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cuerda, llevando a ésta exactamente las mismas longitudes que están delimitadas en el kano/nion por números.

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El kano/nion es la regla que se coloca junto a la cuerda del “canon” o ins-trumento para hallar las razones matemáticas de los intervalos (cf. Gaud. Harm. 350.19). Cuando durante la pulsación se encuentran los intervalos buscados, se marca en la regla con una señal (shmei=on), con lo que se obtiene la medida.

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Las “equivalencias” (gr. parametrh/seij) se establecen entre la regla y la cuerda, llevando a ésta exactamente las mismas longitudes que están delimitadas en el kano/nion por números.

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Se refiere a los puentes fijos establecidos en EZB y HQG. La mayor ele-vación de estos puentes es necesaria para hacer más claro el punto de contacto y dividir así el segmento EH en dos secciones de tensiones claramente distintas. Bar-ker (BPH, pp.197-199) ha estudiado los cambios de tensión en la cuerda al introdu-cir un nuevo puente (que verosímilmente también será convexo, según 21.19) bajo el segmento EH y ser algo más elevado que los fijos. Cuanto más se aproxime este puente a uno de los puentes fijos, más tensión habrá en el segmento de cuerda más corto. Barker señala que Ptolomeo no se detiene en este aumento de tensión de am-bos segmentos (la tensión en amam-bos será igual cuando el puente móvil esté situado en el centro de EH), pues al aumentar la tensión, la razón (lo/goj) ya no correspon-derá exactamente a la que hay entre las alturas de los segmentos. No obstante, Pto-lomeo pudo simplemente no contar con ella desde el principio.

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Tou= kurtw/matoj grammh=j se refiere a las líneas EB y HG. Solomon (op.cit., p.27, n.143) destaca las tres propiedades de los puentes en los puntos de contacto con la cuerda: posición, igualdad y similitud. El texto implica que los nue-vos puentes (más pequeños y móviles) han de ser curnue-vos, como los fijos, aunque Ptolomeo no lo dice claramente; suponemos esto porque la “línea central” de la convexidad debe estar en estos puentecillos. Sin embargo Düring (op.cit., p.182) consideró los puentes sin la curvatura, de modo que entonces la “línea” debería quedar en la mitad de la convexidad (ku/rtwma) provocada en la cuerda por el puen-te. Lo que Ptolomeo reclama es que haya una total perpendicularidad entre los puentes móviles y ABGD –pues con la tensión un puente modifica el ángulo con la base imperceptiblemente– así como su paralelismo exacto con los puentes fijos; lo

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más verosímil, a nuestro juicio, es considerar puentes móviles circulares a la vista de 102.10-12, pasaje en que se estudia el problema que surge por la elevación de la cuerda al pasar por el puente móvil, más alto que el fijo.

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Gr. i)so/tonon. Hemos traducido “en igual tensión” aquí aunque en otras partes del tratado (11.15, 13.2-3, etc) se ha hecho por “igualdad de tono”, porque aquí cuenta más la tensión producida por le puente móvil que segmenta la cuerda, que el “tono” como sonido identificable en una escala.

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A otra parte de la cuerda.

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Frente a i)so/tonon (21.21), Ptolomeo establece aquí la “similaridad de tensión” (o(mo/tonon) entre dos partes “similares” de una cuerda (o(moi/oij, a)nalo/goij). En realidad, estas consideraciones sobre la cuerda están destinadas a evitar resultados erróneos o no congruentes, en el canon, con los establecidos por la razón (a semejanza de lo que ocurre en los otros instrumentos descritos). To\ o(mo/tonon es una condición previa para el experimento, porque explícitamente EK y KH deben ser (como también KL y LH entre sí) de “idéntica tensión”, 21.21 i)so/tonon. Por eso las partes iguales en longitud (mh=koj) deben tener una igual ten-sión entre sí, y cada parte individualizada ser homogénea en esta tenten-sión (21.21, mi/an e)/xousi ta/sin).

EB – AB = 90º LC – CD = 90º KX –BX = 90º 172

Una vez terminada la crítica a la doctrina pitagórica con las correcciones que Ptolomeo ha introducido, los siguientes capítulos pasan a revisar los postulados de la escuela aristoxénica (cf. Boeth. Mus.V 13), una revisión que pone de relieve

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sobre todo las diferencias de posiciones entre la tendencia pitagórica y la aristoxé-nica; las “incoherencias” de ésta última pueden no ser tales, sino el desarrollo de axiomas diferentes con consecuencias diferentes. En el primero de los capítulos hay dos ideas sobre las que descansa la crítica. De un lado, el hecho de que los aristoxé-nicos no definen las formas por sí mismas, creándose una circularidad en la que cada término definido remite a otro que, a su vez, remite a otro, volviéndose al final al término que en principio se quería definir. En efecto, en su exposición metodoló-gica, Aristóxeno dice que “lo que requiere demostración no es fundamental” (Harm. 55.3), sobre la idea del criterio de percepción como el fundamental; esta postura sobre la indemostrabilidad de los principios es propia de la escuela peripatética (cf. GMW, p.150, n.12 y Arist. APo. 76a33-4). De otro lado, la noción de intervalo como “magnitud” absoluta con un tamaño independiente de la tensión (lo que, como dice Ptolomeo, no se verifica en la organología) y por tanto la ausen-cia de noción de “excedente” (u(peroxh/), producto de la comparación de dos magnitudes diferentes (dos cuerdas, dos velocidades). Es conocido el rechazo aris-toxénico a la teoría del número en la a(rmonikh/, y la búsqueda de la inherencia en los elementos de la ciencia (Aristox. Harm. 54.19 ss.). Ambas ideas, como se puede ver, son complementarias. El capítulo se cierra con el problema que, a juicio de Ptolomeo, surge al partir de presupuestos tales: la noción de consonancia (o también de intervalo e)mmelh/j, cf. Ptol. Harm. I 7): ya afirmó que los intervalos consonantes se expresaban en razones preferentemente superparticulares (ib., supra 15.8, cf. 13.8), lo que implica por supuesto una parabolh/. Aristóxeno, pues, al considerar los intervalos como “lo contenido entre dos notas desiguales en tensión”, con una noción de dia/sthma como algo topiko/n (cf. Porph. in Harm. 95.13 ss.) no muestra el pw=j e)/xeinpro\j a)llh/louj, y de ahí que no sea posible una definición de consonancia. Pero, con todo, no lo sería de acuerdo a la teoría cuantitativa; la consonancia es aprehendida, para el tarentino, de forma independiente por la ai)/sJhsij y sin apelación a la reflexión acústica: cf. Aristox. Harm. 42.8 ss. y 54.19 ss., donde los intervalos se clasifican por su magnitud y por su carácter disonante o consonante, aunque, según el tarentino ésta última depende de la primera, por lo que, a falta de una definición de consonancia, ésta queda remitida a la percepción de la magnitud del intervalo.

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El caso de la octava más cuarta, cf. Porph. in Harm.124.3 ss.

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La principal crítica ptolemaica al aristoxenismo se dirige contra el mo-delo teórico de esta escuela, absolutamente ajeno a la matemática. Y lo que es más grave quizá, como apunta Barker (BPH, p.90), es que siendo una escuela que se basa en el criterio de la percepción, ésta tampoco corrobora sus propios resultados. Aquí mousikh/ equivale a a(rmonikh/ según Solomon (op.cit., p.28 n.147), pero no sólo a ella.

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Con el sentido ya visto de “afección” en las condiciones auditivas (cf. I 1) que repercuten en la a)koh/. Pw=j e)/xein entre las notas es lo que condiciona un determinado pa/Joj (cf. Aristox. Harm. 86.1), y esta “cierta relación” consiste para Düring en general en las relaciones armónicas que guardan entre sí los sonidos. Aristóxeno no utilizó el término con este sentido: en Harm. 14.14 se refiere a la modificación de la voz según hablemos o cantemos; en 47.20 habla de pa/Joj como lo que le sobreviene al me/loj cuando modula, y en 56.10 ss., donde la propiedad de ser consonante cualquier consonancia más la octava es un tipo de pa/Joj.

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Cf. Aristox. Harm. 20.19, la definición de intervalo (dia/sthma), to\ u(po\ du/o fJo/ggwn w(risme/non mh\ th\n au)th\n ta/sin e/xo/ntwn. Más adelante, Ptolomeo (Harm. 23.11) utiliza, al hablar del lo/goj e)po/gdooj, la forma periexo/ntwn, que es la equivalente en la tratadística posterior a w(risme/non: cf. Cleonid. Harm. 179.11-12 y Anon. Bellerm. 22, to\ periexo/menon u(po\ du/o fJo/ggwn a)nomoi/wn tv= ta/sei.

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Gr. eiÅdoj. En Ptolomeo contiene dos sentidos claramente definidos: de un lado, el sentido filosófico (cf. supra. 4.7) procedente de la escuela aristotélica que, junto con ai)/tion, es pertinente a uno de los criterios, el lo/goj; de otro lado, su sentido musical, herencia de la escuela pitagórica (vid. infra)

Desde los niveles más altos de organización, en textos como los Anónimos de Bellermann (19) se emplea el término para dividir en partes la música (e)/sti de\ th=j mousikh=j ei)/dh e(/c) con el sentido de me/rh (cf. Porph. in Harm. 5.25, Aristid. Quint. I 4), entre las que se encuentra la rítmica, que según el autor anónimo distin-gue entre partes (me/rh) de los ritmos y sus formas (ei)/dh), como también distingue

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en ei)/dh la métrica (cap.16). Si en el capítulo 19 se dice que la harmónica es la prin-cipal parte (me/roj) de la música, debemos concluir que en lo que a ésta y sus siete distinciones (cap.13), el uso de eiÅdoj y de me/roj es idéntico, en el sentido aquí de “división en partes de un todo”.

Pero más concretamente, el sentido de “forma” como “organización” puede ser sinónimo a sxh=ma (vid. Michaelides, op.cit., pp.90 y 296), tal como había esta-blecido Aristóxeno en Harm. 92.7 (diafe/rei d’ h(mi=n ou)de\n eiÅdoj le/gein h)\ sxh=ma), en el sentido de la forma de aparición de la interválica de un tetracordio según la naturaleza simple o compuesta de sus magnitudes (cf. más tarde Cleonid. Harm. 195.8 ss., Anon. Bellerm. 60-62 con los sxh/mata o ei)/dh de cuarta, quinta y octava, y la elaboración ptolemaica en II, 3; además, en estos tratados anónimos [cap.2] sxh/mata aparece con el sentido de disposición de la melodía, un “esquema de construcción” melódica), en el sentido de “forma” o “esquema” de aparición de intervalos en una consonancia sin tener en cuenta el género: surgen así los tipos de cuarta, quinta y octava, tipos que están prefijados independientemente del género. Este sentido de eiÅdoj está también presente en el tratado de Ptolomeo (Harm. 56.7-8), con la definición, diferente de la del tipo aristoxénica, poia\ Je/sij tw=n kaJ’ e(/kaston ge/noj i)diazo/ntwn e)n toi=j oi)kei/oij o(/roij lo/gwn.

Este sentido aristoxénico de “esquema interválico del tetracordio” es el que nos aparece cuando se habla de los géneros de la melodía y sus “matices”, xro/ai (cf. Anon. Bellerm. 53-54). Estos matices o “colores” son diferentes versiones de la interválica de cada género, son : Cleónides en 190.6 dice que la xro/a es una ge/nouj ei)dikh\ diai/resij, “una división del género según el eiÅdoj”. Por su parte, el género que no tiene “coloraturas” o xro/ai, el enarmónico, es monoeidh/j (Anon. Bellerm. 52). En Ptolomeo no hay un uso de eiÅdoj con el sentido de xro/a, pero es interesante notar que el término utilizado es i))de/a (cf. Harm. 120.4-5, au(/th te [sc. h( a(rmoni/a] ga\r pa/lin trei=j i)de/aj perie/xei, th/n te e)narmo/nion kai\ th\n xrwmatikh\n kai\ th\n diatonikh/n). Ptolomeo (Harm. 32.20) emplea para definir ge/noj la expre-sión poia\ sxe/sij donde otros autores recurren a diai/resij (cf. Aristid. Quint. 15.21; Cleonid. Harm. 180.1; Bacch. Harm. 298.3; Gaud. Harm. 331.7, Nicom.

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Harm. 282.12). Los ei)/dh de las consonancias se encuentran, por ejemplo, en Aris-tid. Quint.14.18 ss., Anon. Bellerm. 60-62, Cleonid. Harm. 195.4.

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Así pues, según Ptolomeo los aristoxénicos ven el intervalo como un cuerpo (sw=ma) delimitado por notas entendidas como puntos incorpóreos. No pare-ce que tal conpare-cepción se desprenda de la misma obra del tarentino, pues aunque Aristóxeno tiene un concepto radicalmente diferente del intervalo del que ofrece la acústica pitagórica, no se encuentra en su tratado la caracterización que leemos aquí. Aristóxeno estableció en estos términos el intervalo (Harm. 20.20-21.4):

dia/sthma d’ e)sti\ to\ u(po\ du/o fJo/ggwn w(risme/non mh\ th\n au)th\n ta/sin e)xo/ntwn. fai/netai ga/r, w(j tu/p% ei)pei=n, diafora/ tij eiÅnai ta/sewn to\ dia/sthma kai\ to/poj dektiko\j fJo/ggwn o)cute/rwn me\n th=j barute/raj tw=n o(rizousw=n to\ dia/sthma ta/sewn, barute/rwn de\ th=j o)cute/raj.

“el intervalo es el espacio limitado por dos notas que no poseen el mismo grado. Por expresarlo con brevedad, el intervalo aparenta ser una diferencia entre grados, un espacio susceptible de recibir notas más agudas que el grado más grave y más graves que el grado más agudo de los que limitan el intervalo”.

Este “espacio” o to/poj es una caracterización del intervalo que supone la posibilidad de su división en dos partes iguales del intervalo, algo que, puesto que aquél es una relación superparticular en su expresión numérica, es imposible (cf. Euc. Sect. Can. prop.3). Aunque para el alejandrino cualquier descripción del inter-valo que no esté basada en la relación entre dos magnitudes es errónea, los capítu-los dedicados al aristoxenismo aquí y más adelante, en el recuento de capítu-los géneros melódicos (Ptolomeo volverá en 34.12-16 sobre la concepción que del intervalo como “espacio” tiene Aristóxeno) nos habla de la importancia capital que esta es-cuela tuvo sobre los estudios de teoría musical. Nótese que Ptolomeo dedica el mismo esfuerzo para revisar los errores de los aristoxénicos que para los de los pi-tagóricos, y cómo la doctrina de Aristóxeno, ya sea por transmisión directa o indi-recta, informan tratados tan dispares como los de Arístides Quintiliano, Ps.Plutarco o los Anónimos de Bellermann.

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Ahora bien, como señala Mathiesen (op.cit., p.443), aunque la noción de in-tervalo de Aristóxeno es radicalmente diferente a la concepción ptolemaica (que es la pitagórica), es más bien en los epígonos aristoxénicos donde parece encontrarse esta “incorporeidad” de las notas, a la vista de definiciones como las de Cleónides (Harm. 180.4), to/noj de/ e)sti to/poj tij th=j fwnh=j dektiko\j susth/matoj a)plath/j, “el tono es un cierto espacio de la voz, susceptible de recibir una escala, sin anchu-ra” o Nicómaco (Harm. 261.6-7), w(j d’ e)/nioi, hÅxoj a)plath\j kata\ to/pon a)dia/statoj, “como [dicen] algunos, [la nota es] un sonido sin anchura, sin exten-sión respecto a un espacio” (recuérdese el pasaje ya citado de Ps.Plutarco, Placit. Phil. 902-903, donde se establece que los aristotélicos establecen que el sonido es incorpóreo). Es muy probable, entonces, que Ptolomeo refiera a estas fuentes como esos “aristoxénicos” del epígrafe del capítulo, más que a Aristóxeno mismo, lo que, según Mathiesen, nos hablaría del grado de profundidad en la lectura de la obra del tarentino por parte de Ptolomeo. A nosotros no nos cabe duda de que con la etiqueta de “aristoxénicos” el alejandrino se refiere a esos new/teroi que cita Nicómaco (Harm. 261.5), pues generalmente Ptolomeo se refiere a los demás autores por su propio nombre (el caso de Aristóxeno, de Dídimo o de Arquitas a lo largo del trata-do) cuando quiere precisar, y a los aristoxénicos los trata como una “escuela” o ai(/resij musical, cf. I 2; igualmente, en I 10 los ataques dirigidos contra el cálculo del semitono son referidos a “los más recientes autores”, pero no a Aristóxeno mismo.

También Teofrasto (ap. Porph. in Harm. 64.24-25) se refiere a esto: ou)de\ ga\r ta\ diasth/mata, w(/j tine/j fasin, ai)/tia tw=n diaforw=n, dio\ kai\ a)rxai/, e)peidh\ kai\ tou/twn paraleipome/nwn a)ei\ diaforai/, “pues no son los intervalos, como algu-nos dicen, las causas de las diferencias y por ello sus principios, puesto que cuando éstos son omitidos, las diferencias siempre [están]”: para los aristoxénicos, que una nota tuviera una altura no suponía que tuviese una cierta magnitud, pero estaba en una posición determinada en esta dimensión linear, que Teofrasto no admite sin una diafora/ entre los sonidos, como Ptolomeo (vid. GMW, p.117, n.39).

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Cf. Aristox. Harm. 27.15-16, e)/sti dh\ to/noj h( tw=n prw/twn sumfw/nwn kata\ me/geJoj diafora/. La diferencia de la definición de Ptolomeo con la ofrecida

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supra en 11.29 es que allí se trató de una conclusión de una demostración con pre-misas previamente adoptadas, mientras que el tratamiento aristoxénico es un círculo que se remite a sí mismo; Aristóxeno expone en Harm. 54.16-19 las “condiciones de estudio” para la harmónica, cuales son la aprehensión fenoménica, la distinción de lo derivado de aquello que es su origen, y la consideración de la ocurrencia y su consecuencia; y en 42.10 ss., donde dice que con la a)koh/, como criterio, kri/nomen ta\ tw=n diasthma/twn mege/Jh. De ahí que aunque la crítica a la circularidad está justificada (cf. ib. 55.3, to\ ga/r pwj a)paitou=n a)po/deicin ou)k e)/stin a)rxoeide/j), no lo es tanto así el que la ai)/sJhsij no pueda construir por sí misma el intervalo sin ape-lar a otras instancias; si bien Ptolomeo se puede referir a excerpta aristoxénicos, esto es un principio del propio tarentino; cf.además Harm. 51.16 ss. Para un peripa-tético como Adrasto (citado por Theo Sm. 53.5-7), el tono tenía un carácter “reco-nocible” (gnwrimw/tatoj) al ser la diferencia entre las dos primeras consonancias.

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Que la percepción aprehende por sí misma las consonancias ya lo acep-tó Ptolomeo: cf. Harm.12.18-20 y 27.4. Aquí el problema reside en la posibilidad de la percepción de construir (y reconocer) un intervalo de una determinada magni-tud; de ahí que Barker (op.cit., p.95) se pregunte si la frase ptolemaica “aunque la percepción, si quisiera afinar un tono, no necesitaría antes de la cuarta o de alguna de las demás, sino que sería capaz de constituir cada una de las diferencias de tal magnitud por sí misma” (23.14-16) la dice Ptolomeo como ataque a la teoría aris-toxénica o es una apostilla procedente del mismo aristoxenismo y traída como testi-go de la incoherencia de la escuela. Es difícil decirlo, pero en el detenido examen que Barker hace del argumento (op.cit., p.96), se demuestra que si se acepta que un tono es construible o distinguible perceptivamente, entonces la referencia a otras consonancias como cuarta o quinta en su definición no invalida ésta; ahora bien, en principio habría que pensar en un tono de 9:8, pero Ptolomeo es consciente (vid., por ejemplo, 45.5 ss.) de que hay otros tonos (10:9) cuya diferencia “es insignifi-cante” al decir de Ptolomeo, y no esperaríamos que una diafora/ como 81:80 fuese construible mediante el oído. Es bastante probable que el intervalo de tono ses-quioctavo fuese concebido por el aristoxenismo como directamente emitible y per-ceptible por la percepción, pues ya hemos visto cómo Adrasto (vid. N.Tr. anterior), en un pasaje de clara raigambre aristoxénica, lo dice claramente. No parece, en fin,

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que Ptolomeo pusiese muchos obstáculos al hecho de que la ai)/sJhsij sí pueda ser competente en el caso del intervalo de tono, debido a sus características melódicas y matemáticas, cf. 28.7-10 ss., “pues antes producirían un tono que un dítono, por-que el tono mismo es melódico y está en la razón sesquioctava (...), y para los sen-tidos son más fáciles de aprehender los más proporcionados”.

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Las doce partes de la octava representarían un intento de temperamento: cf. el temperamento de Ellis, donde un cent es la centésima parte de un semitono temperado, o 1/1200 partes de una octava.

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En cuanto al carácter circular de las definiciones aristoxénicas, éstas se basan en el poder de la percepción de reconocer directamente las consonancias (Aristox. Harm. 68.10 ss.) –lo que apoya también Ptolomeo expresamente, Harm. 12.18-20, 27.4–, mediante las cuales los demás intervalos son construidos (sobre esto, vid. Ptol. Harm. I 10). Pero éste es un argumento menor si lo comparamos con la crítica ptolemaica a la noción de dia/sthma como me/geJoj en 24.10-11, porque una vez establecido que el intervalo no es una relación (como quiere Ptolomeo ) y sí un espacio fijado dentro de un continuum, la circularidad se mantiene, pues siempre se puede partir de la percepción. Es más difícil, en cambio, refutar la crítica de 24.10 ss.

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El pasaje es oscuro. Aquello “de lo que forman parte los excesos” debe de ser, sin duda, las notas, pues su desigualdad es lo que produce el intervalo (cf. 24.16). Por la demostración que a continuación presenta Ptolomeo, el hecho de que las u(peroxai/ o excesos se vuelvan infinitos (a)/peiroi) o indeterminadas significa que los intervalos aristoxénicos entendidos como “espacios” deberían entonces ser entendidos, de acuerdo con el tarentino, siempre con el mismo tamaño, aunque, muy al contrario, podemos ver que las distancias físicas en el auló, por ejemplo, son menores cuanto más al agudo nos acerquemos. Ello sería prueba, entonces, para Ptolomeo, de que los intervalos, si los concebimos como mege/Jh o como to/poi, no pueden conservar su magnitud con independencia de la altura. Pero el alejandrino, como señala Barker (op.cit., pp.98-99) yerra en su crítica, pues aun entendiéndose el intervalo como espacio, para Aristóxeno también la consonancia de cuarta, por ejemplo, es la misma siempre, sea la altura que sea a la que se encuentre (cf. Ptol.

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Harm. 23.4-5), lo mismo que ocurre con el sistema de razones matemáticas. El “es-pacio” (to/poj) aristoxénico no es el espacio físico del auló, sino un continuum abs-tracto (cf. 20.4, donde Ptolomeo hizo la misma crítica de inexactitud de los instru-mentos). Para Barker, en los pasajes aristoxénicos no hay nada que lleve a la identi-ficación de ambos conceptos.

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Cf. Nota a la edición, ad locum. El pasaje es controvertido porque Pto-lomeo no parece demostrar mucha exactitud en el sistema de demostración de su tesis. Barker (op.cit., pp.97-98) demuestra efectivamente la inviabilidad del expe-rimento de Ptolomeo, pues si las letras designan distancias de cuerda o de auló, entonces no delimitan intervalos sino notas; de ahí que sugiera entender el diagrama del texto como una dia/stasij a la que hay que sobreenteder otra igual añadida, de modo que tuviésemos la distancia OB, que haría una octava, y OA, que haría a su vez la octava aguda de OB. De esta manera, la exposición queda salvada del error y el resultado que arroja hace necesario leer e)la/ttwn-mei/zwn, con lo que la traduc-ción quedaría “en el caso de que ajusten entre sí sus notas más agudas será menor, pero en el caso de las más graves, mayor”; así Barker (GMW, p.294) y Düring (PPM, p.38). Por su parte, la corrección de Düring (op.cit., p.184) se basa en una redefinición del diagrama, donde AB no es una distancia (aunque Ptolomeo lo diga expresamente, cf. 24.4 u(potiJei/shj ga\r th=j AB diasta/sewj) sino dos cuerdas di-ferentes a octava, A y B; como consecuencia, G y D son también cuerdas. Esta for-ma de ver el texto es más correcta acústicamente, pero creemos que aquí hay que admitir que Ptolomeo no es muy correcto en los fundamentos físicos de su explica-ción (cf. BPH, pp.98-99), y lo que hace Düring es desvirtuar sustancialmente el diagrama que aparece en su edición (y que es también el de Wallis) y crear un hiato importante entre las palabras del propio Ptolomeo, que califica a A de “extremo agudo” (tou= A nooume/nou kata\ to\ o)cu/teron pe/raj), es decir, extremo de la cuerda y no “la cuerda más aguda”, y el diagrama y la interpretación que ilustran su tra-ducción. Efectivamente, si A, B, G y D son cuerdas, y A es la más aguda, resulta la dia/stasijAG menor que la de BD:

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Según Düring, op.cit., p.38

Aquí, las “más agudas” son, claro está, D y A, y la u(peroxh/ entre G y A, que forman una quinta, es menor que la u(peroxh/ entre B y D (que forman otra quin-ta).

Pero, como se ha dicho, esto es una forma –como la de Barker, loc.cit.– de hacer que B y A formen un intervalo real entre sí por medio de la relación de dos longitudes (de cuerda), que es como lo entiende siempre Ptolomeo (y no como una distancia, cf. Ptol. Harm. 24.14-17, “pues lo consonante o lo melódico no es sola-mente una distancia vacía y una extensión, ni algo corpóreo, ni se juzga a partir de una sola cosa –la magnitud–, sino de estas dos primeras y desiguales, los sonidos que los producen”. Ahora bien, si AB es una dia/stasij, AB es una sola cuerda o determinada extensión. Esto cambia necesariamente el resultado: como dice B. Alexanderson (Textual Remarks on Ptolemy’s Harmonica and Porphyry’s Com-mentary, Göteborg 1969, p.10; cf. Solomon, op.cit., p.30, n.154), la quinta BG deja una u(peroxh/AD que es menor que la u(peroxh/GB que deja la quinta AG.

Según Alexanderson, op.cit., p.10

A pesar de su incorrección en el planteamiento acústico, esta interpretación se aviene mejor con las palabras del propio Ptolomeo y con Porfirio, in Harm.127.5 (en la mejor lectura, la de Düring siguiendo a V187). Es cierto que Ptolomeo nombra

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con letras en muchos casos las cuerdas, pero también lo hace con dos (cf. Harm. 28.7).

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Cf. Aristox. Harm. 20.20 ss., dia/sthma d’ e)sti\ to\ u(po\ du/o fJo/ggwn w(risme/non mh\ th\n au)th\n ta/sin e)xo/ntwn (...) diafora/ tij eiÅnai ta/sewn to\ dia/sthma kai\ to/poj dektiko\j fJo/ggwn ktl., y Porph. in Harm. 95.13-15 (también 125.22), oi( d’ ’Aristoce/neioi topiko\n ti/Jentai to\ dia/sthma: to/pon ga\r eiÅnai fwnh=j a)ki/nhton, e)n %Â kinou=men th\n fwnh\n phli/kon ti me/geJoj (...) a)fori/zousin, “los aristoxénicos dicen que el intervalo tiene un carácter espacial: pues lo definen como un espacio inmóvil de la voz, en el que movemos la voz de un determinado tamaño (...)”. La teoría del intervalo aristoxénica se basa en una concepción espacial del intervalo, cf. Aristox. Harm. 13.7-8 prw=ton me\n ouÅn a(pa/ntwn au)th=j th=j kata\ to/pon kinh/sewj ta\j diafora\j Jewrh=sai ti/nej ei)si\ peirate/on, y de ahí Porph. in Harm. 95.13-15 o Adrasto ap. Theo Sm. 53. La visión espacial es una magnitud en sí misma, compa-rable a otras magnitudes y medible en relación a las mismas, y por ello no una rela-ción (pro/j ti) entre dos magnitudes numéricas, como se desprendía de la teoría acústica ptolemaica (y la pitagórica en general). Es como si el me/loj transcurriese en una línea infinita virtualmente, pero en realidad acotada por las limitaciones na-turales de emisión y percepción. Las notas son puntos de tensión en esa línea, que delimitan entonces fragmentos de ella, y de ahí la subsiguiente definición de Aris-tóxeno de dia/sthma. Es justamente lo opuesto a la “relación” que según Ptolomeo configura el sistema acústico y armónico, según 12.2-9, donde diferencia muy bien yo/foj y fJo/ggoj. La crítica de Ptolomeo va dirigida en este caso contra este con-cepto de “espacialidad” (to/poj), pues no es “nada”; como argumenta Barker (PH p.94), la localización espacial no es un atributo del sonido, aunque sí su altura, y la variación de ésta es significativa. Una revisión crítica de esta concepción de la natu-raleza de los intervalos y su modo de producción se adelanta por Teofrasto (= Porph. in Harm.64.24 ss.): para Teofrasto, no son los intervalos mismos las causas de las diferencias, pues “si se dejan a un lado las diferencias, siempre existen” (ib. 64.25, e)peidh\ kai\ tou/twn paraleipome/nwn a)ei\ diaforai/). Para Ptolomeo estas magnitudes aristoxénicas no son nada (24.11-12, ta\ de\ mege/Jh mhJeno/j). Y aún más decisivo: según Ptolomeo una consonancia o un intervalo melódico es un espe-cial tipo de relación –como explicitó en I 7– y por tanto necesita dos elementos

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431

distintos. La magnitud por sí misma no es consonante o melódica; queda, al contra-rio, definida por la relación entre los dos fJo/ggoi que la delimitan, 24.16 a)lla\ du/o tw=n prw/twn (cf. 12.2-9) kai\ tou/twn a)ni/swn: no se trata de corporeidad o incorpo-reidad (24.14-15) sino de una relación entre desiguales. Con lo propiamente esta-blecido por Ptolomeo, la crítica al aristoxenismo venía dada.

186

Que Ptolomeo critique la concepción aristoxénica de la dia/stasij kenh/ no implica que adopte una posición conscientemente estoica, como mantiene Schönberger (op.cit., p.85), al menos tal y como se lee en Ps.Plutarco Placit. Phil. 902F11 ss.: cf. supra Harm. 3.2. Ya hemos visto la doctrina de Ptolomeo sobre el origen de los intervalos como pro/j ti en I 4.

187

Una de las propiedades del lo/goj como criterio, según vimos en I 1.

188

La crítica a los capítulos pitagóricos ha consistido en una corrección; a los aristoxénicos, en cambio, se les ataca con una ejemplificación de que la ai)/sJhsij no llega a las menores distinciones, como el autor apuntó en el primer capítulo. Aquí subyace una discusión sobre los criterios (cf. 27.1-14) con los que se confronta la magnitud de la consonancia de cuarta, sobre todo en lo referente al intervalo que queda una vez hemos distinguido dos tonos: si se trata de un semito-no, mitad exacta de un tosemito-no, como suponen los aristoxénicos, o bien tiene una mag-nitud menor, como supone la escuela pitagórico-platónica. Este problema de la magnitud de la primera consonancia está recogido por Adrasto (citado por Theo Sm. 67 ss.), quien establece la posición de Aristóxeno (dos tonos y medio, cf. Harm. 30.20 ss., 57.2, 70.4 ss.) y la de Platón (dos tonos y lei=mma, intervalo éste “incapaz de ser expresado” y con una u(peroxh/ entre sus términos de 13; cf. Ti. 36b). El capítulo se estructura en tres partes: a) exposición de la demostración aris-toxénica de que cuarta = 2 tonos ½ por medio de la afinación por consonancias; b) demostración racional de que la consonancia no cuenta con un semitono de tipo “temperado”; y c) evidencia racional de la desviación del semitono aristoxénico respecto al lei=mma.

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432

189

La consonancia menor es la cuarta, que contiene efectivamente dos to-nos y medio; el error no está en esta medida, sino en lo que se entienda, como ve-remos, por ese “medio”.

190

Conforme a los criterios ptolemaicos, el lo/goj es quien aporta la fiabili-dad en las más pequeñas diferencias o intervalos, a diferencia de la capacifiabili-dad que para ello tiene la ai)/sJhsij aristoxénica: cf. Ptol. Harm. 4.22 ss. Este lo/goj es el que está expresado en 26.5.

191

Esta demostración procede, en última instancia, de Aristóxeno (Harm. 70.5 ss.), pero Ptolomeo no la sigue fielmente. La demostración se sostiene en tanto que se supone un tono divisible en dos semitonos iguales y que dia/sthma es igual a to/poj. Como apunta Düring (op.cit., p.185), au)toi\ me\n (Ptol. Harm. 25.8) se opone a o( de\ lo/goj (26.5) por lo que hay que entender que la demostración aristoxénica apela desde el principio a la corroboración del oído: cf. Aristox.Harm.70.14-16, tou/twn d’ ou(/tw prokateskeuasme/nwn tou\j a)/krouj tw=n w(risme/nwn fJo/ggwn e)pi\ th\n ai)/sJhsin e)panakte/on. Pero ésta es siempre la perspectiva del tarentino: cf. la demostración “por consonancias” en Euc. Sect. Can. prop.17 y Ps.Plut. de Mus. 1145B-C.

192

El lei=mma es el intervalo que “resta” (cf. lei/pein) cuando a una cuarta de razón 4:3 le restamos dos tonos: (4:3): [(9:8).(9:8)] = 256:243, que ya fue enuncia-do por Filolao como di/esij, aquello que queda en la cuarta (sullaba/) después de dos tonos: cf. DK 44B6, di’ o)ceia=n de\ tri/a e)po/gdoa kai\ di/esij, sullaba\ de\ du/’ e)po/gdoa kai\ di/esij. Es la prueba, además, de que un tono, en tanto que razón su-perparticular, no puede ser dividido en dos partes iguales (cf. Euc. Sect. Can. propp.3 y 16). Constituye el llamado “semitono menor” (e)/latton) frente al “ma-yor” (mei=zon), llamado también a)potomh/, de razón 2187:2048 (cf., por ejemplo, Anon. Bellerm. 76); la diferencia entre ambos semitonos es la ko/mma (razón 531441:524288). El leima o resto se encuentra en el Timeo platónico (36b), es de-mostrado por Euclides (Sect. Can. prop.15, to\ dia\ tessa/rwn e)/latton du/o to/nwn kai\ h(mitoni/ou) y a Ptolomeo, que lo incluye dentro de su género diatónico ditonal, le sirve para refutar la medida de la magnitud de la consonancia de cuarta según

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433

Aristóxeno, quien la había fijado en dos tonos y un semitono (cf. Aristox. Harm. 31.2, 57.2 etc.; su demostración en 70.3 ss. = Ptol. Harm.25.9 ss.). Podemos encon-trar la explicación del término leima en fuentes como Adrasto (ap. Theo Sm. 70.3-6): dei= ei)de/nai o(/ti e)sti [sc. to\ lei=mma] tou= dia\ tessa/rwn: t%= ga\r dia\ tessa/rwn lei/pei pro\j to\ ge/nesJai du/o h(/misu to/nwn telei/wn, e igualmente Gaudencio 343.1 ss., quien lo refiere como el intervalo leipo/menon, y así, dio/per lei=mma e)klh/Jh. Más lejos apunta Arístides Quintiliano (96.3) cuando lo explica dia\ to\ dus-te/kmarton th=j i)so/thtoj e)ka/lesan oi( palaioi/.

Los teóricos que aceptan la medida del leima se esfuerzan por diferenciarlo del h(mito/nion, probando que aquél es menor que éste (algunos polemizan directa-mente contra él, como Panecio [ap. Porph. in Harm. 65.26 ss.], kai\ kata\ mousikh\n de\ to\ lego/menon h(mito/nion kata/xrhsi/j e)stin o)no/matoj). El procedimiento suele ser similar, aunque cada autor presenta variaciones en el desarrollo. Para mejor enten-der la posición de Ptolomeo y establecer sus dependencias, veremos en las notas siguientes la forma en que los teóricos hacen la operación; de cualquier forma, en general son dos las operaciones, una derivada de la otra: primero, calcular el leima como valor relativo en la magnitud de la cuarta; segundo, calcular la diferencia en-tre el semitono y el leima.

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Adrasto (ap. Theo Sm. 86.15-87.3), Arístides Quintiliano (96.26), Gaudencio (Harm. 342.7 ss.) y otros autores muestran otros números más bajos: 256, 243, 216 y 192 (los dos extremos son el resultado de 4:3 multiplicado por 64). Pero estos números no son los “primeros” en el sentido de que para los intereses de Ptolomeo (mostrar la división de un tercer tono), las cifras tradicionales men-cionadas no sirven, pues como indica Porfirio (in Harm. 130.8-21), 243 no tiene sesquiáltero (se entiende, como número entero): se multiplican entonces por 8, pues sí lo tiene 1944. Los números de Ptolomeo proceden de la división del Universo que aparece en el Timeo y generados de la serie 1, 2, 3, 4, 8, 9, 27, con operaciones tendentes a evitar los números racionales, como ya advirtió Platón (R. 525d), cf. C. González Ochoa, La música del universo, Universidad Nacional Autónoma de México, 1994, p.62.

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O lo que es igual, 1728:1536 = 9:8 (lo/goj e)po/gdooj); 1944:1728 = 9:8 (lo/goj e)po/gdooj); 2048:1536 = 4:3 (lo/goj e)pi/tritoj); 2048:1944 = 256:243 ( lei=m-ma).

En cuanto al cálculo del leima en función de las restantes magnitudes que componen la cuarta, Adrasto (ap. Theo Sm. 86.15 ss.) y Gaudencio (Harm. 342.7-26) duplicaron los términos de la razón del tono, 9:8, de forma que se obtienían 64 (= 8x8), 72 (= 9x8), 81 (= 9x9); cada uno de estos números es sesquioctavo del anterior. Ahora, para tener la razón 4:3 respecto al primer término (64), se obtiene 85,33 (Gaudencio: pe / kai\ tri/tou), un número que hay que evitar para esquivar los racionales: para ello se multiplican todos por 3, obteniéndose la serie 192, 216, 243 y 256. En la serie proporcional, hallamos la razón del leima en 243:256. Ptolomeo, por su parte, utilizará números de la serie del Timeo platónico (vid. infra 26.8-22).

195

Igualmente, 2187:1944 = 9:8 (lo/goj e)po/gdooj). Efectivamente, la razón 2187:2048 es mayor que 2048:1944:

2187_____(139)_____2048_____(104)_____1944

196

Por un lado, (2048:15=136,53)< 139 < (2048:14=146,28); y por otro, (1944:19=102,31)< 104 <(1944:18=108). Luego (2187:2048) > (2048:1944), y la fracción menor (to\ e)/latton tmh=ma) queda dentro de la consonancia de cuarta, pues ésta llega, desde 1536, hasta 2048. De hecho, (2048:1944) = [(256:243)·8], la razón del a)potomh/ (cf. Porph. in Harm. 130.18, a)/ra o)kta/kij gi/gnontai oi( a)riJmoi\ oi( aflj ktl.). Para otra reescritura diferente de la operación de Ptolomeo, vid. Mathie-sen, op.cit., p.443.

197

Un locus perplexus cuya lectura puede tener más de un sentido, en fun-ción de si hacemos una pausa antes o después de a(marti/an: este acusativo puede ser entendido como complemento de u(polhpte/on (en oposición a ma/xhn), o bien dentro del período siguiente. Düring (op.cit., pp.185-186) menciona todas las inter-pretaciones ofrecidas, a las que podemos añadir aquí la traducción de Barker (GMW, p.297), que no seguimos en absoluto: “One should not suppose that this sort of conflict is between reason and perception, but that is the fault of those who adopt erroneous premises, the more recent of them having employed a combination based

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on both sets of criteria”. Las dos puntuaciones son aceptables, y a pesar del argu-mento de autoridad de Porfirio, que entiende a(marti/an h)/dh tw=n newte/rwn (in Harm. 130.27-28), nosotros seguimos la interpretación de que a(marti/an sea com-plemento directo de u(polhpte/on, sin entender un zeugma (cf. Ptol. Harm. 28.2-3). A su vez, u(potiJeme/nwn puede referirse a personas (17.18) y a cosas (cf. Porph. in Harm. 130.26-27), y ambas interpretaciones son aceptables. Los new/teroi son los teóricos aristoxénicos, cf. la misma expresión en Nicom. Harm. 261.5, 263.23, aun-que también, como apunta Barker (BPH, p.105) pueden englobar al tipo de autores que se mueven entre una consideración matemática de la harmónica y la incorpora-ción de material aristoxénico (por ejemplo Arístides Quintiliano, Teón de Esmirna, Nicómaco, etc); no obstante, este capítulo está dedicado a ellos, y hay que recordar que Ptolomeo en 6.24-7.11 bosquejó un esquema de las escuelas musicales: allí se decía de los aristoxénicos que do/ntej toi=j dia\ ai)sJh/sewj katalambanome/noij o(dou= pare/rgon w(/sper katexrh/santo t%= lo/g%, kai\ par’ au)to\n kai\ para\ to\ fai-no/menon (...) para\ to\ faifai-no/menon de\ o(/ti kai\ tou/touj (sc. tou\j a)riJmou\j) e)pi\ a)noikei/wn tai=j ai)sJhtikai=j sugkataJe/sesi paraba/llousi merismw=n. Es decir, que en lo que respecta a la percepción (ai)/sJhsij), los aristoxénicos, a pesar de que la tomaban como criterio, no se mantenían coherentemente en ella, pues la sugka-ta/Jesij ai)sJhtikh/ ofrece unas divisiones que después no guardan coherencia con los números asignados a ellas. Lo que Ptolomeo hace en 27.1 es explicitar el pro-blema aún más. Aquí sugkata/Jesij no significa “combination”, como entiende Barker, sino que es usada en el mismo valor que en el pasaje ptolemaico anterior-mente citado. En el caso de 27.1 va contra el lo/goj porque los aristoxénicos están utilizando el criterio perceptivo en los intervalos menores, algo que Ptolomeo no puede aceptar puesto que estableció que la percepción no es fiable en tales interva-los (en I 1). Por eso para la refutación de esta incorrecta aplicación de interva-los criterios, Ptolomeo hace uso de las matemáticas, o lo que es lo mismo, del lo/goj.

Y por otro lado, esta aplicación de los criterios va contra la ai)/sJhsij (al igual que en 7.11), porque inmediatamente después (27.4-14) Ptolomeo dice que la ai)/sJhsij coincide a gritos con las medidas numéricas que ofrece el canon en los intervalos consonantes; hecho que, entonces, obvian los aristoxénicos al omitir di-chas medidas (los lo/goi e)pi/tritoi o h(mio/lioi). Si esto es así, no es coherente que

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436

entonces entiendan la cuarta como dos tonos y un semitono exacto, pues entonces ya no tendrímos razón sesquitercia de 4:3 exacta, como reconoce (ke/kragen) la percepción.

Se puede remitir 27.5-6 a supra 5.2-3, donde los intervalos son tomados mediante el oído pero comprobados indefectiblemente con la razón; en 27.5, con el monocordio, se confirma, efectivamente, la primera impresión del oído (también en las consonancias). El problema de los aristoxénicos, según Barker (op.cit., p.103), residiría en que las consonancias son afinadas de oído –sin problemas– pero no confrontadas con aquéllas que da la razón (el canon monocordio), y por tanto con-tienen un elemento, por mínimo que sea, de inseguridad. Ésta es la diferencia, se-gún Ptolomeo, en el establecimiento de las hipótesis (27.2). Pero nos parece éste un punto problemático dada la insistencia de Ptolomeo, a pesar de esto, en la solvencia de la ai)/sJhsij para la aprehensión de las consonancias (cf. 12.18-20, 23.15-16, 27.4) así como para los intervalos de gran tamaño, por lo que la comprobación de las consonancias con un procedimiento racional no debería ser una exigencia del sistema. Esta exigencia de confrontación racional, no obstante, es la que lleva, al final del razonamiento ptolemaico, a la exigencia de reconocer que el intervalo que resta del dítono y la cuarta es el leima, dos de los cuales no hacen un tono. Por ello la quinta nunca se alcanzaría correctamente (27.5). Pero a pesar de todo, señala Barker, Aristóxeno dejó una puerta abierta a la posibilidad de error (cf. Aristox. Harm. 70.16-19) pues toda la demostración debe ser sancionada por el oído.

198

Long (op.cit., p.169 y 178, n.50) ha puesto de relieve la semejanza del texto ptolemaico (mo/non ou) ke/kragen) con S. E. M. VII 257 mo/non ou)xi\ tw=n trixw=n (…) lamba/netai (sc. h( katalhptikh\ fantasi/a).

199

Sc. oi( new/teroi, cf. Porph. in Harm. 130.3.

200

La crítica tiene su fundamento en lo expresado anteriormente en las capacidades de cada uno de los criterios en lo que a su exactitud en la aprehensión de intervalos se refiere (cf. 5.8-6.3): la ai)/sJhsij es competente para los intervalos mayores (por ejemplo, la cuarta y la quinta, como acaba de declarar Ptolomeo), pero necesita del lo/goj para los más pequeños. Según Ptolomeo, los aristoxénicos,

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437

aún basándose en la percepción como criterio único, estarían haciendo justo lo con-trario (cf. BPH, p.102).

201

Gr.tai=j prw/taij kai\ kuriwte/raij, sc. kri/sesi siguiendo a Düring, op.cit., p.187, pero cf. Porph. in Harm.131.9-10, ma=llon de\ prosa/ptousi kri/seij e)nanti/aj tai=j prw/taij kai\ kuriwte/raij tw=n lo/gwn, h(mioli/ou le/gw kai\ tou= e)pitri/tou.

202

Conforme a Euc. Sect. Can. prop.3 (152.1-3), Epimori/ou diasth/matoj ou)dei\j me/soj, ou)/te eiÂj ou)/te plei/ouj, a)na/logon e)mpesei=tai a)riJmo/j.

203

El segundo de los cálculos está destinado a la comparación entre semi-tono y leima, una demostración que remite a Euc. Sect. Can. propp.3 y 16 y cuyos cálculos parecen haber sido un lugar común en las matemáticas aplicadas a la har-mónica, como se desprende de los pasajes que citaremos. Ptolomeo pudo conocer tales pasajes y sin duda intentó mejorar la demostración. Así, que la división más aproximada de 9:8 sea 17:16 y 18:17 lo admiten Arístides Quintiliano (95.20 ss.) y Gaudencio (Harm. 343.1-10) mediante la operación de doblar los o(/roi de la razón: 8·2=16, 9·2=18, dos números (16 y 18, entre sí en relación sesquiáltera) entre los que se encuentra el 17 (cf. Procl. In Ti. II 179, 18 ss. y Aristid. Quint., loc.cit.: tou\j prokeime/nouj o(/rouj diplasia/santej e)poi/hsan me\n e(kkai/deka kai\ o)ktwkai/deka, metacu\ de\ tou/twn euÂron e)mpeso/nta to\n e(ptakai/deka). Así, el lo/goj e)fekkaide/katoj (17:16) es mayor que el e)feptakaide/katoj (18:17; estos dos lo/goi sumados dan 9:8), de modo que, según Gaudencio, el leima no es el semitono como mitad exacta del tono, pues (18:17)·(18:17) no resulta 9:8. Gaudencio recalca que no sólo 18:17 no es el semitono aristoxénico, sino que incluso 18:17 no es el leima, pues éste es aún menor (vid. infra). ¿Cuál es entonces el valor del semitono aris-toxénico? Lógicamente, sería mayor que 18:17 pero menor que 17:18 (Ptol. Harm. 27.19). Un intento es el de Adrasto citado por Teón de Esmirna (69.12 ss.), quien mantiene que el semitono es 17:16 (to\ h(mito/nion di\j e)po/gdoon e)/stai, toute/stin e)fekkaide/katon); ahora bien, 17:16 no es la media geométrica de 9:8. Pero supo-niendo como semitono 17:16, entonces 17 supera a 16 por 1:16 (cf. GMW, p.223 n.61); en el caso del leima, con quien lo compara, 13 (su u(peroxh/ entre los térmi-nos; cf. Boeth. Mus. III 5 [= Philol. DK 46A26] extrae esta cifra al considerar el

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438

tono como 27, siendo así 13 el lei/mma, 14 el a)potomh/ y 1 la ko/mma; vid. E. Frank, Plato und die sogenannten Pythagoreer, Darmstadt 1962, pp.265 ss.) es menor que 1:18 de 243 (ib. 69.15-16, ta\ de\ ig / tw=n smg / e)stin e)n lo/g% plei/oni o)ktwkaideka/tou: 243:18>13). Ptolomeo sigue este procedimiento, y mientras que Adrasto sólo operaba con una razón (17:16), el alejandrino intenta hallar una cifra entre dos razones, 17:16 y 18:17, una cifra entera que se añada a la u(peroxh/, 13: sólo es posible situar el 15 entre 1:16 de 243 y 1:17 de 243 (si el semitono está en-tre 17:16 y 18:17, tiene que hallarse enen-tre 1:16 y 1:17 del denominador, es decir, de 243). Así, 15 se suma a 243 resultando 258, y hallamos que 258:243 es la razón del semitono aristoxénico; restándole el leima, vemos que la desviación es de 129:128 (13,47 cents). Establecida la diferencia con el semitono, el leima se sitúa, dentro de la sucesión de números racionales, menor que 19:18 pero mayor que 20:19 (vid. nota 345): así Arístides Quintiliano (loc.cit.), quien dice que el leima es aproxima-damente 20:19 más 505:504; Anon. Bellerm. 75 lo sitúa de otra manera: mayor que 1:18 pero mayor que 1:19, o sea, 1+(1:18,692307); Ptolomeo, más adelante (50.9-10), lo establecerá de una manera mucho más simple: e)la/ttwn me\n gino/menoj tou= e)pi\ ih’, mei/zwn de\ tou= e)pi\ iJ’, “resultando menor que 19:18 pero mayor que 20:19”. Gaudencio (loc.cit.) sólo dice que es menor que 18:17 pero en Teón (86.15-87.3) leemos incomprensiblemente que es mayor que 18:19 (ta\ snj /... o(/j e)sti plei/wn h)\ e)poktwkaide/katoj).

204

Cf. supra 5.12-15 con el mismo razonamiento. Barker (BPH, p.103) cri-tica a Ptolomeo, pues éste no parece tener en cuenta que Aristóxeno sí concibe que la percepción perciba sin ayuda la cuarta, de modo que tampoco la necesitaría para tres cuartas: el “error acumulado” de Ptol. Harm. 5.15 ss. no se produciría entonces. En cuanto al dítono, no se trata de que “no sean capaces de producirlo una sola vez” (28.6), pues para Aristóxeno tal intervalo no se produce de inmediato por la percep-ción, sino mediante el movimiento de consonancias (Aristox. Harm. 68.15 ss.). Barker rechaza la argumentación ptolemaica sobre la base de que, siendo la demos-tración aristoxénica sostenida por los intervalos distinguibles mediante la percep-ción sin error (y que Ptolomeo también acepta, cf. 23.15, 12.18-20, 27.4), la teoría de los aristoxénicos no está diseñada para el discernimiento de la justa dimensión del semitono, y por tanto Ptolomeo no puede exigir a los aristoxénicos la diferencia

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con el leima. En realidad, el método de las consonancias de Aristóxeno sólo toma de oído las consonancias de cuarta y quinta, lo cual no ofrece problemas; ni siquiera lo hace así con el dítono, como Ptolomeo afirma. Sugiere Barker (op.cit., p.103, n.10) que quizá haya que suponer una fuente intermedia entre Aristóxeno y Ptolo-meo; de hecho, éste se refiere a los “más recientes autores”.

205

Aristóxeno, en cambio, sí halla en cambio el dítono mediante consonan-cias: cf. Harm. 70.3 ss.

206

Es decir, “simple” en el sentido de no estar compuesto por dos interva-los sucesivos, cf. Aristox. Harm.9.11-12.

207

El capítulo 11 es el último del bloque crítico al aristoxenismo –más ade-lante volverá a la doctrina de los géneros del tarentino en I 12–, y constituye otra vuelta de tuerca en su ataque al uso de la ai)/Jhsij como criterio en los intervalos más pequeños: la conclusión que se desprende es que un intervalo como la diferen-cia entre una octava de razón 2:1 y seis tonos, la llamada coma pitagórica (aunque Ptolomeo no le da nombre) ni siquiera es percibido. En efecto, (9:8)6: (2:1) = 531441:524288, aproximadamente 24 cents. Éste es un intervalo nada despreciable (incluso mayor que la diferencia entre semitono y lei=mma, 13 cents) si pensamos que tal desajuste constituye el problema del círculo de quintas en la afinación pita-górica y es el origen de la aparición de los temperamentos posteriores: dicha coma pitagórica también es la diferencia entre doce quintas justas (el círculo completo) y siete octavas, así como la diferencia entre a)potomh/ y lei=mma. La existencia de di-cho intervalo, o mejor, el conocimiento del desajuste entre octavas y quintas era conocido por Euclides, que lo formula, de manera más simple que Ptolomeo, en la Sectio Canonis, propp.9 y 14: en la prop.9 se declara que seis intervalos sesquioc-tavos son mayores que uno doble (157.5-6, ta\ e(\c e)po/gdoa diasth/mata mei/zona/ e)sti diasth/matoj e(no\j diplasi/ou) y en la 14 que una octava es menor que seis tonos (160.20, to\ dia\ pasw=n e)/latton h)\ e(\c to/nwn). Ptolomeo, dentro de su posición pitagórica, acepta también los cálculos pero los da por demostrados.

Por tanto, este capítulo 11 es complementario del anterior: si se demuestra que una cuarta (4:3) es menor que dos tonos y medio, la octava (2:1) debe ser

(22)

me-440

nor que seis tonos, una magnitud ésta que aceptan los aristoxénicos. La prueba del desajuste la realiza Ptolomeo en el canon, aumentando el número de cuerdas hasta ocho. Como ya antes (cf. supra 20.19 ss.), hay una preocupación por las condicio-nes de la prueba: la igualdad en todas las cuerdas se logra por el hecho admitido (30.14-16) de que el mayor grosor de una cuerda se ve compensado por el exceso de tensión de la más fina, en longitudes iguales y siempre según la misma propor-ción según Ptolomeo (en la idea de que la tensión se consigue con el menor grosor; de ahí las características de A y B, “compensadas” mutuamente y produciendo dos sonidos i)so/tonoi, cf. 30.6-7 y supra 9.1-3 con los mismos presupuestos físicos). Este argumento de la compensación no es nuevo, pero sirve a otros autores para exponer otros problemas, como la asignación de números grandes a notas graves (Adrasto, ap. Theo Sm. 65.13-22, du/o ga\r i)/swn to/ te mh=koj kai\ pa/xoj xordw=n kai\ taÅlla o(moi/wn to\ plei=on ba/roj dia\ th\n plei/w ta/sin to\n o)cu/teron poih/sei fJo/ggon. e)pei\ ga\r to\ plei=on ba/roj plei/w ta/sin poiei=, plei/ona th\n e)/cwJen prosdi/dwsi du/namin t%= kat’ au)to\n o)cute/r% fJo/gg%, e)la/ttona dia\ tou=t’ e)/xonti th\n i)di/an i)sxu\n tou= e)carth/matoj. dh=lon w(j a)ntestramme/nwj o( baru/teroj, th\n oi)kei/an au)tou= du/namin plei/w kekthme/noj tou= e)carth/matoj, e)parkei= pro\j to\ sw/zein th\n oi)kei/an a(rmoni/an te kai\ sumfwni/an) o dar argumentos contra la teoría cuantitativa del so-nido (Thphr. ap. Porph. in Harm. 63.11-14, e)n de\ tai=j xordai=j to\ i)/son kata\ Ja/teron dh=lon: o(/s% ga\r eu)tonwte/ra h( th=j leptote/raj ta/sij, tos%/de h( a)nei=sJai dokou=sa paxute/ra: ou(/tw te o(/s% i)sxuro/teroj o( hÅxoj e)k th=j lepto/teraj, tos%/de baru/teroj o( e(/teroj). Cf. también Nicom. Harm. 243.17-20 (tw=n me/n ge e)ntatw=n ai( ta/seij ai( mei/zonej kai\ eu)tonw/terai mei/zonaj kai\ o)cute/rouj fJo/ggouj a)perga/zontai, ai( d’ o)ligw/terai nwxeleste/rouj te kai\ barute/rouj). Ptolomeo re-coge este lugar para asegurar la fiabilidad y la homogeneidad de su demostración, pues no en vano dispone de todo el aparato físico-acústico pitagórico que desplegó en el capítulo 3, y que permite verificar mediante la ai)/sJhsij que la coma pitagóri-ca existe.

208

En la obra conservada de Aristóxeno no se dice tal cual, pero por su-puesto es inferible de su demostración de que la cuarta está compuesta de dos tonos y un semitono, así como su supuesto de que el tono es divisible en dos partes igua-les (Harm. 69.8 ss.; cf. 71.5-6, th=j u(peroxh=j ou)/shj toniai/aj te kai\ ei)j i)/sa

(23)

divrh-441

me/nhj wÂn e(ka/teron h(mito/nion). Explícitamente lo leemos, sin embargo, en el aris-toxénico Cleónides (Harm. 194.7-9): ...to\ dia\ pasw=n, to/nwn e(/c, oiÂo/n e)sti to\ a)po\ proslambanome/nou e)pi\ me/shn. De nuevo se hace evidente que Ptolomeo está usan-do material más reciente y no el tratausan-do del mismo Aristóxeno.

209

A juicio de Düring (op.cit., p.189) y Alexanderson (op.cit., p.11) se trata de Aristóxeno. Solomon (op.cit., p.35) dice que Ptolomeo tiene en cuenta la música de su época, pero sin duda es una referencia a cualquier músico competente cuya ai)/sJhsij no sea motivo de duda de cara al dilema que viene a continuación (28.20 ss.); es improbable que Ptolomeo se refiera al tarentino llamándolo así después de la crítica vertida, además del hecho ya comentado de que no parece que se esté refi-riendo a él mismo.

210

Por ejemplo, una sucesión do-re-mi-fa#-sol#-la#-si#, donde para la afi-nación pitagórica no son iguales las notas do-si#. En el libro III de la Harmónica de Aristóxeno no se halla la posibilidad de secuencia semejante.

211

Esto es, modificando la afinación de las cuerdas y produciendo tonos menores.

212

Es decir, nuestra percepción.

213

Es decir: (a) si la percepción es fiable (pues ocurre tal cosa, por ejemplo en el caso de la octava, incluso careciendo la nuestra de a)sJe/neia), entonces la razón (lo/goj) demostrará que es falso, algo que no les agradaría a los aristoxénicos, según Alexanderson (op.cit., p.11); o bien (b) si se debe a la falta de exactitud de la percepción, otro problema será la perfecta aprehensión de los dítonos (para la cuar-ta), porque el incremento es mayor, cf. supra 5.12-26.

214

Es decir, la misma razón interválica dispuesta varias veces (y cuyo pro-ducto resultase un intervalo consonante). Esto se debe a que un intervalo superpar-ticular, como dice Sectio Canonis, no puede dividirse en dos de forma igual (asi-mismo Ptol. Harm. 27.16-17). Esto es justamente lo que hacen los aristoxénicos, que suponen una suerte de sistema temperado.

(24)

442

Nuestra traducción sigue la interpretación de Düring, que consideramos la mejor. Los escolios, así como Barker (GMW, p.299) y Alexanderson (op.cit., pp.11-13) suponen “cuerdas” donde Düring entendía “magnitudes” (Wallis “diferencias”). Esta última interpretación es superior, pues da sentido a lo que viene a continua-ción, y es un colofón a lo dicho antes por Ptolomeo acerca de los seis tonos en su-cesión y la razón doble. El sentido del texto, aunque redactado por Ptolomeo de forma esquiva, es que el resultado de la repetición sucesiva de un mismo intervalo no da lugar a ningún intervalo consonante, ya antendamos al número que componga tal repetición, ya a su igualdad (para otras interpretaciones, vid. nota al texto). Esto es una consecuencia del carácter no temperado del sistema de afinación pitagórico y de la imposibilidad de dividir un intervalo e)pimo/rioj en dos iguales (cf. Euc. Sect. Can. prop.3).

215

Cf., sin embargo, Porph. in Harm. 133.4 kata\ to\n au)to\n tro/pon ai)sJh/sewj.

216

Cf. Euc. Sect. Can. prop.6: to\ dipla/sion dia/sthma e)k du/o tw=n megi/stwn e)pimori/wn sune/sthken, e)/k te tou= h(mioli/ou kai\ e)k tou= e)pitri/tou.

217

Cf. infra 69.16-17 y la imposibilidad de la igualdad (i)so/thj) en la pro-gresión del me/loj; esto ya lo estableció Aristóxeno (Harm. 36.12-14). Ptolomeo se apoyará en esta imposibilidad para refutar la progresión (parau/chsij, 69.17) de los to/noi mediante excedentes iguales, sean éstos cuales sean (contra, vid. Cleonid. Harm. 204.10). Todo el aparato de la crítica ptolemaica a la inexactitud de la divi-sión de la cuarta y la octava del libro I contribuye, además, a desmontar las progre-siones por incrementos iguales entre los to/noi, como se verá en el libro II.

218

65:65 son 26,84 cents, el doble de la diferencia entre semitono y leima (cf. supra 24.19; se trata del doble porque una octava contiene dos cuartas) estable-cido en 129:128, o sea, 13,47 cents; más exacto es 74:73 (23,55 cents). Siguiendo a Euc. Sect. Can. prop. 9 también obtenemos esta razón 65:64 de manera aproxima-da, pues como ya se ha dicho, (9:8)6:(2:1) = 531441:524288, una razón muy cerca-na a 65:64 (el cociente de la primera es 1,01364 y el de la segunda 1,0156). La más exacta es, como afirma Mathiesen (op.cit., p.444) es 64,8732:64.

(25)

443

219

Esta parte de la exposición de Ptolomeo se basa en Euc. Sect. Can. prop. 9 (= 157.5 ss.), que asigna números enteros para cada cuerda. En la demostración ptolemaica, cada segmento de cuerda entre el puente fijo y el móvil sería 8 novenas partes del segmento de la cuerda anterior. Pero esto se hace tras hacer la división en el kano/nion, de modo que la percepción no nos engañe en la colocación del puente-cillo y resulte así al final la octava 2:1, con lo que la demostración habría fallado. De ese modo, al comparar con las medidas racionales el resultado sobre las cuerdas, la percepción ha de reconocer su error y reconocer la verdadera medida (de acuerdo con 6.6-9).

220

Estos condicionantes para la construcción del canon y las operaciones con las cuerdas los vimos en 22.1-3 (igualdad de tono a iguales longitudes).

221

“Longitud”; en 10.13, distancia porque se trataba de comparar el fun-cionamiento de este factor de la producción del sonido tanto en cuerdas como en auló y voz humana.

Grosor y densidad eran factores de la producción del sonido ya estudiados en I 3. La introducción de la longitud de la cuerda está determinada porque la ten-sión aumenta con la disminución de la longitud, y viceversa (30.7). Esta relación ya la estudió también Ptolomeo en 10.6, “los sonidos son modificados en sentido in-verso a las distancias (cf. 10.1-3). Pues, así como la distancia mayor desde el origen resulta con respecto a la menor, es el sonido procedente de la distancia menor con respecto a la que procede de la mayor”, y éste es el principio que guía también el comportamiento del sonido en las cuerdas, según 10.12-14: “en las cuerdas resultan de forma absoluta más agudos los producidos con distancias menores entre los puentes que con distancias mayores”.

Por otra parte, si se afinan dos cuerdas iguales en tono (i)so/tonoi), la que tenga una mayor longitud será menos densa. Pero como las cuerdas que intervienen en el canon de 8 cuerdas tienen la misma longitud (30.2-3, e)n i)/soij mh/kesi), es la relación tensión / grosor lo que Ptolomeo tiene que estudiar para asegurarse de que tales factores no intervienen en la consecución de conclusiones erróneas.

(26)

444

222

Cf. supra 9.10-13, “y cada una de estas cosas no sucede propiamente a causa de lo denso o fino en sí mismo, sino por la tensión, porque a tales cosas les sucede que son más tensas, y lo más tenso resulta más vigoroso en las percusiones: esto resulta más compacto, y esto, más agudo”. El presente pasaje es un eco del inmediatamente citado. Aunque con problemas textuales (cf. N.Ed. ad locum), el sentido está claro: en las cuerdas del experimento con el canon, las posibles des-igualdades entre ellas referidas a la longitud o grosor se equilibran con la tensión (según Ptolomeo, en un grado similar). Aquí la tensión (ta/sij) sustituye a la densi-dad porque aquélla es el factor nivelador que no lo es ésta: de este modo, dice Pto-lomeo, la tensión actúa (tonoi=) como un contrapeso si es que hubiera desigualdades respecto a la longitud, por ejemplo; como consecuencia, la densidad (y la tensión) de las cuerdas de mayor longitud será igual a la de las cuerdas de menor longitud. A esto se dedican las siguientes líneas del texto. Cf. Porph. in Harm. 134.4 ss., “pues tensa y endurece, y por ello la tensión es más similar a las cuerdas de menores lon-gitudes”.

223

Es decir, a igual longitud y buscándose la misma altura tonal, el montan-te de la montan-tensión que hay que incrementar en la más gruesa es el mismo que el que sobra en la más fina. La relación se pudo establecer a la vista de las condiciones prácticas de un experimento, pero no es fácil disponer con exactitud la relación exacta entre diferente grosor y carencia de tensión. Lo inverso a lo establecido por Ptolomeo lo leemos, como ya hemos visto, en Teofrasto (ap. Porph. in Harm. 63.11-15), quien se basa igualmente en observaciones generales –y verosímilmente sin un experimento-, que conducen a la misma indeterminación. En el experimento de Ptolomeo, que sin duda sí se había enfrentado realmente a los problemas de las diferencias en las cuerdas, A y B tienen la misma altura tonal, pero las diferencias de grosor son suplidas con una diferencia de tensión; ésta es la razón que quiere establecer. La tercera cuerda tiene el grosor de la segunda (el grosor más fino) pero la tensión de la más gruesa (más tensión que la más fina). El hecho de que no se pueda decir la diferencia exacta de ta/sij entre A-B y G indica que la determinación exacta de la razón o proporción entre ta/sij y perioxh/ no estaba al alcance experi-mental de Ptolomeo Pero es que tampoco es necesario: la conclusión, como

(27)

mues-445

tra Barker (op.cit., p.203), es que si longitudes iguales ofrecen igualdad de tono (i)sotoni/a), las diferencias que hubiese entre ellas en tensión y grosor no intervienen en el sonido, y por tanto quedan neutralizadas entre sí. Ésta es una evidencia al al-cance de cualquier músico acostumbrado a afinar cuerdas: una cuerda más gruesa necesita de un volumen añadido de tensión para adquirir una altura tonal determi-nada, volumen que no le hará falta a otra cuerda más fina, porque es más densa; y viceversa. Lo que no es comprobable es que el montante de tensión y grosor sea exactamente el mismo pero de foma invertida.

224

Por lo dicho en 30.14-16.

225

Esto se debe, en la relación (lo/goj) establecida por Ptolomeo, a que las razones entre tensión y grosor son proporcionales a los sonidos; ésta es una conclu-sión de las dos primeras afirmaciones que preceden inmediatamente. El comple-mento de la afirmación de 31.11-12 es la de 31.15-16.

226

Las equivalencias, basadas en la compensación grosor-tensión en la misma razón (cf. 30.13-16) se pueden expresar así, donde t es tensión, g grosor, y el guión —, la relación (pro/j). Las ecuaciones críticas son aquéllas que compensan grosor y tensión, es decir, la primera y la última (cf. igualmente Wallis, op.cit., p.55):

(Gt —Bt) = (Ag —Gg), (Gt —Bt) = (At —Bt), (Gg —Ag) = (Ag —Bg) y (At —Bt) = (Ag —Bg).

Este tipo de consideraciones acústicas no las volveremos a ver hasta los ex-perimentos de G. Galilei en el Renacimiento, con sus Discorsi e dimostrazioni ma-tematiche (Leiden 1638), cf. J. James, The Music of the Spheres. Music, Science and the Natural Order of the Universe, New York 1995, p.94.

227

Una vez establecida la doctrina sobre las diaforai\ tw=n yo/fwn, se pasa a las diaforai\ tw=n genw=n o doctrina sobre los géneros, conforme al programa de Aristox. Harm. 24.16 ss. y 44.10 de la a(rmonikh/.

En la revisión de los géneros de otros autores, Ptolomeo empieza por aqué-llos que presenta Aristóxeno (Harm. 28.3 ss., 57.13 ss.), debido ante todo al

(28)

presti-446

gio de este autor y la “canonización” de sus divisiones tetracordiales. A este respec-to, Solomon (op.cit., p.40, n.196) añade que es más verosímil que Ptolomeo expon-ga las divisiones tetracordiales eliminando en primer luexpon-gar las que considera “peo-res”, revisando después las pitagóricas y acabando finalmente con las suyas. En lo que a Aristóxeno se refiere, nuestro autor expone los géneros del tarentino a la ma-nera de éste, con fracciones de tono y evitando su expresión en razones; los núme-ros que emplea Ptolomeo están en la tradición de la división del tono por Aristóxe-no en doce partes, que podemos leerlo en Rhyth. II 23.15 (oiÂon e)n toi=j diasthmati-koi=j to\ dwdekathmo/rion tou= to/nou)y, como sucede también para otros aspectos ya vistos antes están presentes en la obra de aristoxénicos tardíos como Cleonid. Harm. l92.12-193.2; también, con las cifras dobladas para evitar fracciones y ope-rar con enteros (según Porph. in Harm. 138.10 ss.), en Arístides Quintiliano (17.23). Estos números son los que presenta Ptolomeo, pero en II 14 aparece la cuarta aristoxénica dividida en 30 partes, como en Rhyth. y Cleónides. Sin duda es por ello que Porfirio parece apoyar una relación directa con el mismo Aristóxeno, cf. op.cit. 125.24 ss. y 137.25. Sin embargo, según Schönberger (op.cit., p.100) y Düring (op.cit., p.194), el uso por Ptolomeo de oiÂon (33.20) hace dudar de que Aris-tóxeno haya operado con tales números.

228

En I 7.

229

Barker (op.cit., pp.113-114) señala las posibles interpretaciones del tér-mino en este contexto (no hay relación con su ocurrencia en 125.10, donde no tiene un sentido técnico). En primer lugar, podría ser una variante de lo/goj (“razón”) con el sentido de que el producto de las tres razones que integran la consonancia de cuarta resulta 4:3 (así también SPH, p.39). En segundo lugar, en el contexto de la oración, se podría interpretar como “el número de divisiones posibles de la cuarta”, entendiéndose tal división de forma exhaustiva. En último lugar, a)nalogi/a como “proporción entre tres números” o “tres términos”: en este caso, 1 (la homofonía “que es una”, 32.13 e(\n o)/n), 2 (el número de las primeras consonancias, ib. e)k du/o) y 3 (el número de divisiones de la primera consonancia, 32.14 e)k triw=n); cf. Euc. Elementa V 8, a)nalogi/a de\ e)n trisi\n o(/roij e)laxi/sth e)sti/n.

(29)

447

230

Se llama “fija” (e(stw/j) a cualquiera de las dos notas “fijas” que señalan los límites de un tetracordio (cf. Michaelides, op.cit., p.136). La premisa de que para el estudio de los ge/nh han de conservarse inmóviles (en altura) los límites del tetracordio, lo recoge también Ptolomeo; Aristóxeno (Harm. 43.3-8) encuadra este hecho en el marco de la comprensión (cu/nesij) de la música como algo fijo y cam-biante a la vez; lo cual se ejemplifica en el estudio de las diaforai\ tw=n genw=n: ou) dei= d’ a)gnoei=n o(/ti h( th=j mousikh=j cu/nesij a(/ma me/nonto/j tinoj kai\ kinoume/nou e)sti...eu)Je/wj ga\r ta\j tw=n genw=n diafora\j ai)sJano/meJa tou= me\n perie/xontoj me/nontoj, tw=n de\ me/swn kinoume/nwn. Düring ya señaló la semejanza del pasaje de Ptolomeo con Aristox. Harm. 57.14, tw=n me\n a)/krwn meno/ntwn, tw=n de\ me/swn ki-noume/nwn; más concretamente, los sonidos e(stw=tej son designados por Aristóxeno (Harm. 28.11) como a)ki/nhtoi: e)n tou/t% ga\r du/o me\n oi( perie/xontej fJo/ggoi a)ki/nhtoi/ ei)sin e)n tai=j tw=n genw=n diaforai=j, du/o d’ oi( periexo/menoi kinou=ntai. Pto-lomeo sigue un esquema sintáctico parecido, y alejado de las definiciones paralelís-ticas de Cleonid. Harm. 185.18-20, Nicom. Harm. 263.11-14 o Alyp. 368.9-12.

231

Gr. kinou/menoi, es decir los sonidos “móviles” (en altura) del interior del tetracordio, y cuyas variaciones de tensión dan lugar a los géneros de la melodía. La expresión de Ptolomeo (tw=n de\ metacu\ du/o kinoume/nwn) guarda relación con Aris-tox. Harm. 57.15 tw=n de\ me/swn kinoume/nwn, y quizá tuviera a la vista algún pasaje como el de Cleónides (Harm. 185.17-21), e(stw=tej me\n ouÅn ei)sin o(/soi e)n tai=j tw=n genw=n diaforai=j ou) metapi/ptousin, a)lla\ me/nousin e)pi\ mia=j ta/sewj. kinou/menoi de\ o(/soi tou)nanti/on pepo/nJasi: e)n ga\r tai=j tw=n genw=n diaforai=j metaba/llousi kai\ ou) me/nousin e)pi\ mia=j ta/sewj. Schönberger da cuenta del uso de kinou/menoi por el más pitagórico fero/menoi (cf. Euc. Sect. Can. 165.4), pero o bien hemos de pensar que el uso de kinou/menoi en Ptolomeo se justifica por el contexto aristoxéni-co del pasaje, o bien hay que postular una equivalencia entre ambos términos, dado que fero/menoi se encuentra en autores como Baquio (Harm. 299.14) o Aristides Quintiliano (9). Nótese que en el tratamiento de Ptolomeo faltan clasificaciones asociadas a la distinción entre notas fijas y móviles como la de baru/puknoi y a)/puknoi (cf. Alyp. 368.12 ss.)

(30)

448

232

Ya en Aristóxeno metabolh/ es un término musical que designa un cam-bio en el orden melódico (pa/Jouj tino\j sumbai/nontoj, Harm. 47.20). Hay que lle-gar hasta la tratadística posterior para hallar definiciones completas, mediante tér-minos como meta/Jesij en Cleonid. Harm.180.7, cf. Aristid. Quint. 22.11 ss. y Anon. Bellerm. 27 y 65 a)lloi/wsij; Cleónides (op.cit. 205.2-4) afirma que se pro-duce o(/tan e)k diato/nou ei)j xrw=ma h)\ a(rmoni/an, h)\ e)k xrw/matoj h)\ a(rmoni/aj ei)/j ti tw=n loipw=n metabolh\ ge/nhtai. Por su parte, Baquio (Harm. 304.13-15) da una de-finición parecida, con el verbo de movimiento mete/lJv (él la llama metabolh\ ge-nikh/). La doctrina ptolemaica sobre la metabolh/ se desarrolla en II, 7, aunque a nuestro autor sólo le interesa la modulación de tono. Aquí define la modulación de género como una ki/nhsij (las notas móviles del interior del tetracordio, cf. infra 53.12); en este tipo de metabolh/ evidentemente hay que pasar al sonido correspon-diente en el tetracordio con la misma función. Cf. J. García López, “Sobre el voca-bulario ético-musical del griego”, Emerita 37 (1969), pp.335-352.

233

El género (ge/noj) es uno de los elementos constituyentes de la harmónica griega más característicos. Los griegos distinguieron tres géneros, llamados enar-mónico, cromático y diatónico, en función de la disposición interna de los interva-los, que seguía en general patrones determinados; además, como iremos viendo en la obra de Ptolomeo, el cromático y el diatónico tenían variantes llamadas xro/ai. Debido al estado de las fuentes de que disponemos, los géneros más conocidos y sin duda más estudiados son los que transmitió Aristóxeno a lo largo de su Harmó-nica, si bien podría discutirse en qué grado las medidas que este autor aporta co-rrespondían a la práctica real. La triple distinción a la que nos hemos referido hay que encuadrarla en la tradicional ordenación de la harmónica en siete aspectos que hace la tratadística, uno de los cuales es el referido peri\ genw=n.

No obstante esta clasificación triple, los géneros sufrieron a lo largo del tiem-po procesos de pretiem-ponderancia o eliminación. Aunque hubo modulaciones entre ellos, las fuentes coinciden en el prestigio del enarmónico –aunque fuera el cromá-tico el propio de la citarodia profesional– y sobre todo en la dificultad de ejecución, a causa de sus cuartos de tono. A pesar de que Ps.Plutarco admira la nobleza de tal género (de Mus.1145A-C), es cierto que hubo un avance del género diatónico en

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