1.5. El teorema de los multiplicadores de Lagrange

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(1)

6. El teorema de los multiplicadores de Lagrange.

Sea g una función de dos variables suficientemente regular y consideremos la curva C de ecuación

implícita ( , )g x y =0, es decir, C:=

{

( , )x y ∈\2: ( , )g x y =0 .

}

Se trata de un conjunto cerrado y

su-pongamos que es un conjunto acotado. Si f : ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x y( , )∈\, con CU, es una función suficientemente regular (en particular continua) entonces alcanza el máximo y el mínimo absolutos en C. Sin embargo, ningún punto de la curva es necesariamente un punto crítico de la función ,f luego las técnicas estudiadas en la sección anterior no son válidas en este caso. Sin

em-bargo, si C t: ∈ ⊆ →I \ C t( ) : ( ( ), ( ))= x t y t ∈\2, siendo x=x t( ) e y= y t( ) funciones suficiente-mente regulares, es una parametrización de la curva ,C y consideramos la función de una variable

: ( ) : ( ( ), ( )) ,

h t∈ ⊆ →I \ h t = f x t y t ∈\ se verifica que: f alcanza un máximo (mínimo) absoluto en el punto ( ,x y0 0)=C t( )0C si y sólo si h alcanza un máximo (mínimo) absoluto en el punto

0 .

tI Por tanto, el problema de obtener los extremos de la función f en C se reduce a obtener los extremos absolutos de la función h en I. A veces no es posible determinar una parametrización de la curva ,C hecho que ocurre generalmente cuando la curva está definida implícitamente por la ecuación ( , )g x y =0. En este caso se acude al método de los multiplicadores de Lagrange que ex-ponemos a continuación.

Multiplicadores de Lagrange para funciones de dos variables. Antes de enunciar el resultado central de esta sección vamos a presentar un ejemplo que ilustrará el camino a seguir.

EJEMPLO. Consideremos la circunferencia C de ecuación x2+y2 =2 y la función f x y( , )= +x y.

Queremos determinar los puntos de donde la función f alcanza el máximo y el mínimo absolutos. Observa que estos puntos existen puesto que C es un conjunto cerrado y acotado y f es una fun-ción continua. Consideremos las rectas x+ =y c, siendo c∈\. En los puntos ( , )x y donde esta recta corta a C, tenemos que f x y( , )=c. Si hacemos variar c∈\, obtenemos un haz de rectas pa-ralelas. El valor máximo (o mínimo) de c en puntos de la curva C se obtiene cuando la recta co-rrespondiente es tangente a C. En dichos puntos, la función f alcanza los extremos absolutos. Ob-serva que en dichos puntos, los vectores normales a la curva ,C esto es

(

2 , 2x y

)

, y el vector nor-mal a la recta, esto es

( )

1,1 , deben ser proporcionales. Por tanto, existirá λ∈\ tal que 2x=λ y

2y=λ. En consecuencia x= y y los puntos son

( )

1,1 , donde se alcanza el máximo absoluto y

(

− −1, 1 ,

)

donde se alcanza el mínimo absoluto.

DEFINICIÓN. Sea f : ( , )x y ∈ ⊆U \2 → f x y( , )∈\ una función y sea CU una curva de

ecua-ción implícita g x y( , )=0. Se dice que f alcanza en ( ,x y0 0)∈C un máximo relativo sujeto

(condi-cionado) a la restricción g x y( , )=0, si existe un disco D centrado en ( ,x y0 0) tal que

0 0

( , ) ( , )

f x yf x y para todo ( , )x y ∈ ∩D C ( ( , )x yD y ( , )g x y =0).

Se dice que f alcanza en ( ,x y0 0)∈C un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la restricción

( , ) 0,

(2)

0 0

( , ) ( , )

f x yf x y para todo ( , )x y ∈ ∩D C ( ( , )x yD y ( , )g x y =0).

En ambos casos decimos que f alcanza en ( ,x y0 0)∈C un extremo relativo sujeto (condicionado)

a la restricción ( , )g x y =0.

Observa que los extremos absolutos de la función f en C se alcanzan en puntos donde la función

f alcanza extremos relativos condicionados a ( , )g x y =0.

TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos

que f alcanza un extremo relativo en el punto ( ,x y0 0) sujeto a la restricción ( , )g x y =0 y que las

funciones f y g tienen derivadas parciales continuas en un disco D centrado en ( ,x y0 0). Si

0 0

( , ) 0,

Dg x y ≠ entonces existe un número λ∈\ (llamado multiplicador de Lagrange) tal que

0 0 0 0

( , ) ( , ),

Df x y = ⋅λ Dg x y es decir, se verifica que 0 0 0 0

0 0 0 0

( , ) ( , ), ( , ) ( , ).

x x

y y

f x y g x y

f x y g x y

λ λ

= ⎧

=

DEM. Puesto que g tienen derivadas parciales continuas, g x y( ,0 0)=0 y Dg x y( ,0 0)≠0, la función

g verifica las hipótesis del teorema de la función implícita. Por tanto, podemos despejar una de las variables en función de la otra. Supongamos que existe una función y= y x( ), definida en el inter-valo (x0−δ,x0+δ), tal que y x( 0)=y0 y ( , ( ))g x y x =0 para todo x∈(x0−δ,x0+δ). Derivando

implicitamente en el punto x0 obtenemos que g x yx( ,0 0)+g x y y xy( ,0 0) (′ 0)=0. Consideremos la

función una variable h x( )= f x y x( , ( )), definida para x∈(x0−δ,x0 +δ). Se trata de una función

derivable con derivada continua. Puesto que ( , ( ))g x y x =0 y la función f alcanza un extremo rela-tivo sujeto a la restricción ( , )g x y =0, la función ( )h x = f x y x( , ( )) alcanza un extremo relativo en

0.

x Por consiguiente, h x′( 0)=0. Por otro lado sabemos que ( )h x′ = f x y xx( , ( ))+ fy( , ( )) ( )x y x y x

para todo x∈(x0−δ,x0+δ). En particular, 0=h x′( )0 = f x yx( ,0 0)+ f x y y xy( ,0 0) ( ).′ 0 Por tanto, los

vectores

(

g x yx( ,0 0),g x yy( ,0 0)

)

y

(

f x yx( ,0 0), f x yy( ,0 0)

)

son ortogonales al vector

(

1,y x′( 0)

)

y, por consiguiente, son paralelos. Luego, teniendo en cuenta que Dg x y( ,0 0)≠0, debe existir un número

λ tal que Df x y( ,0 0)= ⋅λ Dg x y( ,0 0).

EJEMPLO. En el resultado anterior, el hecho de que Dg x y( ,0 0)≠0 se ha usado para poder aplicar el

teorema de la función implícita. Sin embargo, como muestra este ejemplo, es necesario exigir tal restricción. Consideremos la función f x y( , )=x2+y2 y la curva g x y( , )=(x−1)3−y2 =0. Es cla-ro que el mínimo de f restringido a ( , )g x y =0 se alcanza en el punto P=(1, 0), puesto que la función f expresa el cuadrado de la distancia del punto ( , )x y al origen de coordenadas. Sin em-bargo, (1, 0)Df =(2, 0) y Dg(1, 0)=(0, 0) con lo que no existe λ tal que Df(1, 0)= ⋅λ Dg(1, 0).

OBSERVACIÓN. Los posibles extremos relativos de la función f restringidos a ( , )g x y =0 se

(3)

( , ) 0,

( , ) ( , ),

( , ) ( , ).

x x

y y

g x y

f x y g x y

f x y g x y

λ λ

⎧ =

=

=

También es necesario analizar los puntos de la curva ( , )g x y =0 de forma que Dg x y( , )=0.

EJEMPLO. Vamos a calcular los extremos absolutos del campo escalar f : ( , )x y ∈\2 → f x y( , )∈\

definido por f x y( , )=y3+x y2 +2x2+2y2−4y−8 en el conjunto U:=

{

( , )x y ∈\2:x2+y2 ≤1 .

}

Observa que al ser la función f continua y U un conjunto cerrado y acotado, los valores máximos y mínimos se alcanzan en puntos del conjunto U, que pueden estar en su interior o en su frontera. Los que se encuentren en su interior, necesariamente serán puntos críticos de f. Por tanto, determi-naremos los puntos críticos de f y analizaremos qué información proporciona el criterio de las de-rivadas segundas sobre cada uno de dichos puntos críticos. Como sabemos, los puntos críticos son aquellos donde se anulan simultáneamente las derivadas parciales de la función f x y( , ), es decir,

2 2

( , ) 2 4 2 ( 2) 0,

( , ) 3 4 4 0.

x

y

f x y xy x x y

f x y y x y

= + = + =

⎧⎪

= + + − =

⎪⎩ De la primera ecuación deducimos que o bien x=0 o bien

2.

y= − Si x=0, entonces 3y2+4y− =4 0. Es decir, 2 3

y= o y= −2. Por otro lado, si y= −2,

entonces f xy( , 2)− =12+x2− − =8 4 0. Por tanto, x=0. Resumiendo, hay solamente dos puntos críticos: 1 0,2

3

P = ⎜⎛ ⎞

⎝ ⎠ y P2 =

(

0, 2 .−

)

Observa que P2∉U. Para aplicar el criterio de las derivadas

se-gúndas calculamos la matriz diferencial segunda, esto es, 2 ( , ) 2 4 2

2 6 4

y x

D f x y

x y

+

⎡ ⎤

= ⎢ +

⎣ ⎦ y, por

tan-to, 2 1

16 0

( ) 3 ,

0 8

D f P

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

que es definida positiva. En consecuencia, en el punto 1 0,2 3

P = ⎜⎛ ⎞

⎝ ⎠ la

fun-ción alcanza un mínimo relativo. Ahora usaremos el teorema de los multiplicadores de Lagrange para buscar los puntos de la frontera de U, es decir puntos que verifican x2+y2 =1, en los que la

función f alcanza extremos relativos condicionados. Llamemos g x y( , )=x2+y2−1. Si el punto ( , )x y es un extremo relativo de f x y( , ) sujeto a g x y( , )=0, entonces existe un número real λ tal

que ( , )Df x y = ⋅λ Dg x y( , ), es decir, 2 22 ( 2) 2 ,

3 4 4 2 .

x y x

y x y y

λ λ

+ =

+ + − =

⎩ Distinguimos dos casos. Si x=0,

la primera ecuación se verifica y de g(0, )y = y2− =1 0 obtenemos los puntos P3 =(0,1) y

4 (0, 1)

P = − son dos candidatos a ser extremos relativos. Para ambos la segunda ecuación tiene

solu-ción. Si x≠0, entonces y+ =2 λ. Por tanto, 3y2+x2+4y− =4 (y+2)2 .y Simplificando esta

(4)

este conjunto es cerrado y acotado). Puesto que estos extremos absolutos deben ser extremos relati-vos condicionados, necesariamente son P3 =(0,1) y P4 =(0, 1)− . Para determinar en cuál se alcanza

el máximo absoluto evaluaremos la función ( , )f x y en dichos puntos: f P

( )

3 = −9 y f P

( )

4 = −3.

Es decir, P3 =(0,1) es el punto donde la función alcanza el mínimo absoluto y P4 =(0, 1)− es el

punto donde alcanza el máximo absoluto. Finalmente, determinaremos los puntos donde el campo

f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en U. El único punto crítico del interior es P1

y

( )

1 256. 27

f P = − En cuanto a los segundos ya los hemos calculado en el apartado anterior. Por

tan-to, el máximo absoluto se alcanza en P4 =(0, 1)− y el mínimo absoluto en 1 0,2 . 3

P = ⎜⎛ ⎞

⎝ ⎠

Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en una superficie. En el caso tri-dimensional, el método funciona de forma análoga en el caso de una restricción ( , , )g x y z =0, lo que corresponde a considerar los valores máximo o mínimo absolutos de una función ( , , )f x y z de

tres variables sobre la superficie S:=

{

( , , )x y z ∈\3: ( , , )g x y z =0 .

}

DEFINICIÓN. Sea f : ( , , )x y z ∈ ⊆U \3 → f x y z( , , )∈\ una función y sea SU una superficie de

ecuación implícita ( , , )g x y z =0. Se dice que f alcanza en ( ,x y z0 0, 0)∈S un máximo relativo

su-jeto (condicionado) a la restricción ( , , )g x y z =0, si existe una bola B centrada en ( ,x y z0 0, 0) tal

que f x y z( ,0 0, 0)≥ f x y z( , , ) para todo ( , , )x y z ∈ ∩B S (o sea, ( , , )x y zB y ( , , )g x y z =0). Se

dice que f alcanza en ( ,x y z0 0, 0)∈S un mínimo relativo sujeto (condicionado) a la restricción

( , , ) 0,

g x y z = si existe una bola B centrado en ( ,x y z0 0, 0) tal que f x y z( ,0 0, 0)≤ f x y z( , , ) para todo ( , , )x y z ∈ ∩B S (o sea, ( , , )x y zB y g x y z( , , )=0). En ambos casos decimos que f alcanza en ( ,x y z0 0, 0)∈S un extremo relativo sujeto (condicionado) a la restricción ( , , )g x y z =0.

TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos que f alcanza un extremo relativo en el punto ( ,x y z0 0, 0) sujeto a la restricción g x y z( , , )=0 y

las funciones f y g tienen derivadas parciales continuas en una bola B centrada en ( ,x y z0 0, 0). Si

0 0 0

( , , ) 0,

Dg x y z ≠ entonces existe un número λ∈\ (llamado multiplicador de Lagrange) tal que

0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , ),

Df x y z = ⋅λ Dg x y z es decir

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ).

x x

y y

z z

f x y z g x y z

f x y z g x y z

f x y z g x y z

λ λ λ

⎧ =

=

=

EJEMPLO. Supongamos que entre todas las cajas rectangulares con área constante e igual a 10m2

(5)

repre-sentan longitudes, estos valores deben ser positivos: x>0, y>0 y z>0. El punto solución debe

satisfacer las ecuaciones

( , , ) 0,

( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ),

x x

y y

z z

g x y z

f x y z g x y z

f x y z g x y z

f x y z g x y z

λ λ λ = ⎧

=

=

=

para un cierto número λ. En nuestro caso,

tene-mos que

0 5,

( ),

( ),

( ).

xy xz yz

yz y z

xz x z

xy x y

λ λ λ

= + + −

⎪ = +

⎨ = +

⎪ = +

Puesto que estamos interesados solamente en soluciones del primer

octante, tenemos que la suma de cualesquiera dos coordenadas es no nula. Por tanto, de la segunda

y tercera ecuaciones anteriores se sigue que yz xz ,

y+z = x+z lo que implica que yx+yz=xy+xz. Es

decir, .x=y Análogamente, se obtiene que x=z. Sustituyendo en la ecuación xy+xz+yz=5,

concluimos que 2 5 3

x = y así 5. 3

x= Luego la solución es la caja con todos los lados iguales a

5 .

3 Observemos que no hemos probado que ésta caja tenga volumen máximo. Lo que hemos

obte-nido es que si existe tal caja esa es la que hemos obteobte-nido. Usualmente llegados a este punto se hace uso de otros argumentos para concluir que la solución obtenida es la que optimiza.

Multiplicadores de Lagrange para funciones de tres variables en una curva en. También puede que estemos interesados en obtener los extremos de una función ( , , )f x y z =0 definida sobre una

curva C:= ∩S1 S2 dada por la intersección de las superficies S1:=

{

( , , )x y z ∈\3: ( , , )g x y z =0

}

y

{

3

}

2: ( , , ) : ( , , ) 0 .

S = x y z ∈\ h x y z =

DEFINICIÓN. Sea f : ( , , )x y z ∈ ⊆U \3 → f x y z( , , )∈\ una función y sea C:= ∩S1 S2U una curva intersección de dos superficies de ecuacines implícitas g x y z( , , )=0 y h x y z( , , )=0, respec-tivamente. Se dice que f alcanza en ( ,x y z0 0, 0)∈C un máximo relativo sujeto (condicionado) a

las restricciones ( , , )g x y z =0 y ( , , )h x y z =0, si existe una bola B centrada en ( ,x y z0 0, 0) tal que

0 0 0

( , , ) ( , , )

f x y zf x y z para todo ( , , )x y z ∈ ∩B C ( ( , , )x y zB y g x y z( , , )=h x y z( , , )=0). Se

dice que f alcanza en ( ,x y z0 0, 0)∈C un míximo relativo sujeto (condicionado) a las restricciones

( , , ) 0

g x y z = y h x y z( , , )=0, si existe una bola B centrada en ( ,x y z0 0, 0) tal que

0 0 0

( , , ) ( , , )

f x y zf x y z para todo ( , , )x y z ∈ ∩B C ( ( , , )x y zB y g x y z( , , )=h x y z( , , )=0). En

ambos casos decimos que f alcanza en ( ,x y z0 0, 0)∈C un extremo relativo sujeto (condicionado) a las restricciones g x y z( , , )=0 y h x y z( , , )=0.

(6)

TEOREMA (DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). En las condiciones anteriores, supongamos que f alcanza un extremo relativo en el punto ( ,x y z0 0, 0) sujeto a las restricciones ( , , )g x y z =0 y

( , , ) 0

h x y z = y que las funciones ,f g y h tienen derivadas parciales continuas en una bola B

centrada en ( ,x y z0 0, 0). Si Dg x y z( ,0 0, 0) y Dh x y z( ,0 0, 0) son linealmente independientes entonces existen dos números ,λ μ∈\ (llamados multiplicadores de Lagrange) tales que

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , ),

Df x y z = ⋅λ Dg x y z + ⋅μ Dh x y z

es decir

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ) ( , , ).

x x x

y y y

z z z

f x y z g x y z h x y z

f x y z g x y z h x y z

f x y z g x y z h x y z

λ μ

λ μ

λ μ

⎧ = +

= +

= +

DEM. La demostración es análoga a la del teorema de los multiplicadores de Lagrange para una cur-va en el plano. En este caso usaremos el teorema de la función implícita con tres incógnitas y dos ecuaciones. Puesto que los vectores Dg x y z( ,0 0, 0) y Dh x y z( ,0 0, 0) son linealmente independientes,

la matriz 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x y z

x y z

g x y z g x y z g x y z

h x y z h x y z h x y z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ tiene rango dos. De esta forma hay dos

co-lumnas que son linealmente independientes. Supongamos que son las dos últimas (de forma análoga se hace en las otras dos posibilidades). Por el teorema de la función implícita, existen un intervalo

I ⊆\ centrado en el punto x0 y dos únicas funciones escalares y y z derivables con derivadas continuas en I tales que y x( 0)= y0, z x( 0)=z0 y ( , ( ), ( ))x y x z x es una solución del sistema de

ecuaciones ( , , ) 0, ( , , ) 0,

g x y z

h x y z

= ⎧

=

⎩ para cada xI. Es decir, la curva ,C alrededor del punto ( ,x y z0 0, 0), se parametriza mediante la aplicación C x( )=( , ( ), ( )),x y x z x con xI. Además, derivando en el sis-tema de ecuaciones anterior obtenemos que

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) 0,

( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) 0.

x y z

x y z

g x y z g x y z y x g x y z z x

h x y z h x y z y x h x y z z x

′ ′

+ + =

⎧⎪

+ + =

⎪⎩

Es decir, el vector C x′( )0 =

(

1,y x′( ), (0 z x0)

)

es normal al plano generado por Dg x y z( ,0 0, 0) y

0 0 0

( , , ).

Dh x y z Por otro lado, la función ϕ( ) :x = f x y x z x( , ( ), ( )) tiene un extremo relativo en el

pun-to x0. De esta forma, ϕ′( )x0 =0. Si aplicamos la regla de la cadena obtenemos que

( )x f x y x z xx( , ( ), ( )) f x y x z x y xy( , ( ), ( )) ( ) f x y x z x z xz( , ( ), ( )) ( ) Df x y x z x( , ( ), ( )) C x( ).

ϕ′ = + ′ + ′ = ⋅ ′

En particular, obtenemos que Df x y z( ,0 0, 0)⋅C x′( )0 =0 y Df x y z( ,0 0, 0) es ortogonal a C x′( ).0 De

esta forma comprobamos que el vector Df x y z( ,0 0, 0) pertenece al plano generado por los vectores

0 0 0

( , , )

Dg x y z y Dh x y z( ,0 0, 0). Por consiguiente, existen dos escalares λ y μ tales que

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , ).

(7)

EJEMPLO. Vamos a calcular la distancia de un punto arbitrario, pero fijo, digamos P=( ,x y z0 0, 0) a

la recta 2, 2 y r x z = ⎧ ≡ ⎨ + =

⎩ usando el teorema de los multiplicadores de Lagrange. Para ello planteamos el problema como un problema de mínima distancia. Dado un punto genérico ( , , )x y z ∈\3, su

dis-tancia a P=( ,x y z0 0, 0) viene dada por la expresión (xx0)2+(yy0)2+ −(z z0) .2 Dicha distan-cia es máxima o mínima cuando su cuadrado lo sea. Por tanto, nuestra función objetivo es

2 2 2

0 0 0

( , , ) ( ) ( ) ( ) .

f x y z = xx + yy + −z z

Calcularemos, a continuación, el mínimo de la función ( , , )f x y z sujeto a las restricciones ( , , ) 2 0,

( , , ) 2 0,

g x y z y

h x y z x z

= − = ⎧

= + − =

⎩ que son las ecuaciones de la recta. Por el teorema de los multiplicadores de Lagrange, si ( , , )x y z es el punto donde se alcanza dicho mínimo, deben existir dos números λ y μ tales que Df x y z( , , )= ⋅λ Dg x y z( , , )+ ⋅μ Dh x y z( , , ). En este caso, estas ecuaciones quedan

co-mo

0

0

0

2( ) , 2( ) , 2( ) .

x x y y z z μ λ μ − = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ =

De la primera y tercera ecuación deducimos que x− =z x0z0. Esto, junto con

el hecho de que h x y z( , , )= + − =x z 2 0, implica que 1 0 0

2

x z

x= + − y 1 0 0.

2

z x

z= + − Por otro lado,

la restricción ( , , )g x y z = − =y 2 0 fuerza a que y=2. Es decir, el punto de la recta donde la

distan-cia es mínima es 0 0 0 0

1 , 2,1 .

2 2

xz zx

+ +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ En particular, dicha distancia es

(

)

(

)

2 2 2

2 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

1 2 1 2 1 2 .

2 2 2

x z z x x z

x y z y

− − +

+ + − + +=+ −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ahora vamos a calcular los puntos más cercano y más lejano del elipsoide

2 2

2

1

2 3

y z

x + + = a la

re-cta 2,

2. y r x z = ⎧ ≡ ⎨ + =

⎩ Una vez que tenemos la expresión de la distancia de un punto arbitrario P a la recta r tenemos que calcular cuándo esta función alcanza un mínimo o máximo suponiendo que el

punto P=( , , )x y z pertenece al elipsoide de ecuación

2 2

2

1.

2 3

y z

x + + = De nuevo podemos

conside-rar como función objetivo el cuadrado de la distancia. Es decir, queremos buscar el mínimo y el

má-ximo de la función

(

)

2

2

( , , ) 2 1 2

2

x z

f x y z = ⎛ − + ⎞ + −y

⎝ ⎠ sujeto a la restricción definida por la

fun-ción

2 2

2

( , , ) : 1 0.

2 3

y z

(8)

donde dichos mínimos y máximos se alcancen deben verificar que

( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , ),

( , , ) ( , , )

x x

y y

z z

f x y z g x y z

f x y z g x y z

f x y z g x y z

λ λ λ

⎧ =

=

=

para

un cierto número real λ. En nuestro caso tenemos que

(

)

2 2 ,

2 2 ,

2

2 .

3

x z x

y y

x z Z

λ λ

λ

⎪− + + = ⎪⎪ =

⎪− + + = ⎪⎩

Si λ=0, entonces

2

y= y x+ =z 2. Sustituyendo en

2 2

2

1

2 3

y z

x + + = obtenemos que

(

)

2 2

2 2 1.

3

z z

− + + = Puesto

que el término de la izquierda es mayor que 2, ésta ecuación no tiene solución. Por consiguiente,

0.

λ ≠ De la primera y tercera ecuación deducimos que 1 . 3

x z

λ =λ Por tanto, 3x=z. Despejando

ahora λ en la primera y segunda ecuación se obtiene que 4x= y. Por tanto, x2+8x2+3x2 =1. Es

decir, 3. 6

x= ± De esta forma, obtenemos las dos soluciones: una es 1 3 2 3, , 3

6 3 2

P = ⎜⎛ ⎞⎟

⎝ ⎠ y la

otra es 2 3, 2 3, 3 .

6 3 2

P = −⎛⎜ − − ⎞⎟

⎝ ⎠ Evaluamos ahora la función ( , , )f x y z en estos puntos y obte-nemos por una parte f P( )1 = −8 4 3 y, por otra, f P( 2)= +8 4 3. Por tanto, la distancia mínima se alcanza en el punto P1 y dicha distancia vale 8 4 3− y la distancia máxima se alcanza en el

pun-to P2 y vale 8 4 3.+

EJERCICIO 1. Considera la función f x y( , )=x2+y2+x y2 2.

(1) Calcula y clasifica los puntos críticos de la función .f

(2) Halla los posibles extremos relativos de la función f sujetos a la restricción 2 2

4x +y =4.

(3) Determina el máximo y el mínimo absolutos (y los puntos donde se alcanzan) de la función f

en el conjunto

{

( , )x y ∈\2: 4x2+y2 ≤4 .

}

EJERCICIO 2. Considera la función f x y( , )=ex y

(

x2+y2

)

.

(1) Calcula y clasifica los puntos críticos de la función .f

(2) Halla los posibles extremos relativos de la función f sujetos a la restricción x2+y2 =1.

(3) Enuncia el teorema de Weierstrass para funciones de dos variables.

(4) Determina el máximo y el mínimo absolutos (y los puntos donde se alcanzan) de la función f

(9)

EJERCICIO 3. Usando el teorema de los multiplicadores de Lagrange, encuentra el máximo de la

función f x y( , )=x2 / 3y1/ 3 en el segmento que une los puntos (1, 0) y (0,1).

EJERCICIO 4. Encuentra el punto más cercano al origen de coordenadas de la curva xy=1, siendo

0

x> e y>0.

EJERCICIO 5. Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia

de radio R. Calcula también las dimensiones del rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de semiejes a>0 y b>0, cuyos lados son paralelos a los ejes de la elipse.

EJERCICIO 6. Calcula las dimensiones de los paralelepípedos de mayor área y de mayor volumen

inscritos en una esfera de radio R.

EJERCICIO 7. Estrategia para dibujar el mapa del escondite donde el pirata Morgan tiene guardado el supuesto tesoro de la isla del tesoro. La figura representa el contorno de la isla en la que el pirata Morgan escondió el tesoro.

N

Fijado un sistema de coordenadas cartesianas en el que las abscisas representan la longitud y las or-denadas la latitud (como es habitual en los mapas), el contorno de la isla es la curva de ecuación im-plícita x4−4x+4y2+y4 =2. Para encontrar el tesoro debes ejecutar los siguientes pasos:

(1) Halla las coordenadas del punto N más septentrional de la isla.

(2) Comprueba que en dicho punto la curva define la latitud y como función de la longitud x y obtener el polinomio de Taylor de orden 2 de dicha función definida implícitamente.

(3) Se sabe que el tesoro está en el punto T de la isla en el que la gráfica de dicho polinomio corta el eje de abscisas. Calcula las coordenadas del punto T.

(10)

EJERCICIO 8. Calcula las dimensiones de la pirámide recta de base cuadrada y máximo volumen que puede construirse con un alambre de longitud L.

EJERCICIO 9. Encuentra el punto más cercano al origen de coordenadas de la superficie xyz=1, siendo 0,x> y>0 y z>0.

EJERCICIO 10. Calcula el máximo y el mínimo absolutos de la función

2 2 2

( , , )

f x y z =x +y +z + + +x y z

sobre el conjunto U:=

{

( , , )x y z ∈\3: x2+y2+z2 ≤1, y+ =z 1 .

}

EJERCICIO 11. Sea f x y z( , , )=3x2+4xy+z3. Calcula los extremos absolutos de f en el sólido

cilíndrico U:=

{

( , , )x y z ∈\3 : x2+y2 ≤ − ≤ ≤1, 2 z 2 .

}

EJERCICIO 12. Calcula las coordenadas del punto más alto de la curva

2 2 2

36,

2 2.

x y z

x y z

⎧ + + =

+ − =

EJERCICIO 13. Calcula las coordenadas del punto de la elipse

2 2

2, 1, x z

x y

⎧ + =

+ =

⎩ más próximo al origen

de coordenadas.

EJERCICIO 14. Sea S la superficie dada en \3 por la ecuación implícita

3 3 4 2

2 2 4 3 0.

z +zx +zy +y + xyxy+ =

(1) Prueba que en un entorno del punto P=(1,1, 0) puede obtenerse la coordenada z de los puntos de S como una función explícita z=z x y( , ) de las otras dos coordenadas.

(2) Calcula el polinomio de Taylor de grado 2 de z en el punto (1,1).

(3) Prueba que (1,1) es un punto crítico de z y clasifícalo.

(4) Sea C la intersección de la superficie S con el plano OXY. Sea ( , )g x y =x y( −1). Queremos hallar los extremos relativos de g sujetos a la restricción C. ¿Cuáles son los puntos candidatos a extremos relativos que proporciona el teorema de los multiplicadores de Lagrange para este caso?

(5) Halla los extremos absolutos de g sujetos a la restricción C.

EJERCICIO 16. Sea la ecuación F x y z( , , )=z3+x z2 +y z2 +xy− =8 0.

(1) Prueba que en un entorno del punto P=(0, 0, 2) puede definirse la variable z como función ( , )

z=z x y de las otras dos variables x e .y

(2) Prueba que (0, 0) es un punto crítico de ( , )z x y y clasifícalo.

(3) Sea C la curva intersección de la superficie de ecuación F x y z( , , )=0 con el plano de ecuación

1

Figure

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