DISTRIBUCIÓN BINOMIAL O DE BERNOULLI
El termino Binomial se utiliza para designar situaciones en los que los resultados de una variable aleatorio se pueden agrupar en dos clases o categorías. Las últimas deben ser mutuamente excluyentes, ejemplo: la respuesta de falso o verdadero de un examen; los productos manufacturados como defectuosos o satisfactorios.
La distribución binomial sirve para determinar la probabilidad de cierto número de resultados satisfactorios, en un número dado de observaciones, para poder utilizar la distribución binomial se deben cumplir los siguientes requisitos:
a) Que existan n ensayos u observaciones idénticas
b) Cada ensayo tiene dos posibilidades o resultados, uno denominado éxito y el otro fracaso.
c) La probabilidad de éxito llamado p y de fracaso (1-p)=q, se mantiene constante para todos los
ensayos. La ecuación matemática utilizada es
p
(
x
)=
(
n
x
)
p
x
q
n−xDónde: n: número de ensayos
x: número de éxitos (lo que nos están preguntando)
p: probabilidad de éxito
q: probabilidad de fracaso.
Ejemplo: La probabilidad de que un prospecto de ventas elegidas al azar, realice una compra es de 0,20. Si un vendedor visita a 6 prospectos. Halle la probabilidad de que realice exactamente 4 ventas.
b) Realice 4 o más ventas.
c) Menos de 3 eventos.
Solución:
p
(
x)
=(
nx
)
px
qn−x
a) n:6
x: 4 o p(x=4)
p: 0,20
p
(
x
)=
(
6
4
)
0,20
4
0,80
(6−4)p
(
x)
= 6!2!4!∗0,20 40,802
=0,01536∗100=1,536≅1,54 %
La probabilidad de que se realice exactamente 4 ventas es del 1,54%
b) p
(
x ≥4)
=p(
x=4)
+p(
x=5)
+p(x=6)Como el ejercicio dice que mayor o igual a 4 ventas, por tal motivo la x toma valores de 4 a 6, que son los posibles prospectos.
p
(
x)
=(
64
)
0,204
0,80(6−4) +
(
65
)
0,205
0,80(6−5) +
(
66
)
0,206
0,80(6−6)
p
(
x)
= 6!2!4!∗0,20 4
0,802+ 6!
1!5!∗0,20 5
0,801+ 6!
0!6!∗0,20 6
0,800
1,54+1,536*10−3
+6,4∗10−5=1,695≅16,95 % La probabilidad de que vendan 4 o más es del 16,95%
c) p
(
x<3)
=p(
x=0)
+p(
x=1)
+p(x=2)p
(
x)
=(
60
)
0,200
0,80(6−0) +
(
61
)
0,201
0,80(6−1) +
(
62
)
0,202
0,80(6−2)
p
(
x)
= 6!6!0!∗0,20 0
0,806+ 6!
5!1!∗0,20 1
0,805+ 6!
4!2!∗0,20 2
0,804
0,2621+0,3932+0,2458=0,9011≅90,11 %
2. De los alumnos de una universidad el 41% fuman. Se eligen 6 alumnos para conocer sus opiniones sobre el cigarrillo.
a) Encuentre la probabilidad de que ninguno de ellos fume.
b) La probabilidad de que por lo menos la mitad fume.
Solución
a) p(x=0)
n:6 x:0 p:0,41 q:0,59
p
(
x
)=
(
6
0
)
0,41
0
p
(
x)
= 6!6!0!∗0,41 0
0,596=4,22 %
b) p(x≥3¿=p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)
p
(
x
)=
(
6
3
)
0,41
3
0,59
(6−3)+
(
6
4
)
0,41
4
0,59
(6−4)+
(
6
5
)
0,41
5
0,59
(6−5)+
(
6
6
)
0,41
6
0,59
(6−6)=
¿
Otra forma
1-p(x<3)
1-
[
p(
x=0)
+p(
x=1)
+p(x=2)]
1-
[
(
60
)
0,4100,59(6−0) +
(
61
)
0,4110,59(6−1) +
(
62
)
0,4120,59(6−2)
]
=¿Ejercicios para resolver
3. En una facultad, la probabilidad de que un alumno apruebe el semestre es del 80%. Si se consideran 8 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) dos ganen? b) dos pierdan? c) por lo menos dos pierdan? d) como máximo 6 ganen? e) seis pierdan el semestre.
4. Se lanzan 6 veces una moneda. Encontrar la probabilidad de obtener: a) exactamente 4 caras. b) máximo 4 caras.
5. Se lanzan 7 dados. Si el existo consiste en sacar un 5 o 6, encontrar la probabilidad de obtener: a) Exactamente 4 éxitos. b) máximo 4 éxitos.
6. Se sabe que en la manufactura de cierto artículo, uno de cada 10 resulta defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 4 artículos contenga: a) ninguno defectuoso? b) exactamente uno defectuoso? c) exactamente 2 defectuosos? d) no más de 2 defectuosos?
DISTRIBUCIÓN DE POISSON O QUAZO
Suele ser útil para describir las probabilidades del número de sucesos o acontecimientos a un intervalo continuo que generalmente es tiempo o espacio.
La ecuación para la distribución de Poisson es x=e−λt¿ ¿
Dónde: λ=promedioo razón media por unidad .
x=número de ocurrencias .
t=número de unidades.
e=2,7182, es una constante .
Ejemplo: Mediante un proceso mecánico se producen alfombras de lana, que producen un promedio de 2 alfombras defectuosas por mes, encuentre la probabilidad de que un metro cuadrado tenga exactamente un defecto.
λ=2x=? p
(
x=1)
t=1M2e=2,7182 P(x=1) =e−2(1)∗
¿ ¿
La probabilidad de que en un metro cuadrado exista un defecto es del 27%.
2. Los barcos arriban a un puerto a razón de 2 barcos por hora, encuentre la probabilidad de: a) no arriben ningún barco. b) arriben 3 barcos.
λ=2x=? p
(
x=0)
t=12hora e=2,718
P(x=0) =e−2(12) ∗¿ ¿
La probabilidad de que no arribe ningún barco es del 36,78%
b) P(x=3) = e−2(12) ∗¿ ¿
La probabilidad de que arriben 3 barcos al puerto es del 6,13%.
Ejercicios para realizar
3. los defectos de la ilasa tienen una media de 0,2 defectos por metro. Si se inspecciona una longitud de 6 M, calcule la probabilidad de hallar al menos 2 defectos.
4. Los clientes llegan a una demostración a razón de 6,5 clientes por hora. Calcule la probabilidad de que en cualquier hora: a) no llegue ningún cliente. b) por lo menos lleguen 5.
6. Si el 1% de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que, en una muestra de 100 bombillas, 3 sean defectuosas.
7. Si la probabilidad de que una persona adquiera una enfermedad, como consecuencia de una vacuna contra la misma, es 0,0002. ¿Cuál es la probabilidad de que la adquieran exactamente 5 personas en una población de 1000 vacunados.
8. Se estima que una de cada 10.000 personas es alérgica a cierta sustancia, utilizada en la fabricación de tintes para el cabello. ¿Cuál es la probabilidad de que 20.000 usuarios de tintes, más de 5 sufran reacciones alérgicas, debido a su uso?
9. El número de clientes que llegan a una corporación de ahorro y vivienda los sábados es, en promedio, 40 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen por lo menos dos clientes?
