Simulación de antenas de microcinta utilizando FDTD 3D

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(1)SIMULACION DE ANTENAS DE MICROCINTA UTILIZANDO FDTD 3D. LEONARDO RODRIGUEZ CASTAÑEDA. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. PREGRADO. Bogota, Enero de 2004.

(2) IEL2-03-II-33. SIMULACION DE ANTENAS DE MICROCINTA UTILIZANDO FDTD 3D. Autor: LEONARDO RODRIGUEZ CASTAÑEDA Asesor: Ph. D. NÉSTOR PEÑA TRASLAVIÑA. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA. Desarrollado para cumplir con el requisito de grado para el titulo de Ingeniero Electrónico. Enero de 2004 2.

(3) IEL2-03-II-33. RESUMEN Las antenas de microcinta resultan muy atractivas gracias a su bajo costo, sus características de radiación y facilidad de análisis y. fabricación,. motivándonos. para. realizar. un. simulador. electromagnético basado en la discretización de las ecuaciones de Maxwell a través del método de diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD 3D). El algoritmo FDTD es una excelente alternativa. para. el. modelamiento. de. estructuras. electromagnéticas complejas, con una gran precisión. Al principio de este artículo, se enunciará la formulación de este método, considerando el uso de fronteras absorbentes adaptadas PML para poder emular el comportamiento de estructuras abiertas. Como la mayoría de los parámetros importantes de desempeño de una antena se encuentran en la zona lejana, se empleará la transformación de campo cercano a campo lejano en el dominio del tiempo (NF-FF-TD). La característica de la antena en la cual estamos principalmente interesados es el patrón de radiación. Posteriormente se mostraran los resultados obtenidos haciendo comparaciones. con. artículos,. y. validación correcta de los resultados.. 3. libros,. para. realizar. una.

(4) IEL2-03-II-33. INDICE. INDICE .................................................................................................................... 4 I. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 5 II. FORMULACION FDTD 3D............................................................................. 7 I. Formulación Matemática FDTD 3D .............................................................. 8 II. Estabilidad Numérica .................................................................................. 11 III. Forma de Excitación................................................................................ 13 IV. Condiciones de Frontera .......................................................................... 14 V. Fronteras Absorbentes (ABC)...................................................................... 15 VI. Fronteras Absorbentes Adaptadas PML ................................................... 15 III. TRANSFORMACION DE CAMPO CERCANO A CAMPO LEJANO ...... 20 I. Teorema de Superficie Equivalente ............................................................. 22 II. Transformación de Campo Cercano a Campo Lejano en el Dominio de la Frecuencia........................................................................................................... 25 III. Transformación de Campo Cercano a Campo Lejano en el Dominio del Tiempo ............................................................................................................... 30 IV. RESULTADOS........................................................................................... 35 I. Algoritmo Total Utilizado ........................................................................... 35 II. Simulaciones ............................................................................................... 40 V. CONCLUSIONES .......................................................................................... 44 VI. ANEXO 1 ................................................................................................... 47 VII. ANEXO 2 ................................................................................................... 50 VIII. ANEXO 3 ................................................................................................... 53 IX. ANEXO 4 ................................................................................................... 56 X. ANEXO 5 ....................................................................................................... 59 XI. ANEXO 6 ................................................................................................... 64 XII. REFERENCIAS .......................................................................................... 71. 4.

(5) IEL2-03-II-33. I. INTRODUCCIÓN Actualmente con el auge de las comunicaciones, la necesidad de utilizar dispositivos de bajo costo, y buen desempeño, está a la orden del día. Las antenas de microcinta o antenas de parche como también son conocidas; desde hace un par de décadas, han aumentado su popularidad gracias a su bajo costo de fabricación, su facilidad de diseño, análisis, y su sencilla fabricación y acople con elementos activos, debido a los grandes adelantos que se tiene en la fabricación de circuitos impresos. Estos dispositivos brindan extraordinarias características de radiación, entre las cuales encontramos una alta directividad, un muy pequeño ancho de banda lo cual es una característica requerida para dispositivos detectores entre otros. Estas antenas han sido utilizadas desde hace un par de décadas en satélites, en radares, y. en una gran variedad de vehículos o. dispositivos tanto militares como espaciales. Estas antenas consisten principalmente de uno o varios substratos, el cual tiene un. plano de tierra ubicado en la parte inferior de la. estructura, y los elementos radiantes son láminas metálicas muy delgadas de diferentes formas, las cuales están impresas en la superficie. del. o. de. los. diferentes. substratos.. Los. parches. rectangulares y circulares son los mas comunmente utilizados debido a su facilidad de análisis, y su mayor facilidad de fabricación [1]. Este artículo solo tratará de antenas rectangulares, ya que son modeladas mas fácilmente por el algoritmo FDTD, gracias a su geometría. Existen varios métodos para polarizar antenas de microcinta entre los 5.

(6) IEL2-03-II-33. cuales se encuentran los siguientes. Polarización por proximidad, polarización por apertura, polarización utilizando cable coaxial, y polarización empleando una línea de microcinta [1],[3],[4]. En este documento se trabajará principalmente con los dos últimos métodos de polarización mencionados anteriormente. Este documento tiene la siguiente estructura. Primero se mostrará la formulación del algoritmo FDTD en tres dimensiones. Posteriormente se hará una breve explicación de las fronteras absorbentes (ABC), especialmente de las fronteras PML, de las cuales se mostrará la formulación utilizada. Más adelante se dedicará un capítulo a la explicación de la transformación de los campos cercanos a los campos lejanos tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, y su forma de utilización para calcular el patrón de radiación, el cual es el parámetro de desempeño de la antena en el cual estamos interesados. Una vez terminado este capítulo se mostrarán. algunos. anteriormente. resultados. expuestas. y. obtenidos finalmente. conclusiones.. 6. utilizando. las. terminaremos. teorías con.

(7) IEL2-03-II-33. II. FORMULACION FDTD 3D. En el año de 1966 Yee, propuso un modelo espacial, para la solución en el dominio del tiempo de las ecuaciones de Diferenciales de Maxwell [3]. La base de este modelo fue hacer una aproximación de las derivadas, haciendo una discretrización de estas, tanto en tiempo como en espacio. Mas adelante Taflove en 1975, empezó a utilizar este modelo para. solucionar complejos problemas electromagnéticos. inomogéneos. En 1980 publicó un artículo, por el cual este modelo empezó a ser conocido como FDTD (diferencias finitas en el dominio del tiempo). Este. algoritmo. tuvo. un. lento. desarrollo. por. mucho. tiempo,. posiblemente por las limitaciones tecnológicas, presentes en esa época,. ya. que. procesamiento. este y. un. algoritmo. requiere. consumo. un. gran. considerable. de. trabajo. de. memoria;. adicionalmente, este algoritmo tiene una limitación al igual que muchos otros algoritmos numéricos, la cual es la. imposibilidad de. simular dentro de su espacio virtual de simulación, el infinito. Para solucionar esto, algunos autores propusieron modelos matemáticos para poder emular el comportamiento de estructuras abiertas, estos fueron llamados fronteras absorbentes (ABC Absorbent boundary conditions). En 1994 Berenger propuso unas fronteras absorbentes en dos dimensiones las cuales llamó PML (Perfectly Matched Layer), las cuales realizan una eficiente absorción de la radiación [2], [3]. Antes de esto también se propusieron otros métodos para las condiciones de frontera del volumen computacional. En estudios que se hicieron mas adelante se demostró que PML, no. 7.

(8) IEL2-03-II-33. causa perturbaciones considerables en el medio, lo cual le permite ser ubicado muy cerca de las estructuras radiantes, sin presentar reflexiones considerables, y sin alterar los campos evanescentes. Hasta. el. momento. PML. es. utilizado. en. la. mayoría. de. las. implementaciones de FDTD, también por su facilidad de acople con este algoritmo.. I. Formulación Matemática FDTD 3D El núcleo de este algoritmo es solucionar las ecuaciones diferenciales de Maxwell [1][12][15], por medio de la discretización del espacio y del tiempo, para poder calcular los campos vectoriales eléctricos y magnéticos y poder ser calculados iteratívamente uno después del otro respectivamente. Para facilitar la comprensión de este algoritmo vamos a suponer que el medio es homogéneo, no tiene pérdidas y adicionalmente,. no. hay. fuentes;. la. incorporación. de. estas. características es sencilla, pero pueden dificultar el entendimiento del método.. r r ∂E 1 = ∇XH ∂t ε r r 1 ∂H = − ∇XE µ ∂t. (1). El modelo que planteo Yee, para solucionar estas ecuaciones fue una grilla espacial, en el caso de 3D, es una celda cúbica, en la cual tiene información. asociada. con. los. campos. vectoriales. eléctricos. y. magnéticos. Una representación visual de este modelo es el siguiente:. 8.

(9) IEL2-03-II-33. ∆x. Campo Eléctrico. z ∆z. Campo Magnético. y x ∆y Fig. 1. Celda Yee. Si hacemos una discretización analítica en tiempo y en espacio de las ecuaciones. diferenciales. de. Maxwell (1),. obtenemos. el. mismo. resultado que si interpretáramos físicamente las ecuaciones integrales de Maxwell, mediante la utilización del modelo propuesto por Yee como se muestra en la siguiente figura [2][3][4].. Campo Eléctrico Z. Campo Magnético. X Y. Fig. 2. Interpretación física ecuaciones Maxwell para calcular Ex.. Aplicando el modelo presentado en la figura 2, obtendríamos la siguiente discretización para la componente del campo vectorial eléctrico, en el eje X.. E. n +1 x. 1 (i + 2 , j , k ). − E x (i +. ∆t. n. 1 2 , j, k ). 1 n+ 1 n+ 1 [ H z 2 (i + 12 , j + 12 , k ) − H z 2 (i + 12 , j − 12 , k )] ∆yε ( m) 1 n+ 1 n+ 1 − [ H y 2 (i + 12 , j , k + 12 ) − H y 2 (i + 12 , j , k − 12 )] ∆zε ( m). =+. 9. (2).

(10) IEL2-03-II-33. A continuación son presentadas las ecuaciones de los campos vectoriales electromagnéticos, obtenidos de igual manera que la ecuación (2) Ecuaciones de FDTD 3D de campo eléctrico reales:. E. E. n +1 x. 1 (i + 2 , j , k ). − E x (i + n. 1 2 , j, k ). ∆t. n +1 y. 1 (i , j + 2 , k ). − E y (i , j + n. 1 2 , k). ∆t. E. n +1 z. 1 (i , j , k + 2 ). − E z (i , j , k + n. 1 2). ∆t. 1 n+ 1 n+ 1 [ H z 2 (i + 12 , j + 12 , k ) − H z 2 (i + 12 , j − 12 , k )] (3a) ∆yε ( m) 1 n+ 1 n+ 1 − [ H y 2 (i + 12 , j , k + 12 ) − H y 2 (i + 12 , j , k − 12 )] ∆zε ( m). =+. 1 n+ 1 n+ 1 [ H x 2 (i , j + 12 , k + 12 ) − H x 2 (i , j + 12 , k − 12 )] ∆zε ( m) (3b) 1 n+ 1 n+ 1 − [ H z 2 (i + 12 , j + 12 , k ) − H z 2 (i − 12 , j + 12 , k )] ∆xε ( m) 1 n+ 1 n+ 1 =+ [ H y 2 (i + 12 , j , k + 12 ) − H y 2 (i − 12 , j , k + 12 )] ∆xε ( m) (3c) 1 n + 12 n + 12 1 1 1 1 − [ (i , j + 2 , k + 2 ) − H x (i, j − 2 , k + 2 )] ∆yε ( m) H x =+. Ecuaciones FDTD 3D de campo magnético reales:. H. H. n + 12 x. (i , j +. 1 1 ,k + ) 2 2. n − 12. −Hx. (i , j +. 1 1 ,k + ) 2 2. ∆t. n +1 y. 1 1 (i + 2 , j , k + 2 ). − H y (i + n. 1 1 2 , j, k + 2 ). ∆t. H. n +1 z. 1 1 (i + 2 , j + 2 , k ). − H z (i +. ∆t. n. 1 1 2 , j + 2 , k). 1 n n [ E z (i , j , k + 12 ) − E z (i , j + 1, k + 12 )] (4a) ∆yµ (m) 1 n+ 1 n+ 1 − [ E y 2 ( i , j + 12 , k ) − E y 2 (i , j + 12 , k + 1)] ∆zµ ( m). =+. 1 n+ 1 n+ 1 [ E x 2 (i + 12 , j , k ) − E x 2 ( i + 12 , j , k + 1)] ∆zµ ( m) (4b) 1 1 1 n+ n+ − [ E z 2 (i , j , k + 12 ) − E z 2 (i + 1, j , k + 12 )] ∆xµ (m). =+. 1 n+ 1 n+ 1 [ E y 2 (i , j + 12 , k ) − E y 2 (i + 1, j + 12 , k )] ∆xµ ( m) (4c) 1 n + 12 n + 12 1 1 − [ (i + 2 , j , k ) − E x (i + 2 , j + 1, k )] ∆yµ (m) E x. =+. 10.

(11) IEL2-03-II-33. En las anteriores ecuaciones ε(m)=. εo εr, y µ(m)= µo µr.. Las ecuaciones para materiales dieléctricos conductivos pueden ser obtenidas. realizando una discretización similar a la utilizada para. calcular (2)-(4), pero agregando el término correspondiente a la conductividad del medio, obtenemos los resultados mostrados en el ANEXO 1. Hay que tener en cuenta que en las discontinuidades de los materiales hay que utilizar εr eff. y µr eff., el cual se puede aproximar al promedio de las dos permitividades y permeabilidad de los dos materiales [2][4][11][10]. Esto se debe realizar únicamente en la dirección donde ocurre la discontinuidad.. II. Estabilidad Numérica Como FDTD es un algoritmo numérico, en el cual estamos discretizando tanto el espacio como el tiempo, debemos definir condiciones para garantizar su estabilidad [2][3][8][10]. Kunz y Lubberts, recomiendan que se utilicen mínimo 4 celdas por longitud de onda mínima para garantizar la estabilidad del algoritmo. Sin embargo la dispersión numérica que obtiene de esta forma es muy elevada, conduciendonos a un alto grado de error en nuestros cálculos. Para reducir este efecto aumentamos a un mínimo de 10 celdas por longitud de onda mínima. Con este criterio se obtienen resultados aceptables para los casos en los que no necesitamos mucha precisión, como es el caso de materiales continuos y. 11.

(12) IEL2-03-II-33. homogéneos. En los casos en los que se requiere una gran precisión, se utiliza normalmente mínimo 20 celdas por longitud de onda mínima. Con este ultimo criterio podemos analizar materiales inomogéneos, y discontinuos, pero en algunos casos donde se presentan discontinuidades es necesario hacer un mallado mucho mas fino, para tener en cuenta todos los efectos producidos por la discontinuidad. La longitud de onda mínima esta determinada por la máxima frecuencia. en. la. que. estamos. interesados. en. analizar.. Las. dimensiones de la celda son calculadas a partir de la ecuación que se muestra a continuación[2][3]:. ∆Espacio = c. 1. 1. 1. (5). ε r µ r f max N celdas. De la anterior ecuación podemos inferir que para estructuras de dimensiones grandes comparadas con la longitud de onda mínima, obtendremos un número de celdas considerablemente elevado, lo que aumentará. el. consumo. de. recursos. computacionales. considerablemente. Para determinar el paso del tiempo, se utiliza el criterio de Courant, el cual establece una cota máxima para el valor del paso del tiempo, la cual está definida en función de las dimensiones de la celda. Este criterio se muestra a continuación[2][3]:. ∆t ≤. c. 1 ∆x 2. 1 + ∆1y 2 + ∆1z 2 12. (6).

(13) IEL2-03-II-33. Podemos observar que si las dimensiones de la celda son muy pequeñas, obtendremos un paso del tiempo muy pequeño lo que en algunos casos causara un aumento en el numero de iteraciones requerido para que el sistema entre en estado estable.. III. Forma de Excitación Escoger la forma de la señal para excitar el sistema, debe ser muy cuidadosamente. seleccionada,. ya. que. si. no. es. seleccionada. adecuadamente, puede introducir demasiado ruido, adicionalmente debe. excitar. una. distribución. del. campo. muy. cercana. a. la. distribución de campo real de la estructura de interés, para obtener la respuesta correcta, por que de lo contrario se podrían encontrar resultados evanescentes, y en algunos casos podrían obtenerse resultados que físicamente no podrían ocurrir. Adicionalmente se debe escoger una señal que permita hacer un análisis en una ancho de banda controlado. Normalmente se utiliza un pulso Gaussiano, para excitar la estructura de interés, algunos autores recomiendan utilizar un pulso gaussiano modulado para que el. sistema. llegue. a. estado. estable. mucho. mas. rápidamente[2][3][4][8][10][11]. La configuración utilizada para las simulaciones realizadas en este documento utilizan la siguiente configuración para la excitación. ( n∆t − t0 ) − r 2 J = cos(nW0 ∆t ).e 2σ. 13. 2. (7).

(14) IEL2-03-II-33. W0 = 2π ( f min +. BW 2. ). (8a). 2 BWπ t0 = 3.03485σ. σ=. (8b) (8c). IV. Condiciones de Frontera Para cualquier problema electromagnético debemos satisfacer las condiciones de frontera de nuestro volumen computacional para asegurar que el sistema tiene una solución física única, además debido a las limitaciones que tenemos para modelar un espacio computacional. infinito. debemos. truncar. nuestro. volumen. computacional, de una forma tal que se satisfagan las condiciones de frontera para una estructura electromagnética arbitraria. Como estamos. trabajando. en. coordenadas. rectangulares. en. tres. dimensiones, debemos satisfacer estas condiciones de frontera, en las 6. caras. que. componen. nuestro. volumen. computacional.. Las. condiciones de frontera se pueden separar en dos grupos, los cuales son, en fronteras absorbentes y en estructuras aisladas [3]. Estas últimas consisten simplemente en encerrar completamente nuestra estructura de interés con paredes conductoras eléctricas perfectas (PEC), o paredes conductoras magnéticas perfectas (PMC) o una combinación de las dos anteriores. Todas las estructuras modeladas con FDTD deben utilizar este tipo de fronteras para truncar el volumen computacional. La condición que deben cumplir este tipo de fronteras. en. muy. sencilla,. la. cual. 14. es. que. las. componentes.

(15) IEL2-03-II-33. tangenciales de los campos según sea el caso deben ser cero sobre la pared. Para el caso de PEC, las componentes tangenciales del campo eléctrico en la pared deben ser cero, y para el caso de PMC, las componentes tangenciales del campo magnético en la pared deben ser cero. Las fronteras absorbentes las utilizamos para emular el comportamiento de las estructuras abiertas [2][3][4].. V. Fronteras Absorbentes (ABC) Las fronteras absorbentes son utilizadas para truncar el volumen computacional. y. emular. el. comportamiento. de. estructuras. electromagnéticas abiertas. Idealmente las fronteras absorbentes no deben generar reflexiones a ninguna frecuencia, ni para ningún ángulo de incidencia. Para el algoritmo de FDTD se propusieron algunas soluciones para las fronteras absorbentes. Las fronteras absorbentes introducen pérdidas electromagnéticas,. de. tal. forma. que. atenúan. los. campos. electromagnéticos muy rápidamente, produciendo reflexiones muy bajas. La frontera absorbente utilizada en este documento fue PML fronteras absorbentes adaptadas.. VI. Fronteras Absorbentes Adaptadas PML Las fronteras absorbentes adaptadas fueron propuestas por Berenger en 1994 [12]. Este modelo parte de las ecuaciones diferenciales de Maxwell con pérdidas[2][3][4][11][12].. 15.

(16) IEL2-03-II-33. r r r ∂E + σE = ∇XH εe ∂t r r r ∂H µe + σ * H = −∇XE ∂t. (9a) (9b). El modelo planteado inicialmente fue en dos dimensiones, para más información remitirse a [12]. El modelo propuesto por Berenguer genera atenuación únicamente en la dirección de propagación de la onda electromagnética, por tal motivo, las fronteras propuestas, son un modelo puramente matemático, el cual no tiene representación física. Como queremos atenuar únicamente en la dirección de propagación, debemos partir cada una de las componentes de los campos vectoriales electromagnéticos en 2 sub-componentes según su aporte espacial como se muestra a continuación.. E E E. x y x. =. E =E =E. xy. + E xz. (10a). yz. + E yx. (10b). zx. + E zy. (10c). H H H. x. = H xy + H xz. (11a). y. = H yz + H yx. (11b). x. = H zx + H zy. (11c). Supongamos que queremos calcular la ecuación de PML para la componente en el eje X. Teniendo en cuenta lo mencionado anteriormente, debemos calcular sus dos sub-componentes.. ε ε. ∂Exy ∂t. + σ y Exy =. ∂(H zx + H zy ). ∂Exz + σ z Exz = − ∂t. ∂y ∂(H yx + H yz ) ∂z 16. (12a). (12b).

(17) IEL2-03-II-33. El resto de las sub-componentes es calculado de la misma manera. Las ecuaciones finalmente utilizadas, son mostradas en el Anexo 2. Cuando estamos en la frontera entre las celdas de FDTD y las celdas de PML, debemos tener mucho cuidado de satisfacer correctamente la ecuación (10),(11). Los medios inhomogéneos. que tienen diferentes materiales deben. satisfacer las siguientes condiciones de frontera para que la impedancia del medio se adapte a la impedancia del espacio libre:. σe σ m* = ε oε r µ o. (13). Adicionalmente debemos satisfacer la condición de que la velocidad de propagación de la onda electromagnética debe ser igual para todos los medios, esto lo logramos satisfaciendo la siguiente ecuación:. σ e1 σ = e 2 = ... ε oε r 1 ε oε r 2. (14). Si se cumplen las dos condiciones anteriores, teóricamente no deben existir reflexiones para las ondas electromagnéticas que tengan incidencia normal. Como PML solo causa atenuación en la dirección de propagación de la onda electromagnética, hay que definir diferentes. zonas. comportamiento. dentro. de. las. conductividades. fronteras, deben. en. ser. las. cuales. el. cuidadosamente. definidas. Para entender mejor el perfil de las conductividades pasemos a dos dimensiones, como se muestra en la siguiente figura.. 17.

(18) IEL2-03-II-33. (σ ,σ ,σ ,σ ) xe. ye. *. *. xm. ym. ⎛σ xe ,0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ , * ,0 ⎟ ⎝ σ xm ⎠. (0,σ ,0,σ ). (σ ,σ ,σ ,σ ). *. ye. ym. xe. *. *. xm. ym. ye. ⎛σ xe ,0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ , * ,0 ⎟ ⎝ σ xm ⎠. Estructura Radiante. Y. X. (σ ,σ ,σ ,σ ) xe. ye. *. *. xm. ym. (σ ,σ ,σ ,σ ). (0,σ ,0,σ ) *. ye. xe. ym. ye. *. *. xm. ym. Fig. 3. Definición de conductividades en PML 2D.. La implementación de PML debe utilizar varias celdas de espesor para evitar variaciones abruptas en la conductividad, lo que causaría reflexiones numérica indeseadas. Normalmente se utilizan entre 6 y 16 celdas de espesor en las fronteras, en este documento se utilizaron 10 celdas. Brerenger analizó perfiles en el cambio de conductividad lineal y parabólico. Con este último obtuvo menos reflexiones, por lo cual fue utilizado. para. la. implementación. 18. de. estas. fronteras,. en. las.

(19) IEL2-03-II-33. estructuras analizadas en este documento. El perfil parabólico utilizado tiene la siguiente forma:. σ x (i ) =. σ max i 3. (15). 3∆xNceldasPM L. 2. El cálculo del resto de conductividades eléctricas y magnéticas se calculan de la misma manera. Las conductividades deben variar desde cero, en la interfase con el medio, al máximo cuando llega a la frontera PEC.. 19.

(20) IEL2-03-II-33. III.. TRANSFORMACION DE CAMPO CERCANO A CAMPO LEJANO. Las estructuras radiantes tienen definidas tres zonas, en las cuales las predominan determinadas características electromagnéticas. La siguiente. gráfica. muestra. las. zonas. correspondientes. a. una. estructura abierta [1].. Zona Reactiva. R1=0.62sqrt(d3/l). R1. Zona Cercana (Fresnel). R2= 2D2/λ. R2 Zona Lejana. R3 > 2D2/λ. R3. Fig. 4. Zonas de una estructura abierta.. La. zona. reactiva. esta. dominada. principalmente. por. campos. electromagnéticos reactivos, esta zona es muy cercana a la estructura radiante. La zona cercana o de Fresnel como también es conocida, esta dominada por la distribución de los campos electromagnéticos, y por que las componentes angulares de los campos eléctricos y magnéticos varían con la distancia entre la posición actual y el centro de la estructura. La zona lejana está dominada por las componentes angulares. de. los. campos. electromagnéticos, 20. las. cuales. son.

(21) IEL2-03-II-33. independientes de la distancia relativa al centro de la estructura. El algoritmo de FDTD nos proporciona toda la información de los campos electromagnéticos en la zona cercana con una excelente precisión. Usualmente estamos interesados en las características de radiación de los campos lejanos de las antenas, entre las cuales encontramos: •. Patrón Radiación.. •. Ancho de Banda.. •. Eficiencia radiación.. •. Ganancia Absoluta.. •. Otros.. Nosotros en esta tesis estamos interesados en calcular el patrón de radiación. En este momento surge la pregunta ¿por que no extender nuestro volumen computacional hasta la zona lejana?. La respuesta es bastante obvia. El consumo de recursos de memoria del algoritmo de FDTD en de orden cúbico, adicionalmente, como el algoritmo tiene complejidad temporal O(n4), el tiempo de simulación de la estructura aumentaría considerablemente hasta el punto de volver el algoritmo totalmente ineficiente.. En vez de extender nuestro volumen. computacional lo que debemos hacer es realizar una transformación de los campos cercanos obtenidos mediante FDTD, a los campos lejanos en los cuales estamos interesados. Existen dos algoritmos para realizar la transformación de los campos cercanos a los campos lejanos, uno es en el dominio del tiempo y el otro en el dominio de la frecuencia. Este documento hablará de estos 21.

(22) IEL2-03-II-33. dos métodos de transformación y mencionará cuales son principales sus ventajas y desventajas. Estos algoritmos están basados en la función de Green del espacio libre, y en el teorema de la superficie equivalente.. I. Teorema de Superficie Equivalente El teorema de superficie equivalente es una poderosa. teoría. electromagnética, donde las fuentes actuales que para nuestro caso son antenas, son reemplazadas por fuentes equivalentes [1][2][3]. Fragmento tomado de [2]. “By the surface equivalence theorem, the fields outside an imaginary closed surface are obtained by placing over the closed surface suitable electric and magnetic current densities that satisfy the boundary conditions. The current densities are selected so that the fields inside the closed surface are zero and outside are equal to the radiation produced by the actual sources. Thus, the technique can be used to obtain the fields radiated outside a closed surface by sources enclosed within it. The formulation is exact but requires integration over the closed surface. The degree of accuracy depend on the knowledge of the tangential components of the fields over the closed surface”. La idea principal de el teorema de superficie equivalente puede entenderse mejor con la siguiente grafica: 22.

(23) IEL2-03-II-33. r r ( E1 , H1 ). r r ( E1 , H1 ). (ε o , µ o ). (ε o , µ o ). r M1. r J1. Estructura Arbitraria. S. (a) Problema Inicial. r r ( E1 , H1 ). r r ( E, H ). (ε o , µ o ). (ε o , µ o ). n̂. r r r J s= nˆ X ( H1 − H ) r r r M s = − nˆX ( E1 − E ). S (b) Problema Equivalente Intermedio. r r ( E1 , H1 ). (ε o , µ o ). n̂. rr (0,0) (ε o , µ o ). r r J s= nˆXH1 r r M s = − nˆ XE1. S (c) Problema Equivalente Fig. 5. Definición de los campos electromagnéticos y corrientes virtuales eléctricas y magnéticas para el teorema de superficie equivalente. Gráfica tomada de [2].. En la gráfica anterior podemos ver como se aplica el teorema de superficie equivalente. En Fig. 5. (a) tenemos el caso normal al que nos enfrentamos al trabajar con una estructura electromagnética.. 23.

(24) IEL2-03-II-33. Suponemos que todo el espacio contiene únicamente los campos vectoriales electromagnéticos (E1, H1), los cuales son generados por las fuentes de corriente vectoriales J1, M1, que fluyen sobre la superficie de la estructura de interés. En. Fig. 5. (b) Asumimos que J1, M1, son suprimidos de nuestro. modelo y por lo tanto aparecen unos nuevos campos vectoriales (E, H) dentro de la superficie virtual S. Como nosotros deseamos observar los campos vectoriales originales. (E1, H1) fuera de la superficie. virtual, tenemos que satisfacer las condiciones de frontera de las componentes tangenciales de los campos electromagnéticos en S, por lo tanto deben existir unas densidades corriente eléctrica y magnética virtuales (Js, Ms), fluyendo tangencialmente sobre la superficie S.. r r r J s= nˆ X ( H1 − H ) r r r M s = −nˆ X ( E1 − E ). (16a) (16b). Las densidades de corrientes virtuales de la ecuación anterior, generan radiación, tanto dentro como fuera de la superficie virtual, generando los campos vectoriales originales (E1, H1), fuera de la superficie virtual. Nos podemos dar cuenta que los campos en el interior de la superficie pueden tener un valor totalmente arbitrario, por lo que por conveniencia los escogemos, exactamente iguales a cero. Al hacer esto nos encontramos con el escenario de la Fig. 5. (c). Donde las densidades. de. corriente. tangenciales. determinadas por:. 24. a. la. superficie. están.

(25) IEL2-03-II-33. r r J s= nˆ XH1 r r M s = −nˆXE1. (17a) (17b). Lo anterior fue recopilado de [2].. II. Transformación de Campo Cercano a Campo Lejano en el Dominio de la Frecuencia. Esta transformación es realizada en el dominio de la frecuencia como lo indica su nombre. la información requerida para realizar la transformación es tomada directamente del algoritmo de FDTD en cada iteración, y esta es transformada al dominio de la frecuencia, utilizando una RDFT, que es calculada en cada iteración. En el dominio de la frecuencia solo son almacenadas las componentes espectrales correspondientes a las frecuencias en las que estamos interesados,. normalmente. son. solo. un. par. de. frecuencias. [2][3][4][6][13]. Los fasores de los campos electromagnéticos lejanos están definidos rigurosamente por las siguientes ecuaciones:. (. ). (r ⎤ 1 (r (r ⎡ (r 1 E = −iω ⎢ A + 2 ∇ ∇ • A ⎥ − ∇ × F k ⎣ ⎦ εo (r (r (r ⎤ 1 ⎡ (r 1 H = −iω ⎢ F + 2 ∇ ∇ • F ⎥ + ∇ × A k ⎣ ⎦ µ. (. ). o. (18a). (18b). Podemos observar que los fasores electromagnéticos están en función de los vectores potenciales A, F, los cuales están definidos por:. 25.

(26) IEL2-03-II-33. (r µ o A= 4π. (r e − jkR ∫∫S J S R ds'. (r ε F= o 4π. (r e − jkR ∫∫S M S R ds '. (19a) (19b). Las coordenadas utilizadas en la transformación del campo cercano a campo lejanos es la mostrada a continuación: Punto de Observación. y. x Fig. 6. Coordenadas Utilizadas en el campo lejano. Si utilizamos un punto lo suficientemente lejano del centro de nuestra estructura radiante, podemos utilizar la ley de los cosenos, para aproximar. el. valor. de. R.. Esta. aproximación. se. muestra. continuación: (20) (21a) (21b). 26. a.

(27) IEL2-03-II-33. Aplicando lo anterior, obtenemos la siguiente aproximación para los vectores potenciales A, y F.. (r µ o e − jkr A= 4πr. (r − jkr 'cosψ J ds ' ∫∫ S e. (r ε o e − jkr F= 4πr. (r − jkr 'cosψ M ds ' ∫∫ S e. (22a). S. (22b). S. Nos resulta conveniente para efectos de calcular los vectores potenciales A, y F, aplicando el algoritmo FDTD, definir los vectores potenciales auxiliares N, y L los cuales están definidos de la siguiente forma:. (r (r N = ∫∫ J S e − jkr 'cosψ ds '. (23a). (r (r L = ∫∫ M S e − jkr 'cosψ ds '. (23b). S. S. Si despreciamos los términos que decrecen a una velocidad de (1/r2) o mas rápidamente, y adicionalmente omitimos la componente radial de los. campos. vectoriales. electromagnéticos,. obtendremos. una. simplificación adecuada para la observación de los campos lejanos. Los efectos de estas aproximaciones se pueden reducir al escoger un punto lo suficientemente lejano, con respecto al centro de la estructura radiante. Las componentes de los campos electromagnéticos, en el punto de observación quedarían determinados de la siguiente manera:. 27.

(28) IEL2-03-II-33. (r Er ≅ 0 (r (r (r (r Eθ = η o H φ ≅ − jω Aθ + ηo Fφ (r (r (r (r Eφ = −ηo H θ ≅ − jω Aφ − η o Fθ. (. ). (. (24a) (24b). ). (24c). En la ecuación ηo es la impedancia intrínseca del espacio libre. Como pudimos observar en la ecuación (23), los vectores potenciales auxiliares, son calculados a partir de las corrientes tangenciales a la superficie virtual S. Para efectos de facilidad de acople con el algoritmo de FDTD, la superficie virtual la definimos como una caja cúbica, que encierre totalmente la estructura de interés. La superficie virtual que definimos, tiene en total, seis caras, para cada una de las caras tenemos que calcular los vectores potenciales auxiliares, por lo tanto en total vamos a tener por cada cara 4 componentes de las densidades. de. correspondientes. corriente a. la. tangenciales. densidad. de. a. la. corriente. superficie, eléctrica,. y. 2 2. correspondientes a la densidad de corriente magnética, para un total de 24 componentes. Es aconsejable ubicar las paredes de la superficie virtual en unas coordenadas que coincidan con las caras de las celdas de FDTD. En total La ecuación (23) la podemos calcular, aproximando el valor de la integral de superficie, sumando cada uno de los aportes de las densidades de corriente, que fluyen sobre la cara de cada una de las celda de Yee, que componen la superficie virtual y multiplicado este aporte, por el área de la cara de la celda de Yee involucrada. Hay que tener en cuenta que para que esta aproximación tenga un menor efecto en el error, debemos ubicar las componentes de las densidades de corriente, en un punto medio de la cara de la celda de Yee. 28.

(29) IEL2-03-II-33. involucrada. El cálculo de las densidades de corriente superficiales se encuentra en el ANEXO 3. La siguiente ecuación nos muestra como seria el calculo del vector potencial auxiliar L, para la cara de la superficie virtual S, que se encuentra en el plano y-z, en la posición +Xo.. (r r r L = ∫∫ M s e − jkr 'cosψ dS ' ≅ ∑ ∆z∆y * M s r 'e − jkr 'cosψ S. (25). r'. El cálculo del resto de los vectores potenciales auxiliares, se hace de la misma forma. El término exponencial, debe ser calculado según la ubicación espacial r’ sobre la cara de la superficie virtual S. El argumento del término exponencial es calculado de la siguiente forma:. r ' cosψ = x ' sin θ cos φ + y ' sin θ sin φ + z ' cos θ. (26). Hay que tener en cuenta que la coordenada r’=(x’, y’, z’), corresponde a la ubicación relativa, en metros, con respecto al centro de la superficie virtual. Como dijimos al inicio de esta sección, esta transformación en el dominio de la frecuencia, solo se debe realizar para un par de frecuencias de interés, de lo contrario el consumo de recursos aumentaría proporcionalmente al numero adicional de frecuencias al que se desee trabajar. Como los campos vectoriales electromagnéticos de los campos lejanos están definidos en coordenadas esféricas, y nosotros estamos trabajando en coordenadas rectangulares debemos realizar un cambio de coordenadas, a los vectores potenciales auxiliares N, y L. El cambio de coordenadas es mostrado a continuación:. 29.

(30) IEL2-03-II-33. (. ). (r (r (r r( Nθ = ∫∫ J x cos θ cos φ + J y cos θ sin φ − J z sin θ e − jkr 'cosψ ds ' S. (. (27b). ). (r (r (r Nφ = ∫∫ − J x sin φ + J y cos φ e − jkr 'cosψ ds ' S. (. ). (r (r (r r( Lθ = ∫∫ M x cos θ cos φ + M y cos θ sin φ − M z sin θ e − jkr 'cosψ ds ' S. (. (27a). ). (r (r (r Lφ = ∫∫ − M x sin φ + M y cos φ e − jkr 'cosψ ds '. (27c) (27d). S. Como estamos interesados en calcular el patrón de radiación debemos realizar la transformación de la ecuación (27), para cada uno de los planos principales de la antena E y H. Una vez calculado (27), utilizamos. (22),. para. calcular. los. campos. vectoriales. electromagnéticos de (24). La formulación utilizada para calcular los vectores potenciales de cada una de las caras se encuentra en el ANEXO 4.. III. Transformación de Campo Cercano a Campo Lejano en el Dominio del Tiempo Este algoritmo fue propuesto por Luebbers en [5] y analizado también en [2]. Este algoritmo, tiene la ventaja con respecto a su contraparte de frecuencia, de entregar resultados para un amplio ancho de banda, razón por la cual fue implementado para el modelamiento de las estructuras. seleccionadas.. La. formulación. que. se. presenta. a. continuación tiene involucrada una aproximación para los campos electromagnéticos lejanos E y H, al omitir los términos que disminuyen con un orden (1/r2) o mas rápidamente, así como la componente radial, ya que esta es despreciable en amplitud. 30.

(31) IEL2-03-II-33. comparándola con las componentes angulares. Esta formulación puede ser obtenida de (22), y (24), aplicando la transformada inversa de Fourier. Los vectores de los campos electromagnéticos lejanos E y H están definidos como[2],[5]:. r r r r Eθ ( r , t ) = ηH φ (r , t ) ≅ −η oWθ ( r , t ) −U φ (r , t ) r r r r Eφ (r , t ) = −ηH θ ( r , t ) ≅ −η oWφ (r , t ) +U θ (r , t ). (28a) (28b). Podemos observar que se los campos E y H se encuentran en función de vectores los vectores potenciales U y W, los cuales son mostrados a continuación. →. ∂ ⎡. r − r ' rˆ ⎞ ⎤ ⎟dS '⎥ c ⎠ ⎦. (29a). 1 ∂ ⎡ r ⎛ r − r ' rˆ ⎞ ⎤ ⎟dS '⎥ ⎢ M s⎜t − c ⎠ ⎦ 4πrc ∂t ⎣ ∫∫ ⎝ S. (29b). 1. r⎛. W (r , t ) = 4πrc ∂t ⎢∫∫ J ⎜⎝ t − ⎣S. →. U (r , t ) = Las. ecuaciones. (28),(29). s. forman. las. bases. teóricas. de. la. transformación de campo cercano a campo lejanos de Luebbers y corresponden a las ecuaciones (7)-(10) de [5]. Nos damos cuenta las corrientes superficiales en S de la ecuación (9), tienen un retraso, correspondiente a la distancia que deben recorrer las ondas electromagnéticas desde el punto en que son originadas en S para afectar el punto de observación donde se están calculando los campos lejanos. Tenemos que tener especial cuidado con este retraso para calcular el momento y el aporte correspondiente a los vectores potenciales en cada intervalo de tiempo. Para calcular bien en que. 31.

(32) IEL2-03-II-33. momento del tiempo estas densidades de corriente afectan el punto de observación [2][5], podemos utilizar lo siguiente:. r − r ' cosψ c t ⎥ ⎢ nn = ⎢n + d ⎥ ∆t ⎦ ⎣. td =. (30) (31). t ⎞ ⎛ a = ⎜ n + d ⎟ − nn ∆t ⎠ ⎝. (32). En la ecuación (30) td es el tiempo de retraso que mencionamos anteriormente. En la ecuación (31) n es el numero de la iteración de FDTD, y nn es el número de pasos del tiempo correspondiente al retraso. Adicionalmente como el efecto de las corrientes superficiales de S, no tardan exactamente nn pasos de tiempo en afectar el punto de observación, por lo tanto el aporte a los vectores potenciales no se hace totalmente en esa iteración. Este factor de aporte es el que esta expresado en la ecuación (32). Para ilustrar como aplicar la ecuación (29) en conjunción con el algoritmo FDTD se muestra la formulación del vector potencial W el cual es calculado por el aporte de la densidad de corriente tangencial Jz de la cara de la superficie virtual S en el plano x-z en la posición y=+Yo de la superficie virtual. La aproximación utilizada para calcular la integral de superficie de las densidades de corriente tangenciales, es similar a la utilizada anteriormente para calcular (25). Esta formulación aparece explicada en el ejemplo (11) de [5].. (. ∆x∆z n+ 1 n− 1 H x |r ' 2 − H x |r ' 2 4πrc∆t ∆x∆z n + 12 n − 12 +1 nn +1 | H | − H | = − Wz |nn W a r z r x r' x r' 4πrc∆t nn Wz |nn r = Wz |r − (1 − a ). (. ). 32. ). (33a) (33b).

(33) IEL2-03-II-33. El cálculo de los aportes a los vectores potenciales de cada una de las caras de las superficie virtual puede ser calculada de la misma forma. La principal ventaja de este algoritmo es que es calculado al mismo tiempo que es calculado el algoritmo de FDTD. Una vez calculados los vectores potenciales W y U, debeos hacer un cambio de coordenadas para poder calcular los campos vectoriales electromagnéticos de ecuación (28). El cambio de coordenadas es el mismo que se empleo para calcular los vectores potenciales auxiliares N, y L en (27). U θ (r , t ) = U x (r , t ) cosθ cosφ + W y ( r , t ) cosθ sin φ − Wz ( r , t ) sin θ. (34a). U φ (r , t ) = −U x (r , t ) sin φ + U y ( r , t ) cosφ. (34b). Wθ (r , t ) = Wx (r , t ) cosθ cosφ + W y ( r , t ) cosθ sin φ − Wz ( r , t ) sin θ. (34c). Wφ (r , t ) = −Wx (r , t ) sin φ + W y (r , t ) cosφ. (34d). Para calcular el patrón de radiación que es nuestro principal interés, debemos aplicar el cambio de coordenadas mostrado en (34) a los vectores potenciales. U y W, para los dos planos principales de la. antena, estos son Plano – E con (Fi = 0) y Plano – H con (Fi = 90) para las coordenadas utilizadas. Una vez calculados los vectores de los campos E y H, para los dos planos principales, hay que realizar una transformación a frecuencia, esto se hace utilizando FFT. Para graficar el patrón de radiación se toman el los datos en frecuencia del plano deseado y se escoge la componente espectral correspondiente a la frecuencia de interés para analizar el patrón. Como se puede intuir después de calcular la FFT de los vectores de los campos E y H, tenemos procesados los patrones de radiación para un gran ancho de banda de frecuencias, ejecutando solamente una vez nuestro algoritmo. El ancho de banda de frecuencias que se obtiene con. 33.

(34) IEL2-03-II-33. buenos resultados es el mismo que se utiliza para excitar, la estructura. Las. ecuaciones. totales. utilizadas. para. calcular. potenciales U y W, se encuentran en el ANEXO 5.. 34. los. vectores.

(35) IEL2-03-II-33. IV.. RESULTADOS. El software desarrollado, para el modelamiento de antenas de microcinta, utilizando los modelos planteados anteriormente,. fue. desarrollado en el lenguaje de programación C/C++. Este lenguaje de programación fue escogido para la implementación, gracias el alto desarrollo alcanzado, por los compiladores de este lenguaje. Estos compiladores nos brindan la posibilidad de depurar el código mucho mas comodamente, que los compiladores para otros lenguajes. Aunque el lenguaje C, no es tan eficiente como Fortran, presenta un alto desempeño. Adicionalmente, el lenguaje de programación C, tiene una gran característica, que es la portabilidad,. permitiéndonos. utilizar la aplicación desarrollada, en cualquier sistema operativo, por medio de cualquier compilador de C. A continuación se explicará brevemente el algoritmo, total empleado para el modelamiento de las antenas de microcinta, utilizando el algoritmo de FDTD, y la NFFF-TD transformación de los campos cercanos a los campos lejanos en el dominio del tiempo.. I. Algoritmo Total Utilizado El algoritmo total que fue utilizado para la implementación del simulador electromagnético, será discutido a continuación. En la siguiente gráfica está un diagrama de flujo el cual nos brinda una. 35.

(36) IEL2-03-II-33. visión macro del algoritmo utilizado.. Generar Volumen Computacional. FASE 1. Algoritmo FDTD. Captura de Datos Interés FASE 2 Cálculo de U, W. Post Proceso de Datos Tomados. FASE 3. Fig. 7. Algoritmo Básico FDTD.. En la Fig. 7. la fase uno corresponde al algoritmo encargado de calcular todos los parámetros de simulación, como dimensiones de las celdas, paso del tiempo, numero de celdas, frecuencia central de la fuente y su ancho de banda, entre otros. La parte mas difícil de esta fase, está en construir el volumen computacional virtual de la. 36.

(37) IEL2-03-II-33. estructura que queremos analizar. Esta fase tiene una complejidad temporal de O(n3), correspondiente al algoritmo encargado de general el volumen computacional en tres dimensiones. En la Fase 2, se realiza en si el algoritmo FDTD. Debemos tener en cuenta que esta fase debe durar lo suficiente para que el sistema alcance a entrar en estado estable. Que tantas iteraciones son requeridas para que el sistema entre en estado estable, depende de la estructura, y del paso del tiempo, por que entre más pequeño sea este, mas iteraciones son requeridas. Normalmente se utiliza un numero de iteraciones cercano a 10000, con el cual al hacer la transformación al dominio de la frecuencia, por medio de un post proceso utilizando la transformada rápida de Fourier FFT, se puede obtener resultados con un error del orden del 1% o menor. Adicionalmente. en. esta. fase. se. pueden. recolectar. datos. correspondientes a los campos vectoriales electromagnéticos en cualquier posición dentro de nuestro volumen computacional, los cuales pueden ser usados para calcular los diferentes parámetros que sean requeridos, como la impedancia de entrada entre otros. Como estamos interesados en calcular el patrón de radiación, debemos realizar la transformación de los campos cercanos a los campos lejanos. En esta parte únicamente tenemos que calcular los vectores potenciales U y W en el dominio del tiempo. Esta fase tiene una complejidad temporal de O(n4), ya que tenemos que recorrer todo el volumen computacional en tres dimensiones para actualizar los campos eléctricos y magnéticos. Adicionalmente, debemos realizar esta tarea un número de veces suficiente para que la estructura entre en estado estable.. 37.

(38) IEL2-03-II-33. Para nuestro caso especifico, se utilizó el siguiente macro algoritmo para la fase 2.. Calcular Corrientes Tangenciales 1 Calcular Campo E Calcular Campo H Calcular Corrientes Tangenciales 2 Calcular U y W. Fig. 8. Macro algoritmo de la fase 2.. La fase 3 constituye principalmente un post proceso de los datos tomados en la fase dos, para poder determinar los diferentes parámetros de desempeño de la estructura que estamos analizando. La complejidad de temporal de esta fase depende del procesamiento que se le hagan a los datos tomados en la fase anterior. El cálculo del patrón de radiación, es realizado principalmente en esta fase, en la cual, a partir de los vectores potenciales en el dominio del tiempo, calculados en la fase anterior, les aplicamos un cambio de coordenadas, y los utilizamos para calcular los planos principales del patrón de radiación de la antena. Si solo estamos transformando los datos tomados al dominio de la frecuencia utilizando FFT, la complejidad temporal de esta fase es O( n log n ) correspondiente al tiempo requerido para hacer la transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. En esta fase se recomienda utilizar la FFT en vez de la DFT, ya que en. 38.

(39) IEL2-03-II-33. los casos en los que sea requerido procesar mucha información, el tiempo empleado en la transformación es el mayor de todo el proceso. El macro algoritmo utilizado específicamente para este problema, es mostrado a continuación. Cambio Coordenadas para el Plano E. FFT de los Campos Cambio Coordenadas para el Plano H. FFT de los Campos Escoger Frecuencia Graficar Planos E y H Fig. 9. Macro algoritmo de la fase 3.. Cuando. se. están. simulando. antenas. de. microcinta. es. muy. importante, aumentar la resolución del mallado en la dirección de la metalización. Aunque la dimensión en la dirección de la metalización es pequeña comparada con las dimensiones del elemento radiante, h<<L, W. es necesario aumentar el numero de celdas por longitud de onda mínima de la simulación, en esta dirección, para que los efectos de la discontinuidad puedan ser tenidos en cuenta efectivamente. Normalmente se utilizan valores para el espesor del elemento radiante (h), muy pequeños comparados al resto de la geometría de la antena. En las simulaciones realizadas en este documento, el espesor promedio de la metalización, fue de 200 µm. o menos. La implementación puede ser consultada el ANEXO 6.. 39.

(40) IEL2-03-II-33. II. Simulaciones Se simuló la antena de microcinta mostrada en la figura 10. la cual esta alimentada por una línea de microcinta. Los parámetros de. 40.

(41) IEL2-03-II-33. fue iterado 8192 veces, y para el cálculo de los campos lejanos se utilizó una resolución de 65536 (64k), componentes espectrales. Los resultados obtenidos fueron comparados con los obtenidos en [1]. Normalmente en las referencias, de análisis de antenas de microcinta, usando el algoritmo de FDTD, no especifican el espesor utilizado para la metalización.. FDTD-Rodriguez-Peña. Fig. 11. Patrón Radiación. Plano E a 10GHz. Simulación de antena usando FDTD. La gráfica fue tomada de [1].. Como podemos ver en la figura 11. los resultados obtenidos utilizando el algoritmo anteriormente descrito, son mucho más aproximados a la realidad, que los resultados obtenidos mediante otros métodos.. Se simuló la antena de microcinta mostrada en la figura 9. la cual está alimentada por un cable coaxial. Los parámetros de simulación, se encuentran en la tabla 2.. 41.

(42) IEL2-03-II-33. W. X. L Z. Y. Fig. 12. Antena de Microcinta Alimentada por Cable Coaxial.. Parámetro. Valor. Parámetro. Valor. W. 10 mm. ∆x. 0.90909mm. L. 10 mm. ∆y. 0.90909mm. H. 1.57 mm. ∆z. 10µm. εr. 1. ∆t. 3.16843E-14 s. Alto Metalización. 70 µm. # Celdas en X. 60. Fmin_fuente. 1 GHz. # Celdas en Y. 60. Fmax_fuente. 20 GHz. # Celdas en Z. 190. FAnálisis. 11.33 GHz. Tiempo. 6 Horas. Tabla. 2. Parámetros Simulación. La comparación se hace con los resultados obtenidos en el artículo [11]. Ese artículo utiliza una modificación de las ecuaciones de FDTD en coordenadas esféricas. Podemos ver que el tiempo de simulación de esta estructura aumentó considerablemente comparado a la anterior, como se esperaba dada la complejidad temporal definida anteriormente. En la siguiente gráfica podemos ver el excelente desempeño obtenido por nuestro simulador, comparándolo. con el. implementado con un modelo de FDTD en diferentes coordenadas.. 42.

(43) IEL2-03-II-33. FDTD - Rodriguez-Peña FDTD – [11]. Fig. 11. Patrón de Radiación. Plano E. Gráfica comparada con [11]. La diferencia en los resultados es producida principalmente, por que el algoritmo utilizado para calcular el patrón de radiación en el artículo es en el dominio de la frecuencia, el cual introduce menos errores de cálculo por efecto del retraso, en comparación al implementado por el autor de este documento, en el domino del tiempo.. 43.

(44) IEL2-03-II-33. V. CONCLUSIONES. Se logró obtener un simulador electromagnético, para modelar algunas tecnologías de antena de microcinta, de parche rectangular, con el cual se puede obtener, el patrón de radiación de los planos principales. La experiencia adquirida en la realización de este simulador, fue muy grande, ya que fue necesario, hacer un estudio electromagnético previo, de las antenas de microcinta, para poder realizar un buen modelamiento de la estructura, empleando el algoritmo de FDTD 3D. Este estudio electromagnético, generó un valor agregado muy importante al proyecto de grado, ya que se trabajó con tecnología, que hasta el momento está empezando a ser analizada en Latinoamérica. También se obtuvo experiencia, en el modelamiento de estructuras electromagnéticas, aplicando el algoritmo de FDTD en 3D, ya que la metodología utilizada en el desarrollo de este proyecto, planteo un desarrollo progresivo, en el cual se modelaban diferentes estructuras, inicialmente de menor complejidad, aumentando cada vez su complejidad, hasta lograr modelar algunas tecnologías de antenas de microcinta. Inicialmente se trabajo con una guía de onda, para obtener experiencia numérica, con el algoritmo de FDTD 3D, después, se introdujeron las fronteras absorbentes. Posteriormente, cuando ya se tenia una experiencia numérica básica, se modeló una línea de microcinta, la cual nos sirvió para obtener experiencia numérica, trabajando con interfases entre diferentes materiales. Finalmente se modelaron algunas antenas de microcinta, y se adicionó, el algoritmo de transformación de los campos cercanos a los campos lejanos.. 44.

(45) IEL2-03-II-33. La transformación de los campos cercanos a los campos lejanos en el dominio de la frecuencia, debe ser implementada únicamente, para un par de frecuencias, adicionalmente, para que este algoritmo sea eficiente, se debe realizar una transformación del dominio del tiempo al. dominio. de. la. frecuencia. de. las. densidades. de. corriente. tangenciales a la superficie virtual S, por medio de la transformada de Fourier (RDFT) [2][3][14], al mismo tiempo, en el que es ejecutado el algoritmo de FDTD. Si se utiliza esta transformación, pero no se quiere usar la RDFT, se debe almacenar una base de datos temporal de toda la superficie virtual, y después hay que transformar esta base de datos, al dominio de la frecuencia, utilizando la FFT. Este último procedimiento, requiere de grandes recursos computacionales, para procesar la base de datos temporal, tomada del algoritmo FDTD. Si estamos utilizando la transformación de los campos cercanos a los campos lejanos en el dominio del tiempo, debemos tener en cuenta muchos aspectos, para minimizar los efectos de las aproximaciones y del retraso en el tiempo de los vectores potenciales U y W. La transformación en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia, son totalmente equivalentes, y cualquiera de los dos puede ser utilizado para calcular los campos lejanos. El algoritmo en el dominio de la frecuencia, es analíticamente mas fácil implementar,. de. pero para ser eficiente, debe pasar al dominio de la. frecuencia, las densidades de corriente tangenciales, por medio de una RDFT, adicionalmente, tiene la desventaja de solo poder analizar unas cuantas frecuencias de interés, mientras que el algoritmo en el dominio del tiempo, nos entrega resultados en un amplio ancho de. 45.

(46) IEL2-03-II-33. banda definido por la fuente utilizada para excitar el sistema. Este algoritmo es mucho mas complejo de implementar, pero requiere de menos recursos computacionales, y es mucho mas rápido que su contraparte en frecuencia. Para minimizar los efectos de las aproximaciones implícitas, en los dos modelos, para la transformación de los campos cercanos a los campos lejanos, debemos escoger un punto suficientemente alejado de la estructura de interés, adicionalmente debemos ubicar las densidades de corriente electromagnéticas tangenciales a S, en el centro de la cara de la celda de Yee, que pertenece a la superficie virtual S. Los métodos numéricos, en el dominio del tiempo, son una muy buen alternativa, para el análisis de estructuras electromagnéticas, por que nos brindan la posibilidad de realizar análisis, en un amplio ancho de banda con una precisión comparable, a sus contrapartes en frecuencia.. 46.

(47) IEL2-03-II-33. VI.. ANEXO 1. Ecuaciones De FDTD 3D para materiales dieléctricos conductivos.. σ(m) es la conductividad eléctrica del material. ε(m) es la permitividad del material. Campo eléctrico, componente X.. E. n +1 x. (i , j , k ). ⎛ σ ( m) ∆t ⎞ n ⎟ (i , j , k ) = ⎜⎜1 − 2ε ( m) ⎟⎠ E x ⎝ ∆t ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∆yε ( m) ⎟ n+ 1 n+ 1 ⎜ + [ H z 2 (i , j , k ) − H z 2 (i , j − 1, k )] ⎜ σ (m) ∆t ⎟ ⎜1 + ⎟ 2ε ( m) ⎠ ⎝ 1 ⎛ ⎜ ∆zε ( m) −⎜ ⎜ σ ( m) ∆t ⎜1 + 2ε ( m) ⎝. º. ⎞ ⎟ n + 12 ⎟[ n + 12 (i , j , k ) − ( i , j , k − 1)] H H y y ⎟ ⎟ ⎠. Campo eléctrico, componente Y.. E. n +1 y. (i , j , k ). ⎛ σ ( m) ∆t ⎞ n ⎟ (i , j , k ) = ⎜⎜1 − 2ε ( m) ⎟⎠ E y ⎝ ∆t ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∆zε ( m) ⎟ n+ 1 n+ 1 +⎜ [ H x 2 (i , j , k ) − H x 2 (i , j , k − 1)] ⎜ σ ( m) ∆t ⎟ ⎜1 + ⎟ 2ε ( m) ⎠ ⎝ ∆t ⎛ ⎜ ∆xε (m) −⎜ ⎜ σ ( m) ∆t ⎜1+ 2ε (m) ⎝. ⎞ ⎟ ⎟[ n + 12 (i , j , k ) − n + 12 (i − 1, j , k )] Hz ⎟ Hz ⎟ ⎠. 47.

(48) IEL2-03-II-33. Campo eléctrico, componente Z.. E. n +1 z. (i , j , k ). ⎛ σ ( m) ∆t ⎞ n ⎟ (i , j , k ) = ⎜⎜1 − 2ε ( m) ⎟⎠ E z ⎝ ∆t ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∆xε ( m) ⎟ n+ 1 n+ 1 ⎜ + [ H y 2 (i , j , k ) − H y 2 (i − 1, j , k )] ⎜ σ ( m) ∆t ⎟ ⎜1 + ⎟ 2ε ( m) ⎠ ⎝ ∆t ⎛ ⎜ ∆yε (m) −⎜ ⎜ σ ( m) ∆t ⎜1+ 2ε (m) ⎝. σ*(m). es. la. ⎞ ⎟ ⎟[ n + 12 (i , j , k ) − n + 12 (i , j − 1, k )] Hx ⎟ Hx ⎟ ⎠. conductividad. eléctrica. del. permeabilidad del material.. Campo magnético, componente X.. H. n + 12 x. (i , j , k ). ⎛ σ * ( m) ∆t ⎞ n − 12 ⎟ (i , j , k ) = ⎜⎜1 − 2ε ( m) ⎟⎠ H x ⎝ ∆t ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∆yµ (m) ⎟ n n ⎜ + [ E z (i , j , k ) − E z (i , j + 1, k )] ⎜ σ * ( m) ∆t ⎟ ⎜1+ ⎟ 2ε ( m) ⎠ ⎝ ∆t ⎛ ⎜ ∆zµ (m) −⎜ ⎜ σ * (m) ∆t ⎜1+ 2ε ( m) ⎝. ⎞ ⎟ ⎟[ n + 12 (i , j , k ) − n + 12 (i , j , k + 1)] Ey ⎟ Ey ⎟ ⎠. 48. material.. µ(m). es. la.

(49) IEL2-03-II-33. Campo magnético, componente Y.. H. n +1 y. (i , j , k ). ⎛ σ * ( m) ∆t ⎞ n ⎟ (i , j , k ) = ⎜⎜1 − 2ε ( m) ⎟⎠ H y ⎝ ∆t ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∆zµ (m) ⎟ n + 12 n+ 1 ⎜ + [ E x (i , j , k ) − E x 2 (i , j , k + 1)] ⎜ σ * (m) ∆t ⎟ ⎜1+ ⎟ 2ε ( m) ⎠ ⎝ ∆t ⎛ ⎜ ∆xµ ( m) −⎜ ⎜ σ * ( m) ∆t ⎜1+ 2ε (m) ⎝. ⎞ ⎟ ⎟[ n + 12 (i , j , k ) − n + 12 (i + 1, j , k )] Ez ⎟ Ez ⎟ ⎠. Campo magnético, componente Z.. H. n +1 z. (i , j , k ). ⎛ σ * (m) ∆t ⎞ n ⎟ (i , j , k ) = ⎜⎜1 − 2ε ( m) ⎟⎠ H z ⎝ ∆t ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ∆xµ (m) ⎟ n + 12 n+ 1 ⎜ [ E y (i , j , k ) − E y 2 (i + 1, j , k )] + ⎜ σ * (m)∆t ⎟ ⎟ ⎜1+ 2ε ( m) ⎠ ⎝ ∆t ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ∆yµ (m) ⎟ n + 12 n+ 1 ⎜ [ E x (i , j , k ) − E x 2 (i , j + 1, k )] − ⎜ σ * (m) ∆t ⎟ ⎟ ⎜1 + 2ε ( m) ⎠ ⎝. 49.

(50) IEL2-03-II-33. VII. ANEXO 2 Ecuaciones de PML listas para ser usadas por un lenguaje computacional. Ecuación del Campo Eléctrico Exy. E. n +1 xy. (i , j , k ). =e. −. σ y ( i ) ∆t ε ( m). σ y ( i ) ∆t ε (m). ⎡ n+ 2 (i , j , k ) − n+ 2 ( i , j − 1, k ) ⎤ 1− e H zx H zx n E xy (i, j, k ) + σ y (i)∆y ⎢⎢+ n+ 12 (i, j , k ) − n+ 12 (i , j − 1, k )⎥⎥ H zy ⎣ H zy ⎦ −. 1. 1. Ecuación del Campo Eléctrico Exz.. E. n +1 xz. (i , j , k ). =e. −. σ z ( i ) ∆t ε (m). σ z ( i ) ∆t ε ( m). ⎡ n+ 2 (i , j , k ) − n+ 2 (i , j , k − 1) ⎤ H yx 1 e − n ⎥ ⎢ H yx (i , j , k ) − 1 1 E xz σ z (i)∆z ⎢+ n+ 2 (i , j , k ) − n+ 2 (i , j , k − 1)⎥ H yz ⎣⎢ H yz ⎦⎥ −. 1. 1. Ecuación del Campo Eléctrico Eyz. E. n +1 yz. (i , j , k ). =e. −. σ z ( i ) ∆t ε (m ). σ z ( i ) ∆t ε ( m). n+ 2 ⎡ n+ 2 ( i , j , k ) − ⎤ ( i , j , k − 1) H H 1− e n xy xy ⎢ ⎥ E yz (i , j , k ) + σ z (i)∆z ⎢ n+ 12 n + 12 ⎥ ⎣+ H xz (i , j , k ) − H xz ( i , j , k − 1) ⎦ −. 1. 1. Ecuación del Campo Eléctrico Eyx. E. n +1 yx. (i , j , k ). =e. −. σ x ( i ) ∆t ε ( m). σ x ( i ) ∆t ε (m). n+ 2 ⎡ n+ 2 ( i , j , k ) − ⎤ ( i − 1, j , k ) − 1 e H H n zx zx E yx (i , j , k ) − σ x (i)∆x ⎢⎢+ n+ 12 (i , j , k ) − n+ 12 (i − 1, j , k )⎥⎥ H zy ⎣ H zy ⎦ −. 50. 1. 1.

(51) IEL2-03-II-33. Ecuación del Campo Eléctrico Ezx. E. n +1 zx. (i , j , k ). =e. σ ( i ) ∆t − x ε ( m). σ x ( i ) ∆t ε ( m). n+ 2 ⎡ n+ 2 ( i , j , k ) − (i − 1, j , k ) ⎤ H H 1− e yx yx n ⎢ ⎥ E zx (i , j , k ) + σ x (i)∆x ⎢ n+ 12 n + 12 ⎥ ⎢⎣+ H yz ( i , j , k ) − H yz ( i − 1, j , k ) ⎥⎦ −. 1. 1. Ecuación del Campo Eléctrico Ezy. E. n +1 zy. (i , j , k ). =e. −. σ y ( i ) ∆t ε ( m). σ y ( i ) ∆t ε (m ). n+ 2 ⎡ n+ 2 ( i , j , k ) − ( i , j − 1, k ) ⎤ 1 e − H H n xy xy ⎥ E zx (i , j , k ) − σ y (i)∆y ⎢⎢ n+ 12 n + 12 ⎥ ⎣+ H xz ( i , j , k ) − H xz ( i , j − 1, k ) ⎦ −. 1. 1. Ecuación del Campo Magnético Hxy. H. n + 12 xy. (i , j , k ). =e. σ y ( i ) ∆t − ε ( m). H. n − 12 xy. σ y ( i ) ∆t. n ⎡ n ⎤ 1 − e ε ( m) ⎢ E zx ( i , j , k ) − E zx ( i , j + 1, k ) ⎥ (i , j , k ) + σ y (i )∆y ⎢+ E n (i , j , k ) − E n (i , j + 1, k ) ⎥ zy zy ⎣ ⎦ −. Ecuación del Campo Magnético Hxz. H. n + 12 xz. (i , j , k ). =e. −. σ z ( i ) ∆t ε (m). H. n − 12 xz. σ z ( i ) ∆t ε (m). ⎡ n (i , j , k ) − n (i , j , k + 1) ⎤ E yx 1− e ⎢ E yx ⎥ (i, j , k ) − σ z (i)∆z ⎢+ n (i , j , k ) − n (i , j , k + 1) ⎥ E yz ⎣ E yz ⎦ −. Ecuación del Campo Magnético Hyz. H. n+ 12 yz. (i , j , k ). =e. σ ( i ) ∆t − z ε (m). H. n− 12 yz. σ z ( i ) ∆t ε (m). ⎡ n ( i , j , k ) − n (i , j , k + 1) ⎤ 1− e E xy ⎢ E xy ⎥ (i , j , k ) + n n σ z (i)∆z ⎢+ ⎥ ⎣ E xz (i , j , k ) − E xz (i , j , k + 1) ⎦ −. 51.

(52) IEL2-03-II-33. Ecuación del Campo Magnético Hyx. H. n + 12 yx. (i , j , k ). =e. −. H. n − 12 yx. σ x ( i ) ∆t ε ( m). ⎡ n ( i , j , k ) − n ( i + 1, j , k ) ⎤ 1− e E zx ⎥ ⎢ E zx (i, j , k ) − σ x (i ) ∆x ⎢+ E n ( i , j , k ) − E n ( i + 1, j , k ) ⎥ zy zy ⎦ ⎣ −. σ x ( i ) ∆t ε ( m). Ecuación del Campo Magnético Hzx. H. n + 12 zx. (i , j , k ). =e. −. σ x ( i ) ∆t ε ( m). H. n− 12 zx. σ x ( i ) ∆t ε ( m). ⎡ n (i , j , k ) − n ( i + 1, j , k ) ⎤ E yx 1− e ⎢ E yx ⎥ (i, j , k ) + σ x (i )∆x ⎢+ n (i , j , k ) − n ( i + 1, j , k ) ⎥ E yz ⎣ E yz ⎦ −. Ecuación del Campo Magnético Hzy. H. n + 12 zy. (i, j , k ). =e. −. ε ( m). H. n − 12 zy. σ y ( i ) ∆t. n ⎡ n ⎤ 1 − e ε ( m ) ⎢ E xy ( i , j , k ) − E xy ( i , j + 1, k ) ⎥ (i , j , k ) + σ y (i ) ∆y ⎢+ n ( i , j , k ) − n ( i , j + 1, k ) ⎥ E xz ⎣ E xz ⎦ −. σ y ( i ) ∆t. 52.

(53) IEL2-03-II-33. VIII. ANEXO 3. El cálculo de las densidades de corriente tangenciales a S se muestran a continuación.. Z Superficie Virtual. r r J s= nˆXH r r M s = −nˆ XE. X. Y •. Cara Superior. nˆ = (0,0,1) r r r J s (i , j , k ) = J x ( i , j , k ) + J y (i , j , k ) = − H y' (i , j , k )iˆ + H x' ( i , j , k ) ˆj r r r M s ( i , j , k ) = M x (i , j , k ) + M y (i , j , k ) = E y' (i , j , k )iˆ − E x' ( i , j , k ) ˆj •. Cara Inferior. nˆ = (0,0,−1) r r r J s (i , j , k ) = J x ( i , j , k ) + J y ( i , j , k ) = H y' ( i , j , k )iˆ − H x' ( i , j , k ) ˆj r r r M s (i , j , k ) = M x ( i , j , k ) + M y ( i , j , k ) = − E y' ( i , j , k )iˆ + E x' ( i , j , k ) ˆj •. Cara Frontal. nˆ = (0,1,0) r r r J s (i , j , k ) = J x (i , j , k ) + J z (i , j , k ) = H z' ( i , j , k )iˆ − H x' (i , j , k ) kˆ r r r M s (i , j , k ) = M x ( i , j , k ) + M z (i , j , k ) = − E z' ( i , j , k )iˆ + E x' (i , j , k ) kˆ. 53.

(54) IEL2-03-II-33. •. Cara Posterior. nˆ = (0,−1,0) r r r J s ( i , j , k ) = J x (i , j , k ) + J z (i , j , k ) = − H z' ( i , j , k )iˆ + H x' ( i , j , k ) kˆ r r r M s (i , j , k ) = M x ( i , j , k ) + M z ( i , j , k ) = E z' (i , j , k )iˆ − E x' (i , j , k ) kˆ •. Cara Derecha. nˆ = (1,0,0) r r r J s (i , j , k ) = J y ( i , j , k ) + J z ( i , j , k ) = − H z' ( i , j , k ) ˆj + H y' (i , j , k ) kˆ r r r M s (i , j , k ) = M y ( i , j , k ) + M z ( i , j , k ) = E z' (i , j , k ) ˆj − E y' (i , j , k ) kˆ •. Cara Izquierda. nˆ = ( −1,0,0) r r r J s (i , j , k ) = J y ( i , j , k ) + J z (i , j , k ) = H z' ( i , j , k ) ˆj − H y' ( i , j , k ) kˆ r r r M s (i , j , k ) = M y ( i , j , k ) + M z (i , j , k ) = − E z' ( i , j , k ) ˆj + E y' (i , j , k ) kˆ Como dijimos anteriormente, las densidades de corriente tangenciales deben estar en la mitad de la cara de la celda de Yee, que pertenece a la. superficie. virtual. S.. Las. densidades. de. corriente. quedan. determinadas de la siguiente forma:. •. Para la cara superior e inferior:. Ex' ( i , j , k ) = E y' ( i , j , k ) =. Ex (i , j , k ) + Ex ( i , j + 1, k ) 2 E y (i , j , k ) + E y ( i + 1, j , k ). 2 H (i + 1, j , k ) + H (i , j , k − 1) + H (i + 1, j , k − 1) H x (i, j , k ) + x x x H = 4 H (i , j , k ) + H y (i , j + 1, k ) + H y (i , j , k − 1) + H y (i , j + 1, k − 1) H y' (i , j , k ) = y 4 ' x (i , j , k ). 54.

(55) IEL2-03-II-33. •. Para la cara Frontal y Posterior:. E x (i , j , k ) + E x ( i , j , k + 1) 2 E ( i , j , k ) + E z ( i + 1, j , k ) E z' (i , j , k ) = z 2 H ( i , j , k ) + H x ( i + 1, j , k ) + H x (i , j − 1, k ) + H x ( i + 1, j − 1, k ) H x' ( i , j , k ) = x 4 H (i , j , k ) + H z ( i , j , k + 1) + H z ( i , j − 1, k ) + H z ( i , j − 1, k + 1) H z' ( i , j , k ) = z 4 E x' ( i , j , k ) =. •. Para la cara superior e inferior:. E y' (i , j , k ) =. E y (i , j , k ) + E y ( i , j , k + 1). 2 E ( i , j , k ) + E z ( i , j + 1, k ) E z' (i , j , k ) = z 2 H y ( i , j , k ) + H y (i , j + 1, k ) + H y ( i − 1, j , k ) + H y (i − 1, j + 1, k ) H y' (i , j , k ) = 4 H (i , j , k ) + H z ( i , j , k + 1) + H z (i − 1, j , k ) + H z ( i − 1, j , k + 1) H z' ( i , j , k ) = z 4. 55.

(56) IEL2-03-II-33. IX.. ANEXO 4. Las ecuaciones para calcular los vectores potenciales auxiliares N, y L, son mostradas a continuación,. para cada una de las caras. En. estas ecuaciones se debe utilizar la componente espectral de interés de las densidades de corriente. El cálculo de las densidades de corriente tangenciales a S, se explica en al ANEXO 3.. r ' cosψ = x ' sin θ cos φ + y ' sin θ sin φ + z ' cos θ r ' = ( x ' , y ' , z ' ) Distancia relativa desde el centro de la superficie virtual S, hasta una celda sobre una pared de la superficie virtual S. •. Cara Superior. [ [. ]. (r r( N θf = N θf + ∆ x∆ y − H y' |rf' cos θ cos φ + H x' |rf ' cos θ sin φ e jkr 'cos ψ (r (r N φf = N φf + ∆ x∆ y + H y' |rf' sin φ + H x' | rf' cos φ e jkr 'cos ψ (r f (r f Lθ = Lθ + ∆ x∆ y + E y' | rf ' cos θ cos φ − E x' |rf ' cos θ sin φ e jkr 'cos ψ (r (r Lφf = Lφf + ∆ x∆ y − E y' | rf' cos θ cos φ − E x' |rf ' cos θ sin φ e jkr 'cos ψ. [ [. •. ]. ] ]. Cara Inferior. [ [. ]. (r r( N θf = N θf + ∆ x∆ y + H y' |rf ' cos θ cos φ − H x' |rf ' cos θ sin φ e jkr 'cos ψ (r f (r f N φ = N φ + ∆ x∆ y − H y' |rf ' sin φ − H x' |rf ' cos φ e jkr 'cos ψ (r (r Lθf = Lθf + ∆ x∆ y − E y' |rf ' cos θ cos φ + E x' |rf ' cos θ sin φ e jkr 'cos ψ (r (r Lφf = Lφf + ∆ x∆ y + E y' |rf ' cos θ cos φ + E x' |rf ' cos θ sin φ e jkr 'cos ψ. [ [. ]. 56. ] ].

(57) IEL2-03-II-33. •. Cara Frontal. [ [. ]. (r r( N θf = N θf + ∆ x∆ z + H z' |rf ' cos θ cos φ + H x' |rf' sin θ e jkr 'cos ψ (r (r N φf = N φf + ∆ x∆ z − H z' |rf ' sin φ e jkr 'cos ψ (r (r Lθf = Lθf + ∆ x∆ z − E z' |rf' cos θ cos φ − E x' |rf ' sin θ e jkr 'cos ψ (r (r Lφf = Lφf + ∆ x∆ z + E z' |rf' cos θ cos φ e jkr 'cos ψ. [ [. •. ]. ]. ]. Cara Posterior. [ [. ]. (r f (r f N θ = N θ + ∆ x∆ z − H z' |rf ' cos θ cos φ − H x' |rf ' sin θ e jkr 'cos ψ (r (r N φf = N φf + ∆ x∆ z + H z' |rf ' sin φ e jkr 'cos ψ (r f (r f Lθ = Lθ + ∆ x∆ z + E z' |rf ' cos θ cos φ + E x' |rf ' sin θ e jkr 'cos ψ (r f (r f Lφ = Lφ + ∆ x∆ z − E z' |rf ' sin φ e jkr 'cos ψ. [ [. •. ]. ]. ]. Cara Derecha. [ [. ]. (r f (r f N θ = N θ + ∆ y∆ z − H z' |rf ' cos θ sin φ − H y' |rf ' sin θ e jkr 'cos ψ (r (r N φf = N φf + ∆ y∆ z − H z' |rf ' cos φ e jkr 'cos ψ (r (r Lθf = Lθf + ∆ y∆ z + E z' |rf ' cos θ sin φ + E ' |rf' sin θ e jkr 'cos ψ (r f (r f Lφ = Lφ + ∆ y∆ z + E z' |rf ' cos φ e jkr 'cos ψ. [ [. •. ]. ]. ]. Cara Izquierda. [ [. ]. (r r( N θf = N θf + ∆ y∆ z − H z' |rf ' cos θ sin φ − H y' |rf ' sin θ e jkr 'cos ψ (r (r N φf = N φf + ∆ y∆ z − H z' |rf ' cos φ e jkr 'cos ψ (r f (r f Lθ = Lθ + ∆ y∆ z + E z' |rf ' cos θ sin φ + E ' |rf' sin θ e jkr 'cos ψ (r (r Lφf = Lφf + ∆ y∆ z + E z' |rf ' cos φ e jkr 'cos ψ. [ [. ]. ]. 57. ].

(58) IEL2-03-II-33. Una vez calculados los vectores potenciales auxiliares, los campos vectoriales electromagnéticos, E, y H son calculados de la siguiente forma:. [. ]. (f (f ( jke − jkr ( f Eθ = η0 H φ = − Lφ + η0 Nθf 4πr (f (f (f jke − jkr ( f Eφ = −η0 Hθ = − Lθ − η0 Nφ 4πr. [. 58. ].