Tema 1. Funciones de una variable Concepto de función.

Funciones de una variable.

1.1.

Concepto de función.

Definición 1.1 Se llama función (real de variable real) a toda correspondencia (o regla), f , que a cada

número x le asigna un único valor f(x). ♣

La regla que a cada número le asigna su cuadrado, f (x) = x2_{, es una función, ya que un número tiene un}

único cuadrado. Sin embargo, la regla que a cada número le asigna el número del que es cuadrado no es una función, ya que a un número positivo le asocia dos números (4 es el cuadrado de 2 y -2)

En el primer caso, tenemos una ecuación que relaciona un número con su cuadrado y= x2. En el segundo caso también se establece una relación entre los números mediante la ecuación x= y2_{, pero no tenemos una}

función. Sin embargo, podemos definir como funciones las raíces cuadradas positiva y negativa: la función f(x)= √xy la función f (x)= −√x.

La regla que a cada número le asocia este número, f (x)= x, es la función identidad y la regla que asigna a todos los números un mismo valor fijo c ∈R, f (x) = c, es la función constante. Obsérvese que en ambos casos a un número le asociamos sólo un número (distinto para todos en la primera y el mismo para todos en la segunda).

Podemos definir una función mediante varias reglas parciales sin más que comprobar que en los puntos comunes estas reglas definen el mismo número. Por ejemplo, la función valor absoluto es

f(x)= |x| =          x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0

Definición 1.2 Sea f : D ⊆R −→ R

El dominio de f , D, son los puntos en los que está definida Dom( f )= {x ∈ R/∃ f (x)}. La imagen, rango o recorrido de f son los valores que toma enR

Im( f )= {y ∈ R/∃x ∈ D con f (x) = y}.

La gráfica de f es su representación en el plano formada por el conjunto de puntos

Grf( f )= {(x, y) ∈ R2/ f (x) = y}. ♣ Ejemplo 1.3 -2 -1 1 2 3 4 1 c fHxL=c x=y2 y=- x y= x X Y -2 -1 1 2 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 fHxL=x2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 f HxL=x3

La función f (x) = c está definida para todo número y sólo tiene un resultado. Por tanto, su dominio está formado por todos los números reales y su imagen por el número c. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = c:

Dom( f )= R Im( f )= {c} Grf( f )= {(x, y) ∈ R2/y = c}.

La función f (x) = x está definida para todo número y todo número es un resultado. Por tanto, su dominio y su imagen están formados por todos los números reales. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y = x (la bisectriz del primer cuadrante):

Dom( f )= R Im( f )= R Grf( f )= {(x, y) ∈ R2/y = x}.

La función f (x) = x2 está definida para todo número y todo número positivo es el cuadrado de un número. Por tanto, su dominio está formado por los números reales y su imagen por los números reales positivos. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y= x2:

Dom( f )= R Im( f )= {y ∈ R/y ≥ 0} Grf( f )= {(x, y) ∈ R2/y = x2_}.

La función f (x)= x3_{está definida para todo número y todo número es el cubo de algún número. Por}

tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los números reales. Su gráfica son los puntos del plano que verifican la ecuación y= x3_:

Ejemplo 1.4 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 f HxL= x -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 f HxL= -x -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 -1 1 2 x=y 2

La función f (x)= √xestá definida para todo número positivo y su resultado es el número positivo del que es cuadrado. Por tanto, su dominio y su imagen están formado por todos los números positivos.

Dom( f )= {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f )= {y ∈ R/y ≥ 0} Grf( f )= {(x, y) ∈ R2/y = √x}.

La función f (x)= −√xestá definida para todo número positivo y su resultado es el número negativo del que es cuadrado. Por tanto, su dominio está formado por todos los números positivos y su imagen están formado por todos los números negativos.

Dom( f )= {x ∈ R/x ≥ 0} Im( f ) = {y ∈ R/y ≤ 0} Grf( f ) = {(x, y) ∈ R2/y = −√x}.

La función f (x)= √xy la función f (x)= −√xverifican la ecuación implícita x= y2, que no define

una función pero une en la misma gráfica las gráficas de ambas funciones. ♣

Definición 1.5 Sea f : D ⊆R −→ R

f es par si f(−x)= f (x) ∀x ∈ D.

f es impar si f(−x)= − f (x) ∀x ∈ D. ♣

Si f es par es simétrica con respecto al eje OY y si es impar con respecto al origen. Por ejemplo, la función f (x) = x2 _es

par, f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x), y la función f (x) = x3 es impar, f (−x) = (−x)3 _{= −x}3 _{= − f (x). Sin embargo, la función}

f(x) = √x no es ni par ni impar y, de hecho, no está definida para valores negativos.

-2 -1 1 2 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 f HxL=x2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 f HxL=x3 mbox -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 f HxL= x

Nota (Funciones lineales) Una función lineal es una función cuya representación en el plano es una línea recta y se puede escribir como f (x) = mx + b donde m y b son constantes reales. Está definida en todo R, su imagen es también todoR (salvo en el caso m = 0 que es una función constante) y su gráfica es la recta cuya ecuación es y= m x + b.

m=tangHΘL

b

Θ

-2 -1 1 2 3 4

La constante m, que recibe el nombre de pendiente, determina la inclinación de la recta, ya que es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje OX, m= tan(θ). La constante b es su punto de corte con el eje OY y determina el desplazamiento de la recta con respecto al origen, hacia arriba si es positiva y hacia abajo si es negativa.

Cuando la variable pasa de un valor inicial x0a un valor x el aumento

que experimentan los valores de la función, que denotamos por 4y, es proporcional al incremento de la variable, que denotamos por 4x. La constante de proporcionalidad es la pendiente m (4y = m4x) que, por tanto, es el aumento que experimentan los valores de la función cuando aumentamos la variable x en una unidad.

Dy=mDx Dx

Obsérvese que si m > 0 la recta es una función creciente y si m < 0 decreciente1

Nótese que si denotamos y0 = f (x0) e y= f (x) tenemos la ecuación punto-pendiente de la recta

y − y0 = m(x − x0)

Otra ecuación relacionada con la anterior es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos x − x0

x1− x0

= y − y0

y1− y0

en la que la pendiente se obtiene como la relación entre los incrementos de las dos variables m= y1−y0

x1−x0. Nota (Polinomios) Las funciones polinómicas (o polinomios) están definidas en todo R y son funciones de la forma

f(x)= a0+ a1x+ a2x2+ ··· + anxn

con n natural y a0, a1, . . . , an ∈R.

1_{Una función f es creciente si ∀x}

1, x2 ∈ D x1 < x2=⇒ f (x1) ≤ f (x2) (estrictamente si f (x1) < f (x2)). Es decreciente si

∀x1, x2 ∈ D x1< x2=⇒ f (x1) ≥ f (x2) (estrictamente si f (x1) > f (x2)). Si cumple alguno de los casos anteriores decimos que f

Cuando el grado del polinomio es dos, p(x) = ax2+ bx + c, tenemos

una parábola vertical que tiene por vértice el punto

V − b

2a, p 

−_2ab !

Este vértice es un mínimo si a > 0 (parábola convexa) y un máximo si a < 0 (parábola cóncava). Puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX que se obtienen mediante la fórmula

ax2+ bx + c = 0 =⇒ x = −b ± √ b2_{− 4ac} 2a a > 0 V X Y f HxL=ax2 +bx+c a < 0 _V X Y f HxL=ax2 +bx+c a > 0 X Y f HxL=ax3+bx2+cx+d a < 0 -1 1 2 3X -1 1 2 3 Y f HxL=ax3+bx2+cx+d

En el resto de los casos toman distintas formas y su comportamiento en el infinito depende del término de mayor grado. Para representarlas seguimos el procedimiento habitual.

Nota (Funciones inversas y potencias) Las potencias de exponente natural, n, se definen para todo x ∈R como f (x)= xny la potencia de exponente negativo, n= −m con m ∈ N, se definen para x , 0 como

f(x)= x−m = 1 xm

Cuando tomamos valores crecientes de x hacia+∞ la función xn _{crece más rápido cuanto más grande es el}

exponente n y la función x−m (m > 0) se acerca a cero tanto más rápido cuanto más grande es m.

x4 x3 x2 x 0.5 1.0 1.5 2.0 1 2 3 4 5 x-4 x-3x -2 x-1 1 2 3 4 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x4 x3 x2 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x-4 x-3 x-2 x-1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0 5 10 15 20 25

Cuando nos acercamos a cero los valores de la fun-ción xnse acercan a cero tanto más rápido cuanto más grande es el exponente n y las potencias de exponente negativo x−m crecen hacia+∞ tanto más rápido cuan-to más grande es m.

Las funciones f (x) = √n

x o raíces n-ésimas son las funciones inversas de las potencias de exponente natural, donde la inversa de una función inyectiva2 _{a cada y ∈ Im( f ) le asocia el único x tal que f (x)} = y

( f−1(y)= x ⇔ f (x) = y).

2_{Una función f es inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenes distintas, con lo que un elemento}

de la imagen tiene un único origen. f es sobreyectiva si todo número es imagen de algún elemento del dominio y, por tanto, el

La función f (x)= √3

xes la función inversa de f (x)= x3 _{en todo su dominio, pero la función f (x)} = √_xes

la función inversa de f (x) = x2 para x ≥ 0 y para definirla consideramos como dominio de f (x)= x2_el

intervalo [0,+∞). y‡ x3 y‡ x y‡3x -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 y‡ x2 y‡ x y‡x 1 2 3 4 1 2 3 4

En todos los casos, la gráfica de f−1es la imagen simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante de la gráfica de f (el dominio de f−1es la imagen de f y su imagen es el dominio de f ).

Las potencias de exponente racional están definidas para x > 0 y para x= 0 cuando p_q > 0 como f(x)= xpq = q

√

xp _♣

Ejercicio 1.6 Determinar el dominio de las siguientes funciones (a) f(x)= √ x2+ x + √_{x −3 (b) f(x)}= 1 3 √ x+ 6 (c) f(x)= √₄ 1 x+ 6

1.2.

Continuidad de funciones de una variable.

Definición 1.7 Sean f : [a, b] ⊆R −→ R, x0 ∈ [a, b].

f es continua en x0si

l´ım

x→x0

f(x)= f (x0)

donde el límite de f(x) cuando x tiende a x0es l si

∀ > 0 ∃δ > 0/x ∈ [a, b] y 0 < |x − x0|< δ =⇒ | f (x) − l| < .

f es continua en[a, b] si es continua en todos los puntos de (a, b), en a el límite por la derecha es f (a) y en

b el límite por la izquierda es f(b). ♣

Observación Una función es discontinua en un punto si no es continua en el punto pero es continua en un entorno reducido (no estamos interesados en los distintos tipos de discontinuidad). ♣

-0.5 0.5 1.0 1.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 1 2 3 4 2 4 6 8 1 2 3 4 1 2 3

Funciones discontinuas en un punto

Nota Los polinomios son funciones continuas en todo R. El producto de un número por una función continua, la suma de funciones continuas, el producto de funciones continuas y la composición de funciones

continuas son funciones continuas. Sin embargo, el cociente de funciones continuas sólo es una función

continua en los puntos en los que no se anula el denominador. ♣

Nota Las funciones racionales se expresan como cociente de dos funciones polinómicas, f(x)= P(X)

Q(X)

Sólo están definidas cuando el denominador, Q(x), no se anula. Su dominio es el conjunto de los números reales menos el conjunto de raíces del denominador y en este dominio la función es continua.

Ejercicio 1.8 Estudiar la continuidad de f (x) = −3x+ 5 x2_{− 3x}+ 2

Solución

Igualamos a cero el denominador

x2− 3x+ 2 = 0 ⇔ x = 3 ± √ 32_{− 4 · 2} 2 =          2 1 -10 -5 5 10 X -4 -2 2 4 Y

Por tanto, su dominio es Dom( f )= {x ∈ R/x , 1, 2} = R\{1, 2} y la función es continua en su dominio. ♣

Nota El comportamiento en el infinito de una función racional depende de los términos de mayor grado de numerador y denominador. Así, cuando los términos de mayor grado son positivos si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador crecen a infinito y si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador decrecen a cero con el eje OX como asíntota. Cuando los grados son iguales se acercan a un

valor constante (acercándose según una asíntota horizontal). ♣

Ejercicio 1.9 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f(x)= x 2+ x x − 3 (b) f(x)= x2_{− 1} x2+ 3x + 2 (c) f(x)= r x+ 1 x −1 (d) f(x)= √ x2_{− 2x}+ 1 3 √ x2_{− 1} (e) f(x)= x x2+ 1 (f) f(x)= 4 √ x+ 6

Proposición 1.10 (Teoremas clásicos) Sea f : [a, b] ⊆R −→ R continua en [a, b] entonces (Teorema de Bolzano). Si f(a) y f (b) tienen distinto signo existe c ∈ (a, b) con f (c)= 0.

(Teorema de los valores intermedios o de Darboux) Si c1, c2 ∈ [a, b] con c1 < c2 y f(c1) , f (c2), f

alcanza cualquier valor entre f(c1) y f (c2).

1.3.

Derivada de funciones de una variable.

1.3.1.

La derivada como tasa de variación

El valor de la derivada en un punto marcará el ritmo del cambio que experimenta el valor de una variable cuando se produce un cambio infinitesimal en el valor de la variable de la que depende.

Para analizar cómo responde la variable a este cambio consideramos una función que las relaciona, y = f (x). Así, partimos de un valor x0 para la

variable independiente, al que le corresponde un valor f (x0), y tomamos

otro valor x1, al que le corresponde un valor f (x1). El incremento de la

variable independiente es 4x = x1 − x0 y el incremento de la variable

dependiente 4y= f (x1) − f (x0) (el valor x1se escribe como x1 = x0+ 4x).

P Q Dy Dx x0 x0+Dx f Hx0L f Hx0+DxL

La tasa media de variación de y con respecto a x nos indica la variación relativa de una variable con respecto a la otra: 4y 4x = f(x1) − f (x0) x1− x0 = f(x0+ 4x) − f (x0) 4x .

Para estudiar como varía la variable dependiente con respecto a la variable independiente cerca del punto en el que nos encontramos buscamos que la diferencia con el otro punto sea cada vez más pequeña y calculamos el límite de la tasa media de variación cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.

Dy Dx Dy Dy Dy x0 f Hx0L

De este modo, obtenemos la tasa instantánea de variación de y con respecto a x en x0, que recibe el

nombre de derivada de la función en x0y se denota por f0(x0).

Definición 1.11 Sean f : [a, b] ⊆R −→ R y x0 ∈ (a, b).

La derivada de f en x0 f0(x0)= l´ım 4x→0 f(x0+ 4x) − f (x0) 4x = l´ımx→x0 f(x) − f (x0) x − x0 . f es derivable en x0si este límite existe.

f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntos del conjunto. ♣

Nota (Interpretación geométrica de la derivada) La tasa media de variación entre los puntos P y Q corres-ponde a la pendiente de la recta que corta a la gráfica y= f (x) en estos puntos.

P Q Dy Dx x0 x0+Dx fHx0L fHx0+DxL P Q P Q P Q x0

Cuando 4x tiende a cero, el punto Q se mueve sobre la gráfica acercándose a P y la pendiente de la recta secante se aproxima a la pendiente de la recta tangente, de forma que la derivada de la función en x0 es la

pendiente de la recta tangente a la gráfica y= f (x) en el punto P(x0, f (x0)). ♣

Nota (Interpretación económica de la derivada) La tasa marginal de variación de f en x0es el

incremen-to de la función cuando la variable dependiente se incrementa en una unidad y, siempre y cuando podamos considerar que este incremento es pequeño, corresponde aproximadamente a la derivada de f en x0. ♣

Ejemplo 1.12 Coste medio y coste marginal.

Supongamos que el coste de producir x unidades de un determinado producto viene dado por C(x)= x2+ 3x + 100,

medida en ciertas unidades monetarias, y que estamos produciendo cien unidades del producto, cuyo coste de producción es de C(100)= 10.400 u.m..

Si vamos a producir doscientas unidades del producto, con un coste de C(200) = 40.700 u.m., el coste medio de las cien nuevas unidades que producimos es

4y 4x = C(200) − C(100) 200 − 100 = 30.300 100 = 303.

Cuando se producen muchas unidades del producto podemos considerar que un incremento de una unidad es un incremento pequeño y podemos escribir

C0(x0)= l´ım 4x→0 C(x0+ 4x) − C(x0) 4x ≈ C(x0+ 1) − C(x0) 1 = C(x0+ 1) − C(x0),

con lo que la derivada en x0 (tasa instantánea de variación del coste con respecto al número de unidades

producidas) es aproximadamente el coste adicional de producir una unidad más de producto cuando ya se han producido x0 unidades del mismo (coste marginal).

En nuestro caso estamos produciendo 100 unidades del producto, con un coste de producción de C(100) = 10.400 u.m., por lo que podemos suponer que un incremento de una unidad es un incremento pequeño. Co-mo la derivada de la función en x0= 100 es

C0(100)= l´ım

4x→0

C(100+ 4x) − C(100)

4x = 203

el coste adicional que hay que soportar para producir la unidad ciento uno sería aproximadamente de 203 u.m.. Al ser el incremento real del coste C(101) − C(100) = 10.604 − 10.400 = 204 u.m. se puede

considerar que es una aproximación bastante buena. ♣

La derivada marca el ritmo del cambio que experimenta la variable dependiente cuando se produce un cambio en la variable independiente y cuanto mayor es el valor de la derivada mayor es el cambio que experimenta la variable dependiente. Si la derivada es positiva a un aumento de la variable independiente le corresponde un aumento de la variable dependiente y si es negativa a un aumento de la variable indepen-diente le corresponde una disminución de la variable depenindepen-diente.

1.3.2.

Consecuencias de la derivabilidad

Hasta ahora hemos estado suponiendo que ante una variación infinitesimal en la variable independiente se produce una variación infinitesimal en la variable independiente, de forma que está implícita la hipótesis de que la función que relaciona estas variables es continua.

Proposición 1.13 Sean f : [a, b] ⊆R −→ R y x0∈ (a, b).

Si f es derivable en x0entonces f es continua en x0. ♣

El recíproco no es cierto, ya que f puede ser continua en x0sin que exista su derivada.

Ejemplo 1.14

una función continua que tenga tangente vertical no es derivable, ya que el cambio de valor de la función es demasiado brusco.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 fHxL= x3 La función f (x) = 3 √

xes continua enR y no es derivable en cero. Su tangente es vertical y la derivada no está definida, ya que el valor de su derivada en cero es infinito

f0(0)= l´ım 4x→0 f(0+ 4x) − f (0) 4x = l´ım4x→0 3 √ 4x 4x = ∞.

Una función continua que presenta “picos" no es derivable, ya que aunque el cambio de valor de la función no es brusco, sí lo es el cambio de dirección.

La función valor absoluto, f (x) = |x|, es continua en todo R pero no es derivable en cero, ya que si calculamos su derivada como f (x)= x para x ≥ 0 y f (x) = −x para x ≤ 0 hay que distinguir entre el límite

por la izquierda y el límite por la derecha y ambos son distintos. -2 -1 1 2

0.5 1.0 1.5 2.0 fHxL=ÈxÈ f0(0)= l´ım 4x→0 f(0+ 4x) − f (0) 4x = l´ım4x→0 |4x| 4x =            l´ım 4x→0− −4x 4x = −1 l´ım 4x→0+ 4x 4x = 1

Obsérvese que podemos definir la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de una función en un punto considerando los límites laterales (cuando tienen sentido). La función valor absoluto en cero

tendría derivada por la izquierda -1 y por la derecha 1. ♣

Proposición 1.15 Sea f : [a, b] ⊆R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces f es creciente en(a, b) si y sólo si f0_{(x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b).}

f es decreciente en(a, b) si y sólo si f0_{(x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b). ♣}

Ejemplo 1.16 Si la oferta y demanda de un bien dependen de su precio según las funciones O(p) y D(p) cuando el precio del bien se incrementa en una unidad la derivada de la primera función representa el aumento de la oferta y la derivada de la segunda la disminución de la demanda.

Como la oferta aumenta si el precio del bien aumenta la gráfica de la oferta tiene pendiente positiva, O0(p) > 0, y, por el contrario, como la demanda disminuye si el precio aumenta, la gráfica de la demanda

tiene pendiente negativa, D0(p) < 0. ♣

Proposición 1.17 (Teoremas clásicos) f : [a, b] ⊆R −→ R continua en [a, b] y derivable en (a, b) (Teorema de Rolle) Si f(a)= f (b) existe c ∈ (a, b) con f0_(c)= 0.

(Teorema del valor medio o de los incrementos finitos) Existe c ∈(a, b) con f0_(c)= f(b)− f (a) b−a .

(Teorema de los valores intermedios para derivadas) Si c1, c2 ∈ (a, b) con f0(c1) , f0(c2)

la derivada alcanza cualquier valor entre f0(c1) y f0(c2). ♣

1.3.3.

La función derivada y las reglas de derivación

Definición 1.18 Sean f : [a, b] ⊆R −→ R.

Si f es derivable en(a, b) la función derivada de f asocia a cada x su derivada

Nota Las distintas notaciones que se usan para la función derivada de una función y = f (x) son: y0 _{o f}0_{(x), cuyo valor en un punto x}

0 se escribe como y0(x0) o f0(x0);

dy dx o

d f

dx, cuyo valor en un punto x0se escribe como dy dx     _x 0 o d f dx     _x 0 ♣ Para obtener el valor de la derivada de una función en un punto sin tener que aplicar la definición, que a veces es bastante complicado, se pueden combinar las reglas de derivación y las derivadas de las funciones elementales.

Proposición 1.19 (Reglas de derivación) Sean f, g : [a, b] ⊆ R −→ R derivables en x ∈ (a, b). 1. Regla del múltiplo constante (k ∈R): (k f )0(x)= k f0(x).

2. Regla de la suma:( f + g)0(x)= f0(x)+ g0(x).

3. Regla del producto:( f · g)0(x)= f0_(x)g(x)+ f (x)g0_(x).

4. Regla del cociente: f g

!0

(x)= f

0_{(x)g(x) − f (x)g}0_(x)

g2_(x) siempre y cuando g(x) , 0. ♣

Derivadas de las funciones elementales

f(x) f0_{(x) f(x) f}0_(x) xa axa−1 x ∈R a ∈ R √n x 1 nn √ xn−1 x> 0 n ∈ N ex ex x ∈R ax axln a x ∈R a > 0 ln x 1 x x> 0 logax 1 xln a x> 0 a > 0

sen x cos x x ∈R arc sen x √ 1

1 − x2 −1 ≤ x ≤ 1

cos x − sen x x ∈R arc cos x √−1

1 − x2 −1 ≤ x ≤ 1 tan x 1+ tan2_{x x ,} π 2 ± nπ (n ∈ N) arctan x 1 1+ x2 x ∈R Ejemplo 1.20

En el ejemplo 1.12 utilizamos la definición para calcular la derivada de la función de costes. Si utilizamos las reglas de derivación se tiene:

C0(x)=x2+ 3x + 1000 = x20+ 3 (x)0+ (100)0 = 2x + 3 · 1 + 0 = 2x + 3,

Proposición 1.21 (Regla de la cadena) Sean f : [a, b] ⊆R −→ R, g : [c, d) ⊆ R −→ R.

Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) y g es derivable en f (x0) ∈ (c, d) entonces g ◦ f es derivable en x0

(g ◦ f )0(x0)= g0( f (x0)) f0(x0) ♣

Nota (Interpretación económica de la regla de la cadena) Si y= y(x) y x = x(t) se tiene y = y(t) con dy dx     _t = dy dx     _x(t) dx dt     _t

de forma que la tasa de variación de y con respecto a t es producto de la tasa de variación de y con respecto

a x por la tasa de variación de x con respecto a t. ♣

Proposición 1.22 (función inversa) Sea f : [a, b] ⊆R −→ R continua e inyectiva en [a, b]. Si f es derivable en x0 ∈ (a, b) con f0(x0) , 0 entonces f−1es derivable en y0 = f (x0) con

( f−1)0(y0)=

1 f0_(x

0)

. ♣

Nota (Interpretación económica de la derivada de la función inversa) Si y= y(x) y la tasa de variación de yrespecto a x es no nula entonces x= x(y) y la tasa de variación de x respecto a y es la inversa de la tasa de

variación de y respecto a x. ♣

Ejercicio 1.23 Obtener el dominio, estudiar la continuidad y calcular la derivada de las siguientes funcio-nes determinando las condiciofuncio-nes que deben verificarse para que la derivada esté definida?

(a) f(x)= x + 3x2− 5x3− x4 (b) f(x)= √ 2x2+ 3x − 1 (c) f(x) = x − 1 x2_{− 5x}+ 6 (d) f(x)= x3 √ 2x+ 1 (e) f(x)= x2√3 x (f) f(x)= 1 x3+ 1 (g) f(x)= √ 2x − 3 √ 2x+ 1 (h) r 2x − 3 2x+ 1

1.3.4.

Derivadas sucesivas.

Si una función definida en un intervalo es derivable en este intervalo su función derivada asocia a cada punto su derivada. Si esta derivada es derivable en el intervalo podemos calcular su derivada y definir su derivada segunda. Este planteamiento se puede repetir de nuevo con su derivada segunda.

Definición 1.24 Sea f : [a, b] ⊆R −→ R derivable en (a, b).

Si la función derivada de f es derivable en (a, b) decimos que f es dos veces derivable en (a, b) y que la función que asocia a cada x ∈(a, b) la derivada de f0es la función derivada segunda de f , f00

En general, f es k veces derivable en(a, b) si f , f0_{, . . . , f}0(k−1) _{son derivables ∀x ∈ (a, b) y la función}

derivada k-ésima de f , f0(k), es la función que asocia a cada x ∈(a, b) la derivada de f0(k−1),

f0(k): x ∈ (a, b) −→( f0(k−1))0(x) ∈ R. ♣

1.4.

Funciones elementales.

1.4.1.

Funciones exponenciales y logarítmicas.

Las funciones exponenciales, f (x)= ax_{(a > 0) son las funciones en las que al aumentar en una unidad}

la variable x el aumento que experimentan los valores de la función es proporcional al valor de la función, donde a es el factor de proporcionalidad y siempre es positivo (a > 0):

f(x+ 1) = ax+1= a · ax = a · f (x)

Están definidas en todo R y sus valores son siempre positivos. Con la que más trabajaremos será la que tiene por base el número e o función exponencial natural

f(x)= ex = exp(x) 0<a<1 a>1 1 X Y 4x ãx 2x 1x 1 X Y

Las funciones exponenciales son crecientes para a > 1 y decrecientes para a < 1. En el infini-to crecen o decrecen dependiendo del signo del infinito y el aumento, o disminución, que expe-rimentan es más rápido que el de cualquier fun-ción potencia.

Proposición 1.25 Sean a, b > 0 y x, y ∈ R

(a) a0 = 1 (b) ax+y= axay (c) (ab)x= axbx (d) (ax)y= axy ♣

Las funciones logarítmicas f (x)= log_a(x) son las funciones inversas de las funciones exponenciales y, por tanto, verifican

y= log_a(x) ⇔ ay = x

Entre ellas destaca la función logarítmica de base e o logaritmo neperiano, ln(x)= log_e(x).

y‡ ãx y‡ x y‡ logHxL -4 -2 2 4 -4 -2 2 4

Sólo están definidas para números estrictamente positivos y, por tanto, su dominio es (0,+∞). Pueden tomar cualquier valor y, por tanto, su imagen es todo el conjuntoR. En general, son cre-cientes para a > 1 y decrecre-cientes para a < 1.

Proposición 1.26 Sean a, b > 0 y x, y ∈ R

(a) log_a1= 0 (b) log_aa= 1 (c) log_aax= x

(d) aloga(x)= x _{(e) a}x = ex ln a _{(f) log}

ax=

ln x ln a

(g) log_a(xy)= log_ax+ log_ay (h) log_a_yx = log_ax − log_ay (i) log_a(xn)= n log_ax ♣ Ejercicio 1.27 Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico.>Qué condiciones debe verificar este punto para que la derivada esté definida?

(a) f(x)= 2xln(x) (b) f(x)= x2ln3(x) (c) f(x)= x ln(x3) (d) f(x)= ln 2x+ 3 2x+ 1 ! (e) f(x)= e x_{− 3e}2x 1+ ex

Ejemplo 1.28 (Derivación logarítmica) Obtener la derivada de y(x)= u(x)v(x)

Solución

En primer lugar tomamos logaritmos ln y(x)= ln u(x)v(x)= v(x) ln u(x) A continuación derivamos esta expresión y

0_(x) y(x) = v 0 (x) ln u(x)+ v(x)u 0_(x) u(x) Luego despejamos y0_{(x) y sustituimos y(x) por su valor}

y0(x)= v0(x) ln u(x)+ v(x)u 0_(x) u(x) ! y(x)= v0(x) ln u(x)+ v(x)u 0_(x) u(x) ! u(x)v(x)

Esta derivada se puede expresar como la “derivada respecto de u" por la derivada de u más la “derivada respecto de v" por la derivada de v:

y0(x)=v(x)u(x)v(x)−1u0(x)+u(x)v(x)ln[u(x)]v0(x) ♣ Ejemplo 1.29 f (x) = xx _{podría definirse para algunos valores negativos de x, sólo la consideramos}

defi-nida cuando la base es positiva, x ≥0 y podemos derivar esta función considerando que su derivada es la suma de dos derivadas que reflejan la variación total de la función y que sólo tiene sentido si x > 0. En la primera se toma el exponente como una constante y en la segunda lo que se toma como constante es la base

f0(x)= x · xx−1+ xxln x= xx(ln x+ 1) con x > 0 ♣

Ejercicio 1.30 Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico.>Qué condiciones debe verificar este punto para que la derivada esté definida?

1.4.2.

Funciones trigonométricas.

En un triángulo rectángulo el lado que está frente al ángulo recto es el más grande y se le denomina hipotenusa. A los otros dos lados se les llama catetos. Las razones trigonométricas correspondientes a un ángulo agudo del triángulo son las razones obtenidas en la comparación por cociente de las longitudes de estos lados, que, al ser magnitudes de la misma especie, dan como resultado un número abstracto. Considerando uno de los ángulos agudos del triángulo se pueden obtener seis razones distintas, aunque aquí nos vamos a centrar en tres (seno, coseno y tangente).

Seno: cateto opuesto entre la hipotenusa sen α= c

0

h Coseno: cateto contiguo entre la hipotenusa

cos α= c h

Tangente: cateto opuesto entre el cateto contiguo, que, por tanto, corresponde al cociente del seno y el coseno:

tan α= c 0 c = sen α cos α Α h c c'

Para extender estas funciones a todos los números reales consideramos la circunferencia de centro el origen y radio 1. Desde el punto de corte de la circunferencia con la parte positiva del eje de abscisas, para cada x y con la misma unidad de longitud que el radio, medimos un arco de longitud |x| sobre la circunferencia, en el sentido contrario a las agujas del reloj si x es positivo y en el sentido de las agujas del reloj si es negativo. Si denotamos por (u, v) las coordenadas del punto final del arco y trazamos la perpendicular al eje de abscisas que pasa por el punto final obtenemos un triángulo rectángulo.

En este triángulo un ángulo correspondiente al primer cuadrante tiene co-mo seno la coordenada v y coco-mo coseno la coordenada u. Esta idea permi-te expermi-tender las funciones a cualquier número x definiendo el seno como la coordenada v y el coseno como la coordenada u.

Θ cos x sen x Hu,vL x -1 1 -1

Cuando x crece y el punto final del arco recorre la circunferencia unidad los valores del seno y coseno oscilan. Como la circunferencia tiene longitud 2π el final del arco pasa por puntos en los que había estado

antes y hace que los valores del seno y coseno se repitan cada 2π, por lo que son funciones periódicas3_de

periodo 2π.

Las funciones seno y coseno están siempre definidas y su dominio es todo R, recorriendo su imagen todo el intervalo [−1, 1]. Por tanto, están acotadas4_{. El seno es una función impar mientras que el coseno es}

par. Además, si desplazamos sus gráficas a izquierda y derecha podemos superponer una sobre la otra.

-2 Π Π Π 2 Π 3 Π 2 2 Π 3 Π 4 Π -₁ 1 f HxL=senHxL -2 Π Π Π 2 Π 3 Π 2 2 Π 3 Π 4 Π -₁ 1 f HxL=cosHxL Proposición 1.31 Sean a, b > 0 y x, y ∈ R

(a) sen(−x)= − sen x (b) cos(−x)= cos x

(c) sen(x+ π₂)= cos x (d) cos(x − π₂ )= sen x

(e) sen(x+ y) = sen x cos y + cos x sen y (f) cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y (g) sen(x − y)= sen x cos y − cos x sen y (h) cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y (i) sen2x+ cos2x= 1 (fórmula fundamental de la trigonometría)

Nota (Medida de un ángulo en radianes) La construcción de las funciones seno y coseno hace que mi-damos los ángulos en radianes, de forma que la medida de un ángulo es el número de radios que mide el arco (podemos hacerlo pues la longitud de la circunferencia es proporcional al radio). Como la longitud de la circunferencia es 2πr y su ángulo es de 360o _{para convertir grados a radianes, y viceversa, utilizamos la}

equivalencia 360o _{≡ 2π radianes ♣} -2 Π Π Π 2 Π 3 Π 2 2 Π -1 1 f HxL=tgHxL

La función tangente se define como el cociente entre seno y coseno: tan x= sen x

cos x

Es impar, periódica de periodo π y no está definida en los puntos donde se anula el coseno. Por tanto, tiene que cumplirse

x , π

2 ± kπ con k = 0, 1, 2, . . .

3_{Una función f (x) es periódica de periodo τ si ∃τ > 0/ f (x+ τ) = f (x) ∀x ∈ D (su gráfica se repite cada τ)}

4_{Una función f (x) está acotada superiormente si existe M ∈R tal que f (x) ≤ M ∀x ∈ Dom( f ) y acotada inferiormente}

si existe m ∈R tal que f (x) ≥ m ∀x ∈ Dom( f ). Decimos que está acotada si está acotada superior e inferiormente (existe un

Medida de ciertos ángulos y sus senos y cosenos

Grados Radianes Seno Coseno Grados Radianes Seno Coseno

0 0 0 1 90 π₂ 1 0 30 π₆ 1₂ √ 3 2 180 π 0 −1 45 π₄ √ 2 2 √ 2 2 270 3π 2 −1 0 60 π₃ √ 3 2 1 2 360 2π 0 1

Ejercicio 1.32 Obtener la derivada de la función tangente.

Solución

Aplicamos la regla del cociente a f (x)= tan x = sen x cos x De esta forma, para cos x , 0 (x , π₂± nπ, n ∈ N) se tiene

f0(x)= sen

0_{xcos x − sen x cos}0_x

cos2_x =

cos x cos x − sen x(− sen x)

cos2_x =

cos2_x+ sen 2_x

cos2_x ,

que se puede escribir tanto como f0(x)= 1

cos2_x como f 0

(x)= 1 + tan2x. ♣

Ejercicio 1.33 Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico.>Qué condiciones debe verificar este punto para que la derivada esté definida?

(a) f(x)= exsen(5x+ 1) (b) f(x) = x2cos2(x) (c) f(x)= sen2(x)cos4(x) (d) f(x)= sen(15x)

cos(2x) (e) f(x)= sen(15x) cos(2x) (f) f(x) =

cos(x) 1+ sen2_(x)

(g) f(x)= xcos(x) (h) f(x)= (sen x)x (i) f(x)= pxtg(x)

1.4.3.

Funciones trigonométricas inversas.

Las funciones trigonométricas inversas o funciones arco son las inversas de las funciones trigonométri-cas, aunque no en sentido estricto, ya que las funciones trigonométricas no son inyectivas y para definir sus inversas se consideran sólo intervalos en los que sean inyectivas y recorran toda la imagen de la función.

La inversa de la función seno es la función arcoseno y se define considerando el seno en el intervalo [−π/2, π/2]

arc sen : x ∈ [−1, 1] −→ arc sen x ∈ [−π/2, π/2] arc sen x= y ⇔ sen y = x

-1 22 1 -Π 2 -Π 4 Π 4 Π 2 fHxL=arcsenHxL

La inversa de la función coseno es la función arcocoseno y se define considerando el coseno en el intervalo [0, π].

arc cos : x ∈ [−1, 1] −→ arc cos x ∈ [0, π]

arc cos x= y ⇔ cos y = x 0 22 1

Π 4 Π 2 Π fHxL=arccosHxL

La inversa de la función tangente es la función arcotangente y se define considerando la tangente en (−π/2, π/2).

arctan : x ∈ [−∞, ∞] −→ arctan x ∈ (−π/2, π/2) arctan x= y ⇔ tan y = x -2 -1 1 2 -Π 2 -Π 4 Π 4 Π 2 fHxL=arctgHxL

La función arcoseno es estrictamente creciente e impar, la función arcocoseno estrictamente decreciente y la función arcocotangente estrictamente creciente e impar (todas están acotadas). Verifican respectiva-mente las ecuaciones sen y = x, cos y = x y tan y = x, pero las ecuaciones no definen las funciones ya que incluyen valores que no corresponden a los dominios considerados.

Ejercicio 1.34 Obtener la derivada de la función arcotangente. Solución

Como y= arctan x es la inversa de la función x = tan y, cuya derivada es dx

dy = 1 + tan 2 y, la derivada de la función y= arctan x es dy dx = 1 dx dy = 1 1+ tan2_y = 1 1+ tan2_{(arctan x)} = 1 1+ x2. ♣

Ejercicio 1.35 Calcula las derivadas de las siguientes funciones especificando su dominio y los puntos en los que son continuas y derivables (a, b > 0).

(a) f (x) = x arc tgx2+ 1 (b) f (x)= 1

arc tg (ax − b) (c) f (x)= e

x

arc tgax2+ b

1.5.

Aproximación lineal y diferencial

Cuando la función f (x) es derivable en x0, la relación entre la derivada y la pendiente de la recta tangente

nos ha permitido obtener la recta tangente a la gráfica y= f (x) en (x0, f (x0)), que es:

y − f(x0)= f0(x0)(x − x0) (1.1)

Como la gráfica y = f (x) y la recta tangente en (x0, f (x0)) son “parecidas" para valores de x cercanos

Para ello, en vez de considerar los valores reales de la función, tomamos los valores correspondientes a la recta tangente, ecuación 1.1, y obtenemos la aproximación lineal de f

f(x) ≈ f (x0)+ f0(x0)(x − x0), (1.2)

que también se puede escribir como 4y= f (x0+ 4x) − f (x0) ≈ f0(x0)4x.

La diferencial de f en x0 es una aplicación que utiliza los valores que se obtiene mediante la

aproxi-mación lineal para asociar al incremento de la variable independiente, “dx", el incremento aproximado que tendría si siguiera variando a la misma tasa instantánea de variación , “dy" (dx es la variable de la aplica-ción diferencial y sólo se sustituye por el incremento de la variable dx = 4x cuando queremos obtener el incremento aproximado de la función).

Cuando tomamos dx = 4x como incremento de la variable in-dependiente, la diferencia entre el incremento real de la función, 4y, y el incremento aproximado que se obtiene mediante la dife-rencial, “dy", se comete un error,

rx0(4x)= 4y z }| { f(x0+ 4x) − f (x0) − dy z }| { f0(x0)4x . Dy Dx = dx dy rHDxL x0 x0+Dx f Hx0L f Hx0+DxL rHDxL rHDxL rHDxL x0 f Hx0L

De la magnitud del error que se comete depende que podamos utilizar la diferencial para aproximar la función y sólo es posible si este error tiende a cero más rápido que el incremento de la variable independiente, es decir, si

l´ım

4x→0

rx0(4x)

4x = 0.

Definición 1.36 Sean f : [a, b] ⊆R −→ R y x0 ∈ (a, b).

La diferencial de f en x0es la función D f(x0) :R −→ R tal que:

D f(x0)[dx]= f0(x0)dx. f es diferenciable en x0si l´ım 4x→0 f(x0+ 4x) − f (x0) − D f (x0)(4x) 4x = 0. ♣

Observación La versión exacta de la aproximación lineal (ecuación 1.2) corresponde a la fórmula de Taylor de primer orden

Proposición 1.37 Sean f : [a, b] ⊆R −→ R y x0 ∈ (a, b).

f es diferenciable en x0si y sólo si f es derivable en x0 ♣

Observación Esta proposición sólo se verifica para funciones de una variable y en los temas siguientes veremos que para funciones con más de una variable el concepto de función diferenciable es más restrictivo

que el de función derivable. ♣

Para referirnos a la diferencial de una función y = f (x) escribiremos dy= f0(x) dx

de forma que para cada x tenemos una aproximación lineal de la función en un entorno del punto. Definición 1.38 Sean f : [a, b] ⊆R −→ R diferenciable ∀x ∈ (a, b).

La aplicación que a cada x ∈ (a, b) le asocia la diferencial de f en x x ∈(a, b) −→ D f (x),

también recibe el nombre de diferencial de f y para cada x ∈(a, b) se tiene

D f(x) : dx ∈R −→ dy = D f (x)[dx] = f0(x) dx ∈R. ♣

Ejercicio 1.39 Calcular la diferencial de las siguientes funciones en un punto genérico y si es posible, en el punto x0 que se indica, especificando el dominio de existencia de la función y el conjunto de puntos en

los que la función es diferenciable (si es distinto al dominio). (a) f (x)= e 2x+ x e2x x0 = 1 (b) f (x) = (x 2+ x) sen(x2_)e2x _x 0 = 0 (c) f (x)= x2tg2(πx2) x0 = 1 (d) f (x) = (4x2+ 1)2x x0 = 1/2

Ejercicios del tema.

Ejercicio 1.40 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y calcular su derivada en un punto genérico (especificando el dominio de existencia de la función y, si es distinto al de la función, especificando también el dominio de existencia de la derivada).

(a) f (x)= x3ex (b) f (x)= exsen(2x) (c) f (x)= x cos2(3x − π) (d) f (x)= sen2_{(x) cos}4_{(x) (e) f (x)}= sen(15x) cos(2x) (f) f (x) = p3

(x+ 2)2₋ √_x+ 2 (g) f (x)= 2x 3_{+ 3x}2_{− x − 1} x2+ 3x + 2 (h) f (x)= ex− 3e2x 1+ ex (i) f (x)= ln x2_{− 4x+ 5} x2_{− 1} ! (j) f (x)= r x+ 1 x −1 (k) f (x)= 3 r 5x+ 6 7 (l) f (x)= 4 r 3x − 1 2x+ 5 (m) f (x)= 2xex2+1 _{(n) ln(x}3+ x) _{(ñ) f (x)}= x ln_x2+ 1 (o) f (x)= cos(x) 1+ sen2_(x) (p) f (x)= arctan  _x x+ 1  (q) f (x)= arc cos(2x − 1) (r) f (x)= √x x (s) f (x)= xcos(x) _{(t) f (x)}= (sen x)x Solución

(a) f (x)= x3_ex _{es continua y derivable siempre con f}0_{(x)= e}x

x2(x+ 3)

(b) f (x)= exsen(2x) es continua y derivable siempre con f0(x)= ex(sen(2x)+ 2 cos(2x)) (c) f (x)= x cos2_{(3x − π) es continua y derivable siempre con}

f0(x)= cos2(3x − π) − 6 cos(3x − π) sen(3x − π)

(d) f (x)= sen2(x) cos4(x) es continua y derivable siempre con

f0(x)= 2 sen(x) cos5(x) − 4 sen3(x) cos3(x)

(e) f (x)= sen(15x) cos(2x) es continua y derivable siempre con

f0(x)= 15 cos(2x) cos(15x) − 2 sen(2x) sen(15x)

(f) f (x)= p3(x+ 2)2₋ √_x+ 2 es continua si el argumento de la raíz de índice par es no negativo

Dom( f )= {x ∈ R /x + 2 ≥ 0} = {x ∈ R /x ≥ −2} = [−2, +∞)

sin embargo, no es derivable en todo su dominio, ya que se anula el denominador en x = −2 f0(x)= 2(x+ 2) 3p3(x+ 2)4 − 1 2√x+ 2 con Dom( f 0 )= {x ∈ R /x > −2} = (−2, +∞)

(g) f (x)= 2x

3+ 3x2_{− x − 1}

x2+ 3x + 2 es continua y derivable si el denominador no se anula

f0(x)= 2x

4+ 12x3+ 22x2+ 14x + 1

x2+ 3x + 2
2 con Dom( f ) = {x ∈ R /x , −2, −1}

(h) f (x)= e

x_{− 3e}2x

1+ ex es continua y derivable siempre ya que no se anula el denominador con

f0(x)= 2ex2+12x2+ 1 (i) ln x 2_{− 4x+ 5} x2_{− 1} ! = ln

x2_{− 4x}+ 5_{− ln}_x2_{− 1} _{es continua y derivable en los puntos en los que el}

argumento del logaritmo es positivo

f0(x)= 2x − 4 x2_{− 4x}+ 5 − 2x x2_{− 1} = 4x2_{− 3x}+ 1 x2_{− 1}
x2_{− 4x}+ 5
con Dom( f )= nx ∈R.x2_x−4x2₋₁+1 > 0o = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)

Obsérvese que el dominio de la función simplificada es el mismo que el de la función, al ser x2 ₋

4x+ 5 positivo (no tiene raíces reales). En general, la simplificación sólo es válida si numerador y denominador son positivos o si escribimos los argumentos de los logaritmos en la simplificación en valor absoluto.

(j) f (x)= r

x+ 1

x −1 es continua si el argumento de la raíz es no negativo y el denominador no se anula Dom( f )= {x ∈ R, x+ 1

x −1 ≥ 0, x − 1 , 0} = (−∞, −1] ∪ (1, +∞)

no es derivable en todo su dominio, ya que el denominador de su derivada se anula en x= −2

f0(x)= − 1 (x − 1)2qx+1 x−1 con Dom( f0)= {x ∈ R, x+ 1 x −1 > 0, x − 1 , 0} = (−∞, −1) ∪ (1, +∞) (k) f (x)= 3 r 5x+ 6

7 está definida y es continua siempre pero no es derivable en todo su dominio, ya que se anula el denominador de su derivada en x= −6₅ por tanto

f0(x)= 5 3 3 √ 7p3(5x+ 6)2 con Dom( f 0 )= {x ∈ R/x , −6₅}

(l) f (x)= 4 r

3x − 1

2x+ 5 es continua si el argumento de la raíz es no negativo y el denominador no se anula Dom( f )= ( x ∈R, 3x − 1 2x+ 5 ≥ 0, 2x+ 5 , 0 ) = −∞, −5 2  ∪h1₃, +∞

sin embargo, no es derivable en todo su dominio, ya que en x= 1/3 se anula el denominador

f0(x)= 17 4(2x+ 5)2 4 q _3x−1 2x+5 3

con Dom( f0₎= {x ∈ R /fr a3x − 12x + 5 > 0, 2x + 5 , 0} = −∞, −5 2

 ∪1

3, +∞



(m) f (x)= 2xex2+1es continua y derivable siempre con f0(x)= 2ex2+12x2+ 1 (n) f (x)= ln(x3+ x) es continua y derivable si el argumento del logaritmo es positivo

f0(x)= 3x

2+ 1

x3+ x con Dom( f ) = {x ∈ R

.

x3+ x > 0} = {x ∈ R /x > 0} = (0, +∞)

(ñ) f (x)= x lnx2+ 1_{es continua y derivable pues el argumento del logaritmo es positivo}

f0(x)= 2x 2 x2+ 1 + ln  x2+ 1 (o) f (x)= cos(x)

1+ sen2_(x) es continua y derivable siempre pues el denominador no de anula

f0(x)= −sen(x)  sen2(x)+ 2 cos2(x)+ 1 sen2_(x)+ 1
2 (p) f (x)= arctan  _x x+ 1 

es continua y derivable siempre que no se anule el denominador

f0(x)= 1

2x2+ 2x + 1 con Dom( f )= {x ∈ R /x + 1 , 0} = {x ∈ R /x , −1}

(q) f (x)= arc cos(2x − 1) es continua si el argumento del arcocoseno está entre -1 y 1 Dom( f )= {x ∈ R /−1 ≤ 2x − 1 ≤ 1} = [0, 1]

pero no es derivable si el argumento del arcoseno es 1 o -1 con f0(x)= _p −2 1 − (2x − 1)2 = −1 √ x − x2 con Dom( f 0 )= {x ∈ R /−1 < 2x − 1 < 1} = (0, 1)

(r) f (x)= √x

x= x1x sólo se considera definida cuando la base es positiva Dom( f )= {x ∈ R /x > 0}

Para derivarla aplicamos la regla de la cadena (su derivada es la suma de dos derivadas, en la primera se toma el exponente como una constante y en la segunda lo que se toma como constante es la base)

f0(x)= 1 xx 1 x−1+ x 1 xln(x)−1 x2 = x √ x(1 − ln x) x2

(s) f (x)= xcos(x)_{sólo se considera definida cuando la base es positiva Dom( f ) = {x ∈ R /x > 0}}

Para derivarla aplicamos la regla de la cadena

f0(x)= cos(x)xcos(x)−1− xcos(x)ln(x) sen(x)

(t) f (x)= (sen x)xestá definida sólo cuando la base es positiva Dom( f )= {x ∈ R /sen x > 0} Para derivarla aplicamos la regla de la cadena

f0(x)= x(sen x)x−1cos x+ (sen x)xln(sen x)

Obsérvese que hay infinitos intervalos en los que la función no esta definida, ya que el seno es pe-riódico de periodo 2π y toma tanto valores positivos como negativos (en el intervalo [0, 2π] solo esta definida en (0, π) donde el seno es positivo y la situación se repite en cada periodo. ♣

Ejercicio 1.41 Calcula las derivadas de las siguientes funciones especificando su dominio y los puntos en los que son continuas y derivables (a, b > 0).

(a) f (x)= √ ax2_{− 2x (b) f (x)}= √3_x2_{− a (c) f (x)}= √ ax2_{− 2x} x+ 2 (d) f (x)= (bx + 1)eax2₊₁ (e) f (x)= e ax+ 1 x2_{− 1} (f) f (x)= ln ax+ b ax − b !

(g) f (x)= sen(ax) cos(ax) (h) f (x) = sen(ax)

cos(bx) (i) f (x)= x arc tg 

ax2+ b Solución

(a) f (x)= √

ax2_{− 2x es continua si argumento de la raíz es positivo o nulo}

Dom( f )= {x ∈ R.ax2_{− 2x ≥ 0 }}

La función no es derivable en todo su dominio pues no lo es donde se anula el argumento: f0_(x)= _√ax −1

ax2_{− 2x} con x ∈ (−∞, 0) ∪

₂

a, +∞

(b) f (x)= √3x2_{− a es continua siempre pero no es derivable si se anula el argumento de la raíz:} f0(x)= 2x 3p(x2_{− a)}2 con x , ±a (c) f (x)= √ ax2_{− 2x}

x+ 2 es continua en su dominio pero no es derivable si se anula el argumento de la raíz Dom( f )= {x ∈ R.ax2_{− 2x ≥ 0, x , −2} = (−∞, −2) ∪ (−2, 0] ∪}h2_a, +∞ f0(x)= 2ax+ x − 2 (x+ 2)2√_ax2_{− 2x} con x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ ₂ a, +∞ 

(d) f (x)= (bx + 1)eax2+1_{es continua y derivable CON f}0_(x)= eax2+1_2abx2+ 2ax + b

(e) f (x)= e

ax+ 1

x2_{− 1} es continua y derivable si el denominador no se anula

f0(x)= ax 2_eax_{− 2xe}ax_{− ae}ax_{− 2x} x2_{− 1}
2 con Dom( f )= {x ∈ R /x , ±1} (f) f (x)= ln ax+ b ax − b !

es continua y derivable si el argumento del logaritmo es positivo

f0(x)= −2ab

(ax+ b)(ax − b) con Dom( f ) = ( x ∈R, ax+ b ax − b > 0 ) = (−∞, −b a) ∪ ( b a, +∞)

(g) f (x)= sen(ax) cos(ax) es continua y derivable con f0_(x)= a cos2_{(ax) − a sen}2_(ax)

(h) f (x)= sen(ax)

cos(bx) es continua y derivable si el denominador no se anule f0(x)= acos(ax) cos(bx)+ b sen(ax) sen(bx)

cos2_(bx) con Dom( f )= {x ∈ R /cos(bx) , 0}

Obsérvese que dentro de h0,2π_bi hay dos puntos en los que no está definida (x = _2bπ, x = 3π_2b). Esta situación se repite en cada periodo ya que la función cos(bx) es periódica de periodo 2π_b.

(i) f (x)= x arc tgax2+ b_{es continua y derivable siempre}

f0(x)= 2ax

2

ax2+ b
2+ 1 + arc tg