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Solución Parcial Estabilidad 18-3

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Academic year: 2020

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(1)

Solución Tercer Parcial Señales y Sistemas II Segundo semestre 2018

Grupos 3 y 4

1. Para el sistema de la figura:

a. Encuentre los valores de K para los que el sistema realimentado es estable usando el criterio de Routh Hurwitz.

El denominador de la función de transferencia será:

𝑝(𝑠) = 𝑠2+ 5𝑠 + 6 + 𝐾(−6𝑠 + 6)

𝑝(𝑠) = 𝑠2 + (5 − 6𝐾)𝑠 + 6 + 6𝐾

El arreglo de Routh para este polinomio es:

s2 1 6+6K

s1 5-6K

s0 6+6K

Todos los elementos de la primera columna deben ser positivos para que el sistema realimentado tenga todos sus polos en el semiplano izquierdo. Para que esto se cumpla se necesita que:

5 − 6𝐾 > 0 6 + 6𝐾 > 0

𝐾 < 5

6 𝐾 > −1

Entonces, el sistema será estable para -1<K<5 6

b. En el diagrama del lugar de las raíces, determine que segmentos corresponden al lugar de las raíces y al lugar de las raíces complementarios y su dirección. Grafique los valores de los polos, ceros y los cortes con el eje imaginario. ¿A que valor de K corresponde cada corte?

(2)

𝐾 = − 1

𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑠=𝑗𝜔 =

𝑠2+ 5𝑠 + 6

6𝑠 − 6 |

𝑠=𝑗𝜔

= 6 − 𝜔

2 + 𝑗5𝜔

−6 + 𝑗6𝜔

𝐾 = 6 − 𝜔

2+ 𝑗5𝜔

−6 + 𝑗6𝜔

−6 − 𝑗6𝜔 −6 − 𝑗6𝜔=

−6(6 − 𝜔2) + 30𝜔2− 𝑗𝜔(30 + 36 − 6𝜔2)

36 + 36𝜔2

Im{𝐾} = 0 = −𝑗𝜔(66 − 6𝜔

2)

36 + 36𝜔2

→ 𝜔 = 0 66 − 6𝜔2 = 0 → 𝜔 = ±√11

La ganancia de lazo abierto tiene un cero finito en s = 1 y dos polos finitos en s=-2 y s = -3. Para determinar los valores de K correspondientes a cada corte con el eje imaginario usamos, para el corte en el origen:

𝐾 = − 1

𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑠=0=

𝑠2+ 5𝑠 + 6

6𝑠 − 6 |𝑠=0 = − 6 6= −1

En consecuencia, los cortes complejos conjugados corresponderán a K=5

6. En ese orden de ideas, la rama que pasa por el origen pertenecerá al LRC y las otras dos al LR. Los segmentos del eje real de ahí en adelante se alternan entre el LR y el LRC. Para determinar la dirección recordamos que el LR va de polo a cero y el LRC de cero a polo. El diagrama final es:

c. En el diagrama de Bode de la ganancia de lazo abierto, indique los límites de estabilidad del sistema, calcule las ganancias en decibeles para dichos puntos

Teniendo los valores de K y los valores de frecuencia correspondientes tenemos que:

(3)

|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 1

|𝐾|= 1 → |𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑑𝐵 = 20 log|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 20 log(1) = 0𝑑𝐵

Este punto corresponde a una fase de 360

- Para ω = ±√11, K = 56

|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 1 |𝐾|=

6

5→ |𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑑𝐵 = 20 log|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 20 log ( 6

5) = 1.58𝑑𝐵

Este punto corresponde a una fase de 180. El diagrama será:

2. Sea un sistema realimentado en tiempo discreto, con ganancia de lazo abierto:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = 1.135𝑧 + 0.5936 𝑧2− 1.635𝑧 + 0.2025

a. Encuentre los valores de K que hacen que el sistema sea estable usando el criterio de Jury.

El polinomio del denominador de la función de transferencia será:

𝑝(𝑧) = 𝑧2− 1.635𝑧 + 0.2025 + 𝐾(1.135𝑧 + 0.5936)

𝑝(𝑧) = 𝑧2+ (1.135𝐾 − 1.635)𝑧 + 0.2025 + 0.5936𝐾

Al ser este un polinomio de grado 2, no es necesario construir el arreglo, procedemos a evaluar las condiciones del criterio de Jury:

(4)

−0.43253 + 1.7286𝐾 > 0 → 𝐾 > 0.2502

𝑝(−1) = (−1)2+ (1.135𝐾 − 1.635)(−1) + 0.2025 + 0.5936𝐾 > 0

2.8375 − 0.5414𝐾 > 0 → 5.2410 > 𝐾

|𝑎0| < 𝑎𝑛

|0.2025 + 0.5936𝐾| < 1 −1 < 0.2025 + 0.5936𝐾 < 1 −1.2025 < 0.5936𝐾 < 0.7975

−2.0258 < 𝐾 < 1.3442

Todas las condiciones se deben cumplir al tiempo para que el sistema sea estable, por lo que tendremos:

0.2502 < 𝐾 < 1.3442

b. Para el diagrama de Nyquist de G(z)H(z). Grafique la trayectoria de Nyquist que usaría para construir este diagrama. Calcule los puntos de corte con el eje real. Aplique el criterio de Nyquist para determinar cuántos polos quedan por fuera del círculo unitario para cada intervalo de K.

Los polos del sistema son:

1.5 y 0.1350

Ninguno en el círculo unitario, por lo que podemos usar la trayectoria de Nyquist tradicional.

Los puntos de corte con el eje real ocurren en:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = −1 𝐾

Con el criterio de Jury se obtuvieron 4 posibles límites para K: -2.0258, 0.2502, 1.3442, 5.2410. En consecuencia:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = −1

𝐾 = 0.4936, −3.9968, −0.7439, −0.1908

(5)

Evaluando el criterio:

K

# Encierros del punto (-1, 0) en

el diagrama

# polos del sistema realimentado por fuera del

círculo unitario

# polos de G(z)H(z) por fuera del círculo

unitario

K < 0.2502 0 = 1 - 1

0.2502<K<1.3442 -1 = 0 - 1

1.3442<K<5.2410 1 = 2 - 1

(6)

Solución Tercer Parcial Señales y Sistemas II Segundo semestre 2018

Grupos 3 y 4

1. Sea un sistema realimentado con ganancia de lazo abierto:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = 0.00199 1 + 0.8934 𝑧2− 1.8𝑧 + 0.6878

a. Encuentre los valores de K que hacen que el sistema sea estable usando el criterio de Jury. (1pt)

El polinomio del denominador de la función de transferencia será:

𝑝(𝑧) = 𝑧2− 1.8𝑧 + 0.6878 + 𝐾(0.00199𝑧 + 0.001778) 𝑝(𝑧) = 𝑧2+ (0.00199𝐾 − 1.8)𝑧 + 0.6878 + 0.001778𝐾

Al ser este un polinomio de grado 2, no es necesario construir el arreglo, procedemos a evaluar las condiciones del criterio de Jury:

𝑝(1) = 12+ (0.00199𝐾 − 1.8)(1) + 0.6878 + 0.001778𝐾 > 0

−0.1122 + 0.0038𝐾 > 0 → 𝐾 > 29.517

𝑝(−1) = (−1)2+ (0.00199𝐾 − 1.8)(−1) + 0.6878 + 0.001778𝐾 > 0

3.4878 − 0.000212𝐾 > 0 → 16452 > 𝐾

|𝑎0| < 𝑎𝑛

|0.6878 + 0.001778𝐾| < 1 −1 < 0.6878 + 0.001778𝐾 < 1 −1.6878 < 0.001778𝐾 < 0.3122

−949.27 < 𝐾 < 175.59

Todas las condiciones se deben cumplir al tiempo para que el sistema sea estable, por lo que tendremos:

29.517 < 𝐾 < 175.59

b. Para el diagrama de Nyquist de G(z)H(z). Grafique la trayectoria de Nyquist que usaría para construir este diagrama. Calcule los puntos de corte con el eje real. Aplique el criterio de Nyquist para determinar cuántos polos quedan por fuera del círculo unitario para cada intervalo de K.

Los polos del sistema son:

(7)

Ninguno en el círculo unitario, por lo que podemos usar la trayectoria de Nyquist tradicional.

Los puntos de corte con el eje real ocurren en:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = −1 𝐾

Con el criterio de Jury se obtuvieron 4 posibles límites para K: -949.27, 29.517, 175.59, 16452. En consecuencia:

𝐺(𝑧)𝐻(𝑧) = −1

𝐾= 0.011, −0.0339, −0.0057, −0.0001

(8)

Evaluando el criterio:

K

# Encierros del punto (-1, 0) en

el diagrama

# polos del sistema realimentado por fuera del

círculo unitario

# polos de G(z)H(z) por fuera del círculo

unitario

K < 29.517 0 = 1 - 1

29.517<K<175.59 -1 = 0 - 1

175.59<K<16452 1 = 2 - 1

16452<K 0 = 1 - 1

2. Para el sistema de la figura:

a. Encuentre los valores de K para los que el sistema realimentado es estable usando el criterio de Routh Hurwitz. (1pt)

El denominador de la función de transferencia será:

𝑝(𝑠) = 𝑠2− 5𝑠 + 6 + 𝐾(−𝑠 + 1)

𝑝(𝑠) = 𝑠2 − (5 + 𝐾)𝑠 + 6 + 𝐾

El arreglo de Routh para este polinomio es:

s2 1 6+K

s1 -5-K

s0 6+K

Todos los elementos de la primera columna deben ser positivos para que el sistema realimentado tenga todos sus polos en el semiplano izquierdo. Para que esto se cumpla se necesita que:

−5 − 𝐾 > 0 6 + 𝐾 > 0 −5 > 𝐾 𝐾 > −6

(9)

b. En el diagrama del lugar de las raíces, determine que segmentos corresponden al lugar de las raíces y al lugar de las raíces complementarios y su dirección. Grafique los valores de los polos, ceros y los cortes con el eje imaginario. ¿A qué valor de K corresponde cada corte? (1pt)

Para hallar los cortes con el eje imaginario hacemos

𝐾 = − 1

𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑠=𝑗𝜔 =

𝑠2− 5𝑠 + 6

𝑠 − 1 |

𝑠=𝑗𝜔

= 6 − 𝜔

2 − 𝑗5𝜔

−1 + 𝑗𝜔

𝐾 = 6 − 𝜔

2− 𝑗5𝜔

−1 + 𝑗𝜔

−1 − 𝑗𝜔 −1 − 𝑗𝜔 =

−1(6 − 𝜔2) − 5𝜔2− 𝑗𝜔(−5 + 6 − 𝜔2)

1 + 𝜔2

Im{𝐾} = 0 = −𝑗𝜔(1 − 𝜔

2)

1 + 𝜔2

→ 𝜔 = 0 1 − 𝜔2 = 0 → 𝜔 = ±1

La ganancia de lazo abierto tiene un cero finito en s = 1 y dos polos finitos en s=2 y s =3. Podemos determinar el valor de K correspondiente al corte en el origen usando:

𝐾 = − 1

𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑠=0=

𝑠2− 5𝑠 + 6 𝑠 − 1 |

𝑠=0

= −6

(10)

c. En el diagrama de Bode de la ganancia de lazo abierto, indique los límites de estabilidad del sistema, calcule las ganancias en decibeles para dichos puntos. (1pt)

Teniendo los valores de K y los valores de frecuencia correspondientes tenemos que:

- Para ω = 0, K = -6

|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 1 |𝐾|=

1

6→ |𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑑𝐵 = 20 log|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 20 log ( 1

6) = −15.56𝑑𝐵

Este punto corresponde a una fase de 0

- Para ω = ±1, K = −5

|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 1 |𝐾|=

1

5→ |𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)|𝑑𝐵 = 20 log|𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)| = 20 log ( 1

5) = −13.98𝑑𝐵

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