Gonzalez Hernandez t1

Problemas 1A.5

Viscosidades de Mezclas Cloro-aire a baja densidad. Pronosticar las viscosidades (en cp) de mezclas cloro-aire a 75°F y 1 atm, para las siguientes Fracciones molares de cloro: 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00. Considerar el aire como un componente simple y use las ecuaciones 1.4-14 a 1.4-16

Ecuación 1.4-14 μ= 5 16

√

πmkT π σ2Ω_μ O μ=2.6693 X 10 −5

√

MT σ2Ω_μ Ecuación 1.4-15 μmezcla=

∑

α−1 N _x αμα

∑

βxβ ϕ_αβ Ecuación 1.4-15 Φαβ= 1

√

8

(

1+ Mα M_β

)

−1 /2

[

1+

(

μα μ_β

)

1/ 2

(

Mβ M_α

)

1 / 4

]

2 Converción de °F a K 75°F = (273.15 + (75-32)/1.8) = 297.03 K Tabla de datos Compuesto M A ´ ¿ σ¿ ε k(K) KT ε Ω_μ μ(cp) Cl₂ 70.91 4.115 357 0.832 1.754 0.01304 Aire 28.97 3.617 97 3.062 1.033 0.01832

Instituto Tecnologico de Orizaba

División de Estudios de Posgrado e Investigación

Maestría en Ciencias de Ingeniería Química

Fenomenos de Transporte

Dr. Denis Cantú Lozano

Alain Joqsan González Hernández

Ecuación 1.4-14 para Cl2

μ=2.6693 X 10−5

√

70.91 ×297.03

(4.115)2×1.754 =1.0304 ×10

−4 g

cm ∙ s=0.01304 cp Ecuación 1.4-14 para aire

μ=2.6693 X 10−5

√

28.97 ×297.03 (3.617)2× 1.033=1.832 ×10 −4 g cm ∙ s=0.01832cp Φ₁₁=Φ₂₂=1.0 Ecuación 1.4-15 para Φ12 Φ12= 1

√

8

(

1+ 70.91 28.97

)

−1/ 2

[

1+

(

0.01304 0.01832

)

1 /2

(

28.97 70.91

)

1/ 4

]

2 Φ₁₂=¿ _0.5339 Ecuación 1.4-15 para Φ21 Φ21= 1

√

8

(

1+ 28.97 70.91

)

−1/ 2

[

1+

(

0.01832 0.01304

)

1 /2

(

70.91 28.97

)

1/ 4

]

2 Φ₂₁=¿ _1.8360

Tabla de pronóstico de Viscosidades en cp

x₁ Σ₁ Σ₂ A B A +B Valor real % de desviacio n 1−x₁ Σ x_βΦ_{1 β} Σ x_βΦ_{2 β} x₁μ₁ Σ1 x₂μ₂ Σ2 μmix , cp.×106 0.00 0.5339 1.0000 0.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0 0.25 0.6504 1.2090 0.0050 0.0114 0.0164 0.0164 0 0.50 0.7670 1.4180 0.0085 0.0065 0.0150 0.0150 0

0.75 0.8835 1.6270 0.0111 0.0028 0.0139 0.0139 0

1.00 1.0000 1.8360 0.0130 0.0000 0.0130 0.0130 0

Se anexa archivo excel con calculos correspondientes.

1A.6

Estimación de la viscosidad liquida. Estimar la viscosidad la viscosidad de agua líquida saturada a 0°C y a 100°C por medio de: a) la ecuación 1.5-9 con ΔŨvap=897.5 Btu/lbm a 100°C, b) la ecuación 1.5-11. Comparar los resultados con

los valores de la tabla 1.1-2. Tabla de datos: compuest o T(K) VṼ(cm3_/mol ) Δũvap(cal/g -mol) ρ(g/cm3_{) Δũ} vap(Btu/lbm ) H2O(0°C) 273.15 18.01 8988.88 0.9998 897.5 H2O(100°C) 373.15 18.8 8988.88 0.9584 897.5

Ecuación 1.5-9: μ=Ñh_Ṽ exp

(

0.408 Δũvap/RT

)

Ecuación 1.5-11: μ=Ñh_Ṽ exp(3.8 Tb/T )

Para H2O(0°C): μ= 0.004 18.01exp

(

0.408∗8988.88 1.9872∗273.15

)

μ=2.22 x 10−4exp (6.7565 )=0.1908 g cm∙ s μ=19.08 cp Para H2O(100°C): μ= 0.004 18.8 exp

(

0.408∗8988.88 1.9872∗373.15

)

μ=2.12 x 10−4_{exp (4.9458)=0.0298} g cm∙ s μ=2.98 cp b) Donde: h=6.620× 10−27 Ñ=6.0221 ×1023 Tb=373.15 Para H2O(0°C): μ= 0.004 18.01exp (3.8∗1.3661) μ=2.22 x 10−4_{exp (5.1912)=0.0399} g cm ∙ sμ=3.99 cp Para H2O(100°C): μ= 0.004 18.88exp (3.8∗1) μ=2.12 x 10−4exp (3.8 )=0.0095 g cm∙ sμ=0.95 cp

Este tipo de ecuaciones empíricas son deficientes para el agua y otros líquidos asociados. Por lo cual ambas formulas son inexactas.

PREGUNTAS PARA DISCUSIÓN

1- ¿Comparar la ley de viscosidad de Newton y la ley de elasticidad de Hooke? ¿Cuál es el origen de estas "leyes"?

La Ley de elasticidad de Hooke describe los fenómenos elásticos de un cuerpo y los esfuerzos a los que se encuentra sometido dicho esfuerzo y se cumple cuando las fuerzas que se aplican no exceden al límite elástico, mientras que la ley de la viscosidad de Newton se puede pbservar si se coloca un fluido entre dos capas, la fuerza es directamente prorcional al área y a la velocidad, e inversaente

proporcional a la distancia de las placas. Si la velocidad de desplazamiento de la placa es mayor, sera proporcional al esfuerzo de corte.

2- Verificar que "cantidad de movimiento por área unitaria por tiempo unitario" tiene las mismas unidades que "fuerza por área unitaria".

Cantidad de movimiento por área unitaria por tiempo unitario: Cantidad de movimiento área ×tiempo = N × s m2×s Donde: N × s=Kg m s2 × s Sustituyendo el Pascal Cantidad de movimiento área ×tiempo = Kg ∙ m m2∙ s2 Por lo tanto

Cantidad de movimiento_{área ×tiempo} =_m∗sKg2=Pascal

Fuerza por área unitaria

fuerza área = N m2 Donde: N=Kg∙ m s2 Sustituyendo N Kg∗m s2 m2 = Kg ∙ m s2∙m2= Kg s2∙m Por lo tanto

fuerza área =

Kg

s2∙ m=Pascal

3- Comparar y contrastar los mecanismos molecular y convectivo para el transporte de cantidad de movimiento.

Mecanismo molecular Mecanismo convectivo Los esfuerzos moleculares

π_ij=pδ_ij+τ_ij Donde:

i y j puede ser x, y o z.

δ_{ij es la delta de Kronecker}

p _{es presión}

Por lo tanto, el conjunto de πij

(tensor de esfuerzo molecular), nos proporcionan la densidad de flujo de cantidad de movimiento j a través de una superficie perpendicular i. ya que el tensor se puede relacionar con los gradientes de velocidad y presión, y verifica que esta relación implica dos parámetros materiales μ y κ (viscosidad dilatacional).

Al proceso en el cual la cantidad de movimiento puede trasportarse por medio del flujo volumétrico del fluido, se le conoce como trasporte convectivo. ρ vv =(

∑

i δ_iρυ_i)v Donde: ρ vv _{es un tensor de densidad de} flujo convectivo.

δ_{i vector unitario que indican los} en las direcciones x, y, z.

4- ¿Cuáles son los significados físicos de los Paramentos de Lennard- Jones y cómo pueden determinarse a partir de datos de viscosidad? ¿La determinación es única?

La fuerza intermolecular (para molécular no polares) está dada por F (r)=−dφ_dr

φ(r)=4 ε

(

(

σ r

)

12 −

(

σ r

)

6

)

Dónde:

σ _{es el diámetro característico de las moléculas, denominado “diámetro de}

colisión”

ε es la energía característica, es la máxima energía de atracción entre un par de moléculas.

La determinación no es única ya que existen tablas, en las cuales se encuentran tabulados la integral de colisión para la viscosidad dada una temperatura y se puede recurrir a esta, para cualquier compuesto que se desee determinar su viscosidad.

5- ¿Cómo dependen las viscosidades de los líquidos y de los gases a baja densidad de la temperatura y la presión?

La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que la viscosidad de un líquido disminuye con un incremento en la temperatura.

6- El potencial de Lennard -Jones, depende solo de la separación intermolecular. ¿Para qué tipos de moléculas podría esperarse que este tipo de potencial sea inapropiado?

El potencial de Lennard- Jones, depende de las fuerzas intermoleculares: atracciones débiles a separaciones grandes y repulsiones grandes a separaciones pequeñas. Este potencial es inapropiado a moléculas polares, puede ser que no se lleven a cabo las mismas fuerzas intermoleculares.

8- Las moléculas que solo difieren en sus isotopos atómicos tienen los mismos valores de los parámetros de potencial de Lennard- Jones. ¿Esperaría usted que la viscosidad del CD4 sea mayor o menos que la de CH4 a la misma temperatura y presión?

El componente CD4 posee mayor cantidad de masa y por lo tanto es el que resulta presentar una mayor viscosidad, en comparación con el metano.

9- La viscosidad del fluido A es el doble de la viscosidad del fluido B; ¿Qué fluido esperarías que fluyese más rápido a través del tubo horizontal de longitud L y radio R cuando se impone la misma diferencial de presión?

El componente que fluye más rápido es el B ya que este posee menor resistencia a fluir y el componente A es más pesado, tardaría más en llevarse a cabo el proceso.

10- Hacer un bosquejo de la fuerza intermolecular F(r) obtenida a partir de la función de Lennard -Jones para (r). También, determinar el valor de rm en laϕ figura 1-.4-3 en términos de los parámetros de Lennard-Jones.

En la figura anterior se puede apreciar la función de energía, con respecto a los parámetros de Lennard – Jones. La expresión empírica que satisface este

potencial es la siguiente φ (r)=4 ε

[

(

σ_r

)

12 −

(

σ r

)

6

]

El valor de rm se puede obtener mediante el grafico con ayuda de las propiedades

de los fluidos, en este caso se puede determinar mediante

r_m=3∗σ=3∗0.841~V_{m ,sol}

1 3

11- ¿Qué conceptos básicos se utilizarán al pasar de la ley de viscosidad de newton en la ecuación 1.1-2 a la generalización en la ecuación 1.2-6?

Viscosidad de Newton: τxy=−μ

d v_x

dy (1.1-2).

Donde es referida a un plano en el cual se presentan términos en estado estacionario en el que vx _{es función de} y _{, donde} vy _y vz _{son cero. Si se presenta un fluido}

en el cual su velocidad tome direcciones distintas en diversos sitios y que dependa del tiempo; los componentes de velocidad estarán dadas por lo siguiente:

v_x=v_x(x , y , z ,t ); v_y=v_y(x , y , z , t) ; v_z=v_z(x , y , z , t )

Hay 9 componentes del esfuerzo τij _{donde i y j pueden tomar las designaciones}

de x, y, y z, este puede ser sustituido en la ecuación 1.1-2.

La fuerza que somete a una partícula que se encuentra en el centro del volumen (en la posición x, y y z). Si al volumen se le otorga un pequeño movimiento, este presentará dos fuerzas que actúan sobre el volumen, estas serán la presión (será siempre perpendicular a la superficie expuesta) y las fuerzas viscosas que se presentan cuando se presenta un gradiente de velocidad.

Los esfuerzos viscosos son generados por el movimiento de las moléculas y por lo tanto:

π_ij=pδ_ij+τ_ij

Con las siguientes restricciones para τxy _:

Esfuerzo viscoso (combinaciones lineales de los gradientes de velocidad)

τ_ij=−

∑

k

∑

l

μ_ijkl∂ vk ∂ xl

τ_{ij sea una combinación simétrica de los gradientes de velocidad.}

(

∂ v_j ∂ x_i+ ∂ v_i ∂ x_j

)

y

(

∂ v_x ∂ x + ∂ v_y ∂ y + ∂ v_z ∂ z

)

δij

Fluido isotrópico (sin dirección referida)

τ_ij=A

(

∂ vj ∂ x_i+ ∂ v_i ∂ x_j

)

+B

(

∂ v_x ∂ x + ∂ v_y ∂ y + ∂ v_z ∂ z

)

δij Se simplifica τij=A d v_x

La constante A debe ser la misma que el negativo de la viscosidad y B = ₃2μ−k

Por lo tanto tenemos τij=−μ

(

∂ v_j ∂ x_i+ ∂ v_i ∂ x_j

)

+

(

2 3μ−κ

)

(

∂ v_x ∂ x + ∂ v_y ∂ y + ∂ v_z ∂ z

)

δij _(1.2-6)

12- ¿Qué obras de referencia pueden consultarse para encontrar más información acerca de la teoría cinética de los gases y los líquidos, y también para obtener empirismos útiles para calcular la viscosidad?

W. Green, Don Perry´s chemical engineers´ Handbook. 7 th ed. McGraw Hill. 1997C. Reid, R., M. Prausnitz, J. & E. Poling, B., The propieties of gases & liquids. Fourth edition 1987.

W. Kauzmann. Teoria de la cinetica de los gases. Reverté, 1970.

Bibliografia:

R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lighfoot. Fenómenos de transporte, Segunda edición, Lymusa Wiley