UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
TESIS DOCTORAL
MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR
PRESENTADA POR
Francisca Canovas Orvay
DIRECTOR:
Juan Ramón Delgado Pérez
Madrid, 2015
Cuerpos de números cúbicos : cálculo de unidades
fundamentales
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UNIVERSIDAO COMPLUTENSE DE MADRID
Facultad de Ciencias Matemàticas
Departamento de Algebra y Fundamentos
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BIBLIOTECA UCM
5304845322
CUERPOS DE NUMEROS CUBICOS.
CALCULO DE UNIDADES FONDAMENTALES
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R-MQiS
Francisca Cànovas Orvay
Madrid. 1990
Colecciôn Tesis Doctorales. N.® 259/90
Francisca Cànovas Orvay
Edita e imprime la Editorial de la Universidad
Complutense de Madrid. Servicio de Reprografia
Escuela de Estomatologia. Ciudad Universitaria
Madrid. 1990
Ricoh 3700
Depôsito Legal: M-34299-1990
CUERPOS DE -NUMEROS CUBICOS. CALCULO DE U N I D A D E S F U N D A M E N T A L E S , TES I S D O C T O R A L UN I V E R S I D A D C O M P L U T E N S E DE M A D R I D FACULTAD DE CI E N C I A S M A T E M A T I C A S D E PARTAMENTO DE A L G E B R A Y F U N D A M E N T O S Autora: DoAa F r a n c i s c a C à n o v a s O r v a y
Director: Don J u a n R a m ô n D e l g a d o Pérez
CUERPOS DE NUMEROS CUBICOS.
CALCULO DE UNI D A D E S FUNDAMENTALES.
DEPARTAMENTO DE ALGEBRA
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE
A Francisco Javier, mi hijo. A Francisco Javier, mi marido.
R E C O R D A T O R I O
Esta tesis tiene q u e c o n e n z a r c o n la m a n ifestacion d e mi r e c u e r d o a t o d o s l o s p r o f e s o r e s del D e p a r t a m e n t o d e A l g e b r a d e la F a c u l t a d de M a t e m à t i c a s d e la U . C . M . p o r el à n i m o y c o l a b o r a c i d n q u e h e r e c i b i d o d e e l l o s . En p a r t i c u l a r q u i e r o a g r a d e c e r a J.R. Delg a d o su ayuda pues sin ésta la tesis no se h a b r i a realizado. Q u i e r o t a m b i é n m e n c i o n a r a m i s p r o f e s o r e s d e Geome t r i a A l g e b r a i c a Real, M.E. Alonso, M. Gamboa y C. Andradas.
Q u i e r o r e c o r d e r a t o d o s m i s c o m p a n e r o s de la E.T.S.I. C aminos d e la U.P.M., e n p a r t i c u l a r a A. Mendizàbal, E. d e la Rosa, C. Moreno, M. S o l e r y M. Fernàndez, p a r a a g r a d e c e r su apo y o a lo largo de todos los m o m e n t o s de r e a l i z a c i ô n de esta tesis. Y d ebo v o l v e r a m e n c i o n a r a M. Fernà n d e z que me ayudô a g a n a r la b a t a l l a con los o r d e n a d o r e s u tilizados en la e diciôn de e s t a tesis.
A los p a d r e s d e F r a n c i s c o J a v i e r , m i m a r i d o , r e c o r d a n d o s u c o n s t a n t e p r e s e n c i a c o n F r a n c i s c o Javier, mi hijo.
Por ultimo, que no en ü l t i m o lugar, a m i s padres que, de forma indirects, h a n e s t a d o prés e n t e s en todo momento.
INDICE
I n troducciôn ... 1
Cap i t u l e 0; P r e l i m i n a r e s ... 31
Ca p itule I: Estudio Tnonegrâfico de los c uerpos de nümeros c ü b i c o s ... 39
l.A. Bases minimales y d i s c r i m i n a n t e de K c u erpo de numéros c ü b i c o ... 40
l.B. C a r a c t e r i z a c i é n d e la m e n o g e n e i d a d p a r a d i v e r s a s familias infinitas de c uerpos c ü b i c o s ... 72
Ca p i t u l e II; D e s c o m posiciôn en K de u n primo p de Q . . . 7 7
Capit u l e III; Cuerpos de n uméros c übicos ciclicos . . . .111
3.A. Discrim i n a n t e de K. A l g o r i t m o de cons t r u c c i ô n de todos los cuerpos cübicos ci c l i c o s de dis c r i m i n a n t e dado. 113
3.B. T abla de unidades f o n damentales ... 122
3.C. A n a l isis de la tabla d e un i d a d e s fondamentales . . 179
I NTRODUCCION
Desde un p u n t o de vi s t a académico, u n a tesis doctoral debe e s t a b l e c e r r esultados inédites. No es solo la novedad, empero, j u s t i f i c a c i o n suficiente para el e s p i r i t u critico : por una parte, los p r oblèmes que se t r a t e n h a n de interesar r e a l m e n t e a la c o m u n i d a d c i e n t i f i c a , lo c u a l se mide, razonablemente, p o r la pléy a d e de p e r s o n a s que los estudiaron con anterioridad; de otro lado, con v i e n e q u e sean cuestiones con un nivel c o n t r a s t a d o de dificultad, y de este segundo aspecto el lapse previo de i n vesti gaciôn p o r otros autores s u e l e s e r t e s t i g o i m p l a c a b l e . E s t o s d o s r e q u i s i t e s , q u e pueden s i n t e t i z a r s e en la idea de raigambre, gar a n t i z a n la ex clusion de aqu e l l o s trabajos que, p o r e s t a r planteados de mod o a r t i f i c i a l y ahistdrico, r e s ultan de e x c l u s i v e interés del p r o p i o autor. Dicho esto, c o n s i d e r a m o s d e l i m i t a d o con nitidez el o b j e t o de la introducciôn que sigue.
En e s t e t r a b a j o e s t u d i a m o s los c u e r p o s d e n u m é r o s cübicos, est o es, las extensiones a l g e b r a i c a s de Q de grado
très*. Con o c i d o es que los e l e m e n t o s de un c u e r p o d e nümeros K q u e son e nteros sobre Z f o rman un dorainio de Dedekind, que en a d e lante d e n o t a r e m o s p o r R y c o n o c e r e m o s c o m o el anillo de ent e r o s al g e b r a i c o s de K. Los q u e siguen son a s p e c t o s b àsicos de la a r i t m é t i c a de R : (i), e s t r u c t u r a a d i t i v a de R; (ii) , el es p e c t r o p r i m o de R; (iii), el nümero de cl a s e y, (iv ) , la e s t r uctura m u l t i p l i c a t i v e del c o n j u n t o de u n i d a d e s de R. R e c o r d a m o s q u e R es u n g r u p o a b e l i a n o l i b r e c u y o r a n g o co i n c i d e con la d i m e n s i o n [K;Q] y que una b a s e e n tera de R no es sino una Z-ba s e de R; q u e c a d a ideal p r i m o no n u l o P de R yace sobre (o d i v i d e a) u n ü n i c o ideal p r i m o no n u l o pZ y, r eciprocamente, cada primo no n u l o pZ es d i v i s i b l e p o r algün pr i m o P de R, de m o d o que, en el d o m i n i o de D e d e k i n d que es R se ve r i f i c a la d e s c o m p o s i c i ô n p R = Pj^®^. . . P^®^, s i e n d o Pj^ los i déales p r i m o s que ya c e n sob r e pZ, e^^ = e(Pj^/Z) el indice de r a m i f i c a c i ô n de P^ y [K:Q] = e^f^ + ... + e^f^, d o n d e = = f ( P ^ / Z ) = jR/Pj^l es el g r a d o de inercia de Pj^; que, p o r lo
* Los c o n c e p t o s y t e o remas c[ue u t i l i z a m o s en la t e s i s p u e d e n e n c o n t r a r s e d e f i n i d o s o e n u n c i a d o s en la b i b l i o g r a f i a que se d e t a l l a al f i n a l . N o o b s t a n t e , h e m o s c r e i d o c o n v e n i e n t e a n a d i r u n c a p i t u l e d e p r e l i m i n a r e s y, p a r a f a c i l i t a r la lectura de la intro d u c c i ô n s i n interrupciones, no d u d a r e m o s en inte r c a l e r todas las a c l a r a c i o n e s que sea n précisas, aün a riesgo de r e s u l t a r p r o l i j o s y r e d o n d a n t e s .
que c o ncierne a (iii), el n ü m e r o de clase (en adelante, h^) es el orden (necesarlamente finito) del grupo multi p l i c a t i v o de idéales de R bajo la ec[uivalencia I w J si IJ“ ^ es un ideal fraccionario principal de R, y, finalmente, que el c o n j u n t o de unidades de R (en adelante, U^) tiene e structura de gr u p o a b e liano con la multiplicaciôn, de suerte que, en v i r t u d d e l teoreraa de l a s u n i d a d e s de D i r i c h l e t , es finitamente ge n e r a d o : su t o r s i o n c o n siste exactamente en a que l l e s raices de la u n idad c[ue es t â n contenidas en K y el rango (sin torsion) es r + s - 1 *.
A ntes de exp o n e r el c o n t e n i d o de cada capitulo de la tesis es p récise alud i r a un i nvariante importante, a saber: el d i s c r i m i n a n t e d^, que es un ente r o racional igual al v a l o r det (trazaj^/Q(a^Qj ) ) , comün a toda b ase entera (aj^,...,a„) de R, n = [K:Q] . Desde D e d ekind se sabe que los primos que d i v i d e n al d i s c r i m i n a n t e s o n j u s t a m e n t e a q u e l l o s q u e r a mifican en K**. En cierto modo, el d i s criminante p ermite d e t e r m i n a r b a s e s e n t e r a s : s e a ( a , . . . , ) u n a Q - b a s e c u a l q u i e r a de K y disc(Oj^, .. . ,0 ^,) = det(traza^yQ(ej^Oj) ) su
* r es el n ü mero de in m e r s i o n e s r e ales de K y s el n ü m e r o de inmersiones c omplejas de K no conjugadas, de mod o que se v e r i f i c a [K:Q] = r + 2s.
** p ramifica en K si e(P/Z) > 1 para algün primo P de R que y a z c a sobre p.
su discr i m i n a n t e * ; . . . , es una b ase e n t e r a si y solo si d i s e (a , . . . , a^) = d^. En g e n e r a l , el c o c i e n t e disc(aj^, . . . ,aj^)/djç c o i n c i d e con el cu a d r a d o del indice |R:M| del s u b g r u p o M de R g e n e r a d o p o r . . . ,e^**, s u p u e s t o que cada e R.
El c a p i t u l o I e s t é d e d i c a d o , p o r e s t e o r d e n , a la o b t e n c i ô n d e b a s e s m i n i m a l e s e n c a d a p r i m o , e s t u d i o d e l di s c r iminante, bases ente r a s de cie r t a s familias infinitas de c u e r p o s c ü b i c o s y c a r a c t e r i z a c i é n de la m o n o g e n e i d a d * * * . Las dos pri m e r a s c uestiones se u t i l i z a n e x h a u s t ivamente a lo lar g o de la tesis y las dos rest a n t e s p u e d e n e n t e n d e r s e como a p l i c a c i o n e s de las b ases minim a l e s obtenidas. Es de d e s t a c a r que d i c h a s c u e s tiones son resue l t a s en f unciôn e x c l u s i v a m e n t e d e los coefi c i e n t e s de un p o l i n o m i o de definicién.
La e x i s tencia de bases e nteras esta g a r a n t i z a d a de s d e el p u n t o de v i s t a teôrico. M é t o d o s par a e n c o n t r a r ba s e s e nteras de un c u e r p o cübico son d ados , independientemente, p o r
* O b v iamente, d i s c ( Q 2 , . . . ,e^) es un n ü m e r o racional, que es e n t e r o si y solo si cada cr^ es e l e m e n t o de R.
** C u a n d o la base esté formada p o r las p o t e n c i a s 1 , a, ... , a ” “ ^ de a € R, el c o r r e s p o n d i e n t e indice se llama Indice de o, y se d é n o t a i(a).
*** Un c u e r p o de n ümeros se d i c e m o n o g é n i c o si e x i s t e un e n t e r o de indice igual a 1 .
M a t h e w s ([Ma]) en 1893 y p o r G.T. Woronoj ( [V] ) en 1894. E ntre los m étodos para e n c o n t r a r bases enteras de cuerpos de num é r o s de gr a d o n c i t a r e m o s al que da W.E.H. Berwick en 1927 ([Bel]) y, mâs r e c i e n t e m e n t e , al de H a r v e y - C o h n ([HC2], th. 9.28) .
Formulas e l ementales e x p l i c i t a s par a bases enteras de un a n i l l o de enteros han sido d a d a s solo en el caso cuadrâtico y par a cie r t o s tipos de cue r p o s ( c i c l o t ô m i c o s , cübicos puros, b i c u a d r â t i c o s ) . N o s otros v a m o s a c o n s i d e r a r el caso cübico. Los p r i meros resultados c o n o c i d o s en est e caso datan de 1929 y s o n los de A. A d r i a n A l b e r t ([A]). S u s r e s u l t a d o s de t e r m i n a n bases enteras para cuerpos cübicos en términos de funciones numéricas (funciôn de Euler) de los coeficientes de u n p o l i n o m i o de d e f i n i c i é n d e l c u e r p o en c u e s t i é n . Las e x p r e s i o n e s a las q u e l l e g a A.A . A l b e r t son, a n u e s t r o parecer, engorrosas y p o c o opérâtivas. Con una prueba mâs s e n c i l l a y con resultados un poco mâs simples, en 1955, L. T o r n h e i m ([To]) da una férmula e x plicita de una base m i n i m a l en términos de los c o e f i c i e n t e s de un polinomio de d e f i n i c i é n de K, c u erpo d e n ümeros cübico. Si bien deja p e n d i e n t e a resolver, en c ada c aso particular, un sistema de c o n g r u e n c i a s a solucionar, p o r ejemplo, a p l i c a n d o el teorema de los restos chinos.
La c o m p u t a c i é n d e b a s e s e n t e r a s es s e n c i l l a , en c o m p a r a c i é n con otros p r o b l è m e s c o m p u t a c i o n a l e s de la Teoria A l g e b r a i c a de Nümeros, c omo p u e d e n ser el câlculo del nümero
de clase, la estructura del g r u p o de cl a s e o la o b t e n c i ô n de u n i d a d e s f u n damentales . El c o n o c i m i e n t o de ba s e s ent e r a s nos p e r m i t i r â en el c a p i t u l o t e r c e r o o b t e n e r s i s t e m a s f u n d a m e n t a l e s de u n i d a d e s e x p r e s a d o s p o r m e d i o d e c o e f i c i e n t e s r e l a t i v e s a d i c h a s b a s e s , lo q u e m e j o r a s u s t a n c i a l m e n t e a q u e l l a s t a b l a s q u e s e l i m i t a n a d a r p o l i n o m i o s irreducibles de d i c h a s unidades. A n o s o t r o s se n o s ha f a c i l i t a d o u n d i s c o , p o r la U n i v e r s i d a d de Burdeos, q u e p e r m i t e o b t e n e r b a s e s ente r a s en cu e r p o s g é n é r a l e s de gr a d o n , u n a vez a s i g n a d o s v a l o r e s a los c o e f i c i e n t e s de un p o l i n o m i o d e defini c i é n . P ero es c l a r o que estos r esultados c o m p u t a c i o n a l e s se l i m i t a n a ser u n a s e c u e n c i a de valores n u m é r i c o s . En e s t e sentido, se g a n a g e n e r a l idad con n uestro e s t u d i o que p e r m i t e o b t e n e r b a s e s e n t e r a s en términos e x c l u s i v a m e n t e d e los c o e f i c i e n t e s de un p o l i n o m i o d e definicién.
En est e capitulo, se u t i l i z a el t e o r e m a 9.28. de H a r v e y - C o h n ( [HC2] ) , que se aplica, s e g û n los casos, a la b a s e n a t u r a l de p o tencias del e l e m e n t o p r i m i t i v o 8 y a u n a s e g u n d a b a s e que t i e n e en c u enta el e n t e r o 9^, q u e ju e g a u n p a p e l d e s t a c a d o e n v a r i e s p u n t o s d e la t e s i s . E s t e e n t e r o 9 ^ a p a r e c e p o r vez p rimera en ([Dl])*.
En el c a p i t u l o III se pirueba u n r e s u l t a d o q u e nos p a r e c e de g r a n i m p o r t a n c i a , a s a b e r : e x i s t e u n a c o r r e s p o n d e n c i a
El d i s c r i m i n a n t e de un c u e r p o de numé r o s dado es un i nvariante de g ran importancia. C o n t i e n s entre sus factures p r i m o s a todos los que son ramificados. T a m b i é n nos p ermite c o n o c e r el i n d i c e de u n e l e m e n t o d a d o y ya v e r e m o s la importancia que ello tiene al e s t u d i a r la descom p o s i c i ô n en R de un primo de Z. Otra a p l i c a c i ô n del discrim i n a n t e es la id e n t i f i c a c i ô n de bases enteras. En 1983, Pascual LLorente y E nric Nart [L,N] ca l c u l a n el d i s c r i m i n a n t e de un cuerpo de n umé r o s c ü b i c o .N o s o t r o s , como c o r o l a r i o i n mediato del estudio r e a l i z a d o sobre bases minimales, o b t e n e m o s el d i s criminante d e K e n t é r m i n o s d e los c o e f i c i e n t e s d e u n p o l i n o m i o d e f i n i c i é n del mismo. Ambos resultados, obtenidos por vias distintas, estân en c o n c o r d a n c i a .
O b t e n i d o el d i s c r i m i n a n t e de un c u e r p o de nümeros cübico y d e t e r m i n a d a u n a b a s e e n t e r a , e s p o s i b l e e x p r e s a r el d i s c r i m i n a n t e de una base d e p o t e n c i a s c o m o el producto del d i s c r i m i n a n t e del cuerpo p o r un cuadrado; dicho cuadrado es el c u a d r a d o d e u n a f o r m a b i n a r i a c ü b i c a F(x,y) q u e se d e n o m i n a forma indicial. La forma indiciel se conoce en el
b i y e c t i v a entre c uerpos cübi c o s c i c l i c o s de d i s c r i m i n a n t e p y p o l i n o m i o s cüb i c o s irreducibles x^ - p x + pq, do n d e (p,q) =
1 y 4p - 27q^ e Z^. La p r u e b a que d a m o s de este hecho d e s c a n s a en el p r evio c o n o c i m i e n t o de En el capitulo II,
se utiliza, en much o s casos, p ara p o d e r a p l i c a r el lema de K u m m e r en la des c o m p o s i c i ô n d e p r imos r a c i o n a l e s en K.
c as o c ü b i c o p u r o tras M. Hall ([ H ] ). No s o t r o s obte n e m o s dicha forma p a r a d i v e r s a s familias i n f i n i t a s de cue r p o s cübicos. No c o n o c e m o s otr a ref e r e n c i a p ara e s t e p r o b l e m a concrete.
U n c u e r p o de n ümeros es m o n o g é n i c o c u a n d o F(x,y) = ± l es r e s o l u b l e en enteros; di c h a e c u a c i ô n es una e c u a c i ô n de Thue, y se c o n o c e n p o c o s r e s u l t a d o s i n c l u s e p a r a su r e s o l u b i 1 i d a d . B o m b i e r i y S c h m i d t ([B,S]) r e c i e n t e m e n t e h a n p u b l i c a d o a r t i c u l e s al respecte. La c a r a c t e r i z a c i é n que da m o s de la m o n o g e n e i d a d p a r a familias i n f i n i t a s de c u e r p o s c ü b i c o s esté en f u n c i é n de la e c u a c i é n d i o f à n t i c a mencionada.
El c a p i t u l o II de esta tes i s es un e s t u d i o de los idéales p r i m o s de u n c u e r p o c ü b i c o K arbitrario. Se r e s u e l v e n los si g u i e n t e s a s p e c t o s del p r o b l e m a :
(i) d e s c o m p o s i c i é n de un p r i m o racional en el a n i l l o de e n t e r o s de K, con la d e t e r m i n a c i é n , en c a d a caso, d e los ind i c e s de r a m i f i c a c i é n y g r a d o s d e inercia;
(ii) o b t e n c i ô n de un p a r d e g e n e r a d o r e s d e cada ideal p r i m o de K;
(iii) n o r m a de cada ideal p r i m o de K.
La n o v e d a d en cada a p a r t a d o r a d i c a en que t o d o se h a c e en funcién d e u n p o l i n o m i o de d e f i n i c i é n del cuerpo.
En 1983, Ll o r e n t e y N a r t ([ L , N ] ) e s t u d i a r o n el a p a r t a d o (i); la s o l u c i é n que nos o t r o s h e m o s d a d o a (ii) e (iii) an a d e
a los resultados de Llorente y N art la d e s c o m p o s i c i ô n exacta de los primos racionales en K. Por otra parte, los métodos q u e n o s o t r o s h e m o s u t i l i z a d o en el e s t u d i o de (i) s o n d i stintos a los util i z a d o s p o r L l o rente y Nart, lo que esté j u s t i f i c a d o p o r q u e a d i c h o s a u t o r e s no l e s i n t e r e s a det e r m i n a r quienes sean los ideales de la descomposiciôn. En c o n s e c u e n c i a , n uestro e s t u d i o es m u c h o m â s d e tallado porque c a d a u n o d e los c a s o s q u e L l o r e n t e y N a r t c o n s i d e r a n encierra diversas p o s i b i l i d a d e s par a cad a u n o de los ideales de la descomposiciôn*.
Anteriormente, Hasse (en 1930) y M a r t i n e t y Payan (en 1967), (véase [Ha], [M,P]) , e s t u d i a r o n las r a m i f icaciones de K cübico no c iclico **. Pero, como Ll o r e n t e y Nart también
* A s i , p o r e j e m p l o , el c a s o p | a , p | b , p > 3 p r i m o c o n s i d e r a d o p o r L l o r e n t e y N a r t l e s c o n d u c e a la d e s c o m p o s i c i ô n p = P ^ , p = P Q ^ , d e p e n d iendo de cpje 1 < Vp(b) < Vp(a) ô 1 = Vp(a) < Vp(b; p a r a d e t e r m i n a r quienes son P y Q, de n uestro estudio se d e d u c e que :
^ ( P » ô V p ) ^ si a ,b ■ 0 (p2 ), b f O(p^). (p, e^/p + 0 ) (p, 0 ^/p + 0 - a / p )2 si a ■ 0 (p), b ■ O ( p ^ ) , a f O ( p ^ ) . (p, 0 ^/p)(p, 0 ^/p - a / p )2 si a * 0 (p), b = O ( p ^ ) , a f O ( p ^ ) , b p O ( p ^ ) .
P=
(P, 9)
si a,b M 0(p), b ^ O(p^)d e s t a c a n , s u s r e s u l t a d o s n o p e r m i t e n o b t e n e r la d e s c o m p o s i c i ô n en t é r m i n o s d e u n p o l i n o m i o d e f i n i c i ô n del c u e r p o y, en c u a l q u i e r caso, sôlo t r a t a n la c u e s t i ô n (i).
F i n a l m e n t e , e n 1 9 8 9 P o h s t y Z a s s e n h a u s ( [ P , Z ]) h a n e studiado, de s d e el punto de v i s t a computacional, la cu e s t i ô n q u e c o n s i s t e en d e t e r m i n a r los ideales de no r m a m e n o r o igual c[ue u n e n tero dado, con v i s t a s a su a p l i c a c i ô n al c â l c u l o del n u m é r o de c l a s e * .
T o d o n u e s t r o e s t u d i o del c a p i t u l o II se b asa en los r e s u l t a d o s del c a p i t u l o a n t e r i o r y la u t i l i z a c i ô n del lema de Kummer**, con el r ecurso e v e n t u a l al t e o r e m a 10.61 de Harv e y - C o h n ([HC2]. Ll o r e n t e y N a r t t a m b i é n b a s a r o n su t r a b a j o en el l ema de Kummer; pero, d a d o q u e ellos m a n t i e n e n i n v a riable el e l e m e n t o p r i m i t i v o del c u e r p o cübico, n o r m a l m e n t e no es t â n en las c o n d i c i o n e s de a p l i c a c i ô n de di c h o lema y r e c u r r e n al
La diferencia, p o r lo d e m â s obvia, en t r e n u e s t r o e s t u d i o y el p u n t o de vi s t a c o m p u t a c i o n a l e s t r i b a en que, p o r ejemplo, m e d i a n t e los m é t o d o s del s e g u n d o se sabe q u e el ü n i c o ideal d e n o r m a 3 del c u e r p o c ü b i c o a s o c i a d o a 8 ^ - 29 + 6 es el i deal (3,0), m i e n t r a s que, a p a r t i r de n u e s t r o t r a b a j o se c o n o c e c[ue (3,0) es el ü n i c o ideal p r i m o d e no r m a 3 p a r a la f a m i l i a i n f i n i t a d e c u e r p o s c ü b i c o s c o n p o l i n o m i o d e d e f i n i c i ô n - (3a + 2)x + 3b. ** E n el c a p i t u l o de p r e l i m i n a r e s se e n c u e n t r a enunciado.
p o l i g o n o de Newton. Nosot r o s evi t a m o s esta situacidn del mod o s i g u i e n t e : dado que en el c a p i t u l o I se han obtenido bases mi n i m a l e s { 1 , Oj ) relatives a cada primo racional p, en térmi n o s exclusives de un p o l i n o m i o de definiciôn, se han u t i l i z a d o c o m o e l e m e n t o s p r i m i t i v e s a l t e r n a t i v e s Oj , “ l - “ 2 y ' en un ünico caso, 2 0 g^ + org. Y, de este modo hemos esta d o en c o n diciones de a p l i c a r el lema de Kummer. Hemos optado p o r la utiliz a c i ô n c o n t i n u a d a de este lema p o r q u e en el c a s o cübi c o el ün i c o pr i m o que p u e d e dividir al m â ximo comün d i v i s e r de los Indices de todos los enteros algebraicos es p = 2, en v i rtud del con o c i d o teo r e m a de Zylinsky (1913); mâs aün, cuando 2 es el m â x i m o co m ü n d iviser de dichos indices lo d e t e r m i n e E n g s trom en 1930, ([E]),* y Llorente y Nart ([L.N]) mej o r a n el r e sultado an t e r i o r al e stablecerlo en té r m i n o s de los c oeficientes de un polin o m i o de def i n i c i ô n del cuerpo.
La d e s c o m p o s i c i ô n exacta en K c u e r p o de nümeros c ü bico de un p r i m o racional serâ u t i l i z a d a en el capitulo III, a la hora de c o n s t r u i r entensiones a b e l i a n a s no ramificadas de K en o r d e n a d a r c r iterios so b r e la par i d a d del n ü mero de clase.
* En concrete, 2 es mâxi m o c o m ü n d i v i s o r de los indices de t odos los enteros de K cuerpo de nüme r o s cübico si y sôlo si 2 d e s c o m p o n e c o m p 1e tame n t e en K.
En el ca p i t u l o III se e n c u e n t r a n las c o n c l u s i o n e s m â s s i g n i f i c a t i v e s de nuestro trabajo. Di c h o c a p i t u l o tr a t a sobre l o s c u e r p o s c ü b i c o s c i c l i c o s (i.e., c o n g r u p o d e G a l o i s c i c l i c o sobre el cuerpo racional) y, en g r a n medida, los r e s u l t a d o s que obtenemos d e p e n d e n del p r i m e r capitulo.
E n p r i m e r lugar, se d e m u e s t r a , en t é r m i n o s elementales, q u e el d i s c r i m i n a n t e de un tal c u e r p o es de la forma p^ con p = 3^p^...Pj., 6 e [ 0 , 2 ] , pj^ » 1 (3) p r i m o s d i s t i n t o s dos a dos; la üni c a d e m o s t r a c i ô n q u e c o n o c e m o s de e ste h e c h o se d e b e a H e i l b r o n n [ He], qu i e n u t i l i z a p a r a ell o t e o r i a del c u e r p o de clase.
El s e g u n d o r e sultado i m p o r t a n t e de n u e s t r o est u d i o de c u e r p o s c ü b i c o s c i c l i c o s e s t a b l e c e u n a c o r r e s p o n d e n c i a b i y e c t i v a en t r e cuerpos cüb i c o s c i c l i c o s y una a g r a d a b l e fam i l i a de p o l i n o m i o s que los definen. En concreto, se p r u e b a q u e t o d o c u e r p o cübico c i c l i c o K c o i n c i d e c o n un ü n i c o c u e r p o c ü b i c o c i c l i c o K^p g e n e r a d o (sobre Q) p o r u n a raiz del p o l i n o m i o - px + pq, d o n d e p = 3^pj^...pj. s a t i s f a c e las c o n d i c i o n e s arriba citadas, q es un e n t e r o p o s i t i v o tal q u e (p,q) = 1 y 4p - 27q^ € Z^. E s t e r e s u l t a d o c r e e m o s que es inédite; lo q u e se c o n o c e al r e s p e c t e es u n a c o r r e s p o n d e n c i a b i y e c t i v a e n t r e l o s c u e r p o s c ü b i c o s c i c l i c o s y c i e r t o s e n t e r o s al g e b r a i c o s del c u e r p o c u a d r â t i c o L = Q((~3)^/^), tal q u e si K es cübi c o cicl i c o de d i s c r i m i n a n t e p^, se le p u e d e a s o c i a r un ü n i c o a = (a + 3/3(-3) ^/^)/2 e Q( (-3) s u j e t o a las c o n d i c i o n e s :
(i) Nq^(cj) = p;
(ii) 0 > 0, a s 1 (3 ) si p a 1(3);
(iii) a = 3a', o' a 1(3), /3 ft o(3) si 3|p. (iv) KL = L ( ( p a ) ^ / ^ ) .
Ademâs, un polin o m i o d e f i n i c i ô n de K viene dado per :
+ ((1 - p) / 3)x - (p(3 + a) -1 )/ 27 si es no ramificado en K, x^ - (p / 3)X - (ap) / 27 si 3 es r amificado en K.
U t i l i z a n d o los r e s u l t a d o s d e n u e s t r o p r i m e r C a p i t u l o h e m o s s i d o c a p a c e s d e t r a n s f o r m e r d i c h o p o l i n o m i o de d e f i n i c i ô n de K en un poli n o m i o del tipo x^ - px + pq; en e s t a b r e v e i n t r o d u c c i ô n c o n v i e n e d e s t a c a r q u e el p u n t o c r u c i a l p a r a o b t e n e r lo a n t e r i o r es el c o n o c i m i e n t o d e l e n t e r o 0 ^ ob t e n i d o por n o s otros en el p r i m e r capitulo.
La filosofia s u b y acente a este asunto es b a s tante sutil; mi e n t r a s que en el c a p itulo I se obtiene el d i s c r i m i n a n t e a p a r t i r de un p o l i n o m i o que defina al cuerpo, ahora el p r o c e s o se invierte : como sabemos que los cuerpos cübicos c i c licos e s t â n caract e r i z a d o s p o r tener discrim i n a n t e p^, el p r o b l e m a r a d i c a en, fijado p, d e t e r m i n a r un p o l i n o m i o con c o e f i c i e n t e s en funciôn de p en términos de una sencillez tal cjue nos p e r m i t i e r a ef e c t u a r los "càlculos" de todo el capitulo.
d e f i n i c i ô n d a n una regia se n c i l l a que p e r m i t e el l istado de to d o s los c u e r p o s cüb i c o s c i c l i c o s de d i s c r i m i n a n t e dado, e v i t a n d o repeticiones.
A continuaciôn, c e n t r a m o s el e s t u d i o en la d e t e r m i n a c i ô n d e s i s t e m a s f u n d a m e n t a l e s d e u n i d a d e s p a r a l o s c u e r p o s c ü b i c o s ciclicos. Una s o mera d e s c r i p c i ô n h i s t ô r i c a de e s t e a s u n t o nos ayu d a r à a s i t u a r el problema.
L o p r i m e r o q u e h a y q u e r e s a l t a r es el t r a t a m i e n t o c l a r a m e n t e c o m p u t a c i o n a l que ha s u f r i d o el p r o b l e m a de las unidades: es decir, p a r e c e cl a r o que no se p u e d e d e t e r m i n a r s i s t e m a s d e u n i d a d e s f u n d a m e n t a l e s e n f u n c i ô n d e l o s co e f i c i e n t e s de un p o l i n o m i o de definiciôn, lo que se o b s e r v a ya en el cas o cuadrâtico. D icho esto, h a y q u e r e s a l t a r los e s f u e r z o s t e ô r i c o s que se h a n h e c h o par a c a r a c t e r i z a r las u n i d a d e s fundamentales. Nos r e f e r i r e m o s a es t a s dos car a s d e la m i s m a m o n e d a en el c a s o que nos c o n c i e r n e (cuerpos c ü b i c o s c i c l i c o s y, m â s g e n e r a l m e n t e , c u e r p o s c ü b i c o s t o t a l m e n t e r e a l e s * ) .
Las t a b l a s p u b l i c a d a s en q u e se l i stan un p a r de u n i d a d e s f u n d a m e n t a l e s d e c u e r p o s c ü b i c o s t o t a l m e n t e r e a l e s s o n e s c a s a s . La p r i m e r a q u e c o n o c e m o s s e d e b e a B i l l e v i c h ,
* Es decir, c o n d i s c r i m i n a n t e p o s i t i v o y, p o r tanto, con dos u n i d a d e s f u n damentales independientes.
([Bi]), data de 1956 y se limita a los 33 cuerpos c übicos totalmente reales de dis c r i m i n a n t e m e n o r que 1300. En cada caso, este au t o r da el d i s c r i m i n a n t e del cuerpo, una base entera, un p o l i n o m i o de d e f i n i c i ô n y los coeficientes de un par de unidades fundamentales con respecto a la base citada. El método que u tiliza Billevich es propio, pero en 1976 S t e i n e r y R u d m a n [S ,R] m u e s t r a n las d i f i c u l t a d e s computacionales de este méto d o para discri m i n a n t e s s uperiores a los c o n s i derados p o r el p r o p i o Billevich.
La segunda de estas tablas p u b l icadas se debe a Wi l l i a m s y Zarnke. Esta fechada en 1972 y co n t i e n e un p a r de un i d a d e s fundamentales para varios cuerpos d efinidos por e c u a ciones cübicas irreducibles. Por ejemplo, lista los coefi c i e n t e s de un p a r de un i d a d e s fundamentales c o n respecto a una bas e e n t e r a p a r a t o d o s los c u e r p o s c ü b i c o s t o t a l m e n t e r e a l e s d efinidos por - px - q = 0, c o n |p|, |q| < 15. Sin embargo, no se cal c u l a el d i s c r i m i n a n t e y se echa en falta un estudio que indique cuando pares (p, q) diferentes d e f i n e n el mismo cuerpo. El m é t o d o que u t i lizan en su estudio es el de Voronoi, al que nos referiremos mâs adelante.
Reci e n t e m e n t e han apare c i d o dos nuevas tablas d e b i d a s a C u s i c k y S c h o e n f e l d [C,L], la p r i m e r a , y a P o h s t y Zassenhaus, la segunda.
El trabajo de los primeros se basa en un e studio teô r i c o pr evio de C u s i c k [Cl], [C2] y, su tabla contiene un p a r de
u n i d a d e s fundamentales de cue r p o s c übicos t o t a l m e n t e reales con d i s c r i m i n a n t e m e n o r que 6885.
Sus resultados v i e n e n c o n d i c i o n a d o s a n u e s t r o entender, fuerte m e n t e porque c o n s i d e r a n la m a y o r de las raices del p o l i n o m i o de definiciôn, lo que o b l i g a a c o m p u t e r las très r a i c e s y, en c o n c l u s i ô n , t o d o s s u s r e s u l t a d o s s o n aproximados.
Finalmente, la tabla de Pohst y Zas s e n h a u s se incluye, com o apéndice, en su libro p u b l i c a d o en 1989. Los cue r p o s c ü b i c o s t o t a l m e n t e r e a l e s q u e se c o n s i d e r a n t i e n e n d i s c r i m i n a n t e me n o r que 1000. El t r a t a m i e n t o que u t i l i z a n es d i r e c t e y pensâmes que e sto d i f i c u l t a la computaciôn.
Los estudios teôricos que h a n p e r m i t i d o o b t e n e r m é t o d o s d e c â l c u l o de unidades fundame n t a l e s en c u e r p o s c ü b i c o s se deben, bàsicamente, a Voronoi, Berwick, G o d w i n y Cusick.
El de Vor o n o i es el mâs antique, data del siglo p a s a d o y l a s r e f e r e n c i a s q u e c o n o c e m o s d e s t a c a n q u e es f u e n t e d e n u m e r o s o s errores, hasta el p u n t o que a l g u n a tabla no se ha p o d i d o p u b l i c a r p o r e s t e m o t i v e . B à s i c a m e n t e e s u n a g e n e r a l i zaciôn del m é t o d o de las fr a c c c i o n e s c o n t i n u a s de L a g r a n g e .
El t r a b a j o de B e r w i c k [Bel) se c e ntra e n el e s t u d i o de u n i d a d e s fundamentales c u a n d o r + s - 1 = 2 , e s t o es, c u a n d o
los s i s t e m a s f u n d a m e n t a l es d e u n i d a d e s c o n s t a n de d o s unidades. El estudio de Ber w i c k hasta el mem e n t o no ha dado l u g a r a n i n g u n a t a b l a ; la a p l i c a c i o n m a s d e s t a c a d a q u e conoc e m o s del trabajo de Ber w i c k se d e b e a Thomas [T] , que e studia u n i dades en ordenes c ubicos monogénicos, lo que resta g e n e r a l i d a d a sus r e s u l t a d o s . N o o b s t a n t e , d a d o q u e la familia U = { Q(0) : - n0 - (n + 3)0 - l = 0 , n c Z ) e s m o n o g é n i c a cuando n(n + 3) + 9 es libre de cuadrados, le perm i t e d e t e r m i n e r que ( 0 , 0 + 1 ) es un s istema fundamental de u n i d a d e s del anillo de e nteros de Q ( 0 ) , b ajo la citada condiciôn. En c u alquier caso, pen s a m o s que en nuestra tesis se o b t i e n e n e s t o s r e s u l t a d o s c o n m â s s e n c i l l e z . N o s r e f e r i r e m o s a e s t a f a m i l i a c o n m â s d e t a l l e al e x p l i c a r nuestra tabla; la familia U ha sido tratada por diverses autores : Harvey - C o h n [HCl], K. U c h i d a [U], E. Thomas [T], M.N. G r a s [G3] y M. W a t a b e [Wi], s i endo i = 1,....,6, etc. Cômo s u r g e la c o n s ideracion de dic h a familia no parece claro; al p a r e c e r H.Co h n fue el pri m e r o en tratarla, en 1956. En n uestra tesis, el estudio de esta familia U surge de un modo n a t u r a l , al o b s e r v a r d e t e r m i n a d a s c o i n c i d e n c i a s q u e se v e r i f i c a n en nuestra tabla; de hecho, estamos en situaciôn de a s i g n a r a los c u e r p o s d e e s t a f a m i l i a U p o l i n o m i o s d e d e f i n i c i ô n m u c h o mâs sencillos, a s a b e r : - px + p, siendo p el d i s c r i m i n a n t e del cuerpo. En est e sentido, n inguno de los a u t o r e s citados ha e s t a b l e c i d o una relaciôn entre la familia U y los d i s c r i minantes a que da lugar.
r e f e r e n d a en nuestro trabajo. C u s i c k [C1],[C2] aporta, segün él, u n a m e j o r a al est u d i o de Godwin.
En 1960, H.J. G o d w i n e n u n c i a u n a c o n j e t u r a so b r e las u n i d a d e s de cuerpos c u b i c o s t o t a l m e n t e r e a l e s . Para un tal c u e r p o K, d e f i n e la f uncion (que l l a m a r e m o s de Godwin) S(a) = ( 1 / 2 ) [ (a - a')^ + ( a - - a '')^ + (o'- a'*)^] p a r a a e K. La c o n j e t u r a estab l e c e que si S(p) es m l n i m o en el c o n j u n t o de las u n i d a d e s de norma p o s i t i v a d i s t i n t a de la u n i d a d y S(r) es roinimo en el con ju n t o de las u n i d a d e s de R d e norma p o s i t i v a di s t i n t a de m ” p a r a n entero, e n t o n c e s { n , r ) forma u n s i s t e m a f u n d a m e n t a l d e u n i d a d e s d e K, s u p u e s t o q u e S(p) > 9. V e i n t e anos después, M.N. G r a s [G3] d e m u e s t r a dicha c o n j e t u r a en el caso p a r t i c u l a r de q u e K sea c ü b i c o ciclico; d a d o que est a es la s i t u a c i ô n q u e i n t e r e s a a n u e s t r o estudio, en â d e l a n t e h a b l aremos del t e o r e m a de G o d w i n en el co n t e x t o de c u e r p o s cübicos ciclicos. En 1987, E n n o l a V e i k k o [Ve] ha p r o b a d o la conjetura de G o d w i n a e x c e p c i ô n de u n n u méro f i n i t o de casos que se p u e d e n e x p l i c i t e r a p a r t i r de su d e m o s t r a c i ô n . En c u a n t o al estu d i o de C u s i c k [Cl], [C2], la d i f e r e n c i a s u s t a n c i a l r e s p e c t e a G o d w i n c o n s i s t e e n c o n s i d é r e r la f u n c i ô n S (a) = Tr(a^) e n lu g a r d e la c i t a d a en el p â r r a f o anterior. V o l v i e n d o al c o n t e n i d o d e la t e s i s , t r è s o b t e n e r el d i s c r i m i n a n t e y u n p o l i n o m i o d e f i n i c i ô n d e K c u e r p o d e
numéros cübico ciclico, nos pro p o n e m o s d educir un m é t o d o c o m putacional de cél c u l o de unidades fundamentales a p a r t i r del teorema de Godwin. Del teorema de Godw i n se tiene que, a cerca de n, hay que imponer las c o ndiciones :
(1) S(m) minima.
(ii) M unidad de norma positiva, n f l.
Para efectuar (i), es preciso e x p r e s a r los elementos del an illo de enteros de K en funciôn de una adecuada base e n t e r a * ; d i c h a b a s e se o b t i e n e en e s t a c a p i t u l e III s i r v i éndonos del p r i m e r capitule. En principle, utilizamos el dis c r i m i n a n t e para as e g u r a r la e x i s tencia de una determinada base entera ; cômo sea de hecho, tal bas e se concluye una vez estud i a d a la funciôn S de Godwin**.
Una vez e x presada m en funciôn de la base se observa que S (a) = S(ua + vr) , d onde a = x + u a + vr, con x, u, v e Z y {l,a,T) es la base entera a que hac e m o s r e f e r e n d a . Esta sim p l i f i c a c i ô n perraitirâ expresar la funciôn S como una forma cua d r â t i c a en u y v con c oeficientes e nteros en lugar de una
El he c h o de que di c h a base e n tera sea adecuada no es superflue; p o r ejemplo, Cusi c k consi d é r a una base entera que d e p e n d e de la ma y o r ralz del p o l i n o m i o de definiciôn, lo que
implica el c a r àcter a p r o ximado de las u n i dades que obtiene. ** V é a s e c o m e ntario al lema 3.5.
forma c u a d r â t i c a ternaria, q u e se d e d u c i r i a inevitablemente d e l e s t u d i o de C u s i c k . En l o s t e o r e m a s 3.8 y 3.1 3 se d é t e r m i n a la forma c u a d r â t i c a a q u e h a c e m o s referencia, el v a l o r e x a c t o de S (a) y, c o m o conclusion, se o b t i e n e la base e n t e r a {l,a,T} citada arriba.
E n c u a n t o a la c o n d i c i ô n ( i i ) , c o n s i s t e en resolver la e c u a c i ô n d e no r m a Nq^ (x + u o + v t ) = 1 ; d i c h a ecuaciôn se e s t u d i a en las p r o p o s i c i o n e s 3.9 y 3.14, de m o d o que, fijados u y V la c o n d i c i ô n (ii) se l i mita a una e c u a c i ô n cübica en una v a r i a b l e entera que es fun c i ô n lineal d e x.
O b t e n i d a n , y p o r e s t a r e n el c a s o c ü b i c o c i c l i c o , t o m a r e m o s r igual a una c o n j u g a d a de
m*-A la v i s t a de estos res u l t a d o s la c o m p u t a c i ô n de sistemas f u n d a m e n t a l e s de u n i d a d e s de c u e r p o s c ü b i c o s ciclicos se
* En el t e o r e m a de G o d w i n h a y u n a c o n d i c i ô n adicional y es S(m) > 9. Dad o que n o s o t r o s d e m o s t r a m o s q u e S (a) es un m ü l t i p l o de p, siendo p^ el d i s c r i m i n a n t e d e l cuerpo, par a cad a a c R, los ünicos c a s o s a los q u e no p o d e m o s aplicar el t e o r e m a d e G o d w i n son p = 7, 9. E s t o s c a s o s e s t â n dentro de la que l l a m a r e m o s familia U, y el s i s t e m a fundamental de u n i d a d e s q u e da m o s para los c u e r p o s c ü b i c o s c i c l i c o s de esta familia es v â l i d o t a m b i é n en los ca s o s p = 7, 9, segün se d e d u c e del e s t u d i o r e a l i z a d o p o r T h o m a s [ T ] .
p u e d e h a c e r sin g randes dificultades. En nuestro caso, nos h e m o s limitado al cas o de los cuer p o s cübicos ciclicos de d i s c r i m i n a n t e me n e r que 16*10^, d a d o que M.N. Grass [G2] p u b l i c o una tabla (a la que luego d e d i c a r e m o s un comentario) q u e c u b r l a d i c h o r a n g o de d i s c r i m i n a n t e . N u e s t r a t a b l a e s p e c i f i c a : t o d o s l o s c u e r p o s c ü b i c o s c i c l i c o s de d i s c r i m i n a n t e m e n e r q u e 1 6 * 1 0 ^ , d a n d o u n p o l i n o m i o de def i niciôn del cuerpo de la forma - px + pq; una base e n tera p ara dic h o cuerpo; los coeficientes, respecte a dicha base, de varies sistemas de u n i dades f u n d a m e n t a l e s ; la traza de cad a u n i d a d o b t enida y el v a l o r de la funciôn S de Godwin par a cad a unidad (que no es sine el m i n i m e aludido de dicha f u n c i ô n ) .
Por ejemplo, si K dénota al ün i c o cuerpo cübico ciclico de d i s c r i m i n a n t e 1951^, entonces K = Q ( © ) , donde 0 es raiz del p o l i n o m i o x^ - 1951X + 1951 «17; una base entera es
( 1 , 0 ,(90 + o ^ ) / 1 7 ) , d o n d e o = (-1 + G ^ ) / ] y = 4 * 1 9 5 1 - 9 * 1 7 9 - 60^; l a s s i g u i e n t e s u n i d a d e s 2 + 30 + 3 ((90 + a^)/17), -1 - 60 + 3 ( (9o + o^)/17) , -230 -30 + 6((9o + o^)/17) t i enen traza, en val o r absoluto, 231 y, tomadas de dos en dos, d e t e r m i n a n un sistema de u n i d a d e s fundamental ; las un i d a d e s 1 + 3o + 3((9o + o^)/17), -2 - 6o + 3((9o + o^)/17), -229 -3o + 6((9o + o^)/17) tienen t r a z a , s a l v o el s i g n o , 228 y, c u a l q u i e r p a r d e d i c h a s u n i d a d e s es un sistema fundamental. En los seis casos, se o b t i e n e que la funciôn S de G o d w i n v a l e 27*1951 y este es el m l n i m o d e t a l f u n c i ô n en el c o n j u n t o d e las u n i d a d e s
d i s t i n t a s d e ± 1.
La üni c a l imitaciôn de nue s t r a t abla v i e n e d ada p o r la p r e c i s i o n del lenguaje de p r o g r a m a c i ô n utilizado, F o r t r a n 77.
La tabla de Gras que hemos c i t a d o se limita a listar p o l i n o m i o s d e d e f i n i c i ô n d e c u e r p o s c ü b i c o s c i c l i c o s en f unciôn del d i s c r i m i n a n t e y el p o l i n o m i o de d e f i n i c i ô n de una unidad, dad o que calc u l a su traza y la t r a z a de la unidad i n v e r s a . K o o b t i e n e b a s e s e n t e r a s ni u n i d a d e s , t a l c o m o a c e r t a d a m e n t e c o m e n t a n C u s i c k y S c h o e n f e l d [C , L ] . Es de d e s t a c a r que nosotros s i e m p r e obte n e m o s trè s sis t e m a s de u n i d a d e s fundamentales tal que la traza de u n a de taies u n i d a d e s coincide, salvo el signo, c o n las traz a s d e la tabla de Gras.
De la b i b l i o g r a f i a consultada, se d e s p r e n d e q u e la tabla que n o s otros presen t a m o s es la ün i c a que p e r m i t e ded u c i r c o n s e c u e n c i a s y a b s t r a e r r e s u l t a d o s g é n é r a l e s p a r a d e t e r m i n a d a s f a m i l i a s i n f i n i t a s . E n c o n c r e t e , e n n u e s t r a t e s i s c o n j e t u r a m o s y p r o b a m o s l o s r e s u l t a d o s que, a c o n t i n u a c i ô n , p asamos a detallar*.
* M â s aün, "traduciendo" a n uestro lenguaje la t a b l a de Gras, h e m o s o b s e r v a d o d e t e r m i n a d a s rel a c i o n e s g é n é r a l e s en su tabla q u e él m i s m o p a rece h a b e r sido incapaz de establecer. De hecho, su ta b l a 4 sôlo se exp l i c a p o r est e d e s c o n ocimiento.
U n an â l i s i s de la tabla de u n i d a d e s fundamentales que c o n s t r u i m o s nos lleva a c o n s i d e r a r las familias :
U = { K = Q (0) : Irr ( 0, Q ) = - px + p siendo p = 3^ Pj^,..Pj. con Pj^ = 1 (3) p rimo distintos dos a dos, 5 e { 0, 2 }, 4p - 27 e ),
V = { K = Q (0) : Irr ( 0, Q ) = x^ - px + pq siendo p = p^...pj-,pj^ a 1 (3) primo y d i s t i n t o s dos a dos, q > 2, 4p - 27q^ = 1 ),
W = { K = Q (0) ; Irr ( 0, Q ) = x^ - px + pq siendo p = 9 pj^. . .pj., pj^ a 1 (3) pri m o y distintos dos a dos, q > 2, 4p - 27q^ = 9 , 3 / q ) .
La p r i m e r a familia U ha sido considerada, entre otros, p o r H a r v e y - Cohn [HCl], K.Uchida [U] , E.Thomas [T], M.N. G ras [G3] y M. W a tabe [ Wl], . . . , [W6] entre 1956 y 1984.
Para cada una de las familias U, V y W damos un sistema f u n damental de unidades ( jj., m'}- En cad a caso, el sistema de un i d a d e s dad o viene sugerido tra s el an â l i s i s de la tabla; la d e m o s t r a c i ô n de que en e f e c t o es un sistema de unidades fund a m e n t a l e s es realizada u t i l i z a n d o el teo r e m a de Godwin.
Ademâs, la u n idad fundamental m tiene, en cada caso, la b u e n a p r o p i e d a d de ser no tota l m e n t e positiva. Asl, toda u n i d a d u de R t o t a lmente p o s i t i v a (u y sus conjugados son
positlvos) es n e c e s a r l amente u n c u a d r a d o en R. U t i l i z a n d o este hecho, constr u i m o s un c r i t e r i o so b r e la p a r i d a d del n u m é r o d e cla s e para las f a m ilias V y W. Lo q u e h a c e en cada c a s o es d a r sencillas c o n d i c i o n e s s u f i c i e n t e s p a r a g a r a n t i z a r la e x i s t e n c i a de un el e m e n t o de R t o t a l m e n t e p o s i t i v o que no sea un c u a d r a d o en R y que el ideal que e n g e n d r e sea un cuadrado. A continuaciôn, e n u n c i a m o s los t e o r e m a s q u e r ecogen d i c h o s resultados:
T e o r e m a 3.13 : Sea K = Q (6) c u e r p o de n u m é r o s c ü bico ci c l i c o de d i s c r i m i n a n t e p^ p e r t e n e c i e n t e a la familia U. Entonces:
(i) { a , a ' ) es un sis t e m a f u n damental de u n i d a d e s de K , (ii) K es m o n o g é n i c o y (1, a, a ^ ) b ase e n t e r a d e K, s i e n d o a = (m + ei)/3, m = ( (4p - 2 7 ) - 3)/2), 0 1 = (4p - 90 - 6 0 ^ ) / (4p - 27) y a* es u n c o n j u g a d o de a. T e o r e m a 3 . 1 4 : Sea K = Q (0) c u e r p o de n ü m e r o s c ü b i c o c i c l i c o de d i s c r i m i n a n t e p^ p e r t e n e c i e n t e a la fam i l i a V. Entonces: (i) K es m o n o g é n i c o y (1, 8, 0^) es b a s e e n t e r a de K. (ii) M = 2 + 3a + 3 ((a^ + ( (q + l ) / 2 ) a ) / q es u n a u n i d a d de R. (a = (-1 + 81)/3, 81 = 4p - 9q0 - 60^).
(iii)(M,M'} es un sis t e m a fundamental de u n i d a d e s de K; H ' = -1 - 6a + 3 ( (a^ + ((q + l)/2)a)/q) es un c o n j u g a d o de n.
(iv) Irr(M,Q) = - 3 ( (1 + 9q)/2)x^ + ( (27q - 3)/2 ) x + 1 (V) M no es t o t a l m e n t e positiva.
T eorema 3.15. ; Sea K =* Q (©) c u erpo de numéros c ü bico ciclico de dis c r i m i n a n t e p^ pertene c i e n t e a la familia W. Entonces:
(i) (1, e, 02/3) y (1, a, (((q - l)/2) + ((q - l)/2)a + + a ^ ) / q ) son bases enteras de K,
(a = 01/3, 01 = 4 (p/3) - 3q0 - 20^).
(ii) M = (9(q - 1) + 3(3q - 1)01 + 201^)/(18q) es una unidad de R,
(iii)(M,M') es un sistema fundamental de un i d a d e s de K; M' es un conj u g a d o de m#
H' = (9(q - 1) - 3(3q + 1)01 + 2 0 1 ^ ) / ( 1 8 q ) .
(iv) Irr(M,Q) = - ((3 + 9q)/2)x^ + ( (9q - 3)/2)x + 1 . (V) M no es totalmente positiva.
Teorema 3 . 1 6 . : Sea K = Q (0) cuer p o de nümeros cübico cicl i c o de disc r i m i n a n t e p^ pert e n e c i e n t e a la familia V. Si q es un c u a drado (en Z) y (1 + 3q)/2 no es un cuadr a d o en Zgj^ para al m enos un qi divi s o r primo de q, entonces el nümero de clase de K es par.
Teorema 3 . 1 7 . : Sea K = Q (0) c u erpo de nümeros cübico cicl i c o de d i s c r i m i n a n t e p^ p e r t e n e c i e n t e a la familia W. Si q es un c u a drado (en Z) y (3 + 3q)/2 no es un cu a d r a d o en Zq^ para al m enos un qi d i v i s o r primo de q, entonces el n ü m e r o de cl a s e de K es par.
del n u méro de clase dados p o r H a r v e y - C o h n [HCl] y M. Watabe [W4], [W5].
En 1935, Siegel deroostrô q u e si F es un c u e r p o c uadràtico imaginerio con d i s c r i m i n a n t e dise(F) y n ü m e r o de clase hp entonces h p > ® c u ando | d i s e (F) | > ®. Para probar esto Siegel u t i l i z ô la f ôrmula
^i“ disc(F) — >«0 (1°9( ^ F ^F )/log( Idisc(F) I . i s i e n d o R p el r e g u l a d o r de F, la cual fue establ e c i d a p r i m e r o p o r Siegel p a r a cuerpos c u a d r à t i c o s F, y B r a u e r [B] p a r a c u e r p o s d e n ü m e r o s al g e b r a i c o s F g é n é r a l e s ( f i j a d o el g r a d o ).
U t i l i z a n d o d i c h a fôrmula y los si s t e m a s fundame n t a l e s de u n i d a d e s obten i d o s en los t e o r e m a s 3.14 y 3.15, est u d i a m o s el c o m p o r t a m i e n t o del nümero de c l a s e c u a n d o el dis c r i m i n a n t e co n v e r g e a +<» par a los c u e r p o s de n ü m e r o s c ü b i c o s de la f amilia V y W. Los r e s u l t a d o s o b t e n i d o s son :
Teo r e m a 3 . 1 8 ; Sea K = Q (6) c u e r p o d e n ü m e r o s c ü b i c o ciclico de d i s c r i m i n a n t e p^ p e r t e n e c i e n t e a la familia V. Entonces lim p >+co hjç = -Ha .
T e o r e m a 3 . 1 9 . ; Sea K = Q (6) c u e r p o d e nüm e r o s c ü b i c o ciclico de d i s c r i m i n a n t e p^ p e r t e n e c i e n t e a la f amilia W. Entonces lim p >+co hjç = -Ha .
Un e studio a nâlogo para la familia U ha sido realizado, en 1983, por W a tabe [W2].
Como corol a r i o inmediato a los teoremas 3.18 y 3.19, concluimos que sôlo hay un nüme r o finito de cuerpos cübicos ciclicos en las familias V y W con n ü mero de clase igual a 1.
E SO U E M A D E L E S T U D I O R E A L I Z A D O P O R LA TE S I S K c u e r p o s de n ü m e r o s c ü bico C A P I T U L O I D i s c r i m i n a n t e I <— d e K. B ases m i n i m a l e s en c ad a primo. B ases enteras. D isc r i m i n a n t e y C a r a c t e r i z a c i ô n de la monogenei- d a d para d i v e r — sas familias in finitas de c u e r p os cübicos. C A P I T U L O II R a m i f i c a c i o n e s en K de un p r i m o de Q. V [sigue] 29
[sigue]
K c uerpos de num é r o s c ü bico ciclico C A P I T U L O III
Discriminante de K.
A l g o r i t m o de c o n s t r u c c i ô n de t odos los cuerpos cübicos ci c licos de d i s c r i m i n a n t e dado.
O b t e n c i ô n de un s istema fundamental de unidades para très familias infinitas de cuerpos cübicos ciclicos en funciôn de los coefi c i e n t e s de un polin o m i o d e f i n i c i ô n del cuer p o en cuestiôn.
P aridad del n ü m e r o de clase de los cuerpos cübicos ciclicos p e r t e n e c i e n t e s a dichas familias, C o m p o r t a m i e n t o del nüme r o de c lase cuando el discrim i n a n t e tien d e a + « par a los c uerpos cübicos ciclicos de las c itadas familias.
PRELIMINARES
En este c a p i t u l o p r e l i m i n a r vam o s a d a r las d e f i n i c i o n e s y los t e o remas que va m o s a u t i l i z a r a lo largo de e s t a tesis.
K es un cueroo de numéros al a e b r a i c o s si es e x t e n s i o n finita del cuer p o Q de los numéros racionales. El a r a d o de K / Q es la di m e n s i o n [K:Q] de K como Q - e s p a c i o vectorial; [K:Q] = n es finita. Diremos que K es un cueroo c u a d r â t i c o si n = 2; un cueroo cübico si n = 3 ; etc.
El teo r e m a del elemento p r i m i t i v o a segura que todo K de grado n es de la forma K = Q(e) d o n d e a es una r alz de f(x) = a^x" + ... + a ^ x + ag con f(x) irreducible en Q[x].
(f(X) = Irr ( a,Q)).
El co n j u n t o R de los x e K que son raiz de un p o l i n o m i o de Z[X] m ô n i c o c o n s t i t u y e n un a n illo que se llama a n i l l o de los e nteros de K . R es un g r u p o (aditivo) abeli a n o l ibre de rango n y una bas e ente r a es u n a Z-base de R.
Si K es un c u e r p o de n ü m e r o s de g r a d o n sobre Q e n t onces hay e x a c t a m e n t e n 0 - m o n o m o r f i s m o s de K en C, siendo C el cuer p o de los n ümeros complejos. Sea K = Q ( a ) , cada conju g a d o de a d é t e r m i n a u n ü n i c o Q - m o n o m o r f i s m o de K en C.
D e f i n i c i ô n ; S e a n a ^ , — , los n Q - m o n o m o r f ismos de K en C. Par a ... , e K d e f i n i m o s el d i s c r i m i n a n t e de « 1 , ••• » « n c omo disc(Oj^, ... , a„) = | ^.
P rop o s i c i ô n ; S e a n ... , {3^) y [V-^, ... , r^) dos Q-b a s e s e n t e r a s d e K, e n t o n c e s disc(^j^, ... , = |M|^disc(r^, ... , r„) s i e n d o M la m a t r i z del c a m b i o de la p r i m e r a b a s e a la segunda. T e o r e m a ; S e a n ( 0 ^ , — , /3„) y (r-^, ---- r„) dos bases e n t e r a s d e R a n i l l o d e e n t e r o s d e K. E n t o n c e s , d i s c ( ^ 3^, ... , = disc(Tj^, ... , T„) . P o r tanto, el d i s c r i m i n a n t e de u n a b a s e e n t e r a es un i n v a r i a n t e de R y se d e n o t a r â p o r dise(R) ô d i s e ( K l . S u p o n g a m o s ... , e l e m e n t o s de R, e n t o n c e s dichos e l e m e n t o s f o r m a n u n a b a s e e n t e r a d e R si y s o l o si disc(a^, ... , Oj^) = d i s e (R) . M â s a d e l a n t e v e r e m o s que el d i s c r i m i n a n t e c o n t i e n e i n f o r m a c i ô n sob r e los p r i m o s de Q que r a m i f i c a n en K.
Para c ada p r i m o p e Z y p a r a c ada e n t e r o m e Z denot a m o s c o n Vp(m) al m a y o r e x p o n e n t s r tal que p ^ | m. Dir e m o s que u n a Q - b a s e de e n t e r o s {Qj^, ... , es m i n i m a l en p si Vp(disc(aj^, ... , ct„)) = V p ( d isc(K) ).
un n ü m e r o finito de pasos una base entera de K a p a r t i r de una Q - b a s e de enteros de K. Enunciamos di c h o t eorema en el caso K c u erpo de n ümeros cübico, que es el que nos interesa.
Teor e m a 9.2 8 de Harve v - C o h n para K c u erpo de nümeros c ü b i c o : sea ( , Q g , C g } u n a Q - b a s e de e n t e r o s d e l c u e r p o cü b i c o K. Sea p un pr i m o de Z, se verifica:
(1) si Oj^/p € R entonces {Uj^/p, ûij , 03 ) es u n a Q - b a s e de e n t e r o s d e l c u e r p o K y s e v e r i f i c a Vp(disc(a]^/p,a2 ,Ug) ) = Vp (dise (a , 03 , «3 ) ) - 2 .
6 (2) si a ^ / p / R entonces se verifica: (2 .1 .) e x i s t e Sq e ( 0 , 1 , 2 , . . . , p - 1 ) tal q u e (SqOj^ + üg ) / P e R y, e n t o n c e s , (0 3 , (SgOi + (i2 ) / p , a 3 } es u n a Q - b a s e de e n t e r o s d e l c u e r p o K y se v e r i f i c a Vp( disc( ( SqQi + Œ 2 ) / p, 03 ) ) = Vp(disc(aj^,02,a3) ) - 2. 6 (2.2.) Si (Sq“ i + « 2 ^ / P / R p a r a t o d o Sq € ( 0 , 1 , 2 , . . . ,p-l) e n t onces se verifica: (2.2.1.) E x i s t e n S g , s^^ € ( 0 , 1 , 2 , . . . ,p-l ) t a i e s q u e (SgO^ + s^^Cg + «3 ) / P e R, y en t o n c e s (ûj^,û2 » (SgCj^ + s^^Og + “ 3 )/P ) es una Q - b a s e de enteros del cuerpo K y se v e r ifica
= Vp(disc(ûtj^,a2,a3) ) - 2.
6 (2 .2 .2 .) (03^,0 2 ,0 3 ) es m inimal en p. 'p( disc( 0:1 ,0 2 , (Sg(%i + S3^(%2 + “ 3 J/P )
Def i n i c i ô n : Sea o e R, indice(a) = (disc(or)/disc(K) )
Se v e r i f i c a indice(a) e Z'*’. Diremos que K es m o n o génico si e x i s t e a c R tal que indice(a) = 1, e sto es, si R tiene una b a s e e n t e r a de p o t e n c i e s (1, a , . . . , .n - 1,
E n general, R no es un d o m i n i o de f a c t o r i z a c i ô n ünica (D.F.U.), p e r o dicha fac t o r i z a c i ô n ünica se c u m p l e p ara sus idéales, d a d o c[ue R es un d o m i n i o d e Dedekind.
S e a L/K una e x t e n s i ô n finita. Sea R el anil l o de enteros de K y S el anillo de e n t e r o s de L. Si P es un ideal pr i m o de R e n t o n c e s PS = . . . Pg®® de forma ünica, s i endo P^ i d é a l e s p r i m o de S. P o r d e f i n i c i ô n ei e s el i n d i c e d e r a m i f i c a c i ô n de P^ sobre P. S/P^ es una e x t e n s i ô n finita de R/P, su g r a d o f^ se d e n o m i n a gr a d o de inercia de P^ sobre P. Dire m o s que P es r a m i f i c a d o en S si y solo si a l g ü n ei es m a y o r q u e 1. La c o n d i c i ô n n e c e s a r i a y suf i c i e n t e p a r a que un p r i m o p de Z sea ramif icado en R es que p | disc(R) . Si n = [L:K] en t o n c e s E eif^ = n.
E n el cas o L/K norm a l el = ... = es y fj^ = ... = fg. Ademâs, G = Gai (L/K) act ü a t r a n s i t i v a m e n t e sobre los idéales p rim o s de S que yacen sobre P. O sea, si Q y Q* son dos idéales p r i m o s de S que y a c e n s obre el m i s m o p r i m o P de R, enton c e s e x i s t e a € Gai (L/K) tal que a (Q) = Q'.
