• No se han encontrado resultados

000 1 Geodesia Zakatov

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "000 1 Geodesia Zakatov"

Copied!
14
0
0

Texto completo

(1)

II.

C.

3A}TATOB

}IYPC

BbICMF,iT

fEoAESVTVT

P.

S.

ZAKATOV

CURSO DE

GtrODESIA

SUPERIOR

..,: :{, i .á -! ll, |'|i ((ll 'tir ) Iti

ll

tlrl

l*,

lrlitt'

l,,r

ln,r

l*o

l,o

lo

l*r

l,s

l,Ü

lc

lo

Ii

ll:

[i

i: I43AATEJITCTBO «HE,[PA»

EDITORIAL

MIR

a

(2)

r

,

esféricas del punto 1l1:

AMt:

P,

,

F**,

coordena.da

","orruYuJ;;

determinan

exacramenre ra

porrorón

del

nunto

M

sobre

r"

."Jrríi"i"-á;i-;ñ;;;d., ,;

son cdno_

glda¡ las cooráenarrar

g.oJ¿.i"i.

rivT't."

otras que sean equivalentes)

dol

ortsen

A

de las

;J;;iá;l;

Ér".irr"-,

á"-.rrrá""rlr¿

as

(p,

q)

tlcne

mucho en común

"oo

.iriá*u

ñctangurar

de coordenadas en

¡l

plano.

bxlgten

además.otros s-istemas de co_ordenadas curvilíneas

esfe_

roldales que depende"

¿"

ir-áü"éi""

a"i.j;-a;;r;;á"ou¿u,

v

¿"r

o¡don de cuenta de las coordenades

,

.

G.-¡ovwfe6&L(,respL{,na,§,,Én]a'prácticaesindisperr-¡¡blo

conocer las coord."ría"r áá

íár

ñ"tos

de la red geodésica situa-do¡ en un sistema de coordenadus cártesianas para que puedan

uti-lhrr¡e

fácilmenre

t".

d;;;r s.;;:r"ilü

-ur

llevar

a

iabó

diferentes üfpor de.trabajos de proveccié",

a.

,.gtr*."tr?i¿"

áli"rogi-".,

a"

thrr¡,

etc.

Esto

conileroá

I,

,".e.]¿uá

a.

i"t"lJ*ii"prJir.".io.r*

de

*

auperficie del elipsoiaó

;;;;'il

ü;rfffi;"ünI';?sto

es, a

leprolentar parres de rá superficie de

la

rilrra

so¡i;;;;

Iuperficie

phna

de_acuerdo a. una déterminaáu

l"y.

Aotualmente en la uRSs

h;

rid;;;"piada

ra proyección d.e

Gauss-l,rd,scr

o

ststema

d.

;;;;dr;;;;;"r;;;tr

ptánas reetangutares

en

ta

lii!,::3',\#":'#:'{:-vr:::,#f

'#T,-:',1¿l","ll:k*ffi

"io;""aT

de

donde

dubzÍ

_-L- -d.x az y' (4.3). (4.4') Comparand.o las expresiones

$'2)

V

(4'3) obtenemos

tg

B:#

+

La

ecuación

$.a)

ex¡iresa

Ia latitud

geodésica en función de las.

coordenadas rectangulates

r

e

Y' P M

l:-"

-=\

N

0 n

ffMt

E Pt Fig. 8

Para encontrar

Ia

dependenoia inversa, es decir, para expresar

r

e A eD. función de Ia

latitud

geodésica B, recordemos Ia ecuación (2.7).

Partiendo de

Ia

expresión (4) podemos

escribir

' tg

B:a#ry

+B

--X

¡

b

¡

1.-ez

Y

z' (4.5\

)

7

¡

I

)

)

)

I

) ) ) I

I

*:tr(90"+ B)\

-cts

B.

(4.2) Expresemos la primera derivada

ff

en función de ras coo¡deiadas tcotangulares

r

e

y.

Diferenciando'i4.1)

obtenemos

$=ffi:0.

s0

a:x(l-e2)tgB.

(4.6\ Volvamos a escribir (4.1), sustituyendo y de acuerdo con la

ecua-ción

(4.6)

obtenemos

Í2 , t2 (L-ez)z lgz fi a

Af

r

arT-;T-:

t.

Resolviendo esta ecuación con respecto a

e,

encontramos:

-2

;U+(.-ez¡tgz

B|

--1,

Í,

{{r+

@'B)-r,ffi):o,,

a sen-B *

-

{T=;rfeT5E

' (4.7) 31 (4.1')

Es sabido oue

la

tangente

del

ángulo, formado

por

la

tangente

r

la

curva

"r,

,ro punto

Ard;

y

;I

!"ñi":.

positivo

de

las

#:t:;::

u

la

primera

derivad

a

fl;

d," esta

manera

¿§BBr,acro[

s

srsrEuagn

rgcodáriica

B

A

b

ewrd¿nad,as

s

c

u

wq.fu I .purtto qw,

*-

ü;iñiíififfi

To_

"1.

n or I a. e I i p se m e r i rt i a n

;;

ñT;ffi

";

íí#

iw'

ff

ff.Tffi

ñ

;:f

i;

aouación

de

esta eirpse

" -Lu'-

¡ az t b2 -L'

(3)

Errb*--Para encon1.rar y.reemplazamos

en .la ecuación

conrrado para

,

""

r¿.ii.iri";i#;";;

obrenemos (4.6) eI

valor

en_

-1,:{.l'l_4l!9la

V 7-ezsenzB

De

la

fig.

8 se desprende que Ia abscisa

del punto .4/

fi

: eMt:

MC

i'rl.ii

ffi,:Jr'f]h;"u:l

till'"",,"'

que pasa

a

través der punro 1r{

(4.e)

D

"

i;

ii*]l;'gti"

H-#ffi

fi?fs?#uro,i

\

2::'f

bc_&6b

awe

,ld: iattfud,§aod,6sgegüsica

B y

I

e

Ia

exbres.ión

a latilud

para_

la Iatitud

gcocéntrí.ca

e.

áeoc6n.

-1

,rJt=poniendo

el

cos La

-, -

*r,

en una

.."i.

¿.

,;r;f

obtenemos:

sen (B

-

(D)

:

e2 sen

B

lcos

B

+

(B

_

{D) sen

Bl,

.

sen

(A

._

(D)

:

e2senB cos

B

+

"r(B

_

@) senz.B.

El

segundo

término

del. segundo miembro en

la

expresión obte. nida es una pequeña

magnirud de

orden

;' d;ü_"rtí¿

iA

_

O),

de acuerdo

a Ia

fórmuli

(4.r2),

resurta

una

pequeña magnitud.

de

ordet

ez).

por esto' si en el segundo miembro de ra

ecuac ión (4.12)

reempra-zamos

el

cos (D

por

el

cgs

B,

enronces

á;rpüñ;l=ií

Érminos de orden ea. Con este grado ae

exactitrra

-'---*r" '*

sen

(8-@):#

ez

sen2l.

Descomponiendo, sen (B

;

O)

en

una serie

y

limitándola

al

primer

término,

obtenemos

la

fOrmula aproximada

(B-@)

:{p,ezsen2B,

donde nuevamente

ha

sido cometido

un

error do orden ¿a.

se

puede

apreciar

fácilmente

que se obtiene

,i-"ul-*

1ra*iiá"al,

(a

_

6¡r

pu1!-

=_45":,

En

eite

caso

(B-_

ó),

:

fl,Af-'*"

*"

t

una rormula más exacta para

(,8

(D) tiene

la

siguiente forma:

127, pág. 24)

(B

-

@)"

:

p,

L*

srr zB

-

4fu

sen 48

{

+TÉry

sen

6a-(4.8) Fig. 9 geodésicas

y

geocéntricas

11,:1..1

funcjón

d"

i;;

;;;;;;:

oasrectangularesrey.

rs

@:+.

«.to)

.,

Jasándonos

en

la

fórmula

(4.5)

obtenemos tE

B: U

'1'

"

¡ (t-ez¡,

t

por

lo

tanto,

tg@:tgB(l-er).

(4.11) Fncontremos la expresión oa_

_

ra_

la

d,iferencia

d"

ií. i;;;;;t;,

R

-

@.

De

la iórmula

&.ltiiá;;;r,

'Ef!8rJo¡n;*a*a,,Je

GúürdÉ-

'

r6úidt,f'&9,ffi

Designandó el

radio-victárU

P M

"{l\

o I X (4.13) (4.14) , I I I I moS escribir: (

(

(

(

(

(

(

(

(

(

tgB-rg(D*

eztgB,

sen (B_ O)

asea;ti

-ettgB,

sen (.8

-

O)

:

e2 sen.B cos (D.

p:lti@.

¿:pcos

(D;

u:psen(D.

Sustituyendo esta expresión

en

la

elipse-aeridiana

nemos:

P2 cosz (D

,

Os sens (D

---;t-:-

a-n7=q:

l.

.

Resolvemos

esta

ecuación

cqn

¡espec!

o

a, p:

;,.k¡cgs2

(D

(1

--ea) +senz (D)

:

1, ^2, Y ¡a

;il[b.

(1.'.-e2cosz(D):

{,

(4.15)

(4.{)

obte-(4.12)

ifl

:THlt

i"" "

1"

Hfl

:"':-

i*:

I

1:'

i].

I:1ia

u,r i I y ar I

a

e

n

r á p r á c r i c a

lo:gru

el sen (B

-

co)

se;;;;;i;rf""

uf,ulzarra en

práctica

a

cáusa de la-pesueña rlifo¡an

tiq

tp *l

{"

B

y,@.

si"

"m¡rrgá,

i ;i

Tá",1'r,?.

n#

::

l":

"i

"i::;lp

"

r"

:,t

j :

j

I í,', fl

;

ji""

"

*?3Hi;

más

adelante,

no

s

_^-:.",rwrq t¿r

_-y/,

ra

cual,-como veiemos

por

el

cos

B

en

"r

J:I:li"

I:^118

'

,podemos

'eu.órurr;

el

cos @

Lx,.."j,:l'.3;,"":l.l;:Ilt,rj'"r,iül3i!:*',x#uT'¿:ír;8r:"t3

*H#i,"?;i,":1,:",_"^*:rg:1¡1,*;;

jl";:rJ#ilr1i11|"r.f

;"i:i-va mos a escribir.

I a expresió

"

q+.lii

iel;:;s;il#;o#i:i":

de donde:

ri..1'" 3 -0 14A8 :.r,.) (4.16) 80n' ndonos en

la

fig.

g, sen (B

-

O)

=

ez'sen

B

cas.[B

_

(B

_

@)].

^L

aV

;-_

[-cz

'F'-

fr=74;¡;5'"

r'n,

(4)

Baiánilonos

en

(4.15) tenemos ".1/T=Acos @ (4.17)

rrdem¡minil;;;;,'ii,?¡,.;i,r,(n"riiiiti.i,il"l

y

basándonos

en

(4.21)

* :

a cos u,

,H;ffi:'f1#,t,p*;

i,,,i'

iñ|ffi;*,

_,":',::

,:ffi,r:-lfug

Án J^l -- ,. Y 't-ez COS2 @ '

,

,f,1?ri3:"ff"liJ*ación

enrre ra rarirud reducida u

y

tageodésica

(4.22)

,I,?,1,':*ÍTd::li*,1,,:t,r?l1,Tx:Ti;mndorosrér_

mrnosq,..;,;;,,JilXi*1?:?,llt*i*?,ii1:[&1ff

:*H,1Lr.,:f,"I

pero como obtenemos que:

!

:

IWllVIr-1,

lL[rM,

:

ct, sal tr¡

Í;,

*r!:,

:.u

y

entre . ra.s

tat¡tuüs

iío#::

oi,y

^i.

i""

;;

;tff

;?';Ytr;

ll

*

ir"-",:6

""",iff"Jí1,í;r

IX

s.'ii*.*

:*g:ri"ÉH!1F'r,t

;:*:i1:"*:"""é'

Édii1,lu,!i

x,?iT'11:

Pu"q'

;;ñ;i;i' #

Fig. to

¡eauCidi

f,t1n,

$,"., z.

jñ;d;il

*H',9ai,,1,7

Il;:,:l*"le

esrabtecemos ra Ios puntos abscisa.

li:rl,x-r,,'i,"11:*r':Iru."r",,,1?lx?j,l*,H:ii:""'j:"tjfi:ffs#

pr

'*;:itul7trWo'ú:),;,'

,X{.trü:;,,{,:);:ñHTf:f

,1"#H,xTXt,}¿{?"11i#

j

qxe -posean-ro,

.1.-"

oer

trienÁ

;1;"ó

ir,,íi:Í,,.

o..rr",r.

;"

01t4r¡z

*

(Mrnrry

-:

or.

En vista

de que

el

nunrn

n/r ^^_- (4.Le)

3,::::,f

¿:,*ü'f

",

I

*

lltr::

-.",r,,,

jl',',ll

c oo¡d en a d

a,

a

"

¡1i"",

i,1;#:i tr :iii¡::!i%

:

i:

:iii::

AXj

:..H#

\vtvt z)' , (t[zMyz

¿2

-r-

----ñ'---9#+@ff)1_r,

(oMr)z+(jwrtry#:or.

las expresiones (4.1g)

y

@20) se obtiene IVITMT:

iwr,M$,

IVIMz:,y

¿

MrMr*,

a:asetu4:bsenu.

,"

J,"r-,'f:;

Ty*'-expresiones

"(nrq;;;.2,3)

o^-

^.

(4'23)

;,l,{,rfif

,}:,?i;i;i:'"+ffi

,df,ü|;;ñ:;;

*:

*rro:l/T::&w

u,

--'*-5ü

Pero basándon^'

^^

:::'-v**

G'24) ros

en

(4.5)

/ r-

(4.25) en consecuencia,

,"

*r;l::;?,:":rnos

(4.26)

de donde rinarmente

;ii1"1ffi

H*,0,,,,0u

_

tg

u:llT-Vruu.

*{{f";lí*#idhjffi::::#r

l:"

n*

n.s

serán

r;::!

Deft.27)escribim9¡§oIlZZ-Hc.ión(2.7)y«.8.)¡esuIta

(4.28)

tg2B:€L

'l' * e2\- t

t'

;§l.,=-:1+

-

!s'u

l1-¿2) t nemos en

rorml-áiitirfi,::

(4.20)

p:

"

(t

-f

senza_¡

-F$ senza-$ro".n¿B_

_- ')

«rB)

Comparando I

t

b¡¡----de donde gü(l "os

'B:-{?l}

tot

,

*rn,

',u,?':iiXXX:i.il(a'gr,

*rrf;m,,.- -

(4'2s)

. . .

rsmo escribir para eI

¡,: ...

8a

|:acé5¿r:''"

(5)

la

Deduzcamos

la

fórmula

aproximada para

Ia

diferencia (B

-

u),

cual resulta cómoda para efectuar los cálculos

tgB-tgu:tgB-1fGtgA,

Basándonos

en

(4.32), (4.7)

y

(4.8) escribimos acosB r I Y-:n^§r.]

l/

t-ezsenz

B

I

acosB

-

I

Y:¡ffisenL['

n

a(!-e')setB

I ) 1/ L-ez setz B (4.34) (4.35) (4.36) z (4.34) ^ al-bo oa--a2 1

x-

az cos B cos L

{@¿;gtrEl'z

B

x+.

'-{@B

a'cos B ser. L

o

DtsenB 1/ at cosz B{bzsenz B

si

hacemos

Las fórmulas (4.35) se ¡eesoribirán

o

-

a2cosBcostrp

1,

atcosBsenL P ó¿ son

I

P §

f.

Pnsfq*

T

EH UI{ (4.371

fig.

11 tenemos

X:xcosL

Y:

r.S1n

L

A

continuación, basándonos

et

(4.32), (4.22) X:aCO'S¿¿COSZ Y :aCOs ¿ Sen

i

Z:bsenq:ay l-ez

senu

l

i I I ( ( I I I ( ( I I ?e

:isBlt-1:--e\ttzl.

Descomponiendo

en

serie (L

oos

B

(admitiendo,

por tanto

un

X,Y,

Z

y

otre srrú€rrti¿§,

Enlafig.

ll

PRrPtResüna elipse foeiitliana

en

cuyo plano se

halla'el

punto G,

a

partir

del cual

se cuentan las longitudes

yr

por lo

talto

en este plano se ubica ql eje-de-coordenadas

Oy;

PETPiE es una elipse meridiana en

Ia

cual

se

hallan

ubicados

el punto

M

y

los ejes coordenado s Or

y

Oy.

El

ángulo entre Io! dangs

de-estas elipses meridianas es

igual

a

Ia longitud

geodésica .L.

En

la

-

error

ez)uz de

y

un

reemplazando

infinitésimo del

cos

u

ordenpor

en), obtonemos Ia expresi6n

final

para (B

-

z) (B

-u)'

=

$

p'ez

sen2B.

(4.30)

Una

fórmula

más precisa

pa-ra

(B

-

u)

tiene

la

siguiente forma

(B-u)":P'lusen2B--

f

t""

4^B

+ $sen

68--$'."8^a+...],

(4.3I) donde

a-b

:-

le

B-ls.

u

'"- a+b tgBftgu'

courihnndac

5.

Rebión

anÚc

cl

Mru

de ,

¡rd¿nadns

coilafriilí";

ry&ry,

(4.32)

y

(4,23) obtenemos: -

r,,

,

(4:33)

Si

sustituimos

en obtenemos

Por Ia

normal

a Ia

superficie

del

elipsoide se

p¡ede trazar

un

conjunto

innumerable

de

planos.

Los

mismos, perpendiculares aI

piano tangente

a

la

superficie

del

elipsoide

en

un

p_unto dado, se

-denominañ

planos normáles. Las curvas, formadas por laintersecoión

de los planós normales, trazados en

el

punto dado, con

Ia

superfioie det elipsoide, se denomínan secciows normnles.

Fn

cada punto sxisten-dos seóciones normales recíprocamente perpendiculares,

la

curvatú¡d " de las cuales posee valores máximo

y

mínimo;

estas secciones

nor-males

se

llaman

secciones normales principales

VFñEWB:p.

Fig.

lt

(6)

I Como se sabe

de

la

geometría

diferencial,

en algún

punto

M

dela

superficie del elipsolde de revolución las princip"ales'secciones Diferenciando

la

úItima

fórmula,

encontramos

'

d,r:a

{

--

sen B (L

.

e?'sen'z

Bl-'l'

+

*

e2 sen

B

coszb (L

- r'

seú B)-.312t- d'8,

$ :

osen B

(t

-

ez se¡,z B)- etz {

-

(t

-

ez senz B)

+

e'cosz

B},

#:

¿ sen B

(l-

ez senz B'¡-srz

(

-e').

Por

lo

tanto,

dzA

(,1,-ez seú B)3tz

-lF:

-;ñET=4-Reemplazando

las

expresiones obtenid.as puru

fll ffiet

$'1),

hallamos que:

nn (t*ctg¡

B)slz asensB(l-a2)

,rr:@.

P 0 n P, Fig. t2 norriiales son:

*f)

sección

meridiana.

Ia cual

pasa'por

el-puntolkió='M

y

am-bos polos

del

eiipsoide

P

y

P1

(en la

fig.

12

la

sección

meri-diala

del punto

M

es la

elipse

_

PMEQTE):

t,*

.F- 2J

@¡de

laSrimeraver-"tÉql, lac@o

M

perpendicularmente

a

Iá sec-ción meridiana

del

punto

M.

La

sección de la primera vertical está

representada en

la

fig.

12

por

la

curva

WME,

{Iue también

es

una

elipse.

Designamos

por

M

y

N

alos

radios de curvatura del meridiano

y

de-Ia

prifera

vertical,

respectivamente. Hallemos

la

expresión para los radios de curvatura de las principales secciones norm-ales en

función de Ia

latitud

geodésica

B. Ei

radio de curvatura de

la

curva pla4-a gxpresada mediante

Ia

ecuación del

tipo

A

:

f

(r),

se define

por la fórmula

{'*

(#)'}'''

Utilizando

esta

fórmula

para

Ia

elipse meridiana obtenemos

i,,

{'*

(#\'}'''

,,,__-.=#-.

(el

signo

menos

se toma

porq

"u

#<

0). De

(4.2) tenemos

*:

d,Í

-cts

B

Considerando

B

como una función de

r,

diferenciamos

la

fórmula de nuevo con respecto

a

z

y

obtenemos

d,a_ I

dB

drz

sen¡

B

d,x '

Para calcuiur,

ff

empleamos

la

fórmuta

(4.7)

a: $:¿

cos

B

(7-szser'B)-112.

Y {

-¿¿ sen¿.8

De

la

expresión (5.3) es evidente que

M

aumenta

aI

cambiar B

desde

-

-Al

0"

a 90o.

.

radio de curvatura de

la

elipse

de

meridiano

en

los

polos (para

B

:

90") Io designamos oon Ia letra c, entonces

t.

--

t(1,-e2)

:-L

"

(t-es)lt2

*

llé:

Tomando en cuenta (2.7.) V (2.5), obtenemos

Finalmente,

¡4:

a(l-ez)

-.-(l

-

ez setz fi)a r

'

\

c:

--7+:*:olfW.

V

l-r'

o Designando

.

\W:1[l_e\ñ8.

podemos escribir

\ M:"(F;\.

'

Introduzoamos además

Ia

función

V:1t[¡;'zso-g

B.

Como de acuerdo con (2.5)

y

(2.6), i entonces ¿l2v

a

(5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.1) (5.2) .2 ot2

e'!:fui €=:úrT,

38

\ t-

ezsenz

B:L-#-sen¿B:Wéy

39

(7)

l ., ..ir .. . .*-.. I i

v

tt a(1.{e'\l12 Jyt

:--n6-.

M:#.

M:+.

(5.8) (5.e) (5.9',) de donde o

N:

&

l/62

s-il-ii,

B

' (5.10) (5.10',) (5.1 t ), o de acuerdo con (5.4),

W

y

V se

llaman,

respectivamente, primera

y

segunda funciones fundamentales de

la latitud

geodésica; ellas tienen gran impoltancia

en

-

Ia

teoría de Ia geodesia esferoidal.

Sustituyendo

(5.3)

Ia

primera

exce¡trioidad

por-su expres_ión dada

en fünción

del'seáieje

y

empleando (4.36), 1a

fórmula

(5.3)

paru

M

adquiere

la

forma

jv:#:1,

o, tomando en cuenta

la

expresión (4'16) obtenemos

N:+.

De

la

fig.

{2

se desPrende, que

Mn:#:N,

es decir,

la longitud

del segmento de- Ia normal

Mn

es

igual al radio

á-e

cu¡vatura d1

la

primera

vertical.

De (5.3) Y (5.{0) tenemos

jL:7-e.2s?l28

=yw:l+

#.

6.t2).

Mt-De aquí se Puede aPreciar que

l¿1>

rur'i

Durante

los

cáIculos

se

utilizan

las magnitudes

{*

t *,

depen-diendo delicaso; estas cantidades los designaremos por los símbolos

(t)

y

(2),

así Para determinar eI

radio

ll

de

la

primera

vertical

notemos, que

si ta

secciOltúa

primera

vertical WME

(fig. 12) es la sección normal,

á"io"""r

el

paraláIo

MQS

es

una

seccióIr-inclinada, por. cuanto Ia

normal no

yice

en

el

pláno de esta sección. Las dos secciones

seña-Iadas poseen

una

tanfente

común en

el

punto

M.

Pata

demostrar

lo

antérior

trazamos p"or

el

punto

M

una-tangente

aI

p-aralelo

Mf;

esta tangente, yacent'e

en

ei

plano-MQSC,

perpendicular al-plano meridaná

MEri'rEP,

es perpendicular

a

la

recta

MC,

forma{1-Pot

t"liotám".ción

de

estos pla-nos.

De

esta forma-

Ia

tan§ente

MT

es

;;r;;di;tar

ar prá"o

aér

-é"iai"ro

PMEtPr, porestó

eI plano de

il-;"ilil

verticál

contendrá

la

recta

MT; si Mn

es

Ia

normal a la

."f..firi.

del

elipsoide

en

el

punto

M,

entonces

el

ángulo

TMn

seia

ig""t

a g0o,

for

lo tanto,

MT

seú,. también tangente

a'la

curva

EMW.

Teniendo esto

en cuenta,

aprovecharemos

el

siguiente teorema:

*;,ttrrtrt§'rLá run ff,tnti§-fu;llm"ñ¡nwl¡at¿ sr0;lffl§odd§ do§'réPof§rlt8' Eho

fu¡

g1!s

de un

Puntglh&g6X",*o

nñnat

v.offa

irrcLÍnura, &crtrto

ya

enfr'

ndlm"4a

v oTa

urcLlflapa, §wfuu) que. cr. Gb.'t).ttoov uuYUt'yv

:'T--i*-*ccionei tic¡¿ñ

simuká¡Womente.'una

t&gqntc efrntÍ*,

ctzÉoni§-t7

;áií d"r;;;ú

;

e-

k

-t¿rr¡ t6

"

i,¡u I ¡¡tada e s

I

su

al

at'

ffitis,-WW:

nor"et

mvntd*l

trtgut'ü

Ínmado

ooi

vergenres. 'Descomponiendo 'DpscomPonrenc

(l

-

,'senz

F")-elz

y

(5.10), desPués valores numéricos tes.

v

de de

en una

serie bonomial

los

denominadores

-1t

- ,'

senz

B¡-ttz,

en

ias

expres-iones (5;3)

"'Inrom

transfármaciones

y

de substituir

los'

-l&

elementos

del

elipsoide

de'referencia

de

loi

J."

"t

"udio

d"I

paralelo r- se_determina m.ediante eI

radio de

cur-+rt"r,

de

la

primefa

vertical

I{

utilizando

la

fórmula

r.:N

cosB:MC.

Tomando en cuenta la expresión'para eI radlo del paralelo de (4.9)n

cbtenemos

40

acosB

---=

=-!c^"8

(8)

§(rasovsky

en mettos,

obtenemos:

'M

:6

367 558,4969

-32

072,9605 eos28

*

+

67,g723cos4B- 0,14{9 cos 6.8 +0,0002cos

8.B-'''

5

:

6 335 552,7 1.70+ 63 609,7883 senz B

f

+

532,2089 sen4B

4,1558ien6 B

+

0,0317 sens

B

-ly':

6 388 958,4431

-

10 726,9320 cos 2.B

*

+

L3,5077 cos

48-0,0189

cos

6^8+'''

-:

6378 245,0000

+21'346,74t6senzB*

:

+

107, {586 sena B

+

0,5982 seno B

+

0,0033 sens B

Anteriormente

han

sido

obtenidas

las fórmulas para

los

prin-,cioales radios de curvatura, Ia deducción de ellas se basó en

el

enfo-.qüe clásico

aI

resolver problemas-de geodesia esferoidal. Teniendo

ouenta

la

importanciá de las fórmulas obtenidas, así como tam-bién consideraciónes'metódicas, damos a continuación

la

deducción

.d.e las fórmulas para

M

y

trf empleando

otro

procedimiento para su

"obtención.

Utilizando Ia

conocida descomposición de

Euler

para las tuncio-nes exponenciales

en

una serie de fracciones

(1*y)':t+++

(r-!)u

+#*

+9*+...+@

znt,

+W+....

(5.{5)

En las fórmulas (5'20)

y

(5'21) Ios v.alores de Ia'variablo

""d;;;;"-

1s

li

I

toii

"ttpé'tiv

amente iguales

a:

A

:

-e2

senz

B e

tJ

:

e'2 cosz B,

v

eI valor d,e'¡

:

ll2.

'

"

P;e;;;por

Io tanto escribir:

L-

O,l1ezsens B

w

-

1;:6p572;;¡t§,

l*0.75e'z cos'| B

v:TT6W;ñT'

l-7.25e'sefi B

w":TñA#;ñ¡,

l*'!'.25e'z cosz B a!ó _ '

' r -

L-4.25e'2coszB'

Ias fórmulas (5.18)

v

(5.19) qdquieren

eI

siguiente

as-ffi+:,ffi#,

L-O,Z1ez serz

B -

7{0,25e'2 ooss B

N:a-;iilWWZ:c G1JW@'

Podemos demostrar que

eI

error -absoluto de

la

expresión

apro-*i*ráa

(5-iO¡

",

igual

at=;Odulo de

la

diferencia entre lasfracciones

consecutivas de un

*lráo-tipo

y

puedo ser caloulado po4Ia siguiente fórmuIa

a,(y)(á[ffi*r¡,

(5.28) donde eI símbolo

A,

indioa que eI error es-ta en corres.qondencia con r^^

r^-

+Á-*i¡no,lo Io oa.io do?rqncinnos- esdecir. conlafórmula (5.16). ["r*Jot

iZ"*i"os

de lá serie de iracciones, es decir, co-n la (5.16.16).

-""á;;;;;,

en las

;ñ;";i;;s

(5.20j

v

(5'21)

las

cantidades del

"r"¿*rdó

c1e Ia excent"iáia"a e2 (ó'e'2)

iguai

a 0;0067, para cualquier

valor de Ia

latitud

B

obtenemos:

.

az

ty)

<*

Z##f"r-<

o,e'to-8.

De esta manera, las fórmulas (5.22)-(5.27) garantizan eI cálculo

de

de

ñ

;ü"tñd;;''W,-V,

M

y

N'con'suficiente

exactitud,

es decir' hasta 1.10-8.

Ñ;1;;;.,-;o.

Irt

fórquias

obterlitlas (5.26)

I

(!'zZ¡

d'e

M

v

"!

uoo

.á,

cómoáas

y

seircillas para efectuar los cáIculos en computa-doras, que las fórmulas (5.14).

1y

:1|TQÑB

:

(L

-

ez senz R)r/2''

Y

:1/[¡TadszÉ=

({

+

e'2 cosz

B)'t' '

M

--a

(7-e')

l

I I I

I

(s.t¿) (5.16)

cálculo para

las

matemáticos que que

en

donde, de Entonoes pecto (5.20) (5.21) U' Pro-(5.22) (5.23) (5.24) (5.25) (5.26) (5.27)

La

descomposición de (5.15) converge' corno es conocido, en todo ,oI plano complejo de la variable y, cortado por

el

eje-real desdq

y-:

:'-t

hasta

y

:

-oo.

En eI oaso de que y sea positiva real,

la

des-composición (S.fS) es aplicable para cuáIquier

valor

del argumenlo y.

Pará esto es suficíente tomar

la

cantidatl necesaria de términos de la

.serie de fracciones (5.15).

timitándonos

a dos de ellos, tenemos:

(1*y)'*+ff+ff.

A

continuación, usando conocidos métodos de fracciones,

omitiendo detalles

de los

cómputos :siguen, para

la

expresión (5.10) podemos escribir

(r+a)n,,ffi

Aplicando

la

fórmula (5.!7) para calcular las cantidades

¡podemos

indicar

a éstas de

la

siguiente forma:

ltf-#:#,

¡t- o.-c

w v'

.42

'(5.17)

¡¡tI,

.

(5.r8) (5:1.e)

(9)

O

§ O. N.¡,PTO MEDIO

DE

CURYATURA:

'

Se llama radio medio de curvátura en un punto dado de la supsr'

fi§ie,

al

Ueit6do.la

media aritmética de'los radios'de eurvaturas $§

iáláái"*J

nor-ri"ii

áo**rao

áttt-Áfo:

a"'¿rto¡,tiends'

ü :lnlinÍt$T

Sea que

en

Ia

fig.

13

Ia

sección meridiana en

eI

punto

M

está represenfada

por la

1ínea

PMPr

y

Ia sección de-Ia primera

vertical

pór WMO. Iistas

dos

son

las

-secciones normales

prinoipales,

las óuales poseen respectivamente

Ia

máxima

y

mínima

curvatura.

Supóngamos qüe Ia curva

MA

rcpresenta una sección normal

cual-quiera en"el punfo

M

de

la

superficle del elipsoide, dada por

el

azi-mut

r4., es decir, Ia sección qué forma un án§ulo Acor, respecto a la sección meridiana.

Basándonos

en

Ia $órmula de

Euler,

que estableoe Ia dependen-oia entre

eI

radio

de

curvatura

p¿

de una sección

normal

cual-quiera

y

el radio de curvatura de

Ias secciones normales princiPa-les, tenemos:

' I

cossá

,

seut.4

E:a-T-T-'

de

donde MN P.{

:

:F6FZft

señq-

.

(6.1)

Supongamos, que.á toma

su-cesivamente

los

valores:0,

A,A,

2LA,3LA ,..2n -2LA,2n-

A^á,donde A-.4 es-una magnitud

pequeña. EI número de estos valores de .á será igual

a

ffi.

Calculemos

la media afitmética de los radios de curvatura de todas estas secciones

normales, trazadas desde

eI

punto

M

a través

del intervalo

de

mag-nitud

LÁ,

y

designemos dicña media aritmética

por

.R1'

Obtendremos A:Zn-AA

¡MN

lJ

ffistffi

sent;4-.lt:O

De esta manera hallamos que

nl2

,- 4 I

MN

n:*

l5.a6

a*

Dividiendo

en

la

fun-oión^que está-bajo

Ia integral

el

y

,I-

droo*inador

por

.l/ cosz .Á, resulta que

rrl2

M

R:2ln

I

"o#n

oo.

rs

l*f

tg¡á

Saquemos

del

signo

de

la

integral

I/M-Ñ

fl2

R:+{ñ

I

0 .6 n -- F )l

R:3-vñ

|

-d!

-"- n

"l

tatr'

0

-tr

dA

T;of/'-,

p Fig. 13

,T-"-

§

2n t^

1,.-

,,

I

Designando

{*

tg .r{

por

medio

de

ú, obtenemos

Integrando'

se

halla

6 ' o -- I

:

R:+V

MN

I

arctet.

0

Sustituyendo

los

límites

tenemos

R:+{Mñ

+

y,

finalmente, o A:zrL-^A

§r

MNLA

a @ñq

Á:0

Rt:

M

_ I ,:

De esta forma de acuerdo con

la

determinación

del radio

medio

de curvatura

fi1

tenemos

R

:

lím

"Rr

cuando

+0'

WyVasíz

Como es evidente,

enesté

caso

el

slgno

»

en

la

expresión

de.Rl

' ': :

'ri

ri

''f.O: "{#;*" =#:#

debe ser reemplazado por

eI

signo de integración

y

AA

por

dA' ,'

t-

-numerador

(6.2)

(6:a)

,.

45

f

Así.

áe (6.2) se

a.iro"

qT.

eI

radio

-.lio

de

curvaturu pu""

IiIl

I

ountos'del blipsoide de

revolución

es

igual

a

la

med.ia geométrica I

I

he los radios de curvatura'de las secciones normales principales, las ¡l

{

secoiones meridiana

y

de la primera

vertical,

trazadas por este mismo

I

I nunto.

'

->

(10)

f-I

*

pt

radio

medio'de cu¡vatura se emplea

aI

representar partes de

lh

U r"p"rficiL

d=el etipsoide'Sobré.eT'Élofa; ¡iI oalcular los exeesos

esfé-l,

H*'ñ;i;""il;ffi'"iffi"irá;t-p^*

ri¿os'ile' Ios triánsu-Ios

y

en'

o'tibi

ó{s6s.*

a

llir'soiae

de K-rasovskv por

eI'

-fSléÁCrti V

C*t"grrtía

y

el"Departam-ento Central de cáIculo,.,se

á*o

uo los

intervaio a" tátitod

un minuto

los logaritmos de ({),

f2)*).

,R

v

también

el valor

de

la

funciít

V'

t-¿

Éi.|.

Li."¡*.*L.udir

"de

.«xnqn*,

{e

: B-. ñEsi6n; '-ü6ñBet ¿e

-niii¿l-p"d"#

"-pf"*i,

r*"¡t-e¡ut

rs

fe!§ul&

1O.t¡.

Al

rea-i;;-i"; tífá"t*

praóti"o.. utilizando

transformaciones senoillas,

o

d':aJffi6="$*'{2-aa'

La

lougitud

tlel

arco de meridiano entre

los

puntos que

poseen

htit"d^r;'

i

B,

i'

Ia

siguiente:

s:\o#ffidn:a$_.")T,#

(''t)'

Bt

rco de

meridiano so reduce'

,,

*iil,,:J

;i'ix'i"hll,Tüf,"lt*

$t't1'ü

Tnerrqrarru D'i

J

¡=;*'"aztm-

)

w"

Ia

cual,

eomo-es sabido' no-se.Pyede-tr"'olver mediante funciones elementales' Para-

táii"i^-

"f"

integral

señalada descompongamos

[i]ftTi*Hx1?"hftii.i-.+l*t"'***'ttw'"nunaseriede

-L-:ft-ez

sel*

B)-'tz

:

| ++ezsenz

B

++

eLsena B

*

ws

i*eosenoB*

ffie'senaBf W

"osenroB+'"

(7'2>

con el

fin

de simplificar

ros

futuros

cómputos

limitaremos la

serie hasta

to.

*iu#¡|"*';;

-;t'

Los

senos cón exponentes pares'

qne se incluyen

*t

o.r"o*poner

Ia

t"l::ui

fr.'"

""",*1'^"1

los reem-plazamos por los oosenos

á"

"""o'

múItiples'áe acüerdo con las

igual-dades:

senzB:+-lcos2B,

llzar Io§ uaruuruD PrqvvrvvD' '---a .'

A}].uji¿"["üs

se $ueden representar más fácilmente de otro modo'

Rz:MN:+:#.

JV

PA-

l+Iscossá

t (6.5) (6.6)

o

§ea 'donde.

rl:

Gco¡,B'

,*"T;;'"erLrli

*"noE

sxastosr !gq...9lror'os e4

los

t'6rnoines 4e

t'

Ia

fórmula

(6.1) Puede ser

tranffi

'

resfecto a

Ia

superficie del

elip-\

soide de referenoia.

*SFGÍrfg¡P

DE

LA II)I{GIflI-q

. lE

;.ur,_r"acp,DB

IEHD}ffT

Sea

.4 un

punto

de

la

eliPse

meridiana con

latitud

B

(líg.

fíl

Tomemos,

a

una distancia

inli-nitamente pequeña ds d.el Punto

A,

el

punto

./.1,

que

Posee una

latituil B

*

d,B; de ta1 manera'

Ia

diferencia de las longitudes de

A

y Ar,

correspondiente

al'

arco;

de meridiano ds será

dB.

Considerando eI árco elemental ds como eI arco de una circunferencia de

radio

M,

obtenemos

ds:

Md'B

D

'1

Fig. 14

sena

B:'+-f

oo,

28++cos48'

Ahora

la

fórmula

(7'2) adquiere

el

siguiente aspecto

#:t

++*(+-4

**(*-*coslB)++

f-* (*-

"

\+-i

31

|cos2B*

+$"o'

4BI+

.

",

#

t

:

t++r'-t"

3

I

e, cos2&

+

#

45 ,.

ar

e'-al9

L'I eL cos2B

*

+#eacos48*

.

'

'

+r:+(r+{"+A

urrr+ff"&+

...)-

(+

*"'+#

*to+...)cos2Blr

*l

N. d,et ?. Las expresiones-(1) v-(2) souutilizaSas en Ia fórmula (5.13)'

la cudl le resuelve con a'yuda de lás táblas mencionadas 46

(7.3)

4T

p

¿.:

R

(t

-*

cosz B cos

2á)

(6.7)

f,, fOr-"fulL7)

se

utiliza,

por ejemplo, al calcula;-la correaiañ

---

-;-E-***

..

i#;lit'Jlulñ"'i3"i:"il,t","'i

(11)

-o""*'""''

::_,.-i::E:..

\

(?4,

*,*$:{i;gfr#$};ü*tü;"I,$j[ffi

i

"",-l--"."r;fiil::',";::3;

*",,"

(?5)',******;****t***,,**"":t***

!

'

lj#iir'*"""t"*7lf;?Íi

"0,",u*.*,

oon

ra

eiacüitu.

:

"-,n-rr'J,,

-'Bao62l+cco¿48-"')dB'

(7'6)

ffi

rntsgrando

térmitro

a r6.ñitro,

hanasos

»ida

e

:c1l-a¡

{(ll+

}'a'¡l

,'-i1-

I

, -oti-

ul

{otur-e1¡-$

1*"za'-sen2at:)+

-{

e'¿sen

(B¡-B)

oos (B'

+'J}'

I

+f

{""o

air-""oatr¡-

.,

.\, lt.tl

}raseúos

s6s

(8,_BJ:(a¡_BJ_

(s._r,F

:

fi*ffimffi,tffiffil,=-lffi:"

dE 6s¡a

mu.rÚ

@u",."-

a(7-e'\(n'-u{t

+

i*-}e'cos'28-¡

c¡:a1t-e1{a1-$sea21+|sea4t-"'},

{r'a) -'-':

.,,-

r" r.rihrd

B

nuealo

¡[-"'1Br-

nr¡'oos

2e*\

'

(12)

t

S.Demosunafórmu}amássenci}Iaycómodaparalos.cálculos

a"

iá.lriurgulaciones

cuando

ios

lados son de poca importancia

y

rara

vez

trf.ruo

los 40

ó

50

km,

para esto designamos

o En oonsecuencia, para.las

tonsllu{Trde

un arco menor de 45

km'

i1^,emos oonsrderar

dI

mirmo

como e-sférico' con

un

ángulo óeritial

#l;fl;il-ditér.ncia

de latitüdes de los nuntos extremos'

v

con nn

ñdio a,

]a sección meridiana que correspánde a

la

latitud

media dei

o'?,0,

coeficientes

A, B,

C'

obtenidos antes durante

la

deducción

,ie

ia

fórmula

para;i;¿'-áe

+eridiano'

tienen

et

siguiente

valor

pl"á'JrtiPsoiáe

de

KrasovskY:r

'

D

:0,000

00002081'

En Ia

tabla

2,

Para su con§'119' se dau

a.

il.tiáir";-;;tf

elipsoide d^e.Krasovskv con una exactitud de hasta de

u'l

m'

'

B-= B'!B' y M*:

uln 2

Introduzcamos

el

valor auxiliar

0

-

¿r 5sñz B*It¡z

'

ID D\2, 4

sr

:

ru

*

%n-

:

a (L

-

r')

(B,7il1

h,

el

oue. es evidente, representa Ia longitud del arco de circunferencia

;;"=;hü

ie"ur- ui';,udío de curva

ull-de

mgridiano en un punto coo

tatitud

p"áia,

Basándonos

en

(7.5) 'escribimos

r,.,l-r:o (7-e')-+#-(A-BcoslB*lC

cos4B*)'

Sustituimoslosva}orestleloscoeficientes'o:u,,

tt:

a (7

-

si¡

@a:Bt)'

{

(,

* *

r:'+

#

'n)

--

(*

,r+ +*

eo) cos

za*¡

fi';i

"o,

+a,,)

.

(7.''2'l

Comparando (7.'!2)-:pp:,.

(7,1Q

gbtenem.o§

.

:.,i

s.=q.

+*ffi

e2cos2,B*(B,

.:Br)'r.

Suponiendo que

en

eI ,térTr\inoxgrregido

de

la últimt

f:11"'*

a.(l

-

ez)

:

M^,o

seadespreciandolóstérminosdelo¡den

{rel

(Aa;-las lonsitudes

de

a¡cos

frra

,igunas

latitudes

,, ¡: ..

.

Tabla 2

-

Br)'s,

obtene:qoP t'_...,

s

:

4!

^-t8';P'I-+

$

r'

gou

za*

ffiff

ii.

La

fórmula'firr"I pai^

el

'áalcuto de las trihngütaciones tiene la,

pllll'-

.'

t:§:

:*

il"'.:

siguiente

forqA.

. ,.,.

,:u*9ff1t

+

'

togr:togl&G)#

*k(Br-Br)'2cos2B*,

donde

,,

log

ft1rog$$

e2,73,9315-ro'

,;sff"""2i^f.'

(z.ra)

_

"',,i,u

fór-ota

(7.18) es

úti1

para

distaícias

del

orden de 400 km

(para s

:

4OOkm admitiendo un error máxim9 d9l orden 9a

ft*@,

--

nr)rs

se obtiene'un

erioi

de áprximá¿aménté igual-d

I

mm en el

valpr

''*-b-rr,

de

s);

s'k

45.: km

-el

váJor"dól

mie¡bro

.de -correción

t"^t"

*:T9I

L

T-(7.{5}

d-e

i;;;"ñ",F

l,*

9"ñ;nt".I'e1.q"

|es

qieqb11:*.I' [T.jJLPI?É'"

a"

I

-á.. pi.

eto las correcci-Qnes' de los miembros en (7'f 3) pueden dbsucliaisó';y.lós dálculo!'n'ós'c'dndücen a .lg. siguiente tÓrnrula _

,.

,

En base a Ia fórmula

ti-.t+l

se pq9d9 resolver el

probleqa:"í:ti;;

artl*iü,

1a

diferencia'de'longiiud

de los puntos extremo

,r.ár, á"áiante la

lopgitud

del-- arc,3

v

su

latifud

media

.:,

..,....

:

(Br-Brl."*fr0':s(1)-:

' ,

,,(''16)

En ia

pnáctica con frecu'encia se resuelvé

el

siguiénte pioblemat

§1."í;üa;,i.iá,

f,

f"¡eitúá á"

primer,punto-_Ai,

!rlrdistancia

,

l;ffip;

iliá;;á;

;;iidi^h"

s, hasta un''sesundo-plntó iler

ineri-[rirá,'3."

;;;;;;

áát"".i",rr

{a¡'lqtitud

de

uir

segundo

punto

B''

Ii)r:-\

68¡

§.:.,M

l, t,i(-;

5!

Longitud,del arco de nerldli|n9 en:m

1{0 576,3 1.70854,4

lLl4'1.4,7

111695,8

Después de transf ormaciones elemóntales r-a tó1mqia'

g:'?[Jlt*¡

,

r." á"iiioo

losuritÁlco.

El

qúmero retenid-o ds mi'ep'bros'Qug.garan:

iizan

eI báiculo-de ün arco hasta 400 kmS de longitud es

'", ,

,: : ,;¡,..

(13)

Paradeterminar(Br-Br)empleamoslafórTula(7'16);.sin

".¡urgo

[a-difereniia'

buscadá -

(9¡--

81) no

puede so,r:

.calculada directamente

por

esta

fórmula

ddbido u -qU. es desconocida

Ia

lati-üii;;;;ááiá"i.

ia

cual debe ser calculádo

eI radio

M*

o tomdda

i;;"-"iih"d

iijr

¿.

las

tablas.

Consideremos

la

solución de este

pro-bt.*;

;¡Idaláo

eI

método

de

aproximaciones sucesivas.

- E;

la'primera

"pt*i.*l.ipn.se.oaloula

(8,

-Br),

utilizanrlo

o""r-1"

cletérminación de (1)

la

latitutl

del primer punto,

y

se obtiene

áf

*l;t

aproximado cte

(8,

-

Br),

es decir,

Aoliquémosle

a

la

expresión (7.17)

la

fórmula

de

simpson

(for--"i;"á;h

p"*elotr¡,

divldiendo óon esto el

intervalo

de integración

en

dos partes; entonces se puede escrrbrr que:

,:+

gvlt+4Mn*Mr).

(7,f e)

'En

la

fórmula (Z.lS)

el

radio de curvatura

IVI se determina

el

tr"Jp:""["r;"1;il

,t; -íreridiano buscado,, en el

comieoiglla

-tl'.d

íái*"i' -n

ar¡eslo a laq-latilr1tt¡s. B-1,

Brt

.B*.:

!12.(B]

*

B,)'

.

i,.h",á.iinitiva-

ial

exfresión

(7.18)' adquiere

la

siguiente forma

donde

r:#:8080

2pl.ls-nn

2:

Mr*4M^* M,

L,B,:(Br_Bt),.

Para las distancias s de hasta 1000

km

la

fórmula (7.19) garantiza el cálculo de

la longitud

del arco de meridiano con un error del orden

dela2cm.

Para

controlar los

cáicuios

dei

arco de meridiano s, éste se debe

obtener como diferencia

entre las

longitudes de los

arcos

de

meri-diano

X, y X,

desde

el

ecuador

hasta los

puntos con

latitudes

82

!

Bt,

es decir,

s: Xz- Xr

Los valores de

las

cantidades

Xr

l

X,

se toman de

las

«Tablas oara

el

cálculo

de las

coordenadas planas conformadas

de

Gauss,

hentro de ]os

iímites de

latitudes

desde 30" hasta 80o».

Ejernplo.

El

cálculo

de

las

longitudes de

los

arcos de meridiano medianté la

fórmula

(7.19) entre los puntos cuyas latitudes son

B,

:

:49o29'

58,938"

Y

Bt:

45"30'17,221", resulta

B,

4dozg' 58,938'

B,

45

30

17 ,221.

B;

47

30

08,080

t',

ZurZ, o{u',3{n

M;

6 372

5ll,4$

;

i\i

3 3í3 333:?31"

»

38 221 727,817

¡r.) '

30,884 0275

¡fr

,.4 38r,717

s

t*44 165,M3 m

Control mediante

la

tabla:

paral

latitud. Bz

. .

.

X2:5485298,588

m

paratra

latitud

B;

. .

.

X¡:5041

[fi,243

m

s:444165,345

m

|'

'

S. G{,LC[}úO. ,PE,,L4+ .-ITONSIIUD

DE UN

ARCO

DE

PARAI.BI¡

¿

EI

paralelo en

un

elipsoide de rev-oiución es una circunferencia, por estó eI cálculo de un arco de paralelo se reduce a la de-terminación de

un

arco de

circulferencia

en base =a su ángulo'central,

el

cual es

igual a

la

diferencia de longitudes de los puntos extremos

del

arco.

53

Bz- Bt* (Br-

Br).

(Br-BJr:§(1)r;

(Br)r:

Bt*(Br-BJr'

luego

Con este valorde la

latitutl

delsegundo punto se caloula

la

latitud

me¿ia aproximada

(B-)r: ry;

utilizando

Ia latitutl

media anroximada

gue

hemos

hallado

(B-)r'

hallamos

la

diferencia

de

iffiiffir iB,--

Br),

y

la

latitud

média

(B^)r-en

la

segunda

apro-.iá*i6".'Aialogarminte

se calculan

la

tércera,

la

cuarta,

etc.,

apro-*i-uáio".r,

hasia

tanto

dos aproximaciones contiguas

no

resulten

infr;i;;ñit" l"

Ios iímites de

ia

exactitucl dada; éstas serán además

lis

aproximaciones definitivas'

Anteriormente se

dio

la

solución universalmente

admitida

para

d"d";;il11r*"t"

ile la

longitutt

de

un

arco cle meridian-o, basada

;-ñ;;".fori.iO,

en serió con arreglo.

aI

binomjo de

Newton

de

iifi-ü6i

i7i

i)

qo" se halla bajo la integral, y su posterior integración

miembro

a

miembro.

-*D;;;

l"mti¿o

de manera diferente

Y,

Por supuesto,

aproxi'

mala,-otra

solución de

la

integral

inicial

B2

r:\uaa.

'Bi

(7.t7)

(7.18) iil tfi Itl B li t,-'52 ;t

i,i,

:sr

¿ k»LB',

(14)

El

radio

del paralelo

r

se determina mediante

la

fórmula

(4.g),

quo

¡losee

Ia

siguiente forma:

,

q

r:

y'f

cos.B- -

a cos

B

-

acos B

-frffi-:_-W--

(8.1)

l,

:

(2) s,. sec

B

(8,3)

Esquema de resolución:

La

longitud del

arco de paralelo s,,_que posee

latitud

B

y

dife-::il'll

"il

l"#if

fr"'#tre

sus'

Ñ

;

;;

"

i

at'

o'" - 7 ;

;

;;

;

;;

e v íd e nte,

s':

lY cos B

*f-:

{tr¿

(8.2)

De esta oxnresión obtenemos fácirmente

ra

diferencia de ras

ron-f;

i:l#,¡.,9,*

p""to"

-a"

-i"

p*áréüil"

-

i,iit"l

ál-;ir;ff

".

a

una I

'B

N cos B ..lil

''

iNcosB

UP' l" /p" .,§p 0"/+5' 46.882' 54032'lg',354 66o392'453,954' 0.5801 5280 32746,882 484,8L37.L0-L¿ 3 708 600,002 0,0133 1726 49 388,390 m

Control

en base

a

las

tablas:

para

B:54"32'19,354'

b'

:179

798,002

lsp:

bt.lo

:

17 ,979 8002.2 746,882

scont.

-

49 888,889 ml§

Divergenoi, s$"1.-scont.-

{1

mm.!

En

la

tabla 3

se"pued.en observar las_longitudes

de

los

arcos de

3#3i"r,:

para

latitu¿ó"

¿.'á"-áó;

illr#

z¿;-.""""i

"riiloiii

¿"

x,"-

t-EJempto, Calcular.

la

longitud

del

árco

je

pa"ateto

entre

los

puntos, situados en dicho

pr"-rt.lo,

sila.citaaa

difd;;;

ie

rongi-tudes entre

esüos

punroi

y

ta

i^tit"a á;I-ü;i;ñ"_T

!oo,

¿

:

-:

g:4sj6,88?"

y

a

:lt.eí,

$lli[]."'

vorrrrcar

la

solución mediante

la

fórmula

ge

control

so

:

bll,,

utilizando

las «Tabras

p"r,

.r o?trrü

;"

ros pranos de cooidenadas

§fi#1-rars

de Gauss,

pñ;

J

iü""i,"ir-ae

latltudes desde 30. hasta

Llngitud de¡ "r"o dá

piit.lo

en E 30 40 50 60 70 96 4t)9,

I

85 395,3 71 696.9 55 800;e 33 t97,2

§4 $r,tÁr.¡cúro DE

teB*&tm

IOS TRApECTO§

Dnor¡iÁNtfütlfifrtf

m6ii

É'slco

-ElcáIculo del área del trapeoio de un levanta.misnto

o de la

super-ficje

del

qap?

se hace det_erminando partes de

la

superficie del

eiip-soide,

liaitadas

por

las líneas de los meridianos

y

de

los

paralelos.

Tomemos

en ol elipsoide

D

(fig.

f5) un trapecio

infinitampn-te

pequeíio

ABCD.

Los lados del

mism.o son elementos de arcos de

merldi¿as

y

paralelo,

y

serán

iguales a:

AB:CD:MdB,

AD:BC:NcosBdt.

El

área

del trapeoio

elemen-

.--tal

ABCD

designaáa

por

df,

se

expresa

por

la

fórmula

d.T

:

MN

cos

B

dB

dt.'

(9.I)

.:.d,2

-

Zn

MN

cos B

dB

:

2nR2 cos

B

d,B;

o:

d,z:2nbzffi.

tiene, si en la fórmula de d,T, el valor,dl se

süstituté

por 2o::o se .

(s.2)

Referencias

Documento similar

Las características del trabajo con grupos que se debería llevar a cabo en los Servicios Sociales de Atención Primaria (SSAP), en términos de variabilidad o estabilidad

Foto 7.- Pequeñas fallas normales afectando a un tramo arcilloso rojo (unidad 12) con elevado contenido en yeso, manifestado como yeso nodular. Inmediaciones de Mediana (punto

6.1. Hallar las expresiones para calcular los esfuerzos normales y cortantes máximos para un perfil rectangular.. Hallar las expresiones para calcular los esfuerzos normales

situaciones normales, en ausencia de escándalos alimentarios; sin embargo, en situaciones de 

Con la herramienta Segmento entre dos puntos, trazamos los segmentos d, e y f que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.. Calculamos el punto G intersección de

En México esta formación profesional, realizada históricamente en las escuelas normales, ha pasado por diferen- tes etapas, desde el “cómo hacer” con planes de estudios a partir

El equipo de trabajo de Natural Gym Bogotá será conformado por 16 colaboradores de planta los cuales 4 de ellos serán formadores (medio tiempo) quienes serán responsables por la

Por tanto existirán cuatro funciones independientes: el sexo, entendido como la configuración corporal con dos posibles destinos “normales” de la diferenciación sexual (macho