Tema 2 ejercicios

MATEMÁTICAS 2 EJERCICIOS TEMA 2 CURSO 2006/07

1. ¿Es correcto definir recta tangente a una curva C en uno de sus puntos P como aquella recta que tiene únicamente el punto P común con C? Aclara tu respuesta con un ejemplo.

2. La recta tangente a una curva en un punto, ¿puede cortar a la curva en otro? Si la

respuesta es afirmativa pon un ejemplo.

3. Si dada la ecuación de una curva se conoce la inclinación de una de sus rectas

tangentes, ¿es posible hallar las coordenadas del punto de tangencia? Razónalo y aplícalo al caso siguiente: _{y x=} 2_{, inclinación 45º.}

4. Calcula mediante la definición de derivada de una función en un punto, las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a.f x( ) 5

x

= − ; f’(1) b.g x( )= x +3; g’(6) c.h x( )=

(

2x −1

)

2; h’(2)

5. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva _{y =2x}3_{+x en el origen}

6. Halla los valores de a y b para los cuales la recta tangente a la curva _{y x=} 2_{+ax b+ en}

el punto P(2,3) tiene pendiente 2.

7. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en x = 0

8. Calcular las derivadas de las funciones siguientes: a. _{y =ln(cos )x +x e·} 2x

b. y =(4x +2)· 4x −2

c. 1

1

x y arctg

x

−

 

= _{ }

+

 

d.

2 2

x y

a x

= −

e.

2

1 ln

1 ₁

x x

y arcsen

x _x

 

−

 

= _{ +} _+  

−

 

9. Determinar la derivada de las siguientes funciones: a. _{y =(senx)}2cosx

b. _{y x x= +} x

c. _{y =}

(

_x2₊₁

)

3x

d. _x2_{−2xy y+} 2 ₌₀

e. _x3_{+3x y}2 _+3xy2_+y3 ₌₁

f. _{ln x}2 _y2 _arctg y

x

 

+ = _{ }

10. Calcula las derivadas sucesivas que se indican

a. _{f x( ) 2=} 3x _{f’’’(x)}

b. ( ) 2

1 g x

x

=

− g

iv)_(x)

c. h x( ) ln(= x +2) h5)_(x)

d. f x( )=sen x3 f10)_(x)

11. Hallar a y b para que la función

2

2 1

( ) 1 0

3 2 0

x a x

f x ax b x

x x

 + < −



=_ + − ≤ <

 _{+ ≤}



; sea continua. Para esos

valores de a y b, estudiar la derivabilidad de f. 12. Estudiar la derivabilidad de la función ( )f x =x x·

13. Consideremos la función

2 ₀

( ) _{ln(1 )}

0

x bx c x

f x _x

x x

 + + ≤

 =  +

>

 . Determina los valores de b y c

para que sea continua y derivable.

14. Estudiar la derivabilidad de la función ( )

1 x

f x = _x

+ ; obtener también su derivada

segunda

15. Analiza la continuidad y derivabilidad de la función:









> −

≤ −

=

2 )

1 ln(

2 )·

2 (

x x

x x

e x y

16. Halla a y b para que la siguiente función sea derivarle en x = 0







> +

+ −

≤ =

0 0

2 _{ax b x}

x

x senx

y

17. Calcular los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función

3 ₃

y x= − x señalar el máximo y el mínimo, si los hubiera.

18. Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la función

3 2

( ) 6 9

f x =x − x + x , señalando, asimismo, los puntos de inflexión.

19. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva _{y x=} 3_−6x2_{+16x +11 en su punto de}

inflexión.

20.Estudia el crecimiento de la función f x( ) 2x2 _x3x

e

−

= . Determina, si existen, sus

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21. La primera gráfica corresponde a la función derivada de f(x), calcula la expresión

analítica de f’(x) e indica cuál de las gráficas, A B o C se corresponde con f(x)

22.Las gráficas siguientes representa la derivada de una función, señala todo lo que sepas de la función f(x).

23.Representar las funciones siguientes, indicando, al menos, el dominio, asíntotas,

intervalos de monotonía:

a. 2

2

x y

x

= −

b. _{y x= + x}2₋₁

c. _{y =ln(x}2₋₄₎

d. _{y x e=} · x1

e.

1

x

e

y = _x

−

f.

(

)

2

1 ₀

ln ₀

x _x

x y

x _x

x

 +

< 

= 

 _>



24. Halla los coeficientes a, b, c y d de la función _{f x( )=ax}3_+bx2_{+cx d+ sabiendo que la}

ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de inflexión (1,0) es paralela a y = -3x+5, y que la función tiene un extremo relativo para x = 0.

25. De la función _{f x( )=x}3_+ax2_{+bx c+ se sabe que f(1) = 1, f’(1) = 0, y que f no tiene extremo}

relativo en x = 1. Calcula a, b y c.

26.Halla el Valor de a, b y c para que la función _{f x( )=ax}2_{+bx c+ tenga un mínimo relativo en el}

punto (6,-12) y se anule para x = 8.

27. Descomponer el número 48 en dos sumando tales que el quíntuplo del cuadrado del primero

más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínimo.

28. Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior ha sido sustituido por un

triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m., halla sus dimensiones para que su superficie sea mínima.

29. Una plaga de roedores varia de acuerdo a la siguiente función, en la que x representa el

tiempo medido en días.

10 6 3000

2 _{− +}

=

x x y

a. Calcula en qué momento hay más roedores cuantos hay b. Calcula cuando crece la población y cuando disminuye.

30. En una población se ha producido una epidemia. El número de personas que hay enfermas cada día viene dado por la siguiente función: f(n) = −n2 +32n +144, donde n representa el número de días que transcurren desde que se descubrió la epidemia:

a. ¿Cuántas personas enfermas hay al tercer día?

b. ¿En qué día hay más personas enfermas?

c. ¿En qué día empezó la enfermedad?

d. En qué día termina la enfermedad?

e. ¿En qué días aumenta el número de enfermos?

f. ¿En qué días disminuye el número de enfermos a razón de 10 personas por día?

31. Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 _{y va a ser vallado. El precio del metro lineal de}

valla es de 4€, pero un lado esta a lo largo de un río y requiere una valla más costosa de 5€. ¿qué dimensiones darán el costo mas bajo?

32.Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que : el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesitan exactamente 1248 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible.

33. Una arquitecta quiere construir un jardín rectangular en un terreno circulas de 100 metros de lado. Halla las dimensiones de dicho jardín para que el área sea máxima.

34. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa solo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas y el cuadrado del numero de alarmas instaladas de tipo B. ¿cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?

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36.Resuelve los límites siguientes determinando previamente el tipo de indeterminación al que pertenecen a.

x

x

x

)

1

ln(

lim

0

+

→ b.

x

senx

x ₂

cos

2

1

lim

−

→π c.

x

x

x

x

x

x

4

4

16

8

lim

₃4 ₂2

2

−

+

+

−

→ d. ₂ 0

1

lim

x

e

x

x x

−

+

→ e.













₋

→

x

senx

x

1

1

lim

0 f. 3 2

1

1

lim

+ ∞ →













−

+

x x

x

x

g.

x

x x x

2

3

lim

0

−

→ h.

senx

x

tgx

x

x

−

−

→0

lim

i.

1

1

lim

₂3

1

−

−

→

x

x

x

j.

lim

3

₃

x

x x − −∞ → k.

_











₋

+

→

x

x

x

1

)

1

ln(

1

lim

0

l.

lim

⋅

(

5

1

−

1

)