Movimiento armónico simple
Movimiento periódico
La segunda ley de Newton y la ley de Hooke
Trabajo y energía en el movimiento armónico
simple
El círculo de referencia y el movimiento armónico
simple
Velocidad en el movimiento armónico simple
Aceleración en el movimiento armónico simple
El periodo y la frecuencia
El péndulo simple
Introducción
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un
movimiento periódico que queda descrito en función del
tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la
descripción de un movimiento requiriese más de una
función armónica, en general sería un movimiento
armónico, pero no un m.a.s.
Es aquel en cual un cuerpo se mueve de una lado a otro sobre una trayectoria fija, regresando a cada posición y velocidad después de un intervalo de tiempo definido.
Es un movimiento periódico que tiene lugar en ausencia de fricción y es producido por una fuerza de restitución que es directamente proporcional al desplazamiento y tiene una dirección opuesta a éste.
Una
fuerza de
restitución
F
actúa en
dirección opuesta al
movimiento del cuerpo en
oscilación.
F
= -
kx
T
1
f
T se expresa en segundos (s) y f en oscilaciones por segundo, o Hertz (Hz).
La frecuencia, f, es el número de oscilaciones completas por
unidad de tiempo.
El periodo, T, es el tiempo para realizar una oscilación completa.
Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo.
No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida.
El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico
simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se
obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:
La solución de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma
En dicha solución de la ecuación diferencial
Sabemos que:
es la elongación de la partícula.
es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
es la frecuencia angular
es el tiempo.
es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o
fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Suponga que consideremos el trabajo hecho al extender un resorte, como el que aparece en la figura 14.5. Una fuerza F actúa a lo largo de una distancia x al comprimir el resorte. Este trabajo es positivo e igual al producto de la fuerza por la distancia, Fx. A la vez, el resorte ejerce una fuerza equivalente y en dirección opuesta que realiza la misma cantidad de trabajo, pero es negativo. Si trazamos una grafica de la fuerza F en función del desplazamiento x, es posible demostrar que el trabajo que efectúa es igual a
Lo que significa que la energía potencial U almacenada en el resorte esta dada por
Cuando se suelta un resorte comprimido, la energía potencial se convierte en energía cinética a medida que la masa que aquel tiene unida gana velocidad. Si no hay fricción, la energía cinética final será igual a la energía potencial inicial. La energía potencial se guarda en el resorte solo cuando esta comprimido o extendiendo. Por su parte la energía cinética solo existe si la masa tiene velocidad.
Recuerde que la energía total de un sistema no cambia. En consecuencia, en ausencia de fricción escribimos.
Conservación de la energía U0 +k0= Uf + k f
Donde los subíndices 0 y f se refieren a los valores inicial y final. Si hay fricción debemos sumar en el miembro derecho dela ecuación el trabajo absoluto realizado por ella.
El círculo de referencia compara el movimiento de un objeto que recorre una trayectoria circular con su proyección horizontal.
donde:
x = desplazamiento horizontal A = amplitud de la oscilación
q = ángulo de desplazamiento
x
A
cos
q
La velocidad (v) de un cuerpo que oscila en un instante dado es la componente horizontal de su velocidad tangencial (vT).
)
ft
2
(
Sen
.
ft
2
v
La aceleración (a) de un cuerpo que oscila en un instante dado es la componente horizontal de su aceleración centrípeta (ac).
donde:
a = aceleración
ac = aceleración centrípeta
q = ángulo
w = velocidad angular f = frecuencia
A = amplitud
x = desplazamiento horizontal
a
4
2f x
2a = aceleración del cuerpo f = frecuencia de la oscilación x = desplazamiento del cuerpo k = constante del resorte
m = masa del cuerpo
T = periodo de la oscilación
f
a
x
1
2
T
x
a
2
Para un péndulo:
Para un cuerpo que vibra con una
fuerza de restitución elástica:
f
k
m
1
2
T
m
k
2
T
l
g
2
El periodo de un péndulo
simple está dado por:
T
l
k
2
'
El periodo de un péndulo
de torsión está dado por:
Donde k’ es una constante de torsión que depende del material de que está hecha la varilla.
• El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..
• En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.
