FUNCIONES ELEMENTALES

Página 245

REFLEXIONA Y RESUELVE

■ Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo:

X 1 1 Y X 1 1 Y X 1 1 Y I J K L X 1 1 Y X 1 Y X 1 1 Y X 1 10 Y 5 (4, 16π) 50 80 X 1 1 Y A B C D 5 (4, 16) (5, 32) X 2 1 Y E X 10 Y 50 50 F X 1 1 Y G X 1 10 Y 40 H 1

FUNCIONES ELEMENTALES

10

LINEALES L₁: y = 3x 2 L₂: y = –2(x – 1) + 5 3 L₃: 3x + 2y = 0 L₄: y = 3x+ 1 4 CUADRÁTICAS C₁: y = x2_{– 8x + 15} C₂: y = (x + 3)(x + 5) C₃: y = x2_{, x > 0} C₄: y = πx2_{, x > 0} DE PROPORCIONALIDAD INVERSA P.I.₁: y = 1 x P.I.₂: y = 2 2 – x P.I.₃: y = 2 x P.I.₄: y = , 6 x> 0 x RADICALES R₁: y = √2x + 4 R₂: y = √x+ 4 R₃: y = 2√4 – x EXPONENCIALES E₁: y = 2x E₂: y = 0,5x E₃: y = 20 + 80 · 0,95x

A 8 L₄ B 8 R₃ C 8 L₂ D 8 C₄ E 8 P.I.₂ F 8 E₃ G 8 C₁ H 8 E₁ I 8 L₁ J 8 P.I.₄ K 8 P.I.₃ L 8 R₂

■ Cada uno de los siguientes enunciados corresponde a una gráfica de las de arri-ba. Identifícala.

1. Superficie (cm2) de un círculo. Radio en centímetros. 2. Aumento de una lupa. Distancia al objeto, en centímetros.

3. Temperatura de un cazo de agua que se deja enfriar desde 100 °C. Tiempo en minutos.

4. Número de amebas que se duplican cada hora. Se empieza con una.

5. Longitud de un muelle (dm). Mide 1 dm y se alarga 75 mm por cada kilo que se le cuelga.

6. Dimensiones (largo y ancho, en centímetros) de rectángulos cuya superficie es 6 cm2_.

1. D 2. E 3. F 4. H 5. A 6. J

Página 248

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = f ) y = g) y = x3– 2x + 3 h)y = i) y =

j) y = k) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l2_.

a)

Á

b) [1, +@) c) (– @. 1]

d) [–2, 2] e) (– @, –2] « [2, +@) f ) (– @, –1) « (1, +@)

g)

Á

h)

Á

– {0} i)

Á

– {0}

j )

Á

– {–2, 2} k) l > 0

Página 249

1. Representa esta función: f (x) =

x+ 1, x é[–3, 0) x2– 2x + 1, x é [0, 3] 4, x é(3, 7) ° § ¢ § £ 1 x2– 4 1 x2 1 x 1 √x2– 1 √x2– 4 √4 – x2 √1 – x √x– 1 √x2+ 1

2. Haz la representación gráfica de la siguiente función:

g(x) =

Página 250

1. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera: a) y = Ent (x) + 2 b) y = Ent (x + 0,5) c) y = Ent d) y = Ent (3x) a) y = Ent (x) + 2 b) y = Ent (x + 0,5) c) y = Ent d) y = Ent (3x) 2 2 1 –1 –2 4 –4 –2 Y X 8 4 4 –4 –8 8 –8 –4 Y X

)

x 4

(

4 2 2 –2 –4 4 –4 –2 Y X 4 2 2 –2 –4 4 –4 –2 Y X

)

x 4

(

4 2 2 –2 –4 –6 –4 –2 Y X 2x + 1, x < 1 x2– 1, x Ó 1 ° ¢ £ 4 2 2 6 –2 –4 –4 –2 Y X

2. Representa:

a) y = Mant (x) – 0,5 b) y = |Mant (x) – 0,5| c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5| Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero más próximo. Su gráfica tiene forma de sierra.

a) y = Mant (x) – 0,5 b) y = |Mant (x) – 0,5| c) y = 0,5 – |Mant (x) – 0,5|

Página 251

1. Representa: y = |–x2_{+ 4x + 5|} 2. Representa gráficamente: y =

_ß

– 3

_ß

4 2 4 Y X 2 6 8 10 6 x 2 4 2 4 2 6 –2 6 8 Y X X Y 1 –1 –2 –3 1 2 3 X Y 1 –1 –2 –3 1 2 3 X Y 1 –1 –2 –3 1 –1 2 3

Página 252

1. Representa y = x2. A partir de ella, representa:

a) y = x2_{+ 5}

b) y = x2– 2

2. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, representa: a) y = – x2 b) y = – x2+ 2 a) b) –2 2 2 –2 4 –4 –4 –6 X Y –2 2 2 –2 4 –4 –4 –6 –8 X Y 1 4 1 4 –2 2 2 4 4 –4 –2 2 2 4 6 4 –4 8 10 y = — x1 2 4 a) b) –2 2 2 –2 4 6 4 –4 –4 Y X Y Y X X 1 4 1 4 1 4

Página 253

3. Representa y = x2_{. A partir de ella, representa:}

a) y = b) y = – c) y = – + 8

4. Representa y = 1/x. A partir de ella, representa:

a) y = b) y = – c) y = – – 3 X Y 1 1 a) c) b) X Y 1 1 X Y 1 1 X Y 1 1 1 y = — x 2 x 2 x 2 x X Y 2 4 y = x2 –2 –4 2 4 6 8 X Y 2 4 –2 –4 2 4 6 8 a) X Y 2 4 –2 –4 2 4 6 8 c) X Y 4 –4 –8 –6 –4 –2 b) 2 –2 x2 3 x2 3 x2 3

Página 254

5. Representa y = – . A partir de esta gráfica, representa estas otras:

a) y = b) y =

6. Representa y = –3 . A partir de esta gráfica, representa estas otras:

a) y = –3 b) y = –3 c) y = –3 d) y = –3 a) b) –1 –4 –5 X Y 4 –9 –6 –3 1 9 X Y 4 5 –9 –6 –3 1 8 13 d) X Y 4 –9 –6 –3 –4 –1 –7 X 1 2 c) –1 –4 –5 –9 X Y –9 –6 –3 Y –9 –6 –3 y = –3√—x √– (x – 2) √–x √x– 4 √x+ 5 √x a) X Y –8 –8 –6 –4 –2 b) –6 –4 –2 X Y 4 –4 –8 –6 –4 –2 2 –2 x2 y = – — 2 X Y 8 –8 –6 –4 –2 6 4 2 – (x + 4)2 2 – (x – 8)2 2 x2 2

Página 255

7. Si y = f (x) pasa por (3, 8), di un punto de:

y= f (x) – 6, y = f (x + 4), y = f(x), y = 2f (x), y= –f (x), y = f (–x), y = –2f (–x) + 3 y = f (x) – 6 8 (3, 2) y = f (x + 4) 8 (–1, 8) y = f (x) 8 (3, 4) y = 2f (x) 8 (3, 16) y = –f (x) 8 (3, –8) y = f (–x) 8 (–3, 8) y = –2f (–x) + 3 8 (–3, –13) 8. Representa: a) y = – – 3 b) y = 3 a) y = – – 3 Representamos y = 8 y = 8 y = – 8 y = – – 3 X Y 1 2 4 1 2 –2 –1 –4 4 4 y = — x 4 y = – — x + 8 4 y = — x + 8 4 y = – — – 3 x + 8 –2 –4 X –6 –9 –4 Y 1 2 –2 –4 –1 4 –10 –7 –12 X –6 –9 –4 Y 1 2 –2 –4 –1 4 –10 –7 –12 Y –2 –1 –5 –7 –4 1 X –6 –4 –10 –7 –12 –9 4 x + 8 4 x + 8 4 x + 8 4 x 4 x + 8 √–x + 10 4 x+ 8 1 2 1 2

b) y = 3

Representamos y = 3 8 y = 3 8 y = 3

Página 256

1. Si f (x) = x2 – 5x + 3 y g (x) = x2, obtén las expresiones de f [ g (x)] y

g[ f (x)]. Halla f [ g (4)] y g [ f (4)].

f [g (x)] = f [x2] = x4_{– 5x}2_{+ 3}

g [ f (x)] = g [x2_{– 5x + 3] = (x}2_{– 5x + 3)}2

f [g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1

2. Si f (x) = sen x, g (x) = x2

+ 5, halla f ° g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor de estas funciones en x = 0 y x = 2. f ° g (x) = sen (x2_{+ 5); f ° g(0) = –0,96; f ° g(2) = 0,41} g ° f (x) = sen2_{x + 5; g ° f (0) = 5; g ° f (2) = 5,83} f ° f (x) = sen (sen x); f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79 g ° g (x) = (x2+ 5)2_{+ 5; g ° g (0) = 30; g ° g (2) = 86} X Y 1 4 9 3 6 9 y = 3√—x y = 3√—–x y = 3√—–x + 10 X Y 1 6 9 10 3 6 9 X Y –9 –4 –1 3 6 9 √–(x – 10) √–x √x √–x + 10

Página 257

1. Representa y = 2x, y = x/2 y comprueba que son inversas.

2. Comprueba que hay que descomponer y = x2_{– 1 en dos ramas para hallar sus} inversas respecto de la recta y = x . Averigua cuáles son.

a) y = x2 – 1 si x ≥ 0 b) y = x2– 1 si x < 0

y–1_{= y}–1_{= –}

3. Si f (x) = x + 1 y g (x) = x – 1, comprueba que f [g (x)] = x. ¿Son f (x) y g (x) funciones inversas? Comprueba que el punto (a, a + 1) está en la gráfica de f y que el punto (a + 1, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y = x.

f [g (x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x

Son funciones inversas.

y = x + 1 y = x – 1 Y X y = x2 _{– 1} y = √x + 1 y = x y = x Y X y = x2 _{– 1} y = –√x + 1 Y X √x + 1 √x + 1 y = 2x y = x y = x/2 Y X

Página 259

1. La masa de madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100 años. Si toma-mos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 1800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 100 años, la función

M= 1,4t _{nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t}

expresado en siglos a partir de 1800 (razona por qué).

a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple que en 1800 (1,4t_{= 3) y}

cuándo había la tercera parte. Observa que los dos periodos de tiempo son iguales.

b) Calcula la cantidad de madera que habrá, o había, en 1900, 1990, 2000, 1600 y 1550.

M = 1,4t

a) • Buscamos el valor de t para el cual 1,4t= 3:

1,4t_{= 3 8 ln (1,4)}t_{= ln (3) 8 t ln (1,4) = ln (3) 8 t = ≈ 3,27}

Cuando pasen 3,27 · 100 = 327 años, se habrá triplicado la masa de madera. Esto es, en el año 1800 + 327 = 2127.

• Buscamos el valor de t para el cual 1,4t_{= = 3}–1_:

1,4t_{= 3}–1 _{8 ln (1,4)}t_{= ln (3)}–1 _{8 t ln (1,4) = –ln (3) 8 t = – ≈ –3,27}

Hace 3,27 · 100 = 327 años, había la tercera parte de masa de madera. Esto es, en el año 1800 – 327 = 1473. b) 1900 8 t = 1 8 M = 1,41= 1,4 1990 8 t = = 1,9 8 M = 1,41,9_{≈ 1,90} 2000 8 t = = 2 8 M = 1,42_{= 1,96} 1600 8 t = = –2 8 M = 1,4–2 _{≈ 0,51} 1550 8 t = 1550 – 1800 = –2,5 8 M = 1,4–2,5_{≈ 0,43} 100 1600 – 1800 100 2000 – 1800 100 1990 – 1800 100 ln 3 ln 1,4 1 3 ln 3 ln 1,4

2. Comprueba que, en el ejemplo anterior referente a la desintegración de una cierta sustancia radiactiva, M = m · 0,76t _{(t expresado en miles de años), el}

periodo de semidesintegración(tiempo que tarda en reducirse a la mitad la sustancia radiactiva) es de, aproximadamente, 2 500 años.

Para ello, comprueba que una cantidad inicial cualquiera se reduce a la mitad (aproximadamente) al cabo de 2 500 años (t = 2,5).

M = m · 0,76t

La cantidad inicial se ha reducido (aproximadamente) a la mitad en 2 500 años.

° § ¢ § £ Si t = 0 8 M = m · 0,760_{= m} m Si t = 0,25 8 M = m · 0,762,5_{≈ m · 0,5 = —} 2

Página 267

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Dominio de definición

1 Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) y = b) y= c) y=

d) y = e) y= f) y=

a)

Á

– {–1, 0} b)

Á

– {2} c)

Á

– {–1/2} d)

Á

e)

Á

– {0, 5} f )

Á

–

{

– ,

}

2 Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) y = b) y = c) y = d) y = a) (– @, 3] b) [1/2, + @) c) (– @, –2] d) (– @, 0]

3 Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) y = b) y= c) y = d) y= e) y = f ) y= a) x2_{– 9 Ó 0 8 (x + 3) (x – 3) Ó 0 8 Dominio = (+ @, –3] « [3, + @)} b) x2_{+ 3x + 4 Ó 0 8 Dominio =}

_Á

c) 12x – 2x2_{Ó 0 8 2x (6 – x) Ó 0 8 Dominio = [0, 6]} d) x2_{– 4x – 5 Ó 0 8 (x + 1) (x – 5) Ó 0 8 Dominio = (– @, –1] « [5, + @)} e) 4 – x > 0 8 4 > x 8 Dominio = (– @, 4) f ) x2_{– 3x > 0 8 x (x – 3) > 0 8 Dominio = (– @, 0) « (3, + @)} 1 √x2_{– 3x} 1 √4 – x √x2_{– 4x – 5} √12x – 2x2 √x2+ 3x + 4 √x2– 9 √–3x √–x – 2 √2x – 1 √3 – x √2 √2 1 x2– 2 2 5x – x2 1 x2+ 2x + 3 x– 1 2x + 1 x (x – 2)2 3 x2+ x PARA PRACTICAR

4 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su domi-nio de definición y su recorrido:

Los dominios son, por orden: [–2, 2]; (– @, 2) « (2, + @) y [–1, + @). Los recorridos son, por orden: [0, 2], (0, +@) y [0, + @).

5 De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rec-tángulos isósceles cuyos lados iguales miden x.

a) Escribe el área del octógono que resulta en función de x.

b) ¿Cuál es el dominio de esa función? ¿Y su recorrido?

a) A (x) = 16 – 2x2

b) Dominio: (0, 2). Recorrido: (8, 16)

6 Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/2 y 2x cm.

a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene 1 l de

volu-men. ¿Cuál es su recorrido? a) V (x) = x3

b) Dominio: (0, 10). Recorrido: (0, 1 000) Gráfica y expresión analítica

7 Asocia a cada una de las gráficas su expresión analítica. a) y = 1,5x b) y = x2– 2 c) y = – 0,25x2 d) y = a) III b) II c) I d) IV III 2 4 6 –2 2 4 –4 –2 –2 –4 –6 I 2 –2 1 II 2 –2 2 4 2 –2 IV –4 6 2 4 1 x– 4 4 x x 2 2 2 –2 –1

8 Asocia a cada gráfica la expresión analítica que le corresponda entre las si-guientes: a) y = b) y = 0,75x c) y = log₂x d) y = – a) II b) III c) IV d) I

Página 268

Representación de funciones elementales

9 Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próximo al vértice:

a) y = x2_{+ 2x + 1 b) y = + 3x + 1}

c) y = –x2+ 3x – 5 d) y = + 3x + 6 a)

Vértice: (–1, 0)

Cortes con los ejes: (–1, 0), (0, 1)

b)

Vértice: –3, –

Cortes con los ejes: (0, 1); (–3 – ; 0); (–3 + ; 0) 2 2 –4 –2 –4 –6 –2 Y X √7 √7

)

3 2

(

2 2 4 –4 –2 4 Y X x2 3 x2 2 I 2 4 –2 –4 –4 –6 –2 III 2 4 6 –2 2 4 –4 –2 II 2 4 –2 –4 2 4 6 –2 IV 2 4 –2 –4 2 4 6 –2 √–x √x + 2

c)

Vértice: , .

Cortes con los ejes: (–5, 0)

d)

Vértice: – , .

Cortes con los ejes: (0, 6); (–6, 0); (–3, 0)

10 Representa las siguientes funciones en el intervalo indicado: a) y = 2x2_{– 4, [0, 2] b) y = – , x Ó –1}

a) y = 2x2_{– 4, [0, 2] b) y = – , x Ó –1}

11 Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = b) y= b) a) 2 2 4 –4 –2 –4 –2 2 4 –4 –2 –6 –4 –2 Y Y X X –2x – 1 si x < 1 (3x – 15)/2 si x Ó 1 ° ¢ £ –2 si x < 0 x– 2 si 0 Ì x < 4 2 si x Ó 4 ° § ¢ § £ X Y 2 –1 X Y 2 2 4 –2 –4 3x2 2 3x2 2 2 4 6 –4 –6 –8 –2 Y X

)

–3 4 9 2

(

2 4 –4 –2 –4 –6 –2 Y X

)

–11 4 3 2

(

12 Representa:

a) y = b) y=

13 Representa las siguientes funciones:

a) y = b) y= c) y= d) y=

14 Representa las siguientes funciones:

a) y = b) y= – c) y = 2 + d) y = 1 – a) b) 2 4 2 4 6 6 8 –2 –6 –4 2 4 –2 6 √x √x √x+ 3 √x– 1 a) 2 4 2 4 –4 –2 –2 –4 b) 2 4 2 4 –4 –2 –2 –4 c) 2 2 4 d) –4 –2 –2 –4 4 2 4 2 –4 –2 –2 –4 –1 x– 3 –1 x 1 x– 1 1 x+ 1 a) b) 2 2 4 –2 –4 –2 2 4 –4 –2 –4 –2 Y X Y X (2x + 2)/3 si x < 2 –2x + 6 si x Ó 2 ° ¢ £ (x/2) + 2 si x Ì 2 x– (3/2) si x > 2 ° ¢ £

15 Haz una tabla de valores de la función y = 3x_{. A partir de ella, representa}

su función inversa y = log₃x.

16 Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = 0,6x b) y = 1,2x a) 1 2 2 y = 0,6x Y X –2 3 4 1 3 4 –1 –3 –4 x –3 y 4,63 –2 2,78 –1 1,67 0 1 1 0,6 2 3 0,36 0,22 2 4 2 (1, 0) (0, 1) y = 3x y = log3 x Y X –4 –2 –2 6 8 4 x 1/9 log₃x –2 1/3 –1 1 0 3 1 9 2 x –2 3x _1/9 –1 1/3 0 1 1 3 2 9 c) d) 2 4 2 4 6 6 8 –2 –6 –4 2 4 –2 6

b)

Composición y función inversa

17 Considera las funciones f y g definidas por las expresiones f (x) = x2+ 1 y g (x) = . Calcula:

a) ( f ° g) (2) b) ( g ° f ) (–3) c) ( g ° g) (x) d) ( f ° g) (x)

a) b) c) g (g (x)) = x d) f (g (x)) =

18 Dadas las funciones f (x) = cos x y g (x) = , halla: a) ( f ° g) (x) b) ( g ° f ) (x) c) ( g ° g) (x) a) f [g (x)] = cos b) g [ f (x)] = c) g [g (x)] =

19 Halla la función inversa de estas funciones: a) y = 3x b) y = x + 7 c) y = 3x – 2 a) x = 3y 8 y = 8 f–1_{(x) =} b) x = y + 7 8 y = x – 7 8 f–1(x) = x – 7 c) x = 3y – 2 8 y = 8 f–1_{(x) =} x + 2 3 x + 2 3 x 3 x 3 4 √x √cos x √x √x 1 + x2 x2 1 10 5 4 1 x 1 2 2 f(x) = 1,2x Y X –2 3 1 3 –1 –3

20 Representa la gráfica de y = log_1/3x a partir de la gráfica de y =

x

.

21 Comprueba que las gráficas de y = 3x_{e y =} x _{son simétricas respecto al eje OY.}

Transformaciones en una función

22 Representa f (x) = 4 – x2 y, a partir de ella, representa: a) g (x) = f (x) – 3 b) h (x) = f (x + 2) 2 f (x) = 4 – x2 2 4 4 –4 –2 –4 –2 2 4 4 Y X 6 8 2 –2 –4 (0, 1) y = 3x y =

(

—1

)

x 3

)

1 3

(

y = log_1/3 x 1 2 2 y =

(

—1

)

x 3 Y X –1 3 4 1 3 4 5 –1 –2

)

1 3

(

23 Esta es la gráfica de la función y = f (x):

Representa, a partir de ella, las funciones:

a) y = f (x – 1) b) y = f (x) + 2

24 A partir de la gráfica de f (x) = 1/x, representa: a) g (x) = f (x) – 2 b) h (x) = f (x – 3) c) i (x) = – f (x) d) j (x) = |f (x)| X Y 2 4 a) Y –1 –1 –2 1 f (x) = — x g (x) = f (x) – 2 X 2 –1 b) 2 2 4 –4 –2 Y X a) 4 2 2 4 –4 –2 Y X 2 2 Y X a) 2 2 4 –4 –2 –6 –4 –2 b) 2 2 4 –4 –2 –4 –2 Y Y X X

25 Representa la función f (x) = y dibuja a partir de ella: a) g (x) = f (x + 1) b) h (x) = f (x) – 3 Y g (x) = √—x + 1 f (x) = √—x h (x) = √—x – 3 X 1 2 3 4 b) a) 1 2 Y X 1 2 3 4 –2 –3 –1 X –1 1 2 3 1 2 √x b) Y h (x) = f (x – 3) j (x) = |f (x)| X 2 4 d) X 2 3 4 1 –1 –2 –3 c) Y 1 2 2 –1 –1 i (x) = – f (x) X 1 –1

Página 269

26 Representa las funciones: a) y = 2x_{+ 1}

b) y = 2x_{– 3}

☛ Utiliza la gráfica de y = 2x_.

27 Representa las siguientes funciones: a) y = 2x– 1 b) y = x+ 3 c) y = 1 – 2x d) y = 2–x

(

0, —1

)

8 b) 1 2 4 Y X 3 4 6 2 –2 –4

(

0, —1

)

2 2 4 4 Y X 6 8 10 12 14 16 2 –2 –4 a)

)

1 2

(

b) a) y = 1 y = 2x y = 2x + 1 2 4 4 Y X 6 8 10 6 2 –2 –4 –2 y = –3 y = 2x y = 2x – 3 Y 2 4 4 X 6 8 10 6 2 –2 –4 –2

28 Representa estas funciones a partir de la gráfica de y = log₂x: a) y = 1 + log₂x b) y = log₂(x – 1) c) y = – log₂x d) y = log₂(–x) a) y = 1 + log₂x b) y = log₂(x – 1) 2 Y X –2 –4 3 4 5 6 1 2 x = 1 _{y = log} 2 x y = log₂ (x – 1)

(

—, 01

)

2 y = 1 + log₂ x y = log₂ x 1 2 Y X 1 2 3 4 2 3 3 4 5 6 1 4 Y X 6 8 10 12 14 2 –2 –4 4 2 c) _d) y = 1 4 Y X –5 –6 –4 –3 –2 –1 1 2 –2 –4 (0, 1)

c) y = – log₂x

d) y = log₂(–x)

29 La expresión analítica de esta función es del tipo y = + b. Observa la gráfica y di el valor de a y b.

a = 2 b = 1

Valor absoluto de una función

30 Representa la función y = |x – 5| y comprueba que su expresión analítica en intervalos es: y= 2 4 2 4 6 6 8 10 12 –x + 5 si x < 5 x– 5 si x Ó 5 ° ¢ £ 2 –2 4 2 4 X Y 1 x– a 2 Y X 3 4 5 6 1 2 x = 1 y = log₂ x y = log₂ (– x) – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 –4 –2 y = – log₂ x y = log₂ x 1 2 Y X 1 2 3 4 2 3 3 4 5 6 1

31 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = |4 – x| b) y = |x – 3|

a) y =

b) y =

32 Representa y define como funciones “a trozos”:

a) y =

|

|

b) y = |3x + 6| c) y =

|

|

d) y = |–x – 1| a) y = – si x < 3 b) y = si x Ó 3 c) y = si x < d) y = si x Ó 2 4 2 6 –2 –4 –6 2 4 2 6 4 –2 –4 1 2 2x – 1 3 –x – 1 si x < –1 x + 1 si x Ó –1 ° ¢ £ 1 2 –2x + 1 3 2 4 2 4 6 6 –2 –4 2 4 2 6 –2 –4 –6 x – 3 2 –3x – 6 si x < –2 3x + 6 si x Ó –2 ° ¢ £ x – 3 2 2x – 1 3 x– 3 2 2 4 2 4 6 6 8 10 12 –x + 3 si x < 3 x – 3 si x Ó 3 ° ¢ £ 2 4 2 4 6 6 8 10 12 4 – x si x < 4 – 4 + x si x Ó 4 ° ¢ £ ° § § ¢ § § £ ° § § ¢ § § £

33 Representa la función:

y=

¿Puedes definirla como valor absoluto?

Sí.

y = –|2x – 4|

34 Representa estas funciones: a) y = |x2_{– 1|}

b) y = |x2– 4x| c) y = |x2_{+ 2x – 3|} d) y = |x2_{– 2x + 1|}

☛Mira el ejercicio resuelto número 5.

a) X 1 Y 2 3 –1 –2 –3 1 2 3 4 b) X 1 2 3 4 Y 5 –1 2 1 3 4 c) X 1 Y 2 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 d) X 1 2 3 4 Y 5 –1 2 1 3 4 – 4 2 4 6 – 2 8 10 12 2x – 4 si x < 2 –2x + 4 si x Ó 2 ° ¢ £

35 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: a) y = b) y =

c) y =

36 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la

función y = de esta forma: y = 2 + .

Comprueba que su gráfica coincide con la de y = 1/x trasladada 1 unidad hacia la izquierda y 2 hacia arriba.

y = y = 2 + 1 1 2 –3 –2 –1 2 3 –2 –1 –3 –4 Y X ₁ 1 2 3 4 –1 2 –2 –1 –3 –4 –5 Y X 1 x + 1 1 x 1 x+ 1 2x + 3 x+ 1 resto divisor dividendo divisor a) b) c) 2 4 2 4 –2 –4 –2 2 2 4 –2 –4 –4 –2 Y Y X X 2 2 4 –2 –4 –2 Y X –x – 1 si x Ì –1 2x2_{– 2 si –1 < x < 1} x– 1 si x Ó 1 ° § ¢ § £ –x2– 4x – 2 si x < –1 x2 _{si x Ó –1} ° ¢ £ x2– 2x si x Ì 2 3 si x > 2 ° ¢ £ PARA RESOLVER

37 Representa las siguientes funciones utilizando el procedimiento del problema anterior. a) y = b) y = c) y = d) y = a) y = = 3 + b) y = = 1 + c) y = = 3 + d) y = = 1 + 2 –2 –2 –4 –6 4 6 –4 –6 2 4 6 Y X 2 2 –2 –4 4 6 8 –2 –4 –6 4 6 Y X 2 x – 1 x + 1 x – 1 –1 x + 1 3x + 2 x + 1 3 1 Y X 2 2 –2 –4 –6 4 6 8 –2 –4 4 6 8 10 Y X 2 x – 4 x – 2 x – 4 3 x – 1 3x x – 1 x+ 1 x– 1 3x + 2 x+ 1 x– 2 x– 4 3x x– 1

38 Con las funciones:

f(x) = x – 5 g (x) = h(x) = hemos obtenido, por composición, estas otras:

p(x) = ; q (x) = – 5; r (x) =

Explica cómo, a partir de f, g y h, se pueden obtener p, q y r.

p = g ° f q = f ° g r = h ° g

39 La gráfica de una función exponencial del tipo y = k ax _{pasa por los}

pun-tos (0; 0,5) y (1; 1,7). a) Calcula k y a. b) Representa la función. a) 8 La función es y = 0,5 · (3,4)x b)

40 Halla la función inversa de las siguientes funciones: a) y = 3 · 2x– 1 b) y = 1 + 3x a) x = 3 · 2y – 1_{; = 2}y – 1_{; log} 2 = y – 1 y = 1 + log₂ 8 f–1_{(x) = 1 + log} 2 b) x = 1 + 3y; x – 1 = 3y; log₃(x – 1) = y 8 f–1_{(x) = log} 3(x – 1) x 3 x 3 x 3 x 3 2 4 4 2 –4 –2 k = 0,5 a = 3,4 0,5 = k 1,7 = k · a ° ¢ £ 0,5 = k · a0 1,7 = k · a1 1 √x+ 2 √x √x– 5 1 x+ 2 √x

Página 270

41 Busca la expresión analítica de estas funciones:

a) f (x) = b) f (x) =

42 Utiliza la calculadora en radianes para obtener el valor de y en cada una de estas expresiones:

a) y = arc sen 0,8 b) y = arc sen (– 0,9) c) y = arc cos 0,36 d) y = arc cos (– 0,75) e) y = arc tg 3,5 f ) y = arc tg (–7)

a) 0,93 rad 8 53° 7' 48" b) – 1,12 rad 8 – 64° 9' 29" c) 1,20 rad 8 68° 53' 59" d) 2,42 rad 8 138° 35' 25" e) 1,29 rad 8 74° 3' 17" f ) –1,43 rad 8 – 81° 52' 11"

43 Obtén el valor de estas expresiones en grados, sin usar la calculadora: a) y = arc sen b) y = arc cos c) y = arc tg 1

d) y = arc sen (–1) e) y = arc cos – f ) y = arc tg

a) 60° b) 60° c) 45°

d) – 90° e) 120° f ) 60°

44 La factura del gas de una familia, en septiembre, ha sido de 24,82 euros por 12 m3, y en octubre, de 43,81 por 42 m3.

a) Escribe la función que da el importe de la factura según los m3 consumi-dos y represéntala.

b) ¿Cuánto pagarán si consumen 28 m3? a) y = 24,82 + 0,633 (x – 12) y (28) = 34,94 euros √3

)

1 2

(

1 2 √3 2 x2 _{si x Ì 2} 4 si x > 2 ° ¢ £ –x – 1 si x Ì 3 2 si x > 3 ° ¢ £ a) –4 –2 –2 2 4 6 –4 2 4 6 b) –4 –2 –2 2 4 6 2 4 6

b) y = 24,82 + 0,633 (x – 12) = 0,633x + 17,22

45 Midiendo la temperatura a diferentes alturas, se ha observado que por cada 180 m de ascenso el termómetro baja 1°C. Si en la base de una montaña de 800 m estamos a 10 °C, ¿cuál será la temperatura en la cima? Representa grá-ficamente la función altura-temperatura y busca su expresión analítica.

T (h) = 10 – ; T (800) = 5,56 °C

46 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + 64t – 16t2 _{(t en} se-gundos y h en metros).

a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura del edificio.

c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?

a) b) 80 metros. c) 2 segundos. 60 80 100 40 20 1 2 3 4 5 TIEMPO (s) ALTURA (m) 120 140 6 8 10 4 2 200 400 600 800 1000 ALTURA (m) TEMPERATURA (°C) h 180 10 20 10 20 30 40 50 30 40 50 IMPORTE (euros) CONSUMO (m3₎

47 La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente, hasta un máximo de 15 g. Representa la función peso del paciente-cantidad de

medica-mentoy halla su expresión analítica.

y = 0,25x hasta un máximo de 15 g: 0,25x = 15 8 x = 60 kg

y =

48 El coste de producción de x unidades de un producto es igual a (1/4)x2₊ + 35x + 25 euros y el precio de venta de una unidad es 50 – (x/4) euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las x

uni-dades producidas, y represéntala.

b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máximo.

☛Los ingresos por la venta de x unidades son x(50 –(x /4 ))euros.

a) B (x) = 50x – –

(

x2+ 35x + 25

)

= – + 15x – 25

b) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola: x = = 15 Deben venderse 15 unidades.

49 Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 euros cada uno y sabe que por cada 10 euros de subida venderá 2 electrodomésticos menos.

a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros?

b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos men-suales.

c) ¿Cuál debe ser la subida para que los ingresos sean máximos?

a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno; luego los in-gresos serían de 450 · 90 = 40 500 euros.

b) I (x) = (400 + 10x) (100 – 2x) = –20x2_{+ 200x + 40 000}

(x = decenas de euros)

c) El máximo se alcanza en el vértice de la parábola:

x = = –200 = 5 8 50 euros – 40 – b 2a –15 –1 x2 2 1 4 x2 4 DOSIS (g) PESO (kg) 5 10 20 40 15 60 80 100 0,25x 0 < x < 60 15 x Ó 60 ° ¢ £

50 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 20 minutos en llegar a su casa, que está a 1 km de distancia.

Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida.

a) Representa la función tiempo-distancia. b) Busca su expresión analítica.

a)

b) f (x) =

51 Un cultivo de bacterias comienza con 100 células. Media hora después hay 435.

Si ese cultivo sigue un crecimiento exponencial del tipo y = kat

(t en minutos), calcula k y a y representa la función. ¿Cuánto tardará en llegar a 5 000 bacterias?

y = kat t = 0, y = 100 8 100 = k · a0 _{8 k = 100} t = 30, y = 435 8 435 = 100 · a30 _{8 a}30_{= 4,35 8 a = 4,35}1/30 _{8 a ≈ 1,05} La función es y = 100 · 1,05x_. Si y = 5 000 8 5 000 = 100 · 1,05x 50 = 1,05x 8 x = ≈ 80 min Tardará 80 minutos, aproximadamente.

10 20 30 40 50 TIEMPO (min) N.º BACTERIAS 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 log 50 log 1,05 (1/20) x si 0 Ì x Ì 20 1 si 20 < x Ì 50 –1/20 (x – 70) si 50 < x Ì 70 ° § ¢ § £ DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) 20 1 50 70

52 Un negocio en el que invertimos 10 000 €, pierde un 4% mensual. Escribe la función que nos da el capital que tendremos según los meses transcurridos, y represéntala. ¿Cuánto tiempo tardará el capital inicial en reducirse a la mi-tad?

y = 10 000 · 0,96x

Si y = 5 000 8 5 000 = 10 000 · 0,96x

0,96x_{= 0,5 8 x = ≈ 16,98 meses}

Tardará 17 meses, aproximadamente.

Página 271

53 Si f (x) = 2x _{y g (x) = log}

2x, ¿cuál es la función ( f ° g) (x)? ¿Y ( g ° f ) (x)? ( f ° g) (x) = (g ° f ) (x) = x

54 Dada la función f (x) = 1 + , halla f–1_{(x). Representa las dos funciones y} comprueba su simetría respecto de la bisectriz del 1.er_cuadrante.

f–1_{(x) = (x – 1)}2_{, x Ó 1} y = (x – 1)2_{, x ≥ 1} Y X y = 1 + √x y = x 2 4 6 8 2 4 6 8 √x CUESTIONES TEÓRICAS log 0,5 log 0,96 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 TIEMPO (meses) CAPITAL (€) 2 000 6 000 10 000

55 Dada la función y = ax_{, contesta:}

a) ¿Puede ser negativa la y ? ¿Y la x ? b) ¿Para qué valores de a es creciente?

c) ¿Cuál es el punto por el que pasan todas las funciones del tipo y = ax_?

d) ¿Para qué valores de x se verifica 0 < ax_{< 1 siendo a > 1?}

a) La y no puede ser negativa, la x sí. b) a > 1

c) (0, 1) d) Para x < 0.

56 Calcula x en las siguientes expresiones:

a) arc sen x = 45° b) arc cos x = 30° c) arc tg x = –72° d) arc sen x = 75° e) arc cos x = rad f ) arc tg x= 1,5 rad

a) b) c) –3,078

d) 0,966 e) f ) 14,101

57 Una parábola corta al eje de abscisas en x = 1 y en x = 3. La ordenada del vértice es y = – 4. ¿Cuál es la ecuación de esa parábola?

y = k (x – 1) (x – 3) = k (x2– 4x + 3) Vértice 8 x = = 2 8 y (2) = –k = – 4 8 k = 4 La ecuación es: y = 4 (x2– 4x + 3) = 4x2– 16x + 12 58 Halla el dominio de definición de estas funciones:

a) y = b) y= a) x + 3 Ó 0 Dominio = (– @, –3] « (2, + @) x – 2

√

x– 9 x

√

x+ 3 x– 2 4 2 PARA PROFUNDIZAR 1 2 √3 2 √2 2 π 3 x > 2 x Ì –3 ° ¢ £ x + 3 Ì 0 x – 2 < 0 ° ¢ £ ° ¢ £ x + 3 Ó 0 x – 2 > 0 ° ¢ £

b) Ó 0 Dominio = (– @, 0) « [9, + @)

59 Representa y expresa en intervalos las funciones: a) y = 1 – |x| b) y = |x – 1| – |x|

a) y = b) y =

60 Las tarifas de una empresa de transportes son:

• 40 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 20 t.

• Si la carga es mayor que 20 t, se restará, de los 40 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 20.

a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máxima: 30 t).

b) Obtén la expresión analítica. a) b) f (x) = Es decir: f (x) = 40x si 0 Ì x Ì 20 60x – x2 _{si 20 < x Ì 30} ° ¢ £ 40x si 0 Ì x Ì 20 [40 – (x – 20)] x si 20 < x Ì 30 ° ¢ £ 10 200 400 600 800 1000 INGRESOS CARGA (t) 20 30 2 2 –2 4 6 –2 –4 –6 1 –1 1 2 3 –1 –2 –3 1 si x Ì 0 1 – 2x si 0 < x < 1 –1 si x Ó 1 ° § ¢ § £ 1 – x si x Ó 0 1 + x si x < 0 ° ¢ £ x – 9 x x Ó 9 x < 0 ° ¢ £ x – 9 Ì 0 x < 0 ° ¢ £ ° ¢ £ x – 9 Ó 0 x > 0 ° ¢ £

Página 271

AUTOEVALUACIÓN

1. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = b) y =

a) La función está definida para los valores de x tales que x2– 2x Ó 0. Resolvemos la inecuación:

Dom = (– @, 0] « [2, + @)

b) Los valores de x que anulan el denominador no pertenecen al dominio de la función.

x3– x2= 0 8 x2(x – 1) = 0

Dom =

Á

– {0, 1}

2. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = |2x + 3| b) y =

a) La recta y = 2x + 3 corta al eje X en x = – . Para valores menores que – , cambiamos el signo de la ordenada. Por ejemplo: (–2, –1) 8 (–2, 1).

b) Para valores menores que 1, la gráfica es una parábola de vértice (0, 4). Para valores mayores que 1, es una recta.

X Y 1 X Y X Y y = 2x + 3 1 1 y = ⎪2x + 3⎪ 3 2 3 2 – x2+ 4 si x < 1 4 – x si x Ó 1 ° ¢ £ x = 0 x = 1 x2 _{– 2x > 0 x}2 _{– 2x > 0} 0 2 2 x3– x2 √x2– 2x

3. Representa y = . A partir de ella, dibuja la gráfica de y = . –2x + 5 x – 2

2x – 4 –2 8 = –2 +

1

(*) _{La gráfica de y = es como la de y = trasladada 2 unidades a la}

dere-cha y 2 unidades hacia abajo.

4. Ponemos al fuego un cazo con agua a 10 °C. En 5 minutos alcanza 100 °C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. a) Representa la función que describe este fenómeno y halla su expresión

analítica.

b) Di cuál es su dominio y su recorrido. a)

• La gráfica pasa por los puntos (0, 10) y (5, 100). • Hallamos la ecuación de esta recta:

Pendiente: = 18 8 y = 18(x – 0) + 10

• Para valores de x mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 8 y = 100

Expresión analítica: f (x) =

b) Dominio: f (x) está definida para valores de x entre 0 y 35, ambos incluidos. Por tanto, Dom f = [0, 35]. Recorrido de f = [10, 100] 18x + 10 si 0 Ì x < 5 100 si 5 Ì x Ì 35 ° ¢ £ 25 40 30 20 10 50 75 100 TEMPERATURA (°C) TIEMPO (min) 100 – 10 5 – 0 1 x –2x + 5 x – 2 X Y ₁ y = — x 1 (*) X Y 1 1 y = –2 + — x – 2 1 x – 2 –2x + 5 x – 2 –2x + 5 x– 2 1 x

5. El precio de venta de un artículo viene dado por la expresión p = 12 – 0,01x (x = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros).

a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, ¿cuáles serán los ingresos obteni-dos?

b) Representa la función n°- de artículos-ingresos.

c) ¿Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máximos? a) Si se venden 500 artículos, su precio será:

p (500) = 12 – 0,01 · 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = 500 · 700 = 350 000 €

b)

c) Hallamos el vértice de la parábola:

Deben fabricar 600 artículos para obtener unos ingresos máximos (360 000 euros).

6. Depositamos en un banco 5 000 € al 6% anual.

a) Escribe la función que nos dice cómo evoluciona el capital a lo largo del tiempo. ¿Qué tipo de función es?

b) ¿En cuánto tiempo se duplicará el capital? a) C = 5 000 1 + t 8 C = 5 000 (1,06)t_.

Es una función exponencial creciente, por ser a > 1.

b) 10 000 = 5 000 · 1,06t _{8 2 = 1,06}t _{8 log 2 = t log 1,06 8 t = = 11,9}

Tardará 12 años en duplicarse.

log 2 log 1,06

)

6 100

(

12 x = — = 600 artículos – 0,02 y = 12 · 600 – 0,01 · 6002= 3 600 cientos de euros ° § ¢ § £ 1 000 2 000 3 000 4 000 100 600 N.º DE ARTÍCULOS INGRESOS 1200 I(x) = p · x = 12x – 0,01x2

7. Dadas f (x) = y g (x) = , halla: a) f [ g (2)] b) g [ f (15)] c) f ° g d) g ° f a) f [g (2)] = f = f (–1) = = 0 b) g [f (15)] = g

(

)

= g (4) = = 1 c) f ° g(x) = f [g(x)] = f = = d) g ° f (x) = g[ f(x)] = g

(

)

= 1 √x + 1 – 3 √x + 1 x – 2

√

x – 3 1

√

— + 1 x – 3

)

1 x – 3

(

1 4 – 3 √15 + 1 √–1 + 1

)

1 2 – 3

(

1 x– 3 √x+ 1

Página 273

REFLEXIONA Y RESUELVE

Aproximaciones sucesivas

■ Comprueba que: f(4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995 ■ Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

■ A la vista de los resultados anteriores, ¿te parece razonable afirmar que, cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Lo expresamos así: f(x) = 7 Si f (x) = , entonces: f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995 f (x) = 7 ■ Calcula, análogamente, . f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995 f (x) = 6

Página 275

1. Cada una de las siguientes funciones tiene uno o más puntos donde no es conti-nua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:

a) y = b) y = c) y = d) y=

a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).

b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).

d) Salto en x = 4. 3 si x ? 4 1 si x = 4 ° ¢ £ x2– 3 x x2– 3x x x+ 2 x– 3 lím x 8 3 x2+ 6x – 27 2x – 6 lím x 83 lím x 8 5 x2_{+ 4x – 45} 2x – 10 lím x 85

LÍMITES DE FUNCIONES.

CONTINUIDAD

Y RAMAS INFINITAS

11

a) y = x2_{– 5 b) y =}

c) y = d) y=

a) Está definida y es continua en todo

Á

. b) Está definida y es continua en (– @, 5].

Las funciones dadas mediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos) son continuas donde están definidas.

c) Está definida en todo

Á

. Es continua, también, en todo

Á

. El único punto en que se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3:

3 · 3 – 4 = 9 – 4 = 5 3 + 2 = 5

Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también conti-nua en x = 3.

d) También las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la función es con-tinua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).

Página 278

1. Calcula el valor de los siguientes límites:

a) b) (cos x – 1)

a) – b) 0

2. Calcula estos límites:

a) b) log₁₀x

a) b) –1

Página 279

3. Calcula k para que la función y = f (x) sea continua en

Á

:

f(x) = (x3_{– 2x + k) = 21 + k} 21 + k = 7 8 k = –14 f (3) = 7 lím x 8 3 x3– 2x + k, x ? 3 7, x= 3 ° ¢ £ √3 lím x 80,1 √x2– 3x + 5 lím x 82 3 2 lím x 80 3 x– 2 lím x 80 x, 0 Ì x < 2 2, 2 Ì x < 5 ° ¢ £ 3x – 4, x < 3 x+ 2, x Ó3 ° ¢ £ √5 – x ° § ¢ § £

Página 281

4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican. Donde convenga, especifica el valor del límite a la izquierda y a la derecha del punto. Representa gráficamente los resultados:

a) f (x) = en –2, 0 y 2 b) f (x) = en 2, 0 y 3 c) f (x) = en 1 y –3 d) f (x) = en 0 y –3 a) f (x) = f (x) = – @ f (x) = + @ f (x) = 0 f (x) = – @ f (x) = + @ b) f (x) = f (x) = – @ f (x) = –3 f (x) = 0 c) f (x) = f (x) = 0 f (x) = + @ f (x) = – @ lím x 8 –3+ lím x 8 –3– lím x 8 1 (x – 1)2 (x – 1) (x + 3) lím x 8 3 lím x 8 0 lím x 8 2 4 (x – 3) (x – 2)2 lím x 8 2+ lím x 8 2– lím x 8 0 lím x 8 –2+ lím x 8 –2– x3 (x + 2) (x – 2) x4 x3+ 3x2 x2– 2x + 1 x2+ 2x – 3 4x – 12 (x – 2)2 x3 x2– 4 11 UNIDAD ° § ¢ § £ ° § ¢ § £ No existe lím f (x). x 8 –2 No existe lím f (x). x 8 2 ° § ¢ § £ No existe lím f (x). x 8 –3 2 –2 3 –3 2 3 –3 1

f (x) = 0 f (x) = – @ f (x) = + @

Página 282

1. Di el límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones dadas por sus gráfi-cas:

f₁(x) = – @ f₂(x) = –3

f₃(x) = + @ f₄(x) no existe.

Página 283

1. Di el valor del límite cuando x 8 + @ de las siguientes funciones: a) f (x) = –x2+ 3x + 5 b) f (x) = 5x3+ 7x c) f (x) = x – 3x4 d) f (x) = e) f (x) = – f ) f (x) = a) – @ b) + @ c) – @ d) 0 e) 0 f ) – @ x3_{– 1} –5 1 x2 1 3x lím x 8 + @ lím x 8 + @ lím x 8 + @ lím x 8 + @ y = f₃(x) y = f₄(x) y = f1(x) y = f2(x) lím x 8 –3+ lím x 8 –3– lím x 8 0 ° § ¢ § £ No existe lím f (x). x 8 –3 –3

2. Como (x3 _{– 200x}2_{) = + @, halla un valor de x para el cual sea}

x3_{– 200x}2_{> 1 000 000.}

Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 800 000 000.

3. Como = 0, halla un valor de x para el cual sea:

< 0,0001

Por ejemplo, para x = 1 000, f (x) = 0,0000

)

01.

Página 284

4. Calcula f(x) y representa sus ramas:

a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = – d) f (x) = 3x – 5

5. Calcula f(x) y representa sus ramas:

a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = d) f (x) = a) –@ b) 0 c) +@ d ) –1 –1 1 – x3 1 + x3 x3 x2– 3 x2– 3 x3 x3– 1 –5 lím x 8+ @ a) 0 c) 0 b) 0 d) +∞ 1 x2 3 x 1 3x lím x 8+ @ 1 x2– 10x 1 x2_{– 10x} lím x 8+ @ lím x 8+ @ 11 UNIDAD

1. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = a) f (x) = – @ f (x) = + @ b) f (x) = + @ f (x) = – @

2. Halla las asíntotas verticales y sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y = a) f (x) = + @ f (x) = – @ f (x) = – @ f (x) = + @ b) f (x) = + @ f (x) = +@ lím x 8 1+ lím x 8 1– lím x 8 2+ lím x 8 2– lím x 8 0+ lím x 8 0– x2+ 2 x2– 2x + 1 x2+ 2 x2_{– 2x} lím x 8 –1+ lím x 8 –1– lím x 8 –1+ lím x 8 –1– x2_{+ 3x} x+ 1 x2+ 3x + 11 x+ 1 ° § ¢ § £ x = –1 es asíntota vertical. ° § ¢ § £ x = –1 es asíntota vertical. –1 –1 ° § ¢ § £ x = 2 es asíntota vertical. ° § ¢ § £ x = 0 es asíntota vertical. ° § ¢ § £ x = 1 es asíntota vertical. 2 1

Página 287

3. Halla las ramas infinitas, x 8 + @, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a su asíntota:

a) y = b) y=

a) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal.

b) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua.

4. Halla las ramas infinitas, x 8 +@, de estas funciones. Sitúa la curva respecto a sus asíntotas, si las hay:

a) y = b) y=

a) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal.

b) grado de P – grado de Q Ó 2

f (x) = + @ 8 rama parabólica hacia arriba.

Página 288

1. Halla f(x) y representa la rama correspondiente:

f(x) = –2x3_{+ 7x}4_{– 3} f (x) = lím 7x4= + @ x 8 – @ lím x 8 – @ lím x 8– @ 1 lím x 8 + @ lím x 8 + @ 2x3_{– 3x}2_{+ 7} x x2+ 2 x2_{– 2x} 1 1 –x 1 + x2 lím x 8 + @ x3 1 + x2 x 1 + x2 11 UNIDAD

a) f (x) = (x + 3)/(–x ) b) f (x) = –x3/(x2+ 3)

a) f (x) = = = 0

b) f (x) = = –x = + @

Página 289

3. Halla las ramas infinitas, x 8 – @, de estas funciones, y sitúa la curva respec-to a las asínrespec-totas: a) y = b) y= c) y = d) y= a) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. b) f (x) = 0 8 y = 0 es asíntota horizontal. c) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal. d) y = x + 8 y = x es asíntota oblicua. 1 1 1 –x 1 + x2 lím x 8 – @ lím x 8 – @ lím x 8 – @ x3 1 + x2 x2 1 + x2 x 1 + x2 1 x2_{+ 1} lím x 8 – @ –x3 x2 lím x 8 – @ lím x 8 – @ 1 –x lím x 8 – @ x2 –x3 lím x 8 – @ lím x 8 – @

4. Halla las ramas infinitas, cuando x 8 – @, y si tienen asíntotas, sitúa la curva respecto a ellas: a) y = b) y= c) y = d) y= a) grado P – grado Q Ó 2 f (x) = + @ 8 rama parabólica. b) f (x) = 1 8 y = 1 es asíntota horizontal. c) y = x + 2 + 8 y = x + 2 es asíntota oblicua. d) f (x) = (2x2_{– 3x) = + @} –2 2 1 lím x 8 – @ lím x 8 – @ –2 x + 1 lím x 8 – @ lím x 8 – @ 2x3_{– 3x}2 x x2+ 3x x+ 1 x2+ 2 x2– 2x x4 x2+ 1 11 UNIDAD

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Discontinuidades y continuidad

1 a) ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función continua? b) Señala, en cada una de las otras cinco, la razón de su discontinuidad.

a) Solo la a).

b) b) Rama infinita en x = 1 (asíntota vertical). c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical). d) Salto en x = 2.

e) Punto desplazado en x = 1; f (1) = 4; f (x) = 2.

f ) No está definida en x = 2.

2 Halla los puntos de discontinuidad, si los hay, de las siguientes funciones: a) y = x2_{+ x – 6 b) y =} c) y = d) y= e) y = f ) y= a) Continua. b) 2 c) – d) Continua. e) 0 y 5 f ) Continua. 1 2 1 x2+ 2 2 5x – x2 1 x2+ 2x + 3 x– 1 2x + 1 x (x – 2)2 lím x 8 1 a) b) c) d) e) f) 2 2 –2 2 2 –2 4 –2 2 2 –2 –2 2 –2 2 2 4 4 –2 2 2 4 4 –2 PARA PRACTICAR

3 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en x = 0 y en x = –2: a) y = b) y= c) y = d) y= a) No es continua ni en x = 0 ni en x = –2. b) Sí es continua en x = 0, no en x = –2. c) No es continua en x = 0, sí en x = –2. d) Continua en x = 0 y en x = –2.

4 Indica para qué valores de

Á

son continuas las siguientes funciones:

a) y = 5 – b) y =

c) y = d) y=

e) y = f) y= x2_{– x}

a)

Á

b) [3, +@) c)

Á

– {0}

d) (–@, 0] e) –@, f)

Á

5 Comprueba que las gráficas de estas funciones corresponden a la expresión analítica dada y di si son continuas o discontinuas en x = 1.

a) f (x) = b) f (x) = c) f (x) = a) Continua. b) Discontinua. c) Discontinua. 2 2 –2 2 2 –2 2 2 –2 x2 si x ≠ 1 –1 si x = 1 ° ¢ £ x+ 2 si x < 1 3 si x > 1 ° ¢ £ 1 – x2 _{si x ≤ 1} x– 1 si x > 1 ° ¢ £

]

5 2

(

√5 – 2x √– 3x 1 x √x – 3 x 2 √7 – 2x √x2– 4 x x2– 4 1 √x 11 UNIDAD

☛ Recuerda que para que f sea continua en x = 0, debe verificarse que: f(x) = f (0)

f (x) = f (x) = f (x) = –1 = f (0)

Es continua en x = 0.

7 Comprueba si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican:

a) f (x) = en x = –1

b) f (x) = en x = 2

c) f (x) = en x = 1 a) No, pues no existe f (–1).

b) f (x) = f (x) = f (2) = –2. Sí es continua en x = 2.

c) f (x) = 3 ? f (x) = 4. No es continua en x = 1.

Página 296

Visión gráfica del límite 8

Estas son, respectivamente, las gráficas de las funciones:

f₁(x) = y f₂(x) =

¿Cuál es el límite de cada una de estas funciones cuando x 8 –2?

☛ Observa la función cuando x 8 –2 por la izquierda y por la derecha.

–1 x+ 2 1 (x + 2)2 f₁(x) –2 f₂(x) –2 lím x 8 1+ lím x 8 1– lím x 8 2+ lím x 8 2– 3x si x Ì 1 x+ 3 si x > 1 ° ¢ £ 2 – x2 _{si x < 2} (x/2) – 3 si x Ó 2 ° ¢ £ (3 – x)/2 si x < –1 2x + 4 si x > –1 ° ¢ £ lím x 8 0 lím x 8 0+ lím x 8 0– lím x 8 0

f₁(x) = + @

f₁(x) = + @

f₂(x) = + @

f₂(x) = – @

9 Sobre la gráfica de la función f (x), halla:

a) f(x) b) f(x) c) f(x) d) f(x)

e) f(x) f ) f(x) g) f(x) h) f(x)

a) + @ b) – @ c) 2 d) 0

e) 0 f ) 3 g) + @ h) 0

Límite en un punto 10 Calcula los siguientes límites:

a) 5 – b) (x3– x) c) d) 2x e) f ) log₂x g) cos x h) ex a) 5 b) 0 c) –2 d) e) 2 f ) 2 g) 1 h) e2 √2 lím x 82 lím x 80 lím x 84 √10 + x – x2 lím x 8–2 lím x 80,5 1 – x x– 2 lím x 83 lím x 8–1

)

x 2

(

lím x 80 –3 2 lím x 8–2 lím x 8+ @ lím x 82+ lím x 82– lím x 8– @ lím x 80 lím x 8–3+ lím x 8–3– lím x 8 –2+ lím x 8 –2– lím x 8 –2+ lím x 8 –2– 11 UNIDAD ° § ¢ § £ f₁(x) = + @ lím x 8 –2 ° § ¢ § £ No existe lím f₂(x). x 8 –2