El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es. n = esperanza matemática de X

(1)

Momentos

El momento k-ésimo para una variable aleatoria discreta respecto del origen, es

( )

k i i 1

E(x)

x .p x

n i=

=

∑

El primer momento centrado en el origen (k=1) es la El primer momento centrado en el origen (k=1) es la

esperanza matemática de X

También se definen momentos alrededor de cualquier punto fijo, en particular, alrededor de E(X)

(

)

2

E x

( )

µ

=

−

El momento de 2do orden centrado en la esperanza, es la varianza de X.

(2)

Momento de 3er orden centrado en

E(x)

(

)

3

E x

µ

=

−

µ

Para determinar la asimetría de la distribución :

3 3

As

µ

σ

=

Si As > 0 , Hay asimetría derecha.

Si As < 0 , Hay asimetría a izquierda

3

As

σ

=

Si As < 0 , Hay asimetría a izquierda Si As = 0. Hay simetría.

Para determinar el grado de agudeza o curtosis:

4 4

K

µ

σ

=

Si K= 3 , mesocúrtica. Si K>3 , leptocúrtica. Si K< 3 , platicúrtica.

(3)

Observaciones

Los momentos de mayor orden son sólo de interés teórico.

En la mecánica elemental, los momentos están asociados con las propiedades físicas de cuerpos de masa.

El 1er momento con respecto al origen está relacionado con el El 1er momento con respecto al origen está relacionado con el centro de gravedad y el 2do momento con respecto al centro de

gravedad es el momento de inercia.

Otras características numéricas:

Modo: Mo es el valor de x para el cual f(x) toma su valor máximo. (Si la fdp tiene un solo máximo).

(4)

Mediana

Es el valor de X para el cual

1 1 1 ( ) ( ) f(x)dx ( ) 2 2 2 e m e e e P X m P X m ó P X m −∞ < = ⇒ −∞ < < =

∫

= ≥ =

Ejercicio: hallar la me de la variable X tal que

2

s i o < x

1

2 ( )

s i 1 < x

2

3 0 s i x > 2

x

f x



_≤



=



≤





(5)

Algunas distribuciones estadísticas

teóricas

• En este capítulo presentamos modelos

especiales de probabilidades.

• Reconocer dichos modelos nos ayudan a

predecir la conducta de futuras

repeticiones de un experimento y además

al tener fórmulas matemáticas precisas

para varias situaciones, los cálculos de

probabilidades que intervienen pueden

reducirse a operaciones corrientes.

(6)

Distribución de Bernoulli

Experimento de Bernoulli: sólo son posibles dos

resultados: éxito o fracaso. Podemos definir una

variable aleatoria discreta X tal que:

x

i

P(x

i

)

1 (éxito)

p

0 (fracaso) q=1-p

1 0 ( ) ( 1) ( 0) 1 1 x P X x P X P X p p = = = = + = = + − =

∑

Se verifican las propiedades:

( )

_i

0 P x

≥

(7)

El modelo Binomial

• Una variable binomial puede considerarse como la

suma de _n variables de Bernoulli independientes.

• Cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente en cada

prueba. prueba.

Definición : Se dice que X es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p si su

distribución de probabilidades está dada por:

(

)

X b (n ,p ) P (x = k )= n p k . 1 p n k k −   −     ∼

(8)

Demostrar que la variable aleatoria

binomial es una legítima distribución

de probabilidad.

(

)

0 0

P(x=k)

.

. 1

n n n k k k k

n

p

k

− = =

 

=

_{ }

−

=

 

∑



_

p

+

(

1-p

)



_

n

=

1

Para identificar el modelo binomial:

Por binomio de Newton

Para identificar el modelo binomial: • Hay n repeticiones independientes.

• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso A o su contrario.

•La probabilidad de A es p, constante en cada prueba. Newton

(9)

Ejemplos de variable binomial

Ejemplos Variable X Lanzar una moneda 10 veces.

Hallar la probabilidad de que se obtengan 3 caras.

Nro de caras obtenidas Se analizan 18 muestras de aire y se sabe que la

probabilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara es 0,1

Nro de muestras de aire con molécula rara es 0,1

Hallar la probabilidad de que a lo sumo 2 muestras de aire contengan una molécula rara.

de aire con esa

molécula rara. Se administra a 30 pacientes que padecen una

enfermedad, un medicamento con el cual tienen una probabilidad de 0,35 de experimentar una mejoría.

Nro de pacientes mejorados Un examen de opción múltiple contiene 20 preguntas, cada

una con cuatro opciones, y se pide a un alumno que resuelva el examen sin haber estudiado.

Hallar la probabilidad de contestar bien 4 o 5 preguntas.

Nro de respuestas

(10)

Características numéricas de la

variable binomial X

Demostrar que si x es binomial,

E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p)

Del ejemplo anterior, calcular el número

de pacientes esperado que experimentan

(11)

Variable aleatoria

Hipergeométrica

Ejemplo:

La producción diaria de 850 partes contiene 50

que no cumplen con los requerimientos del

cliente. Se toman 4 partes al azar, sin

sustitución, de la producción del día y se

cliente. Se toman 4 partes al azar, sin

sustitución, de la producción del día y se

define la siguiente variable aleatoria

X: “ número de partes que no cumplen con los

requerimientos del cliente.”

(12)

Ejercicio:

Calcular la probabilidad de que 2 partes no

cumplan con los requerimientos.

Contamos con: N = tamaño de la población.

k elementos poseen cierta característica (no cumplir con los requerimientos)

N-k elementos no poseen cierta característica

n-x es el número de elementos del tipo de N-k

X es el nro de elementos del tipo de k en n extracciones sin reposición

(13)

Variable aleatoria

Hipergeométrica

Una variable hipergeométrica es generada según las condiciones siguientes:

• n pruebas no independientes.

• El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario. • El resultado de cada prueba es dicotómico: A o su contrario. •La probabilidad del suceso A no es constante, varía en cada prueba.

Definición: Se dice que X es una variable aleatoria

hipergeométrica con parámetros N, n y k, si su distribución de probabilidades está dada por:

P ( X = x ) N k k n x x N n −         −     =      

(14)

Esperanza y varianza de una variable

hipergeométrica.

( )

k

E X

n

N





=

_

_





( )

k

1 k

N

n

V x

( )

=

n



_



_

1 −



_

−



_

1 k

k

N

n

V x

n

N

−







=

_

_

−

_

_

−







(15)

Variable aleatoria de Poisson

Ejemplo:

Las fallas superficiales de un alambre

delgado de cobre se presentan de manera

aleatoria.

X es el número de fallas superficiales de un

alambre de cobre de longitud L mm.

El número promedio de fallas en una

longitud L mm es

(16)

Características de la distribución

de Poisson

• La longitud se puede dividir en n subintervalos.

• Si el subintervalo es lo bastante pequeño, entonces la probabilidad de que en él se tenga más de una falla es insignificante.

falla es insignificante.

• Las fallas se presentan de manera aleatoria, entonces cualquier subintervalo tiene la misma probabilidad de contener una falla.

• La probabilidad de que un subintervalo contenga una falla es independiente de la de otros subintervalos

(17)

Variable aleatoria de

Poisson

Definición: Se dice que X es una variable aleatoria de Poisson con parámetro

λ

>

0

Si su distribución de probabilidades está dada por

_X

_∼

_po

_{( )}

_λ

(

)

!

k

e

P x

k

λ

−

=

∼

Donde

λ

Es el promedio de ocurrencias en el intervalo y :

1. La probabilidad de más de una ocurrencia en el subintervalo es cero. 2. La probabilidad de una ocurrencia en el subintervalo es la misma para

todos los subintervalos y es proporcional a la longitud de éstos.

3. El número de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de los demás subintervalos.

(18)

Verificar que la distribución de Poisson es

una legítima distribución de probabilidades

0 0 0

(

)

.

1 !

!

k k k k k

e

P x k

e

e e

k

λ λ λ λ

λ

− ∞ ∞ ∞ − − = = =

=

∑

E(X) = V(x) =

λ

Ejercicio1 : Para el caso del alambre de cobre,

λ

=

2,3

es el promedio de fallas por mm, hallar P(X=2)

Ejercicio 2: Si X es Poisson, y P(x=2) =2/3 P(x=2), hallar P(x=0)

(19)

La distribución de Poisson como

aproximación de la binomial

Demostrar que

lim P(x = k) =

!

k

e

k

λ

− →∞

0 si n

→ ∞

y

p

→

λ

=

np

!

n→∞

k

Observaciones:

1) Para n tendiendo a infinito y p a cero, el suceso es raro y es una buena aproximación de la binomial a la de Poisson.

2) En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.