Herramienta para el diseño óptimo de la red de rutas en sistemas de transporte masivo con aplicación a Transmilenio S.A

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(1)HERRAMIENTA PARA EL DISEÑO ÓPTIMO DE LA RED DE RUTAS EN SISTEMAS DE TRANSPORTE MASIVO CON APLICACIÓN A TRANSMILENIO S.A.. Trabajo de Tesis presentado al Departamento de Ingenierı́a Industrial por. Diana Margarita Marı́a Arana Novoa Asesor: Andrés L. Medaglia Gonzalez, Ph.D. Coasesor: Fernando Palacios Gómez, Ph.D.. Para optar al tı́tulo de Maestrı́a Ingenierı́a Industrial. Ingenierı́a Industrial Universidad de Los Andes July 2004.

(2) A Vladimir Bocanegra, mi continua e inagotable fuente de inspiración.. ii.

(3) Reconocimientos. Agradezco a mi Asesor Andrés Medaglia, su excelencia y calidad ası́ como su guı́a no solo fueron determinantes para el desarrollo del presente proyecto, sino que han sido elementos importantes en mi formación académica y personal. Agradezco a Fernando Palacios Coasesor de este proyecto por sus aportes y guı́a acertadas; ha sido un privilegio contar con su colaboración. Al profesor Germán Camilo Lleras por la evaluación de este proyecto. Agradezco a los funcionarios de TRANSMILENIO S.A. que de una u otra forma colaboraron con la elaboración de este proyecto, especialmente a Vladimir Castro y a Eduardo Tovar, Director de Operaciones de TRANSMILENIO S.A. También Agradezco a Ricardo Gómez funcionario del Centro de Investigación de la Facultad de Ingenierı́a, CIFI, y a Edgar McAllister Ex-director de Operaciones de TRANSMILENIO S.A. por sus valiosos comentarios. Agradezco al CIFI por el apoyo a este proyecto. A Roberto Zarama, Director del Departamento de Ingenierı́a Industrial por su apoyo durante estos dos años. A Germán Riaño, por sus enseñanzas e incondicional ayuda. Agradezco a todos los profesores con los que tuve clase y con aquellos que trabajé. Agradezco a mis compañeros de Maestrı́a y todas aquellas personas del Departamento de Ingenierı́a Industrial con los que interactué durante estos dos años. Agradezco a mis padres y hermanos por su continuo apoyo. A Vladimir Bocanegra por estar siempre a mi lado.. iii.

(4) Tabla de Contenido Dedicatoria. II. Reconocimientos. III. Lista de Tablas. VII. Lista de Figuras. IX. Resumen. XI. I.. Introducción. 1. II. El sistema operativo de TransMilenio. 3. 2.1. Descripción de TransMilenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.1.1. Cubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1.2. Debilidades y fallas del sistema que funciona actualmente . .. 6. 2.2. Descripción de la Herramienta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2.1. Módulo de Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2.2. Módulo de Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III. Revisión de la literatura. 12. 3.1. Investigaciones realizadas en sistemas de transporte . . . . . . . . . 12 3.1.1. Estudios en sistemas de transporte de pasajeros . . . . . . . 12 3.1.2. Centros de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Herramientas computacionales utilizadas por TRANSMILENIO S.A. 15 IV. El problema y enfoques de solución. 17. 4.1. Entendimiento del sistema: caracterización general . . . . . . . . . . 17 4.1.1. Supuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 iv.

(5) 4.1.2. Conceptos básicos sobre el sistema . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2. Enfoques de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.1. Formulación completa: involucrar todos los aspectos . . . . . 24 4.2.2. Descomposición en varios subproblemas . . . . . . . . . . . . 24 4.2.3. Localización y ruteo en redes multiflujo . . . . . . . . . . . . 25 4.2.4. Metaheurı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 V. Formulación del Problema. 27. 5.1. Estrategia de solución implementada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2. Formulación Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.1. Conjuntos e ı́ndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.2. Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2.3. Variables de decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2.4. Funciones objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2.5. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.6. Formulación completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3. Definiciones y procedimientos posteriores al diseño de los servicios . 48 5.4. Formulación Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.4.1. Parámetros y variables de decisión . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.4.2. Funciones objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.4.3. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.4.4. Formulación completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.5. Dimensiones del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 VI. Implementación Computacional. 72. 6.1. Instancia con 5 estaciones y 2 tramos viales . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2. Implementación para problemas de gran escala . . . . . . . . . . . . 78. v.

(6) VII.Investigaciones Futuras y Conclusiones. 79. 7.1. Otras alternativas de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.2. Metaheurı́sticas: Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.3. Manipulación de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.4. Demanda: matriz origen-destino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.5. Programación de los servicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Apéndice A.. — Numeración del Sistema Troncal. 85. Apéndice B.. — Implementación en Xpress MP. 96. Referencias. 117. vi.

(7) Lista de Tablas 1.. Diseño inicial de TransMilenio en cuatro fases. . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.. Diseño actual de TransMilenio en ocho fases. . . . . . . . . . . . . . .. 5. 3.. Lista de Tramos Viales para el sistema actual de TransMilenio . . . . 20. 4.. Dimensiones de la formulación para la Fase I y el Sistema Actual. . . 65. 5.. Conteo de variables para la Fase I y el Sistema Actual. . . . . . . . . 66. 6.. Conteo de variables del problema 2 teniendo en cuenta las restricciones de definición para la Fase I y el Sistema Actual. . . . . . . . . . . 68. 7.. Conteo de restricciones para la Fase I y el Sistema Actual. . . . . . . 69. 8.. Parámetros globales para la instancia implementada. . . . . . . . . . 73. 9.. Demanda y distancia entre estaciones para la instancia implementada. 74. 10.. Numeración global y local para la instancia implementada. . . . . . . 74. 11.. Resultados obtenidos al aplicar el modelo a la instancia implementada: Diseño de los servicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. 12.. Resultados obtenidos al aplicar el modelo a la instancia implementada: Operación de los servicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. 13.. Resultados obtenidos al aplicar el modelo a la instancia implementada: Utilización de los servicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. 14.. Numeración tramos viales sistema actual de TransMilenio . . . . . . . 85. 15.. Numeración global estaciones sistema actual de TransMilenio . . . . . 86. 16.. Matriz MI, estaciones 1 a 26.. 17.. Matriz MI, estaciones 27 a 52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. 18.. Matriz MI, estaciones 53 a 78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. 19.. Matriz MTV, estaciones 1 a 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. 20.. Matriz MTV, estaciones 27 a 52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87. vii.

(8) 21.. Matriz MTV, estaciones 53 a 78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. 22.. Matriz MITV, estaciones 1 a 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. 23.. Matriz MITV, estaciones 27 a 52. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. 24.. Matriz MITV, estaciones 53 a 78. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. viii.

(9) Lista de Figuras 1.. Cobertura del sistema troncal de TransMilenio en Bogotá cuando se haya completado su construcción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.. Sistema actual TransMilenio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 3.. Esquema de la herramienta propuesta para el diseño de servicios de TransMilenio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 4.. Estaciones extremas del sistema troncal actual . . . . . . . . . . . . . 19. 5.. Esquema de los Tramos Viales para el sistema actual de TransMilenio 21. 6.. Numeración Global de las estaciones del sistema actual de TransMilenio 23. 7.. Esquema general del método de solución implementado para el módulo de optimización de la herramienta propuesta. . . . . . . . . . . . . 29. 8.. Longitud LEij entre parejas de estaciones. . . . . . . . . . . . . . . . 31. 9.. Ejemplo de diseño de un servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 10.. Primera y última estación visitada por un servicio k. . . . . . . . . . 33. 11.. Distancia que recorre el servicio k, DRk , en un sentido del recorrido. . 34. 12.. Posibilidades de transportar usuarios directamente por el servicio k. . 36. 13.. Ejemplo del recorrido con transbordo que hace un usuario para ir de una estación a otra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 14.. Continuidad en el diseño de los servicios. . . . . . . . . . . . . . . . . 38. 15.. Balance de masa para el diseño de los servicios. . . . . . . . . . . . . 40. 16.. Personas que se transportan usando un solo servicio sin usar transbordo. 42. 17.. Estaciones en común para un par de servicios k y l. . . . . . . . . . . 50. 18.. ko para un servicio k. . . . . . . . . . . . . . . . 54 Variables tipo T OT Pijt. 19.. Distancia efectiva y distancia muerta que recorre un vehı́culo operando el servicio k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. ix.

(10) 20.. Personas transportadas sin transbordo por un servicio k en un tramo de la ruta en el sentido (s, e). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. 21.. Instancia utilizada para validar el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . 72. 22.. Diseño de servicios resultante al aplicar el modelo a la instancia implementada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. x.

(11) Resumen. TRANSMILENIO S.A. es una empresa de transporte público masivo urbano de pasajeros que opera en Bogotá D.C. Esta empresa no cuenta con una herramienta computacional para evaluar y ajustar el diseño de los servicios. Para este fin, se propone en este estudio una herramienta compuesta por dos módulos, uno de optimización y otro de simulación. Se desarrolló una primera aproximación del módulo de optimización con una heurı́stica de descomposición en subproblemas, basada en programación matemática. Se caracterizó el sistema TransMilenio y se realizó un modelo matemático del mismo, encontrando que éste es un problema NP duro. Se resolvió una instancia del sistema TransMilenio utilizando la heurı́stica propuesta para el módulo de optimización, utilizando el software de optimización Xpress-MP, con lo cual se validó la formulación. Finalmente se propone una serie de técnicas con las que se puede solucionar el problema, las cuales son tema de futuras investigaciones.. xi.

(12) Capı́tulo I Introducción TRANSMILENIO S.A. es una empresa que surgió como respuesta para contrarrestar la problemática del sistema de transporte urbano tradicional que vive la ciudad de Bogotá caracterizado por tiempo excesivo de viaje (en promedio más de 2 horas [22]), congestión vial, inconformidad de usuarios, alta accidentalidad, contaminación, entre otros. La Empresa de Transporte del Tercer Milenio - TRANSMILENIO S.A. - fue creada en 1999 después de que el Concejo de Bogotá D.C. aprobara el Acuerdo No. 04 de 1999 para su creación, con la facultad de “gestión, organización y planeación del servicio de transporte público masivo urbano de pasajeros en el Distrito Capital y su área de influencia, bajo la modalidad de transporte terrestre automotor...”[25]. El sistema empezó a operar el 18 de diciembre de 2000. El sistema de transporte urbano TRANSMILENIO S.A. ha generado múltiples beneficios a la ciudad entre los cuales se encuentra la recuperación del espacio público, mejoramiento del sistema vial y disminución en el tiempo de viaje de los usuarios; sin embargo la empresa se ha enfrentado a varios problemas que deben ser solucionados. Entre los aspectos a mejorar en la operación del sistema de transporte se encuentran: procedimiento de ingreso y salida del sistema, servicio de alimentadores, planeación de las rutas del sistema troncal, recolección de datos del comportamiento de los usuarios,. 1.

(13) evaluación del servicio y seguridad dentro del sistema. Uno de los aspectos relevantes en la operación de TransMilenio es la operación óptima de las rutas, entendida ésta como la utilización mı́nima de los recursos tal que se satisfaga la demanda de transporte y se minimice el tiempo de viaje de los usuarios cumpliendo con los objetivos establecidos por la empresa1 . En la Universidad de los Andes se han adelantado estudios en el tema de TransMilenio. Concretamente en el tema de la operación del sistema se encuentran trabajos como propuesta metodológica para la evaluación de rutas del sistema TransMilenio [27], a cargo del Centro de Investigación de la Facultad de Ingenierı́a, CIFI, y varios proyectos de grado [8, 20, 29, 30, 31] que principalmente tratan de la evaluación del sistema; mientras que otros proyectos de grado [6, 28] hacen una primera aproximación para el aporte en el diseño de los servicios. Sin embargo, no se ha hecho un estudio en el que se presente una metodologı́a para el diseño de los servicios de todo el sistema. Este proyecto es una primera aproximación al desarrollo de una herramienta que de forma sistemática establezca la dinámica de asignación de servicios, programación de éstos y evaluación permanente de la operación del sistema. Se presenta un modelo de optimización para el diseño de los servicios troncales y las frecuencias con que éstos deben operar. El documento se desarrolla de la siguiente forma: En los capı́tulos 2 y 3 se expone el sistema actual de TransMilenio y las investigaciones que se han hecho en el campo del transporte. En los capı́tulos 4, 5 y 6, se describe y desarrolla la primera aproximación de la herramienta propuesta con el módulo de optimización. En el capı́tulo 7, se exploran posibles investigaciones que surgen del presente trabajo. Finalmente se exponen las conclusiones de la investigación en el capı́tulo 7.6.. 1. Los objetivos principales de TransMilenio son“mejorar la calidad de vida del ciudadano y la competitividad de la ciudad, siguiendo los principios de respeto a la vida, al tiempo, a la diversidad humana, calidad del servicio, consistencia del servicio y costeabilidad del servicio”[25].. 2.

(14) Capı́tulo II El sistema operativo de TransMilenio 2.1.. Descripción de TransMilenio. En general el sistema TransMilenio cuenta con los siguientes elementos para su operación [25]: Sistema tronco-alimentado, que consiste en troncales de alta velocidad alimentadas por buses que van a los diferentes barrios cercanos a las estaciones de cabecera e intermedias. Las troncales son vı́as exclusivas para los buses de TransMilenio y van paralelas a vı́as neurálgicas de la ciudad. Estaciones cada 500 metros en promedio. Terminales de cabecera e intermedias como puntos de integración. Sistema de Posicionamiento Global , GPS, (siglas en Inglés de Global Positioning System). Sistema de pago con tarjetas inteligentes. Servicios ordinarios y servicios expresos. Buses articulados con capacidad para 160 pasajeros y adecuados con sistemas de seguridad y comodidad. El sistema troncal de TransMilenio actualmente opera de Lunes a Viernes de 5:00 am a 11:00pm, y domingos y festivos de 6:00 am a 10:00 pm [26]. 3.

(15) Fase Fase I. Perı́odo Construcción 1999-2000. Fase II. 2001-2006. Fase III. 2006-2011. Fase IV. 2011-2016. Troncales -. Calle 80 Avenida Caracas Autopista Norte Avenida de las Américas Avenida Suba Corredor Férreo del Sur, Cll 19 Avenida Norte-Quito-Sur Avenida de los Cerros Carrera 10 Carrera 7 Calle 6 Calle 170 Calle 26 Avenida Boyacá Avenida 1 de Mayo Calle 13 Viaducto Caracas Avenida Longitudinal de Occidente Avenida Villavicencio Avenida 68 Calle 63 Calle 200 Avenida Ciudad de Cali Viaducto Autonorte. Distancia Cubierta (km) - 10 - 21 - 10 - 16,7 - 11 - 12 - 35,5 - 7,9 - 13 - 11 - 4,9 - 9,7 - 9,7 - 35 - 14,5 - 14.4 - 21 - 48 - 10,3 - 16 - 8,7 - 6,8 - 30,9 - 10. Tabla 1: Diseño inicial de TransMilenio en cuatro fases. 2.1.1.. Cubrimiento. Según TRANSMILENIO S.A., el desarrollo del sistema inicialmente se tenı́a previsto en cuatro grandes etapas [21], las cuales se muestran en la Tabla 1, pero en la actualidad la construcción del sistema se ha dividido en ocho fases [26], que en su totalidad se muestran en la Tabla 2. En los diseños de implementación del sistema troncal, se tiene previsto que para el año 2016 se tendrá completa la infraestructura del sistema en toda la ciudad [21]. Esta cobertura se muestra en la Figura 1, [26]. En la actualidad está operando la Fase I en su totalidad y la Avenida de las 4.

(16) Fase Fase I. Estado actual En Operación. Fase II. En construcción. Fase III. Futura Construcción. Fase IV. Futura Construcción. Fase V. Futura Construcción. Fase VI. Futura Construcción. Fase VII. Futura Construcción. Fase VIII. Futura Construcción. Troncales - Calle 80 - Avenida Caracas - Autopista Norte - Avenida de las Américas - Avenida Suba - Corredor Férreo Sur, CFS - Carreras 10 y 7 - Avenida Boyacá - Calle 26 - Avenida 68 - Calle 13 - Avenida Ciudad de Cali - Avenida 1o. de Mayo - Norte Quito Sur, NQS (calle 92 -calle 170) - Avenida Villavicencio - Calle 170 - Calle 6 - CFS - Avenida de los Cerros - Caracas 2 - Calle 63 - Calle 200 - Avenida Ciudad de Cali - Autopista Norte 2 - Avenida Longitudinal de Occidente, ALO - Conenctantes restantes. Tabla 2: Diseño actual de TransMilenio en ocho fases.. 5.

(17) Figura 1: Cobertura del sistema troncal de TransMilenio en Bogotá cuando se haya completado su construcción. Américas perteneciente a la Fase II, adicionalmente se encuentran en construcción la Avenida Suba y la Avenida Norte-Quito-Sur. En la Figura 2 [26], se muestra cómo esta conformado el sistema de servicios troncales actual de TransMilenio.. 2.1.2.. Debilidades y fallas del sistema que funciona actualmente. En la evaluación del sistema de operación de la primera fase se han encontrado varios puntos que pueden ser mejorados. Según Valbuena [29], como resultado de una simulación, se encontró que el sistema actual de servicios no es el mejor (este estudio se hizo con restricción en el número de servicios). Sobre este punto De los Rı́os [6] hace un análisis del servicio 10 evaluando diferentes aspectos de la operación y concluye que la forma como se asigna la frecuencia para este servicio no es la más adecuada. Según Torres [20], las variables de calidad de mayor importancia son comodidad y seguridad. En cuanto a la comodidad, es importante realizar un diseño de los servicios de tal forma que se satisfaga la demanda evitando sobrecupos. 6.

(18) Figura 2: Sistema actual TransMilenio 7.

(19) en los buses. En cuanto a la seguridad, TransMilenio debe velar por la seguridad de los usuarios cuando se encuentren dentro del sistema. Otro de los puntos a mejorar es el servicio alimentador, que según una encuesta realizada por Egurrola y Hurtado [8] sobre la fase I, el 46 % de los encuestados calificó el servicio alimentador como regular y solo el 18 % con calificación positiva. Un factor adicional que se puede mejorar es el sistema de compra de tarjetas para el ingreso, que en ocasiones es un proceso congestionado y lento para las horas de mayor demanda. Entre los principios bajo los cuales se concibió TransMilenio [25] se encuentran el respeto al tiempo, calidad del servicio y consistencia en el servicio; por lo tanto se hace necesario que las debilidades y fallas en que incurra el sistema deban ser estudiadas, controladas y mejoradas. Bajo esta lógica, y teniendo en cuenta que es un aspecto a mejorar, se incentiva el estudio del sistema de rutas que actualmente opera y que se tiene planeado para operar. En el caso de estudio del servicio 10 adelantado por De los Rı́os [6] se presentan evidencias de que TransMilenio no cuenta con una herramienta computacional que pueda ser utilizada frecuentemente para diseñar y evaluar los servicios1 y en consecuencia el ajuste a un diseño de los servicios se hace con base en su experiencia sin recurrir a un procedimiento determinado. Entre los estudios que se han realizado en el tema del sistema operativo de TransMilenio, se han utilizado herramientas de simulación con el fin de evaluar y mejorar el sistema de servicios; sin embargo, no 1. “La Dirección de Operaciones aduce que no es posible controlar el recorrido de una ruta cuando los vehı́culos tienen entre sı́ intervalos menores a tres minutos porque inevitablemente en algún tramo del recorrido terminarán pegándose”; sin embargo ésto no se ha confirmado. Por otro lado, “para poder cumplir con la limitante operacional y a su vez poder atender la demanda ...se implantó un modelo de operación basado en convoyes que viene funcionando desde los menses finales del año 2002 y que consiste en enviar dos buses simultáneamente...con un intervalo de tres minutos entre convoyes”[6]. De los Rı́os argumenta que “el sistema de convoyes ha funcionado para otros sistemas similares como en Sao Pablo aumentando la velocidad promedio de operación”, pero esto no se ha confirmado para TransMilenio. En la operación, el diseño de convoyes no se mantiene para todo el recorrido, puesto que “en algunas ocasiones los mismos parámetros operacionales hacen que se desregulen y lleguen a tener algún intervalo entre ellos”[6], por ejemplo la parada del bus en las estaciones (mientras un bus se detiene a dejar y recoger pasajeros el otro debe esperar). Según De los Rı́os, “a raı́z de esta situación, el usuario común tiene más confianza en el primer bus porque percibe que es más seguro, más estable y llegara primero que el otro”. TransMilenio diseñó este esquema de convoyes de manera empı́rica como respuesta al incremento de la demanda.. 8.

(20) se han utilizado herramientas de optimización para el diseño de las mismas. Teniendo en cuenta la necesidad de mejorar el diseño de los servicios, se propone una herramienta que integre técnicas tanto de optimización como de simulación.. 2.2.. Descripción de la Herramienta. La herramienta para el diseño de los servicios de TransMilenio se basa en el análisis de la información relacionada con el movimiento de los pasajeros en el sistema y las caracterı́sticas del mismo, optimiza el diseño de los servicios y simula tanto el funcionamiento de servicios predefinidos como el de los servicios resultantes del análisis de optimización. La herramienta computacional que se propone pretende: determinar servicios en una fase existente, programar los servicios, evaluar los servicios, analizar el impacto de cambios al sistema. En la Figura 3 se muestra un esquema de la herramienta completa. La herramienta consta de dos módulos principales: el módulo de optimización con el cual se se realiza un diseño base de los servicios, y el módulo de simulación con el cual se evalúa un sistema de servicios. 2.2.1.. Módulo de Optimización. En el módulo de optimización se diseñan y programan los servicios. Para el diseño de los servicios se debe conocer la red en la que se operará (caracterı́sticas de la red troncal y estaciones) y las restricciones propias del sistema. Por otro lado se establece un criterio para la optimización. Adicionalemente, se diseñan las frecuencias con las que deben operar los servicios. Como resultado se obtiene una propuesta para la operación de los servicios. Para realizar estos diseños se utilizan técnicas de optimización de acuerdo con la naturaleza del problema. Como se verá más adelante, existen varios métodos que se pueden aplicar en este primer módulo utilizando diferentes técnicas. 9.

(21) Los resultados obtenidos son el diseño mejorado de los servicios y las frecuencias con las que deben operar. Después de obtener estos resultados, se debe determinar cómo funcionan dichos diseños para un sistema dinámico. Es por esto que se evalúa el diseño utilizando el módulo de simulación. 2.2.2.. Módulo de Simulación. En el módulo de simulación se evalúa un diseño de servicios. Este módulo no solamente podrá utilizarse para evaluar los diseños resultantes del módulo de optimización, sino evaluar otros diseños propuestos o que se encuentren actualmente en operación. El fin principal es evaluar el comportamiento de los diseños ante cambios en el comportamiento del sistema y en general evaluarlos a la luz de un comportamiento dinámico. En dado caso que se presenten fallas, es decir que el diseño no sea satisfactorio, el sistema de simulación permitirá realizar los ajustes necesarios para mejorar el diseño inicial. De ser necesario y dependiendo de los intereses del diseñador, se puede realizar retroalimentación al módulo de optimización con la información obtenida de la simulación, y reoptimizar el modelo de tal forma que se obtenga un diseño mejorado. El presente proyecto se concentra en desarrollar las bases del módulo de optimización aplicadas al sistema TransMilenio.. 10.

(22) Figura 3: Esquema de la herramienta propuesta para el diseño de servicios de TransMilenio.. 11.

(23) Capı́tulo III Revisión de la literatura 3.1. 3.1.1.. Investigaciones realizadas en sistemas de transporte Estudios en sistemas de transporte de pasajeros. Como lo manifiestan Ngamchai y Lovell [13], el problema de diseño de rutas se ha caracterizado en la literatura como un problema que tiende a ser no lineal, sin convexidad en la función objetivo, y de naturaleza discreta y multiobjetivo. Uno de los sistemas de transporte masivo extensamente estudiado es el de trenes. Los modelos de trenes que utilizan formulaciones matemáticas y técnicas de optimización son muy variados según Cordeau et al. [2], debido a los diferentes aspectos que pueden ser modelados; como por ejemplo, el diseño de acomodación de carros de trenes, diseño de las rutas de los trenes (locomotoras) y tiempos de parada de los trenes. Cordeau et al. manifiestan que en los últimos años se ha presentado un crecimiento de modelos basados en técnicas de optimización. Por otro lado, la mayorı́a de los modelos se basan en simulación y son utilizados principalmente para evaluar y comparar diseños en diferentes escenarios; estos modelos producen soluciones de alta calidad para problemas complejos utilizando tiempos computacionales cortos. Los autores argumentan que la mayorı́a de las representaciones de sistemas de transporte de trenes se hace con redes, cuyos nodos representan estaciones de origen y destino, y los arcos lı́neas de trenes que conectan las estaciones entre sı́. En cuanto a los programas de ruteo, Cordeau et al. describen que para un problema de trenes se pueden analizar problemas de conexión entre trenes, los bloques de carros que deben armarse en cada estación y la asignación de bloques a trenes. 12.

(24) Debido a la complejidad de estos problemas, la mayorı́a de modelos implementan esquemas de resolución secuenciales. Cordeau et al. clasifican los diferentes estudios de ruteo de vehı́culos en redes de la siguiente forma: según tipo de problema como bloques de vehı́culos, diseño de rutas y frecuencias, y ruteo y programación ; según el horizonte de planeación como operacional, táctico o estratégico; según la función objetivo como minimización de los costos operacionales, minimización del tiempo de operación, o minimización de costos operacionales y de tiempo; según la estructura del modelo como problemas no lineales mixtos (MIP, siglas en inglés de Mix Integer Problem), lineales mixtos, ruta más corta, lineal binario, no lineal binario o problemas de diseño de redes, NDP (siglas en inglés de Network Design Problem); finalmente pueden clasificarse según el método de solución como heurı́sticas, programación dinámica, descomposición de Dantzing-Wolfe, heurı́stica de descomposición, relajación lagrangiana, redes neuronales, heurı́sticas de búsqueda local, ramificación y acotamiento, enfriamiento simulado o algoritmos genéticos. Un trabajo concreto en ruteo de trenes es el realizado por Zwaneveld et al. [34], en el que solucionan el problema de ruteo de trenes de transporte de pasajeros para una infraestructura dada de una estación de trenes. Las estaciones de trenes tienen una infraestructura compuesta por una serie de vı́as que llegan a ella de forma independiente y que pueden ser modificadas para desviar el tren a una u otra vı́a principal de acuerdo con la ruta que siga cada tren. El problema estudiado por Zwaneveld et al. consiste en realizar el ruteo de trenes teniendo en cuenta las caracterı́sticas de una estación. El sistema completo de estaciones no supera las 60 estaciones y comprende un área geográfica extensa. En este sentido, TransMilenio difiere de estos sistemas puesto que tiene una densidad mayor de estaciones por área geográfica cubierta. Por otro lado, las estaciones de TransMilenio no tienen la complejidad de las estaciones de trenes. Finalmente, los vehı́culos utilizados por TransMilenio tienen una capacidad fija y no pueden ser intercambiados como se hace con los carros de los trenes. Sin embargo, el sistema TransMilenio comparte con el sistema de trenes las caracterı́sticas de ir por carriles exclusivos, detención de los servicios en estaciones especı́ficas, y el transporte de. 13.

(25) pasajeros. Como resultado de su estudio, Zwaneveld et al. obtuvieron un modelo matemático basado en el problema de empaquetamiento de nodos NPP (siglas en inglés de Node Packing Problem), encontrando que éste es un problema NP-completo para un tren con tres posibilidades de ruteo. El problema fue resuelto con el método de ramificación y acotamiento. Adicionalmente, los autores desarrollaron técnicas de preprocesamiento y determinaron que realizar una manipulación adecuada de los datos disminuye significativamente el tamaño de los problemas. Un estudio de ruteo de trenes que se acerca más a la naturaleza del problema de ruteo de TransMilenio es el desarrollado por Yaghini et al. [33]. En este estudio se presenta un modelo matemático de optimización para determinar el ruteo de trenes y la programación de estos de forma simultánea, de tal forma que se minimizaran los costos totales sujeto a las caracterı́sticas de los vehı́culos y de las vı́as. Los autores describen tres métodos tı́picos de solución de estos problemas: modelos por bloques, modelos de ruteo y diseño posterior, y modelos de ruteo y programación. El modelo presentado por Yaghini et al. es un modelo que integra el diseño de rutas y la programación de éstas, argumentando que al integrar la programación se realiza un diseño más realista del sistema. Este modelo incluye aspectos como capacidad de trenes y vı́as, satisfacción de demanda, entre otros. Los autores aplicaron un modelo sencillo obteniendo mejores resultados que otros modelos. Los autores se encuentran desarrollando un esquema de solución aplicando Búsqueda Tabú para resolver problemas de gran escala. Por otro lado, un estudio de sistemas de buques es presentado por Rana y Vickson [15], en el cual desarrollan un modelo matemático para resolver el problema de ruteo de buques de carga con el objetivo de maximizar la ganancia total. Para resolver el problema, los autores utilizan un método de descomposición. Otras investigaciones en modelos de solución para el diseño de sistemas de transporte se desarrollan basadas en heurı́sticas. Ngamchai y Lovell [13] proponen un Algoritmo Genético para diseñar la red de transporte de rutas de un sistema de buses. Rao et. 14.

(26) al. [16], utilizan un modelo basado en Algoritmos Genéticos para abordar el problema de ruteo y programación de sistemas de transporte público. Desaulniers et al. [7], examinan estrategias de generación de columnas dirigidas a la solución de ruteo de vehı́culos y problemas programación. En este estudio los autores concluyen que estos procedimientos conducen a implementaciones más rápidas de generación de columnas para problemas de transporte. 3.1.2.. Centros de investigación. El diseño de sistemas de transporte a nivel mundial es una industria creciente apoyada en investigación y desarrollo. Actualmente existen múltiples empresas y centros de investigación y docencia especializados en el tema de transporte como Transportation Development Centre (http://www.tc.gc.ca/tdc/menu.htm) en Canadá; Northwestern University Transportation Center (http://nutcweb.tpc.nwu.edu/public/), The John A. Volpe National Transportation Systems Center (http://www.volpe.dot.gov/) en Cambridge, Massachussets; The University of California Transportation Center (http://www.uctc.net/) en la Universidad de California; entre otros. Uno de los centros de investigación más destacado en el tema es el centro GERAD1 (sigla en francés, Grupo de Estudios y de Investigación en Análisis de las Decisiones), cuyas investigaciones han sido aplicadas en diversos sistemas de transporte con resultados positivos.. 3.2.. Herramientas computacionales utilizadas por TRANSMILENIO S.A.. Actualmente TRANSMILENIO S.A. cuenta con tres herramientas principales para realizar la programación y control de la operación del sistema. Las actividades en las cuales utiliza estas herramientas son2 : 1. Planeación de los servicios: Utilizando demanda histórica, el Departamento 1. http://gerad.ca/es/gerad/advances.php. GERAD es un centro interuniversitario en Investigación de Operaciones, creado en 1979 y que agrupa a un conjunto de miembros de diversas universidades canadienses, en colaboración con centros de investigación de Canadá y el mundo. 2 Información obtenida de funcionarios de TRANSMILENIO S.A.. 15.

(27) de Planeación de TRANSMILENIO S.A. establece las estaciones y servicios para una fase que va a entrar en operación. Para esto utiliza la herramienta EMME2 [9]. 2. Evaluación y rediseño de los servicios: El Departamento de Operaciones de TRANSMILENIO S.A. recibe la información de Planeación y se encarga de realizar seguimientos, estudios y modificaciones que considere relevantes a los servicios que se encuentren en operación. Para realizar esta actividad, el Departamento de Programación no cuenta con una herramienta especı́fica. 3. Programación de los servicios: El Departamento de Operaciones se encarga de realizar los itinerarios diarios de los servicios; para realizar esto se utiliza la herramienta GOAL [11]. Esta información se transfiere al Departamento de Control. 4. Control de la operación: Finalmente, en cuanto a lo que la operación concierne, el Departamento de Control se encarga de realizar un seguimiento en tiempo real de la programación diaria de los servicios. Para ello se cuenta con sistemas GPS y con la herramienta SAE que por medio de una interfase gráfica le permite a los controladores realizar un seguimiento del sistema en tiempo real. De las actividades que debe realizar TransMilenio en la gestión y control de la operación, no se cuenta con un sistema que ayude a la evaluación y seguimiento del desempeño a mediano plazo de los servicios en operación, ası́ como la evaluación de posibles cambios necesarios en éstos para prestar un mejor servicio, siguiendo el comportamiento de la demanda. Actualmente esta actividad se realiza con evaluaciones de campo, encuestas y experiencia de los funcionarios.. 16.

(28) Capı́tulo IV El problema y enfoques de solución 4.1.. Entendimiento del sistema: caracterización general. En este capı́tulo se exponen las caracterı́sticas del problema que son necesarias para el desarrollo del módulo de optimización. A continuación se describen los supuestos bajo los cuales se modeló el problema, y conceptos principales que se consideraron para la formulación. Finalmente se describe una serie de alternativas de solución para la optimización del diseño de servicios de TransMilenio. 4.1.1.. Supuestos. Las siguientes son las aproximaciones y supuestos que se utilizan en el diseño de los servicios y frecuencias: Se toma como base la red establecida por TransMilenio y el sistema de paraderos que se ha definido. La optimización se realiza sobre el sistema troncal de TransMilenio, es decir, que no se incluye ni el sistema de buses alimentadores ni intermunicipales. En cuanto a la demanda se utiliza la información suministrada por TransMilenio (no se hicieron encuestas). No se tiene en cuenta la demora por semaforización ya que se puede considerar como una variable promedio fija que no altera el modelaje del sistema. Se asume un tiempo promedio para las demoras de los buses en el acceso al paradero y recolección y despacho de pasajeros. 17.

(29) No se tiene en cuenta la capacidad de las estaciones en número de usuarios, suponiendo una capacidad infinita. 4.1.2.. Conceptos básicos sobre el sistema. Como se puede ver en la Figura 2, el sistema troncal está compuesto por estaciones y vı́as que las unen, por lo tanto puede ser representado como un grafo no dirigido. Los conceptos que se describen a continuación se basan en este hecho y están encaminados a facilitar el entendimiento del modelo matemático. El concepto de servicio es equivalente al que comúnmente se conoce como ruta. Un servicio es la ruta que realiza un bus a lo largo del sistema y se define por las estaciones en las que se detiene el vehı́culo a recoger y dejar pasajeros. Por restricciones de diseño, para un servicio dado, las estaciones en las que se detiene un servicio en un sentido (por ejemplo norte-sur), son las mismas en las que se detiene cuando recorre el sentido contrario (sur-norte). Las estaciones tienen varias caracterı́sticas: la capacidad tanto en número de usuarios que le caben a la estación, como número de buses que pueden parar en ella; y la naturaleza de la estación. Las estaciones se clasifican de la siguiente manera [18]: Portal: las estaciones de cabecera o portales son aquellas estaciones por las que pueden salir y entrar buses de y al sistema. Para la Fase I las estaciones de cabecera son el portal de la Autopista, de la 80, Tunal y Usme. Estación sin intercambio: es aquella en la cual no se puede hacer transbordo, donde el transbordo es el proceso que el pasajero realiza al cambiar de servicio en el viaje recorrido al ir de una estación origen a una estación destino. Con retorno: son las estaciones en las que los buses tienen la posibilidad de cambiar el sentido del recorrido. Corriente: estaciones con ninguna de las caracterı́sticas anteriores. En estas estaciones un usuario si puede realizar transbordo. 18.

(30) Figura 4: Estaciones extremas del sistema troncal actual Las caracterı́sticas anteriores no se tendrán en cuenta para la formulación; sin embargo, sı́ se utiliza el concepto de estación extrema. Una estación extrema es aquella que solamente está relacionada con un arco. Las estaciones extremas (o en los extremos) del sistema actual se muestran en la Figura 4, y son: Portal del Norte. Portal de la 80. Estación de Las Aguas. Portal de Las Américas. Portal del Tunal. Portal de Usme. Debido a que el sistema se compone de un conjunto de vı́as que se cruzan, se deben tener en cuenta las restricciones de movilización en los cruces. El concepto de tramo vial se origina para tener en cuenta tales caracterı́sticas y para facilitar la formulación como se verá más adelante. Un tramo vial es un segmento de las vı́as troncales con las siguientes caracterı́sticas: 19.

(31) A lo largo del tramo vial se puede realizar un recorrido en un vehı́culo; es decir, no existen restricciones fı́sicas que impidan realizar el recorrido. Une directamente dos estaciones extremas. Según la definición dada anteriormente, los tramos viales se determinan con las parejas de estaciones extremas (s,e), donde s corresponde a la estación extrema ubicada más hacia el norte, y e corresponde a la estación extrema ubicada más hacia el sur. Para las seis estaciones extremas del sistema actual (Fase I y troncal de las Américas), se podrı́a obtener un número de tramos viales que se calcula con la siguiente combinatoria: µ ¶ 6 = 15 2 Sin embargo, solamente 10 de los 15 posibles tramos viales cumplen con la primera caracterı́stica de un tramo vial; es decir, solo en 10 tramos viales se puede realizar un recorrido sin restricciones de la vı́a. Los tramos viales para el sistema actual se muestran en la Tabla 3 y en la Figura 5.. Tramo Vial 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. Tramos Viales Fase I Estación inicial Estación final Portal del Norte Estación de Las Aguas Portal del Norte Portal de Las Américas Portal del Norte Portal del Tunal Portal del Norte Portal de Usme Portal de la 80 Estación de Las Aguas Portal de la 80 Portal de las Américas Portal de la 80 Portal del Tunal Portal de la 80 Portal de Usme Estación de Las Aguas Portal de las Américas Portal del Tunal Portal de Usme. Tabla 3: Lista de Tramos Viales para el sistema actual de TransMilenio. 20.

(32) Figura 5: Esquema de los Tramos Viales para el sistema actual de TransMilenio. 21.

(33) Con respecto a los tramos viales se deben resaltar que, algunos de los tramos viales que actualmente no son factibles pueden volverse factibles por obras civiles que se realicen en el sistema troncal. Por ejemplo el tramo vial definido por el Portal del Norte y por el Portal de la 80 no es factible en la actualidad porque no hay forma de pasar de la Autopista Norte a la Calle 80 (y viceversa); sin embargo este tramo se volveá factible puesto que según Vladimir Castro, funcionario de TRANSMILENIO S.A., se construirá un paso en el sector de los Héroes para conectar de forma directa a la Calle 80 con la Autopista Norte. Diseño de los Servicios. Cada servicio pertenece a un solo tramo vial, de tal forma que las estaciones que recorre y en consecuencia en las que se detiene pertenecen a dicho tramo vial. Aunque cada servicio tiene asociado un tramo vial, no todo tramo vial tiene un conjunto de servicios asociado (se recuerda que el concepto de tramo vial solamente se utiliza para efectos de la formulación). Por ejemplo para el sistema actual de servicios (Figura 2), los tramos viales 1, 2, 9 y 10 (Figura 5) no tienen servicios asociados a ellos. Sin embargo, se debe tener en cuenta que un servicio que no tiene servicios asociados, puede tenerlos en un futuro. Otro aspecto en cuanto al diseño de los servicios es que se considera que un servicio consta de dos etapas. Una etapa es el recorrido de ida, (s, e), que se refiere al viaje que realiza un bus directamente desde el nodo inicial s hasta el nodo final e del correspondiente tramo vial, sin cambio de dirección; y la otra etapa es el recorrido de vuelta, (e, s) que se refiere al viaje de regreso que hace un bus, es decir, el viaje desde el nodo final e hacia el nodo inicial s del tramo vial, en dirección contraria al viaje de ida. Por restricción de la operación, para cualquier servicio, las estaciones en las que dicho servicio se detiene en el viaje de ida son las mismas en las que se detiene en el viaje de vuelta. Numeración del grafo. Para la formulación es importante la manera como se numeran las estaciones. Para cada tramo vial se debe realizar una numeración de. 22.

(34) Figura 6: Numeración Global de las estaciones del sistema actual de TransMilenio las estaciones en forma ascendente en sentido (s, e); para ello se realizó una numeración local para cada tramo vial. Ası́, una estación tendrá más de una numeración local si pertenece a más de un tramo vial (por ejemplo la estación de la Calle 76 pertenece a los tramos viales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8; ver Figuras 2 y 5). Adicionalmente se estableció una numeración global en la cual cada estación tiene una numeración única. La numeración global permite relacionar las diferentes numeraciones entre sı́. La numeración global de las estaciones se presenta en la Figura 6. Tanto la numeración global como la numeración local se utilizan simultáneamente en el modelaje del problema. Con base en los conceptos descritos en esta sección se desarrolla la formulación matemática del problema que se presenta en el capı́tulo 5.. 4.2.. Enfoques de solución. En el primer módulo de la herramienta, es decir, en el módulo de optimización (ver Figura 3), se diseñan los servicios y las frecuencias de los servicios utilizando técnicas de optimización. Entre los métodos que se pueden utilizar para resolver este problema están los de programación matemática, flujo en redes, heurı́sticas o una combinación de éstos. Algunas opciones que se consideraron como posibles métodos de solución se presentan a continuación.. 23.

(35) 4.2.1.. Formulación completa: involucrar todos los aspectos. Una primera aproximación para solucionar un problema de optimización es pensar en hacer una formulación como un programa matemático y solucionarlo como un solo problema. Este enfoque es adecuado para aquellos problemas con un número de variables y restricciones tales que sea eficiente resolverlos con un programa especializado o con una técnica de optimización que maneje de forma eficiente instancias de considerable tamaño. Es por esto que se debe considerar si el problema puede ser resuelto eficientemente con alguna técnica de optimización. Para el problema de diseño de servicios de TransMilenio, el modelo resultante es un programa entero mixto no lineal y de gran escala. En consecuencia, es difı́cil resolver este problema en un solo modelo que tenga en cuenta todos los aspectos. 4.2.2.. Descomposición en varios subproblemas. Para establecer las frecuencias con las que operan los servicios es necesario conocer previamente cuál es su diseño. Teniendo en cuenta esto, una alternativa de solución es partir el problema en subproblemas de optimización que se relacionen entre sı́, de tal forma que la solución obtenida de uno sirva como información para la solución del otro problema. Una alternativa de descomposición es un primer problema que diseñe los servicios teniendo en cuenta las restricciones que definen las caracterı́sticas del sistema (por ejemplo conexiones entre estaciones, restricciones de paso, etc.), utilizando como función objetivo la satisfacción de la demanda; y un segundo problema que diseñe las frecuencias para los servicios que se diseñaron en el primer problema, teniendo en cuenta las restricciones de capacidad del sistema y utilizando como criterio la minimización del uso de la flota. La forma como se solucionen los problemas puede variar, dependiendo de las restricciones que se tengan en cuenta y el o los criterios que se utilicen. Algunos criterios, es decir, funciones objetivo, que pueden ser utilizados para solucionar los problemas son:. 24.

(36) Satisfacción de la demanda. Por ejemplo una penalización en la función objetivo por incumplimiento de la demanda. Distancias recorridas en la operación. Con el diseño de los servicios como entrada, el segundo problema obtiene como resultado el diseño de las frecuencias con las que operarán los servicios. Esta estrategia de descomposición es la que se implementó en este proyecto. En la sección 5.1 se detalla el método utilizado. 4.2.3.. Localización y ruteo en redes multiflujo. Una forma de solucionar el problema es basarse en los métodos de localización y ruteo. Nuevamente se alude a la descomposición resolviendo varios problemas de tal forma que la solución de uno es insumo para otro. En este sentido, un ejemplo de diseño con un enfoque de redes puede ser el siguiente: un primer problema que haga una asignación de estaciones a servicios y luego un segundo modelo que resuelva una red multiflujo. Considere un primer problema que para diseñar un servicio escoja un conjunto de estaciones en las cuales se detendrá. Esto se hace con una red que tiene dos tipos de nodos, los servicios (que se van a diseñar) y las estaciones. Se resuelve un problema de localización en el cual se asignan los nodos que corresponden a las estaciones a los nodos que corresponden a los servicios. Se asignan todos los nodos que corresponden a las estaciones a por lo menos uno de los nodos de los servicios. Paralelamente se hace un ruteo que se basa en el criterio de las demandas sin tener en cuenta las restricciones fı́sicas del problema. Esto se puede hacer de la siguiente forma: asignar a un servicio parejas de estaciones que constituyan deseos de viaje con alta demanda y otras estaciones en las que no se tenga una demanda tan alta, de tal forma que se balancee la ocupación de los servicios. El segundo problema toma como base el resultado obtenido en el primer problema y resuelve un problema multiflujo complementando y ajustando la red. Se reasigna 25.

(37) la demanda evaluando si los servicios diseñados violan las restricciones fı́sicas del sistema, como por ejemplo hacer cruces que no sean posibles. Aquellos servicios que violen estas restricciones se dividen en dos o más servicios (dependiendo de lo que se necesite) siguiendo el mismo patrón de asignación del primer modelo (es decir, asignación de un porcentaje de estaciones con alta demanda y otro con baja demanda) de tal forma que con esos servicios se pueda realizar transbordo para aquellas parejas de estaciones que no puedan ser conectadas directamente. En el diseño de la red multiflujo se puede evaluar la capacidad de las vı́as manejada como capacidad de los arcos. Finalmente, se diseñan las frecuencias con las que opera cada servicio y los perı́odos en los cuales operará cada servicio. 4.2.4.. Metaheurı́sticas. Para resolver este problema se pueden utilizar Heurı́sticas y Metaheurı́sticas como por ejemplo algoritmos evolutivos que pueden ser explorados para la solución de este problema. Particularmente puede explorarse la posibilidad de resolver el problema a través de algoritmos genéticos, búsqueda tabú, colonias de hormigas o redes neuronales. Para ello se debe evaluar la naturaleza del problema y compararla con las ventajas que ofrece cada heurı́stica con el fin de hacer una adecuada selección o combinación de éstos. Para una idea más desarrollada con respecto a algoritmos genéticos refiérase al capı́tulo 7.2 en investigaciones futuras.. 26.

(38) Capı́tulo V Formulación del Problema A continuación se presenta la formulación del problema escrita con base en la estrategia de solución de descomposición; se describe su naturaleza y se describen las técnicas que se utilizarán para su resolución. En el módulo de optimización se definen nuevos servicios (servicios o lı́neas) troncales: cuántos y en cuáles estaciones para cada uno y frecuencias con las que deben salir los servicios a lo largo de un dı́a corriente con base en la información de la demanda, infraestructura del sistema TransMilenio y restricciones de diseño; de tal forma que se satisfaga la demanda con la menor utilización posible de la flota de buses. La formulación de este problema se basa en el trabajo realizado por Rana y Vickson [15], en el cual se realizó el diseñó de rutas para buques de carga. En las siguientes secciones se describe la estrategia de solución implementada y luego se presenta la formulación.. 5.1.. Estrategia de solución implementada. La estrategia de solución utilizada se basa en la descomposición. El método de descomposición consiste en dividir el problema en dos problemas principales que se relacionan entre sı́ a través de un modelo de postprocesamiento de los datos; es decir: Problema 1: Diseño de los servicios utilizando un modelo de optimización con restricciones de diseño y restricciones de asignación de pasajeros sujeto al criterio de satisfacción de la demanda. 27.

(39) Procedimiento: Postprocesmiento de los resultados obtenidos en el problema 1. Problema 2: Diseño de la frecuencia con la que operarán los servicios y asignación de pasajeros con restricciones de capacidad y restricciones de asignación de pasajeros, seleccionando como criterio minimizar la distancia total recorrida. El esquema general de la estrategia de solución se presenta en la Figura 7. Inicialmente se resuelve el primer problema obteniendo como resultado un diseño de los servicios. Estos resultados se manipulan para calcular otros parámetros que harán parte de los datos de entrada para el segundo problema. Al resolver el segundo problema se obtiene la operación de los servicios diseñados en el primer problema y la asignación de demanda. Debido a que el problema no se ha resuelto de forma integral (por ejemplo en el primer problema no se consideran restricciones de capacidad), el diseño resultante debe ser evaluado a la luz de los criterios que el diseñador considere relevantes. Por ejemplo puede evaluarse si el diseño cumple con la demanda. Si como resultado del análisis posterior se obtiene que el diseño cumple con los criterios relevantes se finaliza el proceso; en caso contrario, se guarda la mejor solución encontrada hasta el momento y se adicionan las restricciones correspondientes a los criterios violados al problema 1 (y al problema 2 de ser necesario). Este procedimiento se repite hasta obtener una solución satisfactoria (ver Figura 7). Una forma de utilizar este método para TransMilenio es iniciar con el diseño actual de servicios solucionando el problema 2. Luego se sigue el método como se describió. Este esquema es flexible puesto que se pueden utilizar los problemas en el orden en el que sea más conveniente hacerlo, y se permite agregar restricciones a medida que sea necesario con el fin de obtener mejores soluciones. Con este enfoque es posible diseñar los servicios de nuevas fases teniendo en cuenta fases ya existentes. Por ejemplo, diseñar los servicios de la Fase II (Américas, Norte Quito Sur y Suba) con las rutas existentes en la Fase I.. 28.

(40) Figura 7: Esquema general del método de solución implementado para el módulo de optimización de la herramienta propuesta.. 29.

(41) El diseño se hace para un dı́a hábil con una operación promedio. En principio se supondrá un número fijo de servicios que se deben diseñar. Actualmente para la Fase I operan 13 servicios en los dı́as hábiles. El tiempo de operación en un dı́a se divide en intervalos, para los cuales se hará la asignación de servicios y distribución de pasajeros entre los servicios. En las siguientes secciones se presenta la formulación para cada uno de los problemas en los que se divide el módulo de optimización.. 5.2.. Formulación Problema 1. El Problema 1 obtiene como resultado el diseño de los servicios, indicando en qué estaciones se detiene cada uno. A continuación se presenta la formulación matemática de este problema. 5.2.1.. Conjuntos e ı́ndices. Los conjuntos que se utilizan en la formulación son los siguientes: E Conjunto de estaciones de los que se compone el sistema. Ω Conjunto de tramos viales del sistema. T Conjunto de los intervalos en los cuales se divide el tiempo de servicio de un dı́a hábil. Los ı́ndices que se utilizan en la formulación son los siguientes: i, j, p, q Indices que indican las estaciones i, j, p, q ∈ E. k, l Indices que indican los servicios. t Índice que indica el intervalo t ∈ T que se esté evaluando. o Indices que indican los tramos viales del sistema o ∈ Ω.. 30.

(42) Figura 8: Longitud LEij entre parejas de estaciones. 5.2.2.. Parámetros. Los siguientes son los parámetros del sistema, necesarios para la formulación del problema 1: LEij Distancia entre las parejas de estaciones (i, j) que pertenecen a un mismo tramo vial. Esta longitud indica la distancia más corta que se debe recorrer en el sistema troncal para ir de la estación i a la estación j. El la Figura 8 se muestra un ejemplo para este parámetro. dijt Demanda, o número de usuarios que desean ir de la estación i a la estación j en el intervalo t. i, j ∈ E, t ∈ T . Esta demanda se construye con una matriz denominada Origen-Destino que TransMilenio construye con base en el comportamiento de los usuarios del sistema. K Cantidad máxima de servicios que se diseñarán. M I Matriz de ı́ndices que indica la relación entre los tramos viales y las estaciones. Las filas corresponden a los tramos viales y las columnas corresponden a las estaciones del sistema con la numeración global. La matriz M I para el sistema actual se muestra en el Anexo A. Esta matriz se utiliza cuando se quiere pasar de la numeración global a la numeración local. M T V Matriz binaria que indica la pertenencia de las estaciones a los tramos viales. Las filas indican los tramos, y las columnas las estaciones ordenadas de acuerdo 31.

(43) con la numeración global. La matriz M T V para el sistema actual se muestra en el Anexo A. M IT V Matriz que relaciona las estaciones que pertenecen a cada tramo vial con la numeración global, donde la columna indica la estación particular para cada tramo vial y la fila corresponde al tramo vial. Por ejemplo la casilla que cruza la columna 1 y fila 1 corresponde a la estación 1 del tramo vial 1; y la casilla que cruza la columna 1 y fila 2 corresponde a la estación 1 del tramo vial 2. El valor en cada casilla indica la numeración global de la estación. La matriz M IT V para el sistema actual se muestra en el Anexo A. Por ejemplo, la estación M IT V (1, 16) = 29 indica que la estación #16 en el tramo vial 1 corresponde a la estación #29 en la numeración global, que corresponde a la estación del Polo. Por otro lado, M IT V (2, 16) = 30 indica que la estación #16 en el tramo vial 2 corresponde a la estación #30 en la numeración global que es la estación Cll 76. Esta matriz se utiliza cuando se quiere pasar de la numeración local a la numeración global. E o Parámetro que indica la cantidad de estaciones que tiene un tramo vial o ∈ Ω. 5.2.3.. Variables de decisión. Las variables de decisión que se utilizan en la formulación del problema 1 son las siguientes: xko ij Variable binaria que toma un valor de 1 si las estaciones i y j pertenecen al tramo vial o y están directamente conectadas en el servicio k; y toma un valor de 0 de otro modo. Esta variable es la que indica el diseño del servicio. El que las estaciones i y j estén conectadas de forma directa en el servicio k, quiere decir que el servicio k se detiene en la estación i (para dejar y recoger pasajeros) y no se detiene nuevamente hasta llegar a la estación j (para nuevamente dejar y recoger pasajeros). Esto se muestra en la Figura 9. Como restricción del sistema, aquellas estaciones en las que se detenga un servicio en el sentido (s, e) deben ser las mismas en las que se detiene al recorrer. 32.

(44) Figura 9: Ejemplo de diseño de un servicio. Figura 10: Primera y última estación visitada por un servicio k. ko en sentido contrario; es decir en sentido (e, s). Por lo tanto, xko ij = xji ; ası́, estas. variables solamente se definen para las estaciones i, j tales que M I(o, i) < M I(o, j), i 6= j. i, j pertenecen al tramo vial o, o ∈ Ω y k = 1, . . . , K. P Eiko Variable binaria que toma un valor de uno si la estación i que pertenece al tramo vial o es la primera estación visitada por el servicio k que opera en el tramo vial o, cuando va en sentido (s, e); y toma un valor de cero de otro modo. Está definida para i ∈ E, o ∈ Ω, k = 1, . . . , K. Esta variable determina cuál será la primera estación en la que se detendrá el servicio k cuando va en sentido (s, e). En la Figura 10 se muestra un ejemplo para un servicio k.. 33.

(45) Figura 11: Distancia que recorre el servicio k, DRk , en un sentido del recorrido. U Eiko Variable binaria que toma un valor de uno si la estación i que pertenece al tramo vial o es la última estación visitada por el servicio k que opera en el tramo vial o, cuando va en sentido (s, e); y toma un valor de cero de otro modo. Está definida para i ∈ E, o ∈ Ω, k = 1, . . . , K. Esta variable determina cuál será la última estación en la que se detendrá el servicio k cuando va en sentido (s, e). En la Figura 10 se muestra un ejemplo para un servicio k. T V ko Variable binaria que toma un valor de uno si el servicio k opera en el tramo vial o, y toma un valor de cero de otro modo. DRk Distancia que recorre el servicio k en un sentido del recorrido. Esta distancia no es la longitud del tramo vial en el que opera el servicio, sino la distancia efectiva del recorrido dada por la distancia entre la primera estación en la que se detiene el servicio hasta la última estación en la que se detiene. Esto se muestra en la Figura 11. k Pijt Número de personas durante el intervalo t que van de la estación i a la estación. j; es decir, cuyo deseo de viaje es ir de i a j, y utilizan solamente el servicio k para transportarse, por lo tanto no realizan transbordo. En la Figura 12 se muestra un ejemplo de las posibilidades de transporte para un servicio. Esta variable se define como continua puesto que el movimiento de pasajeros puede verse como un flujo. kl P Tijt Esta variable indica el número de personas durante el intervalo t que van de. la estación i a la estación j realizando transbordo, de tal forma que utiliza el. 34.

(46) servicio k para subirse en i y utiliza el servicio l para llegar a j. El transbordo entre el servicio k y el servicio l se realiza en una estación intermedia que no será determinada en el modelo. La definición de esta variable se hace bajo el supuesto que el diseño de rutas se hace para ir de cualquier estación i a cualquier otra estación j 6= i realizando máximo un transbordo. Un ejemplo de un viaje con transbordo se muestra en la Figura 13. Esta variable es continua, puesto que el movimiento de pasajeros puede verse como un flujo. Esta variable solamente tomará valores para aquellas parejas de estaciones tales que no exista ningún servicio k que se detenga en las dos estaciones. yikl Variable binaria que toma un valor de uno si i es una estación en común para los servicios k y l; es decir, si los servicios k y l se detienen en dicha estación, y toma un valor de cero de otro modo. Esta variable binaria permite determinar las estaciones comunes para todo par de servicios. Esto es determinante para kl la definición de las variables P Tijt , puesto que como se dijo anteriormente, el. transbordo debe realizarse en una estación intermedia que no se especifica, pero sı́ se debe garantizar que dicha estación intermedia exista; es decir, que exista una estación en común para los servicios k y l, en caso de que la variable kl P Tijt sea utilizada para un par de estaciones i, j ∈ E. Ası́, para el ejemplo de. la Figura 13, las variables yikl que tienen un valor de uno son y8kl y y9kl ; mientras que el resto de variables de este tipo toman un valor de cero. wij Variable binaria que toma un valor de uno si se debe utilizar transbordo para ir de la estación i al al estación j, y toma un valor de cero de otro modo. 5.2.4.. Funciones objetivo. Existen varios criterios que se pueden usar para diseñar los servicios para el sistema troncal. Los criterios contemplados para el diseño de los servicios son: Maximizar el número de pasajeros atendidos. Este objetivo se refiere al cubrimiento que se tenga de la demanda, es decir el número de usuarios transportados durante todo un dı́a. Este objetivo puede verse como una restricción que exija el cumplimiento de la demanda. 35.

(47) Figura 12: Posibilidades de transportar usuarios directamente por el servicio k.. Figura 13: Ejemplo del recorrido con transbordo que hace un usuario para ir de una estación a otra.. 36.

(48) Una manera de formular este objetivo es minimizar la diferencia entre la demanda total y el transporte total de usuarios, suponiendo que el transporte total de usuarios no supera la demanda total; es decir minimizar la demanda no atendida. Considérese la demanda para ir de una estación i a una estación j 6= i durante el perı́odo t, dada por el parámetro dijt . Dependiendo del diseño que se haga de los servicios, los usuarios con dicho deseo de viaje pueden hacerlo de forma directa o con transbordo. Teniendo en cuenta esto, el total de usuarios transportados es la suma de las personas transportadas directamente y las transportadas con transbordo. Ası́, la diferencia entre la demanda y el total de usuarios transportados esta dada por la ecuación (1). XX i,j∈E t∈T. dijt −. X XX i,j∈E k,l t∈T. kl P Tijt −. X XX i,j∈E. k. k Pijt. (1). t∈T. Minimizar el número de transbordos. Minimizar el número de transbordos que debe hacer un usuario para llegar a su destino implica minimizar el número de transbordos que se deben hace para ir de una estación i a una estación j para todo par de estaciones i, j ∈ N . Por otro lado, implica también minimizar el número total de parejas de estaciones que necesitan uno o más transbordos; y finalmente implica minimizar número total de transbordos en el sistema. Este criterio no se utiliza como función objetivo en esta formulación; sin embargo, el diseño se hace de tal forma que el número máximo de transbordos que debe hacer un usuario para ir de una estación i a otra estación j es uno. 5.2.5.. Restricciones. Las restricciones pueden clasificarse como: restricciones de diseño y restricciones de asignación de pasajeros.. 37.

(49) 5.2.5.1. Restricciones de diseño. Estas restricciones garantizan el correcto diseño de los servicios teniendo en cuenta las caracterı́sticas fı́sicas del sistema. A continuación se presentan estas restricciones. 1. En todas las estaciones debe detenerse al menos un servicio. Para esta restricción se utiliza la siguiente ecuación:. K XX. .  . o∈Ω k=1. X j|M I(o,i)<M I(o,j). X. xko ij +.  ≥ 1 para todo i ∈ E (2) xko ji. j|M I(o,j)<M I(o,i). ko Se suman las variables xko ij y xji puesto que esta variable puede estar definida. para algunas estaciones como nodo de salida o de entrada. 2. Continuidad de los servicios. Para un servicio k el diseño de las estaciones conectadas directamente debe ser continuo, es decir, que un servicio debe detenerse de forma continua en una serie de estaciones como se muestra en la Figura 14.. Figura 14: Continuidad en el diseño de los servicios. Esta relación puede verse como un balance de masa: el número de arcos que entra a todo nodo (estación) debe ser igual al número de arcos que sale de dicho 38.

(50) nodo. Este balance se hará utilizando las variables xko ij que expresan la conexión directa que un servicio k hace entre dos estaciones i, j. Adicionalmente se utilizarán las variables P Eiko y U Eiko que indican la primera y última estación del servicio k. Entonces, para toda estación i que pertenece al tramo vial o en el que opera el servicio, se debe cumplir que el número de arcos que entra es igual al número de arcos que salen; ası́, se debe sumar sobre todos los posibles arcos que entran a i y sumar sobre todos los posibles arcos que salen de i e igualar dichas sumas, como se muestra en la Figura 15, i.e., M I(o,i)−1. X. E(o). X. xko M IT V (o,j),i =. j=1. xko i,M IT V (o,j). (3). j=M I(o,i)+1. Nótese que se hace uso de las matrices M I y M IT V para pasar de la numeración global a la numeración local y viceversa. Esto porque se debe sumar ordenadamente con respecto al tramo vial. La ecuación (3) es adecuada para una estación i que no sea ni la primera ni la última estación en las que se detiene el servicio. Si i es la primera estación donde se detiene el servicio, solamente saldrı́a un arco de i (ver Figura 15). Por lo tanto para que el balance de masa se cumpla para una estación i que sea la primera en la que se detiene el servicio k se debe modificar la ecuación (3) de la siguiente forma: M I(o,i)−1. P Eiko. +. X. E(o). xko M IT V (o,j),i. j=1. =. X. xko i,M IT V (o,j). (4). j=M I(o,i)+1. Ası́, si i es la primera estación, el primer término del lado izquierdo tomará un valor de 1 balanceando el lado derecho que tomará un valor de 1. Sin embargo, todavı́a no se ha tenido en cuenta el caso en el cual la estación i sea la última estación visitada por el servicio k. En caso tal, solamente llegarı́a un arco a la estación i (ver Figura 15). Por lo tanto para que el balance de masa se cumpla para todas las estaciones incluyendo la primera y la última estación visitadas por el servicio k, la ecuación de balance de masa es:. 39.

(51) Figura 15: Balance de masa para el diseño de los servicios.. 40.

(52) M I(o,i)−1. P Eiko. +. X. E(o). xko M IT V (o,j),i. =. j=1. U Eiko. X. +. xko i,M IT V (o,j). (5). j=M I(o,i)+1. Esto para k = 1, . . . , K; o ∈ Ω; i ∈ E tal que M I(o, i) > 0, es decir, que i pertenezca al tramo vial o. 3. Primera y última estación en la que se detiene un servicio. Si un servicio k opera en el tramo vial o, una estación de ese tramo vial debe ser asignada como la primera estación en la que se detiene el servicio al ir en dirección (s, e); y una estación de ese tramo vial debe ser asignada como la última estación en la que se detiene el servicio. Estas condiciones se asocian con las variables P Eiko , U Eiko , y T Vok , en las ecuaciones (6). X. P Eiko = T Vok. (6). i∈E|M I(o,i)>0. X. U Eiko = T Vok. i∈E|M I(o,i)>0. Para todo o ∈ Ω y k = 1, . . . , K. 4. Un servicio solamente puede operar en un tramo vial del sistema troncal. Para expresar esta restricción se utilizan las variables T Vok que indican la pertenencia de un servicio a un tramo vial, con la ecuación (7) X. T Vok ≤ 1 para k = 1, . . . , K. (7). o∈Ω. Si el lado izquierdo de la ecuación (7) es igual a cero, quiere decir que el servicio k no es utilizado en el sistema troncal. 5. Definición de la distancia que recorre un servicio. Como se dijo en la definición de variables, DRk indica la distancia efectiva que recorre el servicio k (ver Figura 11). Esta variable está dada por las conexiones directas que se diseñan. 41.

(53) Figura 16: Personas que se transportan usando un solo servicio sin usar transbordo. para ese servicio. Ası́, la distancia efectiva que recorre el servicio k esta dada por la ecuación (8): DRk =. X X. xko ij ∗ LEij para k = 1, . . . , K. (8). o∈Ω i,j|i6=j. 5.2.5.2. Restricciones de asignación de pasajeros Estas restricciones realizan la asignación de pasajeros a los servicios diseñados. 1. Considérese el número de personas transportadas de i a j por el servicio k k durante el perı́odo t, Pijt . Como se dijo en la definición de esta variable, estas. personas no realizan transbordo, es decir, solamente utilizan el servicio k para realizar su viaje. Para que un servicio pueda llevar pasajeros (sin transbordo) de una estación i a una estación j, el servicio debe detenerse en ambas estaciones, como se muestra en la Figura 16. Para restringir este hecho, se utilizan las ecuaciones (9) que restringen la asignación de pasajeros solo a aquellos servicios que se detienen en ambas estaciones origen-destino.. 42.

(54) Pijkt ≤ dijt. XX¡. ko xko iq + xqi. q∈E o∈Ω. Pijkt ≤ dijt. XX¡. ko xko jq + xqj. ¢. (9). ¢. q∈E o∈Ω. Para i, j ∈ E; i 6= j; k = 1, . . . , K; t ∈ T . 2. El número de personas transportadas por un servicio de una estación a otra no puede exceder la demanda total de usuarios con dicho deseo de viaje. Esta restricción se utiliza para acotar el problema cuando se resuelve el problema con el criterio de satisfacción de demanda dado por la ecuación (1). Esta restricción esta dada por la ecuación (10): K X. Pijkt ≤ dijt para i, j ∈ E, i 6= j, t ∈ T. (10). k=1. 3. Parejas de estaciones en las que se debe realizar transbordo. El diseño de los servicios se hará de tal forma que para ir de una estación i a cualquier otra estación j, un usuario deberá realizar máximo un transbordo. Adicionalmente se tiene el supuesto de que aquellas estaciones origen destino i, j para las cuales un usuario tiene que hacer transbordo (para ir de i a j) son estaciones en las que no se detiene un mismo servicio (ver ejemplo Figura 13). Esta restricción se expresa con la ecuación (11).  wij ≤ 2−. X. o∈Ω M T V (o,i)=M T V (o,j)=1.   .  X q∈E M T V (o,q)=1,q6=i. ¡. ¢ ko xko iq + xqi +. X. ¡. ¢ ko  xko + x jp pj . p∈E M T V (o,p)=1,p6=j. (11) Para todo i, j ∈ E, i < j, k = 1, . . . , K. En la restricción (11) si en el lado derecho los términos positivos correspondientes a las variables binarias x toman un valor de cero quiere decir que el servicio k no se detiene ni en la estación i 43.

(55) ni en la j, y el lado derecho tomará un valor de dos sin restringir el valor de wij ; por otro lado; si toma un valor de uno, quiere decir que el servicio solo se detiene en una de las estaciones, y el lado derecho toma un valor de uno, de nuevo sin restringir el valor de la variable xij . Finalmente si la suma de las variables x toma un valor de dos quiere decir que el servicio k se detiene en las estaciones i y j y el valor del lado derecho es cero, lo que quiere decir que no debe existir transbordo para estas estaciones y por lo tanto la variable wij debe tomar un valor de cero. Adicionalmente el valor que toma wij debe ser igual a la variable wji ; es decir, wij = wji para todo i, j ∈ E, i < j. (12). 4. Los transbordos solamente se utilizan para aquellas parejas de estaciones para las cuales no se diseña ningún servicio que se detenga en las dos estaciones. Para formular esta restricción se utilizan las variables wij que indican si se debe hacer transbordo o no para ir de i a j. Si algún servicio se detiene en las dos estaciones, no se transportarán usuarios con transbordo, de otro modo kl las variables P Tijt que llevan pasajeros con transbordo se activarán. Con la kl ecuación (13) se relacionan las variables xij con las variables P Tijt .. K X X. kl P Tijt ≤ dijt wij. (13). k=1 l6=k. Para todo i, j ∈ E, i 6= j, t ∈ T . 5. Para las personas transportadas con transbordo, los servicios utilizados deben kl detenerse en las estaciones. Se debe tener en cuenta que para la variable P Tijt. el servicio k es utilizado para recoger al pasajero en la estación i, y el servicio l es utilizado para dejar al pasajero en la estación j (ver Figura 13). Para que esto se cumpla el servicio k debe detenerse en la estación i y el servicio l debe detenerse en la estación j. Esto se representa con las restricciones (14).. 44.