FORMULARIO Métodos Numéricos

Instituto Tecnológico de Celaya

Instituto Tecnológico de Celaya

 Formulario Para La Materia de

 Formulario Para La Materia de

 Métodos Numéricos Con Apli

 Métodos Numéricos Con Aplicaciones

caciones

en Excel 

en Excel 

Catedrático: Ing.

Catedrático: Ing. Maria A

Maria Amparo Rojas

mparo Rojas

Zarate

Zarate

Elaborado por:

Elaborado por:

Ean!Ialdo

Ean!Ialdo

Cadena

Cadena Tinajero "ess

Tinajero "essica #

ica #o

olanda

landa

$ardu%

$ardu%o Ta

o Tamayo

mayo #

#u

unuen

nuen &uet'a

&uet'al(

l(

)ati%o Riera *iana +aleria

)ati%o Riera *iana +aleria

Ram(re' ,ernánde' Irma -atalia

Ram(re' ,ernánde' Irma -atalia

 alinas

Tipos de errores

Tipos de errores

Error relatio porcentual

Error relatio porcentual

_

11/00/00











−−

==

verdadero verdadero real  real  verdadero verdadero  x  x  x  x  x  x  ERP   ERP  Error absoluto

Error absoluto  EA EA

==

 x xverdaderoverdadero

−−

 x xreal real 

Error relatio Error relatio

_











−−

==

verdadero verdadero real  real  verdadero verdadero  x  x  x  x  x  x  ER  ER

Método de Bisección

1.

)asos para el m2todo de bisección.

2.

$ra3icar la 3unción.

3.

Identi3icar en la gra3ica por inspección las posibles ra(ces

4.

eleccionar alores iniciales para a y b 4en cuyo interalo se contenga una de las ra(ces5.

5.

Calcular 34a56 34b5 y 347r5

6.

Calcular la primera apro8imación de la ra(' por medio de la siguiente 3ormula:

9 b a  xr 

=

+

7.

Reali'ar las siguientes ealuaciones6 para saber si se encontró la ra('6 lo cual aremos bajo el siguiente criterio:

8.

Calcular el nueo 8r.

9.

Calcular el error relatio porcentual 4ER)5:

/00 1













−

=

actual  anterior  actual   x  x  x  ERP  • i

[

 f  4a51 f  4 xr 5

=

0

]

6 la ra(' es 8r.

• i

[

 f  4a51 f  4 xr 5

>

0

]

6 acemos a;8r y b permanece

constante.

• i

[

 f  4a51 f  4 xr 5

<

0

]

6 acemos b;8r y a permanece

Método de Regla Falsa.

)asos para el m2todo de regla 3alsa. . $ra car a unc ón

9. Identi3icar en la gra3ica por inspección las posibles ra(ces . eleccionar alores iniciales para a y b 4en cuyo intera o se

contenga una de las ra(ces5 =. Calcular 34a5 y 34b5.

>. Calcular la primera apro8imación de la ra(' por medio de a siguiente 3ormula: 5 4 5 4 5 4 1 5 4 b  f   a  f   b a a  f   a r 

−

−

−

=

?. Reali'ar las siguientes ealuaciones6 para saber si se encontró la ra('6 lo cual aremos bajo el siguiente criterio:

@. Calcular el nueo 8r.

. ca cu ar el error relatio porcentual ER)

•

i

[

 f  4a51 f  4 xr 5

=

0

]

6 la ra(' es 8r.

•

i

[

 f  4a51 f  4 xr 5

>

0

]

6 acemos a;8r y b permanece constante.

•

i

[

 f  4a51 f  4 xr 5

<

0

]

6 acemos b;8r y a permanece constante. /0 1











−

=

actual  anterior  actual   x  x  x  RP 

Método de Punto Fijo.

)asos para el m2todo de punto 3ijo.

/. Buscar todas las 3ormas euialentes de 34856 es decir6 despejamos a D8 de nuestra 3485. A cada 8 despejada la

llamaremos g485.

9. Escoger una g485 y buscar un alor inicial 80.

<. Calcular g4805 aciendo g4805 ; 8i.

=. +eri3icar si 8i; 806 si es erdadero6 8r; 8i6 si es 3also

 procedemos a calcular 89;g48/5.

>. +oler al paso < asta ue 8i; 8i!/.

)recauciones a tomar en cuenta en este m2todo.

•  -o todas las g485 conerge en 8r.

• Fna 80 escogida al a'ar no garanti'a la conergencia.

)ara garanti'ar ue un alor de 80 sea conergente en 8r6 podemos

eri3icar la siguiente desigualdad6 si se cumple6 se garanti'a la conergencia6 en caso contrario tenemos ue probar con otro alor de 80.

5 4 G  x <

Método de e!ton"Ra#$son

El m2todo de -eHton Rapson reuiere la ealuación de la primera deriada

/. Identi3icar la ecuación a resoler 3485. 9. $ra3icar la ecuación.

<. *eriar la 3unción.

=. Actuali'ar 8icon la siguiente ecuación:

>. Calcular el error porcentual.

?. i el error no es el indicado oler a actuali'ar 8i.

5 4 G 5 4 / i i i i  x  f    x  f    x  x₊

=

−

Método de la %ecante.

*i3erencias diididas: 4)rimer rden5

/. Identi3icar la ecuación a resoler 3485 9. $ra3icar la ecuación

<. Actuali'ar 8icon la siguiente ecuación:

=. Calcular el error porcentual

>. i el error no es el indicado oler a actuali'ar 8i

( )(

)

( ) ( )

_{i i} i i i i i  x  f    x  f    x  x  x  f    x  x

−

−

−

=

− − + / / /

( )

( ) ( )

/ / G − −

−

−

=

i i i i  x  x  f    x  f    x  f  

%&'()*+ ,- %*%-M/ ,- -)(/)*&-% '*-/'-% (%/,&

M/R*0 *-R%/

/. )lantear la ecuación matricial JAK1J7K;JBK 9. *eterminar la matri' J7K;AL4!/51B

<. Calcular la matri' inersa

=. Multiplicar la matri' inersa por la matri' de t2rminos independientes 4Con el producto de las dos matrices de tiene la solución5

>.

%&'()*+ ,- %*%-M/ ,- -)(/)*&-% '*-/'-% (%/,&

,--RM*/-% M. R/M-R.

/. )lantear la ecuación matricial JAK1J7K;JBK

9. ormular los cocientes de determinantes de cada ariable <. btener la solución de los cocientes de cada ariable

%istea de -cuaciones 'ineales Método de auss"%eidel

/. $ra3icar si es posible el sistema de ecuaciones lineales para identi3icar la solución por inspección.

9. *espejar 8i de la i!esima ecuación.

<. Asignar un alor inicial para cada 8i.

=. Actuali'ar cada 8i usando el alor de 8i!/.

>. Calcular el error para cada 8i.

?. i el error para cada 8i es el indicado entonces se llego a la

Método de e!ton"Ra#$son Multiaia:le

El m2todo de -eHton!Rapson Multiariable consiste en 3ormar y resoler la siguiente matri' de deriadas parciales:

[ ]

 J      f    x   f       f    x   f   i i i i i i i i    x    x    x    x ₌               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 6 9 6 9 6 / 6 /

Na matri' anterior la emplearemos en la actuali'ación de xiya ue:

i i  x  x  x+/ =∆ + y i i      +/ =∆ + *e donde:

 J 

 

 x

 

 f 

 

 x

 f 

 

 x

 

 f 

 

 x

 f 

 x

i i i i i i i i

6

5

6

4

6

5

6

4

9 9 / /

∂

∂

−

∂

∂

−

=

∆

 J     x  f    x  f      x  f    x  f     i i    x i i    x i i i i

























−

∂

∂

−

∂

∂

=

∆

5 6 4 5 6 4 9 6 9 / 6 /

e recomienda utili'ar alores iniciales cercanos a la solución grá3ica cuando sea posible gra3icar

Método de Punto Fijo Multiaia:le

Al igual ue en los m2todos de punto 3ijo y $auss!eidel se resolerá la  primera ecuación para alguna de las ariables6 x por ejemplo6 y la segunda  para .

/. $ra3icar si es posible para identi3icar una apro8imación a la solución.

9. *espejar cada una de las ariables de una de las 3unciones y llamar  g4i5 respectiamente.

<. Aplicar el siguiente criterio de conergencia:

=. Asignar un alor inicial para 84i5. >. Actuali'ar 84i5 con su respectia g4i5. ?. Calcular el Ep para cada 84i5.

@. i el error no es el indicado regresar al paso >. / ... / ... / ... 9 / 9 9 9 9 / / / 9 / / < ≤ ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ < ≤ ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ < ≤ ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂  M   x  g   x  g   x  g   M   x  g   x  g   x  g   M   gx  g   x  g   x  g  n n n n n n

/juste #o M;nios )uadados

 Regresi!n Lineal  e  x a a  

=

₀

+

_/

+

*onde  x a   a  x  x n    x    x n a i i i i i i / 0 9 /

−

=

−

−

=

∑

∑ ∑

∑

∑

*onde     y  _x  son las medias respectias de  y x.

 Regresi!n Polinomial 

El procedimiento de m(nimos cuadrados se puede 3ácilmente e8tender al ajuste de datos con un polinomio de orden superior. )or ejemplo6 supongamos ue se uiere ajustar un polinomio de segundo grado o cuadrático: e  x a  x a a  

=

₀

+

_/

+

₉ 9

+

Nas ariables a06a/6a9 las calculamos desarrollando el siguiente

conjunto de ecuaciones normal.

( )

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

+

+

=

+

+

=

+

+

i i i i i i i i i i i i i

 

 x

a

 x

a

 x

a

 x

 

 x

a

 x

a

 x

a

 x

 

a

 x

a

 x

a

n

9 9 = / < 0 9 9 < / 9 0 9 9 / 0

Nos coe3icientes de las incógnitas se pueden ealuar de manera directa de los datos obserados. )ara este caso6 emos ue el problema de determinar  un polinomio por m(nimos cuadrados de segundo orden es euialente a resoler un sistema de tres ecuaciones lineales simultáneas.

El caso en dos dimensiones puede e8tenderse con 3acilidad a un polinomio de m!2simo orden como:

e  x a  x a  x a a  

=

₀

+

_/

+

₉ 9

+

...

+

_m m

+

As( podemos reconocer ue la determinación de los coe3icientes de un  polinomio de m!2simo orden es euialente a resoler un sistema de mO/

ecuaciones lineales simultáneas.

 Regresi!n Lineal M"ltiple

Fna e8tensión Ptil de la regresión lineal de es el caso donde    es una 3unción lineal de dos o mas ariables independientes.

e  x a  x a a  

=

₀

+

_{/ /}

+

_{9 9}

+

Al igual ue en la regresión polinomial se 3ormula y desarrolla un sistema de ecuaciones ue al e8presarlo en 3orma de matri' nos da:





















=









































∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

i i i i i i i i i i i i i i i

 

 x

 

 x

 

a

a

a

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

n

9 / 9 / 0 9 9 9 / 9 9 / / 9 / 9 /

El caso anterior en dos dimensiones se puede 3ácilmente e8tender a m dimensiones como en:

e  x a  x a  x a a  

=

₀

+

_{/ /}

+

_{9 9}

+

...

+

_{m m}

+

Modelo -<#onencial

 x a e a   / 0

=

(

)

(

 Ln

)

a  x  Lna  x  x n  Ln  x  Ln  x n a i i i i i i i / 0 9 9 /

−

=

−

−

=

∑

∑ ∑

∑

∑

-cuación -leada a (na #otencia

/ 0 a  x a  

 =

)eciiento de satuación

 x a  x a  

+

=

/ 0

*nte#olación 'ineal

( ) ( )

( ) ( )

(

₀

)

0 / 0 / 1 x x  x  x  x  f    x  f    x  f    x  f  

−

−

−

−

=

*nte#olación )uad=tica

( )

 x b₀ b_/

(

 x  x₀

) (

b₉  x  x₀

)(

 x x_/

)

 f  

=

+

−

+

−

−

Esto es igual

( )

9 9 / 0 a x a x a  x  f  

=

+

+

*onde 9 9 / 9 0 9 / / / 0 9 0 / 0 0 b a  x b  x b b a  x  x b  x b b a = − − = + − = *onde

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

_{9 0}

)

0 / 0 / / 9 / 9 9 0 / 0 / / 0 0  x  x  x  x  x  f    x  f    x  x  x  f    x  f   b  x  x  x  f    x  f   b  x  f   b

−

  

 

 



 

 

−

−

−

  

 

 



 

 

−

−

=

−

−

=

=

*nte#olación de Polinoios de e!ton

El análisis de la interpolación cuadrática puede ser generali'ado para ajustar un polinomio de n!2simo orden a nO/ datos. El polinomio de n! 2simo orden es:

( )

=

₀

+

_/

(

−

₀

)

+

...

+

_n

(

−

₀

)(

−

_/

) (

...

−

_n−/

)

n  x b b  x  x b  x  x  x  x  x  x

 f  

Fsamos las siguientes ecuaciones para ealuar los coe3icientes

( )

[

_{/ 0}

]

/ 0 0 6 x  x  f   b  x  f   b

=

=

[

]

( )

 # i  # i  # i  x  x  x  f    x  f    x  x  f  

−

−

=

6

[

_{9 / 0}

]

9  f   x 6 x 6 x b

=

[

]

[

]

$  i $  i  # i $   # i  x  x  x  x  f    x  x  f    x  x  x  f  

−

−

−

=

6 6 6

[

 x 6 x /6...6 x/6 x0

]

  f   b_n = _{n n}− 

[

]

[

]

[

]

0 0 9 / / / 0 6 / / 6...6 6 6...6 6 6...6 6  x  x  x  x  x  f    x  x  x  f    x  x  x  x  f   n n n n n n n

−

−

=

− − − −

Con lo anterior se obtiene el polinomio de interpolación

( ) ( ) (

 x  f   x₀  x  x₀

)

 f  

[

 x_/6 x₀

] (

 x  x₀

)(

 x  x_/

)

 f  

[

 x₉6 x_/6 x₀

]

 f  _n

=

+

−

+

−

−

(

₀

)(

_/

) (

...   _/

)

[

6 _/6...6 ₀

]

...

+

 x

−

 x  x

−

 x  x

−

 x_n−  f   x_n  x_n−  x

+

*nte#olación de Polinoios de 'agange

Na interpolación de )olinomios de Nagrange es simplemente un re3ormulación del polinomio de -eHton ue eita el cálculo por  di3erencias diididas6 se puede e8presar de manera concisa como:

( )

∑

( ) ( )

=

=

n i i n  x  Li x  f  x  f   0 *onde:

∏

≠ = − − = n i  #  # i # i  x  x  x  x  Li 0

*onde

∏

designa el Dproducto de. )ara n;/

(

)

( )

( )

/ 0 / 0 0 / 0 / /  f  x  x  x  x  x  x  f    x  x  x  x  x  f  

−

−

+

−

−

=

# la ersión de segundo orden es:

( )

(

)(

)

(

)(

)

( )

(

)(

)

(

)(

)

( )

/ 9 / 0 / 9 0 0 9 0 / 0 9 / 9

 f 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 f 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 f 

−

−

−

−

+

−

−

−

−

=

(

)(

)

(

)(

)

( )

9 / 9 0 9 / 0

 x

 f 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

 x

−

−

−

−

+

,-R*/)*+ (MR*)/

i la apro8imación es polinomial y con el criterio de ajuste e8acto6 la deriación num2rica consiste simplemente en deriar la 3ormula del  polinomio interpolante ue se utili'o. ea en general

( )

 x  P 

( )

 x  R

( )

 x  f  

=

_n

+

_n Entonces:

( )

( )

dx  x dP  dx  x df  

≈

n En general:

( )

( )

n n n n n dx  x  P  d  dx  x  f   d 

≈

Na primera deriada de 3485 ueda apro8imada por:

( )

( ) ( )

%  x  f    x  f   dx  x df   _/

−

₀

≈

i aora n;9

( )

(

)

0 ₉ /

(

_/

)

0 9 / 0 9 9 9 = 9 9 9 9  x  f   % %  x  x  x  x  f   % %  x  x  x dx  x df  

 

 

 



 

 

−

+

+

+

 

 

 



 

 

−

−

−

≈

( )

₉ 9 / 0 9 9  x  f   %  x  x  x

 

 

 



 

 

−

−

+

Na segunda deriada puede calcularse una e' mas deriando respecto a 8:

( )

( )

_{0 9}

( )

_{/ 9}

( )

₉ 9 9 9 / 9 /  x  f   %  x  f   %  x  f   % dx  x  f   d 

+

−

≈

*e igual modo se obtienen las distintas deriadas para nQ9

( )

( )

n n n n n dx  x  P  d  dx  x  f   d 

≈

*-R/)*+

Método de a#ecio

( ) ( )

[

_{0 /}

]

9  f   x  f   x %  & 

=

+

Método de a#ecio de %egentos M>lti#les

n a b %

=

−

*onde n; - de Trapecios

( )

_{( ) ( )}











+

+

=

∑

= n i n i  f  x  x  f   x  f  %  &  / 0 9 9

Método de %i#son 1?3 %i#le

 -ota: e reuieren tres pares de datos

( )

( ) ( )

[

₀ = _{/ 9}

]

<  f   x  f   x  f   x %

 & 

=

+

+

Método de %i#son 1?3 de %egentos M>lti#les

*onde n; - de interalos 4debe ser par5

( ) ( )

[

+

+

_∑

+

_∑

]

=

%  f   x  f   x ordenadaspares ordenadasimpares

 &  _n 9 =

< 0

Método de %i#son 3?8 %i#le

 -ota: e necesitan = pares de datos

( )

( )

( ) ( )

[

₀ < _/ < _{9 <}

]

A <  x  f    x  f    x  f    x  f   %  & 

=

+

+

+

9 a b %

=

−

n a b %

=

−

< a b %

=

−

Método de %i#son 3?8 de %egentos M>lti#les

*ntegación (tili@ando *ntealos ,esiguales

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

9 ... 9 9 / 9 / 9 / / n n n n _%  f  x  f  x _%  f  x  f  x  x  f   x  f  %  & 

=

+

+

+

+

+

−

+

Método de Ro:eg

/ = = / / 6 / 6 / /

−

−

=

− + ₋− − $  $   # $   # $   #$   &   &   &  n a b %

=

−

( ) ( )

[

+

+

_∑

+

_∑

]

=

%  f   x  f   x ordenadasmultiplosde restodeord enadas

 &  n 9 < <

A <

-)(/)*&-% ,*F-R-)*/'-% &R,*/R*/%

Método de -ule

(

 x  

)

 f   dx d 6

=

=

Φ

%      x  x     i i i i i i

₌

−

−

−

=

+ + + / / / i i %     _+/

=

Φ

+

Método de Runge"utta 1

e

_&den

(

)

i

i  f   x   %  

  ₊/

=

6

+

Método de Runge"utta 2

do

_&den

(

)

_i i   % $  $   ₊

=

+

+

9 9 / / *onde:

(

)

(

_/

)

9 / 6 6 %$    %  x  f   $     x  f   $  i i i i

+

+

=

=

Método de Runge"utta 3

e

_&den

(

)

i i $  $  $  %    

+









₊

₊

=

+ ? / = _{9 <} / / *onde:

(

)

(

_{/ 9}

)

< / 9 / 9 6 9 / 6 9 / 6 %$  %$    %  x  f   $  %$    %  x  f   $     x  f   $  i i i i i i

+

−

+

=

 

 

 



 

 

₊

₊

=

=

Método de Runge"utta 4

to

_&den

(

)

_i i $  $  $  $  %    

+









₊

₊

₊

=

+ ? / 9 9 _{9 < =} / / *onde:

(

)

(

_<

)

= 9 < / 9 / 6 9 / 6 9 / 9 / 6 9 / 6 %$    %  x  f   $  %$    %  x  f   $  %$    %  x  f   $     x  f   $  i i i i i i i i

+

+

=

 

 

 



 

 

₊

₊

=

 

 

 



 

 

₊

₊

=

=

Método de Runge"utta de&den %u#eio

(

)

i i $  $  $  $  $  %    

+









₊

₊

₊

₊

=

+/ @ / <9 < /9 = <9 > @ ? S0 / *onde:

(

)

 

 

 



 

 

₊

₋

₊

₊

₋

₊

=

 

 

 



 

 

₊

₊

₊

=

 

 

 



 

 

₊

₋

₊

=

 

 

 



 

 

₊

₊

₊

=

 

 

 



 

 

₊

₊

=

=

% $  % $  % $  % $  % $    %  x  f   $  % $  % $    %  x  f   $  % $  % $    %  x  f   $  % $  % $    %  x  f   $  % $    %  x  f   $     x  f   $  i i i i i i i i i i i i > = < 9 / ? = / > < 9 = 9 / < / 9 / @ A @ /9 @ /9 @ 9 @ < 6 /? S /? < 6 = < 9 / 6 9 / A / A / 6 = / = / 6 = / 6

Método del Pol;gono Mejoado

% $     i+/ = i + 9

(

)

 

 

 



 

 

₊

₊

=

=

9 / 9 / 9 / 6 9 / 6 %$    %  x  f   $     x  f   $  i i i

Método de Ralston

% $  $     _{i i}

 

 

 



 

 

₊

+

=

+/ / 9 < 9 < /

(

)

 

 

 



 

 

₊

₊

=

=

/ 9 / = < 6 = < 6 %$    %  f   $     x  f   $  i i i i 9 0 / 0

=

=

=

=

λ  α  < < 9 < / 0 /

=

=

=

=

 µ  α