Modelo biomecánico del pedaleo

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(1)IM-2007-I-27. MODELO BIOMECÁNICO DEL PEDALEO. JUAN MANUEL RODRÍGUEZ PRIETO. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C. 2007.

(2) IM-2007-I-27. MODELO BIOMECÁNICO DEL PEDALEO. JUAN MANUEL RODRÍGUEZ PRIETO. Proyecto de grado para optar al título de: INGENIERO MECÁNICO. Asesor: CARLOS FRANCISCO RODRÍGUEZ HERRERA Ingeniero mecánico, PhD.. Co-asesor: ANA MARÍA POLANCO Ingeniero mecánico, MSc.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C. 2007.

(3) IM-2007-I-27. AGRADECIMIENTOS. El autor desea agradecer a: Carlos Francisco Rodríguez y Ana María Polanco, Directores del proyecto, por sus valiosas orientaciones..

(4) IM-2007-I-27. CONTENIDO pág. 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. 10. 1.1 JUSTIFICACIÓN. 10. 2. OBJETIVOS. 12. 2.1 OBJETIVO GENERAL. 12. 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS. 12. 3. SISTEMA MÚSCULO ESQUÉLETICO EN EL PEDALEO. 13. 3.1 HUESOS. 13. 3.2 MÚSCULOS. 15. 4. MODELO BIOMECÀNICO DEL PEDALEO. 19. 4.1 MODELOS BIOMECÁNICOS. 19. 4.2 PEDALEO. 20. 5. MODELOS MATEMATICOS.. 22. 5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO. 22. 5.1.1 Ecuaciones dinámicas en el planteamiento de Newton-Euler 22 5.1.2 Ecuaciones dinámicas en el planteamiento de Lagrange 22 5.1.3 Ecuaciones dinámicas en el planteamiento de Kane 23 5.1.4 Selección del planteamiento de las ecuaciones de movimiento para el pedaleo 26 5.1.5 Ejemplo del planteamiento de Kane en las ecuaciones dinámicas de movimiento de cuerpos rígidos 29 5.2 MODELO MATEMÁTICO DE LOS ACTUADORES DE FUERZA. 31. 6. MOVIMIENTO DEL CUERPO HUMANO EN EL PEDALEO. 40. 6.1 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA MANIVELA Y SU APLICACIÓN EN LA EFICIENCIA DEL PEDALEO. 40. 6.2 MODELO DE PRUEBA. 41. 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4. Configuración del mecanismo durante un ciclo de pedaleo Modelo de cinética inversa Resultados del modelo de cinética inversa. Secuencia de activación de actuadores de torque en la cadera y la rodilla.. 41 44 45 47. 6.3 INTEGRACIÓN DEL MODELO DE ACTUACIÓN MUSCULAR AL MODELO BIOMECÁNICO. 48. 6.4 EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS. 50. 6.4.1 Flexión del muslo. 50.

(5) IM-2007-I-27. 6.4.2 Pedaleo.. 53. 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. 57. 7. BIBLIOGRAFÍA. 58.

(6) IM-2007-I-27. LISTA DE FIGURAS pág.. Figura 1. Procedimiento de análisis de movimientos humano más usado en la actualidad 10 Figura 2. Análisis de movimiento del pedaleo mediante un modelo de dinámica directa 11 Figura 3. Hueso de la extremidad inferior humana 14 Figura 4. Movimientos permitidos en las articulaciones en las extremidades inferiores humanas 17 Figura 5. Modelo biomecánico del pedaleo 20 Figura 6. Esquema de un problema dinámico a resolver por el planteamiento de Kane 29 Figura 7. Curva isométrica de fuerza contra longitud del tejido muscular 32 Figura 8. Curva normalizada de fuerza contra velocidad de acortamiento 33 Figura 9. Modelo esquemático de un músculo de Hill 34 Figura 10. Esquema de la dinámica de activación 34 Figura 11. Curva típica de fuerza contra deformación normalizada para un tendón 37 Figura 12. Modelo integrado músculo-tendón con ángulo de penación 0º 37 Figura 13. Diagrama de cuerpo libre de la manivela 40 Figura 14. Configuración del modelo biomecánico 1 42 Figura 15. Configuración del modelo biomecánico 2 43 Figura 16. Configuración del modelo biomecánico 3 43 Figura 17. Modelo de dinámica inversa 46 Figura 18. Posición angular del fémur y la canilla para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m. 46 Figura 19. Velocidad y aceleración angular del fémur y la canilla para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m. 47 Figura 20. Curva de torque de actuación en la cadera y la rodilla durante el pedaleo 48 Figura 21. Método de solución del modelo integrado 49 Figura 22. Prueba de funcionamiento del modelo muscular de Hill 50 Figura 23. Activación del iliaco y el glúteo mayor durante la flexión del muslo 51 Figura 24. Flexión de la rodilla dadas las activaciones de la figura 23 52 Figura 25. Fuerza realizada por el glúteo y el iliaco en el movimiento de flexión 52 Figura 26. Ubicación de los actuadores musculares 53 Figura 27. Secuencia de activación de los músculos durante el pedaleo 54 Figura 28. Posición angular de la manivela con respecto al tiempo 55 Figura 29. Fuerza de actuación ejercida por cada uno de los músculos del modelo 56.

(7) IM-2007-I-27. LISTA DE CUADROS pág. Cuadro 1. Cuadro 2. Cuadro 3. Cuadro 4. Cuadro 5. Cuadro 6.. Movimientos permitidos por las articulaciones en las extremidades inferiores Grupos musculares de la extremidad inferior humana y sus funciones Datos antropométricos relevantes del ser humano en el pedaleo Comparación de los planteamientos de las ecuaciones de movimiento Coordenadas generalizadas que definición la ubicación de los cuerpos Propiedades de los actuadores musculares. 17 18 21 27 44 54.

(8) IM-2007-I-27. INTRODUCCIÓN. Desde la invención de la bicicleta, el pedaleo ha sido considerado como un proceso de aprendizaje mecánico que generalmente se inicia a una edad temprana, ocupando muchas veces el segundo lugar en actividades mecánicas aprendidas por el hombre después del caminar. Es tal la relevancia del pedaleo, que le ha permitido al hombre desplazarse de un lugar a otro en un tiempo más corto en comparación con el que se demoraría caminando; no obstante, algunas personas presentan algunas dificultades a la hora de realizar el movimiento del pedaleo, debido a algunas anomalías músculo-esqueléticas como las que se mencionan a continuación: deformación de nacimiento en las extremidades inferiores, pérdida de alguno de los miembros inferiores por accidente o enfermedad, pérdida o reubicación de algún músculo a causa de un accidente, o simplemente existen casos en los que se requiere de un pedaleo más eficiente, es decir, una buena relación entre la potencia de salida en el eje de la manivela con respecto a la potencia suministrada por los músculos; tal es el caso del ciclismo.. De ahí que el modelamiento dinámico de movimientos humanos, o el modelamiento de un movimiento mediante un conjunto de cuerpos rígidos unidos entre sí, que se mueven los unos con respecto a los otros y que representen adecuadamente una actividad física, es un tema que cada día interesa más a ingenieros, médicos y deportistas, debido a los grandes beneficios que se pueden obtener. Por eso, durante los últimos años se ha desarrollado gran conocimiento en áreas de estudio como el análisis de marcha y la biomecánica. Tal es el desarrollo de estos campos de estudio y su aplicabilidad, que la estimación por dinámica inversa de los momentos de actuación en una articulación y por dinámica directa del movimiento que generan las fuerzas ejercidas por cada uno de los grupos musculares en diferentes actividades físicas, entre ellas el pedaleo en una persona saludable y en una persona con patologías músculo-esquelética, se. 8.

(9) IM-2007-I-27. pueden comparar, permitiendo en gran variedad de casos diagnosticar el tratamiento a seguir para corregir tal patología y, en otros, diagnosticar la incapacidad de realizar el movimiento de las piernas en el pedaleo.. Por lo anterior, este trabajo desarrolla un modelo de dinámica inversa de la actividad física del pedaleo para precisar los momentos de actuación en la articulación de la cadera y la rodilla y, como segunda instancia, se propone un modelo de dinámica directa actuado por músculos, el cual permite estimar la fuerza que cada uno de los músculos realiza durante el ciclo o, dada la fuerza que realiza un músculo, cuál será el movimiento de las piernas.. 9.

(10) IM-2007-I-27. 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA. 1.1 JUSTIFICACIÓN La dinámica inversa es comúnmente empleada en los análisis del movimiento humano, entre ellos el pedaleo, para estimar los momentos de actuación en las. r. r. r. articulaciones ( ∑ M = Iαv ) y las fuerzas de reacción ( ∑ F = ma ) por la interacción de un cuerpo con el otro, dado que se conoce la cinemática del sistema dinámico, la cual se determina a partir de la posición adquirida experimentalmente mediante sensores de posición ubicados sobre cada uno de los cuerpos. Este procedimiento se resume en la figura 1. Figura 1. Procedimiento de análisis de movimientos humano más usado en la actualidad. Pero debido a que el movimiento de las extremidades inferiores es causado por actuadores de fuerza, donde cada uno se ellos se encuentra conformado por un tendón en serie con un músculo, el modelo dinámico que representa de una manera más real el pedaleo es uno de dinámica directa, ya que, dadas las fuerzas realizadas por los músculos, es necesario conocer cuáles serán las posiciones que tendrán cada uno de los cuerpos en el ciclo de movimiento (ver figura 2).. 10.

(11) IM-2007-I-27. Ahora, si ya se conocen cuales son las fuerzas que permiten realizar el movimiento, se puede conocer cuanta energía está siendo almacenada en el elemento elástico, es decir, en el tendón y, a la vez, se puede estimar cuanta potencia están suministrando los músculos; esto ultimo permite encontrar una condición óptima de pedaleo que maximice la relación de potencia entregada en el eje sobre la potencia suministrada, lo cual tiene un campo en el ciclismo de alto rendimiento o simplemente permitirá ampliar los puntos de comparación entre el pedaleo de una persona saludable y una persona con alguna patología, pudiéndose diagnosticar el tratamiento acertado.. Figura 2.. Análisis de movimiento del pedaleo mediante un modelo de dinámica directa. Teniendo en cuenta los anteriores argumentos, es necesario formular la siguiente pregunta: ¿Cómo desarrollar un modelo biomecánico teórico del pedaleo que permita estimar las fuerzas ejercidas por cada uno de los músculos y a la vez permita entender la coordinación muscular en la actividad física del pedaleo?. 11.

(12) IM-2007-I-27. 2. OBJETIVOS. 2.1 OBJETIVO GENERAL • Integrar al modelo teórico de dinámica directa, actuadores que representen de manera acertada el comportamiento de los músculos.. 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS • Realizar un modelo biomecánico del movimiento de las piernas en la actividad física de pedaleo. • Estudiar los modelos matemáticos que permitan resolver la dinámica del movimiento de cadena cerrada de cuerpos rígidos. • Estudiar los modelos de actuación muscular que representen de manera adecuada a los músculos y la coordinación muscular que se presenta en el pedaleo. • Realizar simulaciones por computador para solucionar las ecuaciones y a la vez desarrollar una interfase gráfica que permita la visualización del movimiento de pedaleo.. 12.

(13) IM-2007-I-27. 3. SISTEMA MÚSCULO ESQUÉLETICO EN EL PEDALEO 3.1 HUESOS 3.1.1 Funciones de los huesos que conforman las extremidades inferiores del sistema esquelético. • Soportar el cuerpo: de esta función se encargan principalmente el fémur, la tibia y el peroné. • Movimiento flexible del cuerpo (se realiza en conjunto con los músculos): se asocia generalmente con el análisis de marcha y, al igual que la función de soportar el cuerpo, se asocia con el fémur, la tibia y el peroné.. 3.1.2 Huesos que intervienen en el pedaleo. Al hacer referencia a los huesos que son relevantes en el pedaleo, se puede decir que la mayoría de los huesos del sistema esquelético intervienen, pero desde un punto de vista práctico y útil en el momento de realizar un modelo biomecánico, resulta útil asumir que sólo intervienen los que conforman el fémur, la canilla y los pies; de los cuales se hace un breve explicación a continuación: • Fémur: - Es el hueso más largo del cuerpo. - La cabeza del fémur posee un cuello, cuyo objetivo es posicionar de una mejor manera las piernas para el caminado. - En la unión del cuello y el eje del fémur hay dos protuberancias óseas (la mayor y la menor), de donde un número de músculos de la pierna son sujetados. -. El fémur en su parte inferior se separa para formar dos protuberancias esféricas que reciben el nombre de cóndilos. Dentro de estas dos protuberancias se forma un ranura donde va a ser alojada la rótula y a la vez permitirá la unión con la tibia.. • Rótula: 13.

(14) IM-2007-I-27. - Está embebida dentro del tendón cuadriceps, el cual, detrás de la rotula, es conocido como el tendón rotular. - Su superficie anterior es la subcutánea, y su superficie posterior se articula con la superficie inferior anterior del fémur para formar la unión rotula-femoral. - La rótula incrementa el brazo de acción de la fuerza, para hacerla más efectiva a la hora de realizar un movimiento de flexión-extensión.. Figura 3.. Hueso de la extremidad inferior humana. Fuente: (Mader, 2002). • Tibia: - Se extiende desde la unión de la rodilla hasta la unión de tobillo. - La unión de la tibia con el fémur se extiende desde el cóndilo medial hasta el lateral en una superficie casi plana. - La protuberancia en la tibia se encuentra ubicada en la parte frontal de la tibia, la cual es el punto de unión con el tendón rotular.. 14.

(15) IM-2007-I-27. • Peroné: - Es el hueso más delgado del pie. - Se encuentra ubicada en las proximidades laterales de la tibia. - Tiene una proyección subcutánea ubicada en la parte inferior del peroné, conocida como maléolo lateral. - La tibia y el peroné están unidos en sus extremos inferior y superior por uniones llamadas “uniones tibiofibulares”. • Pie: Formado por un total de 28 huesos. Pero, por facilidades en el análisis de marcha y modelamiento biomecánico del pie, se suelen utilizar solamente tres divisiones en el mismo, denominadas de la siguiente forma: ° Parte anterior del pie, formada por el astrálago y el calcáneo: - Astrálago o talus: su superficie superior forma la unión del tobillo, articulándose por encima y medianamente con la tibia, por un lado con la fábula. Por detrás se articula con el hueso calcáneo y por la parte anterior con el hueso navicular. - Calcáneo: está ubicado en la parte posterior del talus y articula con éste a través de la unión subtalar. La superficie inferior transmite el peso del cuerpo al piso a través de una capa de grasa ubicada en la misma. ° Parte media del pie, formada por los huesos: navicular, tarsiano, cuboide y los tres cuneiformes. ° Parte posterior del pie, conformada por los metatarsianos y las falanges. 3.2 MÚSCULOS 3.2.1 Funciones de los músculos relevantes en el pedaleo. • Ayudan a soportar el cuerpo. • Permiten que los huesos se muevan. • Ayudan a mantener la temperatura del cuerpo constante. 15.

(16) IM-2007-I-27. 3.2.2 Estructura de los músculos. Un músculo, desde su interior, se encuentra compuesto por un manojo de fibras musculares recubiertas por una capa delgada llamada fascículo. Este fascículo está recubierto de un tejido fibroso conectivo llamado fascia, el cual se extiende hasta donde el músculo se convierte en tendón.. 3.2.3 ¿Cómo trabajan los músculos? El punto donde el músculo se conecta al hueso que permanece quieto, se llama origen, y el punto donde el músculo se conecta al hueso que se mueve, se llama inserción. Teniendo en cuenta que los músculos sólo ejercen fuerza al momento de contraerse, la mayoría de los músculos tienen un músculo antagonista, o contrario, para poder realizar el movimiento en dirección opuesta o para poder volver a lo posición de la que partió. El ejemplo clásico es el del brazo, en el cual el bíceps y el tríceps son antagonistas: uno realiza el movimiento de flexión del antebrazo y el otro el movimiento de extensión. En movimientos más complejos del cuerpo actúan simultáneamente un grupo de músculos, aunque siempre existe un músculo que domina el movimiento.. A continuación se explican brevemente los movimientos y grados de libertad permitidos por cada unión y la función de cada uno de los músculos que integran la extremidad inferior humana.. 3.2.4. Movimientos permitidos por las articulaciones. Los nombres de los. movimientos angulares más significativos en las extremidades inferiores, que son relevantes en el análisis de marcha y en el modelamiento biomecánico, se describen el la figura 4 y el cuadro 1.. 3.2.5 Actuadores que permiten el movimiento de las extremidades inferiores. Ver cuadro 2.. 16.

(17) IM-2007-I-27. Figura 4. Movimientos permitidos en las articulaciones en las extremidades inferiores humanas. Fuente: (Mader, 2002) Cuadro 1. Movimientos permitidos por las articulaciones en las extremidades inferiores. Movimiento. Descripción del movimiento. Flexión. Disminuye el ángulo de unión entre los huesos. Extensión. Incrementa el ángulo de unión entre los huesos. Addución. De una parte del cuerpo hacia la línea media. Abducción. De una parte del cuerpo alejándose de la línea media. Inversión. Del pie, de manera que la planta de éste quede mirando hacia adentro. Eversión. Del pie, de manera que la planta de éste quede mirando hacia afuera. Rotación. Alrededor del eje del cuerpo. Fuente: (Mader, 2002). 17.

(18) IM-2007-I-27. Cuadro 2. Grupos musculares de la extremidad inferior humana y sus funciones Músculo. Función. Aductor largo. Permite el movimiento de addución del muslo. Iliaco. Permite el movimiento de flexión del muslo. Sartorio. Permite el movimiento de rotación del muslo. Cuadriceps (femoral rectoy vasti). Extiende la parte inferior del pie. Peroneo largo. Permite el movimiento de eversión. Flexor largo de los dedos Extensor largo de los dedos. Permite el movimiento de flexión de los dedos de los pies Permite el movimiento de extensión de los dedos de los pies. Glúteo medio. Permite el movimiento de abducción del muslo. Glúteo mayor. Colabora con la extensión del muslo. Grupo Hamstring Gastrocnemio. Extiende el muslo y flexiona la parte inferior de la pierna Encargado de la flexión plantar del tobillo, aunque también contribuye a la flexión de la rodilla.. Fuente: (Mader, 2002). 3.2.6 Selección de los músculos a utilizar en el modelo. Con base en los movimientos que permite cada uno de los músculos anteriormente mencionados y teniendo en cuenta que en el pedaleo el movimiento de los cuerpos se reduce casi por completo al plano sagital, sólo se tendrán en cuenta los músculos que producen un movimiento de flexión o extensión del muslo, la pierna y el pie. Reduciéndose los grupos anteriormente mencionados a los que se presentan a continuación: • Glúteo Mayor • Grupo Hamstrings • Femoral recto • Vasti • Biceps Femoral • Iliaco 18.

(19) IM-2007-I-27. 4. MODELO BIOMECÀNICO DEL PEDALEO. 4.1 MODELOS BIOMECÁNICOS Con base en la definición de biomecánica: “disciplina científica encargada del estudio de las estructuras mecánicas que existen en los seres vivos”1, tal campo de estudio busca generar modelos dinámicos que capturen los movimientos más significativos que tienen los cuerpos en determinada actividad física, con el objetivo de estimar las fuerzas que se producen por el contacto entre los cuerpos, las fuerzas que permiten generar ese movimiento (fuerzas musculares), la potencia suministrada por los músculos, donde los cuerpos que pertenecen al sistema. dinámico. son. considerados. rígidos. (masa,. inercia. y. longitud,. determinadas experimentalmente). Por lo tanto, los modelos biomecánicos suelen considerar un número inferior de cuerpos a los que posee el sistema real, ya que un cuerpo del modelo biomecánico generalmente representa varios cuerpos del ser viviente, teniendo en cuenta que algunos de los grados de libertad que posee presentan cambios poco significativos en el tiempo, en comparación con los considerados en el modelo biomecánico.. Tal es el caso de la marcha, en la cual generalmente se considera que el cuerpo humano se puede modelar mediante un cuerpo que representa la cabeza, los brazos y la cadera, dos que representan los muslos (uno por pierna), dos que representan las piernas y dos que representan los pies. Como se ve en el ejemplo anterior, sólo se considera un pequeña fracción de los cuerpos que conforman el cuerpo humano, ya que en caminado normal los otros cuerpos no presentan movimientos relevantes para el análisis. Lo que parece a simple vista intuición, se ha verificado experimentalmente mediante fotogrametría, más exactamente una técnica experimental que permite capturar imágenes tridimensionales del movimiento a altas frecuencias, capturando así la mayoría de los aspectos. 1. http://es.wikipedia.org/wiki/Biomecanica. 19.

(20) IM-2007-I-27. relevantes del movimiento. En cambio, si se quiere modelar el movimiento de la mano o del pie en una determinada actividad física, es necesario considerar puntualmente algunos de los cuerpos que componen el pie y la mano, los cuales no son considerados en modelos de marcha o modelos de pedaleo.. 4.2 PEDALEO El modelo biomecánico que representa la actividad física del pedaleo se especifica mediante tres cuerpos y la manivela por pierna, los cuales van a ser considerados cuerpos cilíndricos rígidos con sus respectivas propiedades de longitud, masa e inercia, es decir que no van a ser tenidas en cuenta las pequeñas deformaciones que sufren los cuerpos por estar sometidos a cargas. Los cuerpos mencionados representaran en orden descendente de ubicación al fémur, la tibia, el pie y la manivela. Figura 5.. Modelo biomecánico del pedaleo. 20.

(21) IM-2007-I-27. Habiendo especificado cómo serán los cuerpos, es necesario explicar cómo serán las uniones entre ellos y qué grados de libertad tendrá el sistema dinámico. Las uniones entre los cuerpos, entre el fémur y la tierra y entre la manivela y la tierra se asumen como rotacionales simples, lo que permite que el pedaleo pueda ser modelado como dos cadenas cerradas de cuerpos rígidos (ver figura 5), teniendo un solo grado libertad, ya que la articulación del tobillo se ha restringido debido a que el ángulo entre la tibia y el pie presenta variaciones pequeñas durante el ciclo de pedaleo.. Lo último que falta por especificar es como estaría actuado el modelo, lo cual se va a responder más adelante en este documento cuando se hable del modelo de dinámica inversa y del modelo de dinámica directa.. Parámetros del modelo. Los parámetros escogidos, en lo se refiere a longitudes, masa, centros de masa e inercias centroidales de las extremidades inferiores, fueron estimados para una persona con estatura de 1.80 m y 80 kg de masa, de acuerdo con lo reportado por Winter (1979), arrojando las propiedades que se muestran en el cuadro 3.. Cuadro 3. Datos antropométricos relevantes del ser humano en el pedaleo. Longitud (m). Masa (kg). Centro masa (m). Inercia centroidal kg.m2. Muslo Canilla. 0.410. 8.00. 0.178 desde la cadera. 0.014030. 0.435. 3.72. 0.188 desde la rodilla. 0.06420. Pie. 0.195. 1.16. 0.098 desde el tobillo.. 0.00995. Estatura de 1.80 m y 80 kg de masa. 21.

(22) IM-2007-I-27. 5. MODELOS MATEMATICOS. 5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO. 5.1.1 Ecuaciones dinámicas en el planteamiento de Newton-Euler Para resolver la dinámica de un cuerpo rígido i que se mueve en un plano en el marco de referencia inercial N, cuya ubicación en el espacio está dada por la coordenadas (xi , yi ,θi ) y que pertenece a un sistema dinámico conformado por K cuerpos, que se encuentran unidos entre sí y moviéndose los unos con respecto a los otros bajo b restricciones de configuración, es necesario plantear la segunda r ley de Newton para cada uno de los cuerpos ( ∑ F = m * ar ) y la derivada del i. i. cmi. moméntum angular con respecto al tiempo, tomada en el marco de referencia N, igual a la sumatoria de momentos actuando en éste.. 5.1.2 Ecuaciones dinámicas en el planteamiento de Lagrange El método de Lagrange para un sistema dinámico conformado por K cuerpos rígidos moviéndose exclusivamente en un plano en el marco de referencia inercial N, donde cada uno tendrá como máximo tres grados de libertad, definido cada grado de libertad mediante las coordenadas generalizadas q (dos de translación y i. una de rotación) y sometido a b restricciones de configuración, establece que la fuerza generalizada debe ser igual a la derivada con respecto al tiempo de la derivada parcial, con respecto a la velocidad generalizada del lagrangiano, menos la derivada parcial del lagrangiano con respecto a la coordenada generalizada. Donde el Lagrangiano se define como:. L = ∑T − V − ∑ λ c (q , q , q ,.....q ) K. i=1. b. i. i. j=1. j. j. 1. 2. 3. n. (1). Siendo Ti la energía cinética, Vi la energía potencial del cuerpo i, cj las restricciones de configuración del sistema y n el número de coordenadas generalizadas del sistema dinámico. 22.

(23) IM-2007-I-27. Hay que aclarar que el lagrangiano se ha modificado para incluir las restricciones de configuración por contacto con otros, aplicando los mismos principios de los multiplicadores de Lagrange que se utilizan en la optimización de una función que depende de varias variables y que se encuentra sujeta a un número dado de restricciones. Quedando la ecuación de Lagrange para sistemas holonómicos escrita de la siguiente forma: Qk. ⎛ d ⎜ ∂L = ⎜ . dt ⎜ ∂ q k ⎝. ⎞ ⎟ ∂L ⎟− ⎟ ∂q k ⎠. (2). Y el término llamado fuerza generalizada se define como:. Qk. r ∂ N vr Gi r = ∑ Fi • + M . i =1 ∂ qi K. Gi. •. r ∂ Nω i. (3). .. ∂ qi. r. r. Donde Fi es la suma de fuerzas externas actuando en el cuerpo i, M Gi es la sumatoria de momentos externos con respecto al centro de masa del cuerpo i, y los dos términos restantes son la derivada parcial de la velocidad del centro de masa del cuerpo i con respecto a la velocidad generalizada y la derivada de la velocidad angular del cuerpo con respecto a la velocidad generalizada.. 5.1.3 Ecuaciones dinámicas en el planteamiento de Kane Para un sistema dinámico conformado por K cuerpos rígidos, moviéndose exclusivamente en un plano, donde cada uno tendrá como máximo tres grados de libertad, definido cada grado de libertad mediante las coordenadas generalizadas. q (dos de translación y una de rotación), sometido a b restricciones de i. configuración generará un sistema con p=3K-b grados de libertad o coordenadas generalizadas independientes.. 23.

(24) IM-2007-I-27. Según Gillespie (2003), el método de Kane define las rapideces generalizadas de la siguiente forma:. ⎡q ⎡u ⎤ ⎢ M ⎥ =W ⎢ M ⎢ ⎢ ⎥ ⎢q ⎢⎣u ⎥⎦ ⎣ .. 1. 1. .. n. n. ⎤ ⎥ ⎥+Z ⎥ ⎦. (4). Donde W es una matriz de dimensiones n*n y Z es un vector columna de n filas que contiene los términos independientes que dependen de las coordenadas generalizadas y del tiempo, u i y q i son las rapideces y velocidades generalizadas respectivamente, y n es número de coordenadas generalizadas independientes.. Despejando las velocidades generalizadas (ecuaciones diferenciales cinemáticas) se obtiene:. ⎡q ⎢ ⎢M ⎢q ⎣ .. 1. .. n. ⎤ ⎥ ⎥ =W ⎥ ⎦. ⎡ ⎡u ⎤ ⎤ ⎢⎢ M ⎥ − Z ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣u ⎥⎦ ⎥⎦ 1. −1. (5). n. Tal definición de las rapideces generalizadas permite expresar la velocidad de un punto en función de éstas, quedando así la expresión en una forma más compacta que si se expresara en función de las velocidades generalizadas.. [. r N r Pi v = v1Pi. ⎡ u1 ⎤ r Pi ⎢ ⎥ r Pi K v n ⎢ M ⎥ + vt ⎢⎣u n ⎥⎦. ]. 24. (6).

(25) IM-2007-I-27. En la definición anterior, los términos que acompañan a cada una de las rapideces Pi generalizadas ( ui ) reciben el nombre de velocidades parciales generalizadas v r ,. y. r vtPi es el término independiente que depende de las coordenadas generalizadas. y del tiempo.. Como en este proyecto se analiza el movimiento de un cuerpo rígido, y no el de una partícula, es necesario definir la velocidad angular del cuerpo i en función de las rapideces generalizadas y las velocidades angulares parciales.. N. r. r. ω = [ω i. ⎡u ⎤ r r K ω ]⎢ M ⎥ + ω ⎢ ⎥ ⎢⎣u ⎥⎦ 1. i. 1. i. i. n. t. (7). n. r. i Donde ωr es la velocidad angular parcial de i en N, y. r. ωti. es un término. independiente que depende de las coordenadas generalizadas y del tiempo. De la misma forma, pudo haberse definido la velocidad angular de un cuerpo en otro marco de referencia que no sea inercial.. Habiendo realizado las definiciones básicas, se procedió a plasmar la ecuación de Kane para sistemas holonómicos (es decir sistemas que sólo poseen restricciones de configuración), que parte del concepto de fuerzas activas generalizadas Fr y de fuerzas inerciales generalizadas Fr* , las cuales matemáticamente se definen de la siguiente manera:. F = ∑ R • v +T • ω K. r. i. i*. N. i. N. r. i =1. N. . i. N. .. F =∑ L• v + H *. r. K. N. i*. r. i =1. 25. i / i*. i r. (8). • ω N. i r.

(26) IM-2007-I-27. Donde N es el marco de referencia inercial, K el número de cuerpos rígidos involucrados, R i son las fuerzas externas que actúan en i*, T i los momentos externos,. N . i. N. L la derivada con respecto al tiempo del momentum lineal,. derivada con respecto al tiempo del momentum angular del cuerpo i, y. * . i/i. H i. *. la. es el. centro de masa de el cuerpo i. Quedando la ecuación de Kane de la siguiente forma:. Fr − Fr* = 0 r = 1,....p Esta formulación entrega p ecuaciones dinámicas para de. (9). u& r , las cuales son función. u r , de las coordenadas generalizadas y del tiempo y, una vez se tienen las u r ,. es posible obtener las evolución de las coordenadas generalizadas en el tiempo, de acuerdo con la ecuación (5).. 5.1.4 Selección del planteamiento de las ecuaciones de movimiento para el pedaleo A continuación, en el cuadro 1, se presenta la comparación entre las ecuaciones de movimiento, que sería necesario plantear para describir la dinámica del pedaleo por los métodos de Lagrange, Newton y Kane, asumiendo que el sistema posee un solo grado de libertad, mas exactamente el ángulo de manivela.. Con base en la tabla de comparación, se ve que con el planteamiento de Kane, de las ecuaciones de movimiento dinámico, es posible no tener en cuenta las fuerzas de reacción que se producen en el cuerpo, por estar interactuado con otros cuerpos.. 26.

(27) IM-2007-I-27. Cuadro 4. Comparación de los planteamientos de las ecuaciones de movimiento Puntos de comparación. Cuerpos Coordenadas generalizadas Ecuaciones dinámicas Ecuaciones cinemáticas Restricciones de configuración Cálculos previos. Ecuaciones a resolver. Resultados Programa que resuelve el método. Newton. Kane. Lagrange. 5. 5. 5. 15. 3. 15. 15. 1. 15. 15. 1. 15. 14. 4. 14. Velocidades, aceleraciones, ecuación de Kane.. Velocidades, energías cinética y potencial. 2 ecuaciones diferenciales de un orden. 4 ecuaciones de restricción. Fuerzas de actuación. 15 ecuaciones diferenciales de segundo orden. 14 ecuaciones de restricción. Fuerzas de restricción y de actuación. Velocidades, aceleraciones, sumatoria de fuerzas y sumatoria de momentos 15 ecuaciones diferenciales de segundo orden. 14 ecuaciones de restricción. Fuerzas de restricción y de actuación No. Si. No. Además, con el planteamiento de Kane, el orden de las ecuaciones diferenciales provenientes de la descripción del movimiento de los cuerpos rígidos que pertenecen al sistema dinámico, se reduce de una ecuación diferencial de segundo orden, que se obtiene tradicionalmente por el planteamiento de Newton-Euler, a un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden por grado de libertad del sistema. Lo cual se traduce en una ventaja a la hora de resolver numéricamente el sistema, ya que el planteamiento numérico para resolver una ecuación diferencial de primer orden es sencillo en comparación con el de las ecuaciones de segundo orden.. Por la razones dadas, en el caso del pedaleo es necesario plantear sólo una vez la ecuación de Kane porque el sistema propuesto, en el presente proyecto, posee un solo grado de libertad y, por tanto, una sola rapidez generalizada. En cambio, con. 27.

(28) IM-2007-I-27. el planteamiento de Newton, se plantea la sumatoria de fuerzas y la sumatoria de momentos para cada cuerpo rígido que pertenece al sistema dinámico del pedaleo. Por lo tanto, para el caso del pedaleo, se necesitan cinco sumatorias de fuerzas y cinco sumatorias de momentos, para un total de 15 ecuaciones diferenciales de segundo orden, porque la sumatoria de fuerzas se pueden descomponer en dos componentes para un movimiento de cuerpo rígido en un plano. A estas ecuaciones hay que sumarle las ecuaciones provenientes de las restricciones de configuración existentes por estar los cuerpos rígidos en contacto. Como. paso. final,. se deben. manipular algebraicamente. las ecuaciones. conseguidas por el método de Newton, para obtener la ecuación dinámica que describe la evolución de la coordenada generalizada independiente en función del tiempo o resolver el sistema diferencial algebraico generado; es decir, un sistema de ecuaciones en las que unas son ecuaciones diferenciales y las otras son ecuaciones algebraicas no lineales. Al comparar el método de Kane y el de Lagrange, se pueden obtener conclusiones similares a las obtenidas en la comparación Newton-Kane, en cuanto a número de ecuaciones diferenciales a resolver y número de restricción de configuración. Por las explicaciones dadas, es posible afirmar que para un sistema que posea restricciones holonómicas o de configuración, como es el caso del pedaleo, utilizar el planteamiento de Kane de las ecuaciones de movimiento de cuerpos rígidos genera expresiones matemáticas más compactas y en un menor número de ecuaciones con respecto a los otros planteamientos, lo cual es una ventaja a la hora de resolver el problema con métodos numéricos, ya que cada ecuación extra, sea diferencial o una ecuación no lineal, incrementa el tiempo de solución de la dinámica del sistema, o simplemente hay más riesgo de que se obtengan errores en los resultados debido a un error de operación matemática.. Por lo expuesto anteriormente, en el presente proyecto se usó el planteamiento de Kane para obtener la ecuación diferencial que describe la variación del ángulo de. 28.

(29) IM-2007-I-27. la manivela en función del tiempo, así como para determinar las restricciones de configuración en el caso de dinámica directa, o el torque de actuación requerido en la cadera o en la rodilla, dada la variación del ángulo de la manivela en el caso de dinámica inversa. 5.1.5 Ejemplo del planteamiento de Kane en las ecuaciones dinámicas de movimiento de cuerpos rígidos Para este planteamiento, se considera una barra delgada de distribución de masa uniforme (ver figura 3), de longitud L, masa m y una inercia centroidal I b3 b3 pivotada en uno de sus extremos, a la cual se le está aplicando un torque de actuación M; se asume que en la unión no existe fricción. Figura 6.. Esquema de un problema dinámico a resolver por el planteamiento de Kane. Definiendo la rapidez generalizada de la siguiente manera: .. u1 = q1. (7). Expresando la velocidad angular del cuerpo B en el marco de referencia inercial A: A. ω B = u1 b 3. (8). Calculando la velocidad del centro de masa de la barra: B*. V B = A V P + A ω × r = u1. A. *. B. 29. P. L b2 2. (9).

(30) IM-2007-I-27. Calculando la velocidad parcial generalizada del centro de masa de B en A y la velocidad angular parcial de B en A, se obtiene lo siguiente: A. ω 1B =. A. B* 1. V. ∂ ω = b3 ∂u1 A. B. B*. ∂ V = ∂u1 A. =. (10). L b2 2. Calculando la fuerza activa generalizada asociada a la rapidez generalizada u1: F1 = − mg a 2 •. L L b2 + M b3 • b3 = − mg sin( q1 ) + M 2 2. (11). Antes de calcular la fuerza inercial generalizada es necesario calcular la cantidad de movimiento del cuerpo B y el momento del momento lineal con respecto al centro de masa de B: A. A. L = mu1 B. H. B / B*. L b2 2. (12). = I b3 b3 • u1 b3 = Iu1 b3. Calculando la fuerza inercial generalizada asociada a la rapidez generalizada u1: 2. . . . L ⎞ L ⎛ . L ⎛L⎞ F1* = ⎜ m u 1 b2 − mu12 b1 ⎟ • b2 + I u 1 b3 • b3 = m u 1 ⎜ ⎟ + I u 1 2 2 ⎠ 2 ⎝ ⎝2⎠. (13). Ahora, aplicando el postulado de Kane, se obtiene: Fr − Fr* = 0 2. . . L ⎛L⎞ m u 1 ⎜ ⎟ + I u 1 = −mg sin(q1 ) + M 2 2 ⎝ ⎠. (14). Si se quiere resolver cómo cambiar la coordenada generalizada en función de un momento aplicado sobre el cuerpo B (dinámica directa), se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: .. q1 = u1. 30. (15).

(31) IM-2007-I-27. .. u1 =. L sin( q1 ) + M 2 2 ⎛ L⎞ m⎜ ⎟ + I ⎝ 2⎠. − mg. (16). 5.2 MODELO MATEMÁTICO DE LOS ACTUADORES DE FUERZA. • Modelo músculo-tendón de Hill-Zajac. La interacción entre el impulso enviado por el sistema nervioso central y los movimientos del esqueleto humano se da por medio del sistema músculo-tendón (unión hueso-hueso), ya que por la dinámica de activación (excitación-contracción) la señal neuronal es transformada en una señal de activación, y en unión con las propiedades del músculo de fuerza de longitud, por medio de la dinámica de contracción, son las causantes de la fuerza de tensión que puede ejercer cada uno de los músculos (Zajac,1989).. Propiedad de fuerza-longitud de los músculos. La propiedad de fuerza longitud (fl) en estado estable de un músculo se define por medio de la curva isométrica de fuerza contra longitud del tejido muscular (Zajac,1989), donde FM es la fuerza del músculo, LM la longitud del músculo y a(t ) la activación. Un músculo se comporta de acuerdo con la curva de fuerza longitud, siempre y cuando la activación y la longitud del músculo permanecen constantes en el tiempo; es decir, esto se presenta cuando el estado transciende en la función a(t ) , dejando de existir y se convierte en un estado estacionario. Siendo a(t) un función cuyo rango varía entre 0 y 1, donde 1 representa un músculo que se encuentra completamente activo y 0 un músculo que se encuentra inactivo.. A la diferencia de la fuerza que un músculo puede desarrollar entre un estado completamente activo y uno pasivo, se le conoce como fuerza activa de músculo. La región del músculo en la cual esta fuerza es desarrollada está entre 0.5Lo M y M M 1.5 Lo , donde L0 es la longitud en la cual el músculo realiza la mayor fuerza en el. 31.

(32) IM-2007-I-27. estado activo FoM . En cambio, la fuerza pasiva se genera siempre y cuando el valor de la longitud del músculo sea mayor que L0 M (ver figura 7).. Figura 7.. Curva isométrica de fuerza contra longitud del tejido muscular. Fuente: (Zajac, 1990) Hay que aclarar que la curva de F M contra LM , para valor de a(t) entre 0 y 1, puede ser considerada como un escalamiento de esa misma curva para a(t)=1. Propiedad de fuerza-velocidad de los músculos. Cuando un músculo es sometido a una fuerza de tensión constante, el músculo empieza a acortarse a una velocidad hasta que alcanza una longitud determinada, que corresponde a la longitud en la que se puede soportar esa tensión en estado estacionario. De un conjunto de curvas de longitud contra tiempo, para una tensión determinada y longitud inicial determinada, se pueden obtener relaciones empíricas de F M contra velocidad de acortamiento, para un rango de LM de entre 0.5Lo M y 1.5 Lo M . Cuando el músculo tiene longitud inicial. Lo. M. , se acorta a una velocidad vm , a la cual no. puede soportar ningún tipo de carga, de ahí qué vm se conozca como máxima. 32.

(33) IM-2007-I-27. velocidad de acortamiento. Cuando la activación es menor que uno, se asume que la máxima velocidad de acortamiento es lineal con la activación o igual a la velocidad de acortamiento cuando la activación es igual a uno (ver figura 8).. Figura 8.. Curva normalizada de fuerza contra velocidad de acortamiento. Fuente: (Zajac, 1989). • Modelo del músculo como un sistema resorte amortiguador. Este modelo muscular consiste en un elemento contráctil conectado en paralelo con un M elemento pasivo, lo cuales soportan la fuerza F . La fuerza que soporta el M. elemento contráctil F CE depende de la longitud del músculo L , su velocidad v y de la función de activación a(t).. Los elementos elástico SEE, que aparece en la figura 9, en muchos casos pueden ser despreciados; por ejemplo, en todos los actuadores músculo esqueléticos, a excepción de los que tienen tendones cortos, ya que la energía almacenada en los cross-bridges de los músculos es muy pequeña comparada con la almacenada en la parte interna y externa del tendón (Zajac,1989).. 33.

(34) IM-2007-I-27. Dinámica de activación (ver figura 10). La envolvente de la electromiografía normalizada con respecto a FoM puede ser considerada como la señal emitida por el sistema nervioso central, y si tal señal se filtra para impedir el paso de ruido, se obtiene la señal de activación del músculo (Zajac,1989).. Figura 9.. Modelo esquemático de un músculo de Hill. Fuente: (Zajac, 1989). Figura 10. Esquema de la dinámica de activación. Fuente: (Zajac, 1989). Lo que matemáticamente se puede escribir como:. 34.

(35) IM-2007-I-27. ⎡1 ⎤ 1 a (t ) + ⎢ (β + (1 − β )u (t ) )a (t ) = u (t ) ⎥ τ ⎦ ⎣τ. (17). .. act. act. Donde β es una constante que varía entre 0 y 1, definiéndose matemáticamente como la relación de la constante de tiempo de activación y desactivación. Propiedades normalizadas en el modelo del músculo.. En el modelo del. músculo se puede hablar de fuerza y longitud muscular normalizada, respectivamente con la fuerza pico isométrica y con la longitud de fibra óptima. En lo que se refiere a las propiedades dinámicas se puede encontrar la velocidad muscular normalizada, definida como la relación entre la velocidad de músculo con respecto a la máxima velocidad de acortamiento, y por ultimo faltaría el tiempo de escalamiento. Las anteriores propiedades músculo-tendónicas normalizadas se expresarán matemáticamente en el mismo orden que fueron mencionadas:. F ~ F = F. M. (18). M. M. o. M. L ~ L = L. (19). M. M o. v v~ = v. M. (20). M. m. τ=. 1. τ. (21). t. c. M. L τ = v. o. c. m. En la mayoría de los casos, se acostumbra asumir τ c = 0.1.. 35. (22).

(36) IM-2007-I-27. • Modelo del tendón. En muchos de los modelos la elasticidad del tendón es asumida lineal, ya que para deformaciones mayores al 2%, se puede hablar de un módulo de elasticidad del músculo (1.2Gpa) (Zajac, 1989), lo cual es equivalente a decir que el músculo tiene una constante de rigidez igual a:. dF k = dl. T. T. (22). T. Donde FT es la fuerza que está realizando el tendón, y lT es la longitud del tendón.. Para el modelo de muchos tendones teniendo curvas de F T contra LT desconocidas, puede ser favorable normalizar estas curvas mediante la fuerza ~ pico activa y la longitud de inactividad del tendón, obteniendo F T , ε T ó σ~ T y. ε T (Zajac,1989) Para que curva fuerza contra deformación normalizada pueda ser realizada, se requiere que se satisfagan las siguientes condiciones:. - Las curvas fuerza deformación son independiente del tendón, y sólo dependen de las propiedades de éste. - La deformación ε oT (se asume 3.3%) y el esfuerzo σ oT (se asume 32MPa) del tendón son músculo tendón independiente cuando la fuerza es igual a la fuerza pico activa; por tanto, el único parámetro necesario para especificar un tendón es T. la longitud inactiva de éste Ls . De acuerdo con el anterior modelo, la fuerza y la longitud del tendón pueden ser escritas de la siguiente forma (Zajac, 1989):. ~ F T = F T * FoT 36. (23).

(37) IM-2007-I-27. (. ). LT = 1 + ε T LTS. (24). En la figura 10 se puede ver como a partir de un 2% de deformación, existe una relación lineal entre la fuerza y deformación normalizada, lo que permite hablar de modulo de elasticidad al igual que en los metales.. Figura 11. Curva típica de fuerza contra deformación normalizada para un tendón. Fuente: (Zajac, 1989). • Modelo integrado músculo tendón. Ver figura 11. Figura 12. Modelo integrado músculo-tendón con ángulo de penación 0º. Fuente: (Zajac, 1989). 37.

(38) IM-2007-I-27. Para especificar un actuador de este modelo, se requieren cuatro parámetros, tres para representar el músculo y uno para especificar el tendón, los cuales se mencionan a continuación: - Fuerza activa máxima:. F. M. o. - Longitud optima de fibra muscular: - Longitud inactiva del tendón:. L. M. (25). o. L. T S. - Tiempo escalado: τ c Debido a que el ángulo de penación en el modelo a utilizar es de cero, es correcto MT = F T = F M , y debido a que el tendón es considerado un afirmar que F. elemento elástico (Zajac,1989), se puede decir que:. F M = F T = F MT = k T ( LMT − LM ). (26). Derivándolo con respecto al tiempo, se obtiene que:. (. dF M dF T dF MT dLMT dLM = = = kT ( − ) = k T v MT − v M dt dt dt dt dt. ). (27). Sabiendo que la velocidad del músculo v M = v M ( F M , LM , a(t )) , o en términos adimensionales v~ M = v~ M ( F~ M , L~M , a (τ )) , y que la velocidad del actuador músculo tendón es v MT = dl. MT. , o en términos adimensionales. dt. adimensional como. LM ~ 30 k T = k T oM = ~T Fo LS. dl MT v~ MT = dt. LMo. τc. , y la rigidez. ., entonces la ecuación diferencial que describe. el comportamiento de la fuerza en el sistema músculo tendónico, en términos adimensionales puede ser escrita de la siguiente forma:. ~ ~ ~ ~ ~ dF dF dF dL ~ dL ~ = = =k ( − ) = k (v~ − v~ dτ dτ dτ dτ dτ M. T. MT. MT. T. M. T. 38. MT. M. ). (28).

(39) IM-2007-I-27. ~ dF MT ~ T ~ MT ~ M ~ M ~M = k v − v ( F , L , a (τ )) dτ. (. ). (26). Ahora, si la longitud del actuador LMT cambia a bajas velocidades, el actuador responde a velocidad comportándose como un amortiguador, y si la longitud. LMT cambia a altas frecuencias, el actuador responde a cambios de longitud y se comporta como un resorte. Matemáticamente esto se diferencia mediante la ~ frecuencia de corte ω~c = k T ; es decir, si la frecuencia de operación del actuador es menor que la de corte, es un actuador de velocidad; en cambio, si la velocidad es mayor, es un actuador de longitud(Zajac,1989). La función de velocidad para los actuadores que responden a longitud es:. ~ − v~ = a(τ ) − F M. (29). M. La función de velocidad para los actuadores que responden a velocidad es:. ~ ~ −~ v = (2 L − 1)a (τ ) − F M. M. (30). M. Quedando la ecuación diferencial que describe la fuerza en el sistema músculotendón para un actuador que responde a longitud, así:. ~ dF ~ ~ = k (v~ + a(τ ) − F dτ MT. T. MT. M. ). (31). Y la ecuación diferencial que describe la fuerza en el sistema músculo-tendón para un actuador que responde a velocidad, así:. ~ dF ~ ~ ~ = k (v~ + (2 L − 1)a(τ ) − F dτ MT. T. MT. M. 39. M. ). (32).

(40) IM-2007-I-27. 6. MOVIMIENTO DEL CUERPO HUMANO EN EL PEDALEO 6.1 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA MANIVELA Y SU APLICACIÓN EN LA EFICIENCIA DEL PEDALEO En la figura 13, se asume que Fr1 y Ft1 son pequeñas en comparación con Fr y Ft , de acuerdo con lo reportado por Zajac (1996). Figura 13. Diagrama de cuerpo libre de la manivela. Es relevante analizar qué fuerzas están presentes en la manivela, haciendo estas referencias a las reacciones que se producen por contacto con el pedal y con el eje de giro la manivela (ver figura 13), ya que dependiendo de su magnitud y dirección, puede la manivela girar o no, lo que matemáticamente se puede escribir como:. 40.

(41) IM-2007-I-27. ∑ Fradial =R y cos θ + Rx sin θ + Fr = 0. (33). ∑ Ftan gencial =R y sin θ − Rx cos θ − Ft = 0 ∑ M eje = + M Re stricción −. Ft * L p 2. = Iα. De acuerdo con la física del pedaleo, en la manivela descrita por las ecuaciones escritas anteriormente, se ve que la condición óptima de pedaleo es aquella en la cual el valor de la magnitud de fuerza Ft es máximo y la magnitud de la fuerza Fr es mínimo, debido a que Ft es la que contribuye a vencer el torque de restricción en el eje de la manivela y permitir el movimiento de pedaleo; en cambio, cuando mayor es Fr se traduce simplemente en mayores fuerzas de reacción en el eje, que se podría entender también como energía suministrada por los actuadores que estaría siendo desaprovechada. En conclusión, si Ft es máxima y Fr es mínima, esto se traduce en una mejor eficiencia del sistema; es decir: una mejor relación entre la potencia entregada en el eje de giro de la manivela sobre la potencia suministrada por los actuadores, ya sea de torque o de fuerza.. El entendimiento del efecto de cada una de las fuerzas en la manivela sobre la velocidad de pedaleo permite plantear un modelo de cinética inversa, que se presenta en el numeral 5.1.2, cuya entrada va a ser una velocidad de pedaleo constante y cuya salida va a ser la actuación requerida.. 6.2 MODELO DE PRUEBA 6.2.1 Configuración del mecanismo durante un ciclo de pedaleo. Antes de plantear el modelo de cinética inversa, se propone analizar cómo cambia la ubicación angular del muslo, la canilla y el pie en función del ángulo de la manivela con respecto a la vertical θ . Para esto se presentan gráficas que exponen la. 41.

(42) IM-2007-I-27. configuración del modelo biomecánico cada 30° de variación del ángulo de la manivela, cuyo objetivo principal es el de permitir entender cómo debe ser la actuación de torque en un modelo de dinámica inversa (ver figuras 14, 15 y 16). Por ejemplo, en el intervalo de 0 < θ < 30 ° el fémur gira un pequeño ángulo en la dirección contraria a las manecillas del reloj para después quedar horizontal durante el resto de este intervalo; mientras que la canilla, por medio de un movimiento de extensión, incrementa el ángulo comprendido entre el muslo y la canilla permitiendo continuar con el ciclo de pedaleo. El hecho de que el muslo permanezca estacionario (durante este periodo el sistema no puede ser actuado en la articulación de la cadera) y la canilla se encuentre girando durante parte de este intervalo, demuestra la necesidad de que en este movimiento se requieren por lo menos dos actuadores de torque, activándose éstos de manera secuencial. El otro punto relevante de actuación es el intervalo entre 90 < θ < 120 ° . Ya durante esta parte del ciclo el pie y la manivela quedan paralelos, demostrándose que el sistema en este momento no puede ser actuado en la rodilla, sino en la cadera, lo cual confirma la necesidad secuencial de dos o más actuadores. Figura 14. Configuración del modelo biomecánico 1. 42.

(43) IM-2007-I-27. Figura 15. Configuración del modelo biomecánico 2. Figura 16. Configuración del modelo biomecánico 3. 43.

(44) IM-2007-I-27. 6.2.2 Modelo de cinética inversa. Como ya se dijo en los numerales anteriores, el pedaleo humano va a ser modelado como tres cuerpos moviéndose en el plano sagital, representando éstos al muslo, canilla-pie, y la manivela por pierna, y orientados con respecto al marco de referencia inercial N mediante las siguientes coordenadas generalizadas: q , q , q , q , q , de acuerdo con lo que se muestra en 1. 2. 4. 5. 6. el cuadro 5. Cuadro 5. Coordenadas generalizadas que definición la ubicación de los cuerpos Coordenada generalizada. Significado. q. Angulo comprendido entre el fémur de una pierna y la vertical. Angulo comprendido entre la canilla de una pierna y la vertical. Angulo comprendido entre la manivela y la vertical. Angulo comprendido entre el fémur de la otra pierna y la vertical. Angulo comprendido entre la canilla de la otra pierna y la vertical.. 1. q q. 2. 4. q q. 5. 6. La definición de las coordenadas generalizadas, junto con la geometría del modelo de dos cadenas cerradas de cuerpos rígidos, permite especificar las cuatro restricciones de configuración del sistema dinámico que representa el pedaleo, las cuales se pueden expresar matemáticamente de la siguiente manera:. − 0.104 − 0.2 sin(q4 ) + 0.195 cos(q2 ) − 0.35 sin(q2 ) + 0.41sin(q1 ) = 0 0.59 − 0.35 cos(q2 ) − 0.195sin(q2 ) − 0.41cos(q1 ) − 0.2 cos(q4 ) = 0. (34). − 0.104 + 0.2 sin(q4 ) + 0.195 cos(q6 ) − 0.35 sin(q6 ) + 0.41sin(q5 ) = 0 0.59 − 0.35 cos(q6 ) − 0.195sin(q6 ) − 0.41cos(q5 ) + 0.2 cos(q4 ) = 0 Como el sistema dinámico se puede describir completamente mediante cinco coordenadas. generalizadas y posee cuatro restricciones de configuración, se. confirma que el sistema posee un solo grado de libertad, ya que el número de. 44.

(45) IM-2007-I-27. grados de libertad del sistema es igual al número de coordenadas generalizadas independientes. En este modelo la coordenada generalizada independiente será. q4 o en ángulo de la manivela con respecto a la vertical. Además de las restricciones de configuración, el modelo biomecánico tiene una restricción de torque o carga en el eje de la manivela, que tiene en cuenta los efectos de fricción más los efectos de resistencia por la inercia que se encuentra girando sobre el eje de la manivela.. El presente modelo asumirá un modelo de cinética inversa que tiene como entrada la velocidad angular de pedal constante de 90 rpm (9.42 rad/s) y un torque de resistencia tal que el pico durante el ciclo sea de 45 N.m, pero que tenga una forma senoidal para que se aproxime a la curva reportada por Neptune (1999) y como salida los torques de actuación, ya sea en la cadera o en la rodilla. La factibilidad del supuesto radica en que de acuerdo con lo reportado por Neptune (1997), existen sistemas de control para ser adaptados en el eje de la manivela que permiten controlar la tasa de disipación de energía en esta actividad, mediante la variación controlada del torque resistente, permitiendo que el pedal gire a una velocidad angular próxima a ser constante.. Lo dicho en los párrafos anteriores sobre las coordenadas generalizadas, restricciones de configuración y carga resistente en el eje de la manivela, está resumido en la figura 17.. 6.2.3 Resultados del modelo de cinética inversa. Las figuras 18 y 19 muestran los resultados cinemáticos del modelo de dinámica inversa: es decir, la posición, velocidad y aceleración angular del fémur y la canilla para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m., lo que es equivalente a una velocidad de 9.42 rad/s. En la gráfica de la figura 19, se puede ver que el fémur alcanza una velocidad angular máxima de 5 rad/s cuando se encuentra girando en el sentido de las manecillas. 45.

(46) IM-2007-I-27. del reloj, mientras que la canilla alcanza una velocidad angular pico de 5 rad/s cuando gira en el sentido contrario a las manecillas del reloj. En lo que hace referencia a las gráficas de aceleración del fémur y la canilla, se puede decir que los puntos de aceleración cero son lo más relevantes, ya que en este momento el sistema dinámico no puede ser actuado en ese cuerpo, debido a que requeriría una actuación infinita. Figura 17. Modelo de dinámica inversa. Figura 18. Posición angular del fémur y la canilla para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m.. 46.

(47) IM-2007-I-27. Figura 19. Velocidad y aceleración angular del fémur y la canilla para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m.. 6.2.4 Secuencia de activación de actuadores de torque en la cadera y la rodilla.. Basándose en el análisis cinemática y en las funciones de torque de. actuación arrojadas por el modelo de dinámica inversa, se propone que el sistema debe ser actuado en la rodilla en el intervalo ángulo de barrido del pedal 0 ≤ θ ≤ 60. o. o 0 ≤ θ ≤ 0 . 11 seg. y en el intervalo de. 60 o ≤ θ ≤ 180. o. 0 . 11 seg ≤ θ ≤ 0 . 33 seg. ,. actuado en la cadera donde, como se ve, las activaciones actúan de manera secuencial, resultando en las curvas de torque de actuación que aparecen en la figura 20, alcanzándose un torque máximo de actuación en magnitud de 300 Nm.. No se incluye la otra parte del ciclo de pedaleo, es decir, los 0.33 segundos faltantes, ya que la actuación es la misma en la articulación de la cadera y de la rodilla de la otra pierna, pero desfasada medio ciclo en el tiempo, es decir, 0.33 segundos.. 47.

(48) IM-2007-I-27. Figura 20. Curva de torque de actuación en la cadera y la rodilla durante el pedaleo. 6.3 INTEGRACIÓN DEL MODELO DE ACTUACIÓN MUSCULAR AL MODELO BIOMECÁNICO Como paso previo a la integración, se realizó un código de programación en Autolev 4.1, en el cual se establece como va a estar conformado el sistema dinámico del pedaleo en cuanto al número de cuerpos que va a tener, sus masas, sus inercias, sus longitudes y la ubicación de los centros de masa; cómo se encuentran ubicados los unos con respecto a los otros por medio de matrices de rotación; qué velocidades van a tener los centro de masa de cada uno de los cuerpos y cómo van a estar definidas las rapideces generalizas, para entregar como resultado la dinámica del sistema en un forma simbólica: en función de los parámetros anteriormente mencionadas y las actuación musculares. Hasta este. 48.

(49) IM-2007-I-27. momento se asume que las fuerzas son unas variables, ya que todavía no se ha hecho explicita su dependencia con F ( LMT , v M , a (t )) .. Para hacer explicita la dependencia se desarrollaron diagramas de bloques en el Simulink de Matlab 7, que resuelven las ecuaciones diferenciales que representan la fuerza que puede hacer actuador músculo tendonico, dada la longitud del actuador LMT , la velocidad de acortamiento v M y la activación a(t ) del actuador durante el movimiento, es decir, lo que se resuelve son las ecuaciones 31 y 32 de este documento.. Teniendo listos los dos resultados anteriores, se procede a exportar a Matlab la ecuación dinámica, la ecuación cinemática y las ecuaciones de restricción, para armar un diagrama global de bloques que represente la dinámica del pedaleo, al cual se le unen como sub-bloques los diagramas que representan a los actuadores de fuerza seleccionados en el numeral 4.26: los músculos encargados del movimiento de los cuerpos en el plano sagital, para obtener finalmente un modelo biomecánico movido por actuadores que representan de manera acertada a los músculos (ver anexo A). En la figura 21 se muestra un resumen del proceso de integración y solución del modelo biomecánico.. Figura 21. Método de solución del modelo integrado. 49.

(50) IM-2007-I-27. A continuación se presentan simulaciones de algunos movimientos humanos típicos donde la entrada son fuerzas entregadas por actuadores músculo-tendones que se comportan bajo el modelo de Hill y donde las ecuaciones dinámicas se encuentran mediante la formulación de Kane, a través del programa AUTOLEV. 6.4 EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS 6.4.1 Flexión del muslo. Suponiendo que se desea realizar un movimiento de flexión del muslo, en el cual el éste es actuado por los músculos iliaco(IL) y glúteo mayor(GM), debido a que éstos son los encargados de la flexión y la extensión del muslo, y donde los músculos se comportan bajo el modelo de Hill, con propiedades musculares reportadas por Zajac (1997). Sea el muslo (M), la canilla (C), con masa Mm, Mc; inercias centroidal Im, Ic; longitudes Lm, Lc y cuya ubicación en el espacio se encuentra dada mediante las coordenadas generalizadas q1 y q2, las cuales representan los ángulos que hay entre los cuerpos (M) y (C) y la vertical (ver figura 22) Figura 22. Prueba de funcionamiento del modelo muscular de Hill. Se aclara que el cuerpo (C), en esta prueba, no está siendo actuado por ningún músculo o fuerza externa; por lo tanto, sobre él las únicas fuerzas que actuarán serán su propio peso más las fuerzas de reacción por contacto con el cuerpo (M). La velocidad de los cuerpos (C) y (M) son:. 50.

(51) IM-2007-I-27. Donde. N. ω P = u1 b 3. N. ω = u2 b3. (35). C. u1 = q&1. (36). u 2 = q& 2. Aplicando la integración del modelo muscular y al modelo dinámico de movimiento con unas propiedades de masa, inercia y longitud para una persona de 1.80 m y 80 kg, y unas activaciones de los músculos, dadas en la figura 23.. Figura 23. Activación del iliaco y el glúteo mayor durante la flexión del muslo A ct i vación muscular. 0,4 0,35 Activación. 0,3 0,25. Iliaco. 0,2. Gluteo mayor. 0,15 0,1 0,05 0 0. 0,5. 1. 1,5. Tiempo(s). Como se ve en la figura 24, el muslo puede ser flexionado un total de 122°, partiendo del reposo de una posición en la cual el muslo y la canilla se encuentran verticalmente. Para lograr un ángulo de flexión diferente sería necesaria una función de activación diferente, ya sea en magnitud de activación o en período en el cual se encuentra activada.. 51.

(52) IM-2007-I-27. Figura 24. Flexión de la rodilla dadas las activaciones de la figura 23. Las fuerzas que permiten el movimiento de flexión mostrado están dadas en la figura 25. Figura 25. Fuerza realizada por el glúteo y el iliaco en el movimiento de flexión. 52.

(53) IM-2007-I-27. En la figura 25 se ve que los músculos realizan mayor fuerza cuando están activados: en el intervalo de 0 a 1.25 s; pero también realizan fuerza pasiva, lo que quiere decir que el músculo realiza fuerza a pesar de no estar activado. Tal es el caso del iliaco en el intervalo de 1.3 a 3 segundos o del glúteo mayor en el intervalo de 1.3 a 2 segundos. 6.4.2 Pedaleo. Modelo muscular en el pedaleo. En numerales anteriores ya se respondió a la pregunta fundamental: ¿Cuáles músculos se van a usar y por qué? Ahora, en este numeral se responden otras cuatro preguntas que son necesarias para especificar a los músculos, las cuales, en su orden, son: ¿Qué geometría tienen y dónde es el origen y la inserción de los músculos? ¿Cómo van a ser activados los músculos en el pedaleo? ¿Los músculos en el pedaleo responden como actuadores de longitud o velocidad? Y, por último, ¿cuáles son las propiedades que caracterizan a cada uno de los músculos?. Para coordinar el movimiento de las piernas en el pedaleo se utilizan seis actuadores por pierna, los que se modelan como líneas rectas con un punto de origen y un punto de inserción, como se muestra en la figura 26. Figura 26. Ubicación de los actuadores musculares. 53.

(54) IM-2007-I-27. La secuencia de activación de los músculos durante el ciclo de pedaleo es medida experimentalmente con técnicas de electro miografía –EMG- (Neptune, 1996), (ver figura 27). Figura 27. Secuencia de activación de los músculos durante el pedaleo. Fuente: (Neptune, 1997) Todos los músculos considerados en el modelo del pedaleo responden a velocidad, ya que la frecuencia a la que operan todos los actuadores es menor a la frecuencia de corte.. Y el último paso necesario para acabar de especificar los actuadores son los parámetros de fuerza, longitud de los músculo tendones (Neptune, 1998), que se muestran en el cuadro 6. Cuadro 6. Propiedades de los actuadores musculares Grupo Muscular Gluteo mayor Hamstrings Femoral recto Vasti Bíceps femoral Iliaco. Fmo (N). l mo (m). lts(m). 1250 1288 974 2125 502 788. 0.131 0.080 0.084 0.087 0.173 0.100. 0.260 0.359 0.346 0.239 0.100 0.130. Fuente: (Zajac, 1997). 54.

(55) IM-2007-I-27. Resultados. Se presentan los resultados obtenidos durante la simulación de la evolución del ángulo de manivela q4 durante medio ciclo de pedaleo comparado con el ángulo de manivela para una velocidad de pedaleo de 90 r.p.m, debido a que las activaciones de los músculos utilizadas en este trabajo fueron las reportas por Neptune (1996) para dicha velocidad.. Al igual que en el modelo de dinámica inversa, se utilizaron las propiedades de masa, inercia y longitud para una persona de estura 1.80 m y 80 kg de masa. Además, se presentan los resultados de la fuerza de actuación estimada por el modelo de Hill durante el periodo de la simulación.. Como se puede ver en la figura 28, la variable q4 sigue el movimiento experimental hasta los 0.1 segundos, lo que es equivalente a más o menos la tercera parte del ciclo de pedaleo, pero a partir de 0.1 segundos hasta 0.28 segundos presenta una desviación algo significativa en posición angular la que se traduce en una desviación en velocidad de pedaleo máxima de 2.5 rad/s ó 23.8 r.p.m. De aquí se puede recalcar algo positivo del modelo: que los actuadores seleccionados permiten realizar el movimiento de pedaleo, aunque se presenten errores en posición y velocidad. Figura 28. Posición angular de la manivela con respecto al tiempo. 55.

(56) IM-2007-I-27. Figura 29. Fuerza de actuación ejercida por cada uno de los músculos del modelo. Los resultados aquí presentados y justificados por las investigaciones realizadas por Zajac (2002) permiten concluir que el uso de mediciones experimentales de la activación (EMG) y de las propiedades dinámicas del modelo, es rara vez exitoso debido posiblemente a las incertidumbres siempre existentes en este tipo de mediciones. Lo cual sugiere que en este trabajo hizo falta un ajuste de parámetros, como la masa y la inercia de los cuerpos, y un ajuste sobre las funciones de activación mediante las técnicas de optimización.. 56.

(57) IM-2007-I-27. 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. • Por medio de dinámica directa fue posible integrar un modelo de actuación muscular a un modelo biomecánico del pedaleo.. • Las simulaciones realizadas entregaron un ángulo de salida en función del tiempo, con un error de posición angular menor a 12°, lo cual era de esperarse, de acuerdo con lo encontrado en la teoría de modelos biomecánicos.. • Las ecuaciones de Kane se aplican de manera eficiente en el modelamiento de movimientos humanos como el pedaleo, ya que reduce el orden de las ecuaciones diferenciales y casi siempre son expresiones matemáticas mucho más sencillas.. • Para elaborar un modelo que simule mejor el pedaleo, es necesario lo siguiente: Considerar el movimiento del pie respecto a la canilla; es decir, modelar el pedaleo como un sistema dinámico con tres grados de libertad.. Realizar un modelo de optimización que permita hacer ajustes sobre los parámetros dinámicos del modelo, así como sobre las funciones de activación.. Utilizar un sistema de control con el que se puedan efectuar correcciones en posición angular de la manivela y en la velocidad de pedaleo.. 57.

(58) IM-2007-I-27. 7. BIBLIOGRAFÍA. •. INSTITUTO COLOMBIANO DE NORMAS TECNICAS Y CERTIFICACIÓN (Icontec). Compendio de normas técnicas colombianas sobre documentación : tesis y otros trabajos de grado. Bogotá: Icontec, 2007.. •. GILLESPIE, B. Kane’s equations for haptic display of multibody systems. University of Michigan, Departament of Mechanics Engineering, 2003.. •. KANE, T. and LEVISON, D. Dynamics: theory and applications. McgrawHill, 1985.. •. MADER, S.S. Human biology. 7 ed. Nueva York:: McGraw-Hill, 2002.. •. NEPTUNE, R.R. and HULL, M.L. The effect of pedaling rate on coordination in cycling. En: Journal Biomechanics. Vol. 30 (1997). •. WHITE, M.M. Gait analysis. 3 ed. Nueva York:: Buterworth Heineman, 2002.. •. ZAJAC, F. Muscle and Tendon: properties, models, scaling and application to biomechanics and motor control. Critical Reviews of biomechanical engineering. 1989. Vol.17.. •. ZAJAC, F.E. and HOY, M.G. An interactive-based model of the lower extremity to study orthopaedic surgical procedures, IEEE. 1990. Vol. 37.. •. ZAJAC, F.E. and H LEVINE, W.S. Muscle coordination of maximum speed pedaling. En: Journal Biomechanics. Vol. 30 (1993). •. ZAJAC, F.E. and LEVINE W.S. Muscle coordination of maximum speed pedaling. En: Journal of Biomechanics. Vol. 30, No. 6 (1997); p. 595-602.. •. ZAJAC, F.E. and NEPTUNE S.S. Biomechanics and muscle coordination of human walking Part I: Introduction to concepts, power transfer, dynamics and simulations. En: Gait Posture. Vol. 16, (2002); p. 215-232.. 58.

(59) IM-2007-I-27. ANEXO. Los anexos del trabajo son archivos digitales realizados en los programas Working Model, Autolev y Simulink de Matlab Dichos archivos se encuentran en el CD anexo a este trabajo bajo los siguientes nombres. •. Working Model o Dinámica inversa o Modelo músculos o Dos Actuadores de torque o Esquema real. •. Autolev o Dinámica directa o Dinámica inversa o Movimiento de Flexión Simulink o Músculo caso 1 o Músculo caso 2 o Movimiento de Flexión muslo o Dinámica y músculos. •. 59.

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