Lenguajes Formales
Nivel del ejercicio : (!) b´asico, (♣) medio, (♠) avanzado.
1. (!) Sea Σ = {0, 1, 2}, x = 00, y = 1, z = 210. Definir las siguientes palabras : xy,
xz, yz, xyz, (xy)−1, x3, x2y2, (xy)2, (zxx)3. Indicar sus longitudes. ¿ContieneW(Σ)
la palabra vac´ıa λ?. Soluci´on: xy = 001 |xy| = 3 xz = 00210 |xz| = 5 yz = 1210 |yz| = 4 xyz = 001210 |xyz| = 6 (xy)−1 = 100 |(xy)−1| = 3 x3 = 000000 |x3| = 6 x2y2 = 000011 |x2y2| = 6 (xy)2 = 001001 |(xy)2| = 6 (zxx)3 = 210000021000002100000 |(zxx)3| = 21
2. (!) Describir las palabras pertenecientes a los siguientes lenguajes:
L1 ={0n1n | n ≥ 1} y L2 ={0i1j | 0 ≤ i ≤ j}
Soluci´on:
L1 es un lenguaje binario, palabras formadas por ceros y unos, donde todos los
ceros preceden a los unos y existe el mismo n´umero de ceros que de unos. Adem´as, no se reconoce la palabra vac´ıa (λ), ya que si nos fijamos, siempre nos exige que haya por lo menos un cero y un uno.
L2 es un lenguaje binario, palabras formadas por ceros y unos, donde siempre hay
un n´umero mayor o igual de unos que de ceros y los ceros preceden siempre a los unos. Reconoce la cadena vac´ıa (λ).
3. (!) Describir formalmente (en notaci´on conjuntista) el lenguaje formado por 0’s y
Soluci´on:
L ={02i1i | i ≥ 1}
4. (!) Describir formalmente (en notaci´on conjuntista) el lenguaje formado por palabras
que comienzan y terminan en a teniendo entre medias 3 o m´as b’s.
Soluci´on:
Σ = {a, b}, L = {abna|n ≥ 3}
5. (!) Dados el alfabeto Σ = {1, 2, 3, a, b, c}, y los lenguajes L1 = {1, 2, 3} y L2 =
{a, b, c}, definir los lenguajes L2
1, L1∪ L2, L1L2 y (L1L2)2.
Soluci´on: L2
1 ={11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}
L1∪ L2 ={1, 2, 3, a, b, c}
L1L2 ={1a, 1b, 1c, 2a, 2b, 2c, 3a, 3b, 3c}
(L1L2)2 ={1a1a, 1a1b, 1a1c, 1a2a, . . . , 3c3c}
6. (!) Sea L ={ab, aa, baa}. Indicar cu´ales de las siguientes palabras pertenecen a L+ :
abaa, abab, abaabaaabaa, aaaabaaaa, baaaaabaaaab, baaaaabaa, λ.
Soluci´on: abaa∈ L+ descomp.−→ ab !"#$ aa!"#$ abab ∈ L+ descomp.−→ ab !"#$ ab!"#$ abaabaaabaa∈ L+ descomp.−→ ab !"#$ aa!"#$ baa!"#$ ab!"#$ aa!"#$ aaaabaaaa∈ L+ descomp.−→ aa !"#$ aa!"#$ baa!"#$ aa!"#$ baaaaabaaaab /∈ L+ descomp.−→ baa
!"#$ aa!"#$ ab!"#$ aa!"#$ aab!"#$
aab /∈L
baaaaabaa ∈ L+ descomp.−→ baa
!"#$ aa!"#$ ab!"#$ aa!"#$ λ /∈ L+ (Si λ /∈ L, entonces λ /∈ L+)
7. (♣) Sean L1 = {anbn+1 | n ≥ 1} y L2 = {w | num. a#s = num. b#s}. ¿Es L1 = L∗1?.
Soluci´on:
Para demostrar las igualdades entre conjuntos (A = B) debemos demostrar que existe doble inclusi´on (que A⊆ B y B ⊆ A). Es decir, que todos los componentes de A est´an en B y viceversa, que todos los componentes de B est´an en A. L1 = L∗1
En ning´un caso puede ser que L1 = L∗1. La raz´on est´a en que L∗1 contiene la
palabra vac´ıa (λ) por definici´on, mientras que L1 no la contiene. Por lo tanto, no
se cumple L∗1 ⊆ L1.
L2 = L∗2
Que L2 ⊆ L∗2 se deriva de la propia definici´on del cierre (L∗ =
%∞
i=0Li). Por
lo que nos queda por demostrar que L∗ 2 ⊆ L2.
Como λ∈ L∗
2 , debemos demostrar que tambi´en λ∈ L2. Esto es cierto, ya que en
la palabra vac´ıa el n´umero de a’s es igual al n´umero de b’s (ambas cero). Por lo tanto, λ∈ L2.
Por otro lado debemos ver si el resto de palabras inclu´ıdas en L∗
2 pertenecen a L2 .
Eso tambi´en es cierto, ya que L∗2 se forma mediante la (m´ultiple) concatenaci´on de palabras del lenguaje L2 . Si las palabras que estamos concatenando tienen
igual n´umero de a’s que de b’s, siempre estamos a˜nadiendo el mismo n´umero de cada una de las letras a la palabra resultante y, por lo tanto, la palabra resultado tambi´en se encuentra en L2. Por lo tanto, podemos afirmar que L∗2 ⊆ L2.
Como L2 ⊆ L∗2 y L∗2 ⊆ L2 , entonces podemos decir que L2 = L∗2 .
8. (♣) ¿Existe alg´un lenguaje tal que (L∗) = (L)∗?.
Soluci´on:
Para demostrarlo utilizaremos la definici´on del cierre que hemos visto anterior-mente.
Podemos decir que λ ∈ (L)∗, pertenezca o no a L, gracias a la propia definici´on
del cierre de un lenguaje. Por la misma raz´on, podemos afirmar que λ ∈ (L∗).
Como λ∈ (L∗), entonces λ /∈ (L∗).
Por lo tanto, hemos encontrado un elemento (la palabra vac´ıa λ) que, pertene-ciendo a (L)∗, no pertenece a (L∗). Por lo tanto la igualdad no se cumple.
9. (♣) Demostrar o refutar la igualdad siguiente :
Soluci´on:
Dado un lenguaje L cualquiera,
L ={x1, x2, x3, ..., xn, ...}
Sea X una palabra que pertenece al cierre de ese lenguaje: X = x1x2x3x4...xn ∈ L∗
Debemos comprobar que X−1 ∈ (L−1)∗ para demostrar que (L∗)−1 ⊆ (L−1)∗.
Usando las propiedades de la reflexi´on: (xy)−1 = y−1x−1 y (L
1L2)−1 = L−12 L−11 ,
podemos afirmar que:
X−1 = x−1n x−1n−1...x−11
Dado que:
L−1 = (x−1n , x−1n−1, ...x−11 ) y x−1n x−1n−1...x−11 ∈ (L−1)∗, por lo tanto, X−1 ∈ (L−1)∗
entonces podemos afirmar que:
(L∗)−1 ⊆ (L−1)∗
Podemos razonar de forma an´aloga para demostrar que: (L−1)∗ ⊆ (L∗)−1
aunque es trivial.
10. (♣) Demostrar que para todo lenguaje L, se verifica L∗L∗ = L∗.
Soluci´on:
Simplemente deberemos aplicar la definici´on de cierre, recordemos:
L∗ =
∞
&
i=0
Li
L1(L2∪ L3) = L1L2∪ L1L3
Ahora, desarrollaremos el lado izquierdo de la igualdad: L∗L∗ = (L0∪ L1∪ L2∪ . . .)(L0 ∪ L1∪ L2∪ . . .)
= (L◦L◦∪ L◦L1∪ L◦L2∪ . . . ∪ L1L◦∪ L1L1∪ L1L2∪ . . .)
Y simplemente, reagrupando los t´erminos y aplicando la propiedad anterior, nos queda:
L∗L∗ = L0L0 ∪ L0L1 ∪ L0L2 ∪ L0L3 ∪ . . .
∪ L1L0 ∪ L1L1 ∪ L1L2 ∪ . . .
∪ L2L0 ∪ L2L1 ∪ . . .
= λ ∪ L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ . . . = L∗
Que es lo que quer´ıamos demostrar.
11. (!) Describir el lenguaje generado por la gram´atica:
G = ({S}, {a, b}, S, {S ::= SS | aSb | bSa | λ}) .
Soluci´on:
El lenguaje que describe esta gram´atica es el siguiente:L ={w | na(w) = nb(w)},
