Modulo Matematica

16  Descargar (0)

Texto completo

(1)

UNIVERSIDAD PRIVADA

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO ANTONIO GUILLERMO GUILLERMO URRELOURRELO PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL

PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL

FORMACIÓN GENERAL

FORMACIÓN GENERAL

R

R ecopilaecopilado do por:por:

MÓDULO

MÓDULO

MATEMÁTICA BÁSICA

MATEMÁTICA BÁSICA

UNIVERSID

UNIVERSID D

D PRIV

PRIV D

D

NTONIO

NTONIO

GUILLERMO URRELO

GUILLERMO URRELO

(2)

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO PROGRAMA DE FORMACIÓN GENERAL

 Somos una comunidad universitaria auténticamente cajamarquina, integrada por personas que cultivan valores éticos, que formamos profesionales innovadores, con compromiso  social, garantizando servicios educativos superiores de alta calidad, que responden a los retos de una sociedad globalizada y contribuyen al desarrollo local, regional y nacional.

Comunidad universitaria integrada, acreditada, crítica e independiente, con una gestión efectiva que genera valor, que forma profesionales y posgraduados competitivos, que investiga para el desarrollo e innova con liderazgo regional y nacional.

MISIÓN INSTITUCION

(3)

CONTENIDO

I UNIDAD: LÓGICA PROPOSICIONAL

1. Concepto de lógica – Proposiciones - Clasificación de las proposiciones.

2. Formalización - Conectores Lógicos

3.  Verdad formal – Tablas de verdad – Método Abreviado

4. Ejercicios y problemas

II UNIDAD: ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

1. Ecuaciones de primer grado con una variable. 2. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. 3. Ecuaciones de segundo grado con una variable 4. Ejercicios y problemas

III UNIDAD: REGLA DE TRES Y PORCENTAJE

1. Razones y Proporción Numérica 2. Regla de tres Simple y Compuesta 3. Porcentaje – Tanto por ciento 4. Ejercicios y problemas

IV UNIDAD: INECUACIONES LINEALES

1. Inecuaciones de primer grado con una variable 2. Sistemas de inecuaciones lineales con una variable. 3. Inecuaciones de primer grado con dos variables. 4. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables.

(4)

LOGICA PROPOSICIONAL

1. CONCEPTO DE LOGICA

:

La lógica estudia nuestros pensamientos de tal manera que se puedan producir razonamientos correctos, tomando como base para ello la estructura de nuestros pensamientos.

La lógica se clasifica en:

 Lógica Formal, matemática o simbólica  Lógica Objetiva o dialéctica

 Ambas estudian el pensamiento humano, pero desde perspectivas diferentes, la lógica matemática lo hace desde el punto de vista estructural y la lógica dialéctica desde el punto de vista del contenido de nuestros pensamientos que tengan correspondencia con la realidad.

Existen varias áreas de la lógica, dentro de todas ellas la lógica proposicional será objeto del estudio de este capítulo.

La lógica proposicional abarca las proposiciones lógicas.

Las proposiciones lógicas son oraciones del lenguaje que pueden ser verdaderas o falsas, pero no ambas a la vez, generalmente se expresan como oraciones declarativas.

No son proposiciones oraciones donde no se puede determinar con certeza si son verdaderas (V) o falsas (F).

Ejemplos:

Oraciones Interrogativas: ¿Qué hora es? Creencias populares o personales ficticios:

“Batman vive en la ciudad Gótica”

“El hombre lobo se transforma con la luna llena” Refranes o proverbios: “Al pan pan y al vino vino”

Oraciones exclamativas: ¡Gol de Universitario!

Oraciones sin sentidos: Los cerros son raíces cuadradas de las montañas Fierro más madera da carpetas de la Upagu

Verbos en infinitivo: Correr, Saltar, Sonreír

Juicios valorativos: Para mi Toledo fue el mejor presidente del Perú Oraciones mal escritas: La nieve es blanca y consta de cuatro letras Oraciones que encierran ambigüedades:

Miguel perdió los papeles y agredió a la multitud.  Andrea lleva los pantalones en su hogar.

(5)

2. CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES: A. Según su cantidad:

a. Universales o generales: “Todos los nazis son alemanes”

b. Existenciales o particulares: “Algunos estudiantes son responsables” c. Singulares o Individuales: “José es estudiante de la Upagu”

B. Según su cualidad:

a. Afirmativas: “Nigeria esta en África” “Pedro es capaz”

b. Negativas: “Pedro no es capaz”

“Perú no tiene recursos financieros” C. Según su Modalidad:

a. Asertorias o Reales: “Las células poseen mitocondrias” “Cristóbal Colon descubrió América” b. Apodícticas o formales:

“La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o

“(a + b)2 = a2+2ab+b2

c. Hipotéticas: “Keiko no ganará las elecciones del 2016 ” D. Según lleven conector lógico o no:

a) Proposiciones Simples: No llevan conector lógico y se denominan atómicas. Ejemplo:

“María estudia derecho”

“Cajamarca es capital del carnaval” “Chimbote está entre Trujillo y Lima” “Ernesto y Carmen son hermanos”

b) Proposiciones compuestas: Llevan conector lógico y se le llaman moleculares o complejas. Ejemplo: “Juana estudia derecho

y

es natural de Chota”

“Luis estudia Medicina

o

Veterinaria”

“Si

Trujillo es la capital de la primavera

entonces

el clima es cálido”.

(6)

4. Clasificación de la Proposiciones Compuestas

Las proposiciones compuestas según el conector que presenten pueden ser: 1- NEGATIVAS: Cuando presentan el conector de la negación “no” o sus

sinónimos.

Ejemplo: Este año no postularé a la UPAGU

2- CONJUNTIVAS: Cuando presentan el conector de la conjunción “y” o sus sinónimos.

Ejemplo: Los abogados y los médicos son profesionales

3- DISYUNTIVAS INCLUYENTES: Cuando presentan el conector de la disyunción “o” débil.

Ejemplo: En el verano postúlate a la UNC o a la UPAGU

4- DISYUNTIVAS EXCLUYENTES: Cuando presentan el conector de la disyunción “O” fuerte.

Ejemplo: O estudio inglés o francés

5- CONDICIONALES: Normalmente son las Implicativas.

a. Implicativas o Condicionales directas: Cuando presentan el conector de la implicación: Si………entonces………..

Ejemplo: Si hoy es el cumpleaños de Luisa entonces iré a su fiesta. b. Replicativas o condicionales indirectas: Cuando presentan el conector

de la replicación o contra implicación: ...porqué……….

Ejemplo: Iván conseguirá un buen trabajo porque es un buen profesional.

6- BICONDICIONALES: Cuando presentan el conector de la biimplicación: .…….. si y solo si………….

(7)

Clasifique e identifique en los siguientes ejemplos: 1) Carlos Fuentes es un escritor.

2) Sen(x) no es un número mayor que 1. 3) Trujillo es la capital de la primavera.

4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. 5) El 2 es divisor de 48.

6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. 7) Si x es número primo, entonces x es impar. 8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.

9) No todos los números primos son impares.

10) Cajamarca es patrimonio histórico y cultural de las américas, y capital del carnaval peruano.

(8)

FORMALIZACIÓN

Proceso por el cual se representa una proposición verbal como proposición formal utilizando un lenguaje simbólico.

Para esta operación se asignan variables y conectores a la proposición a formalizar  Ejemplo:

 Si José es estudioso entonces será un hombre de éxito: (p → q)

1) VARIABLES PROPOSICIONALES:

Son letras minúsculas tomadas de la mitad del alfabeto, es decir desde la p hasta la z, que sirven para representar a las proposiciones atómicas: p, q, r, s, t, etc.

Se asigna en forma alfabética:

Ejemplo: Formalizar: José es comerciante, trabajador o mayorista p v q v r ……….correcto

r v p v q……….incorrecto

2. CONECTORES LOGICOS:

Son signos que representan a los conectores que enlazan a l as proposiciones simples.

Símbolos Nombre Lenguaje común

~ ¬ - Negador  No

^ & . Conjuntor   Y

v Disyuntor incluyente o débil o

v ∆ Disyuntor excluyente o fuerte

O………..o

→ Implicador  Si………  entonces

← Replicador  ……. porque………

↔ Biimplicador o bicondicionador 

……si y solo si……

↓ Inalternador  ni…. y ni………..

(9)

Los conectores se clasifican en dos grupos:

 Conectores Monódicos: Aquellos que enlazan a una sola proposición

simple: Ejemplo: “¬”

 Conectores Binarios: Aquellos que enlazan dos proposiciones simples:

“^”, “v”, “v”, “→”, “←”, “↔”, “↓”, ”/”

En general los conectores tienen sinónimos en el lenguaje común: Ejemplo para el conjuntor “y”:

 Iván estudia Medicina y  José Luis estudia Farmacia  Iván estudia medicina, pero José Luis estudia Farmacia

 Iván estudia Medicina s in embarg o José Luis estudia Farmacia  Iván estudia Medicina no obs tante José Luis estudia Farmacia.

Ejemplo:

Sea la proposición verbal:

 Manuel es un ingeniero mecánico o ingeniero industrial, sin embargo, Martín

es abogado.

La Formalización es:

(p v q) ^ r 

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Son: paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }.

¿CUÁNDO USAR SIGNOS DE AGRUPACIÓN?

Para evitar ambigüedades; es decir, enunciados que nos pueden dar varios significados.

Por ejemplo:

En la siguiente expresión: p v q ˄ r , no se sabe si es una conjunción o una

disyunción,

sería una conjunción si estaría así: (p v q) ˄r 

(10)

de allí la importancia de usar signos de agrupación para determinar la jerarquía de conectores.

La combinación de variables proposicionales y los conectivos lógicos por medio de signos de agrupación se denomina esquema molecular. En cada esquema molecular sólo un conectivo es el de mayor jerarquía.

DESCRIPCIÓN DE LOS CONECTORES LOGICOS

A. NEGADOR

 SIMPLE: Comúnmente se ligan al verbo

 Los tribunales no deben actualizarse: ~ p  Javier nunca ingresará a la UPAGU: ~ p

Los prefijos también funcionan como negadores simples:

 Manuel es indisciplinado: ~ p  Pedro es anti demócrata: ~ p

 COMPUESTO: Tienen la terminación “que”

 E s fals o que los tribunales deben actualizarse: ~p  No s e cumple que Javier ingresará a la UPAGU: ~p

CASOS ESPECIALES:

 No, no terminé el trabajo de Matemática: ~p  Es falso y mentira que el cobre es un gas: ~p

 Es falso, incierto y mentira que España se encuentra en América: ~p  Es falsamente mentira que sea incierto que Víctor tendrá libertad bajo

palabra: ~ [~p]

 Es inobjetablemente no correcto que la corriente del niño no caliente las

aguas del Pacifico: ~ ~ ~p

B- CONJUNTOR

 Tal como Manuel, Andrea terminó su carrera técnica: p ^ q  Invertí en la bolsa , as imis mo en terrenos: p ^ q

 Pinky, Fido, Boby y Ficher son los nombres de mis perros: p ^ q ^ r ^ s  No solo terminé la secundaria a tiempo , además ingresé a la UPAGU:

p ^ q

 La historia y  la geografía no son Ciencias Formales: ~p ^ ~q   Andrés es trabajador. Es un hombre desinteresado: p ^ q

(11)

CASOS ESPECIALES:

 Martín al igual que Carlos son ingenieros, sin embargo no tienen título

universitario: (p ^ q) ^ (~r ^ ~s) Donde:

p = Martín es ingeniero q = Carlos es ingeniero

s = Martín tiene título universitario r = Carlos tiene Título universitario

  Alejandra, José y Carlos son hermanos, no obstante, ellos aún

no trabajan: p ^ (~q ^ ~r ^ ~s) Donde:

p = Alejandra, José y Carlos son hermanos q = Alejandra trabaja

r = José trabaja s = Carlos trabaja.

C- DISYUNTOR INCLUYENTE O DÉBIL

 Manuel saca la basura o de lo contrario tiende su cama: p v q  No hay crisis salvo que no haya inflación: ~p v ~q

  A menos que llueva habrá calor: p v q

 Rob es guitarrista salvo que además baterista: p v q

 La crisis económica no aumenta excepto que exista desocupación: ~p v q  El reloj es un instrumento de tiempo excepto que inclusive de lujo: p v q

D- DISYUNTOR EXCLUYENTE O FUERTE Por la estructura:

Cuando su estructura es excluyente:

O………o………. ………..a menos que solo……….

 O comemos pizza o comemos pollo: p v q

(12)

Por el contenido:

Los eventos que se generan no se pueden cumplir ambos a la vez:

 Martín nació en Cajamarca o en Tacna: p v q

 Los virus son microscópicos salvo que visibles a simple vista: p v q  El perro de la esquina es macho excepto que sea hembra: p v q

E- CONDICIONADOR: 1) IMPLICADOR (→) Simbología: A → B Si……… entonces………  Antecedente →  Consecuente Causa →  Efecto Suficiente →  Necesaria 2) REPLICADOR (←) Simbología: A ← B ………..si……….. Consecuente ←  Antecedente Efecto ← Causa Necesaria ← Suficiente

Cuando el condicionador va al inicio es IMPLICATIVA

 Si los cocodrilos son reptiles, tienen sangre fría: p → q  Suponiendo que haga sol, iremos a la playa: p → q  Cuando el interés bancario baje, obtendré ese premio: p → q  Porque no llueve, obviamente mi ropa se secará: ~p → q

Cuando el condicionador va al centro es REPLICATIVA

 Ingresaré a la UPAGU suponiendo que estudie conscientemente: p ← q  El alcohol no es dañino ya que se vende en cualquier farmacia: p ← q  Los delfines son mamíferos debido a que no se reproducen por huevos:

p ← ~q

(13)

ESTRUCTURAS ESPECIALES:

 Solo si A, B: p ← q

 Solo si A, entonces B: p ← q   A solo si B: p → q

 Únicamente cuando A, B: p ← q   A solamente porque B: p → q   A implica a B: p → q

  A está implicado por B: p ← q   A es la causa de B: p → q

  A es la consecuencia de B: p ← q  La causa de A es B: p ← q

 La consecuencia de A es B: p → q  Es suficiente A para B: p → q   A es necesario para B: p ← q  Es necesario para A, B: p → q  Para A es suficiente B: p ← q  Suficiente para A es B: p ← q  Es necesario para A, B: p ← q

Para estas estructuras debemos tener en cuenta que la flecha del Implicador o replicador siempre parte del antecedente o condición suficiente y llega hasta el

consecuente o condición necesaria, de esta manera podremos saber siempre si son Implicativas o replicativas.

F- BIIMPLICADOR O BICONDICIONAL

 Habrá prórroga para pagar los impuestos siempre y cuando el banco lo

autorice: p ↔ q

 Las rayas tienen su cuerpo aplanado porque y solamente porque pertenecen a

la familia de los escualos: p ↔ q

 El cuarto no está oscuro si y solamente si prendes el foco: ~p ↔ q  Que vaya a la playa implica y está implicado que salga el sol: p ↔ q

 Para que los metales sean dúctiles es necesario y suficiente que sean

maleables: p ↔ q

G- INALTERNADOR O NEGADOR CONJUNTIVO

 Ni las ballenas son peces ni tienen branquias: p ↓ q  Ni los delfines son reptiles ni son ovíparos: p ↓ q

H- INCOMPATIBILIZADOR O NEGADOR DISYUNTIVO

 Los leopardos no son v

 eloces o no son felinos: p / q

(14)

Matemática Básica Página 14

SINONIMOS DE LOS CONECTORES LOGICOS

NEGACION ~

CONJUNCION DISYUNCION CONDICIONAL BICONDICIONAL INALTERNA DOR

INCOMPATIBI LIZADOR

 ⁄ 

INCLUYENTE EXCLUYENTE IMPLICADOR

→ REPICLADOR ← No es cierto que Es falso que No es el caso que Es imposible que ni Es absurdo que Es inconcebible que No ocurre que Pero  Aunque  A la vez Mas/Más  A pesar de  Además No obstante Sino  Aun cuando Igualmente  A menos que

Sin embargo E Empero También Tanto como  Al igual que No sólo ..sino

también..

… o también… ….a no ser que

B …y/o… …o bien … …ya bien… ….o solo … …o solamente…. …o únicamente… Por lo tanto De modo que Por consiguiente  Así pues Luego En conclusión Se concluye Es una condición suficiente de En consecuencia De ahí que Se deduce Puesto que Cada vez que

Siempre que Supone que

Ya que …..Si…. Pues es una condición

necesaria de Porque Dado que En vista de que

Cuando y solo cuando Si solamente si Entonces y solo entonces ES una condición necesaria

y suficiente, etc. No….y no… Ni…, ni….. No…. Excepto que no….. …..es incompatible con…. ;

(15)

IUNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO

FORMACION GENERAL

Matemática Básica Página 15

PRÁCTICA DOMICILIARIA Nº 1 FORMALICE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:

1. Que no haya ingresado a la Upagu es consecuencia de que me haya enamorado:

2. Suponiendo que mecánica, metalúrgica, industrial inclusive también química son carreras de ingeniería, seguramente no tienen el mismo director de escuela: 3. Diana la muchacha de mi barrio, estudia en el colegio San Ramón ya que vive

en Fonavi I:

4. Es insostenible que no sea mentira que los estudios de aptitud académica no incrementan la capacidad de los estudiantes:

5. Cajamarca, la capital del carnaval con Arequipa la ciudad blanca son ciudades con bastante turismo:

6. Considerando que la aritmética es una ciencia formal, su objeto de estudio es concreto. Sin embargo, la anatomía es una ciencia fáctica ya que su objeto de estudio es concreto:

7. Que los partidos políticos sean democráticos es una condición suficiente y necesaria para que no haya corrupción:

8. Ni Francia, ni tampoco Italia son productores de café:

9. Es objetable que, el Perú tenga crecimiento económico o en su defecto que se termine con la recesión, A menos claro está, que no haya inflación.

10. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados, al igual que la suma de los ángulos internos de un cuadrado es 360 grados:

11. Los números 1,2 y 3 son naturales consecutivos, sin embargo, los números 1 y 5 no son consecutivos:

(16)

IUNIVERSIDAD PRIVADA ANTONIO GUILLERMO URRELO

FORMACION GENERAL

Matemática Básica Página 16

13. Algunas enfermedades todavía frecuentes en los países en vías de desarrollo son el cólera, la disentería, la fiebre amarilla y la tifoidea, pero son fáciles de tratar:

14. Porque conseguí asiento libre para Otuzco en semana santa porque el chofer es amigo de mi padre, no garantiza que no pague mi pasaje en el ómnibus

15. Ernesto excepto que Sandra consiguieron empleo. Además, se casarán siempre y cuando consigan empleo:

Figure

Actualización...

Referencias

Related subjects :