, x) = (₋2x,₋2y,2z)

De nuevo el ´unico punto que hace nulo el gradiente es el (0,0,0) _∈S. Entonces cualquier punto del tronco de cono es regular y su vector normal es (₋x,₋y, z), que tiene la misma direcci´on que en el caso anterior, pero sentido contrario. En los puntos (4,0,4), (₋4,0,4) y (0,₋4,4) los vectores normales son

Veamos que ocurre si consideramos los c´alculos sobre una parametrizaci´on. Sea

φ1 : _{(x, y) _∈ _R2

| 4 _≤ x2₊_y2

≤ 25_{} →} _R3 _con _φ₍_{u, v}_{) = (}_{u, v,}√_u2₊_v2_),

calculamos sus derivadas parciales:

∂φ ∂u = 1,0,_√ u u2₊_v2 , ∂φ ∂v = 0,1,_√ v u2₊_v2

y el vector normal es el producto vectorial de ambos:

1,0, u √ u2+v2 ×0,1, v √ u2+v2 = ı  k 1 0 √ u u2+v2 0 1 v √ u2+v2 =₋ u √ u2+v2,− v √ u2+v2,1

(8)

En los puntosφ1(4,0) = (4,0,4), φ1(₋4,0) = (₋4,0,4) y φ1(0,₋4) = (0,₋4,4) los vectores normales son

Si consideramosφ2 : [2,5]_×[0,2π]_→R3 _con_φ₍_{r, θ}_{) = (}_r_cos_{θ, r}_sen_{θ, r}_),

calcu-lamos sus derivadas parciales:

∂φ

∂r = (cosθ,senθ,1), ∂φ

∂θ = (−rsenθ, rcosθ,0)

y el vector normal es el producto vectorial de ambos:

(cosθ,senθ,1)_×(₋rsenθ, rcosθ,0) =

ı  k cosθ senθ 1 −rsenθ rcosθ 0 = (₋rcosθ,₋rsenθ, r) En los puntosφ2(4,0) = (4,0,4),φ2(4,₋π) = (₋4,0,4) yφ2 4,₋π 2 = (0,₋4,4) los vectores normales son

En un punto regular siempre hay dos vectores normales. Geométricamente es muy intuitivo que si encontramos un vector normal, otro vector con la misma dirección y sentido contrario también es normal a la superficie. Otra forma de verlo es darse cuenta de que, tendiendo a la definición, calculamos el vector normal mediante un producto vectorial, pero éste no es conmutativo, y si cam-biamos el orden de los factores obtenemos otro vector de la misma dirección y módulo, pero sentido contrario, pero que sigue siendo normal al plano tangente.

(9)

Para poder establecer una orientaci´on hay que elegir entre un vector normal. Pero no en todas las superficies es posible elegir un vector normal de forma continua.

Banda de Moebius Cilindro

Estas superficies (v´ease ejemplo de la banda de Moebius) se denominan no orientables o de solo una cara. Si la superficie es orientable (v´ease ejemplo del cilindro), el sentido del vector normal se conserva. Trabajaremos con superificies orientables.

Si dos parametrizaciones de una superficie s dan lugar a vectores normales opuestos diremos que tienendistinta orientaci´on. Si dan lugar al mismo vector normal unitario, se dice que tienen lamisma orientaci´on.

A pesar de que una parametrización u otra proporcione distintas orientaciones y que para una puedan aparecer puntos singulares que no existen para la otra, no hay una “regla general” para decidir cuál es mejor, dependerá de lo que pretendamos hacer con ella.

Ejemplo.- Sea S la esfera de radio 2 y centro en el punto Ω = (1,2,3) y

calculemos su vector normal en el puntoP = (3,2,3). Una parametrizaci´on de

S es φ: [0,2π)_× − π2, π 2 → R3

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En primer lugar tenemos que ver c´omo se expresa el punto P mediante esta parametrizaci´on. Si φ(θ0, ϕ0) = (3,2,3), entonces:

2 cosθ0cosϕ0+ 1 = 3 2 cosθ0cosϕ0= 2 cosθ0cosϕ0 = 1 2 senθ0cosϕ0+ 2 = 2 _⇒ 2 senθ0cosϕ0= 0 _⇒ senθ0cosϕ0 = 0 2 senϕ0+ 3 = 3 2 senϕ0= 0 senϕ0 = 0 De la tercera coordenada deducimos que ϕ0 = 0, as´ı que sustituyendo en la primera y la segunda ecuaci´on:

cosθ0cos 0 = 1 senθ0cos 0 = 0 ⇒

cosθ0 = 1

senθ0 = 0 ⇒θ0= 0 As´ı queP =φ(0,0).

Calculamos las derivadas parciales de la parametrizaci´on:

∂φ

∂θ(θ, ϕ) = (−2 senθcosϕ,2 cosθcosϕ,0) ∂φ

∂ϕ(θ, ϕ) = (−2 cosθsenϕ,−2 cosθsenϕ,2 cosϕ)

Si calculamos el producto vectorial de las derivadas parciales obtenemos el vactor normal para cualquier puntoφ(θ, ϕ), pero como no nos interesa el vector genérico, sino sólo el vector en el puntoP =φ(0,0), lo que haremos es calcular el valor de las derivadas parciales en (0,0) y hacer el producto vectorial del resultado, que es más sencillo de calcular que en general:

∂φ

∂θ(0,0) = (0,2,0), ∂φ

∂ϕ(0,0) = (0,0,2)

y el vector normal es:

(0,2,0)_×(0,0,2) = ı  k 0 2 0 0 0 2 = (4,0,0)

normalizando este vector obtenemos n= (1,0,0).

Ejemplo.- SeaS parametrizada como

φ: R×[0,2π) _→ R3

(u, v) _7→ (ucosv, usenv, u) y calculamos su vector normal en el punto P = (1,0,1).

(11)

Los primero será encontrar la expresión deP respecto a esta parametrización:

φ(u0, v0) = (u0cosv0, u0senv0, u0) = (1,0,1)

de la ´ultima coordenada deducimos queu0 = 1, as´ı que cosv0 = 1 y senv0= 0, por tantov0 = 0, es decir P =φ(1,0).

Calculamos las derivadas parciales:

∂φ

∂u(u, v) = (cosv,senv,1), ∂φ

∂u(u, v) = (−usenv, ucosv,0)

Como en el ejemplo anterior, al interesar solamente el vector en el punto P, podr´ıamos calcular el valor de las derivadas parciales en (1,0) y trabajar con eso. Vamos a hacerlo de la otra forma, y es hacerlo para cualquier punto y sustituir en la expresi´on general del vector:

∂φ ∂u(u, v)× ∂φ ∂v(u, v) = ı  k cosv senv 1 −usenv ucosv 0

= (₋ucosv,₋usenv, ucos2_v

+usen2_v

) = (₋ucosv,₋usenv, u(cos2_v_{+ sen}2_v₎₎

= (₋ucosv,₋usenv, u)

Este vector no tiene por que ser unitario, as´ı que lo normalizamos:

||(₋ucosv,₋usenv, u)_|| =p

(₋ucosv)2_{+ (}₋_u_sen_v₎2₊_u2

=pu2_(cos2_v_{+ sen}2_v_{) +}_u2

=√u2₊_u2 ₌√₂_u2 ₌_u√₂

el vector normal en general ser´a:

n= (−ucosv,−usenv, u) u√2 = −cos√v 2 ,− senv √ 2 , 1 √ 2 para el puntoP =φ(1,0): n(1,0) = −cos 0√ 2 ,− sen 0 √ 2 , 1 √ 2 = − √1 2,0, 1 √ 2

PLANO TANGENTE

Aunque ya lo hemos introducido de forma informal, definimos ahora el plano tangente:

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Definici´on.-Se llama plano tangente a la superficieS en un punto regularP0, al plano que pasa porP0 y es ortogonal al vector normal.

Dada la parametrizaci´on φ(u, v) y un punto de la superficieP0 = (x0, y0, z0) =

φ(u0, v0), las derivadas parciales de la parametrización en el punto nos propor-cionan dos vectores tangentes a la superficie en P0, es decir, dos vectores con-tenidos en el plano tangente, que además no son proporcionales y con dos vec-tores no proporcionales de un plano y un punto, podemos construir la ecuación del plano. La ecuación del plano tangente en P0 es:

TpS≡ x₋x0 y₋y0 z₋z0 ∂x ∂u(u0, v0) ∂y ∂u(u0, v0) ∂z ∂u(u0, v0) ∂x ∂v(u0, v0) ∂y ∂v(u0, v0) ∂z ∂v(u0, v0) = 0 (1)

Si la superficie está expresada mediante una ecuación impl´ıcita F(x, y, z) = 0, el gradiente nos da un vector proporcional al vector normal, es decir, un vector perpendicular al plano, y con un vector perpendicular a un plano y un punto, podemos calcular también la ecuación del plano. Laecuación del plano tangente en el puntoP0 = (x0, y0, z0) es:

TpS ≡(x−x0) ∂F ∂x(P0) + (y−y0) ∂F ∂y(P0) + (z−z0) ∂F ∂z(F0) = 0 (2)

Ejemplo.-Calculemos la ecuación el plano tangente en un puntoP = (x0, y0,0) del plano coordenadoxy. Una ecuación impl´ıcita del mismo esz= 0 y hab´ıamos visto que el vector normal para esta ecuación en cualquier punto de la superficie es (0,0,1).

Usamos la ecuaci´on (2):

(x₋x0)_·0 + (y₋y0)_·0 + (z₋0)_·1 = 0_⇒z= 0

es decir, el plano tangente coincide con el plano coordenado del que part´ıamos. En general, siempre que la superficie sea un plano, el plano tangente en cada punto coincidir´a con el plano de partida.

Si consideramos la parametrizaci´on φ : R2 → R3, φ(u, v) = (u, v,0), sus derivadas parciales eran:

∂φ

∂u = (1,0,0), ∂φ

(13)

y el plano tangente, usando la ecuaci´on (1) llegamos al mismo resultado: TPS≡ x₋x0 y₋y0 z₋0 1 0 0 0 1 0 =z= 0

Ejemplo.- Calculamos el plano tangente a la esfera de radio 2 y centro en el

punto Ω = (1,2,3) en el puntoP = (3,2,3).

Hab´ıamos visto que el vector normal en P es (1,0,0). Usando la ecuaci´on (2) para calcular el plano tangente tenemos:

(x₋3)_·1 + (y₋2)_·0 + (z₋3)_·0 = 0_⇒x₋3 = 0 el plano tangente es el plano verticalx= 3.

Ejemplo.-Calculamos el plano tangente en el puntoP = (1,0,1) de la super-ficieS parametrizada comoφ:R×[0,2π)_→R3,φ(u, v) = (ucosv, usenv, u). Hab´ıamos visto que las derivadas parciales son:

∂φ

∂u(u, v) = (cosv,senv,1), ∂φ

∂u(u, v) = (−usenv, ucosv,0)

(14)

ecuaci´on: TPS ≡ x₋x0 y₋y0 z₋z0 cosv0 senv0 1 −u0senv0 u0cosv0 0 = (y₋y0)(₋u0senv0) + (z₋z0)u0cos2_v0_{+ (}_z −z0)u0sen2_v0 − −(x₋x0)(u0cosv0) = ₋u0cosv0(x₋x0)₋u0senv0(y₋y0) +u0(z₋z0) = 0

para calcular el plano en el punto P = (1,0,1) =φ(1,0) basta con sustituir en la ecuaci´on general que acabamos de calcular:

−1_·cos 0(x₋1)₋1_·sen 0(y₋0) + 1_·(z₋1) = 0

−(x₋1) + (z₋1) = 0

−x+z= 0

RECTA NORMAL

Tambi´en con el vector normal se puede construir una recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano tangente:

Definici´on.-Se llama recta normal a la superificie S enP0 a la recta que pasa por P0 y tiene vector director el vector normal.

(15)

Si el vector normal esn= (n1, n2, n3), las ecuaciones param´etricas de la recta son:            x=x0+n1t y=y0+n2t z=z0+n3t

Nota.-Como a la hora de construir una recta el hecho de que el vector director que tomemos sea unitario o no, no es relevante, dado que lo único que nos interesa de él es su dirección, en realidad para calcular la recta normal no nos hará falta el vector normal. As´ı, si la superficie está dada mediente una ecuación impl´ıcitaF(x, y, z) = 0, nos basta con sus derivadas parciales:

                   x=x0+∂F ∂x(P0)t y=y0+∂F ∂y(P0)t z=z0+∂F ∂z(P0)t

Ejemplo.-La recta normal al plano coordenadoxyen cualquier punto (x0, y0,0). Ten´ıamos que su gradiente era_∇F(x, y, x) = (0,0,1), as´ı que la recta es:

   x=x0+ 0_·t y=y0+ 0_·t z= 0 + 1_·t ⇒    x=x0 y=y0 z=t

Las ecuaciones impl´ıcitas sonx=x0, y =y0.

Ejemplo.- La recta normal a la esfera de radio 2 y centro en el punto Ω =

(1,2,3) en el punto P = (3,2,3).

El vector normal es (1,0,0), as´ı que las ecuaciones param´etricas de la recta son:

   x= 3 + 1_·t y= 2 + 0_·t z= 3 + 0_·t ⇒    x= 3 +t y= 2 z= 3 y las ecuaciones impl´ıcitas sony= 2, z= 3.

(16)

Ejemplo.-Recta normal a la superficieSparametrizada comoφ:R×[0,2π)_→ R3_,_φ₍_{u, v}_{) = (}_u_cos_{v, u}_sen_{v, u}_{) en el punto} _P _{= (1}_,₀_,_1).

Puesto que el vector normal tiene denominadores y ra´ıces, para simplificar el cálculo tomaremos un vector proporcional a él pero más sencillo, por ejemplo (₋1,0,1).    x= 1₋1_·t y= 0 + 0_·t z= 1 + 1_·t ⇒    x= 1₋t y= 0 z= 1 +t ´

Estas son las ecuaciones param´etricas. Si queremos encontrar las impl´ıcitas, despejamos el par´ametrot:

t= 1₋x _⇒ z= 1 + (1₋x) = 2₋x _⇒ x+z= 2 las ecuaciones impl´ıcitas son:

x+z= 2

y = 0

A continuación veremos dos tipos de superficies especiales. Por un lado las superficies de revolución, que se generan al girar una curva en torno a un eje, y por otro lado las superficies de traslación, generadas al deslizar una curva sobre otra con la que se corta. Veremos cómo construir las ecuaciones de estos tipos de superficie a partir de las de las curvas que las generan.

Finalmente introduciremos las curvas sobre una superficie. Aunque no lo ver-emos, el estudio de las curvas contenidas en una superficie proporciona mucha informaci´on sobre ´esta. En particular, las curvas coordenadas permiten tratar una superficie de forma similar a un plano, con lo que se facilita su manejo.

SUPERFICIES DE REVOLUCI ´

ON

Definici´on.- Unasuperficie de revoluci´on S es una superficie engrendada por una curva Γ que gira entorno a un eje E.

Definici´on.- Cada punto de Γ describe una circunferencia en el plano

perpen-dicular al eje, estas circunferencias se llaman paralelos.

Las curvas obtenidas de la superficie de revoluci´on al cortar con planos que contengan al eje se llaman meridianos.

(17)

Meridiano

Paralelo

Curva

Eje

Supondremos que la curva Γ no tiene puntos m´ultiples y que no corta al eje de giroE, aunque en realidad hay superficies de revoluci´on donde la curva s´ı corta al eje, como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo.-Girando la recta de ecuaciones impl´ıcitas x=z, y= 0 en torno al

ejezobtenemos el cono x2+y2 =z2.

Ecuaci´on de una superficie de revoluci´on.

Si el ejeE es una recta que pasa por el punto P0 = (x0, y0, z0) en la direcci´on del vectorv= (v1, v2, v3) y la curva generatriz es:

Γ_≡

f1(x, y, z) = 0

f2(x, y, z) = 0

La superficieS se puede pensar como un conjunto de circunferencias, cada una de las cuales:

(18)

1) tiene su centro en el eje, 2) se apoya en Γ,

3) est´a contenida en un plano perpendicular al eje.

Atendiendo a estos tres hechos, un punto gen´erico (x, y, z) de la superficie de revoluci´on S cumple que:

1) por pertenecer a una circunferencia de centro un punto (x0, y0, z0) del eje: (x₋x0)2+ (y₋y0)2+ (z₋z0)2=R2

2) por estar la circunferencia en un plano perpendicular a E, el vector de posici´on del

punto y el vector director del eje forman un ´angulo constante:

v1x+v2y+v3z=λ

3) por pertenecer a la curva Γ, anulas las ecuaciones impl´ıcitas de ´esta:

f1(x, y, z) = 0

f2(x, y, z) = 0

A partir de estos tres hechos se puede establecer una relaci´on entreR2

yλ. Esta relación vendrá expresada mediante una cierta función, llámese F(R2, λ) = 0. Sustituyendo en esta función R2 _y_λ_{, obtenemos una ecuación impl´ıcita de} _S_:

F(x, y, z) =F((x₋x0)2

+ (y₋y0)2

+ (z₋z0)2

, v1x+v2y+v3z) = 0

Ejemplo.- El cilindro se obtiene girando en torno al eje una recta paralela a

´el.

Tomemos como eje la recta que pasa por el punto (0,0,0) en la direcci´on del vector (0,0,1) (e.i., el eje OZ) y como curva la recta de ecuaciones impl´ıcitas

(19)

x y z

Atendiendo a las tres condiciones vistas, un punto (x, y, z) de la superficie cumple: (x₋0)2 + (y₋0)2 + (z₋0)2 =R2 0_·x+ 0_·y+ 1_·z=λ x= 0 y= 2        ⇒ x2+y2+z2 =R2 z=λ x= 0 y= 2       

Sustituimos las tres últimas condiciones en la primera para obtener la relación entre los parámetros R2 _y_λ_:

4 +λ2 =R2_⇒F(λ, R2) = 4 +λ2₋R2 = 0 sustituimos ahoraλyR2

:

F(x, y, z) = 4 +z2₋(x2+y2+z2) = 4₋x2₋y2 = 0 de donde obtenemos la ecuaci´on del cilindro: x2₊_y2 _{= 4.}

Ejemplo.- El toro circular se obtiene girando una circunferencia en torno al

eje.

Tomemos como eje la recta que pasa por el punto (0,0,0) en la direcci´on del vector (0,0,1) y como curva la circunferencia contenido en el plano y = 0, de centro en (a,0,0) y radio b, siendoa > b >0.

(20)

a b

Atendiendo a las tres condiciones vistas, un punto (x, y, z) de la superficie cumple: (x₋0)2 + (y₋0)2 + (z₋0)2 =R2 0_·x+ 0_·y+ 1_·z=λ y = 0 (x₋a)2₊_z2 ₌_b2        ⇒ x2 +y2 +z2 =R2 z=λ y= 0 (x₋a)2₊_z2 ₌_b2       

sustituyendo z=λe y= 0 en la otra ecuaciones:

x2 +λ2 =R2 (x₋a)2 +λ2 =b2

despejamos la x de una de la primera ecuaci´on y la llevamos a la segun-da,obtenemos la relaci´on entre λyR2

:

p

R2₋_λ2₋_a2

+λ2 =b2

por ´ultimo, encontramos la ecuaci´on del toro al sustituir λ = z y R2 = x2+

y2₊_z2 p (x2₊_y2₊_z2₎ −z2 −a2 +z2 =b2 p x2₊_y2₋_a2 +z2 =b2

SUPERFICIES DE TRASLACI ´

ON

Consideramos dos curvas:

Γ1 ≡ γ(u) = (x(u), y(u), z(u))

(21)

que se cortan en un puntoP = (x0, y0, z0).

Al deslizar una de las curvas a lo largo de la otra se genera una superficie: Definici´on.- La superficie de traslaci´on de directriz la curva Γ1 y generatriz

la curva Γ2 es la superficie formada al trasladar Γ2 paralelamente a s´ı misma

cuandoP0 recorre Γ1.

Ecuación paramétrica de una superficie de traslación.

Consideramos un puntoQ de la curva Γ2. Al trasladar esta curva a lo largo de

Γ1, el punto P0 va a otro punto P y el punto Q va al puntoR. Entonces, los

vectores−−→P0Qy−→P Rson el mismo. Pero estos vectores se obtienen como diferencia de los vectores de posici´on de los puntos inicial y final de cada vector, as´ı que tenemos:

−−→ P0Q=−→P R −−→

OQ₋−−→OP0 =−−→OR₋−−→OP

El puntoRes un punto genérico de la superficie, as´ı que en definidas cuentas lo que queremos es conocer la expresión de R. Despejamos su vector de posición:

−−→ OR=−−→OP +−−→OQ₋−−→OP0 R Γ1 Q P P0 0 2 Γ

El vector de posición de un punto tiene las mismas coordenadas del punto. Las coordenadas deP, como es un punto de Γ1, las proporciona la parametrización γ, las coordenadas deQ, como es un punto de Γ2, se obtienen de la parametrización γ∗ _{y las de}_P0 _{son conocidas, as´ı que:}

−−→

(22)

as´ı que las ecuaciones param´etricas son:    x=x(u) +x∗₍_v₎₋_x0 y=y(u) +y∗₍_v₎₋_y0 z=z(u) +z∗₍_v₎₋_z0

Nota.- A la hora de tomar la directriz y la generatriz, en realidad son

in-tercambiables pues vemos que en la ecuaciones param´etricas de la superficie intervienen de forma id´entica.

Ejemplo.- El cilindro se obtiene trasladando una circunferencia a lo largo de

una recta normal a ella que la corte.

Tomamos por ejemplo la circunferencia de ecuaciones x2+y2 = 1, z= 0. Una parametrizaci´on de ella esγ∗₍_t_{) = (cos}_t,_sen_t,_0).

Como directriz tomamos la recta x = 1, y = 0. Una parametrizaci´on de la misma es γ(t) = (1,0, t).

La intersecci´on de ambas es el punto (1,0,0). La superficie de traslaci´on es:

   x= 1 + cosv₋1 y= 0 + senv₋0 z=u+ 0₋0 ⇒    x= cosv y= senv z=u

El caso del cilindro demuestra que una misma superficie puede ser a la vez de revoluci´on y de traslaci´on.

Ejemplo.- El paraboloide el´ıptico se obtiene trasladando una par´abola a lo

largo de otra a la que corte perpendicularmente.

Movemos por ejemplo la par´abola Γ2 de ecuaciones impl´ıcitas z = x2, y =

0 a lo largo de la par´abola Γ1 de ecuaciones impl´ıcitas z = y2, x = 0. Las

parametrizaciones son:

γ∗₍_t_{) = (}_t,₀_{, t}2₎

(23)

Γ1

Γ2

El punto de intersecci´on es el (0,0,0). La superficie de traslaci´on es:

   x= 0 +v₋0 y=u+ 0₋0 z=u2+v2₋0 ⇒    x=v y=u z=u2+v2

CURVAS SOBRE SUPERFICIES

Una superficie contiene muchas curvas distintas. Si tenemos una curva, ésta estará contenida en la superficie si los puntos de la curva verifican las ecuaciones de la superficie. Pero si la superficie está dada en forma paramétrica, tenemos dos parámetros, mientras que la parametrización de la curva sólo depende de un parámetro. Esto se soluciona poniendo en relación los parámetros de la superficies para los puntos de la curva, lo que lleva a la siguiente definición. Definición.- Una curva sobre una superficie S parametrizada por φ(u, v) es cualquier relación ϕ(u, v) = 0 entre los parámetros.

Ejemplo.-Consideramos el cilindro de radio 1, parametrizado como:

φ(u, v) = (cosu,senu, v).

Tomamos como relaci´on entre los par´ametros ϕ(u, v) = u +v ₋1, as´ı que

ϕ(u, v) = 0 implica que v= 1₋u. Sustituimos en la parametrizaci´on y obten-emos la parametrizaci´on de la curva:

γ(u) = (cosu,senu,1₋u) que es la parametrizaci´on de una h´elice.

(24)

Dentro de todas las curvas que puede contener una superficie, destacan las siguientes:

Definici´on.-Lascurvas coordenadas deS con respecto a una parametrizaci´on

φ(u, v) son dos familias de curvas obtenidas cuando u = constante ´o v =

constante.

Ejemplo.- Consideramos la esfera de radio unidad x2₊_y2 ₊_z2 _{= 1 con la}

parametrizaci´on usual:    x= cosucosv y= senucosv z= senv

Vamos a ver que las curvas coordenadas son los paralelos y los meridianos usuales de una esfera.

Haciendou=cte:

x=Acosv y=Bcosv z= senv

En el planoBx=Ay tenemos la relaci´on: cos2v+ sen2v= 1,₋π

2 ≤v≤

π

2

Es decir, obtenemos semicircunferencias de ra-dio 1.

u z

y x

(25)

Haciendov=cte:

x=Acosu y=Asenu z=B

Es la intersecci´on de la esfera con el planoz=

B, que es una circunferencia de radio A.

z

y x

z=B A