II.
C.
3A}TATOB
}IYPC
BbICMF,iT
fEoAESVTVT
P.
S.
ZAKATOV
CURSO DE
GtrODESIA
SUPERIOR
..,: :{, i .á -! ll, |'|i ((ll 'tir ) Itill
tlrll*,
lrlitt'l,,r
ln,r
l*o
l,o
lo
l*r
l,s
l,Ü
lc
lo
Ii
ll:
[i
i: I43AATEJITCTBO «HE,[PA»EDITORIAL
MIRa
r
,
esféricas del punto 1l1:AMt:
P,
,
F**,
coordena.da","orruYuJ;;
determinan
exacramenre raporrorón
del
nuntoM
sobrer"
."Jrríi"i"-á;i-;ñ;;;d., ,;
son cdno_glda¡ las cooráenarrar
g.oJ¿.i"i.
rivT't."
otras que sean equivalentes)dol
ortsenA
de las;J;;iá;l;
Ér".irr"-,
á"-.rrrá""rlr¿
as(p,
q)
tlcne
mucho en común"oo
.iriá*u
ñctangurar
de coordenadas en¡l
plano.bxlgten
además.otros s-istemas de co_ordenadas curvilíneasesfe_
roldales que depende"
¿"
ir-áü"éi""
a"i.j;-a;;r;;á"ou¿u,
v
¿"ro¡don de cuenta de las coordenades
,
.G.-¡ovwfe6&L(,respL{,na,§,,Én]a'prácticaesindisperr-¡¡blo
conocer las coord."ría"r ááíár
ñ"tos
de la red geodésica situa-do¡ en un sistema de coordenadus cártesianas para que puedanuti-lhrr¡e
fácilmenret".
d;;;r s.;;:r"ilü
-ur
llevar
a
iabó
diferentes üfpor de.trabajos de proveccié",a.
,.gtr*."tr?i¿"
áli"rogi-".,
a"
thrr¡,
etc.
Esto
conileroáI,
,".e.]¿uá
a.
i"t"lJ*ii"prJir.".io.r*
de
*
auperficie del elipsoiaó;;;;'il
ü;rfffi;"ünI';?sto
es, aleprolentar parres de rá superficie de
la
rilrra
so¡i;;;;
Iuperficie
phna
de_acuerdo a. una déterminaául"y.
Aotualmente en la uRSs
h;
rid;;;"piada
ra proyección d.eGauss-l,rd,scr
o
ststemad.
;;;;dr;;;;;"r;;;tr
ptánas reetangutaresen
talii!,::3',\#":'#:'{:-vr:::,#f
'#T,-:',1¿l","ll:k*ffi
"io;""aT
de
dondedubzÍ
_-L- -d.x az y' (4.3). (4.4') Comparand.o las expresiones$'2)
V
(4'3) obtenemostg
B:#
+
La
ecuación$.a)
ex¡iresaIa latitud
geodésica en función de las.coordenadas rectangulates
r
e
Y' P Ml:-"
-=\
N
0 nffMt
E Pt Fig. 8Para encontrar
Ia
dependenoia inversa, es decir, para expresarr
e A eD. función de Ia
latitud
geodésica B, recordemos Ia ecuación (2.7).Partiendo de
Ia
expresión (4) podemosescribir
' tgB:a#ry
+B--X
¡
b¡
1.-ezY
z' (4.5\)
7¡
I
)
)
)I
) ) ) II
*:tr(90"+ B)\
-cts
B.
(4.2) Expresemos la primera derivadaff
en función de ras coo¡deiadas tcotangularesr
e
y.
Diferenciando'i4.1)
obtenemos$=ffi:0.
s0
a:x(l-e2)tgB.
(4.6\ Volvamos a escribir (4.1), sustituyendo y de acuerdo con laecua-ción
(4.6)
obtenemosÍ2 , t2 (L-ez)z lgz fi a
Af
r
arT-;T-:
t.
Resolviendo esta ecuación con respecto a
e,
encontramos:-2
;U+(.-ez¡tgz
B|
--1,
Í,
{{r+
@'B)-r,ffi):o,,
a sen-B *-
{T=;rfeT5E
' (4.7) 31 (4.1')Es sabido oue
la
tangentedel
ángulo, formadopor
la
tangenter
la
curva"r,
,ro puntoArd;
y
;I
!"ñi":.
positivo
delas
#:t:;::
u
la
primera
derivada
fl;
d," estamanera
-§¿§BBr,acro[
s
srsrEuagnrgcodáriica
B
Ab
ewrd¿nad,ass
c
uwq.fu I .purtto qw,
*-
ü;iñiíififfi
To_"1.
n or I a. e I i p se m e r i rt i a n
;;
ñT;ffi
";
íí#
iw'ff
lí
ff.Tffi
ñ
;:f
i;
aouación
de
esta eirpse" -Lu'-
¡ az t b2 -L'Errb*--Para encon1.rar y.reemplazamos
en .la ecuación
conrrado para
,
""
r¿.ii.iri";i#;";;
obrenemos (4.6) eIvalor
en_-1,:{.l'l_4l!9la
V 7-ezsenzB
De
la
fig.
8 se desprende que Ia abscisadel punto .4/
fi
: eMt:
MC
i'rl.ii
ffi,:Jr'f]h;"u:l
till'"",,"'
que pasaa
través der punro 1r{(4.e)
D
"
i;
ii*]l;'gti"
H-#ffi
fi?fs?#uro,i
\
2::'f
bc_&6b
awe
,ld: iattfud,§aod,6sgegüsicaB y
Ie
Ia
exbres.ióna latilud
para_la Iatitud
gcocéntrí.cae.
áeoc6n.
-1,rJt=poniendo
el
cos La-, -
*r,
en una
.."i.
¿.
,;r;f
obtenemos:sen (B
-
(D):
e2 senB
lcosB
+
(B
_
{D) senBl,
.
sen(A
._
(D):
e2senB cosB
+
"r(B
_
@) senz.B.El
segundotérmino
del. segundo miembro enla
expresión obte. nida es una pequeñamagnirud de
orden;' d;ü_"rtí¿
iA
_
O),de acuerdo
a Ia
fórmuli
(4.r2),
resurtauna
pequeña magnitud.de
ordet
ez).por esto' si en el segundo miembro de ra
ecuac ión (4.12)
reempra-zamos
el
cos (Dpor
el
cgsB,
enroncesá;rpüñ;l=ií
Érminos de orden ea. Con este grado aeexactitrra
-'---*r" '*
sen
(8-@):#
ezsen2l.
Descomponiendo, sen (B
;
O)
en
una serie
y
limitándola
al
primer
término,
obtenemosla
fOrmula aproximada(B-@)
:{p,ezsen2B,
donde nuevamente
ha
sido cometidoun
error do orden ¿a.se
puedeapreciar
fácilmente
que se obtiene,i-"ul-*
1ra*iiá"al,
(a
_
6¡r
pu1!-
=_45":,
En
eite
caso(B-_
ó),
:
fl,Af-'*"
*"
tuna rormula más exacta para
(,8
(D) tienela
siguiente forma:127, pág. 24)
(B
-
@)":
p,L*
srr zB-
4fu
sen 48{
+TÉry
sen6a-(4.8) Fig. 9 geodésicas
y
geocéntricas11,:1..1
funcjón
d"
i;;
;;;;;;:
oasrectangularesrey.
rs
@:+.
«.to)
.,
Jasándonos
en
la
fórmula(4.5)
obtenemos tEB: U
'1'"
¡ (t-ez¡,
tpor
lo
tanto,tg@:tgB(l-er).
(4.11) Fncontremos la expresión oa__
ra_la
d,iferenciad"
ií. i;;;;;t;,
R
-
@.
De
la iórmula
&.ltiiá;;;r,
'Ef!8rJo¡n;*a*a,,JeGúürdÉ-
'
r6úidt,f'&9,ffi
Designandó elradio-victárU
P M"{l\
o I X (4.13) (4.14) , I I I I moS escribir: ((
((
(
(
(
(
(
(
tgB-rg(D*
eztgB,
sen (B_ O)asea;ti
-ettgB,
sen (.8-
O)
:
e2 sen.B cos (D.p:lti@.
¿:pcos
(D;u:psen(D.
Sustituyendo esta expresión
en
la
elipse-aeridiananemos:
P2 cosz (D
,
Os sens (D---;t-:-
a-n7=q:
l.
.
Resolvemosesta
ecuacióncqn
¡espec!
o
a, p:;,.k¡cgs2
(D(1
--ea) +senz (D):
1, ^2, Y ¡a;il[b.
(1.'.-e2cosz(D):{,
(4.15)(4.{)
obte-(4.12)ifl
:THlt
i"" "1"
Hfl:"':-
i*:
I1:'
i].I:1ia
u,r i I y ar Ia
en
r á p r á c r i c alo:gru
el sen (B-
co)se;;;;;i;rf""
uf,ulzarra enlá
prácticaa
cáusa de la-pesueña rlifo¡antiq
tp *l
{"
B
y,@.si"
"m¡rrgá,
i ;i
Tá",1'r,?.
n#
::
l":
"i"i::;lp
"
r"
:,t
j :j
I í,', fl
;ji""
"*?3Hi;
más
adelante,no
s
_^-:.",rwrq t¿r_-y/,
ra
cual,-como veiemospor
el
cosB
en"r
J:I:li"
I:^118
'
,podemos'eu.órurr;
el
cos @Lx,.."j,:l'.3;,"":l.l;:Ilt,rj'"r,iül3i!:*',x#uT'¿:ír;8r:"t3
*H#i,"?;i,":1,:",_"^*:rg:1¡1,*;;
jl";:rJ#ilr1i11|"r.f
;"i:i-va mos a escribir.
I a expresió
"
q+.lii
iel;:;s;il#;o#i:i":
de donde:ri..1'" 3 -0 14A8 :.r,.) (4.16) 80n' ndonos en
la
fig.
g, sen (B-
O)
=
ez'senB
cas.[B_
(B
_
@)].^L
aV
;-_
[-cz
'F'-
fr=74;¡;5'"
r'n,Baiánilonos
en
(4.15) tenemos ".1/T=Acos @ (4.17)rrdem¡minil;;;;,'ii,?¡,.;i,r,(n"riiiiti.i,il"l
y
basándonosen
(4.21)
* :
a cos u,,H;ffi:'f1#,t,p*;
i,,,i'
iñ|ffi;*,
_,":',::
,:ffi,r:-lfug
Án J^l -- ,. Y 't-ez COS2 @ '
,
,f,1?ri3:"ff"liJ*ación
enrre ra rarirud reducida uy
tageodésica(4.22)
,I,?,1,':*ÍTd::li*,1,,:t,r?l1,Tx:Ti;mndorosrér_
mrnosq,..;,;;,,JilXi*1?:?,llt*i*?,ii1:[&1ff
:*H,1Lr.,:f,"I
pero como obtenemos que:!
:
IWllVIr-1,lL[rM,
:
ct, sal tr¡Í;,
*r!:,
:.uy
entre . ra.stat¡tuüs
iío#::
oi,y
^i.
i""
;;
;tff
;?';Ytr;
ll
*
ir"-",:6
""",iff"Jí1,í;r
IX
s.'ii*.*
:*g:ri"ÉH!1F'r,t
;:*:i1:"*:"""é'
Édii1,lu,!i
x,?iT'11:
Pu"q';;ñ;i;i' #
Fig. to
¡eauCidi
f,t1n,
$,"., z.jñ;d;il
*H',9ai,,1,7
Il;:,:l*"le
esrabtecemos ra Ios puntos abscisa.li:rl,x-r,,'i,"11:*r':Iru."r",,,1?lx?j,l*,H:ii:""'j:"tjfi:ffs#
pr'*;:itul7trWo'ú:),;,'
,X{.trü:;,,{,:);:ñHTf:f
,1"#H,xTXt,}¿{?"11i#
j
qxe -posean-ro,.1.-"
oer
trienÁ;1;"ó
ir,,íi:Í,,.
o..rr",r.
;"
01t4r¡z
*
(Mrnrry
-:
or.
En vista
de queel
nunrn
n/r ^^_- (4.Le)
3,::::,f
¿:,*ü'f
",I
*
lltr::
-.",r,,,
jl',',ll
c oo¡d en a d
a,
a"
¡1i"",
i,1;#:i tr :iii¡::!i%
:
i:
:iii::
AXj
:..H#
\vtvt z)' , (t[zMyz¿2
-r-----ñ'---9#+@ff)1_r,
(oMr)z+(jwrtry#:or.
las expresiones (4.1g)y
@20) se obtiene IVITMT:iwr,M$,
IVIMz:,y
¿MrMr*,
a:asetu4:bsenu.
,"
J,"r-,'f:;
Ty*'-expresiones
"(nrq;;;.2,3)
o^-
^.
(4'23);,l,{,rfif
,}:,?i;i;i:'"+ffi
,df,ü|;;ñ:;;
*:
*rro:l/T::&w
u,
--'*-5ü
Pero basándon^'^^
:::'-v**
G'24) rosen
(4.5)
/ r-
(4.25) en consecuencia,,"
*r;l::;?,:":rnos
(4.26)
de donde rinarmente
;ii1"1ffi
H*,0,,,,0u
_
tgu:llT-Vruu.
*{{f";lí*#idhjffi::::#r
l:"
n*
n.s
seránr;::!
Deft.27)escribim9¡§oIlZZ-Hc.ión(2.7)y«.8.)¡esuIta
(4.28)tg2B:€L
'l' * e2\- tt'
;§l.,=-:1+
-!s'u
l1-¿2) t nemos enrorml-áiitirfi,::
(4.20)p:
"
(t
-f
senza_¡-F$ senza-$ro".n¿B_
_- ')
«rB)
Comparando It
b¡¡----de donde gü(l "os'B:-{?l}
tot,
*rn,
',u,?':iiXXX:i.il(a'gr,
*rrf;m,,.- -
(4'2s)
. . .
rsmo escribir para eI¡,: ...
8a
|:acé5¿r:''"
la
Deduzcamos
la
fórmula
aproximada paraIa
diferencia (B-
u),cual resulta cómoda para efectuar los cálculos
tgB-tgu:tgB-1fGtgA,
Basándonosen
(4.32), (4.7)y
(4.8) escribimos acosB r I Y-:n^§r.]l/
t-ezsenzB
IacosB
-
IY:¡ffisenL['
n
a(!-e')setB
I ) 1/ L-ez setz B (4.34) (4.35) (4.36) z (4.34) ^ al-bo oa--a2 1x-
az cos B cos L{@¿;gtrEl'z
Bx+.
'-{@B
a'cos B ser. Lo
DtsenB 1/ at cosz B{bzsenz Bsi
hacemosLas fórmulas (4.35) se ¡eesoribirán
o
-
a2cosBcostrp1,
atcosBsenL P ó¿ sonI
P §f.
Pnsfq*
T
EH UI{ (4.371fig.
11 tenemosX:xcosL
Y:
r.S1nL
A
continuación, basándonoset
(4.32), (4.22) X:aCO'S¿¿COSZ Y :aCOs ¿ Seni
Z:bsenq:ay l-ez
senul
i I I ( ( I I I ( ( I I ?e
:isBlt-1:--e\ttzl.
Descomponiendoen
serie (Loos
B
(admitiendo,por tanto
unX,Y,
Z
y
otre srrú€rrti¿§,Enlafig.
ll
PRrPtResüna elipse foeiitlianaen
cuyo plano sehalla'el
punto G,a
partir
del cual
se cuentan las longitudesyr
por lotalto
en este plano se ubica ql eje-de-coordenadasOy;
PETPiE es una elipse meridiana enIa
cual
sehallan
ubicadosel punto
M
y
los ejes coordenado s Ory
Oy.El
ángulo entre Io! dangsde-estas elipses meridianas es
igual
aIa longitud
geodésica .L.En
la-
error
ez)uz dey
un
reemplazandoinfinitésimo del
cosu
ordenporen), obtonemos Ia expresi6n
final
para (B
-
z) (B-u)'
=
$
p'ezsen2B.
(4.30)Una
fórmula
más precisapa-ra
(B
-
u)
tiene
la
siguiente formaR¡
(B-u)":P'lusen2B--
f
t""
4^B+ $sen
68--$'."8^a+...],
(4.3I) dondea-b
:-
leB-ls.
u'"- a+b tgBftgu'
courihnndac5.
Rebión
anÚccl
Mru
de ,¡rd¿nadns
coilafriilí";
ry&ry,
bü(4.32)
y
(4,23) obtenemos: -r,,
,
(4:33)Si
sustituimos
en obtenemosPor Ia
normal
a Ia
superficiedel
elipsoide sep¡ede trazar
unconjunto
innumerablede
planos.
Los
mismos, perpendiculares aIpiano tangente
a
la
superficiedel
elipsoideen
un
p_unto dado, se-denominañ
planos normáles. Las curvas, formadas por laintersecoión
de los planós normales, trazados en
el
punto dado, conIa
superfioie det elipsoide, se denomínan secciows normnles.Fn
cada punto sxisten-dos seóciones normales recíprocamente perpendiculares,la
curvatú¡d " de las cuales posee valores máximoy
mínimo;
estas seccionesnor-males
se
llaman
secciones normales principalesVFñEWB:p.
Fig.lt
I Como se sabe
de
la
geometríadiferencial,
en algún
puntoM
dela
superficie del elipsolde de revolución las princip"ales'secciones Diferenciandola
úItima
fórmula,
encontramos
'd,r:a
{--
sen B (L.
e?'sen'zBl-'l'
+
*
e2 senB
coszb (L- r'
seú B)-.312t- d'8,$ :
osen B(t
-
ez se¡,z B)- etz {-
(t-
ez senz B)+
e'coszB},
#:
¿ sen B(l-
ez senz B'¡-srz(
-e').
Por
lo
tanto,dzA
(,1,-ez seú B)3tz-lF:
-;ñET=4-Reemplazando
las
expresiones obtenid.as purufll ffiet
$'1),
hallamos que:nn (t*ctg¡
B)slz asensB(l-a2),rr:@.
P 0 n P, Fig. t2 norriiales son:*f)
secciónmeridiana.
Ia cualpasa'por
el-puntolkió='M
y
am-bos polos
del
eiipsoide
P
y
P1(en la
fig.
12la
secciónmeri-diala
del puntoM
es la
elipse_
PMEQTE):t,*
.F- 2J
@¡de
laSrimeraver-"tÉql, lac@o
M
perpendicularmentea
Iá sec-ción meridianadel
puntoM.
Lasección de la primera vertical está
representada en
la
fig.
12por
lacurva
WME,
{Iue también
esuna
elipse.Designamos
por
M
y
N
alos
radios de curvatura del meridiano
y
de-Ia
prifera
vertical,
respectivamente. Hallemosla
expresión para los radios de curvatura de las principales secciones norm-ales enfunción de Ia
latitud
geodésicaB. Ei
radio de curvatura dela
curva pla4-a gxpresada medianteIa
ecuación deltipo
A:
f
(r),
se definepor la fórmula
{'*
(#)'}'''
Utilizando
estafórmula
paraIa
elipse meridiana obtenemosi,,
{'*
(#\'}'''
,,,__-.=#-.
(el
signo
menosse toma
porq"u
#<
0). De
(4.2) tenemos*:
d,Í-cts
B
Considerando
B
como una función der,
diferenciamosla
fórmula de nuevo con respectoa
z
y
obtenemosd,a_ I
dBdrz
sen¡B
d,x 'Para calcuiur,
ff
empleamosla
fórmuta
(4.7)a: $:¿
cosB
(7-szser'B)-112.
Y {
-¿¿ sen¿.8
De
la
expresión (5.3) es evidente queM
aumentaaI
cambiar Bdesde
-
-Al
0"
a 90o.
.
radio de curvatura de
la
elipsede
meridianoen
los
polos (paraB
:
90") Io designamos oon Ia letra c, entoncest.
--
t(1,-e2)
:-L
"
(t-es)lt2
*
llé:
Tomando en cuenta (2.7.) V (2.5), obtenemos
Finalmente,
¡4:
a(l-ez)
-.-(l-
ez setz fi)a r'
\
c:
--7+:*:olfW.
Vl-r'
o Designando.
\W:1[l_e\ñ8.
podemos escribir\ M:"(F;\.
'
Introduzoamos ademásIa
funciónV:1t[¡;'zso-g
B.Como de acuerdo con (2.5)
y
(2.6), i entonces ¿l2va
(5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.1) (5.2) .2 ot2e'!:fui €=:úrT,
38\ t-
ezsenzB:L-#-sen¿B:Wéy
39l ., ..ir .. . .*-.. I i
v
tt a(1.{e'\l12 Jyt:--n6-.
M:#.
M:+.
(5.8) (5.e) (5.9',) de donde oN:
&l/62
s-il-ii,B
' (5.10) (5.10',) (5.1 t ), o de acuerdo con (5.4),W
y
V sellaman,
respectivamente, primeray
segunda funciones fundamentales dela latitud
geodésica; ellas tienen gran impoltanciaen
-
Ia
teoría de Ia geodesia esferoidal.Sustituyendo
eñ
(5.3)Ia
primeraexce¡trioidad
por-su expres_ión dadaen fünción
del'seáieje
y
empleando (4.36), 1afórmula
(5.3)paru
M
adquierela
formajv:#:1,
o, tomando en cuenta
la
expresión (4'16) obtenemosN:+.
De
la
fig.
{2
se desPrende, queMn:#:N,
es decir,
la longitud
del segmento de- Ia normalMn
esigual al radio
á-ecu¡vatura d1
la
primera
vertical.De (5.3) Y (5.{0) tenemos
jL:7-e.2s?l28
=yw:l+
#.
6.t2).
Mt-De aquí se Puede aPreciar que
l¿1>
rur'i
Durante
los
cáIculosse
utilizan
las magnitudes{*
t *,
depen-diendo delicaso; estas cantidades los designaremos por los símbolos(t)
y
(2),
así Para determinar eIradio
ll
dela
primeravertical
notemos, quesi ta
secciOltúa
primeravertical WME
(fig. 12) es la sección normal,á"io"""r
el
paraláIoMQS
esuna
seccióIr-inclinada, por. cuanto Ianormal no
yice
enel
pláno de esta sección. Las dos seccionesseña-Iadas poseen
una
tanfente
común enel
punto
M.
Pata
demostrarlo
antérior
trazamos p"orel
punto
M
una-tangenteaI
p-araleloMf;
esta tangente, yacent'e
en
ei
plano-MQSC,
perpendicular al-plano meridanáMEri'rEP,
es perpendiculara
la
recta
MC,
forma{1-Pott"liotám".ción
de
estos pla-nos.De
esta forma-Ia
tan§enteMT
es;;r;;di;tar
ar prá"o
aér-é"iai"ro
PMEtPr, porestó
eI plano deil-;"ilil
verticál
contendrála
rectaMT; si Mn
esIa
normal a la."f..firi.
del
elipsoideen
el
punto
M,
entoncesel
ángulo
TMn
seia
ig""t
a g0o,for
lo tanto,
MT
seú,. también tangentea'la
curvaEMW.
Teniendo esto
en cuenta,
aprovecharemosel
siguiente teorema:*;,ttrrtrt§'rLá run ff,tnti§-fu;llm"ñ¡nwl¡at¿ sr0;lffl§odd§ do§'réPof§rlt8' Eho
fu¡
g1!s
de unPuntglh&g6X",*o
nñnat
v.offa
irrcLÍnura, &crtrtoya
enfr'
ndlm"4a
v oTa
urcLlflapa, §wfuu) que. cr. Gb.'t).ttoov uuYUt'yv:'T--i*-*ccionei tic¡¿ñ
simuká¡Womente.'unat&gqntc efrntÍ*,
ctzÉoni§-t7;áií d"r;;;ú
;
e-
k
-t¿rr¡ t6"
i,¡u I ¡¡tada e sI
sual
at'ffitis,-WW:
nor"etmvntd*l
trtgut'üÍnmado
ooivergenres. 'Descomponiendo 'DpscomPonrenc
(l
-
,'senz
F")-elzy
(5.10), desPués valores numéricos tes.v
de deen una
serie bonomial
los
denominadores-1t
- ,'
senzB¡-ttz,
en
ias
expres-iones (5;3)"'Inrom
transfármacionesy
de substituir
los'
-l&
elementos
del
elipsoidede'referencia
deloi
J."
"t
"udiod"I
paralelo r- se_determina m.ediante eIradio de
cur-+rt"r,
de
la
primefa
vertical
I{
utilizando
la
fórmular.:N
cosB:MC.
Tomando en cuenta la expresión'para eI radlo del paralelo de (4.9)n
cbtenemos
40
acosB
---=
=-!c^"8
§(rasovsky
en mettos,
obtenemos:'M
:6
367 558,4969-32
072,9605 eos28*
+
67,g723cos4B- 0,14{9 cos 6.8 +0,0002cos8.B-'''
5
:
6 335 552,7 1.70+ 63 609,7883 senz Bf
+
532,2089 sen4B-¡
4,1558ien6 B+
0,0317 sensB
-ly':
6 388 958,4431-
10 726,9320 cos 2.B*
+
L3,5077 cos48-0,0189
cos6^8+'''
-:
6378 245,0000+21'346,74t6senzB*
:+
107, {586 sena B+
0,5982 seno B+
0,0033 sens BAnteriormente
han
sido
obtenidaslas fórmulas para
los
prin-,cioales radios de curvatura, Ia deducción de ellas se basó en
el
enfo-.qüe clásicoaI
resolver problemas-de geodesia esferoidal. Teniendo.ü
ouentala
importanciá de las fórmulas obtenidas, así como tam-bién consideraciónes'metódicas, damos a continuaciónla
deducción.d.e las fórmulas para
M
y
trf empleandootro
procedimiento para su"obtención.
Utilizando Ia
conocida descomposición deEuler
para las tuncio-nes exponencialesen
una serie de fracciones(1*y)':t+++
(r-!)u
+#*
+9*+...+@
znt,+W+....
(5.{5)En las fórmulas (5'20)
y
(5'21) Ios v.alores de Ia'variablo""d;;;;"-
1sli
I
toii
"ttpé'tiv
amente igualesa:
A
:
-e2
senzB e
tJ:
e'2 cosz B,v
eI valor d,e'¡:
ll2.
'
"P;e;;;por
Io tanto escribir:L-
O,l1ezsens Bw
-
1;:6p572;;¡t§,
l*0.75e'z cos'| Bv:TT6W;ñT'
l-7.25e'sefi Bw":TñA#;ñ¡,
l*'!'.25e'z cosz B a!ó _ '' r -
L-4.25e'2coszB'Ias fórmulas (5.18)
v
(5.19) qdquiereneI
siguienteas-ffi+:,ffi#,
L-O,Z1ez serz
B -
7{0,25e'2 ooss BN:a-;iilWWZ:c G1JW@'
Podemos demostrar que
eI
error -absoluto dela
expresiónapro-*i*ráa
(5-iO¡",
igual
at=;Odulo dela
diferencia entre lasfraccionesconsecutivas de un
*lráo-tipo
y
puedo ser caloulado po4Ia siguiente fórmuIaa,(y)(á[ffi*r¡,
(5.28) donde eI símboloA,
indioa que eI error es-ta en corres.qondencia con r^^r^-
+Á-*i¡no,lo Io oa.io do?rqncinnos- esdecir. conlafórmula (5.16). ["r*JotiZ"*i"os
de lá serie de iracciones, es decir, co-n la (5.16.16).-""á;;;;;,
en las
;ñ;";i;;s
(5.20jv
(5'21)
las
cantidades del"r"¿*rdó
c1e Ia excent"iáia"a e2 (ó'e'2)iguai
a 0;0067, para cualquier
valor de Ia
latitud
B
obtenemos:.
az
ty)<*
Z##f"r-<
o,e'to-8.
De esta manera, las fórmulas (5.22)-(5.27) garantizan eI cálculo
de
de
ñ
;ü"tñd;;''W,-V,
M
y
N'con'suficienteexactitud,
es decir' hasta 1.10-8.Ñ;1;;;.,-;o.
Irt
fórquias
obterlitlas (5.26)I
(!'zZ¡
d'eM
v"!
uoo
.á,
cómoáasy
seircillas para efectuar los cáIculos en computa-doras, que las fórmulas (5.14).1y
:1|TQÑB
:
(L-
ez senz R)r/2''Y
:1/[¡TadszÉ=
({+
e'2 coszB)'t' '
M
--a
(7-e')
l
I I II
(s.t¿) (5.16)cálculo para
lasmatemáticos que que
en
donde, de Entonoes pecto (5.20) (5.21) U' Pro-(5.22) (5.23) (5.24) (5.25) (5.26) (5.27)La
descomposición de (5.15) converge' corno es conocido, en todo ,oI plano complejo de la variable y, cortado porel
eje-real desdqy-:
:'-t
hastay
:
-oo.
En eI oaso de que y sea positiva real,la
des-composición (S.fS) es aplicable para cuáIquier
valor
del argumenlo y.Pará esto es suficíente tomar
la
cantidatl necesaria de términos de la.serie de fracciones (5.15).
timitándonos
a dos de ellos, tenemos:(1*y)'*+ff+ff.
A
continuación, usando conocidos métodos de fracciones,omitiendo detalles
de los
cómputos :siguen, parala
expresión (5.10) podemos escribir(r+a)n,,ffi
Aplicando
la
fórmula (5.!7) para calcular las cantidades¡podemos
indicar
a éstas dela
siguiente forma:ltf-#:#,
¡t- o.-cw v'
.42'(5.17)
¡¡tI,
.
(5.r8) (5:1.e)O
§ O. N.¡,PTO MEDIO
DE
CURYATURA:'
Se llama radio medio de curvátura en un punto dado de la supsr'fi§ie,
al
Ueit6do.la
media aritmética de'los radios'de eurvaturas $§iáláái"*J
nor-ri"ii
áo**raoáttt-Áfo:
a"'¿rto¡,tiends'
ü :lnlinÍt$TSea que
en
Ia
fig.
13Ia
sección meridiana eneI
punto
M
está represenfadapor la
1íneaPMPr
y
Ia sección de-Ia primeravertical
pór WMO. Iistas
dosson
las-secciones normales
prinoipales,
las óuales poseen respectivamenteIa
máximay
mínima
curvatura.Supóngamos qüe Ia curva
MA
rcpresenta una sección normalcual-quiera en"el punfo
M
dela
superficle del elipsoide, dada porel
azi-mut
r4., es decir, Ia sección qué forma un án§ulo Acor, respecto a la sección meridiana.Basándonos
en
Ia $órmula deEuler,
que estableoe Ia dependen-oia entreeI
radio
de
curvaturap¿
de una secciónnormal
cual-quiera
y
el radio de curvatura deIas secciones normales princiPa-les, tenemos:
' I
cossá
,
seut.4E:a-T-T-'
de
donde MN P.{:
:F6FZft
señq-
.
(6.1)Supongamos, que.á toma
su-cesivamente
los
valores:0,
A,A,2LA,3LA ,..2n -2LA,2n-
A^á,donde A-.4 es-una magnitudpequeña. EI número de estos valores de .á será igual
a
ffi.
Calculemosla media afitmética de los radios de curvatura de todas estas secciones
normales, trazadas desde
eI
puntoM
a travésdel intervalo
demag-nitud
LÁ,
y
designemos dicña media aritméticapor
.R1'Obtendremos A:Zn-AA
¡MN
lJ
ffistffi
sent;4-.lt:O
De esta manera hallamos que
nl2
,- 4 I
MNn:*
l5.a6
a*
Dividiendo
enla
fun-oión^que está-bajoIa integral
ely
,I-droo*inador
por
.l/ cosz .Á, resulta querrl2
MR:2ln
I
"o#n
oo.
rs
l*f
tg¡á
Saquemos
del
signo
de
la
integral
I/M-Ñ
fl2R:+{ñ
I
0 .6 n -- F )lR:3-vñ
|
-d!
-"- n
"l
tatr'
0-tr
dAT;of/'-,
p Fig. 13,T-"-
§
2n t^1,.-
,,
IDesignando
{*
tg .r{por
mediode
ú, obtenemosIntegrando'
sehalla
6 ' o -- I:
R:+V
MN
Iarctet.
0Sustituyendo
los
límites
tenemosR:+{Mñ
+
y,
finalmente, o A:zrL-^A§r
MNLAa @ñq
Á:0Rt:
M
_ I ,:De esta forma de acuerdo con
la
determinacióndel radio
mediode curvatura
fi1
tenemosR
:
lím
"Rr
cuandoAá
+0'
WyVasíz
Como es evidente,
enesté
casoel
slgno»
enla
expresiónde.Rl
' ': :
'riri
''f.O: "{#;*" =#:#
debe ser reemplazado por
eI
signo de integracióny
AA
pordA' ,'
t-
-numerador
(6.2)
(6:a)
,.
45
f
Así.
áe (6.2) sea.iro"
qT.
eIradio
-.lio
decurvaturu pu""
IiIl
I
ountos'del blipsoide derevolución
esigual
a
la
med.ia geométrica II
he los radios de curvatura'de las secciones normales principales, las ¡l{
secoiones meridianay
de la primeravertical,
trazadas por este mismoI
I nunto.
'
->
f-I
*
pt
radio
medio'de cu¡vatura se empleaaI
representar partes delh
U r"p"rficiL
d=el etipsoide'Sobré.eT'Élofa; ¡iI oalcular los exeesosesfé-l,
H*'ñ;i;""il;ffi'"iffi"irá;t-p^*
ri¿os'ile' Ios triánsu-Iosy
en'o'tibi
ó{s6s.*a
llir'soiae
de K-rasovskv poreI'
-fSléÁCrti V
C*t"grrtía
y
el"Departam-ento Central de cáIculo,.,seá*o
uo losintervaio a" tátitod
déun minuto
los logaritmos de ({),f2)*).
,Rv
tambiénel valor
dela
funciít
V't-¿
Éi.|.
Li."¡*.*L.udir
"de.«xnqn*,
{e
: B-. ñEsi6n; '-ü6ñBet ¿e-niii¿l-p"d"#
"-pf"*i,
r*"¡t-e¡ut
rs
fe!§ul&
1O.t¡.Al
rea-i;;-i"; tífá"t*
praóti"o.. utilizando
transformaciones senoillas,o
d':aJffi6="$*'{2-aa'
La
lougitud
tlel
arco de meridiano entrelos
puntos queposeen
htit"d^r;'
i
B,i'
Ia
siguiente:s:\o#ffidn:a$_.")T,#
(''t)'
Bt
rco de
meridiano so reduce',,
*iil,,:J
;i'ix'i"hll,Tüf,"lt*
$t't1'ü
Tnerrqrarru D'i
J
¡=;*'"aztm-
)
w"
Ia
cual,
eomo-es sabido' no-se.Pyede-tr"'olver mediante funciones elementales' Para-táii"i^-
"f"
integral
señalada descompongamos[i]ftTi*Hx1?"hftii.i-.+l*t"'***'ttw'"nunaseriede
-L-:ft-ez
sel*B)-'tz
:
| ++ezsenz
B++
eLsena B*
ws
i*eosenoB*
ffie'senaBf W
"osenroB+'"
(7'2>con el
fin
de simplificar
rosfuturos
cómputoslimitaremos la
serie hasta
to.
*iu#¡|"*';;
-;t'
Los
senos cón exponentes pares'qne se incluyen
*t
o.r"o*poner
Iat"l::ui
fr.'"
""",*1'^"1
los reem-plazamos por los oosenos
á"
"""o'
múItiples'áe acüerdo con lasigual-dades:
senzB:+-lcos2B,
llzar Io§ uaruuruD PrqvvrvvD' '---a .'
A}].uji¿"["üs
se $ueden representar más fácilmente de otro modo'Rz:MN:+:#.
JVPA-
l+Iscossá
t (6.5) (6.6)o
§ea 'donde.rl:
Gco¡,B',*"T;;'"erLrli
*"noE
sxastosr !gq...9lror'os e4los
t'6rnoines 4et'
Ia
fórmula
(6.1) Puede sertranffi
'
resfecto aIa
superficie delelip-\
soide de referenoia.*SFGÍrfg¡P
DE
LA II)I{GIflI-q. lE
;.ur,_r"acp,DBIEHD}ffT
Sea
.4 un
punto
dela
eliPsemeridiana con
latitud
B
(líg.
fíl
Tomemos,
a
una distancia
inli-nitamente pequeña ds d.el PuntoA,
el
punto
./.1,que
Posee unalatituil B
*
d,B; de ta1 manera'Ia
diferencia de las longitudes deA
y Ar,
correspondienteal'
arco;de meridiano ds será
dB.
Considerando eI árco elemental ds como eI arco de una circunferencia deradio
M,
obtenemosds:
Md'BD
'1
Fig. 14
sena
B:'+-f
oo,28++cos48'
Ahora
la
fórmula
(7'2) adquiereel
siguiente aspecto#:t
++*(+-4
**(*-*coslB)++
f-* (*-
"
\+-i
31
|cos2B*
+$"o'
4BI+
.",
#
t
:
t++r'-t"
3I
e, cos2&+
#
45 ,.
ar
e'-al9
L'I eL cos2B*
+#eacos48*
.'
'+r:+(r+{"+A
urrr+ff"&+
...)-
(+
*"'+#
*to+...)cos2Blr
*l
N. d,et ?. Las expresiones-(1) v-(2) souutilizaSas en Ia fórmula (5.13)'la cudl le resuelve con a'yuda de lás táblas mencionadas 46
(7.3)
4T
p
¿.:
R
(t
-*
cosz B cos2á)
(6.7)f,, fOr-"fulL7)
seutiliza,
por ejemplo, al calcula;-la correaiañ---
-;-E-***
..
i#;lit'Jlulñ"'i3"i:"il,t","'i
-o""*'""''
::_,.-i::E:..
\
(?4,
*,*$:{i;gfr#$};ü*tü;"I,$j[ffi
i
"",-l--"."r;fiil::',";::3;
*",,"
(?5)',******;****t***,,**"":t***
!
'
lj#iir'*"""t"*7lf;?Íi
"0,",u*.*,
oonra
eiacüitu.
:
"-,n-rr'J,,
-'Bao62l+cco¿48-"')dB'
(7'6)
ffi
rntsgrando
térmitro
a r6.ñitro,
hanasos
»ida
e
:c1l-a¡
{(ll+
}'a'¡l
,'-i1-
I
, -oti-
ul
{otur-e1¡-$
1*"za'-sen2at:)+
-{
e'¿sen(B¡-B)
oos (B'+'J}'
I
+f
{""o
air-""oatr¡-
.,
.\, lt.tl
}raseúos
s6s
(8,_BJ:(a¡_BJ_
(s._r,F
:
fi*ffimffi,tffiffil,=-lffi:"
dE 6s¡amu.rÚ
@u",."-
a(7-e'\(n'-u{t
+
i*-}e'cos'28-¡
c¡:a1t-e1{a1-$sea21+|sea4t-"'},
{r'a) -'-':
.,,-
r" r.rihrd
Bnuealo
¡[-"'1Br-
nr¡'oos2e*\
'
t
S.Demosunafórmu}amássenci}Iaycómodaparalos.cálculos
a"
iá.lriurgulaciones
cuandoios
lados son de poca importanciay
rara
veztrf.ruo
los 40ó
50km,
para esto designamoso En oonsecuencia, para.las
tonsllu{Trde
un arco menor de 45km'
i1^,emos oonsrderar
dI
mirmo
como e-sférico' conun
ángulo óeritial#l;fl;il-ditér.ncia
de latitüdes de los nuntos extremos'v
con nnñdio a,
]a sección meridiana que correspánde ala
latitud
media deio'?,0,
coeficientes
A, B,
C'
obtenidos antes durantela
deducción,ie
ia
fórmulapara;i;¿'-áe
+eridiano'
tienenet
siguientevalor
pl"á'JrtiPsoiáe
deKrasovskY:r
'D
:0,000
00002081'En Ia
tabla
2,
Para su con§'119' se daua.
il.tiáir";-;;tf
elipsoide d^e.Krasovskv con una exactitud de hasta deu'l
m'
'B-= B'!B' y M*:
uln 2
Introduzcamos
el
valor auxiliar
0
-
¿r 5sñz B*It¡z'
ID D\2, 4
sr
:
ru
*
%n-
:
a (L-
r')
(B,7il1
h,
el
oue. es evidente, representa Ia longitud del arco de circunferencia;;"=;hü
ie"ur- ui';,udío de curvaull-de
mgridiano en un punto cootatitud
p"áia,
Basándonosen
(7.5) 'escribimosr,.,l-r:o (7-e')-+#-(A-BcoslB*lC
cos4B*)'
Sustituimoslosva}orestleloscoeficientes'o:u,,
tt:
a (7-
si¡@a:Bt)'
{(,
* *
r:'+
#
'n)
--
(*
,r+ +*
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fi';i
"o,
+a,,)
.
(7.''2'l
Comparando (7.'!2)-:pp:,.
(7,1Q
gbtenem.o§.
:.,i
s.=q.
+*ffi
e2cos2,B*(B,.:Br)'r.
Suponiendo que
en
eI ,térTr\inoxgrregidode
la últimt
f:11"'*
a.(l
-
ez):
M^,o
seadespreciandolóstérminosdelo¡den{rel
(Aa;-las lonsitudes
de
a¡cosfrra
,igunas
latitudes,, ¡: ..
.
Tabla 2-
Br)'s,
obtene:qoP t'_...,s
:
4!^-t8';P'I-+
$
r'
gouza*
ffiff
ii.
La
fórmula'firr"I pai^
el
'áalcuto de las trihngütaciones tiene la,pllll'-
.'
t:§:
:*il"'.:
siguiente
forqA.
. ,.,.,:u*9ff1t
+
'
togr:togl&G)#
*k(Br-Br)'2cos2B*,
donde
,,
logft1rog$$
e2,73,9315-ro',;sff"""2i^f.'
(z.ra)
_
"',,i,u
fór-ota
(7.18) esúti1
paradistaícias
del
orden de 400 km(para s
:
4OOkm admitiendo un error máxim9 d9l orden 9aft*@,
--
nr)rs
se obtiene'unerioi
de áprximá¿aménté igual-dI
mm en elvalpr
''*-b-rr,
de
s);s'k
45.: km-el
váJor"dólmie¡bro
.de -correciónt"^t"
*:T9I
L
T-(7.{5}
d-e
i;;;"ñ",F
l,*
9"ñ;nt".I'e1.q"
|esqieqb11:*.I' [T.jJLPI?É'"
a"
I
-á.. pi.
eto las correcci-Qnes' de los miembros en (7'f 3) pueden dbsucliaisó';y.lós dálculo!'n'ós'c'dndücen a .lg. siguiente tÓrnrula _,.
,En base a Ia fórmula
ti-.t+l
se pq9d9 resolver elprobleqa:"í:ti;;
artl*iü,
1adiferencia'de'longiiud
de los puntos extremo,r.ár, á"áiante la
lopgitud
del-- arc,3v
sulatifud
media.:,
..,....:
(Br-Brl."*fr0':s(1)-:
' ,
,,(''16)
En ia
pnáctica con frecu'encia se resuelvéel
siguiénte pioblemat§1."í;üa;,i.iá,
f,
f"¡eitúá á"
"¡
primer,punto-_Ai,!rlrdistancia
,
l;ffip;
iliá;;á;
;;iidi^h"
s, hasta un''sesundo-plntó ilerineri-[rirá,'3."
;;;;;;
áát"".i",rr
{a¡'lqtitud
deuir
segundopunto
B''
Ii)r:-\
68¡
§.:.,M
l, t,i(-;
5!
Longitud,del arco de nerldli|n9 en:m
1{0 576,3 1.70854,4
lLl4'1.4,7
111695,8
Después de transf ormaciones elemóntales r-a tó1mqia'
g:'?[Jlt*¡
,
r." á"iiioo
losuritÁlco.
El
qúmero retenid-o ds mi'ep'bros'Qug.garan:iizan
eI báiculo-de ün arco hasta 400 kmS de longitud es'", ,
,: : ,;¡,..Paradeterminar(Br-Br)empleamoslafórTula(7'16);.sin
".¡urgo
[a-difereniia'
buscadá -(9¡--
81) no
puede so,r:
.calculada directamente
por
estafórmula
ddbido u -qU. es desconocidaIa
lati-üii;;;;ááiá"i.
ia
cual debe ser calculádoeI radio
M*
o tomddai;;"-"iih"d
iijr
¿.
lastablas.
Consideremosla
solución de estepro-bt.*;
;¡Idaláo
eI
métodode
aproximaciones sucesivas.- E;
la'primera
"pt*i.*l.ipn.se.oaloula
(8,
-Br),
utilizanrlo
o""r-1"
cletérminación de (1)la
latitutl
del primer punto,y
se obtieneáf
*l;t
aproximado cte(8,
-
Br),
es decir,Aoliquémosle
a
la
expresión (7.17)la
fórmula
desimpson
(for--"i;"á;h
p"*elotr¡,
divldiendo óon esto elintervalo
de integraciónen
dos partes; entonces se puede escrrbrr que:,:+
gvlt+4Mn*Mr).
(7,f e)
'En
la
fórmula (Z.lS)
el
radio de curvatura
IVI se determinael
tr"Jp:""["r;"1;il
,t; -íreridiano buscado,, en elcomieoiglla
-tl'.d
íái*"i' -n
ar¡eslo a laq-latilr1tt¡s. B-1,Brt
.B*.:
!12.(B]
*
B,)'
.
i,.h",á.iinitiva-
ialexfresión
(7.18)' adquierela
siguiente formadonde
r:#:8080
2pl.ls-nn
2:
Mr*4M^* M,
L,B,:(Br_Bt),.
Para las distancias s de hasta 1000
km
la
fórmula (7.19) garantiza el cálculo dela longitud
del arco de meridiano con un error del ordendela2cm.
Para
controlar los
cáicuiosdei
arco de meridiano s, éste se debeobtener como diferencia
entre las
longitudes de los
arcosde
meri-dianoX, y X,
desdeel
ecuadorhasta los
puntos conlatitudes
82!
Bt,
es decir,s: Xz- Xr
Los valores de
las
cantidadesXr
l
X,
se toman delas
«Tablas oarael
cálculo
de las
coordenadas planas conformadasde
Gauss,hentro de ]os
iímites de
latitudes
desde 30" hasta 80o».Ejernplo.
El
cálculo
delas
longitudes delos
arcos de meridiano medianté lafórmula
(7.19) entre los puntos cuyas latitudes sonB,
:
:49o29'
58,938"Y
Bt:
45"30'17,221", resultaB,
4dozg' 58,938'B,
4530
17 ,221.B;
4730
08,080t',
ZurZ, o{u',3{nM;
6 3725ll,4$
;
i\i
3 3í3 333:?31"»
38 221 727,817¡r.) '
30,884 0275¡fr
,.4 38r,717s
t*44 165,M3 mControl mediante
la
tabla:paral
latitud. Bz. .
.
X2:5485298,588
mparatra
latitud
B;
. .
.
X¡:5041
[fi,243
ms:444165,345
m|'
'
S. G{,LC[}úO. ,PE,,L4+ .-ITONSIIUDDE UN
ARCODE
PARAI.BI¡¿
EI
paralelo enun
elipsoide de rev-oiución es una circunferencia, por estó eI cálculo de un arco de paralelo se reduce a la de-terminación deun
arco decirculferencia
en base =a su ángulo'central,el
cual esigual a
la
diferencia de longitudes de los puntos extremosdel
arco.53
Bz- Bt* (Br-
Br).(Br-BJr:§(1)r;
(Br)r:
Bt*(Br-BJr'
luego
Con este valorde la
latitutl
delsegundo punto se caloulala
latitud
me¿ia aproximada
(B-)r: ry;
utilizando
Ia latitutl
media anroximadague
hemoshallado
(B-)r'
hallamos
la
diferencia
deiffiiffir iB,--
Br),
y
la
latitud
média
(B^)r-en
la
segundaapro-.iá*i6".'Aialogarminte
se calculanla
tércera,la
cuarta,etc.,
apro-*i-uáio".r,
hasia
tanto
dos aproximaciones contiguasno
resulteninfr;i;;ñit" l"
Ios iímites deia
exactitucl dada; éstas serán ademáslis
aproximaciones definitivas'Anteriormente se
dio
la
solución universalmenteadmitida
parad"d";;il11r*"t"
ile la
longitutt
deun
arco cle meridian-o, basada;-ñ;;".fori.iO,
en serió con arreglo.aI
binomjo deNewton
deiifi-ü6i
i7ii)
qo" se halla bajo la integral, y su posterior integraciónmiembro
a
miembro.-*D;;;
l"mti¿o
de manera diferenteY,
Por supuesto,aproxi'
mala,-otra
solución dela
integral
inicial
B2
r:\uaa.
'Bi
(7.t7)
(7.18) iil tfi Itl B li t,-'52 ;ti,i,
:sr¿ k»LB',
El
radio
del paralelor
se determina mediantela
fórmula
(4.g),quo
¡losee
Ia
siguiente forma:,
q
r:
y'fcos.B- -
a cosB
-
acos B-frffi-:_-W--
(8.1)l,
:
(2) s,. secB
(8,3)Esquema de resolución:
La
longitud del
arco de paralelo s,,_que poseelatitud
B
y
dife-::il'll
"il
l"#if
fr"'#tre
sus'
Ñ
;;;
"i
at'
o'" - 7 ;;
;;
;
;;
e v íd e nte,s':
lY cos B*f-:
{tr¿
(8.2)De esta oxnresión obtenemos fácirmente
ra
diferencia de rasron-f;
i:l#,¡.,9,*
p""to"
-a"-i"
p*áréüil"
-i,iit"l
ál-;ir;ff
".
a
una I'B
N cos B ..lil''
iNcosB
UP' l" /p" .,§p 0"/+5' 46.882' 54032'lg',354 66o392'453,954' 0.5801 5280 32746,882 484,8L37.L0-L¿ 3 708 600,002 0,0133 1726 49 388,390 mControl
en basea
las
tablas:para
B:54"32'19,354'
b'
:179
798,002lsp:
bt.lo:
17 ,979 8002.2 746,882scont.
-
49 888,889 ml§Divergenoi, s$"1.-scont.-
{1
mm.!En
la
tabla 3
se"pued.en observar las_longitudesde
los
arcos de3#3i"r,:
paralatitu¿ó"
¿.'á"-áó;
illr#
z¿;-.""""i
"riiloiii
¿"
x,"-
t-EJempto, Calcular.
la
longitud
del
árco
je
pa"atetoentre
lospuntos, situados en dicho
pr"-rt.lo,
sila.citaaa
difd;;;
ie
rongi-tudes entre
esüospunroi
y
ta
i^tit"a á;I-ü;i;ñ"_T
!oo,
¿:
-:
g:4sj6,88?"
y
a
:lt.eí,
$lli[]."'
vorrrrcar
la
solución mediantela
fórmula
gecontrol
so:
bll,,
utilizando
las «Tabrasp"r,
.r o?trrü
;"
ros pranos de cooidenadas
§fi#1-rars
de Gauss,pñ;
J
iü""i,"ir-ae
latltudes desde 30. hastaLlngitud de¡ "r"o dá
piit.lo
en E 30 40 50 60 70 96 4t)9,I
85 395,3 71 696.9 55 800;e 33 t97,2§4 $r,tÁr.¡cúro DE
teB*&tm
IOS TRApECTO§Dnor¡iÁNtfütlfifrtf
m6ii
É'slco-ElcáIculo del área del trapeoio de un levanta.misnto
o de la
super-ficje
delqap?
se hace det_erminando partes dela
superficie deleiip-soide,
liaitadas
por
las líneas de los meridianosy
delos
paralelos.Tomemos
en ol elipsoide
D(fig.
f5) un trapecioinfinitampn-te
pequeíioABCD.
Los lados delmism.o son elementos de arcos de
merldi¿as
y
paralelo,
y
serániguales a:
AB:CD:MdB,
AD:BC:NcosBdt.
El
áreadel trapeoio
elemen-.--tal
ABCD
designaáapor
df,
seexpresa
por
la
fórmulad.T
:
MN
cosB
dBdt.'
(9.I).:.d,2
-
ZnMN
cos BdB
:
2nR2 cosB
d,B;o:
d,z:2nbzffi.
tiene, si en la fórmula de d,T, el valor,dl se
süstituté
por 2o::o se .(s.2)